Tipos de funciones
- 1. FUNCIONES ALGEBRAICAS Las funciones algebraicas pueden ser Funciones Explícitas Cuando la variable dependiente está despegada. f(x) = 5x − 2 Funciones Implícitas Si la variable dependiente no está despejada, es preciso efectuar operaciones. X9 + 3Y = X + 4X2Y 3Y - 4X2Y = X – X9 Función Par. Una función f : A → B es: Par si ∀ x∈A también -x∈A y se cumple que f(x) = f(-x). es decir es simétrica al eje Y porque los puntos (x,y) y (-x,y) son simétricos al eje Y Ejemplo
- 2. ( ) ( ) ( ) ( ) La función es Par Función Impar. Una función f : A → B es: Impar si ∀ x∈A también -x∈A y se cumple que f(x) = -f(-x). es decir es simétrica con respecto al origen, porque los puntos (x,y) y (-x,-y) son simétricos al origen Ejemplo ( ) ( ) ( ) ( ) La función es impar 1.1 Función polinomial Se llama función polinomial en una variable, a la siguiente: f: R → R / f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 +anxn ; a0, a1, ... , an ∈ R si an≠0, el entero no negativo n se llama grado del polinomio f(x) a. Función Polinomial de grado Cero o Constante.
- 3. La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente ( x ), la variable dependiente ( f(x) ) no cambia, es decir, permanece constante. Sea f (x) c . El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el contradominio es únicamente el real c. Ejemplo. La función f(x)=3 se puede representar en forma tabular para algunos valores de x: X f(x) -1 3 0 3 1 3 2 3 1.5 3 5 2 3 La gráfica de esta función para los valores de x entre -3 y 3 es -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3
- 4. b. Funciones polinómica de primer grado f(x) = ax + b Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Son funciones de este tipo las siguientes: b.1. Función Afin La función afín es la siguiente función polinomial de primer grado f: R → R / x →f(x) = ax+b; a,b∈R a Se llama coeficiente angular o pendiente y b se llama ordenada en el origen de la recta y=ax + b La gráfica de los puntos (x,f (x)) / f(x) = ax+b es una recta; luego, la gráfica de la función afín es una recta no paralela al eje y. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. b.2. Función Lineal La función lineal es del tipo: y = ax Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo Y = 2x
- 5. Si a > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. Si b < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
- 6. b.3. Función Identidad Su función Básica es f(x)=x Su nombre proviene del hecho, que el valor del dominio (X),será el mismo o idéntico valor que el contradominio (Y)con esta condición es una función única. Su gráfica es la recta bisectriz del primero y tercer cuadrante si a =1 y b=0, Cuando a=-1 y b=0 la gráfica de la función f(x)=-x, es bisectriz del segundo y cuarto cuadrante *Función Continua *Dominio del (-) infinito hasta mas infinito. *Es de primer grado ( Línea Recta ) *Tiene pendiente, 1 creciente *Su alguno de inclinación es de 45 grados *Debe pasar por el origen *A la vez es biyectiva, Inyectiva c. Función Polinómica de Segundo Grado o Cuadrática. Se llama función cuadrática a la siguiente función polinomial de segundo grado f: R → R / x →f(x)= ax2+bx+c; a, b, c ∈ R, a≠0 La gráfica que se obtiene se llama parábola, es una curva simétrica respecto a un eje y el punto que es simétrico de sí mismo se llama vértice. Ejemplo: Graficar f(x)= x2 + 2x -3 hallar el dominio y su recorrido Hallemos el vértice para x aplicando ( ) Sustituyendo en la función tenemos que f(x)=-4 El vértice(-1, -4) Punto de corta el eje Y, entonces x=0 f(x)=02 + 2(0) -3 f(x) = -3 Punto de corte (0, -3)
- 7. Puntos de corte eje X, entonces f(x)=0 x2 + 2x -3=0 Factorizando o aplicando la fórmula x=1 X1= -3 Puntos de corte P(1,0) y P1=(-3,0) Dominio los Reales o ) - ∞ , + ∞( Recorrido (-4, + ∞( Características de gráficas en las funciones cuadráticas Las funciones cuadráticas tienen como representación parábolas con eje de simetría paralelo al eje Y. Dominio. Para cualquier valor que tome x siempre existe la función. Convexidad y Concavidad: si a > 0 es cóncava si a < 0 es convexa Punto crítico: si a > 0 tiene un mínimo si a < 0 tiene un máximo d. Función Polinómica de Tercer Grado o Cúbica. La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma: f: R → R / x →f(x)=ax3+bx2+cx+d; a, b, c, d ∈ R, a≠0 Ejemplo Graficar la function, halle el dominio y el dominio de imagen f(x)=x3--6x2+8x
- 8. Hallemos los puntos de corte del eje X x3--6x2+8x=0 Factorizando x(x2 -6x+8)=0 x(x-4)(x-2)=0 X=0, X1=2, X2=4 Dominio ) - ∞ , + ∞( Recoorrido ) - ∞ , + ∞( Propiedades: El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α) El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real. La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x). La función es continua en todo su dominio. La función es siempre creciente. La función no tiene asíntotas. La función tiene un punto de corte con el eje Y. La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.