Geo estadistica2

GGEEOOEESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA
AAPPLLIICCAADDAA
MARTÍN A. DÍAZ VIERA
Instituto de Geofísica, UNAM
Instituto de Geofísica y Astronomía, CITMA, Cuba
e-mail: mdiaz@tonatiuh.igeofcu.unam.mx
2002

ÍNDICE
Págs.
Capítulos
1 INTRODUCCIÓN 1
1.1 Origen, definición y objeto de estudio 1
1.2 Etapas del análisis geoestadístico 1
1.3 La Geoestadística, su posición y su relación con respecto a otras ramas de la
estadística.
2
1.4 Campos de aplicación 2
2 CONCEPTOS BÁSICOS 3
2.1 Variables Regionalizadas 3
2.2 Función Aleatoria 3
2.3 Función de distribución y momentos de una función aleatoria 4
2.4 Funciones aleatorias estacionarias 5
2.5 Funciones aleatorias intrínsecas 6
2.6 Funciones aleatorias no estacionarias 7
3 ANÁLISIS ESTRUCTURAL 9
3.1 El Semivariograma. Definición 9
3.2 Estimadores del semivariograma 9
3.3 Consideraciones prácticas para el cómputo del semivariograma muestral 12
3.4 Formas generales del semivariograma muestral 13
3.5 Condiciones que deben cumplir los modelos del semivariograma 15
3.6 Modelos autorizados para el semivariograma 17
3.6.1 Modelos transitivos o acotados 17
3.6.2 Modelos no acotados 21
3.7 Semivariogramas Anisotrópicos 25
3.8 Modelación del variograma experimental 26
3.8.1 Métodos de ajuste 26
3.8.2 Criterios de Selección de los Modelos 27
3.9 Validación del modelo del semivariograma 28
4 KRIGING 31
4.1 El mejor estimador lineal insesgado 31
4.2 Planteamiento del problema general 31
4.3 Ecuaciones del Kriging ordinario 33
4.4 Ecuaciones del Kriging ordinario en forma matricial 35
4.5 Clasificación de los diferentes tipos de Kriging 37
4.6 Ejemplos de Kriging lineal más usuales 38
4.6.1 Kriging lineal con valores esperados conocidos: Kriging Simple 38
4.6.2 Kriging lineal con valor esperado estacionario pero desconocido: Kriging Ordinario 39
4.6.3 Kriging lineal en presencia de tendencia : Kriging Universal 40
4.7 Kriging por Bloques 41
4.8 Kriging en presencia de no estacionaridad 42
4.8.1 Modos habituales de manejar la no estacionaridad 43
4.8.2 Aspectos prácticos del Kriging Universal 43
4.8.3 El modelo de las Funciones Aleatorias Intrínsecas de orden k 46
ii

4.8.4 Kriging con mediana suavizada 47
4.8.5 Kriging Residual 49
4.9 Kriging Indicador 51
4.9.1 La Función Indicador 52
4.9.2 Variograma Indicador 54
4.9.3 Estimación de la función de distribución de probabilidad acumulativa 55
4.10 Kriging logarítmico 57
5 GEOSTADISTICA MULTIVARIADA 59
5.1 Introducción 59
5.2 Definiciones de los momentos cruzados de segundo orden 59
5.3 Propiedades de los momentos cruzados de segundo orden 60
5.4 Cokriging en el caso estacionario 60
5.5 Cokriging en el caso de funciones aleatorias intrínsecas 63
5.6 Cokriging en el caso no estacionario 64
5.7 Estimación de los momentos cruzados de segundo orden 65
5.8 Modelación de los momentos cruzados de segundo orden 66
5.9 Modelo de corregionalización lineal 68
5.10 Análisis estructural multivariado 69
5.11 Validación del modelo de semivariograma cruzado 71
5.12 Ejemplos de Aplicaciones del Cokriging 71
5.12.1 El caso de dos variables correlacionadas 71
5.12.2 Estimación de combinaciones lineales de variables 73
5.12.3 El problema de variables pobremente muestreadas 75
5.13 Modelo de correlación intrínseco 76
5.14 Análisis de Componentes Principales basado en el Modelo Lineal de
Corregionalización
79
5.15 Dificultades y Aspectos Prácticos del Cokriging 80
5.16 Algunos métodos alternativos al Cokriging 80
5.16.1 Kriging combinado con Regresión Lineal 80
5.16.2 Kriging con una Deriva Externa 81
5.17 Kriging Factorial 82
5.18 Esquema General del Análisis de Corregionalización 85
5.19 Manejo de procesos espacio-temporales 86
6 SIMULACIÓN CONDICIONAL 88
6.1 Introducción 88
6.2 Objetivos de la simulación 89
6.3 Condicionamiento 90
6.4 ¿ Simulación o estimación ? 91
6.5 La teoría de la simulación condicional 92
6.6 Métodos de simulación de funciones aleatorias más conocidos 94
6.7 Métodos del tipo Gaussiano 95
6.8 Método matricial 96
6.9 Método espectral 98
6.10 Método de bandas rotantes 101
6.11 Métodos secuenciales 103
6.12 Métodos del tipo Recocido Simulado 104
Anexos
A CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA 106
A.1 Estadística univariada 106
iii

A.2 Estadística multivariada 116
A.3 Regresión lineal y mínimos cuadrados 122
B GLOSARIO DE TÉRMINOS GEOESTADÍSTICOS 124
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 130
iv

Martín A. Díaz Viera
CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN
1.1 Origen, definición y objeto de estudio
En los años 60, Matheron acuñó el término de Geoestadística. Reconocido como el padre de
esta disciplina, Matheron formalizó y generalizó matemáticamente un conjunto de técnicas
desarrolladas por D. G. Krige (1941) que explotaban la correlación espacial para hacer
predicciones en la evaluación de reservas de las minas de oro en Sudáfrica. Él definió a la
Geoestadística como "la aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al
reconocimiento y estimación de fenómenos naturales" (Matheron, 1962). Si bien más adelante
nos detendremos en el concepto de una función aleatoria, baste decir de momento que puede
visualizarse como la asociación de una variable aleatoria a cada punto del espacio.
La geoestadística es una rama de la estadística aplicada que se especializa en el análisis y la
modelación de la variabilidad espacial en ciencias de la tierra. Su objeto de estudio es el
análisis y la predicción de fenómenos en espacio y/o tiempo, tales como: ley de metales,
porosidades, concentraciones de un contaminante, etc. Aunque el prefijo geo- es
usualmente asociado con geología, sin embargo la geoestadística tiene sus orígenes en la
minería.
1.2 Etapas del análisis geoestadístico
Actualmente, la geoestadística es un conjunto de técnicas usadas para analizar y predecir
valores de una propiedad distribuida en espacio o tiempo. En contraposición con la
estadística clásica o convencional, tales valores no se consideran independientes, por el
contrario se suponen de manera implícita que están correlacionados unos con otros, es decir
que existe una dependencia espacial. Intuitivamente esto indica que mientras más cercanos
estén situados dos puntos están mas correlacionados y mientras más separados hay menos
relación entre estos.
El proceso de estimación y modelación de la función que describe la correlación espacial es
conocido como “análisis estructural”. Una vez realizado el análisis estructural, la
1

predicción de valores en puntos no muestrales se puede hacer aplicando la técnica de
interpolación "kriging" o simulándolos a través de “simulaciones condicionales”.
En resumen, a grosso modo un análisis geoestadístico está compuesto por tres etapas: (a) el
análisis exploratorio de los datos, (b) el análisis estructural y (c) las predicciones (kriging o
simulaciones)
La primera etapa, conocida como análisis exploratorio de datos, está basada en técnicas
estadísticas convencionales que nos permiten obtener todo un conjunto de información,
desconocida a priori sobre la muestra bajo estudio, que es imprescindible para realizar
“correctamente” cualquier análisis estadístico y en particular un análisis geoestadístico.
1.3 La Geoestadística, su posición y su relación con respecto a otras ramas de la
estadística.
Muchos de las ideas de las geoestadística han sido inspiradas en su hermana menor: las series
cronológicas o series de tiempo. Se puede advertir que los objetivos del Análisis de Series de
Tiempo son similares a los de la Geoestadística. Mientras que el Análisis de Series
Temporales está orientado al estudio de procesos unidimensionales con datos muestrales
uniformemente distribuidos, la Geoestadística se ocupa del estudio de fenómenos con datos
distribuidos de forma arbitraria en el espacio y tiempo, por lo que la metodología de ésta
última tiene un carácter mucho más general.
En un marco más amplio, la geoestadística es una disciplina que pertenece a la estadística
espacial.
1.4 Campos de aplicación
La geoestadística ha sido ampliamente aplicada en diversas ramas de las ciencias aplicadas
y en las ingenierías, entre otras tenemos: petróleo, minería, pesca, geofísica marina,
hidrogeología, medio ambiente, estudios forestales, salud pública, ingeniería civil,
procesamiento de imágenes, cartografía, finanzas, ciencias de materiales, meteorología,
edafología, etc.
2

CAPITULO 2: CONCEPTOS BÁSICOS
2.1 Variables Regionalizadas
La Geoestadística es la aplicación de la Teoría de las Variables Regionalizadas a la
estimación de procesos o fenómenos geológicos en el espacio (Matheron 1962).
Se nombra como variable regionalizada ( )z x a la variable distribuida en el espacio de
manera tal que presenta una estructura espacial de correlación.
Una definición más rigurosa matemáticamente equivalente consistiría en decir que una
variable regionalizada es una variable aleatoria definida en un punto del espacioz x .
Donde en el caso más general x es un punto en el espacio tridimensional, es decir
( )1 2 3, ,x x x x= .
2.2 Función Aleatoria
Si a cada punto x que pertenece a un dominio en el espacio le hacemos corresponder una
variable aleatoria ( )z x , que en sentido general pueden ser dependientes, entonces el
conjunto de variables aleatorias espacialmente distribuidas ( ){ será una función
aleatoria
},z x x∈Ω
( )Z x .
Al tomar una muestra de una función aleatoria ( )Z x , a la que llamaremos realización, se
obtendrá una función espacial discreta ( ){ , , 1,...,i iZ Z x x i n′ = ∈Ω = } la cual constituye una
variable regionalizada. Es decir una realización de una función aleatoria ( )Z x es una
variable regionalizada .Z′
En lo sucesivo no haremos distinción entre la función aleatoria y su realización.
3

2.3 Función de distribución y momentos de una función aleatoria
Sea ( )Z x una función aleatoria definida en , entonces el vector aleatorio3
( ) ( ) ( ){ 1 2, ,..., nZ x Z x Z x } se caracteriza por su función de distribución de probabilidad n-
variada:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2, ,...,
, ,..., Pr , ,...,n nn nZ x Z x Z x
F z z z Z x z Z x z Z x= ≤ ≤ ≤  z (2.1)
El conjunto de todas las distribuciones para todo valor de n y para cualquier selección de
puntos en constituye la ley espacial de probabilidad de la función aleatoria3
( )xZ . Esta
función en la práctica es imposible de determinar y sólo se puede esperar inferir los
primeros momentos de la distribución de ( )Z x . En las aplicaciones en geoestadística
lineal resulta suficiente estimar los momentos hasta de segundo orden, no obstante en la
mayoría de los casos la información disponible no permite inferir momentos de orden
superior.
Momentos de la distribución de ( )Z x
- El momento de primer orden de ( )Z x es la esperanza matemática definida como:
( ) ( )m x E Z x=   (2.2)
- Los momentos de segundo orden considerados en geoestadística son:
i) La varianza de ( )Z x
( ) ( ) ( ) ( ){
22
x Var Z x E Z x m xσ = = −   
} 

(2.3)
ii) La covarianza de dos variables aleatorias ( iZ x ) y ( jZ x ) definida como:
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){,i j i i j jC x x E Z x m x Z x m x= − −
 }

(2.4)
4

Esta función es también conocida como función de autocovarianza.
iii) El semivariograma ( ,i jx x )γ que se define como:
( ) ( ) ( )2 ,i j i jx x Var Z x Z xγ = −

 (2.5)
( ) ( ) ( ){
21
,
2
i j i jx x E Z x Z xγ = −
 
} 

(2.6)
También conocido como función de semivarianza. Además el variograma es ( ),i jx xγ2
pero con frecuencia se usa el término indistintamente para designar a ( ),i jx xγ .
Se debe notar que tanto la varianza como el variograma son siempre positivos, mientras que
la covarianza puede tomar valores negativos.
2.4 Funciones aleatorias estacionarias
Se dice que una función aleatoria es estrictamente estacionaria si su función de
distribución Ec.(2.1) es invariante a cualquier traslación respecto a un vector h o lo que es
equivalente, la función de distribución del vector aleatorio ( ) ( ) ( )1 2, ,..., nZ x Z x Z x{ }es
idéntica a la del vector ( ) ( ) (1 2, ,..., nZ x h Z x h Z x h+ + + ){ } para cualquier h .
Puesto que, como se planteó anteriormente, usualmente se trabaja sólo con los momentos
hasta de segundo orden resulta práctico limitar la hipótesis de estacionaridad a estos
primeros momentos.
Se dice que una función aleatoria es estacionaria de segundo orden si se cumple que:
5

i) su valor esperado existe y no depende de x ,
( ) ;E Z x m x= ∀   (2.7)
ii) para cualquier par de variables aleatorias ( )Z x y (Z x h+ ), su covarianza existe y sólo
depende del vector de separación h ,
( ) ( ) ( ) ( ) 2
,C h C x h x E Z x h Z x m≡ + = + −  (2.8)
La estacionaridad de la varianza implica que la varianza existe, es finita y no depende de
x , es decir
( ) ( )2
0C Var Z xσ = =   (2.9)
Así mismo bajo esta hipótesis el semivariograma también es estacionario y se cumple que:
( ) ( ) ( ) ( ){
21
,
2
h x h x E Z x h Z xγ γ ≡ + = + −

} 

(2.10)
Además existe una relación directa entre el semivariograma y la función de covarianza
( ) ( ) ( )0h C C hγ = − (2.11)
En este caso resulta suficiente usar una de las dos funciones para caracterizar la
dependencia espacial.
2.5 Funciones aleatorias intrínsecas
Existen funciones aleatorias ( )Z x que representan a fenómenos físicos que muestran una
capacidad casi ilimitada de variación, por lo que para estas funciones no están definidas la
varianza ni la covarianza. Sin embargo existen casos en que sus incrementos o diferencias
( ) ( )Z x h Z x+ − tienen una varianza finita. En otras palabras, esto quiere decir que las
diferencias son estacionarias de segundo orden.
Por lo tanto las funciones aleatorias intrínsecas son aquellas que cumplen las siguientes
condiciones:
i) El valor esperado de las diferencias es
6

( ) ( ) 0E Z x h Z x+ − =  (2.12)
ii) La varianza de las diferencias es
( ) ( ) ( )2Var Z x h Z x hγ+ − =   (2.13)
Estas condiciones se conocen como Hipótesis Intrínseca.
Es evidente que una función aleatoria estacionaria de segundo orden es siempre intrínseca.
Lo contrario no se cumple. A las funciones que cumplen con la hipótesis intrínseca se les
considera como débilmente estacionarias.
2.6 Funciones aleatorias no estacionarias
Las funciones aleatorias no estacionarias son aquellas cuya esperanza matemática depende
de x :
( ) ( )E Z x m x=   (2.14)
A ( )m x se le conoce como función de deriva o tendencia.
Si consideramos a la función aleatoria ( )Z x como la suma de una componente
determinística ( )m x y de un residuo ( )R x estacionario con media nula, es decir:
( ) ( ) ( )Z x m x R x= + (2.15)
Entonces vemos que el semivariograma de ( )Z x depende de x
( ) ( ) ( ) ( ){
21
,
2
Rx h x h m x h m xγ γ+ = + + − } (2.16)
7

En el caso en que la deriva sea lineal ( ) 10m x m m x= + ⋅ el semivariograma no depende de
x
( ) ( ) ( )
2
1
1
2
Rh h mγ γ= + ⋅h (2.17)
pero crece con el cuadrado de h , lo cual puede servir de indicador para la detección de la
existencia de tendencia.
Existe un enfoque que considera a las funciones aleatorias no estacionarias como
intrínsecas de orden k. Esto quiere decir que si se toman las diferencias de un orden k
apropiado éstas resultan ser estacionarias.
Fig. : Ejemplo de semivariograma en presencia de tendencia muestra un crecimiento en
la dirección de 45° con intervalo 4 km .
2
h
8

CAPITULO 3: ANÁLISIS ESTRUCTURAL
El análisis estructural es uno de los tópicos mas importantes de la geoestadística puesto
que se encarga de la caracterización de la estructura espacial de una propiedad o
fenómenoregionalizado. Es el proceso en el marco del cual se obtiene un modelo
geoestadístico para la función aleatoria que se estudia.
En pocas palabras podemos decir que el análisis estructural consiste en estimar y
modelar una función que refleje la correlación espacial de la variable regionalizada a
partir de la adopción razonada de la hipótesis más adecuada acerca de su variabilidad. Esto
quiere decir, que en dependencia de las características de estacionaridad del fenómeno se
modelará la función de covarianzas o la de semivarianzas.
Por su importancia y generalidad estudiaremos el proceso de estimación y modelación de la
función de semivarianzas o semivariograma.
3.1 El Semivariograma. Definición.
El semivariograma, conocido tambien como variograma, es la herramienta central de
la geoestadística. Dada una variable regionalizada ( )Z x que cumpla la Hipótesis
Intrínseca entonces existe la función semivarianza y se define como sigue:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){
2
1 1
2 2h Var Z x Z x h E Z x Z x hγ = − + = − +   
} 

(3.1)
El semivariograma es una función que relaciona la semivarianza con el vector h
conocido como "lag", el cual denota la separación en distancia y dirección de cualquier
par de valores ( )Z x y ( )Z x h+ .
9

3.2 Estimadores del semivariograma.
La forma de estimación mas común del semivariograma viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1
2
1
N h
iN h
i
h Z x h Zγ
=
= + −∑ ix  (3.2)
donde ( )N h es el número de pares ( iZ x ) y ( iZ x h+ ) separados a una distancia h h= .
Debido a que ( )hγ es esencialmente una media muestral, tiene todas las desventajas
comúnmente asociadas a este tipo de estimador como es la no robustez.
Sus características son las siguientes:
- Es un estimador no paramétrico.
- Es óptimo cuando se dispone de una malla regular de muestreo que sea representativa y
la distribución sea normal. En estas condiciones el sesgo es el mínimo posible.
En la práctica a menudo el empleo de este estimador produce variogramas
experimentales erráticos, lo cuál se debe a desviaciones del caso ideal para la
aplicación del mismo.
Estas desviaciones pueden ser enumeradas por su importancia en el orden siguiente:
- Desviaciones en la distribución.
( )Z x y (Z x h+ ) no pueden ser representadas apropiadamente por una distribución
binormal. Con frecuencia ( )Z x es sesgada y con grandes colas.
- Heterocedasticidad.
10

Se dice que los datos son heterocedásticos, si el diagrama del valor medio contra la
desviación estándar σ , calculadas en vecindades móviles, muestra que la dispersión de
los valores (medidos por σ ) está relacionada con su magnitud (medida por ). Por la
tanto, por ser el semivariograma una medida de la dispersión, su magnitud está ligada a
la magnitud de los valores de los datos. Cuando se da este tipo de fenómeno, se dice
que existe un efecto proporcional.
m
m
- Desviaciones en el muestreo.
Las observaciones ( ), 1,...,iZ x i n={ de la función aleatoria} ( )Z x no están distribuidas
espacialmente en forma aleatoria. Consecuentemente se produce un sesgo en el muestreo
es decir en la elección de las localizaciones de las observaciones, tendientes a estar
agrupadas en áreas de altos o bajos valores. Estas desviaciones pueden ser detectadas
mediante un gráfico del número de muestras contra el valor medio para
vecindades móviles de un tamaño determinado.
n m
- Existencia de valores atípicos (outliers).
Normalmente las observaciones son correctas, pero a veces suelen aparecer
observaciones discordantes que pueden ser debidas a errores humanos y/o mal
funcionamiento de los instrumentos de medición. Si es posible constatar que un valor
de estos es erróneo, lo mejor es eliminarlo, aunque esto no siempre es factible. De ahí
que la eliminación de estas observaciones puedan causar una subestimación del
potencial de un área.
Estimadores alternativos del variograma.
- El estimador de Cressie y Hawkins
11

Este estimador constituye una alternativa robusta al estimador tradicional y se define
como:
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( ) 4
11 2*
1
1 1
0.457 0.494
2
N h
i i
i
h N h Z x h Z
N h
γ
−
=
 
= + + − 
 
∑ x (3.3)
Aunque el estimador de Cressie y Hawkins se considera óptimo en condiciones de
normalidad, no obstante, automáticamente infravalora los datos contaminados,
mientras que en el estimador tradicional los términos cuadráticos exageran la
contaminación.
- Estimadores de ponderación univariados.
En este grupo de estimadores alternativos se incluyen tanto los basados en la función de
distribución acumulativa, como aquellos basados en la función de densidad de
probabilidad.
3.3 Consideraciones prácticas para el cómputo del semivariograma
muestral.
Para el cómputo del semivariograma es necesario tener en cuenta algunas reglas prácticas
que permiten elevar la eficiencia y la calidad de la estimación, independientemente del
tipo de estimador que se utilice.
Estas reglas son las siguientes:
- En la estimación del semivariograma los pares de las observaciones se agrupan
según la distancia dentro de un intervalo h h= con una tolerancia 2h± ∆ y dentro de
una dirección θ con una tolerancia 2θ± ∆ . El semivariograma así estimado es
considerado suavizado o regularizado.
12

- El semivariograma muestral debe ser considerado solamente para pequeñas distancias
por lo que generalmente, se estima para valores de h menores que la mitad de la
distancia máxima ( max 2h d< ).
- La elección del número de intervalos es arbitraria. No obstante se considera que un
número máximo de 25 intervalos es suficiente para cualquier propósito, y un
mínimo de 10 debe ser usado para determinar con precisión el rango y la meseta del
semivariograma.
- El largo de los intervalos debe ser elegido de forma tal que el número de pares en cada
intervalo sea lo suficientemente grande para que el estimado del semivariograma
sea relativamente estable. Se considera que entre 30 y 50 pares satisfacen este
requerimiento.
- Los valores estimados para cada intervalo se deben graficar contra la distancia
promedio de todos los pares que se encuentran dentro de dicho intervalo.
3.4 Formas generales del semivariograma muestral.
En sentido amplio se considera por su forma que hay dos tipos principales de
semivariogramas. En el primer tipo, la semivarianza se incrementa con el
incremento del valor absoluto del intervalo |h| hasta alcanzar un valor máximo a partir
del cuál se mantiene relativamente constante y oscila alrededor del mismo. Estos
semivariogramas son conocidos como de tipo transitivo. El valor del intervalo a partir del
cual el semivariograma no se incrementa es conocido como alcance o rango (radio de
correlación) y marca el límite de la dependencia espacial de la propiedad. La varianza
máxima es conocida como "sill" o meseta del semivariograma y teóricamente debe
coincidir con la varianza a priori σ de la muestra de la función aleatoria2
( )Z x .
13

Una variable con este tipo de semivariograma no sólo cumple la hipótesis intrínseca, sino
también es estacionaria de segundo orden. Esto significa que su valor esperado es
constante
( ) ;E Z x m x= ∀   (3.4)
y la función de covarianza existe y está definida por
( ) ( ) ( )
( ){ } ( ){ }
,C h Cov Z x h Z x
E Z x m Z x h m
= +  
 ≡ − + − 
(3.5)
y el semivariograma está relacionado con las funciones de covarianza y de
autocorrelación como sigue:
( ) ( ) ( )0h C C hγ = − (3.6)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0h C h C h Cρ γ= = − (3.7)
donde ( )2
0Cσ = es la varianza de la muestra, también conocida como varianza a priori,
de la función aleatoria ( )Z x .
El segundo tipo de semivariograma aparenta un incremento sin límites, es decir son no
acotados, por esto no presentan una varianza a priori finita.
Un aspecto del semivariograma que es importante señalar es que por definición ( )0 0γ =
pero en la práctica el semivariograma muestral ( )*
hγ cuando h tiende a cero no
necesariamente se anula.
Esto es conocido como efecto "nugget" o pepita, y el valor del semivariograma en cero
( )0γ es conocido como la varianza "nugget" o microvarianza. En principio esto puede
ocurrir solamente si existen discontinuidades en la función aleatoria. En la práctica su
existencia de debe a la variación espacial que no puede explicar el variograma debido a la
escala del muestreo. Para un material continuamente variable el efecto nugget se
produce a partir de la contribución de los errores de medición y la variación a
distancias mucho menores que el intervalo de muestreo más pequeño.
14

