FUNCIONES EXPONENCIALES.pptx
- 2. 𝒂𝒏 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙… ∙ 𝒂 Dados dos números reales a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, definimos a la potencia enésima de a como: EXPONENTES 𝒏 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑺𝒊 𝒂 ≠ 𝟎 𝒂−𝒏 = 𝟏 𝒂𝒏 Podemos representar una raíz mediante exponentes fraccionarios. 𝒂 𝟏 𝒏 = 𝒏 𝒂; 𝒏 ∈ ℕ, 𝒏 ≠ 𝟏, 𝒂 > 𝟎
- 3. FUNCIONES EXPONENCIALES Una función exponencial es aquella en que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 Siendo 𝒂 un real positivo, 𝒂 > 𝟎, y diferente de 1, 𝒂 ≠ 𝟏
- 4. Características Dominio: ℝ Son todos los números reales Recorrido: y > 0; 0, +∞ Son todos los números reales positivos Si 𝒂 es mayor que 1(𝒂 > 𝟏), la función es creciente Si 𝒂 es menor que 1(𝒂 < 𝟏), la función es decreciente La función exponencial es inyectiva
- 5. Ejemplo 1: Graficar la función: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝒙 -2 -1 0 1 2 3 𝒇(𝒙) 1/4 1/2 1 2 4 8 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐: 𝐷(𝑓) = ℝ 𝑹𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐: 𝑅(𝑓) = 0, +∞ 𝑳𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑳𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂
- 6. Ejemplo 2: Graficar la función: g 𝑥 = 1 2 𝑥 𝒙 -2 -1 0 1 2 3 𝒇(𝒙) 4 2 1 1/2 1/4 1/8 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐: 𝐷(𝑓) = ℝ 𝑹𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐: 𝑅(𝑓) = 0, +∞ 𝑳𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑳𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂
- 7. TRASLACIÓN VERTICAL Caso 1: 𝑎 > 1 Si 𝒌 > 𝟎, la función es creciente Se desplaza k unidades hacia arriba Asíntota horizontal 𝒚 = 𝒌 Dominio: ℝ Recorrido: 𝑘, +∞ Si 𝒌 < 𝟎, la función es creciente Se desplaza k unidades hacia abajo Asíntota horizontal 𝒚 = −𝒌 Dominio: ℝ Recorrido: −𝑘, +∞ 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 ± 𝒌
- 8. TRASLACIÓN VERTICAL Caso 2: (0 < 𝑎 < 1) Si 𝒌 > 𝟎, la función es decreciente Se desplaza k unidades hacia arriba Asíntota horizontal 𝒚 = 𝒌 Dominio: ℝ Recorrido: 𝑘, +∞ Si 𝒌 < 𝟎, la función es decreciente Se desplaza k unidades hacia abajo Asíntota horizontal 𝒚 = −𝒌 Dominio: ℝ Recorrido: −𝑘, +∞ 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 ± 𝒌
- 10. LOGARÍTMOS Sean dos números reales 𝐚 e 𝐲, siendo 𝒂 ≠ 𝟏. Se llama logaritmo de un número ℝ + en base 𝐚 de 𝐲 al elemento al que hay que elevar el número 𝐚 para que dé como resultado el número 𝐲. 𝒂𝒙 = 𝒚 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚 Donde cualquier número positivo diferente de 1 se puede elegir como base