3.5 Condiciones que deben cumplir los modelos del semivariograma
En la selección de una función adecuada para ser ajustada a un semivariograma muestral,
se debe tener en cuenta en la mayoría de las casos hasta tres elementos: un intercepto con
la ordenada, una sección monótonamente creciente y una meseta. Sin embargo, no servirá
cualquier modelo que aparente ajustar a los valores empíricos debido a la siguiente
razón.
Supongamos que ( )Z x es una función aleatoria estacionaria de segundo orden de la cual
obtenemos la variable regionalizada ( ), 1,...,iZ x i n={ , donde su semivariograma y su
función de covarianzas son
}
( )hγ y ( )C h respectivamente.
Sea Y una combinación lineal de ( )iZ x tal que
( )
1
n
ii
i
Y Zλ
=
= ∑ x
n
(3.8)
donde , son pesos arbitrarios., 1,...,i iλ =
La magnitud Y es también una variable regionalizada con varianza:
[ ] (
1 1
,
n n
i ji j
i j
Var Y C x xλ λ
= =
= ∑∑ ) (3.9)
La varianza de Y puede ser positiva o cero, pero no negativa y la función de covarianza
en la parte derecha de la expresión anterior debe asegurar que esta condición sea
satisfecha.
La matriz de covarianzas
15

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
, , ... ,
, , ... ,
... ... ... ...
, , ... ,
n
n
n n n
C x x C x x C x x
C x x C x x C x x
C x x C x x C x x
 
 


 
  n


(3.10)
debe ser definida positiva, es decir, el determinante y todos sus menores principales son
positivos o cero. Aquí las covarianzas están definidas como
( ) ( ) ( ), , ; , 1,..., .i j i jC x x Cov Z x Z x i j n = = 
La función de covarianzas ( )C h si existe debe ser positiva semidefinida por lo que
serán permisibles funciones que cumplan este criterio.
Las propiedades que no tengan covarianzas a priori finitas no tendrán definida la
función de covarianzas. En el caso de que cumplan la hipótesis intrínseca, entonces
estará definido el semivariograma y se cumple que:
[ ] ( ) (
1 1 1 1
0
n n n n
i ji j i j
i j i j
Var Y C x xλ λ λ λ γ
= = = =
= −∑ ∑ ∑∑ ), (3.11)
Si los pesos suman 0, es decir ∑ entonces:iλ
1
0
n
i
i
λ
=
=
[ ] (
1 1
,
n n
i ji j
i j
Var Y x xλ λ γ
= =
= −∑∑ ) (3.12)
Esto implica que ( )hγ− debe ser condicionalmente positiva semidefinida, con la
condición . Esto es equivalente a decir que
1
0
n
i
i
λ
=
=∑ ( )hγ debe ser condicionalmente
negativa semidefinida.
Como consecuencia de esta propiedad, se puede demostrar que el semivariograma debe
tener un ritmo de crecimiento inferior a , es decir se debe cumplir que:2
h
16

2
( )
lim 0
h
h
h
γ
→∞
= (3.13)
Cuando no se satisface esta condición puede ser un indicador de que la función aleatoria no
sea estacionaria.
Por otro lado de la definición de semivariograma se infiere que éste debe anularse en el
origen, es decir γ = .( )0 0
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores son conocidas como modelos
autorizados del semivariograma.
El hecho de probar si una función dada es aceptable o no, está relacionado con el
examen de su Transformada de Fourier. Christakos [1984] obtuvo las condiciones que
el espectro de la función debe reunir para ser un modelo autorizado.
Como una propiedad importante se debe destacar que cualquier combinación lineal de
modelos autorizados es un modelo autorizado.
3.6 Modelos autorizados para el semivariograma
Según la forma del semivariograma se pueden dividir en transitivos y no acotados.
3.6.1 Modelos transitivos o acotados
Este grupo de modelos se deriva a partir de la noción de autocorrelación entre los
valores promedios dentro de los bloques. La idea es que la función aleatoria, de la
cual la propiedad medida es una realización, depende del grado de solapamiento de
los dos bloques, es decir, una zona de transición.
17

Modelo Lineal con Meseta.
En una dimensión los bloques son simplemente líneas. Supongamos que estos son de
longitud a y la distancia entre sus centros es h. Su solapamiento es entonces a−h, el cual,
cuando se expresa como una proporción de a es 1-(h/a), siendo h ≤ a.
La función de autocorrelación es entonces:
( ) 1h hρ = − a (3.14)
y el semivariograma se expresa como
( )
( ) para 0
para
S h a h a
h
S h
γ
≤ ≤
= 
> a
(3.15)
Modelo Circular
En dos dimensiones, los bloques son discos de diámetro a. El área de intersección de
éstos, separados a una distancia h de sus centros es:
2
1 2 2
cos ; para
2 2
a h h
A a h
a
−  
= − − 
 
h a≤ (3.16)
Expresado como una fracción del área del disco obtenemos la función de
autocorrelación
( )
2
12
( ) cos 1
h h hh
aa a
ρ
π
−  
= − −  
  
 (3.17)
y el semivariograma
18

( )
2
12 2
1 cos 1 para 0
( )
para
h h hS h
ah a a
S h
γ π π
−
   
− − − ≤   =    
 >
a
a
≤
(3.18)
gradiente=4S/(πa)
Este modelo no ha encontrado mucha aplicación en las ciencias de la tierra.
Modelo Esférico
Por analogía podemos derivar este modelo considerando el solapamiento de los
volúmenes de dos esferas de diámetro a y h la distancia que separa sus centros. El
volumen de intersección es:
3 3
22
; para
4 3 3
a h
V a h
π
= − + h a≤ (3.19)
Dividiendo por el volumen de la esfera (πa3
/6) se obtiene la función de autocorrelación
3
3 1
( ) 1
2 2
h h
h
a a
ρ
 
= − +  
 
(3.20)
y el semivariograma
3
3 para 0
( ) 2
para
S h h
h a
h a a
S h
γ
      
− ≤     =       

> a
≤
(3.21)
gradiente=3S/(2a)
Debe señalarse que el modelo esférico es apropiado para el caso de tres dimensiones
aunque se puede aplicar para casos de una y dos dimensiones. Lo inverso no se cumple.
El modelo circular sólo es apropiado para una y dos dimensiones. El lineal solamente
para el caso unidimensional. Esto se debe a que solamente en estos casos estos modelos
son funciones condicionalmente negativas semidefinidas.
19

Modelo Exponencial
Si el solapamiento de los bloques varía su tamaño de forma aleatoria, entonces el
semivariograma resulta exponencial. En el caso isotrópico es:
( ) 1 para 0
h
r
h S e hγ
− 
= − ≥ 
 
(3.22)
gradiente = S/r
Se considera como rango efectivo a =3r.
Los procesos autorregresivos de primer orden y de Markov producen modelos
exponenciales.
Modelo Gaussiano
Está dado por la expresión:
2
( ) 1 para 0
h
r
h S e hγ
 
− 
 
 
 = − ≥
 
 
(3.23)
donde r es un parámetro no lineal que determina la escala espacial de la variación,
como en el caso exponencial. El rango efectivo se considera a , que corresponde al
valor 0.95S del variograma.
r= 3
Modelo de efecto agujero
El efecto agujero es indicativo de fenómenos con componentes periódicas. Las expresiones
más comunes de modelos de semivariogramas son:
20

sin( )
( ) 1 para 0
h
h S h
h
γ
 
= − > 
 
(3.24)
Este puede ser usado para representar procesos regularmente continuos y que muestran
un comportamiento periódico, el cual es frecuentemente encontrado, donde existe una
sucesión de zonas ricas y pobres. Es un modelo negativo definido en tres dimensiones.
Otra alternativa es:
(3.25)( )( ) 1 cos( ) para 0h S h hγ = − ≥
Si el efecto agujero es observado muy acentuado en cierta dirección, por ejemplo la
vertical, cuando el fenómeno es una sucesión pseudoperiódica de estratificación
horizontal. Este modelo es negativo definido en una dimensión.
3.6.2 Modelos no acotados
Modelo Potencia
Existen casos en que la varianza aparenta incrementarse indefinidamente. Así
también si se toma cada vez un menor intervalo de muestreo, siempre existe alguna
variación que queda sin resolver. Un punto de partida para entender esta variación es el
movimiento Browniano en una dimensión, en el cual:
( ) ( )Z x Z x h ε− + = (3.26)
es una variable aleatoria gaussiana, espacialmente independiente.
Su semivariograma es:
1
( ) ; para 0 2
2
h hθ
γ = θ< < (3.27)
21

Mandelbrot (1982) llamó al resultado de tales procesos fractales.
Existe una relación entre la dimensión fractal (Hausdorff-Besicovitch) y el parámetro θ
dada por la expresión
(2D θ= − )2 (3.28)
donde podemos ver los siguientes casos extremos
- para θ=2 es una parábola y D=1, no representa un proceso aleatorio, además
(3.29)2
( )h khγ =
no es una función condicionalmente negativa definida.
- para θ=0 representa el caso de ruido puro
Con frecuencia notamos que muchos semivariogramas aparentan ser de varianza nugget
pura. Esto ocurre porque toda la varianza está dentro de un intervalo de muestreo mas
pequeño.
Modelo de efecto pepita puro
Formalmente se puede definir como sigue:
(3.30)(( ) 1 ( )h S hγ δ= − )
Modelo logarítmico (Modelo de Wijsian)
Se define como:
(3.31)( ) log( )h k hγ =
22

Puede ser de utilidad cuando el semivariograma experimental se comporta linealmente si se
usa una escala logarítmica para las distancias.
Combinación de modelos
1.- La combinación lineal de semivariogramas (funciones de autocovarianza) con
coeficientes positivos representa un semivariograma (función de autocovarianza). Si
consideramos la función aleatoria ( )xZ como una combinación lineal de n funciones
aleatorias independientes ( )i xY ,
( ) ( )
1
n
i i
i
Z x Y xλ
=
= ∑ (3.32)
Al sustituir en las definiciones de semivariograma y covarianza obtenemos:
(3.33)( ) ( )2
1
n
i i
i
hγ λ γ
=
= ∑ h
(3.34)( ) ( )2
1
n
i i
i
C h C hλ
=
= ∑
donde γ y son el semivariograma y la función de autocovarianza de la variable( )i h ( )iC h
( )iY x .
2.- El producto de funciones de autocovarianza es también otra función de autocovarianza.
Consideremos a ( )Z x como el producto de n funciones aleatorias independientes ( )i xY , es
decir
( ) ( )
1
n
i
i
Z x Y x
=
= ∏ (3.35)
De la definición de función de autocovarianza se puede deducir que
(3.36)( ) ( )
1
n
i
i
C h C h
=
= ∏
23

y el semivariograma correspondiente será
(3.37)( ) ( ) ( )
1 1
0
n n
i
i i
h C Cγ
= =
= −∏ ∏ i h
h
)δ
h
)δ
A partir de estas dos propiedades se pueden encontrar modelos mas complejos mediante la
combinación de los modelos simples antes estudiados.
De hecho muchos de los modelos anteriores los encontramos usualmente como
combinaciones por ejemplo del tipo
(3.38)( ) ( ) ( )0 1h hγ γ γ= +
donde representa el efecto nugget puro, mientras que γ es
cualquier otro modelo de variograma que expresa la variación espacial.
(0 0( ) 1 ( )h S hγ = − 1( )h
Con frecuencia se encuentra que la combinación está formada por componentes
(semivariogramas) que tienen diferentes rangos, lo cual se conoce estructura anidada.
Los modelos con estructuras anidadas describen variaciones espaciales a diferentes
escalas y que se deben por lo tanto, a factores de naturaleza diferente.
Por ejemplo:
(3.39)( ) ( ) ( ) ( )0 1 2h h hγ γ γ γ= + +
donde
(3.40)(0 0( ) 1 ( )h S hγ = −
3
1
1
1 1 1
1 1
3 ;
( ) 2
;
S h h
h a
h a a
S h
γ
       − ≤     
=       

> a
(3.41)
24

3
2
2
2 2 2
2 2
3 ;
( ) 2
;
S h h
h a
h a a
S h
γ
       − ≤     
=       

> a
)
(3.42)
3.7 Semivariogramas Anisotrópicos
Todos los modelos anteriormente presentados son isotrópicos, es decir, la variabilidad
espacial no depende de la dirección. En la práctica existen numerosas situaciones en que
la variación es anisotrópica, por lo que en cada dirección hay semivariograma
diferente.
Si la anisotropía se puede tener en cuenta mediante una transformación lineal simple
de las coordenadas, entonces se dice que la anisotropía es geométrica o afín.
La transformación se puede expresar mediante la siguiente fórmula:
(
1
2 2 2 2 2
( ) cos ( ) sen ( )A Bθ θ φ θΩ = − + −φ (3.43)
Esta función puede ser aplicada como un factor al argumento h de la función semivarianzas
en el caso de los modelos transitivos o al gradiente en los modelos no acotados.
En la práctica se estudian 4 direcciones, estimando los semivariogramas y
determinando los rangos para los mismos, y luego se construye el gráfico direccional
de los rangos para decidir si hay anisotropía geométrica presente o no.
En presencia de anisotropía geométrica, el gráfico direccional de los rangos forma una
elipse, en la cual el eje menor B es el rango de la dirección de mas rápida variación y A,
el eje mayor, está en la dirección en que la variabilidad es mas lenta. La relación λ=A/B es
una medida de anisotropía.
En caso de anisotropía si se desea diseñar una red óptima de muestreo se debe hacer en
forma rectangular haciendo coincidir los lados con las direcciones de los ejes
25

principales y las longitudes de los mismos deben estar en la proporción λ, donde el lado
menor le correspondería a la dirección del eje B.
Mardia (1980) ha sugerido pruebas de significación formales para la relación de
anisotropía. Estos parecen no haber sido usados en la práctica geoestadística.
3.8 Modelación del variograma experimental
3.8.1 Métodos de ajuste
Algunos geoestadísticos ajustan los modelos de forma visual, pero esta práctica no es
fiable y es preferible usar algún procedimiento estadístico para estos fines. Con
frecuencia es usada la aproximación por Mínimos Cuadrados.
- Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO).
Asume que los residuos están normalmente distribuidos y son independientes y que las
semivarianzas estimadas poseen igual varianza.
- Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG).
Se evitan muchos de los problemas de los MCO, pero requiere de la inversión de grandes
matrices, lo que hace el procedimiento muy complicado.
- Mínimos Cuadrados Ponderados.
Se minimiza la siguiente expresión:
2
1
( ) ( , )
( , )
( )
k
j j
k
j j
h h
W
Var h
γ γ τ
τ γ
γ=
 −=
  
∑  (3.44)
donde
26

τ es el vector de los parámetros del modelo,
Var[γ(hj)] es la varianza del valor estimado del semivariograma en hj.
Desafortunadamente esta varianza es desconocida casi siempre. Con frecuencia se escoge
en su lugar el número de pares de observaciones m(hj) con que se estima la misma,
suponiendo que es inversamente proporcional a la varianza de los estimados.
Cressie (1985) ha demostrado teóricamente que un mejor procedimiento sería
reemplazar Var[γ(hj)] por [γ(hj, τ)]2
/m(hj) dando un peso considerablemente mayor a las
semivarianzas esperadas menores. La diferencia en los resultados de la aplicación de
estos dos tipos de pesos es pequeña y se ha confirmado que cuando se utiliza m(hj) se le
asigna pesos muy pequeños a los estimados de los intervalos hj menores.
Laslett ha sugerido un mejoramiento. Sus pesos están dados por:
3
( ) ( )
( , )
j j
j
m h h
h
γ
γ τ  
(3.45)
y estos son actualizados en cada iteración del proceso cuando γ(hj, ) es reestimada.
Teóricamente esta forma de ponderación debe dar mejor convergencia y en la práctica se
ha encontrado que así es.
τ
3.8.2 Criterios de Selección de los Modelos
Un compromiso entre la bondad de ajuste y la complejidad del modelo puede
ofrecerlo el Criterio de Información de Akaike (AIC), que se define como
(3.46)AIC 2 ln( . ) 2 ( . )máx verosimilitud núm de parámetros= − +
Y se puede estimar usando
( ) ( )
* 2
AIC ln 2 ln 2n n n R
n
π  
= + + +  
  
p+ (3.47)
27

Debido a que la cantidad que se encuentra entre llaves en la expresión anterior Ec.(3.47) es
constante ( )ln 2 2n n n constπ + + =( independientemente del tipo de modelo, entonces
para fines prácticos se calcula:
)
}
)
(3.48)( )ln 2A n R p= +
que es un estimador simplificado del Criterio de Información de Akaike. Donde es el
número de valores estimados { del variograma muestral, es la suma
residual de los cuadrados de las diferencias entre los valores experimentales γ y los
del modelo ajustado , es decir , mientras que es el
número de parámetros del modelo de variograma ajustado γ .
n
( ih
p
( )*
, 1,...,ih i nγ =
1
n
i=
= ∑
R
)*
( )ihγ ( ) ( )(
2*
i iR h hγ γ−
( )h
Se considera que el modelo que presenta el menor AIC es el mejor.
3.9 Validación del modelo del semivariograma
Para validar el modelo obtenido de variograma se puede proceder de varias maneras. Un
método que resulta atractivo por su sencillez y eficiencia es el leave one out que consiste
en sacar un elemento de la muestra y estimar el valor en ese punto usando Kriging con el
modelo de variograma obtenido. De forma análoga se actúa para el resto de los elementos
de la muestra. Como resultado se obtiene un mapa de las diferencias
( ) ( )*
, 1,...,i iZ x Z x i n− = entre el valor real y el estimado.
De forma tal que si el modelo del semivariograma refleja adecuadamente la
estructura espacial implícita en el conjunto de datos, entonces los valores estimados deben
ser cercanos a los valores observados.
Esta "cercanía" puede ser caracterizada según los siguientes estadígrafos:
a) ( ) ( ){ *
1
1 n
i
i
Z x Z x
n =
−∑ }i cercano a 0.
28

b) ( ) ( ){
2*
1
1 n
i
i
Z x Z x
n =
−∑ }i pequeño.
c)
( ) ( )
2*
1
n
i i
i i
Z x Z x
n σ=
 −

  
∑
1
cercano a 1.


d) La correlación muestral de ( )iZ x , (* iZ x ) sea cercana a 1.
e) La correlación muestral de ( iZ x ), ( ) ( ){ }*i iZ x Z x σ− i es cercana a cero.
Siendo:
( iZ x ) - los valores muestrales de la propiedad en xi,
(* iZ x )- los valores estimados de la propiedad en el punto xi,
iσ - es la desviación estándar de la estimación en el punto xi.
Idealmente todos los estadígrafos anteriores deben satisfacerse simultáneamente, pero en la
práctica una mejoría en uno de ellos puede degradar a otro. Por lo que es recomendable hacer un
análisis integral de los estadígrafos de las diferencias.
Mediante el histograma de los errores normalizados se compila una lista con los puntos
que poseen grandes errores. Esto es útil para la identificación de valores atípicos
(outliers), datos sospechosos o anomalías de otra naturaleza.
La eliminación de las localizaciones con elevados errores normalizados y el recálculo del
semivariograma y su modelación puede producir mejorías significativas.
El procedimiento de leave one out es un caso particular del método conocido como
Jacknifing, ya que de disponer de suficientes datos espacialmente distribuidos de forma
homogénea de la función aleatoria ( )Z x , éstos se podrían dividir en dos muestras: ( )1 xZ
y ( )2Z x . La primera se usaría para estimar el variograma, mientras que la segunda serviría
para validarlo. Es decir, se estimarían como en el método anterior los valores empleando
29

kriging con el modelo de variograma obtenido usando la primera muestra ( )1Z x en los
puntos correspondientes a las observaciones que pertenecen a la segunda muestra ( )2Z x y
se evaluarían los estadígrafos de las diferencias ( ) ( )*
2 2iZ x Z x− i de manera análoga.
30

CAPITULO 4: KRIGING.
4.1 El mejor estimador lineal insesgado
El kriging es un término que ha sido acuñado para designar al "mejor estimador lineal
insesgado" de un punto y al mejor promedio lineal móvil ponderado de un bloque.
Este nombre apareció alrededor de 1960 para nombrar una técnica creada en Francia por
Matheron a partir de los trabajos de D. G. Krige quién fue probablemente el primero
que hizo uso de la correlación espacial y del mejor estimador lineal insesgado en el
campo de la evaluación de yacimientos minerales.
El kriging es una técnica de estimación local que ofrece el mejor estimador lineal
insesgado de una característica desconocida que se estudia. La limitación a la clase de
estimadores lineales es bastante natural ya que esto significa que solamente se requiere
el conocimiento del momento de segundo orden de la función aleatoria (la covarianza
o el variograma) y que en general en la práctica es posible inferir a partir de una
realización de la misma.
4.2 Planteamiento del problema general
Sea ( )Z x una función aleatoria, la cual está definida en un soporte puntual y es
estacionaria de segundo orden, con :
- un valor esperado,
( ) ;E Z x m x= ∀   (4.1)
donde es una constante generalmente desconocida,m
31

- una función de covarianza centrada
( ) ( ) ( ) 2
C h E Z x h Z x m= + −  (4.2)
- un variograma
[ ]( ) ( ) 2 (Var Z x h Z x hγ+ − = ) (4.3)
donde al menos uno de estos dos momentos de segundo orden se supone conocido.
Cuando solamente existe el variograma, entonces la función aleatoria ( )Z x se
considera intrínseca.
Los valores experimentales consisten en un conjunto de valores discretos
( ){ , 1,...,iZ x i n= }. Con frecuencia estos valores están definidos en soportes puntuales o
casi puntuales, en otros casos son los valores medios ( )i iVZ x definidos en los soportes
Vi centrados en los puntos ix , donde los soportes pueden ser todos diferentes.n
La estimación del valor medio ( )i iVZ x en el dominio de Vi se define como
( ) ( )1
i i
i
iV V
V
Z x Z x d= ∫ x
Es bueno destacar que bajo la hipótesis de estacionaridad el valor esperado de cada uno de
estos datos es ( ) ,iE Z x m i= ∀   .
El estimador lineal Z considerado es una combinación lineal de n valores de datos tal
que:
k
*
32

( ) (*
1
n
k ii
i
Z x Z xλ
=
= ∑ ),
donde ( )* *
kkZ Z x= .
Los coeficientes son calculados de manera tal que el estimador sea insesgado y que
la varianza de la estimación sea mínima, entonces se dice que el estimador Z es
óptimo.
n iλ
k
*
4.3 Ecuaciones del kriging ordinario
Como ya hemos planteado el estimador kriging se considera óptimo ya que es insesgado
y es el que minimiza la varianza de la estimación. A partir de estos dos criterios
se derivan las ecuaciones del kriging.
- La condición de insesgadez.
Para obtener un valor esperado del error igual a cero resulta suficiente imponer la
condición:
( )*
1
;
n
ik i
i
E Z E Z x mλ
=
 
  =   
 
∑ = (4.4)
donde es el valor esperado de la función aleatoriam ( )Z x .
Esto implica que
( ) *
1
n
ii
i
E Z x E Zλ
=
 =    ∑ k (4.5)
33

entonces
(4.6)
1
n
i
i
m mλ
=
=∑
y finalmente
(4.7)
1
1
n
i
i
λ
=
=∑
- La condición de que la estimación sea de mínima varianza
Para satisfacer esta condición hay que minimizar la siguiente función:
(4.8)2
1
2
n
e
i
F σ µ λ
=

= − −
 
∑ 1i


)*
k


*
k

donde
σ - es la varianza de la estimación,e
2
µ - un multiplicador de Lagrange.
Nótese que la función F a minimizar consta de la varianza de la estimación σ e incluye
la condición que garantiza el no sesgo de la estimación.
e
2
La varianza de la estimación se expresa de la siguiente manera:
(4.9)(
22 *
e k k kVar Z Z E Z Zσ  = − = −  
(4.10)[ ]2 *
2 ,e k k kVar Z Cov Z Z Var Zσ   = − +  
Sustituyendo en esta última fórmula la expresión del estimador Z tenemos:k
*
34

(4.11)[ ]2
1 1
2 , ( ) ( )
n n
e k k i i i
i i
Var Z Cov Z Z x Var Z xσ λ
= =
  
= − +  
  
∑ ∑ iλ



i jZ
desarrollando obtenemos
(4.12)2 2
1 1 1
2k k i
n n n
e Z i Z Z i j Z
i i j
σ σ λσ λ λ σ
= = =
= − +∑ ∑∑
Si hallamos las derivadas parciales de F respecto a los coeficientes desconocidos λi y
con respecto a µ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1
1
2 2 2 0, 1,...,
1 0
k i i j
n
Z Z j Z Z
ji
n
i
i
F
i n
F
∂
σ λ σ µ
∂λ
∂
λ
∂µ
=
=

= − + − = =


 = − =

∑
∑
(4.13)
De una manera más usual se escribe como sigue:
(4.14)
1
1
, 1,...,
1
i j k i
n
j Z Z Z Z
j
n
i
i
i nλ σ µ σ
λ
=
=

− = =


 =

∑
∑
El sistema de ecuaciones así obtenido sirve para el cálculo del Kriging Puntual. Y la
varianza del error de la estimación se puede calcular de una manera más simple si se
sustituye el valor de µ:
(4.15)2 2
1
k k i
n
e Z i Z Z
i
σ σ λσ
=
= − +∑ µ
4.4 Ecuaciones del Kriging ordinario en forma matricial
35

De forma análoga podemos representar el sistema de ecuaciones del Kriging en forma
matricial como sigue:
(4.16)
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
... 1
... 1
... ... ... ... ... ... ...
... 1|
1 1 ... 1 0 1
n k
n k
n n nn n kn
σ σ σ λ σ
σ σ σ λ σ
σ σ σ λ σ
µ
  
  
  
   =
  
  
  −  
  
  
  
  
  
  
    
γ
  
  
  
  
  
  
    
donde i jij Z Zσ σ=
Nótese que bajo la hipótesis intrínseca las covarianzas pueden ser reemplazados por las
semivarianzas, usando la expresión:
(4.17)2
ij ijσ σ γ= −
donde
, es la varianza total o a priori de la muestra.σ 2
0= C( )
Entonces sustituyendo la expresión de la covarianza en función de la semivarianza
obtenemos el sistema del Kriging en función de las semivarianzas:
(4.18)
12 1 1 1
21 2 2 2
1 2
0 ... 1
0 ... 1
... ... ... ... ... ... ...
... 0 1|
1 1 ... 1 0 1
n k
n k
n n n kn
γ γ λ γ
γ γ λ
γ γ λ γ
µ
  
  
  
   =
  
  
    
36

Y la varianza de la estimación se calcula como sigue:
(4.19)2
1
n
e i ki
i
σ λγ
=
= ∑ µ+
Estas últimas expresiones resultan ser la formulación del Kriging más común puesto que se
aplica en el caso cuando la variable regionalizada cumple la hipótesis intrínseca la cual es
una condición menos exigente que la estacionaridad de segundo orden.
4.5 Clasificación de los diferentes tipos de Kriging
I) Según la forma del estimador
- lineales:
Simple
Ordinario
Universal
Residual
- no lineales:
Disyuntivo
Indicador
Probabilístico
II) Según el soporte de la medición de los datos
- puntual
- en bloques
III) Kriging paramétrico y no paramétrico
- paramétrico:
37

Multigaussiano
Disyuntivo
Lognormal
- no paramétrico:
Simple
Ordinario
Universal
Residual
Indicador
Probabilístico
4.6 Ejemplos de Kriging lineal más usuales
Todos los estimadores "kriging" pueden ser interpretados como proyecciones de un
valor desconocido ( )xZ en el conjunto de los posibles estimadores. Mientras mas amplio
sea el conjunto en el cual es hecha la proyección mas cercano estará el estimador
kriging correspondiente del valor desconocido y se necesitarán más requisitos.
4.6.1 Kriging lineal con valores esperados conocidos: Kriging Simple.
Sistema de ecuaciones:
( ) ( )
' '
0
1
00
1
, 1,...,
n
j ij i
j
n
ii
i
i n
m x m x
λ σ σ
λ λ
=
=

= =


 = −

∑
∑
(4.20)
Estimador:
*
0 0
1
( )
n
ii
i
Z λ λ
=
= + ∑ Z x (4.21)
Varianza de la estimación:
38

(4.22)2 '
00 0
1
S
n
K
i
σ σ λσ
=
= − ∑ '
i i
donde
( )( )i E Z x=  i m x es el valor esperado en el punto xi,
'
( ) ( )iij ij m x m xσ σ= − j - covarianza centrada.
Requisitos:
- Conocer valores esperados1n + ( )( ) , 0,...,i im x E Z x i n= ∀ =   de la función aleatoria
( )Z x .
- Conocer la función de covarianzas de la función aleatoriaijσ ( )Z x .
4.6.2 Kriging lineal con valor esperado estacionario pero desconocido: Kriging
Ordinario
(4.23)
0
1
1
, 1,...,
1
n
j ij i
j
n
i
i
i nλ σ µ σ
λ
=
=

− = =


 =

∑
∑
Estimador:
(4.24)*
0
1
( )
n
i i
i
Z Zλ
=
= ∑ x
39

(4.25)2
00 0
1
O
n
K i
i
σ σ λσ
=
= − +∑ i µ
Requisitos:
- Se requiere que el valor esperado ( )( ) , 1,...,i iE Z x m i n= = ∀ =  m x de la función
aleatoria ( )Z x sea constante
- Conocer la función de covarianzas o el semivariograma de la función aleatoriaijσ ijγ
( )Z x .
4.6.3 Kriging lineal en presencia de tendencia : Kriging Universal
( )
( ) ( )
0
1 1
0
1
, 1,...,
, 1,...,
n L
ij ij l l i
j l
n
ii l l
i
x i
x x l L
λ σ µ φ σ
λφ φ
= =
=

− = =


 = =

∑ ∑
∑
n
(4.26)
Estimador:
( )*
0
1
n
ii
i
Z Zλ
=
= ∑ x (4.27)
(2
000 0
1 1
U
n L
K i i l
i l
xσ σ λσ µ φ
= =
= − +∑ ∑ )l (4.28)
Requisitos :
40

- Conocer la forma de la tendencia ( ) ( )m x E Z x=   de la función aleatoria ( )xZ
expresada mediante funciones conocidas ( )l xφ , usualmente polinomios.
- Conocer la función de covarianzas o el semivariograma de la función aleatoriaijσ ijγ
( )Z x sin tendencia, es decir ( ) ( )Z x x−{ }.m
4.7 Kriging por Bloques
Hemos visto hasta el momento estimaciones en un punto, en el caso cuando se desea
conocer el valor promedio sobre una región o bloque, se formulan las ecuaciones del
Kriging de manera análoga al caso puntual.
En el kriging por bloques en lugar de estimar el valor en un punto kx se considera una
región V de área con centro en el puntok kA kx . El estimador tiene la siguiente forma:
( )*
1
k
n
iV i
i
Z Zλ
=
= ∑ x (4.29)
En las ecuaciones del Kriging puntual el vector del miembro derecho las semivarianzas
son reemplazadas por las semivarianzas promedios con respecto al bloque V que se
expresan como:
ijγ
k
,
1
( )k
K
iV i
k V
x x d x
A
γ γ= −∫ (4.30)
Entonces las ecuaciones del Kriging por bloques serán:
41

(4.31)
12 1 1 ,1
21 2 2 ,2
1 2 ,
0 ... 1
0 ... 1
... ... ... ... ... ... ...
... 0 1|
1 1 ... 1 0 1
k
k
k
n V
n V
n n n V n
γ γ λ γ
γ γ λ
γ γ λ γ
µ
  
  
  
   =
  
  
    
γ
  
  
  
  
  
  
    
,k kV
Y la varianza de la estimación se expresa como
(4.32)2
,
1
k k
n
V i V i V
i
σ λγ µ γ
=
= + −∑
donde
2
1
( )K K
K K
V V
k V V
x y d xd y
A
γ γ= −∫ ∫ (4.33)
La estimación por bloques resulta más suave que la estimación puntual.
4.8 Kriging en presencia de no estacionaridad
El mejor predictor sin suponer linealidad es . Para calcularlo es necesario
conocer las distribuciones conjuntas de (n+1) dimensiones lo cual es imposible en la
práctica. Cuando la función aleatoria
[ 1/ ,...,kE Z Z Z ]n
( )Z x es un proceso Gaussiano el mejor predictor es
el estimador lineal. En lo adelante se impondrá que fue hecha una transformación
adecuada que convierte el problema en datos gaussianos ( con posibles outliers
aditivos ), por supuesto, la predicción se necesita en la escala original y al invertir las
transformaciones se deben hacer correcciones para el sesgo y la varianza. Cuando este
tipo de transformación no es obvia han sido propuesto un número de enfoques como son:
- disyuntivo (Matheron 1976)
- multigaussiano (Verly 1983)
42

- indicador (Journel 1983)
- probabilístico (Suliman 1984)
El objetivo fundamental de este capítulo es estudiar como aplicar el kriging en
presencia de no estacionaridad (tendencia).
4.8.1 Modos habituales de manejar la no estacionaridad
Supongamos que exista no estacionaridad en la media
( ) ( )E Z x m x=   , donde ( )m x - es una función espacial y se conoce como tendencia
o deriva.
Han sido propuestas dos vías del kriging en presencia de deriva no constante :
1) Se supone que ( )m x puede ser representado como un polinomio de orden finito .k
2) Se postula que una cierta diferencia de orden finito de la función aleatoriak ( )Z x es
débilmente estacionaria (o intrínseca de orden ).k
El primer método es conocido como Kriging Universal (Matheron 1969), mientras que
el segundo es el de las Funciones Aleatorias Intrínsecas de orden k (Matheron 1973).
4.8.2 Aspectos Prácticos del Kriging Universal
En este método deben ser conocidos a priori el orden del polinomio que mejor describe o
explica la tendencia y la función de semivarianzas o variograma de la función aleatoria
k
γ
( )Z x sin tendencia.
Los supuestos anteriores nos conducen en la práctica a dos problemas :
43

a) el orden k del polinomio nunca es conocido, hay que adivinarlo.
b) El variograma tampoco es conocido y hay que estimarlo a partir de los
residuales (datos −deriva), es decir
γ
( ) ( ) ( )R x Z x m x= − .
Matheron señaló (1971) que tales estimadores son sesgados y que a menos que el
variograma de los residuos sea conocido, digamos que a partir de su estimación en una
dirección donde no se perciba la deriva, el kriging universal tiene serias
dificultades operacionales.
Como ya se ha visto el kriging universal puede ser expresado de manera muy simple. El
problema real es que cuando existe una sola realización de la función aleatoria no
estacionaria ( )Z x resulta imposible estimar el variograma. Lo que uno puede hacer
es intentar eliminar la deriva m(x) y trabajar con los residuos ( ) ( ) ( )R x Z x m x= − los
cuales son estacionarios o al menos intrínsecos. Esto significa que la deriva tiene que ser
estimada a partir de los valores muestrales. Aquí comienzan las dificultades.
Debido a que este estimador tiene que ser no sesgado y de varianza mínima uno obtiene
un conjunto de ecuaciones para calcular los coeficientes de la deriva expresada como un
polinomio. Pero para reducir las ecuaciones que dan este estimador óptimo es necesario
conocer el variograma de la función aleatoria, lo cual es precisamente el último
propósito del estudio. Sin embargo, un estimador no sesgado simple es valido y puede
ser derivado a partir de los métodos de mínimos cuadrados del análisis de superficie de
tendencia.
Nosotros somos ahora capaces de calcular un variograma experimental de los
residuos estimados ( )*
R hγ pero Matheron (1969) ha mostrado que tal variograma difiere
del variograma de los residuales verdaderos ( )R hγ y que el sesgo es una función de
la forma del estimador de ( )m x .
44

Se puede ver que en la estimación del variograma es donde está la clave del problema. No
hay solución directa conocida, uno puede solo hacer un conjunto de suposiciones y
tratar de verificarlos mediante el método de prueba y error, por lo que entonces el
Kriging Universal se transforma en un procedimiento heurístico.
El proceso entero puede ser resumido como sigue :
• Se necesita conocer el variograma ( )hγ de ( )Z x , pero como éste no puede ser
directamente estimado uno trata de estimar el variograma de los residuos ( )R hγ .
• Para esto se requiere seleccionar un tamaño (un radio ) de la vecindad y dentro de
ésta se supone un tipo de deriva
vr
( )m x , en general se toma un polinomio en x de
cierto orden k . Es decir, ( ) ( )*
kp x=m x , donde (kp )x es un polinomio de orden .k
• Los coeficientes del polinomio de la deriva son estimados haciendo una suposición
del tipo del variograma ( )R hγ .
• Con los coeficiente de la deriva podemos obtener los residuos ( iR x ) en los puntos
muestrales ix .
• Entonces se calcula el variograma experimental de los residuos ( )*
R hγ .
• El variograma teórico esperado de los residuos es calculado ( )R hγ .
• El variograma teórico supuesto al inicio ( )R hγ y el experimental resultante de los
residuos ( )*
R hγ son comparados en algún sentido de su bondad de ajuste según la
norma ( ) ( )*
R Rhγ γ− h que se elija .
Si el ajuste es razonable (no existen pruebas aún para la bondad de ajuste) la vecindad
tomada, el tipo de deriva y el variograma supuestos son correctos. En caso contrario, uno
de los parámetros del procedimiento es cambiado y el proceso comienza otra vez. El
45

algoritmo es simple, pero desde el punto de vista práctico puede consumir una gran
cantidad de tiempo y no ofrece ninguna garantía de que exista convergencia.
Otro criterio que permitiría discriminar en qué medida son correctos o no los supuestos del
procedimiento podría ser el empleo del método de validación cruzada (ver sección 3.del
modelo (combinación de variograma y deriva) que se obtiene en cada paso. En este sentido
una elección razonable sería tomar el modelo que arroje el mejor resultado en términos de
los estadígrafos (valor medio y desviación estándar) de los errores ( ) ( )*
i iZ x Z x−
producto de la validación cruzada de los valores estimados (*
iZ x ) con los valores reales
( iZ x )de la muestra.
4.8.3 El modelo de las Funciones Aleatorias Intrínsecas de orden k
El segundo método de kriging en presencia de tendencia es el de las Funciones
Aleatorias Intrínsecas de orden , el cual posee como supuesto un modelo más general
que el primero, pero en la práctica se reduce a adivinar el orden y estimar una
función de covarianzas generalizada a partir de las diferencias de orden .
k
k
k
Su utilidad ha estado limitada debido a :
a) no ha sido posible de forma general estimar la covarianza generalizada de
forma no paramétrica.
b) no es fácil interpretar los parámetros de la covarianza generalizada.
c) el orden k de las diferencias tiene que ser adivinado (se toma usualmente 2).
d) los efectos de frontera conducen a una reducción drástica de aquellos puntos que
pueden ser estimados por este método.
46

4.8.4 Kriging con mediana suavizada
Parte de la siguiente premisa
Valores observados = variación en gran escala + variación en pequeña escala
(deriva) (error)
El enfoque de trabajo propuesto es dejar que la posición espacial de los datos determine la
escala de variación (la deriva es a gran escala). Esto concuerda con el análisis
exploratorio de datos, en que las decisiones sobre el modelo se basan más en lo que se
ve que en lo que pudiera haberse visto.
Se puede ajustar con exactitud una superficie a través de los puntos observados, pero
hay poco poder predictivo en este enfoque. Se quiere extraer la deriva aparente y tratar de
modelar el resto mediante estacionaridad débil.
El enfoque spline es similar, donde se permite que el tamaño de la rejilla determine la
variabilidad a gran escala, conjuntamente con las condiciones adicionales acerca de la
diferenciabilidad y la suavidad de la función.
Para el tipo de aplicaciones en mente, sin embargo, es la variabilidad local la que se
desea modelar, interpretar y en consecuencia explotar con el kriging.
Se toma un enfoque analítico :
datos = ajuste + residuo
Los residuos son tomados como datos originales y se realiza el mismo proceso :
residuos = nuevo ajuste + nuevo residuo
47

y así sucesivamente.
Supongamos que la localización de los datos es un subconjunto de puntos de una malla
finita rectangular L, la cual no tiene que estar obligatoriamente completa. Cuando los datos
están irregularmente distribuidos, cada dato se le asigna el nodo más cercano de una
malla imaginaria superpuesta.
Cressie (1984) sugirió que el ajuste φij en la localización (i,j) sea obtenido mediante la
mediana de los valores observados:
φij = a + ri + cj
Rij = Zij − φij
donde :
ri - efecto fila, cj - efecto columna, Rij - residuos.
med i (Rij ) = med j (Rij ) = 0, med i (ri ) = med j (cj ) = 0.
En la práctica se obtuvo buenos resultados aplicando esta metodología seguida de una
estimación por kriging ordinario. Esto se debió a que la variación a gran escala está
basada en la mediana la cual es resistente a los outliers, y por otro lado debido a que los
residuos tienen media 0, esto hace que el variograma sea menos sesgado. El resultado
final es un estimador kriging robusto y resistente en presencia de no estacionaridad.
En resumen, el kriging con Mediana se ejecuta de la siguiente forma :
Zij = φij + Rij
donde:
φij - es la deriva estimada por la interpolación mediante Mediana suavizada.
Rij - es una variable regionalizada (error de la estimación).
48

4.8.5 Kriging Residual
La hipótesis principal del kriging residual propuesto por Gambolati y Volpi (1978 y 1979)
consiste en considerar conocido el orden de la deriva o tendencia m(x), la cual se estima
usando mínimos cuadrados ordinarios m*
(x), y a partir de ésta se obtienen los residuos R(x)
a los que se le aplica el kriging ordinario.
- Kriging residual directo
El algoritmo se puede resumir en los siguientes pasos:
1. Suponer conocido el orden de la deriva en base a razonamientos físicos.k
2. Ajustar mediante mínimos cuadrados ordinarios la deriva ( )*
km x .
3. Calcular los residuos ( ) ( ) ( )*
kR x Z x m x= − .
4. Estimar y modelar el semivariograma de los residuos ( )R hγ .
5. Aplicar kriging ordinario a los residuos ( )R x usando el semivariograma ( )R hγ .
6. Se obtiene la estimación en un punto no observado como ( ) ( ) ( )* * *
kZ x m x R x= + .
El proceso del kriging residual es internamente inconsistente ya que el método de los
mínimos cuadrados ordinarios supone que los residuos sean espacialmente independientes,
mientras que la existencia del semivariograma lo contradice.
- Kriging residual iterativo
El algoritmo es similar al kriging residual directo y fue propuesto por Neuman y Jacobson
(1984). Su principal diferencia radica en que en su primera parte hace una búsqueda
sistemática del modelo de tendencia que produzca residuos estacionarios, es decir, los
puntos 1 al 4 se ejecutan cíclicamente incrementando el orden del modelo de tendencia
hasta que el variograma de los residuos sea estacionario. Mientras que en su segunda parte
se aplica mínimos cuadrados generalizados usando la matriz de covarianzas de los residuos
( R
C ), en lugar de mínimos cuadrados ordinarios, para la reestimación del modelo de
49

tendencia ( )*
km x con el objetivo de eliminar la inconsistencia de la estimación del método
directo.
Esquema general del algoritmo:
1. Suponer que el orden de la deriva es .1k =
2. Ajustar mediante mínimos cuadrados ordinarios la deriva ( )*
km x .
kR x Z x m x= − .
4. Estimar el semivariograma de los residuos ( )*
R hγ .
5. Comprobar que el variograma estimado sea estacionario. Si lo es ir al paso 6, en
caso contrario incrementar el orden del modelo de tendencia e ir al paso 2.1k k= +
6. Calcular la matriz de covarianzas ( ) ( )2 *
i jR R Rij
C xσ γ= − − x
7. Ajustar mediante mínimos cuadrados generalizados la deriva ( )*
km x .
kR x Z x m x= − .
9. Estimar el semivariograma de los residuos ( )*
R hγ .
10. Comprobar que el variograma estimado ( )*
R hγ y el modelo de deriva ( )*
km x
alcanzan “valores estables”. Si es así pasar al paso 11, en caso contrario ir al paso 6.
11. Modelar el semivariograma de los residuos ( )R hγ .
12. Aplicar kriging ordinario a los residuos ( )R x usando el semivariograma ( )R hγ .
13. Se obtiene la estimación en un punto no observado como ( ) ( ) ( )* * *
kZ x m x R x= + .
Existen otras modificaciones, como la de Samper (1986), propuestas al método del kriging
residual que consisten esencialmente en estimar la matriz de covarianzas no a partir del
variograma muestral, sino directamente a partir de los residuos. Para efectos prácticos, estas
modificaciones pueden convertir al procedimiento en impracticable. Incluso, en la mayoría
de los casos resulta suficiente la estimación con mínimos cuadrados ordinarios, obviando
los pasos 6-10 del algoritmo anterior.
50

4.9 Kriging Indicador
La teoría y el desarrollo de estimadores no paramétricos de distribuciones espaciales,
es similar a la teoría y el desarrollo de estimadores no paramétricos del valor medio local
(Journel, 1983).
La mayor diferencia entre estos dos tipos de estimadores está en el estimado de las
variables y en los tipos de datos usados. Una variable aleatoria puede ser definida en
cada y cualquier locación ix dentro de la región de interés. El conjunto de estas variables
aleatorias determina una función aleatoria. Como un conjunto de variables aleatorias,
la función aleatoria expresa el comportamiento local y regional de la variable de
interés. En un punto dado en el espacio, la función aleatoria ( )Z x es una variable
aleatoria, pero sobre una región, la función aleatoria incorpora la estructura de
correlación espacial completa de cualquier subconjunto de variables aleatorias. Entonces
la función aleatoria describe los aspectos aleatorios y estructurados de la variable.
Para cualquier tipo de estimación, algún conocimiento de la ley espacial de la función
aleatoria es necesario antes que un estimador óptimo pueda ser definido.
Debido a que los datos son de sólo una realización y porque cualquier propiedad de la
función aleatoria no puede ser inferida a partir de una realización simple sin un modelo,
un supuesto de estacionaridad debe ser incluido en el modelo para permitir la
inferencia de las propiedades de la función aleatoria. El tipo de estacionaridad invocada
para la estimación no paramétrica de distribuciones espaciales es la estacionaridad de la
distribución bivariada de ( )Z x y (Z x h+ ) para varios valores del vector de distancia
h , que es:
( ) ( ) ( ) ( ) (1 2
1 2 , 1 2 1 2,
, ,x x h hZ x Z x
F z z F z z F z+= = ), z (4.34)
51

distribución bivariada de dos variables aleatorias ( )Z x y (Z x h+ ) depende de la
magnitud del vector h que separa a estas variables aleatorias y no depende de las
localizaciones particulares: 1x x= y 2x x= + h .
Esto implica estacionaridad de la distribución univariada, es decir, que las variables
aleatorias que representan la variable de interés de cada localización particular ( )1Z x ,
( 2Z x ), ... , ( nZ x ) están idénticamente distribuidas, con distribución .( )ZF z
Con la estacionaridad de la distribución bivariada establecida, los estimadores no
paramétricos de la distribución de probabilidad pueden ser desarrollados.
4.9.1 La Función Indicador
La distribución espacial de una variable aleatoria en un soporte puntual dentro de una
región puede ser definida matemáticamente (Journel 1983) como:A
1
( , ) ( , )c
x A
A z i x z d x
A
φ
∈
= ∫ c (4.35)
donde
- es la distribución espacial de valores puntuales dentro de la región para
un valor umbral , es decir la proporción de valores dentro de la región menores que
, es un indicador definido como:
( , )cA zφ A
cz A
cz
1, ( )
( , )
0, ( )
c
c
c
si Z x z
i x z
si Z x z
≤

= 
>

(4.36)
donde
( )Z x - es el valor observado en el punto x ,
- es el valor umbral o de corte.cz
52

La distribución espacial puede ser considerada como una realización de una
variable aleatoria , la cual a su vez representa la transformación integral de la
variable aleatoria
( , cA zφ
)c
)
( ,A zΦ
( )Z x siguiente:
( ) ( )
1
, ,c
x A
A z I x z d x
A ∈
Φ = ∫ c (4.37)
donde
( , )cI x z - es la función indicador aleatoria definida como:
1, ( )
( , )
0, ( )
c
c
c
si Z x z
I x z
si Z x z
≤

= 
>

(4.38)
El valor esperado de la variable aleatoria puede ser determinado como:( , cA zΦ )
[ ] [ ]
1 1
( , ) ( , ) ( , )c c
x A x A
E A z E I x z d x E I x z d x
A A∈ ∈
 