- 11. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma: 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙) Siendo 𝒂 un real positivo, 𝒂 > 𝟎, y diferente de 1, 𝒂 ≠ 𝟏
- 12. Características Dominio: y > 0; 0, +∞ , es decir todos los números reales positivos Recorrido: ℝ Intersección con el eje x: (1,0) El eje y es una asíntota horizontal Si 𝒂 es mayor que 1(𝒂 > 𝟏), la función es creciente Si 𝒂 es menor que 1(𝒂 < 𝟏), la función es decreciente
- 13. Ejemplo 1: Graficar la función: 𝑓 𝑥 = log2 𝑥 𝒙 1/4 1/2 1 2 4 8 𝒇(𝒙) -2 -1 0 1 2 3 𝑹𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐: 𝐷(𝑓) = ℝ 𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐: 𝑅(𝑓) = 0, +∞ 𝑳𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑳𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂
- 14. La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial
- 15. TRASLACIÓN VERTICAL Si 𝒌 > 𝟎, Se desplaza k unidades hacia arriba 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙) + 𝒌 Si 𝒌 < 𝟎, Se desplaza k unidades hacia abajo 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙) − 𝒌 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙) ± 𝒌
- 16. TRASLACIÓN HORIZONTAL Es creciente Si 𝒌 > 𝟎, Se desplaza k unidades hacia la izquierda 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 + 𝟐) Es creciente Si 𝒌 < 𝟎, Se desplaza k unidades hacia la derecha 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 − 𝟐) 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 ± 𝒌) Caso 1: 𝑎 > 1
- 17. TRASLACIÓN HORIZONTAL Es decreciente Si 𝒌 > 𝟎, Se desplaza k unidades hacia la izquierda 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 + 𝟐) Es decreciente Si 𝒌 < 𝟎, Se desplaza k unidades hacia la derecha 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 − 𝟐) 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 ± 𝒌) Caso 2: (0 < 𝑎 < 1)
- 18. ECUACIONES EXPONENCIALES Son de la forma Donde: 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son expresiones algebraicas en 𝑥 1. Reducción a una base común: Si las dos potencias tienen la misma base entonces sus exponentes son iguales (unicidad de potencias) 𝒂𝑷 𝒙 = 𝒂𝑸 𝒙 ; 𝒂 ∈ ℝ + − 𝟏 Se llama ecuación exponencial a la igualdad en la que la variable se encuentra como exponente de cualquiera de las potencias, con base constante 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ + − 1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES 𝒂𝑷 𝒙 = 𝒂𝑸 𝒙 ↔ 𝑷 𝒙 = 𝑸(𝒙) 𝒂𝒙 = 𝒂𝒚 ↔ 𝒙 = 𝒚