Φ = = 
  
∫ ∫ c (4.39)
[ ] [ ] [ ]{ }
1
( , ) (1)Pr ( ) (0)Pr ( )c c
x A
E A z Z x z Z x z d
A ∈
Φ = ≤ + >∫ c x (4.40)
[ ] [ ]( , ) Pr ( ) ( )c cE A z Z x z F zΦ = ≤ = Z c
)
)
(4.41)
donde
- función de distribución acumulativa univariada de Z estacionaria.( )Z cF z
La función de distribución espacial puede ser vista como una realización de una
función aleatoria , cuyo valor esperado es igual al valor de la función de
distribución acumulativa univariada estacionaria . La distribución de la variable
indicador en los puntos muestrales
( , cA zφ
( , cA zΦ
( )Z cF z
( , )czi x , será la misma con sólo dos valores 0 y 1. Si
el valor observado es menor que el valor de corte, el valor indicador será 1, en caso
contrario, este será 0. Claramente, la variable indicador ( , )ci x z , cambiará con el
53

incremento del valor de corte. Más muestras tienen valores menores que el valor de corte,
por lo tanto mas variables indicador tienen el valor 1.
La distribución de probabilidad de variables indicador es una distribución de Bernoulli y
sus momentos están dados por:
a) valor esperado
[ ] [ ] [ ]( , ) (1)Pr ( ) (0)Pr ( ) ( )c c cE I x z Z x z Z x z F z= ≤ + > = Z c (4.42)
b) función de covarianzas
( ) [ ] [ ]{ }
( ) ( ){ }
2
2
,
, ( , ), ( , ) ( , )
,
I c c c c
x x h c c Z c
C h z E I x z I x h z E I x z
F z z F z+
= + −
= −
=
(4.43)
c) varianza
[ ] ( ) [( , ) 0, ( ) 1 ( )c c Z c ZVar I x z C z F z F z= = − ]c (4.44)
d) y la función de dsemivarianzas
( ) ( ) ( ) (,, 0, , ( )I c I c I c Z c x x h ch z C z C h z F z F z zγ += − = − ), c (4.45)
4.9.2 Variograma Indicador
Si la función aleatoria ( )Z x es acotada, es decir, si existe un valor tal quemaxZ
max( )Z x Z x≤ ∀ , entonces se cumple que:
max
max
( , ) 1,
( , ) 0,
c
I c
i x z Z Z
h z Z Zγ
= ∀ ≥
= ∀ ≥
(4.46)
La función aleatoria indicador siempre posee varianza finita y acotada en el intervalo
( )0 , 0.25I cC h z≤ ≤ (4.47)
Por lo tanto el variograma indicador ( , )I h zγ c siempre alcanza una meseta que
coincide con
( )cS z
(0, )I zc
)
C y de acuerdo con Ec. (4.43) según (Myers, 1984) se deduce que
a) es una función creciente de en el intervalo , donde
.
( )cS z
Z MF z
cz ( , Mz−∞
( ) 0.5=
b) es una función decreciente en el intervalo ,( )cS z ( ),Mz ∞
54

c) Una vez conocida la meseta del variograma se puede calcular usando
la expresión:
( )cS z (Z cF z )
( ) ( )0.5 0.25 ( )Z c c M cF z signo z z S z= + − − (4.48)
Este puede ser interpretado como una probabilidad bivariada:
[ ]{ } [ ]{ }( , ) 0.5 Pr ( ) , ( ) 0.5 Pr ( ) , ( )I c c c c ch z Z x z Z x h z Z x h z Z x zγ = > + ≤ + + > ≤ (4.49)
Los variogramas de indicador ( , )I h zγ c son estimados para cada valor de corte dado , de
la misma manera que se procede usualmente en la estimación de los variogramas de
funciones aleatorias intrínsecas. Hay que hacer notar que éstos son mas robustos, es decir,
son menos sensibles a la presencia de valores extremos (outliers)
cz
4.9.3 Estimación de la función de distribución de probabilidad acumulativa
El propósito de transformar los datos originales mediante las variables indicador es para
usar las variables indicador para estimar la función de probabilidad acumulativa
. Las funciones de probabilidad estimadas se obtienen mediante
combinaciones lineales de la función indicador. Esta función es la proporción exacta de
valores, dentro de cualquier área A, de una variable
( )Z cF z *
( , )cA zφ
(Z x)
*
( ,φ
, menores que el valor de corte
. Si la medida de probabilidad es usada, el valor de puede ser tomado
como la probabilidad de que un parámetro estimado sea menor que el valor de corte.
cz )cA z
La forma del estimador de está dado por:( , )cA zφ
(4.50)*
1
( , ) ( ) ( , )
n
c cA z z i x zα α
α
φ λ
=
= ∑ c
con la condición para el no sesgo,
(4.51)
1
( ) 1
n
czα
α
λ
=
=∑
donde son los pesos.( )czαλ
55

El kriging simple puede ser aplicado para hallar los pesos usando las variables
indicador
αλ
( , )czi x y el variograma indicador.
La varianza de la estimación del Kriging indicador es:
2
1
( , ) ( ) ( , , ) ( , , )
n
KI c c I c I cA z z x A z A A zαα
α
σ λ γ γ
=
= −∑ (4.52)
donde
1
( , , ) ( , )I c I c
A
x A z x x z d x
A
α αγ γ= −∫ (4.53)
y
2
1
( , , ) ( , )I c I c
A A
A A z x y z d xd y
A
γ γ= −∫∫ (4.54)
es el valor medio de ( , ,jI x A zγ )c cuando x recorre todo el dominio .A
Para cada región, es una función del valor de corte . Si es aplicada una serie
de valores de corte, será obtenida una serie de estimados. Con el incremento del valor de
corte, se incrementa, debido a que el porcentaje de los puntos con valores
menores que el valor de corte se incrementa. Debido a que es una función de
probabilidad acumulativa, las siguientes relaciones de orden deben cumplirse:
*
( , )cA zφ cz
*
*
( , )cA zφ
( , )cA zφ
a) φ *
( , )A −∞ = 0, y φ *
( , ) ,A +∞ = 1
b) 0 ( ∀ A,*
, )cA zφ≤ 1≤
'
cz
c) no es decreciente, es decir*
( , )cA zφ
si* *
( , ) ( , )c cA z A zφ φ≤ '
c cz z≤
Si ocurre alguno de los siguientes casos :
56

a) estimada por KI es decreciente.*
( , )cA zφ
b) tiene valores negativos o mayores que 1,*
( , )cA zφ
las relaciones de orden no se cumplen. En resumen, si una distribución estimada tiene
problemas con las relaciones de orden, no es una función de distribución válida.
Las ecuaciones del Kriging indicador se resuelven en la práctica para un número finito ,
usualmente menor que 10, de valores de corte . Si la estimación de cada valor de
se realiza por separado no se puede garantizar que se cumplan las relaciones de
orden arriba expuestas.
N
cz
*
( , )cA zφ
Como alternativa (Myers, 1984) se plantea:
a) Resolver el sistema de ecuaciones para y luego utilizar los coeficientes
para otros valores de .
cz z= M
( )czαλ cz
b) Utilizar Cokriging indicador, es decir el estimado de se obtiene a partir de
los indicadores y . Esta alternativa es más exacta
pero a la vez es más costosa en cuanto a cómputo.
*
( , )cA zφ
( , ),i x zα β 1,...,nα = 1,..., Nβ =
4.10 Kriging logarítmico
El Kriging se considera óptimo cuando ( )Z x tiene una distribución normal. Cuando no se
cumple esta condición se requiere realizar una transformación sobre ( )Z x de manera tal
que siga una distribución normal. Por fortuna los estimadores asociados a la distribución
normal son bastante robustos, es decir que su propiedad de optimalidad no se ve
fuertemente afectada en el caso en que la distribución se aleje ligeramente de la normal.
57

La metodología a seguir puede ser resumida en pocos pasos. Sea Y f la variable
transformada, entonces la aplicación del Kriging consiste en:
( )Z=
1.- Transformar todos los datos: ( ) ( )(i f Z x= )iY x , i=1,…,n.
2.- Estimar y modelar el semivariograma de ( )Y x .
3.- Aplicar las ecuaciones del Kriging a la variable Y para obtener Y y Var .* [ ]*Y Y−
El cálculo de y de Var a partir de los resultados de Y puede no ser trivial.*Z [ *Z Z− ]
Lo que debe tenerse bien presente es que 1
* ( *)Z f Y−
≠
El ejemplo más común es cuando la distribución es lognormal. Entonces aplicando una
transformación logarítmica Y será normal.log( )Z=
Al aplicar la metodología habitual del Kriging a Y y luego si intentamos emplear la
teoría en sentido estricto transformando hacia atrás para obtener el valor estimado para Z*
,
sería:
* 21
exp
2
KYZ Y σ

= +
 


σ 

(4.55)
y su varianza
(4.56)( ) ( )2 2 2
exp 1 expZ Y KYVar Z m σ   = − −  
Existen las siguientes dificultades según Journel y Huijbregts (1978). En la práctica Z no
siempre satisface la condición de sesgo nulo, ya que puede diferir fuertemente de la media
obtenida a partir de las valores observados de Z. Para evitar esta dificultad se propone el
estimador
~
* 21
exp
2
KYZ K Y σ

= +
 

 (4.57)
donde se determina imponiendo que la media aritmética de los valores estimados de Z
coincida con el valor esperado .
K
~
Zm
58

CAPITULO 5: GEOSTADÍSTICA MULTIVARIADA
5.1 Introducción.
La estimación conjunta de variables aleatorias regionalizadas, más comúnmente conocida
como Cokriging (Kriging Conjunto) es el análogo natural del Kriging de una función
aleatoria. Mientras que el Kriging utiliza la correlación espacial para determinar los
coeficientes en el estimador lineal, el Cokriging utiliza la correlación espacial y la
correlación entre funciones aleatorias al mismo tiempo.
Las aplicaciones que han recibido una mayor atención en la geoestadística de minas son los
casos donde dos o más variables están muestreadas, pero una está menos muestreada que
las otras o existe la presencia de errores de muestreo.
Existe un número de dificultades prácticas, la más importante de todas es la ausencia de
modelos estándar para las covarianzas cruzadas o covariogramas. Uno de los modelos
más simples, el modelo lineal "estricto", no produce una varianza de estimación menor
que el Kriging separado excepto en los dos casos mencionados anteriormente.
5.2 Definiciones de los momentos cruzados de segundo orden
En el análisis de varias variables correlacionadas entre sí existen varios momentos de
segundo orden que miden el grado de correlación de las mismas.
Bajo la hipótesis de estacionaridad de segundo orden, se puede definir para cada par de
variables ( )iZ x y ( )jZ x la covarianza cruzada como:
( ) ( ) ( ){ij i i j jC h E Z x h m Z x m= + − −    } (5.1)
y correspondientemente el semivariograma cruzado se define como
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1
2
ij i i j jh E Z x h Z x Z x h Z xγ = + − + −     (5.2)
donde ( )i im E Z x=    y ( )j jm E Z x=   son los valores esperados de las variables ( )iZ x
y ( )jZ x respectivamente.
En el caso particular cuandoi , los momentos cruzados se convierten en la covarianza y
en la semivarianza de la variable
j=
( )iZ x .
59

El semivariograma cruzado ( )ij hγ , a diferencia del semivariograma de una variable que
siempre es positivo, puede tomar valores negativos. Los valores negativos se asocian a la
situación en que el incremento de una de las variables implica en promedio el decremento
de la otra
5.3 Propiedades de los momentos cruzados de segundo orden
De su definición se infiere que el semivariograma cruzado ( )ij hγ es simétrico con respecto
al intervalo o vector de separación h y con respecto a los índices ( de las variables, de
modo que se cumple que:
, )i j
( ) (ij ijhγ γ= − )h (5.3)
y
( ) ( )ij jihγ γ= h (5.4)
Sin embargo, la covarianza cruzada ( )ij hC no es simétrica en general. Se cumple que:
( ) (ij jiC h C h= − ) (5.5)
En el caso en que la covarianza cruzada ( )ij hC sea simétrica, entonces resulta ésta
equivalente al semivariograma cruzado.
La expresión general que relaciona al semivariograma cruzado con la covarianza cruzada se
escribe como:
( ) ( ) ( ) (2 2 0ij ij ij ijh C C h C hγ = − − − ) (5.6)
Por lo que si consideramos el caso simétrico esta expresión se reduce a:
( ) ( ) ( )0ij ij ijh C C hγ = − (5.7)
que es análoga a la existente entre semivariogramas y covarianzas simples.
El coeficiente de correlación entre las variables ( )iZ x y ( )jZ x en un mismo punto x se
define como:
( )
( ) ( )
0
0 0
ij
ij
ii jj
C
C C
ρ = (5.8)
5.4 Cokriging en el caso estacionario.
60

Sean ( ) ( ) ( )1 2, ,..., nZ x Z x Z x funciones aleatorias tales que:
( ) , 1,...,i iE Z x m i n= =   (5.9)
( ) ( )( ) , , 1,...,ij i jC x y E Z x Z y i j n − = =  (5.10)
existe para todo i y la covarianza de, j ( )i xZ y ( )jZ x depende solamente de la diferencia
x y− .
Esto quiere decir que { } son funciones estacionarias de segundo orden
conjuntamente.
1
n
i i
Z =
Dados los puntos muestreados 1 2, ,..., mx x x y un punto no muestreado x , el objetivo es
estimar conjuntamente cada variable aleatoria ( )iZ x mediante combinaciones lineales de
observaciones de todas las variables aleatorias ( )kjZ x , 1,.., 1,..,k m j n= =
( ) (*
1 1
m n
k
ki ij
k j
Z x Z xλ
= =
= ∑∑ )j (5.11)
En forma matricial, si ( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,...,
T
nZ x Z x Z x Z x=    entonces la expresión anterior se
convierte en:
( ) ( )*
1
; donde
m
k
kk
k
Z x Z x λ
=
 = Γ Γ =  ∑ ijk
(5.12)
Para que ( )*
Z x sea un estimador no sesgado de ( )Z x se debe cumplir que:
1
I
m
k
k=
Γ =∑ (5.13)
donde I es la matriz identidad.
(5.14)
1
0,
1,
m
k
ij ij
k
i j
i j
λ δ
=
≠ 
= = 
=  
∑


Se toma que la varianza de la estimación sea:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }* **
1
n T
j j
j
Var Z x Z x E Z x Z x Z x Z x
=
   − = − −    ∑ 
 (5.15)
El sistema puede ser escrito en la forma:
61

( ) ( )
1
1
I, 1,...,
m
i j ij
j
m
k
k
C x x C x x
i m
µ
=
=

Γ − + = −


 Γ = =

∑
∑
(5.16)
donde ijµ µ=   - es una matriz de multiplicadores de Lagrange yn n×
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
i j i j i jn
i j i j i jn
i j
i j i j i jn n nn
C x x C x x C x x
C x x C x x C x x
C x x
C x x C x x C x x
 − −
 
 − −
− =  
 
 
− −  
−
−
−
(5.17)
Entonces si escribimos el sistema del Cokriging en forma matricial tenemos que:
KΛ = D (5.18)
Donde
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1
... I
... ... ... ...
... I
I ... I 0
m
m m
C x x C x x
K
C x x C x x
 − −
 
=
 − −
 
  
m



(5.19)
( )
( )
1 1
... ...
,
I
mm
C x x
D
C x x
µ
Γ   −
   
  Λ = = Γ  −
   
     



(5.20)
y la varianza total de la estimación puede ser escrita como:
( ) ( )2
=1
Tr 0 Tr Tr
m
jCK j
j
C C x xσ = − Γ − −∑ µ (5.21)
la cual representa una varianza acumulada, mientras que la varianza de la estimación de la
variable ( )jZ x está dada por
( ) ( )
n
2
1 =1
0
m
k
kCK jj ij ij jjj
i k
C C x xσ λ
=
= − − −∑∑ µ (5.22)
62

Observaciones prácticas:
- A pesar de la asimetría de ( y− )C x , la matriz de coeficientes K es simétrica.
- Todas las entradas son invertibles (excepto 0 ) de forma tal que puede ser reducida a una
matriz triangular mediante la operación con matrices de menor dimensión y así simplificar
el cómputo.
- Si ( y− )C x tiene forma diagonal, es decir, las componentes no están
correlacionadas entonces el sistema se convierte en n sistemas de ecuaciones
independientes separadas.
5.5 Cokriging en el caso de funciones aleatorias intrínsecas.
Como con el Kriging de una variable es más simple usar covariogramas que covarianzas
cruzadas, pero esto no siempre es posible; la hipótesis intrínseca análoga es:
i) ( ) ( ) 0i iE Z x h Z x+ − =  , ∀ i=1,…, n
ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),i i j jZ x h Z x Z x h Z x hγ + − + − =  2 ijCov , ∀ i,j=1,…, n
existe y depende sólo de h .
Si i) se cumple entonces la matriz de semivarianzas cruzadas puede ser escrita como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1
2
T
ijh h E Z x h Z x Z x h Z xγ γ = = + − + −       (5.23)
donde ( )hγ es simétrica en contraste con ( )C x y− .
Entonces al sustituir en el sistema de ecuaciones del Kriging a las funciones de covarianzas
cruzadas por los co-semivariogramas o variogramas cruzados, se obtiene
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 1 11
1
... I
...... ... ... ... ...
... I
I ... I 0 I
m
m m m mm
x x x x x x
x x x x x x
γ γ γ
γ γ γ
µ
 − −   −Γ 
    
    
=   Γ− − −    
    
       

 (5.24)
La varianza de la estimación se expresa como:
63

( )
( )
1
2
1
...
Tr ...
I
CK m
m
x x
x x
γ
σ µ
γ
 −
 
  = Γ Γ   − 
 
  

 (5.25)
5.6 Cokriging en el caso no estacionario.
Si se supone que las componentes de ( )Z x no son estacionarias, es decir, los valores
esperados ( )m x están representados localmente mediante combinaciones lineales de
funciones conocidas, entonces los resultados de la sección anterior pueden ser extendidos
de forma similar al Kriging Universal para una variable.
Sea ( ) ( ) ( )1 ,..., pF x f x f x=   un vector de funciones conocidas, linealmente
independientes.
Entonces se asume que:
( ) ( )E Z x BF x=   (5.26)
donde ijB b =   , una matriz de .n p×
Para que ( )Z x sea insesgado es suficiente que:
( ) (
1
m
jj
j
BF x BF x
=
= Γ∑ ) (5.27)
para cualquier elección de B .
Considerando todas las matrices de la forma:
ijB b =   ; donde
0 01, ,
0, en otro caso
ij
i i j j
b
= =

= 


y escribiendo ( ) ( )Il j l jF x f x= entonces la expresión anterior se convierte
1
( ) ( ); 1,...,
m
jl lj
j
F x F x l p
=
Γ = =∑ (5.28)
El sistema de ecuaciones para el Kriging Universal resulta
64

( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
; =1,..., =1,...,
pm
i j il lj
j l
m
jl lj
j
C x x F x C x x
F x F x l p i m
µ
= =
=

Γ − + = −


 Γ =

∑ ∑
∑
(5.29)
donde lµ son matrices de multiplicadores de Lagrange.n n×
En forma matricial
1 1 1 1 11
1 1
11 1
1
( ) ... ( ) ( ) ... ( )
... ... ... ... ... ...
( ) ... ( ) ( ) ... ( )
W
( ) ... ( ) 0 ... 0
... ... ... ... ... ...
( ) ... ( ) 0 ... 0
n p
n n n n p
n
np p
C x x C x x F x F x
C x x C x x F x F x
F x F x
F x F x
− − 
 
 
 
− − 
=  
 
 
 
 
  
n
(5.30)
1 1
11
( )
... ...
( )
X , H ( )
......
( )
nn
p
p
C x x
C x x
F x
F x
µ
µ
Γ  − 
   
   
 Γ  −
  = =   
   
   
   
     
 (5.31)
W X H= (5.32)
La varianza de la estimación puede ser escrita como:
2
=1 1
Tr (0) Tr ( ) Tr ( )
pm
iCKU i l
l
i l
C C x x Fσ µ
=
= − Γ − −∑ ∑ x (5.33)
5.7 Estimación de los momentos cruzados de segundo orden
El método más usual para estimar el semivariograma cruzado es el siguiente:
[ ]
( )
*
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) (
2 ( )
N h
k k kij i i j j
k
h Z x h Z x Z x h Z
N h
γ
=
= + − + −∑ )kx  (5.34)
donde ( )N h es el número de pares ( ) ( ),k ki iZ x Z x h+{ }y ( ) (,k kj jZ x Z x h+ ){ } separados
a una distancia h h= .
65

El cual es una generalización del estimador del semivariograma simple y por lo tanto
adolece de los mismos problemas y limitaciones.
5.8 Modelación de los momentos cruzados de segundo orden
Es una práctica muy común ajustar modelos desarrollados para una variable como son:
esférico, exponencial, etc, al semivariograma cruzado, aunque en este caso no se pueda
asegurar que estos modelos sean válidos.
Myers (1984), propuso una metodología para el ajuste de los semivariogramas cruzados, la
cual consiste en definir para cada par de variables ( )i xZ y ( )j xZ una nueva variable como
una combinación lineal de éstas, es decir:
( ) ( ) ( )ij i jZ x aZ x bZ x+
= + (5.35)
cuyo semivariograma viene dado por:
{ }2
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) 2 ( )
ij i j i j
ii jj ij
h E aZ x h bZ x h aZ x bZ x
a h b h ab h
γ
γ γ γ
+
 = + + + − − 
= + +
(5.36)
entonces
2 21
( ) ( ) ( ) ( )
2
ij ij ii jjh h a h b
ab
γ γ γ γ+
= − − h  (5.37)
De manera análoga se puede obtener el semivariograma de la diferencia
( ) ( ) ( )ij i jZ x aZ x bZ x−
= − (5.38)
su semivariograma está dado por:
{ }2
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) 2 ( )
ij i j i j
ii jj ij
h E aZ x h bZ x h aZ x bZ x
a h b h ab h
γ
γ γ γ
−
 = + − + − + 
= + −
(5.39)
y por lo tanto
2 21
( ) ( ) ( ) ( )
2
ij ij ii jjh h a h b
ab
γ γ γ γ−
= − − − h  (5.40)
Combinando ambos resultados se obtiene una tercera expresión
1
( ) ( ) ( )
4
ij ij ijh h
ab
γ γ γ+ −
= − h  (5.41)
66

Entonces el procedimiento más adecuado para modelar el semivariograma cruzado
consiste en modelar los 4 semivariogramas simples: ( ), ( ), ( ) y ( )ii jj ij ijh h hγ γ+ −
hγ γ ,
comprobar que satisfagan las tres expresiones anteriores y además que se cumpla la
desigualdad de Cauchy-Schwartz:
2
( ) ( ) ( )ij ii jjh hγ γ γ+
≤ h (5.42)
donde
( )ij h+
γ - es el semivariograma de la suma de Zi y Zj.
( )ii hγ y ( )jj hγ - son los semivariogramas de Zi y Zj respectivamente.
En resumen, para modelar el variograma cruzado hay que calcular los variogramas
muestrales para Zi, Zj , Zi+Zj y Zi−Zj. Para cada miembro de la cuarteta se selecciona uno
de los modelos estándar tales como: esférico, exponencial, gaussiano, etc., entonces el
modelo para ( )ij hγ se determina como una combinación de éstos usando la expresión
anterior, pero con la condición de que satisfaga la desigualdad de Cauchy-Schwartz. En el
caso en que no se cumpla esta condición última se deben realizar modificaciones a cada
uno de los modelos ajustados a ( ), ( ), ( ) y ( )ii jj ij ijh h hγ γ+ −
hγ γ ,de manera tal que ésta sea
satisfecha.
Para modelar el variograma cruzado de n variables aleatorias regionalizadas, se deben
realizar solamente (n2
+n)/2 ajustes de variogramas simples.
Pero en realidad este procedimiento no garantiza que se obtenga un modelo válido de
semivariogramas cruzados, ya que la desigualdad de Cauchy-Schwartz es una condición
necesaria pero no suficiente.
La condición que se requiere para que el modelo sea válido es la análoga al caso
univariado, es decir
( ) 0
T
i ji
i j
C x xΓ − Γ∑∑ j
≥ (5.43)
que la matriz ( )C h sea positiva semidefinida o equivalentemente en términos de las
semivarianzas
( ) 0, si 0
T
i ji j
i j i
x xγ− Γ − Γ ≥ Γ =∑∑ ∑ i
(5.44)
que significa que la matriz ( )hγ sea condicionalmente negativa semidefinida.
Estas condiciones no son sencillas de comprobar y en el caso univariado se resuelve
usando combinaciones lineales de modelos autorizados, es decir:
( )i i
i
a hγ∑ (5.45)
67

es un modelo válido, donde son coeficientes positivos y1,..., ma a ( ) ( )1 ,..., mh hγγ son
modelos simples de variogramas válidos.
Por lo que la alternativa análoga al caso univariado es:
( )ii
i
A hγ∑ (5.46)
es un modelo válido, donde 1
,..., m
A A son matrices de coeficientes positivas definidas y
( ) ( )1 ,..., mhγ γ h son modelos simples de variogramas válidos. Esto se conoce como modelo
de corregionalización lineal.
5.9 Modelo de Corregionalización Lineal
Un modelo comúnmente usado para un conjunto de funciones aleatorias es el modelo
multivariado de funciones de covarianzas anidadas
( ) ( )
0
S
kk
k
C h V hρ
=
= ∑ (5.47)
donde es el índice de estructuras anidadas a diferentes escalas con función de
correlación
k 1S +
( )k hρ y las matrices de corregionalización k
k
V son las matrices de
covarianzas que describen la correlación multivariada a la escala .
El modelo de funciones aleatorias asociado es conocido como modelo de
corregionalización lineal (MCL) y se expresa como:
( ) ( )
0
S
kk
k
Z x A Y x
=
= ∑ (5.48)
( ) ( )
0 1
; 1,..,
pS
k
i ij jk
k j
Z x a Y x i n
= =
= ∑∑ = (5.49)
donde ( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,...,
T
k k k pkY x Y x Y x Y x =  
k
es el vector de funciones aleatorias
estacionarias de segundo orden no correlacionadas (independientes entre sí) definidas en la
escala espacial .
p
Una vía para determinar los coeficientes del modelo de corregionalización lineal (MCL), a
partir de un modelo multivariado de funciones de covarianzas anidadas es mediante la
aplicación del método de componentes principales basado en la descomposición en valores
propios de las matrices de corregionalización k
V .
5.10 Análisis Estructural Multivariado
68