- 19. Propiedades de los exponentes El producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes. 𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 , 𝒂 ∈ ℝ La potencia de otra potencia es igual a la base elevada a todos los exponentes multiplicados. 𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎∙𝒏, 𝒂, 𝒏, 𝒎 ∈ ℝ Cualquier número diferente a cero elevado al exponente 0 es igual a 1. 𝒂𝟎 = 𝟏, 𝒂 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎 0 elevado a cualquier potencia, menos 0, es igual a 0. 𝟎𝟎 = 𝟎, 𝒂 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎
- 20. Ecuaciones Exponenciales directas 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟐𝟓𝟔 2𝑥+1 = 28 𝑥 + 1 = 8 𝑥 = 8 − 1 𝒙 = 𝟕 𝒂𝒙 = 𝒂𝒚 ↔ 𝒙 = 𝒚 𝟒𝒙+𝟏 − 𝟖 = 𝟎 4𝑥+1 = 8 4𝑥+1 = 23 (22)𝑥+1 = 23 22𝑥+2 = 23 22𝑥+2 = 𝟐3 2𝑥 + 2 = 3 2𝑥 = 3 − 2 2𝑥 = 1 𝒙 = 𝟏 𝟐
- 21. 𝟐𝒙−𝟏 𝟑𝒙−𝟑 = 𝟐𝟕 3 𝑥−3 2𝑥−1 = 3 3 2 𝑥 − 3 2𝑥 − 1 = 3 2 2 𝑥 − 3 = 3(2𝑥 − 1) 2𝑥 − 6 = 6𝑥 − 3 2𝑥 − 6𝑥 = 6 − 3 −4𝑥 = 3 4𝑥 = −3 𝒙 = − 𝟑 𝟒 𝒂 𝒎 𝒏 = 𝒏 𝒂𝒎; 𝒏 ∈ ℕ, 𝒏 ≠ 𝟏, 𝒂 > 𝟎
- 22. 𝟗 ∙ 𝟑𝒙+𝟏 = 𝟐𝟒𝟑 32 ∙ 3𝑥+1 = 243 32+(𝑥+1) = 35 33+𝑥 = 35 3 + 𝑥 = 5 𝑥 = 5 − 3 𝒙 = 𝟐 𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏= 𝒂𝒎+𝒏, 𝒂 ∈ ℝ
- 23. 𝟐 ∙ 𝟓𝒙+𝟏 = 𝟐𝟓𝟎 5𝑥+1 = 250 2 5𝑥+1 = 125 5𝑥+1 = 53 𝑥 + 1 = 3 𝑥 = 3 − 1 𝒙 = 𝟐
- 24. 2𝑥+1+2𝑥 + 2𝑥−1 = 28 2𝑥+1+𝑥+𝑥−1 = 28 23𝑥 = 28 2𝑥+1 + 2𝑥 + 2𝑥 21 = 28 2𝑥 ∙ 2 + 2𝑥 + 2𝑥 ∙ 1 2 = 28 2𝑥 2 + 1 + 1 2 = 28 2𝑥 7 2 = 28 2𝑥 = 28 2 7 2𝑥 = 8 2𝑥 = 23 𝑥 = 3
- 25. 𝟐𝟐𝒙+𝟏 − 𝟑 ∙ 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 22𝑥 ∙ 2 − 3 ∙ 2𝑥 + 1 = 0 (22𝑥 ∙ 2) − (3 ∙ 2𝑥 ) + 1 = 0 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠: 22𝑥 = 𝑦2; 2𝑥 = 𝑦 2𝑦2 − 3𝑦 + 1 = 0 2𝑦 − 1 𝑦 − 1 = 0 𝑦1 = 1 2 ; 𝑦2 = 1 2𝑥 = 1 2 ; 2𝑥 = 1 2𝑥 = 2−1; 2𝑥 = 20 𝒙 = −𝟏; 𝒙 = 𝟎
- 26. 𝑎 6 𝑥 ∙ 4 𝑎𝑥∙𝑥 = 3 𝑎−𝑥 ∙ 6 𝑎11𝑥+3 𝑎 3 𝑥+ 𝑥2 4 = 𝑎 −𝑥 3 + 11𝑥−3 6 𝑎 6/𝑥 2 ∙ 𝑎 𝑥2 4 = 𝑎−𝑥 3 ∙ 𝑎 11𝑥+3 6 3 𝑥 + 𝑥2 4 = −𝑥 3 + 11𝑥 − 3 6 12 + 𝑥3 4𝑥 = −2𝑥 + 11𝑥 − 3 6 12 + 𝑥3 4𝑥 = 9𝑥 − 3 6 12 + 𝑥3 4𝑥 = 3(3𝑥 − 1) 6 12 + 𝑥3 4𝑥 = 3𝑥 − 1 2 2(12 + 𝑥3) = 4𝑥 3𝑥 − 1 24 + 2𝑥3 = 12𝑥2 − 4𝑥 2𝑥3 − 12𝑥2 + 4𝑥 + 24 = 0 𝑥 − 2 𝑥2 − 4𝑥 − 6 = 0 𝑥 = 2; 𝑥 = 2 − 10; 𝑥 = 2 + 10
- 28. DEFINICIÓN DE LOGARITMO FORMA EXPONENCIAL FORMA LOGARÍTMICA 𝑎𝑥 = 𝑏 log𝑎 𝑏 = 0 42 = 16 log4 16 = 2 53 = 125 log5 125 = 3 93 = 729 log9 729 = 3 Se llama logaritmo de un número ´´b´´ en una base dada ´´a´´ al exponente ´´x´´ de la potencia a la que se debe elevarse la base para obtener el número ´´b´´ 𝒂𝒙 = 𝒃 ↔ log𝒂 𝒃 = 𝒙 log𝟏𝟎 𝒂 = log 𝒂
- 29. 1. Hallar los logaritmos x = log3 81 3𝑥 = 81 3𝑥 = 33 𝑥 = 3 x = log2 128 2𝑥 = 128 2𝑥 = 27 𝑥 = 7
- 30. 1. Hallar los logaritmos x = log3 243 3𝑥 = 243 3𝑥 = 243 1 2 3𝑥 = (35 ) 1 2 3𝑥 = 3 5 2 𝑥 = 5 2 𝑥 = log 0,01 10𝑥 = 0,01 10𝑥 = 1 100 10𝑥 = 1 102 10𝑥 = 10−2 𝑥 = −2
- 31. loga x = logb x logb a ; (a, b, c) > 0, b ≠ 1 En algunos casos es conveniente cambiar la base de una expresión logarítmica mediante la siguiente relación de igualdad TEOREMA DEL CAMBIO DE BASE Si la base a la que se quiere cambiar es 10, se tiene: loga x = log x log b ; (a, b, c) > 0, b ≠ 1