El análisis estructural multivariado que se requiere para el Cokriging es mucho más
complejo y sofisticado que el que demanda el Kriging ya que para modelar los
variogramas cruzados de variables aleatorias regionalizadas, se deben modelar (ajustar)
un total de
n
)( 1n n + 2 variogramas simples. Mientras que el uso de modelos de
variogramas autorizados o combinaciones de éstos no garantiza, es decir no es una
condición suficiente, como lo es en el caso univariado para que la matriz de covarianzas
( )C h sea positiva definida.
La manera más comúnmente aceptada en la actualidad para realizar un análisis estructural
multivariado es a través de un modelo de corregionalización lineal (Goovaerts, 1997). No
obstante existen otras metodologías menos difundidas que usan métodos espectrales y
están basadas en el teorema de Bochner (Christakos, 1992; Wackernagel, 1995).
El punto medular para poder establecer un modelo de corregionalización lineal consiste en
probar que las matrices de coeficientes k
V son positivas semidefinidas.
Por definición, una matriz k
V es positiva semidefinida (Golub y Van Loan, 1989) si
0,
T
k
b V b b≥ ∀ (5.50)
donde b es un vector cualquiera. Cuando una matriz es positiva semidefinida sus valores
propios y los determinantes de ella y de todos sus menores principales son no negativos.
Un modelo de corregionalización lineal está dado por
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
S S
k
k ij ij kk
k k
C h V h C h hρ
= =
= ⇔ =∑ ∑σ ρ (5.51)
en términos de las covarianzas o equivalentemente
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
S S
k
k ij ij kk
k k
h V h hγ γ γ σ γ
= =
= ⇔ =∑ ∑ h (5.52)
en términos de las semivarianzas. Y se interpreta como estructuras anidadas a
diferentes escalas y las matrices de corregionalización
1S +
k
k
V son las matrices de covarianzas
que describen la correlación multivariada a la escala . Note que a cada escala k le
corresponde una estructura elemental o básica con mesetas igual a la unidad ( (h)kρ o
( )k hγ ). Si determinada estructura básica no está presente, se le hace corresponder un
coeficiente cero en la matriz k
V .
El nombre de modelo lineal de corregionalización se origina del hecho de que las matrices
de covarianzas o semivarianzas de las Ecs. (5.51) y (5.52) se obtienen considerando la
transformación lineal de funciones aleatorias Ec.(5.48).
69

Una condición suficiente para que el modelo de corregionalización lineal sea válido
consiste en que todas las matrices de corregionalización k
V sean positivas semidefinidas.
Si k
V es una matriz simétrica y positiva semidefinida, entonces se cumple que
,k k k
ij ii jj iσ σ σ≤ ∀ j≠ (5.53)
Pero en general la proposición inversa es falsa.
No obstante en el caso de matrices de orden dos si se cumple, es decir es unas condición
necesaria y suficiente para que la matriz sea positiva semidefinida. Esto resulta muy útil,
puesto que es muy común la modelación conjunta de sólo dos funciones aleatorias.
Un ejemplo de modelo de corregionalización lineal en el caso de dos funciones aleatorias
( )1Z x y ( )2Z x , es
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
11 12 11 12 11 12
00 0
21 22 21 22 21 22
...
S S
SS S
h h
h
h h
γ γ σ σ σ σ
γ
γ γ σ σ σ σ
     
= + +     
    
hγ (5.54)
Para asegurar de que el modelo sea válido es suficiente probar que
11 22
12 11 22
0 y 0, 0,...,
, 0,...,
k k
k k k
k S
k S
σ σ
σ σ σ
> > ∀ =
≤ ∀ =
(5.55)
Procedimiento general para la obtención de un modelo de corregionalización lineal
El procedimiento general para ajustar un modelo de corregionalización lineal consiste en
postular el número de estructuras y sus modelos elementales correspondientes para los
cuales están definidos los rangos o alcances, y luego intentar el ajuste de las mesetas
mediante prueba o error, o aplicando algún método de optimización.
El esquema general usando el método de prueba y error es el siguiente:
1. Modelar cada semivariograma simple ( ), 1,...,ii h i = nγ y semivariograma cruzado
( ), , y , 1,...,ij h i j i jγ ≠ = n individualmente según el procedimiento expuesto en el
capítulo 3 del análisis estructural de una función aleatoria.
2. Determinar el número de estructuras anidadas de manera que sea mínimo (es
deseable que sea cuanto más tres), según las consideraciones siguientes:
1S +
a) Si σ entonces σ > y σ > . Es decir, si una estructura0k
ij > 0k
ii 0k
jj ( )k hγ hace
contribución al modelo anidado del variograma cruzado ( )ij hγ , entonces debe
70

contribuir también en el modelo de los variogramas simples ( )ii hγ y ( )jj hγ . Lo
contrario es falso
b) Si σ y σ > no implica nada sobre σ . Es decir, si una estructura0k
ii > 0k
jj
k
ij
( )hkγ hace contribución a los modelos anidados de los variogramas simples
( )hiiγ y ( )hjjγ , dicha estructura puede contribuir o no en el modelo anidado
del variograma cruzado ( )ij hγ .
c) Si σ , entonces σ = . Es decir, si una estructura0k
ii = 0, 1,...,k
ij j∀ = n ( )k hγ no
contribuye en el modelo anidado del variograma simple ( )ii hγ , entonces dicha
estructura no puede contribuir en ninguno de los modelos anidados de los
variogramas cruzados ( )ij hγ que involucran a la componente i .
3. Comprobar que todos los determinantes de los menores de orden dos son no
negativos.
4. Verificar que todas las matrices de corregionalización k
V sean positivas
semidefinidas, en caso contrario hacer los cambios necesarios hasta satisfacer la
condición o volver al paso 2.
Goulard (1989) y Goulard y Voltz (1992), propusieron un algoritmo iterativo para el ajuste
de los coeficientes mediante mínimos cuadrados bajo restricciones de positividad.
5.11 Validación del modelo de semivariograma cruzado
El método convencional de validación del semivariograma cruzado ( )ij hγ en el caso de dos
variables consiste en estimar por Cokriging los valores de ( )iZ x y ( )jZ x en los puntos
muestrales usando el procedimiento de leave one out. Con los valores estimados obtenidos
*
( )iZ x , *
( )jZ x y sus correspondientes varianzas de la estimación σ , σ se calculan los
criterios convencionales de la validación cruzada para una variable (error medio, error
cuadrático medio, etc,...)
2
i
2
j
El método anterior no es óptimo, ya que la validación de ( )ij hγ debe ligarse con la
validación de los semivariogramas ( ), ( )ii jjh hγ γ , es decir se debería validar primero por
separado ( ), ( )ii jjh hγ γ y luego ( )ij hγ de manera conjunta.
5.12 Ejemplos de Aplicaciones del Cokriging
5.12.1 El caso de dos variables correlacionadas
Supongamos que tenemos dos variables que son estacionarias de segundo orden, entonces
se cumple que:
71

1 1 2[ ( )] , [ ( )]E Z x m E Z x m= 2= (5.56)
12 1 2( ) ( ) (C x y E Z x Z y− =  ) (5.57)
El estimador sería de la siguiente forma:
*
1
( ) ( )
n
kk
k
Z x Z x
=
= Γ∑ (5.58)
2
*
1 1
( ) ( ), 1, 2
n
k
ki ij j
k j
Z x Z x iλ
= =
= ∑∑ = (5.59)
donde 11 12
21 22
k k
k kk
λ λ
λ λ
 
Γ =  
 
,
1
I
n
k
k=
Γ =∑ , I - matriz identidad.
(5.60)
1
0,
1,
n
k
ij ij
k
i j
i j
λ δ
=
≠ 
= = 
=  
∑


11 12
21 22
( ) ( )
( )
( ) ( )
C x y C x y
C x y
C x y C x y
− − 
− = 
− −  
 (5.61)
1 1 1 1 1 111 12 11 12
1 1 1 1 1 121 22 21 22
1 111 12 11 12
1 121 22 21 2
( ) ( ) ( ) ( ) 1 0
...
( ) ( ) ( ) ( ) 0 1
... ... ... ...
( ) ( ) ( ) ( )
...
( ) ( ) ( )
n n
n n
n n n n n n
n n n n
C x x C x x C x x C x x
C x x C x x C x x C x x
K C x x C x x C x x C x x
C x x C x x C x x C
− − − −    
    − − − −    
= − − − − 
 − − − 



2
1 0
( ) 0 1
1 0 1 0 0 0
...
0 1 0 1 0 0
n nx x
 
 
 
 
 
    
    −    
      
      
       
(5.62)
72

1 1
11 12 1 111 12
1 1
21 22 1 121 22
11 1211 12
21 2221 22
11 12
21 22
( ) ( )
( ) ( )
... ...
, D ( ) ( )
( ) ( )
1 0
0 1
n n
n n
n n
n n
C x x C x x
C x x C x x
C x x C x x
C x x C x x
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
µ µ
µ µ
    − − 
    − −    
 
 
 Λ = = − −  
    − −   
             

 
 
 
 

 
 
 
 
  
 (5.63)
KΛ = D (5.64)
2
2
1 =1
(0) ( )
n
k
kCK jj ij ij jjj
i k
C C x xσ
=
= − − −∑∑ λ µ (5.65)
5.12.2 Estimación de combinaciones lineales de variables corregionalizadas
Existe un número de aplicaciones donde es deseado estimar una combinación lineal
de variables corregionalizadas. Por ejemplo si se necesita identificar anomalías entonces
una combinación lineal de algunas variables puede ser relevante y de este modo las
variables que son indicativas de la presencia de un elemento particular pueden ser
usadas. Existen varios enfoques posibles. El más directo es tomar un conjunto de
datos multivariados y formar una combinación lineal para obtener un nuevo conjunto de
datos para la variable construida, entonces es calculado el variograma muestral, luego
modelado y finalmente se le aplica el Kriging.
Otro enfoque consiste en estimar cada variable y luego construir la combinación lineal.
Este puede ser llevado a cabo mediante la estimación de cada variable por separado o
mediante la estimación conjunta por Cokriging. La diferencia de estos métodos se refleja
en las varianzas de la estimación.
Al primer enfoque lo nombraremos como la estimación directa y al segundo como la
estimación conjunta.
a) Estimación directa.
Dados: [ ]1( ) ( ) ... ( )
T
mZ x Z x Z x= y [ ]1 ...
T
mA a a= , donde ia ∈
El objetivo es estimar la combinación lineal ( ) ( )
T
A Z x=W x considerándola como una
nueva función aleatoria.
73

Aunque en la práctica un modelo de variograma ( )W hγ será estimado y ajustado para
la función aleatoria ( )W x y no a las componentes por separado, resulta útil relacionarlo
con los variogramas separados.
{ }
[ ][{ ] }
21
( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( )
2
T T
W
T T
T
h E A Z x h A Z x
AE Z x h Z x Z x h Z x A
A h A
γ
γ
 = + − 
= + − + −
=
(5.66)
donde ( )hγ es la matriz de semivarianzas cruzadas.
El estimador puede ser expresado como:
*
0
1 1
( ) ( ), 1
n n
jj
j j
W x W xλ
= =
= ∑ jλ =∑ (5.67)
La varianza de la estimación para *
0( )W x es :
2
0
1
( )
n
jKD W j
j
x xσ γ λ
=
= −∑ µ− (5.68)
o puede ser expresada equivalentemente como
2
0
1
1
( )
2
n
T
jKD j
j
A x x Aσ γ λ
=
= −∑ µ− (5.69)
b) Estimación conjunta.
En lugar de la estimación directa de 0( )W x se estima [ ]1( ) ( ) ... ( )
T
mZ x Z x Z x= por
cokriging y entonces se forma
***
0( ) ( )
T
A Z x= 0W x . El estimador resultante se puede
expresar como:
***
0 0
1
( ) ( ) ( )
n
T T
jj
j
W x A Z x A Z x
=
= = Γ∑ (5.70)
Una condición suficiente para que coincidan ambos estimadores es que se cumpla:
,
T T
j j
A Aλ = Γ ∀j (5.71)
La varianza de la estimación está dada por
2
0
1
( )
n
T T
jKC j
j
A x x A A Aσ γ
=
= − Γ −∑ µ (5.72)
74

Como vemos la condición anterior es casi suficiente para que σ pero sería
necesario también que se cumpliera que
2
KD KCσ= 2
T
A Aµ µ= . No obstante en general
* **
0 0( ) (W x W x≠ ) y σ σ .2 2
KD KC≠
El caso particular de estimar las componentes de [ ]1( ) ( ) ... ( )
T
mZ x Z x Z x= por
separado en lugar de la estimación conjunta produce una estimación no óptima y
necesita un factor de ajuste.
c) Comentarios generales
El método directo tiene un número de ventajas obvias:
- Sólo un variograma debe ser modelado.
- Requiere menor tiempo de cómputo debido a que las componentes de la matriz de
coeficientes son escalares en lugar de matrices.
No obstante cualquier cambio en las componentes de la matriz A implica una nueva
modelación del variograma y la resolución de un sistema de ecuaciones para Kriging. Si
los coeficientes de A cambian constantemente es preferible utilizar la estimación conjunta
ya que esto no implica ningún cambio, solamente multiplicar por la nueva matriz A.
El uso de una variable compuesta podría obscurecer las diferencias en anisotropía o la
presencia de tendencia en algunas variables.
5.12.3 El problema de variables pobremente muestreadas
En contraste con los problemas donde el interés es estimar varias funciones aleatorias
simultáneamente mediante el uso del estimador Cokriging para todas las variables en
todas las ubicaciones muestrales, pocas veces los datos muestrales en otras variables es
usado para mejorar la estimación de la variable primaria o más comúnmente para
compensar muestras perdidas de la variable primaria.
Sean { las posiciones de la red de muestreo y}1, ..., nx x [ 1, ...,
T
mZ Z Z= ] el vector de las
funciones aleatorias . Supongamos que los datos en los puntos 2 , ..., nx x son obtenidos
para todas las variables pero en 1x sólo es obtenido para .2 , ...,Z Zm
Deseamos estimar 11 ( )Z x usando todos los datos disponibles suponiendo que ( )hγ es
conocido.
El estimador lineal del cokriging *
11 ( )Z x puede ser escrito en la forma usual:
* 1
1 1
1
( ) ( )
n
kk
k
Z x Z x
=
= Γ∑ (5.73)
75

donde
11
1
1
...
k
k
k
m
λ
λ
 

Γ = 
 
 

 y se requiere que λ = 0. La condición de universalidad está dada por:1
11
1
1
1
0
...
0
n
k
k=
 
 
 Γ =
 
 
 
∑ (5.74)
No hay pérdida de generalidad si se considera que es la variable primaria y si los
datos están perdidos para en otras ubicaciones k o para otras variables en otras
posiciones se deben imponer condiciones adicionales de la forma , ya que
determina la contribución de
1Z
01Z 0j
0
01 0k
jλ = 0
01
k
jλ
00
( kjZ x ) a la estimación de .*
1Z
5.13 Modelo de correlación intrínseco
Dado un vector de funciones aleatoriasn ( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,...,
T
nZ x Z x Z x Z x=    , el modelo
más simple para su matriz de covarianzas conjuntas (cruzadas) es el siguiente:
( ) ( )C h V hρ= (5.75)
donde V es la matriz de covarianzas cruzadas en 0h = , es decir
( ) ( ) ( ){ } ( )( ) ( )(0 ,ij ij i j i i j jC Cov Z x Z x E Z x m Z x mσ  = = = − − ) (5.76)
y ( )hρ es la función de correlación directa.
Recordando que la función de correlación cruzada por definición se expresa como:
( )
( )
( ) ( )
ij
ij
ii jj
C h
h
C h C h
ρ = (5.77)
y empleando el modelo de covarianzas cruzadas introducido en la Ec. (5.75), es decir,
( ) ( )ij ijC h hσ ρ= (5.78)
entonces resulta que el coeficiente de correlación entre dos funciones aleatorias ( )iZ x y
( )jZ x está dado por
( )
( ) ( )
ij ij
ij
ii jjii jj
h
r
h h
σ ρ σ
σ σσ ρ σ ρ
= = (5.79)
76

y no depende de la escala espacial. Por este motivo, el modelo propuesto es conocido como
modelo de correlación intrínseco.
Un modo de verificar la existencia de correlación intrínseca se basa precisamente en la
propiedad anterior. Para lo cual se calcula y grafica el coeficiente de codispersión el cual se
define como:
( )
( )
( ) ( )
ij
ij
ii jj
h
cc h
h h
γ
γ γ
= (5.80)
Si el coeficiente de codispersión es constante para todo , esto es un indicador de que la
correlación no depende de la escala espacial y por lo tanto se puede considerar un modelo
de correlación intrínseca.
i ≠ j
El modelo lineal asociado al modelo de correlación intrínseco se escribe como:
( ) ( )Z x AY x= (5.81)
o equivalentemente
( ) ( )
p
i ij
j
Z x a Y x= ∑ j (5.82)
donde A es la matriz de los coeficientes de la transformación lineal  ,n p× ija 
( ) ( ) ( ) ( )
T
pY x1 2, ,...,Y x Y x Y x =   es un vector de funciones aleatorias estacionarias de
segundo orden no correlacionadas (independientes entre sí), cuya función directa de
correlación
p
( )hρ no depende del índice .j
Para un modelo de correlación intrínseco dado existen muchas matrices A que
satisfacen
T
A=V A , pero el modo natural para obtener los coeficientes de la transformación
Ec. (5.82) lo ofrece el Análisis de Componentes Principales (ACP), el cual está basado en
la descomposición en valores propios de la matriz de covarianzas V y los factores ( )jY x
pueden ser interpretados como componentes principales. Estas componentes se obtienen
imponiendo la condición de que expliquen en una proporción elevada (usualmente 80% o
más) la varianza total 2
Zσ del vector de funciones aleatorias ( )Z x .
El objetivo que persigue el análisis de componentes principales es transformar el vector de
funciones aleatorias correlacionadas ( )Z x de dimensión a un vector de funciones
aleatorias (componentes principales) no correlacionadas
n
( )Y x de dimensión , donde se
espera que .
p
p n
77

Sean los valores propios y1 2 ... 0nλ λ λ≥ ≥ ≥ > 1 2
, ,..., n
qq q los correspondientes vectores
propios asociados de la matriz V , donde se cumple que
T
iji j
q q δ= . Las mayores varianzas
están directamente relacionadas con los mayores valores propios λ de la matriz de
covarianzas de los datos
i
V ,
2
1 1
Tr
pn
Z ii
i j
Vσ σ
= =
= = =∑ ∑ jλ (5.83)
por los que se escogen las primeras componentes ordenadas de mayor a menor en orden
decreciente del por ciento de la varianza total que explican.
p
Entonces, aplicando la descomposición en valores propios de la matriz de covarianzas V ,
ésta se puede expresar como:
T
V AA≅ (5.84)
con y
T
A Q QQ I= Λ = , donde Q y Λ son las matrices de los vectores propios y de
los valores propios correspondientemente.
p
p
Entonces los coeficientes de la matrizija A están dados por:
ij j ija λ= q (5.85)
y por lo tanto la Ec.(5.82) se transforma en
( ) ( )
p
i j ij
j
Z x q Y xλ= ∑ j (5.86)
donde es la componente del vector propioijq i j
q y es el valor propio asociado a éste.jλ
Las componentes se relacionan con las variables originales mediante
( ) ( )
T
Y x Q Z x= (5.87)
o puede escribirse escalado con varianza unitaria
( ) ( ) ( )
1
1 1
; 1,..,
n
T
j ij ij
ij j
Y x q Z x q Z x j p
λ λ =
= = =∑ (5.88)
Lo cual se verifica si suponemos que ( ) ( )BZ x=Y x , donde B es una matriz que
cumple que
p n×
T
B B I= , entonces
( )
TT T T
YY BZY BZ BZ BZZ B= = =
T
(5.89)
aplicando el operador valor esperado a ambos miembros se obtiene
T
E YY BE ZZ B   =   
T T
(5.90)
T
D BV B= (5.91)
78

multiplicando ambos miembros por B resulta
DB BV= (5.92)
donde inmediatamente se puede ver que la matriz Q ofrece la solución ya que satisface:
T T
Q Q VΛ = (5.93)
Una vez conocidos los valores de las componentes ( )j xY en los puntos de medición
usando Ec.(5.88), se puede estimar sus valores en cualquier otro punto usando Kriging
ordinario y a partir de éstos se obtienen los valores estimados de las variables originales
( )iZ x empleando la Ec. (5.82).
El modelo de correlación intrínseco, también conocido como corregionalización isotópica,
es un caso importante de referencia cuando las variables están todas muestreadas en los
mismos puntos de observación, ya que la estimación conjunta se simplifica, puesto que
1) Se reducen las dimensiones del problema original a través del análisis de
componentes principales, con las consecuentes ventajas de reducción en el
almacenamiento de la información.
2) Se usa el Kriging Ordinario para componentes en lugar de Cokriging para n
variables, donde usualmente .
p
p n
5.14 Análisis de Componentes Principales basado en el Modelo Lineal de
Corregionalización
El modelo de Análisis de Componentes Principales estándar es sólo adecuado paras datos
que puedan ser considerados como una realización de un modelo de correlación intrínseco.
El MCL cubre una clase más general de fenómenos que los que pueden ser descritos con
un variograma multivariado anidado. En este modelo tenemos diferentes estructuras de
correlación a diferentes escalas del espacio (tiempo). Un Análisis de Componentes
Principales Corregionalizado se realiza separadamente para cada una de estas escalas.
El análisis de valores propios es realizado en cada matriz de corregionalización k
V del
variograma multivariado anidado. Los coeficientes de correlación r entre las variables
originales y las componentes principales en una escala dada pueden ser usados para
construir círculos de correlación que ayudan a entender la estructura de correlación en esa
escala espacial (temporal).
k
ij
k
Los valores estimados de las componentes principales ( )*
jk xY son obtenidos mediante la
aplicación de Cokriging y pueden ser graficados como mapas.
El Análisis de Componentes Principales Corregionalizado (ACPC) ha sido exitosamente
aplicado en numerosos casos de estudio.
79

5.15 Dificultades y Aspectos Prácticos del Cokriging.
El problema de estimar varias variables corregionalizadas simultáneamente usando el
Cokriging es el enfoque más riguroso y el que se basa en un menor número de hipótesis.
Sin embargo, requiere que se disponga de un número relativamente elevado de puntos
muestrales donde estén medidas todas las variables para una adecuada estimación de los
semivariogramas cruzados. Cuando no se cumple este requisito el Cokriging puede perder
su superioridad sobre otros métodos alternativos.
La mayoría de los problemas encontrados en la práctica del Cokriging son los mismos
que los encontrados en la práctica del Kriging pero quizás magnificados por el
número de variables incorporadas, por una parte, exigiendo un tiempo de cálculo
considerable en la modelación de los semivariogramas cruzados mediante la modelación y
validación de múltiples semivariogramas y por otra en la estimación de las variables
debido al aumento de la complejidad de los sistemas de ecuaciones a resolver.
5.16 Algunos métodos alternativos al Cokriging
A continuación revisaremos algunas técnicas alternativas al Cokriging.
5.16.1 Kriging combinado con Regresión Lineal
Este método fue propuesto por Delhomme(1974,1976) y consiste en establecer un modelo
de regresión lineal entre las variables ( )Z x y ( )xY de la manera siguiente:
( ) ( )Z x aY x b= + (5.94)
donde a y b son los parámetros de la recta de regresión determinados a partir de l pares de
datos ( ) ( ){ ,iZ x Y x }i si las variables regionalizadas Z y Y están muestreadas en l puntos
simultáneamente, y además consideremos que Z está muestreada en los l puntos mientras
que Y en m puntos, donde m>l, es decir Y está más densamente muestreada que Z.
Entonces podemos estimar a Z en los m-l puntos restantes a través de Y usando el modelo
de regresión lineal anteriormente obtenido como sigue:
( ) ( )ˆ , 1,...,j jZ x aY x b j l m= + = + (5.95)
y las varianzas de los errores de la predicción por regresión están dadas por
( )
( )
2
2 2
2
1
1
, 1,...,
j
j e N
i
i
Y Y
j l m
N
Y Y
σ σ
=
 