- 32. 1. Hallar log2 4, en base 10 x = log2 4 log2 4 = log 4 log 2 log2 4 = 0,602 0,301 log2 4 = 2 𝑥 = 2 𝑥 = log2 4 2𝑥 = 4 2𝑥 = 22 𝑥 = 2
- 33. TEOREMAS DE LOS LOGARÍTMOS TEOREMA ENUNCIADO EJEMPLO loga DE LA BASE 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂 = 𝟏 log2 2 = 1 loga DE 1 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏 = 𝟎 log13 1 = 0 loga DE UN PRODUCTO 𝐥𝐨𝐠𝐚(𝐌 ∙ 𝐍)=𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐌+𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐍 log3(2 ∙ 7)=log3 2+log3 7 loga DE UN COCIENTE 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐌 𝐍 =𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐌 − 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐍 log3 9 11 =log3 9 − log3 11 loga DE UNA POTENCIA 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐌𝐤=𝐤 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐌 log2 53=3 ∙ log2 5 loga DE UNA RAIZ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝒏 𝐌𝒔 = 𝒔 𝒏 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐌 log3 13 = 1 2 log3 13
- 34. 1. Hallar log2 4+log2 2, utilizando las propiedades 𝑥 = log2 4+log2 2 x = log2(4 ∙ 12) x = log2(4 8) log2(4 8) = log 48 log 2 log2(4 8) = 1,68 0,30 log2(4 8) = 5,58 𝑥 = 5,58
- 35. 2. Hallar log0,5 2, utilizando las propiedades x = log0,5 2 𝑥 = 1 2 log0,5 2 1 2 log0,5 2 = 1 2 log 2 log 5 1 2 log0,5 2 = 1 2 0,301 0,301 1 2 log0,5 2 = − 1 2 1 𝑥 = − 1 2
- 36. Resolución de ecuaciones logarítmicas 𝐚𝐛 = 𝐱 ↔ log𝐚 𝐱 = 𝐛 log𝐚 𝐌 = log𝐚 𝐍 ↔ 𝐌 = 𝐍 Si los logaritmos de dos números (M y N) en la misma base, son iguales entonces los números han de ser también iguales Definición de un logaritmo Inyectividad de un logaritmo log 20x = log 1000 20x = 1000
- 37. Resolver 2log 𝑥 = log(4𝑥 + 12) log 𝑥2 = log(4𝑥 + 12) 𝑥2 = 4𝑥 + 12 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0 𝑥 − 6 𝑥 + 2 = 0 𝑥 − 6 = 0 ; 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = 6; 𝑥 = −2 𝑥 = 6
- 38. 43𝑥 = 105 log 43𝑥 = log 105 3x ∙ log 4 = log 105 3𝑥 = log 105 log 4 3𝑥 = 2,202119 0,60206 3𝑥 = 3,35712 𝑥 = 3,35712 3 𝑥 = 1,11904 𝑥 = 1,12
- 39. 62𝑥−1 = 70 log 62𝑥−1 = log 70 (2x − 1) ∙ log 6 = log 70 2𝑥 − 1 = log 70 log 6 2𝑥 − 1 = 1,84509 0,77815 2𝑥 − 1 = 2,37112 2𝑥 = 2,37112 + 1 𝑥 = 3,37112 2 𝑥 = 1,68556 𝑥 = 1,68
- 40. 52𝑥 7 = 20,60 52𝑥 = 20,60 ∙ 7 52𝑥 = 144,2 log 52𝑥 = log 144,2 2x ∙ log 5 = log 144,2 2𝑥 = log 144,2 log 5 2𝑥 = 2,15896 0,69897 2𝑥 = 3, 08877 𝑥 = 3,08877 2 𝑥 = 1,54439 𝑥 = 1,54
- 41. 𝑥 = 3 2 log 𝑥 = log 3 2 log 𝑥 = 2 log 3 log 𝑥 = 2 ∙ 0,48 log 𝑥 = 0,69 100,69 = 𝑥 𝑥 = 4,68