 −
 = + = +
 −
  
∑
(5.96)
80

donde ( )
22
1 1
1 1
, ,
2
N N
i e i j
i i
Y Z aY b
N N
σ
= =
= = − −
−
∑ ∑Y
Con los l datos originales de Z se estima el variograma y usando todos los m datos se
realiza mediante Kriging su estimación espacial.
5.16.2 Kriging con una Deriva Externa
Este método fue desarrollado por el grupo de Matheron de la Escuela de Minas de
Fontainebleau y no ha sido muy usado.
Para su aplicación se requiere que el valor esperado de una variable Z sea una función
lineal conocida dependiente de otra variable Y, como sigue:
( ) ( ) ( )1i i iE Z x Y x c Y x c  =  2+ (5.97)
donde c1 y c2 son dos constantes, que no se requieren conocer.
Además se necesita que la segunda variable Y haya sido muestreada en un gran número de
puntos y que ofrezca una información bastante buena acerca de la estructura de correlación
de la primera variable Z.
Considerando el estimador lineal habitual del Kriging para Z en un punto no muestral kx :
*
1
( ) (
N
k i
i
Z x Z xλ
=
= ∑ )i (5.98)
Si aplicamos las condiciones del Kriging:
sesgo nulo
( ) ( ) ( )*
0k k kE Z x Z x Y x −  = (5.99)
y varianza del error mínima
( ) ( ) ( ){ 2*
min 0k k kE Z x Z x Y x −  }= (5.100)
obtenemos:
( )
( ) ( )
1 2
1
1
1
, 1,...,
1
N
ij ij ik
j
N
j
j
N
j kj
j
Y x i N
Y x Y x
λ γ µ µ γ
λ
λ
=
=
=

+ + = =


=


=

∑
∑
∑
(5.101)
81

donde γ es el semivariograma de Z condicionado a la variable Y.ij
~
La varianza condicionada del error de la estimación viene dada por:
( ) ( ) ( ) ( )2 *
1 2
1
N
k k ke i
i
Var Z x Z x Y x Y xσ λ
=
 = − = + +  ∑ kikγ µ µ (5.102)
Nótese que hay que conocer a la variable Y en los puntos kx (o estimarla) y el
semivariograma coincide con el semivariograma de los residuosijγ~ ( )R x obtenidos
mediante:
( ) ( ) ( )1i i iR x Z x c Y x c= − − 2 (5.103)
En la práctica suele reemplazarse el semivariograma γ por el semivariograma de Z sin
condicionamiento. Esto parece no afectar significativamente los valores estimados de Z y
tiene el efecto de sobrevalorar la varianza del error.
ij
~
5.17 Kriging Factorial
Un método tradicionalmente relacionado con el de componentes principales es el análisis
factorial., por lo que se puede definir de manera análoga el Kriging factorial que fue
desarrollado por Matheron (1982). Este se basa en la descomposición de la estructura de
correlación espacial de las variables ( )iZ x como una combinación lineal de varias
subestructuras básicas, es decir,
( ) ( )
1
eN
e
e
e
C h D g h
=
= ∑ (5.104)
o equivalentemente
( ) ( )
1
eN
e
ij ij e
e
C h D g h
=
= ∑ (5.105)
donde ( )eg h es la subestructura básica , es el número total de subestructuras ye eN
e
D
son matrices n positivas definidas que en principio deben ser conocidas. Esta
descomposición obedece a su vexz a la descomposición de cada variable
n×
( )iZ x como la
suma de una serie de factores ( )e
iF x , es decir
( ) ( ) ( )
1
eN
e
i i
e
Z x F x m x
=
= +∑ i (5.106)
donde ( )im x son los valores medios de ( )iZ x , ( ) 0e
iE F x  =  y su covarianza cruzada
está dada por:
82

( ) ( )
( ), si
0, si
e
ij ee e
i i
D g h e e
E F x h F x
e e
′
′ =
 + =   ′≠
(5.107)
Estos factores se expresan como combinaciones lineales de una serie de variables ( )e
jY x
independientes entre sí
( ) ( )
1
m
e e
i ij
j
F x a Y x
=
= ∑ e
j (5.108)
donde los coeficientes se obtienen mediante la descomposición:e
ija
, 1,...,
e T
ee e
D A A e N= = (5.109)
que siempre es factible puesto que las matrices
e
D son positivas definidas. Las variables
( )iZ x se relacionan con las componentes ( )e
jY x mediante
( ) ( )
1 1
; 1,..,
eN m
e e
i ij j
e j
Z x a Y x i n
= =
= ∑∑ = (5.110)
El objetivo del Kriging factorial no es estrictamente la estimación conjunta de las variables
originales ( )iZ x , si no mas bien se pretende estimar la distribución espacial de la
contribución de cada una de las componentes. En ciertos casos es posible interpretar la
descomposición Ec.(5.104) como la descomposición de la variabilidad a distintas escalas
según Wackernagel, et al. (1989).
Las componentes ( )e
k xY pueden estimarse mediante Kriging ordinario a partir de los datos
de las variables originales ( )iZ x , es decir
( ) ( )0
1 1
; 1,.., ; 1,...,
n N
e e
k i i
i
Y x Z x k m e Nαα
α
λ
= =
= =∑∑ e= (5.111)
donde los coeficientes del Kriging λ se obtienen como es habitual imponiendo la
condición de sesgo nulo y que sea mínima la varianza del error de la estimación.
e
iα
Las ecuaciones del Kriging factorial que resultan son:
( ) ( )0
1 1
1
, 1,...,
0, 1,...,
n N
e e e
j ij i ik e
j
N
e
i
C x x a g x x i n
N
α β αβ
β
β
β
λ µ
λ α
= =
=

− + = − =


 = =

∑∑
∑
(5.112)
83

para cada estructura e y para cada componente .1,..., e= N 1,...,k m=
Y la varianza de la estimación es:
( ) ( )( )
( ) ( )
22 *
,
0
1 1 1 1 1 1
1 2
e e
e k k k
n n N N n N
e e e e
i j ij i ik e
i j i
E Y x Y x
C x x a g x xα β αα β α
α β α
σ
λ λ λ
= = = = = =
 = −
  
= + − − −∑∑∑∑ ∑∑
(5.113)
Aplicación del Kriging Factorial
El Kriging Factorial permite separar un vector de n funciones aleatorias en
componentes, cada una representando una escala de variación diferente (o longitud de
onda) del fenómeno que se estudia. Por ejemplo, en las mediciones magnéticas o
gravimétricas uno desea distinguir las longitudes de onda largas asociadas con las fuentes
profundas de las cortas que reflejan fuentes superficiales. En éste sentido se puede
considerar un método de filtrado.
m
Esta separación o filtrado se realiza tradicionalmente usando análisis espectral en dos o más
dimensiones, pero usando el Kriging Factorial es posible e incluso ventajoso obtener la
determinación espacial de las componentes que se deseen directamente. Ya que los
métodos espectrales tienen ciertas limitaciones como son:
a) requieren de una malla rectangular completa, que si no se posee, se requiere
entonces interpolar o aún peor extrapolar ( se usa en ocasiones para esto el Kriging)
lo cual altera las características espectrales,
b) opaca la resolución de las anomalías locales sobre todas las frecuencias.
El Kriging Factorial se ha aplicado con éxito en prospección geoquímica (Sandjivy, 1984),
prospección geofísica Galli et al., 1984, Chiles y Guillén, 1984, exploración petrolera
(Jaquect, 1989), etc.
84

5.18 Esquema General para el Análisis de Corregionalización
Dado un vector ( )Z x de funciones aleatorias se procede de la siguiente manera:n
SI
¿Existe correlación
Intrínseca?
Se ajusta un Modelo de Correlación
Intrínseca (MCI)
( ) ( )C h V hρ=
Análisis de Componentes
Principales (ACP ) de la matriz V
Estimación y Modelación de las
funciones de semivarianzas simples
( )ii hγ y cruzadas ( )ij hγ para la
obtención de la matriz ( )C h
Se obtienen las transformaciones
( ) ( )Z x Y x
Se ajusta un Modelo de
Corregionalización Lineal (MCL)
( ) ( )
0
S
kk
k
C h V hρ
=
= ∑
Análisis de Componentes Principales
(ACP) de las matrices k
V
Se obtienen las transformaciones
( ) ( )Z x Y x
CoKriging de los factores ( )xY
Mapas de los factores ( )xY
Kriging Factorial
NO
Kriging de los factores ( )Y x
85

5.19 Manejo de procesos espacio-temporales
Existen un gran número de fenómenos cuyo estudio de manera natural requiere de un
marco espacio-temporal. Este es el caso, por ejemplo, de las variables meteorológicas o la
evolución de un contaminante en un acuífero, etc. Históricamente, se han desarrollado dos
vertientes principales usando un enfoque estadístico, una que se encarga de la modelación
de fenómenos temporales, que son las series de tiempo o cronológicas, y la otra que
estudia los procesos que varían sólo en el espacio, de la cual se ha encargado la estadística
espacial y en particular la geoestadística.
Por lo anteriormente planteado resulta conveniente definir procesos estocásticos espacio-
temporales que pueden ser caracterizados mediante funciones aleatorias ( ,Z x t)que varían
en el espacio, es decir dependen de la posición 3
x∈ y dependen del tiempo t . Dicho de
otra manera, a cada punto del espacio-tiempo ( ),x t le hacemos corresponder una variable
aleatoria .Z
En la práctica, el problema a resolver consiste en estimar valores en puntos desconocidos
( 0 0,x t ) de la función aleatoria ( ,Z x t), dados un conjunto finito, y con frecuencia
reducido, de mediciones en espacio { y en tiempo { . Hasta la fecha
no existen un método general para la solución de éste problema, no obstante existe una
serie de alternativas propuestas para su manejo aplicables bajo ciertas condiciones. A
continuación enumeraremos las más comunes:
} }1 2, ,..., Mx x x 1 2, ,..., Nt t t
1) Se considera al tiempo como otra coordenada adicional, para esto es necesario
definir un vector velocidad de transmisión v
x
t
= , (Bilonik, 1985).
2) Se separa de manera explícita la dependencia espacial de la temporal, considerando
que la deriva de ( ,Z x t) está compuesta por una componente espacial ( )xm x y otra
temporal , y la función de covarianzas se modela como la suma de una
covarianza espacial y otra temporal, (Rouhani, 1989).
( )tm t
3) Se supone que para un tiempo t dado,i ( , iZ x t )es una función aleatoria intrínseca,
cuyo semivariograma depende de t , a través de uno de sus parámetros, Bastin et
al., 1984).
i
4) Se supone que en cada punto jx , ( ,jZ x t)es una función aleatoria cuya media y
covarianza dependen del punto jx . Es decir, se definen funciones aleatoriasM
( ) ( ) ({ 1 2, , , ,..., ,MZ x t Z x t Z x t)}
N
correlacionadas cuya estimación puede hacerse
mediante Cokriging y resulta eficiente cuando , (Solow y Gorelick, 1986 ).M
5) Es lo opuesto al caso anterior, se considera que para un para un tiempo t dado,i
( , iZ x t )es una función aleatoria, entonces tenemos funciones aleatoriasN
86

espaciales ( ) ( ) ({ 1 2, , , ,..., , NZ x t Z x t Z x t )}
N
correlacionadas entre sí. De manera
similar este enfoque se resuelve usando Cokriging y resulta eficiente cuando
, (Myers, 1988).M
87

88
CAPITULO 6: SIMULACIÓN GEOESTADISTICA
6.1 Introducción
Una variable regionalizada ( )z x es interpretada como una realización de una cierta
función aleatoria ( )Z x . Esta función aleatoria ( )Z x puede ser caracterizada por una
función de distribución de probabilidad y, en dependencia de su grado de estacionaridad,
por una función de correlación (función de covarianzas o semivarianzas).
La idea básica detrás de la simulación estadística consiste en obtener nuevas realizaciones
“artificiales” ( )SZ x de la función aleatoria ( )Z x de manera tal que éstas reflejen las
mismas propiedades estadísticas que se esperan que posea la función aleatoria ( )Z x . Pero
como por lo general no conocemos con precisión las propiedades estadísticas de ( )Z x y
cuando más lo que podemos hacer es inferirlas a través de una sola realización o muestra de
la función aleatoria, entonces lo que se hace es intentar obtener realizaciones simuladas
( )SZ x que sean estadísticamente equivalentes a la muestra que se posee de la función
aleatoria.
La equivalencia estadística en un sentido estricto significa que todas las realizaciones
( )SZ x tengan la misma distribución de probabilidad de la función aleatoria ( )Z x que se
simula, pero en la mayoría de los casos nos tenemos que conformar con que al menos
posean los mismos momentos de primer y segundo orden que inferimos a partir de una
muestra de ( )Z x .
Resulta deseable en muchas aplicaciones quedarse solamente con aquellas realizaciones
( )SZ x que en los puntos muestrales { }, 1,...,ix i n= coinciden los valores simulados
( )iSZ x con los valores reales o experimentales ( )iMZ x . A estas realizaciones ( )SZ x de la
función aleatoria ( )Z x se les conoce como "simulaciones condicionales" ( )SCZ x del
fenómeno regionalizado ( )Z x .

89
6.2 Objetivos de la simulación
Las estimaciones espaciales de un fenómeno regionalizado que se pueda describir mediante
una función aleatoria ( )Z x son con frecuencia insuficientes debido a múltiples factores,
pero sobre todo debido a la carencia de suficiente información (mediciones) acerca de la
función aleatoria ( )Z x .
Como desafortunadamente no se dispone de un conocimiento exacto de la realidad "in
situ" y la información disponible en muchos casos está usualmente muy
fragmentada y se limita fundamentalmente al conocimiento de unos pocos puntos
muestrales, las estimaciones obtenidas a partir de esta información incluso empleando el
estimador Kriging, son demasiadas imprecisas para los cálculos exactos de las dispersiones
que se requieren en ciertas aplicaciones.
¿Cómo es imposible estimar la realidad "in situ" correctamente, con suficiente
detalle?.
Una idea simple es simular esta realidad en base a un modelo, por lo que la realidad y
la simulación son variables diferentes de un mismo fenómeno.
Consideremos el siguiente ejemplo. Tenemos mediciones reales del fenómeno, es decir,
una realización ( ){ }, 1,...,iMZ x i n= de la función ( )Z x en ciertos puntos ix de la región
a estudiar. El enfoque geoestadístico consiste en interpretar la distribución espacial de
la variable regionalizada ( )MZ x como una realización particular de la función aleatoria
( )Z x . Esta función aleatoria esta caracterizada por su función de distribución de
probabilidad o por sus dos primeros momentos, los cuales son estimados a partir de
datos experimentales.

90
Este modelo es entonces adecuado para el problema práctico de la determinación de
medidas de la dispersión de los valores observados ( )iMZ x , ya que las varianzas de la
dispersión de ( )Z x pueden ser expresadas como una función del momento de
segundo orden solamente (covarianza o variograma). Una simulación entonces consiste
en obtener otra realización ( )SZ x de esta función aleatoria ( )Z x . Las dos
realizaciones la real y la simulada difiere una de la otra en determinadas
localizaciones pero ambas pertenecen a la misma función aleatoria ( )Z x , es decir
tienen la misma función de distribución y los mismos momentos de primer y segundo
órdenes por lo se dice que son estadísticamente equivalentes.
El fenómeno simulado tiene la ventaja de ser conocido en todos los puntos y no
solamente en los puntos experimentales ( ){ }, 1,...,iMZ x i n= . Con frecuencia al fenómeno
simulado se le llama "modelo numérico" del fenómeno real.
6.3 Condicionamiento
Existe un número infinito de realizaciones que cumplen con la condición de que sus valores
simulados coinciden con los valores experimentales, es decir
( ) ( ); 1,...,i iSC MZ x Z x i n≡ = (6.1)
donde ( )iMZ x es el valor muestral de la función aleatoria ( )Z x en el punto ix .
Esta condición le confiere una cierta robustez a la simulación condicionada ( )SCZ x con
respecto a las características de los datos reales ( ){ }, 1,...,iMZ x i n= los cuales no son
modelados explícitamente por la función aleatoria ( )Z x . Si por ejemplo un número
suficiente de datos muestran una tendencia local entonces la simulación condicional que
está basada incluso en un modelo estacionario reflejará la tendencia local en la misma zona.

91
La simulación condicional puede ser perfeccionada agregándole todo una suerte de
información cualitativa disponible del fenómeno real. Como por ejemplo en el caso de un
depósito se le puede añadir la geometría de las fallas principales, etc.
6.4 ¿ Simulación o estimación ?
Los fenómenos simulados tienen los mismos valores experimentales en las localizaciones
muestrales y tienen las mismas medidas de dispersión (al menos hasta de orden 2) que
el depósito real.
Entonces, ¿en qué sentido la simulación condicional difiere de una estimación ?
La diferencia estriba en sus objetivos.
A. El objetivo de una estimación es ofrecer en cada punto x un valor estimado
( )*
Z x el cual es tan cercano como sea posible del valor real desconocido ( )Z x .
Los criterios de la calidad de la estimación son:
i.) que sea no sesgada
( ) ( )*
0E Z x Z x − =  (6.2)
ii.) y que la varianza el error sea mínima
( ) ( ){ }
2*
min
x
E Z x Z x −  
(6.3)
El estimador no tiene que reproducir la variabilidad espacial de los valores reales
( )Z x . En el caso del Kriging este produce un suavizado de las dispersiones reales,
dicho de otra forma, se subestima la variabilidad de los valores reales.

92
B. Mientras que el objetivo de la simulación es reproducir las propiedades estadísticas
de la función aleatoria ( )Z x . Dicho explícitamente, la simulación ( )SZ x posee los
mismos momentos experimentales (media, covarianza o variograma, así como el
histograma) que los valores reales ( ){ }, 1,...,iMZ x i n= , los cuales caracterizan
las principales propiedades estadísticas de ( )Z x . En particular, en las simulaciones
condicionadas en cada punto x el valor simulado ( )SCZ x no es el mejor estimador
posible de ( )Z x . Por el contrario, se puede mostrar que la varianza del error de la
estimación de ( )Z x mediante simulación condicional ( )SCZ x es exactamente el
doble de la varianza del error usando Kriging.
6.5 La teoría de la simulación condicional
El problema consiste en construir una realización de la función aleatoria ( )SCZ x
isomorfa a ( )Z x , es decir una realización que tenga el mismo valor esperado ( ( )E Z x   )
y el mismo momento de segundo orden ( ( )C h o ( )hγ ). Además la realización ( )SCZ x
debe estar condicionada a los datos experimentales o sea que en los puntos
experimentales los valores simulados deben coincidir con los valores observados.
( ) ( ); 1,...,i iSC MZ x Z x i n≡ = (6.4)
Consideremos el valor real ( )Z x y el valor interpolado por Kriging ( )*
KZ x a partir de
los datos disponibles ( ){ }, 1,...,iMZ x i n= . Estos dos valores difieren en un error
desconocido
( ) ( ) ( ) ( ){ }* *
K KZ x Z x Z x Z x= + − (6.5)

93
Una propiedad característica del Kriging es que su error ( ) ( )*
KZ x Z x− es ortogonal a los
valores interpolados
( ) ( ) ( ){ }* *
0; ,K KE Z y Z x Z x x y − = ∀  (6.6)
Para obtener la simulación condicional deseada es suficiente reemplazar el error del
Kriging ( ) ( )*
KZ x Z x− por un error isomorfo e independiente ( ) ( )*
S SZ x Z x− .
Dada una realización ( )SZ x cuando aplicamos el Kriging a la misma configuración de
datos ( ){ }, 1,...,iSZ x i n= el error del Kriging resultará ( ) ( )*
S SKZ x Z x− e
independiente de ( )*
KZ x . La simulación condicional requerida es
( ) ( ) ( ) ( ){ }* *
SC K S SKZ x Z x Z x Z x= + − (6.7)
Los requerimientos de una simulación condicional son satisfechos ya que tenemos lo
siguiente:
a) La función aleatoria ( )SZ x tiene el mismo valor esperado que ( )Z x . Esto sale
de la condición de insesgadez del Kriging
( ) ( ) ( ) ( )* *
yK SK SE Z x E Z x E Z x E Z x   = =          (6.8)
entonces
( ) ( )SCE Z x E Z x=       (6.9)
b) La función aleatoria ( )SCZ x es isomorfa a ( )Z x , esto sale de que el error del
kriging de la simulación ( ) ( )*
S SKZ x Z x− es isomorfo al error verdadero
( ) ( )*
S SZ x Z x− e independiente de ( )*
KZ x . En otras palabras los variogramas de
estas dos funciones aleatorias son idénticas pero no necesariamente sus
covarianzas.

94
c) La realización simulada ( )SCZ x es condicional a los datos experimentales.
Esto se obtiene del hecho que en los puntos de observación los valores
interpolados por Kriging son iguales a los valores medidos
( ) ( ) ( ) ( )* *
y , 1,...,i i i i iK M SK SZ x Z x Z x Z x x i n= = ∀ = (6.10)
6.6 Métodos de simulación de funciones aleatorias más conocidos
Las aplicaciones de la simulación de funciones aleatorias en los últimos tiempos han
adquirido una importancia cada vez mayor en la industria del petróleo, en geofísica e
hidrogeología lo cual ha hecho que esta área de la geoestadística sea la que más
activamente se ha desarrollado. Debido a esto se han diversificado los métodos de
simulación, por lo que intentar establecer alguna clasificación sistemática de los mismos
resulta una tarea compleja y difícil. Aquí intentaremos dar una idea general de los métodos
más conocidos y sus características.
Método de Simulación Condicionado Gaussiano Malla Regular
Matricial Si Si No
Espectral No Si No
Bandas Rotantes No Si No
Secuencial Gaussiano Si Si No
Secuencial Indicador Si No No
Gaussiano Truncado Si Si No
Recocido (Annealing)
Simulado
Si No Si
Una de las características distintivas de los métodos de simulación es si generan
directamente simulaciones condicionadas o si se requiere de un postprocesamiento para
condicionarlas usando Kriging. Existe una gran cantidad de métodos que generan
simulaciones Gaussianas, por lo que éste es otro punto a tener en cuenta. Y por último
veremos cuales métodos requieren de mallas regulares.

95
En la tabla anterior se resumen las tres características antes mencionadas de los métodos de
simulación que revisaremos a continuación con cierto detalle.
6.7 Métodos del tipo Gaussiano
En el caso de los métodos del tipo Gaussiano haremos un paréntesis, y nos detendremos
brevemente en ellos antes de abordar en detalle cada uno de los métodos en específico ya
que requieren de un tratamiento especial.
Estos métodos requieren que la FDP multivariada de la función aleatoria ( )Z x a simular
sea Gaussiana.
Como es conocido la mayoría de los fenómenos de ciencias de la tierra no presentan
histogramas simétricos y mucho menos gaussianos. Por lo que nos enfrentamos aquí con la
primera dificultad a la hora de aplicar esta clase de métodos.
La primera condición necesaria para que una función aleatoria posea una distribución
normal multivariada es que su distribución univariada sea normal. Esto nos dice que
necesitamos transformar a la función aleatoria ( )Z x de manera que resulte su FDP normal.
El modo de hacerlo es relativamente simple. Si ( )Y x es una función aleatoria con FDP
univariada ( ) ( )YF y G y= normal estandarizada ( )0,1N . Entonces, se cumple que
( ) ( ) [ ]; 0,1Y p Z pF y F z p p= = ∀ ∈ (6.11)
y por lo tanto la transformación que se requiere sería
( )( )1
Y Zy F F z−
= (6.12)
En la práctica los n datos de la muestra de ( )Z x son ordenados de modo creciente de sus
valores:
(1) (2) ( )
... n
z z z≤ ≤ ≤ (6.13)

96
Fig. 6.1: Esquema general de las Simulaciones de tipo Gaussianas
Datos muestrales de la Función
Aleatoria ( )Z x
¿ Distribución
Gaussiana ?
Transformación Gaussiana
Análisis Estructural:
Obtención del variograma
Simulación Gaussiana
¿ Condicional ?
Condicionamiento: Kriging
Transformación Gaussiana Inversa
Simulación Condicional
de la F.A. original ( )SCZ x
Si
No
No
Si

97
La FDP acumulativa de ( )Z x está dada por ( )( )k
ZF z k n= , entonces la transformación
correspondiente sería
( )( ) 1k
y G k n−
= (6.14)
A este tipo de transformación se le conoce como anamorfosis.
Pero esto aún sería insuficiente puesto que se requeriría verificar la normalidad al menos de
la distribución bivariada. Aunque en muchos casos para fines prácticos no se lleva tan lejos
el análisis y se toma la decisión de considerar a la distribución gaussiana o por el contrario
se rechaza esa hipótesis y se elige otro método de simulación no gaussiano.
Luego de realizar la simulación Gaussiana a los datos transformados se requiere hacer la
transformación inversa de los valores simulados obtenidos. En la Fig. 6.1 se muestra un
esquema general de cómo proceder con las simulaciones de tipo Gaussianas.
6.8 Método matricial
El método matricial consiste en generar variables aleatorias cuya matriz de covarianza
coincide con la obtenida a partir del kriging. Es sencillo de implementar pero resulta muy
costoso al incrementarse la cantidad de puntos a simular ya que el tiempo de procesamiento
es superior al cuadrado del número de puntos.
Supongamos que se desea obtener realizaciones de una función aleatoria ( )Z x en n
puntos prefijados, es decir, necesitamos obtener realizaciones estadísticamente equivalentes
del vector aleatorio ( ) ( ) ( ){ }1 2, ,...,
T
nZ Z x Z x Z x= .
Supongamos además, que son conocidos
i.) El valor medio esperado de ( )Z x
( ) ( )m x E Z x=    (6.15)

98
ii.) Y la función de covarianzas de cualquier par de puntos ( )iZ x y ( )jZ x definida
como:
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ },i j i i j jC x x E Z x m x Z x m x = − −
 
(6.16)
Entonces el vector de los valores esperados de Z se puede expresar como:
[ ] ( ) ( ) ( ){ }1 2, ,...,
T
nE Z m x m x m x m= ≡ (6.17)
y correspondientemente la matriz de covarianzas
[ ] ( ){ },i jVar Z C x x C= ≡ (6.18)
donde C es una matriz n n× simétrica y positiva definida.
Dada una matriz M que satisfaga
T
M M C= (6.19)
Entonces el vector aleatorio Z puede ser simulado usando la relación:
SZ m Mε= + (6.20)
donde ( ) ( ) ( ){ }1 2, ,...,
T
nx x xε ε ε ε≡ es un vector de variables aleatorias no correlacionadas,
con valor medio cero y varianza unitaria, es decir:
[ ] [ ]0 yE Var Iε ε= = (6.21)
En particular, para la obtención de la matriz M , la descomposición de Cholesky resulta
una buena elección ya que permite expresar eficientemente a C como:
T
C LL= (6.22)
donde L es una matriz n n× triangular inferior (todos los elementos por encima de la
diagonal son ceros).

99
Es bueno hacer notar que usualmente el vector ε se toma como realizaciones de variables
aleatorias con distribución gaussiana y por lo tanto esto implica que SZ es una realización
de una distribución gaussiana multivariada, aunque se podría tomar en calidad de ε
realizaciones de variables aleatorias no correlacionadas con media cero y varianza uno de
cualquier distribución de probabilidad conjunta.
En el caso estacionario los componentes de la matriz de covarianza son:
2
( , )i jij Z ijC C x x σ γ= = − (6.23)
Mientras que para funciones intrínsecas se usa como alternativa equivalente:
0 0( ) ( )i jij ijC x x x xγ γ γ= − + − − (6.24)
donde 0x es un punto arbitrario pero común a todos los ijC .
Para que la simulación sea condicional basta con tomar al vector de valores esperados m
igual a la estimación por kriging
*
Z y a C como la matriz de covarianza de dicha
estimación, resultando:
*
SCZ Z Mε= + (6.25)
Este método clásico fue introducido en aplicaciones geoestadísticas por Davis (1987), y es
aplicable hasta límite que sea factible la descomposición de Cholesky, es decir, hasta unos
cuanto cientos de puntos simulados.
6.9 Método espectral
Los métodos espectrales hacen uso de la representación espectral de la función de
autocovarianza. Existen diversas variantes. Una se basa en aproximar la función aleatoria
mediante serie de cosenos en los que la frecuencia se muestrea aleatoriamente a partir de la
función de densidad espectral. Otra se considera como una integración numérica en la que
se ponderan las amplitudes y se distribuyen uniformemente las frecuencias. A continuación
veremos con algún detalle el primer enfoque.

100
Supongamos que tenemos una función aleatoria ( )Z x en una dimensión y estacionaria de
segundo orden con:
i.) valor esperado nulo
( ) 0;E Z x x= ∀   (6.26)
ii.) función de covarianzas ( )C h y por lo tanto la varianza existe, es finita y no
depende de x , es decir
( )2
0Cσ = (6.27)
Ha sido demostrado (Bochner, 1955) que cualquier función positiva definida y simétrica
( )C h corresponde a la función de covarianzas de una función aleatoria ( )Z x estacionaria
de segundo orden, más aun ( )C h es una función positiva definida si y solo si existe su
representación espectral siguiente
( ) ( )cos ( )C h h dFω ω
+∞
−∞
= ∫ (6.28)
donde ( )F ω es una función acotada positiva y simétrica; y a ( )( ) 0F Cω se le llama
función de distribución espectral, ya que ( )( ) 0F Ci es una función de distribución de
probabilidad.
Cuando se cumple que ( ) ( )dF f dω ω ω= , lo cual es posible si ( )C h dh
+∞
−∞
< ∞∫ , entonces
( )( ) 0f Cω está definida y se le conoce como función de densidad espectral ya que
( )( ) 0 1f C dω ω
+∞
−∞
=∫ por lo que ( )( ) 0f Ci es una función de densidad de probabilidad.
Shinozuka (1971), y Mejia y Rodríguez-Iturbe (1974) propusieron la siguiente fórmula para
simular una función aleatoria
( ) ( ) ( )
1 2
1
2/ cos
N
N i i
i
Z x N xσ ω φ
=
≡ +∑ (6.29)
donde , 1,...,i i Nω = , son realizaciones independientes de una variable aleatoria con
densidad de probabilidad ( )( ) 0f Ci , independiente de , 1,...,i i Nφ = que son realizaciones
independientes con distribución uniforme en el intervalo [ ],π π− .

101
Se puede comprobar que ( )NZ x es una función aleatoria, independientemente del valor de
N , que tiene valor medio cero
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2
2
1
cos 0
N
N
N
i
E Z x x f d d
π
πσ
π
ω φ ω φ ω
+∞
= −∞ −
= + =   ∑ ∫ ∫ (6.30)
y función de covarianzas ( )C h
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2
1 1
2
2 / cos cos
2 cos cos
cos ( )
N N
N N k k l l
k l
k k k k
E Z x h Z x N E x x h
E x x h
h f d C h
σ ω φ ω φ
σ ω φ ω φ
ω ω ω
= =
+∞
−∞
 + = + + +    
 = + + + 
= =
∑∑
∫
(6.31)
A medida de que se incrementa el valor de N la función aleatoria ( )NZ x converge
débilmente a una función aleatoria Gaussiana ( )Z x , es decir
( ) ( ) [ ]lim ; ,N
N
Z x Z x x a b
→∞
→ ∀ ∈ (6.32)
y el proceso se hace ergódico. Por ergodicidad se entiende que cualquier realización de la
función aleatoria es representativa de esta, es decir, que las estimaciones muestrales de los
primeros momentos de la realización convergen a los momentos de la distribución de
probabilidad de la función aleatoria.
Este método se puede generalizar fácilmente para el caso de varias dimensiones cuando
( )Z x , para 3
x∈ y también puede ser aplicado para simular procesos aleatorios
vectoriales.
Como en general se simulan funciones aleatorias ( )Z x con valor esperado no nulo,
( ) ( )E Z x m x=   , luego de simular el proceso estacionario con media cero se requiere
agregar a los valores simulados el valor medio esperado ( )m x de ( )Z x .
El método espectral tiene como ventaja que permite producir simulaciones en cualquier
punto dada la función de covarianzas ( )C h siempre que se pueda calcular su

102
transformación de Fourier. Pero su desventaja principal es que requiere de un valor elevado
de N (del orden de miles) para que alcance la ergodicidad.
6.10 Método de bandas rotantes
El método de las bandas rotantes consiste en generar procesos unidimensionales a lo
largo de líneas distribuídas uniformemente en el espacio. La simulación en un punto
arbitrario resulta de la suma de las proyecciones de este punto sobre las líneas. Es muy
económico puesto que sólo requiere de simulaciones unidimensionales. Su dificultad
fundamental estriba en la obtención de la función de covarianza unidimensional
especialmente para variables bidimensionales.
Muchos métodos han sido propuestos para la simulación de un proceso estocástico
estacionario en una dimensión a partir de la generación de realizaciones de su función
aleatoria ( )Z x dada su función de covarianzas. Sin embargo cuando se trata de extender
estos procedimientos a dos o más dimensiones se tornan en demasiado complicados y en
general prohibitivos debido al tiempo de computo que consumen.
La originalidad del método conocido como el de “bandas rotantes” se debe a G. Matheron,
el cual consiste en reducir el problema de obtener una simulación en tres dimensiones a
varias simulaciones independientes en una sola dimensión a lo largo de ciertas líneas
rotadas en el espacio tridimensional 3
. Por lo que este método produce simulaciones n-
dimensionales a un costo de computo razonable, equivalente de hecho al costo de las
simulaciones unidimensionales.
Considere una línea 1L en el espacio tridimensional 3
y una función aleatoria
unidimensional, estacionaria de segundo orden ( )1LY x definida sobre dicha línea 1L , con
valor esperado ( )1
0LE Y x  =  y función de covarianzas unidimensional ( )
( )1
1
LC h .

103
Sea 1Lx la proyección de cualquier punto 3
x∈ sobre la línea 1L , entonces se define la
siguiente función aleatoria ( )1Z x en tres dimensiones como:
( ) ( )1
3
1 ;LZ x Y x x≡ ∀ ∈ (6.33)
Esta función aleatoria es estacionaria de segundo orden, con valor esperado cero y función
de covarianzas tridimensional
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 1 1 1
1
1 1 L L L LE Z x Z x h E Y x Y x h C h + = + =     (6.34)
donde 1Lh es la proyección del vector h sobre la línea 1L .
En la práctica para producir una realización ( )1z x de la función aleatoria ( )1Z x , se
procede asignando el valor simulado ( )1Ly x en el punto 1Lx de la línea 1L a todos los
puntos que se encuentran dentro de una banda centrada en el plano 1
.Lx const= ,
perpendicular a la línea 1L . El ancho de esta banda es el paso o intervalo de separación
1Lx∆ entre los puntos simulados sobre la línea 1L .
Si se consideran N líneas 1,..., NL L distribuidas uniformemente en N direcciones en 3
.
Si en cada línea iL se genera una realización ( )iLy x de una función aleatoria
unidimensional independiente ( )iLY x e isomorfa a ( )1LY x , ( ){ }, 1,...,iLY x i N= , entonces
se puede definir de manera análoga realizaciones tridimensionales a partir de las
simulaciones unidimensionales:
( ) ( ) 3
;ii Lz x y x x≡ ∀ ∈ (6.35)
Y finalmente a cada punto del espacio tridimensional 3
x∈ se le asigna el siguiente valor
a partir de las simulaciones unidimensionales
( ) ( ) 3
1
1
;
N
S i
i
z x z x x
N =
= ∀ ∈∑ (6.36)
Esta realización de la función aleatoria tridimensional es estacionaria de segundo orden con
valor medio cero y función de covarianzas:
( ) ( ) ( )S S SE Z x Z x h C h+ =   (6.37)
la cual, cuando N tiende al ∞ , tiende a la función de covarianzas isotrópica ( )C h .

104
Para fines prácticos la función de covarianzas tridimensional ( )(3)
C h se considera
conocida y la función de covarianzas unidimensional ( )
( )1
1
LC h de la función aleatoria a ser
simulada en cada una de las N líneas se obtiene a partir de la primera usando la expresión
( )
( ) ( )
( ){ }1 3d
C r rC r
dr
= (6.38)
Sin embargo no existe unas expresión directa para obtener la ( )(1)
C h a partir de la función
de covarianzas bidimensional ( )(2)
C h .
Es uno de los métodos mas eficientes para producir simulaciones en varias dimensiones
puesto que reduce su complejidad al orden de las simulaciones en una dimensión. Como
dificultades prácticas se le debe apuntar que requiere del conocimiento o del cálculo de
( )
( )1
C h y de un algoritmo de simulación en una dimensión que reproduzca esta función de
covarianzas. Usualmente se emplea el método espectral.
6.11 Métodos secuenciales
En estos métodos un nuevo valor simulado ( )SZ x se obtiene a partir de la función de
distribución de probabilidad estimada usando los valores observacionales (reales) y los
valores previamente simulados en etapas anteriores en una vecindad del punto x .
En dependencia de cómo se estime la función distribución de probabilidad, existen dos
métodos secuenciales:
a) Secuencial Indicador: Usa el Kriging indicador para estimar la función distribución
de probabilidad local. Requiere del modelo del semivariograma para cada valor de corte
cz especificado por el usuario o como alternativa mas eficiente pero menos precisa del
semivariograma obtenido para el valor corte correspondiente a la mediana Mz .

105
b) Secuencial Gaussiano: Se obtiene la estimación usando Kriging ordinario aplicado a
los datos estandarizados, es decir ( ) ( )( ) , 1,...,i i Z ZY x Z x m i nσ= − = . Se requiere del
modelo del semivariograma basado en los datos transformados y cada vez que se
obtienen los valores estimado son transformados hacia atrás a su escala original. Su
dificultad principal estriba en el grado de conocimiento que se posea de la función
distribución de probabilidad, lo cual puede ser suplido en parte por la experiencia previa
sobre la naturaleza del fenómeno que se simula. Hay programas, como el de GSLIB que
permite extrapolar valores de la FDP, usando modelos potencia, hiperbólico y lineal.
6.12 Método Gaussiano Truncado
Consideremos un indicador o una serie de indicadores que se originan aplicando uno o más
umbrales a una F.A. Gaussiana ( )Y x ,
( ) ( )1 0 11 , donde ...i ii my Y x y
I x y y y− < <
= − ∞ = < < < = +∞ (6.39)
Los umbrales iy son elegidos de manera que concuerden con las proporciones ip de los
indicadores
1
1
i
i j
j
y G p−
=
 
=  
 
∑ (6.40)
Una vez que el correlograma de la F.A. Gaussiana ( )Y x es conocido, las funciones de
covarianzas directa y la cruzada de los indicadores son conocidos. La simulación de los
( )iI x se reduce a la simulación de ( )Y x . En aplicaciones se elige directamente ( )hρ de
manera que los variogramas teóricos de los indicadores deducidos a partir de las relaciones
(6.41) o (6.42) se ajusten bien a los variogramas muestrales.
( )
( ) 2
2
0
1
; exp
2 1 1
h
z du
C h z
u u
ρ
π
 
= − 
+ − 
∫ (6.41)
o
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )1 1
1
χ χ nn n
yy
n
y y
C h g y g y h
n
ρ
∞
− −
′
=
′
′= ∑ (6.42)

106
donde ( ) ( )χ !n ny H y n= es el polinomio de Hermite normalizado el cual forma una
base ortonormal con respecto a la distribución gaussiana estándar.
En efecto, estas relaciones no son invertidas fácilmente, excepto si el valor de corte es en
0y = . Mas aún, mientras cualquier correlograma ( )hρ produce un modelo válido de
covarianza indicador mediante la aplicación de (6.41) , no es cierto lo inverso, es decir, que
la inversión de esta relación sea un modelo válido de correlograma, incluso si partimos de
una covarianza indicador, ya que ésta no es necesariamente la covarianza de una F.A.
Gaussiana truncada.
Examinemos la construcción de las simulaciones condicionales. Si los datos provienen
directamente de ( )Y x , estamos en el caso estándar de la sección 6.5, en caso contrario los
datos son de los indicadores y se procede en cuatro pasos:
1.- Análisis estructural global de los variogramas directos y cruzados de los diferentes
indicadores, ajustando un modelo derivado a partir del correlograma ( )hρ .
2.- Simulación de ( )Y x en los puntos muestrales condicionada en los valores del
indicador.
3.- Simulación de toda la malla condicionada en estos valores duros simulados.
4.- Transformación de la simulación de ( )Y x a la simulación de los indicadores.
Este método puede ser fácilmente adaptado a la regionalización de las proporciones de
diferentes indicadores y de los correspondientes umbrales. Es aplicado para la simulación
de litofacies. Esto conduce a simulaciones de tipo difusivas, en el sentido que la facies i
está rodeada sólo por facies 1i − y 1i + . Pero el método puede ser generalizado usando dos
F.A. Simuladas Gaussianas independientes o correlacionadas de manera que las facies no
sigan una a la otra en un orden fijo, el cual se conoce como método de simulaciones
plurigaussianas truncadas.

107
6.13 Simulaciones Plurigaussianas Truncadas
La definición general de una plurigaussiana truncada está basada en una partición
, 1,...,iD i n= del espacio p -dimensional, es decir, i kD D = ∅∩ y p
i
i
D =∪ , y en un
vector de p gaussianas:
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2, ,..., pY x Y x Y x Y x= (6.43)
donde x son las coordenadas de una ubicación en 3D.
6.14 Métodos del tipo Recocido Simulado
El recocido simulado (simulated annealing) es un método heurístico que permite la
generación de simulaciones condicionales sujetas a restricciones complejas. Fue
introducido por Kirkpatrick (1983) como un método para la solución de problemas
combinatorios (discretos) de optimización. Y su nombre proviene por la analogía del
método con el proceso de enfriamiento lento del metal fundido de manera que alcance un
estado de mínima energía el cual corresponde a una estructura cristalina pura
completamente ordenada del metal. Si el enfriamiento no se realiza con la lentitud
adecuada, el metal no alcanza dicho estado y degenera en una estructura amorfa o
policristalina.
El método computacional inicia con una imagen aleatoria y requiere de los datos
observados y del modelo del variograma a reproducir.
Durante su ejecución el algoritmo intenta modificar la imagen inicial de manera tal que
reproduzca el variograma y al mismo tiempo mantenga la misma distribución de
probabilidad de los datos observados.
Esquema general del algoritmo es:

108
1) Crea imagen inicial asignando a cada nodo de las malla de simulación valores de
manera aleatoria generados a partir de la función distribución de probabilidad
(FDP) suministrada por el usuario. Cuando el nodo de la malla de simulación
coincide con el nodo de una observación o es cercano a éste con cierto error de
tolerancia, se le asigna el valor observado a éste. Este imagen inicial así obtenida no
tiene que reflejar ningún modelo de variograma específico.
2) En una segunda etapa el algoritmo intenta reproducir el variograma modelo
intercambiando valores en los nodos de la malla de simulación elegidos de manera
aleatoria. Se aceptan como permanentes los intercambios que reduzcan la diferencia
entre el variograma suministrado ( )hγ y el que refleja los datos simulados ( )*
hγ .
Es decir, se intenta minimizar la siguiente función objetivo
( ) ( )
( )
2
*
1
i i
i i
h h
FO
h
γ γ
γ
 −
=  
 
∑ (6.44)
Para evitar caer en un mínimo local, son aceptados algunos intercambios que incrementan
el valor de la función objetivo, es decir la aceptación del intercambio es probabilística. Se
espera que para un número elevado de iteraciones la función objetivo tienda al mínimo
global y consecuentemente los valores simulados posean una estructura espacial cercana al
variograma de los datos observados.
Una alternativa a la función objetivo arriba propuesta puede incluir restricciones y tener la
siguiente forma:
( ) ( )
2 2* *
2 1 2i i j j
i j
FO w h h wγ γ µ µ   = − + −   ∑ ∑ (6.45)
donde el segundo término es una medida de la discrepancia de cierta propiedad, mientras
que 1w y 2w le dan un peso relativo a cada uno de los términos.
Desde el punto de vista computacional es un método muy demandante ya que requiere de
millones de iteraciones para que la simulación refleje correctamente la estructura de la
función de semivarianzas.

ANEXO A: CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA
A.1 ESTADÍSTICA UNIVARIADA.
- Variable Aleatoria (V.A.): Es una variable (propiedad) que puede tomar una serie
de valores o realizaciones (zi, i=1,...,N) con un conjunto dado de probabilidad de
ocurrencia (pi, i=1,...,N)
Z
- Variable Aleatoria Discreta: cuando el número de ocurrencias es finito, se conoce
como variable aleatoria discreta. Las N probabilidades de las ocurrencias deben
satisfacer las condiciones siguientes:
1.- 0, 1,...,ip i≥ ∀ = N
]
]
2.- ∑ pi
i
N
=
=
1
1
- Variable Aleatoria Continua: Si el número de ocurrencias posibles es infinito, por
ejemplo el valor de la porosidad del medio se encuentra en el intervalo [0,100%],
entonces se dice que la VA es continua.Z
- Función de Distribución de Probabilidad (FDP)
1.- VA discreta, se conoce como histograma acumulativo
(A.1)[( ) 0,1
j i
i j
z z
F z p
≤
= ∈∑
2.- VA continua, se conoce como función de distribución de probabilidad
(acumulativa) y se define como:
(A.2){ } [( ) Pr 0,1F z Z z= ≤ ∈
La FDP caracteriza completamente a la VA.
Propiedades de una FDP:
1.- F( )−∞ = 0
106

2.- F( )+∞ = 1
3.- { }Pr ( )Z z F z> = −1
4.- , es decir es una función no decreciente.( )F z F z z z( ) ,1 2 1≥ ∀ 2≥
- Función de Densidad de Probabilidad (fdp).
1.- VA continua, se define como:
( )
( )
dF z
f z
dz
= (A.3)
cuando esta existe.
2.- VA discreta es el histograma.
Propiedades de una fdp:
1.- f f( ) ( )−∞ = +∞ = 0
2.- f z dz( )
−∞
+∞
∫ = 1
3.- F z f z dz
z
( ) ( )1
1
=
−∞
∫
4.- { }Pr ( )a Z b f z dz
a
b
≤ ≤ = ∫
5.- f(z) ≥0
- Percentiles o cuantiles de una distribución F(z).
El percentil de una distribución F(z) es el valor zp de la V.A. tal que:
(A.4)[( ) 0,1pF z p= ∈ ]
Si existe la función inversa se puede expresar como:
(A.5)1
( )pz F p−
=
donde p es expresada en por ciento.
107

Algunos cuantiles de interés:
Mediana, (50 %)0.5p =
(A.6)1
(0.5)M F−
=
Cuartiles
p=0.25 (primer cuartil o inferior)
(A.7)1
0.25 (0.25)z F−
=
p=0.75 (tercer cuartil o superior)
(A.8)1
0.75 (0.75)z F−
=
Rango o intervalo intercuartil (IR)
(A.9)[ 0.25 0.75,z z ]
ϕ
- Valor Esperado o esperanza matemática de una VA.
Es el valor más probable que puede tomar la VA. Se conoce también como valor medio o
media.
1.- VA discreta
(A.10)[ ]
1
N
i i
i
m E Z p z
=
= = ∑
2.- VA continua
(A.11)[ ] ( ) ( )m E Z zdF z zf z dz
+∞ +∞
−∞ −∞
= = =∫ ∫
De manera análoga se puede definir el valor esperado de cualquier función de una VA. Por
ejemplo si tenemos la función ϕ de la VA Z, entonces su valor esperado se define
como:
( )Z
1.- VA discreta
(A.12)( ) ( )
1
N
i i
i
E Z p zϕ
=
=   ∑
108

2.- VA continua
(A.13)( ) ( ) ( )( ) ( )E Z z dF z z f z dϕ ϕ ϕ
+∞ +∞
−∞ −∞
= =   ∫ ∫ z
)

≥
2
2 2

Propiedades lineales del valor esperado:
Es un operador lineal, que cumple:
1.- Para cualquier – constantes y – VAska kZ
(A.14){ }
1
k k k k
k k
E a Z a E Z
 
= 
 
∑ ∑
2.- Para cualquier par de funciones ϕ y ϕ de la VA Z( )1 Z (2 Z
(A.15)( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2E Z Z E Z E Zϕ ϕ ϕ ϕ+ = +        
- Momento de orden r de una Función de Distribución de Probabilidad
(A.16)( ) ( )r r r
rm E Z z dF z z f z dz
+∞ +∞
−∞ −∞
 = = =  ∫ ∫
- Momento central de orden r de una Función de Distribución de Probabilidad
(A.17)( ) ( ) ( )( ) ( )
r r r
r E Z m z m dF z z m f z dzµ
+∞ +∞
−∞ −∞
 = − = − = −
  ∫ ∫
- Varianza σ2
de una VA (2do
momento central)
Se define como el valor esperado de la desviación cuadrática de la VA Z respecto a su valor
medio m . Y caracteriza la dispersión de la distribución alrededor de la media.
(A.18)[ ] ( )
22
Var 0Z E Z mσ  = = −
 
(A.19)
( )
[ ]
22 2
2 2
2
2
E Z m E Z mZ m
E Z mE Z m E Z m
σ    = − = − + 
   = − + = −   
109

1.- VA discreta
(A.20)[ ] (
2
1
Var
N
i i
i
Z p z m
=
= −∑ )
2
dz
2.- VA continua
(A.21)[ ] ( ) ( )
2
Var ( ) ( )Z z m dF z z m f z
+∞ +∞
−∞ −∞
= − = −∫ ∫
- Desviación Estándar σ
[ ]Var Zσ = (A.22)
- Coeficiente de variación (dispersión relativa)
/ (A.23)CV mσ=
- Desviación absoluta media alrededor de la media
mAD E Z m=  −   (A.24)
- Desviación absoluta media alrededor de la mediana
{MAD E Z M= − } (A.25)
- Signo de Simetría
(A.26)( )
cuando >0, y se dice que hay asimetría positiva
Sign
cuando <0, y se dice que hay asimetría negativa
m M
m M
m M
⇒ >
− = 
⇒ <
Ver figura 1.
- Coeficiente de simetría (medida de la simetría)
3
1 3/ 2
2
µ
α
µ
= (A.27)
- Coeficiente de curtósis (medida del achatamiento)
4
2 2
2
3
µ
α
µ
= − (A.28)
110

Figura 1. -Diferentes tipos de distribuciones
- Estimadores muestrales
- Valor medio(media)
El promedio es un estimador insesgado del valor medio de la población
*
1
1 N
i
i
m z z
N =
= = ∑ (A.29)
- Varianza
( ) (
* 22 2
1
1
1
N
i
i
S z
N
σ
=
= = −
−
∑ )z (A.30)
-Distribución Normal o Gaussiana. Características.
Esta distribución está completamente caracterizada por sus dos parámetros: media y
varianza σ y se designa mediante .
m
2
( )2
,N m σ
La fdp normal o Gaussina está dada por
2
1 1
( ) exp
22
z m
g z
σσ π
 − 
= −  
   
 (A.31)
111

Para el caso de la fdp estándar los parámetros son: media m y varianza σ = , es
decir , entonces
0= 2
1
(0,1N )
2
0
1
( ) exp
22
z
g z
π
 
= −
 
 (A.32)
La correspondiente FDP no tiene una expresión analítica, pero está bien tabulada:
(A.33)0 0( ) ( )
z
G z g u du
−∞
= ∫
y correspondientemente
0( ) ( )
z
z m
G z g u du G
σ−∞
−
= = 
 
∫


+
(A.34)
La distribución gaussiana es simétrica respecto a la media, es decir se cumple que:
(A.35); ( ) ( ); ( ) 1 ( );m M g m z g m z G m z G m z= + = − − = −
(A.36)1- 2 - ; [0,0.5]p pz m z p= ∈
Una de las razones de la popularidad de la distribución gaussiana se debe a los teoremas del
límite central que dice:
Si n VAs independientes tienen la misma FDP y media cero, entonces la variable
aleatoria
iZ
1
1
tiende a tener una distribución Normal cuando
n
i
i
Y Z n
n =
= →∑ ∞
Y
(A.37)
-Modelo LogNormal. Características.
Muchas distribuciones experimentales tienden a ser asimétricas , con media y medianas
diferentes, y la mayoría de las variables en ciencias de la tierra toman valores no
negativos. Varias transformaciones del modelo normal han sido definidas para acomodarse
a las características de las distribuciones de los datos en ciencias de la tierra.
Una VA positiva se dice que tiene una distribución lognormal si su logaritmo
esta normalmente distribuido.
Y
( )lnX =
112

(A.38)( ) (2
0 log , , ln ,Y N m si X Y Nσ> → = → )2
α β
)
) Y
También la distribución Lognormal está completamente caracterizada por dos parámetros:
1.- media y varianza ( parámetros aritméticos2
,m σ
2.- media y varianza ( de la transformación logarítmica , parámetros
logarítmicos.
2
,α β ( )lnX =
La FDP se expresa más fácilmente a través de los parámetros logarítmicos ( ).2
,α β
{ } ( ) 0
ln
Pr Y
y
Y y F y G
α
β
 −
≤ = = 
 

 (A.39)
Y su correspondiente fdp es
( ) ( )'
0
1 ln
Y Y
y
f y F y g
y
α
β β
 −
= = 
 
 (A.40)
Relación entre los parámetros aritméticos y logarítmicos:
2
2
2
/2
22 2
2
2
ln
2
1
ln 1
m
m e
m e
m
α β
β
β
α
ασ
β
+
 
= −  =  
↔  
   = −   = +       



Y
∞
(A.41)
La fdp lognormal tiene asimetría positiva.
Un corolario del teorema del límite central dice:
El producto de VA independientes con igual fdp tiende a estar lognormalmente
distribuidas cuando es grande. Usando el teorema del límite central, tenemos que
1
n
i
i
Y
=
= ∏
n
(A.42)
11
ln ln Normal cuando
n n
i i
ii
Y Y Y Y n
==
= ⇒ = → →∑∏
entonces Y→ Lognormal, cuando .n → ∞
113

Métodos Clásicos de Estimación
Un estimador de un parámetro de una población puede ser dado por
- Estimador Puntual: Un estimador puntual θ de un parámetro θ de una población es
un valor simple o realización de una variable aleatoria , es decir los valores que
pueden tomar el estimador define una variable aleatoria con cierta distribución de
probabilidad asociada. Ej: El valor
*
*
Θ
z del estadígrafo promedio Z calculado para n
valores muestrales, es un estimador puntual del parámetro valor medio de una
población.
m
- Intervalo de Estimación: Un intervalo de estimación de un parámetro θ es un
intervalo de la forma , donde dependen del estimador puntual para
una muestra dada y también de la distribución muestral del estadígrafo .
a θ< < b
θ
ya b *
θ
Θˆ
Def: Un estadígrafo se dice que es un estimador insesgado de un parámetro θ de una
población si se cumple que
Θˆ
(A.43)[ ]ˆ
ˆm E E mθθΘ
 = Θ = = 
o dicho de otra manera si el valor esperado del error de la estimación es cero
(A.44)[ ]ˆ
ˆ ˆ 0E e E E EθΘ
     = Θ − = Θ − =     
Def: Se considera el estimador más eficiente a aquel que tiene la menor varianza de todos
los estimadores insesgados posibles de un parámetro θ de una población
Ejemplo: Estimación del valor medio (m)
Estimador puntual:
114

1
1 N
i
i
z
N =
= ∑z (A.45)
E Z m  =  (A.46)
2
/Var Z Nσ  =  (A.47)
Intervalo de estimación:
Cuando N es suficientemente grande (>30) se puede considerar la distribución muestral del
estadígrafo Z aproximadamente como normal con media Z
m y desviación estándar
/ZZ
Nσ σ= .
Sabemos que una VA con una distribución normal estándar se encuentra en el intervalo
[-1.96,1.96] con una probabilidad de 0.95,
SZ
(A.48){Pr 1.96 1.96 0.95SZ− < < =}
donde
/
Z
S
Z
Z m
Z
Nσ
−
=
Pr 1.96 1.96 0.95
/
Z
Z
Z m
Nσ
 −
− < < =
  

 (A.49)
1.96 1.96
Pr 0.95Z Z
ZZ m Z
N N
σ σ
− < < + =
 

 (A.50)
donde
1.96 1.96Z
ZZ m Z
N N
σ
− < < + Zσ
intervalo de confianza para 95 %.
Generalizando, tenemos que un intervalo de confianza para la media con una probabilidad
de (1-α)100% para N>30 esta dado por
/2 / 2Z
Z
z
z m z
N N
α σ
− < < + Zzα σ
(A.51)
donde .{ }/2 /2Pr 1z Z zα α α− < < = −
115

En la práctica se sustituyen z y σ por sus valores estimados y
correspondientes, resultando
Z
*
Zm
( )
*
Zσ
( ) ( )
* *
/2 /2* *Z
Z Z Z
z z
m m m
N N
α σ σ
− < < + Zα
]z
n
( )z
(A.52)
A.2 ESTADÍSTICA MULTIVARIADA.
- Función de distribución de probabilidad (FDP) n-variada.
Dadas n variables aleatorias se puede definir la función de distribución de
probabilidad n-variada o conjunta de manera análoga al caso unidimensional como:
1 2, ,..., nZ Z Z
(A.53)( ) [1 2, ,..., 1 2 1 1 2 2, ,..., Pr , ,...,nZ Z Z n n nF z z z Z z Z z Z= ≤ ≤ ≤
- Función de distribución de probabilidad marginal.
La distribución de probabilidad marginal de una variable aleatoria , se define como:iZ
(A.54)( ) ( )1 2
1 2 1 1
, ,..., 1 2
, ,..., , ,...,
lim , ,...,i
i i n
Z i Z Z Z n
z z z z z
F z F z z z
− + →∞
=
Si la función de distribución de probabilidad n-variada se puede expresar como el producto
de las funciones de distribución de probabilidad marginales correspondientes, es decir,
, entonces se dice que las variables
aleatorias son independientes.
( ) ( ) ( )1 2 1 2, ,..., 1 2 1 2, ,...,n nZ Z Z n Z Z Z nF z z z F z F z F= ⋅
- Función de densidad de probabilidad (fdp) n-variada.
Cuando existe una función no negativa tal que
116

(A.55)( ) ( )
1 2
1 2 1 2, ,..., 1 2 , ,..., 1 2 1 2, ,..., , ,...,
n
n n
zz z
Z Z Z n Z Z Z n nF z z z f z z z dz dz dz
−∞ −∞ −∞
= ∫ ∫ ∫
se dice entonces que es la función de densidad de probabilidad n-
variada o conjunta.
(1 2, ,..., 1 2, ,...,nZ Z Z nf z z )z
( )z n
]
Cuando las n variables aleatorias son independientes entonces la función de
densidad de probabilidad conjunta se puede expresar como el producto
, donde , es la fdp de la
distribución marginal correspondiente a la variable aleatoria .
1 2, ,..., nZ Z Z
) ( )2 2 nZ Zf z( ) (1 2 1, ,..., 1 2 1, ,...,nZ Z Z n Z nf z z z f z f= ⋅ ( ), 1,...,iZ if z i =
iZ
De manera análoga al caso de una variable aleatoria se pueden definir los momentos de la
función de distribución n-variada. En particular, nos interesa estudiar el caso bivariado.
Hasta el momento, sólo hemos considerado en nuestros análisis y discusiones a las
variables aleatorias por separado, sin que exista ninguna interrelación entre éstas. En
muchos campos de aplicación y en particular, en las Ciencias de la Tierra, es
frecuentemente más importante conocer el patrón de dependencia que relaciona a una
variable aleatoria X con otra variable aleatoria Y. Esto es imprescindible si se desea estimar
el valor de X (porosidad) a partir de los valores conocidos de Y (mediciones de pozo). Por
lo que le dedicaremos especial atención al análisis conjunto de dos variables aleatorias,
conocido como análisis bivariado.
Función de Distribución de Probabilidad Bivariada
La distribución conjunta de un par de variables aleatorias y se caracteriza por la
Función de Distribución de Probabilidad (FDP) bivariada, que se define como:
X Y
(A.56){ } [( , ) Pr , 0,1XYF x y X x Y y= ≤ ≤ ∈
117

(A.57)( , ) ( , )
yx
XY XYF x y f u v dudv
−∞ −∞
= ∫ ∫
donde
dxdy
yxFd
yxf XY
XY
),(
),(
2
= es la función de densidad de probabilidad (fdp)
bivariada.
En la práctica se estima mediante la proporción de pares de valores de y que se
encuentran por debajo del umbral x, y respectivamente.
X Y
Diagrama de Dispersión (Scattergram)
El equivalente bivariado del histograma es el diagrama de dispersión o scattergram (Fig.
2), donde cada par (xi, yi) es un punto.
El grado de dependencia entre las dos variables aleatorias y puede ser caracterizado
por el diagrama de dispersión alrededor de cualquier línea de regresión.
X Y
Semivariograma
El momento de inercia del diagrama de dispersión con respecto a una línea de 45o
de
pendiente, permite caracterizar la carencia de dependencia, ver Fig. 2.
[ ] [
2
1 1
1 1
2
N N
XY i i i
i i
d x
N N
γ
= =
= = −∑ ∑ ]
2
y (A.58)
donde N es el número de pares (xi, yi).
Este momento de inercia se conoce como semivariograma. Mientras mayor sea el valor del
semivariograma más dispersos estarán los valores en el diagrama de dispersión y menor
será la dependencia entre las dos variables aleatorias y Y .X
118

y
45
( ),i ix y
i ix y−
id
iy
x
ix
Figura 2: Diagrama de dispersión
Momentos de la Distribución de Probabilidad Bivariada
Valor esperado o valor medio
Se define como:
1.- VA discreta
(A.59){ }
1 1
N M
XY ij i j
i j
m E XY p x
= =
= = ∑∑ y
x y
}
2.- VA continua
(A.60){ } 2
( , ) ( , )XY XY XYm E XY xyd F x y xyf x y dxdy
+∞ +∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞ −∞
= = =∫ ∫ ∫ ∫
En la práctica se estima mediante:
(A.61)
1
ˆ
N
XY i i
i
m
=
= ∑
El momento bivariado es conocido como covarianza no centrada.{XYm E XY=
119

Covarianza centrada
Dadas dos variables aleatorias y Y , se puede definir la covarianza de manera análoga a
los momentos centrales univariados, como
X
(A.62)
( ) ( )( ){ }
( )( ) ( )
,
,
X Y
X Y XY
Cov X Y E X m Y m
x m y m f x y dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
= − −
= − −∫ ∫
Se puede designar como
(A.63)( ) ( )( ){ } { },XY X Y X YCov X Y E X m Y m E XY m mσ = = − − = −
Y se estima como:
( )( )
1 1
1 1
ˆ
N N
XY i X i Y i i X Y
i i
x m y m x y m m
N N
σ
= =
= − − = −∑ ∑ (A.64)
En el caso particular cuando la autocovarianza es la varianza deX Y= X
(A.65){ } { } [ ]{ 22
,X Var X Cov X X E X mσ = = = − ≥} 0X
0Si la covarianza es nula, es decir Cov , se dice que las variables aleatorias y
no están correlacionadas.
( ),X Y = X
Y
Coeficiente de correlación
Se define como:
{ }
{ } { }
[
,
1,1XY
XY
X Y
Cov X Y
Var X Var Y
σ
ρ
σ σ
= = ∈ − ]
b
<
(A.66)
Caracteriza el grado de dependencia lineal o correlación entre dos variables aleatorias y
. Por ejemplo si Y a , entonces se cumple que:
X
Y X= +
(A.67)
1, 0
1, 0
XY
para a
para a
ρ
>
= 
−
120

Nótese que si y son independientes, entonces , pero lo contrario no siempre
es cierto. Es decir, si no implica que las VAs y sean independientes, sólo se
puede afirmar que no puede ser descrita su dependencia mediante un modelo lineal. Para el
caso en que y Y posean una distribución normal bidimensional si es cierto el recíproco.
X Y 0XYρ =
X0XYρ = Y
X
Relación entre covarianza y variograma.
El variograma esta dado por
[
2
1
1
2
N
XY i i
i
x y
N
γ
=
= −∑ ] (A.68)
entonces
(
22 2 2 2
1 1 1
1 1 1
2 2
N N N
XY i X i Y i i X Y X Y
i i i
x m y m x y m m m m
N N N
γ
= = =
 
   = − + − − − + −    
 
∑ ∑ ∑ )
0
σ
(A.69)
y por lo tanto
(A.70)( )
22 2
2 2XY X Y XY X Ym mγ σ σ σ= + − + − ≥
Si ↑ ⇒ y viceversa.XY XYγ ↓
Relación entre coeficiente de correlación y variograma
Si tomamos las variables y estandarizadas:X Y yX Y
X Y
X m Y m
X Y
σ σ
− −
′ ′= =
′ ′
, donde
. La covarianza σ coincide con el coeficiente de
correlación
0,X Y Xm m σ σ′ ′ ′= = =
XYρ
1Y′ = X Y
X Y
X Y XY
X Y
X m Y m
Eσ
σ σ
′ ′
    − −
=    
     
ρ

=
ρ
(A.71)
Aplicando la Ec. (A.70), se obtiene la relación
1 (A.72)X Y XYγ ′ ′ = −
121

Tanto la covarianza como el coeficiente de correlación son medidas de la dependencia
lineal entre dos variables aleatorias, mientras que el variograma es una medida de la
variabilidad (no dependencia) entre ambas.
A.3 REGRESIÓN LINEAL Y MÍNIMOS CUADRADOS
Sea Y una variable aleatoria que puede expresarse como:
(A.73)Y m= + e
donde - es el valor esperado de Y , m E , y e - es el error.m [ ]Y=
En el caso de regresión lineal puede expresarse como una combinación lineal de p
variables aleatorias:
m
0 1 1 2 2 1 1... p pm b b X b X b X− −= + + + + = ⋅b X (A.74)
donde
( 1 2 11, , ,..., pX X X − )
)
)
ie
- es el vector de las p variables aleatorias,
( 0 1 2 1, , ,..., pb b b b − - es el vector de los p parámetros.
Dadas n observaciones ( de la variable dependiente Y , correspondientes a n
experimentos, el problema que se plantea es la estimación de los parámetros
de manera que sea mínima la suma de los cuadrados de los errores:
1 2, ,..., nY Y Y
)( 0 1 2 1, , ,..., pb b b b −
(A.75)
2
1
n
e
i
S
=
= ∑
Usando notación matricial:
( 1 2, ,..., nY Y Y=Y ) (A.76)
( 0 1 2 1, , ,..., pb b b b −=b ) (A.77)
11 1
21 2
1
1 ...
1 ...
...
1 ...
p
p
n n
X X
X X
X X
 
 
=

  
 
X
p


(A.78)
122

El vector de errores posee esperanza matemática nula y una matriz de covarianzas:
[ ] 0,E =e (A.79)
2
,σ e
C (A.80)
Mínimos cuadrados ordinarios
Si los errores son independientes, su matriz de covarianzas puede expresarse comoie 2
Iσ ,
entonces el estimador de b por mínimos cuadrados ordinarios está dado por:
( )
1* T T−
=b X X X Y (A.81)
donde la suma de los cuadrados de los errores es:eS
*T T T
eS = −Y Y b X Xb
*
(A.82)
Un estimador insesgado de σ es:2
2 1
eS
n p
=
−
S (A.83)
Y la matriz de covarianzas de b está dada por:
( )
1
2 T
σ
−
=b
C X X (A.84)
Mínimos cuadrados generalizados
Si los errores no son independientes, entonces el estimador deie b está dado por:
( )
1
* 1T T
−
−
= e
b X C X X C
1−
e
Y (A.85)
donde la suma de los cuadrados de los errores es:eS
( ) (* 1T
eS
−
= − −e
Y Xb C Y Xb )*
(A.86)
Y la matriz de covarianzas de b está dada por:
(
1
12 T
σ
−
−
=b e
C X C X) (A.87)
Nota: Los mínimos cuadrados ponderados es un caso particular de mínimos cuadrados
generalizados cuando la matriz e
C es diagonal.
123

ANEXO B: GLOSARIO DE TÉRMINOS GEOESTADÍSTICOS
Alcance (range): Para el modelo esférico, la distancia en la que el modelo alcanza el valor
máximo, o sill (meseta). Para los modelos gausianos y exponencial, que se aproximan a la
meseta asintóticamente. Se usa el término alcance para designar el alcance ‘práctico’ o
‘efectivo’ donde la porción alcanza aproximadamente el 95 % del máximo. El modelo
Nugget tiene una meseta con un rango de cero; el modelo lineal usa ‘meseta/alcance’
simplemente para definir la pendiente.
Anisotropía: En Geoestadística, es la situación cuando el variograma exhibe un
comportamiento que varía con la dirección.
Anisotropía Geométrica: Es el caso de anisotropía cuando los alcances del variograma
forman una elipse, donde el mayor y el menor alcance son perpendiculares y corresponden
al mayor y al menor semieje de la elipse.
Covarianza: Es una medida estadística de la correlación entre dos variables. En
Geoestadística, la covarianza es usualmente tratada como la simple inversión del
variograma, calculado como la varianza total de la muestra menos el valor del variograma.
Estos valores de covarianza, así como los valores del variograma, se utilizan en las
ecuaciones de la matriz de Kriging para una mayor eficiencia de cálculo.
Cuadrante de Búsqueda: La elipse de la vecindad de búsqueda puede ser dividida en
cuatro sectores de ángulos iguales, lo que pueden tener especificada un número mínimo y
máximo de muestras. También puede especificarse un número limitado de sectores
consecutivos vacíos. Cuando el criterio especificado no se satisface para un punto o bloque
particular, entonces no se produce el estimado por Kriging.
Deriva (drift): El valor esperado de una función aleatoria puede ser constante o depender de
las coordenadas de la posición. La deriva es una característica de la función aleatoria y no
de los datos.
124

Desviación Estándar del Kriging: Error estándar de la estimación calculada para el
estimado del Kriging. Por definición, Kriging es el estimador lineal ponderado con una
serie particular de pesos los que minimizan el valor de la varianza de la estimación.
Discretización : En Kriging, el proceso de aproximación al área de un bloque por un
arreglo finito de puntos.
Estacionaridad: Es una propiedad de la función aleatoria. Se dice que una función
aleatoria es estrictamente estacionaria si su función de distribución de probabilidad es
invariante a cualquier traslación respecto a un vector h .
Función Aleatoria: Puede ser vista como una colección de variables aleatorias que
dependen de la posición.
Geoestadística: Metodología para el análisis de datos espacialmente correlacionados. El
rasgo característico es el uso de variogramas de técnicas relacionadas para cuantificar y
modelar la correlación espacial de la estructura. También incluye diferentes técnicas como
Kriging, la cual utiliza modelos de correlación espacial. Los métodos geoestadísticos son
aplicables en todas las ciencias de la Tierra. Pueden aplicarse para explorar los procesos
responsables de la variación espacial. También pueden aplicarse donde existe una
información completa obtenida por percepción remota u otra fuente, para determinar un
muestreo eficiente, así como también para estimar el valor de propiedades en localidades no
muestreadas.
Hipótesis Intrínseca: Suposición de que la media y la varianza de las diferencias son
estacionarias, es decir no dependen de una traslación h de la función aleatoria.
Intervalo (lag): Intervalos de distancia de la clase usada para calcular el variograma.
125

Kriging de bloques: Estimación del valor de un bloque a partir de los valores de una
muestra continua usando Kriging. El área de un bloque es un arreglo de aproximadamente
2x2, 3x3, ó 4x4 puntos con centro en cada nodo de la malla especificada. Se dice que se
obtiene un valor suavizado de la estimación.
Kriging Ordinario: Es un tipo de Kriging que asume que la media local no está
necesariamente cercana a la media de la población, y que usa solamente para el estimado la
muestra para la vecindad local. Es el método usado mas comúnmente por su robustez.
Kriging Puntual: Estimación del valor de un punto de los valores de la muestra cercana
usando kriging. El estimado para un punto será casi similar al estimado por un bloque
relativamente cercano centrado en el punto, pero la desviación estándar del kriging
calculada será alta. Cuando el punto del Kriging coincide con el lugar de la muestra, el
estimado tendrá un valor igual al de la muestra.
Kriging Simple: Variedad de kriging que asume que las medias locales son relativamente
constantes e iguales a la media de la población, la que es bien conocida. La media de la
población es usada como un factor en cada estimado local, con todas las muestras en la
misma vecindad. No es un método muy usado.
Kriging: Método de interpolación del valor medio ponderado donde los pesos asignados a
las muestras minimizan la varianza del error, la que se calcula como una función del
modelo de variograma y localizaciones de las muestras relacionadas unas con las otras, y
del punto o bloque que está siendo estimado.
Madograma: Gráfico de la diferencia media absoluta de pares de muestras medidas como
una función de la distancia y la dirección. Los madogramas no son verdaderos variogramas,
y generalmente no deben ser usados en Kriging. En caso de usarse los estimados del
Kriging tienen que ser ‘razonables’, pero las desviaciones estándar del Kriging no tendrán
significado.
126

Meseta (sill): Límite superior de cualquier modelo de variograma acotado, al que tiende
asintóticamente para grandes distancias. Para el modelo lineal, la relación ‘sill/rango’ se usa
para definir la pendiente.
Modelo Esférico: Es una de las funciones autorizadas que es usada frecuentemente como
modelo de variograma, en combinación con el modelo Nugget.
Modelo Exponencial: Es una de las funciones autorizadas que es usada frecuentemente
como modelo de variograma, en combinación con el modelo Nugget.
Modelo Lineal: Es una de las funciones autorizadas que es usada frecuentemente como
modelo de variograma, en combinación con el modelo Nugget.
Modelo Nugget: Modelo de varianza constante comúnmente usado en combinación con
uno o mas funciones cuando se ajustan modelos matemáticos a variogramas
experimentales.
Modelos de variograma anidado: Aquel que es la suma de dos o mas modelos tales como
Nugget, esférico, etc. Agregando el componente Nugget a uno de los otros modelos se
obtiene el modelo anidado mas común, aunque muy pocas veces se usan combinaciones
muy complejas.
Octante de búsqueda: La elipse de búsqueda de vecindad en Kriging puede ser dividida en
8 sectores de ángulos iguales, los que pueden tener especificadas número de muestras
mínimas y máximas. También puede especificarse un número consecutivo de sectores
vacíos. Cuando no se satisface el criterio especificado, para un punto o un bloque, entonces
no se produce el estimado por Kriging.
Semi-Variograma: Es sinónimo de ‘variograma’. No hay acuerdo en la literatura
geoestadística de cual término debe usarse y se usan ambos indistintamente.
127

Soporte: El término es usado en ambos sentidos: matemático y físico. Con frecuencia los
valores experimentales están definidos en soportes puntuales o casi puntuales, en otros
casos son los valores medios ( )i iVZ x definidos en los soportes Vi centrados en los
puntos ix , donde los soportes pueden ser todos diferentes.
Tendencia (trend): En muchas ocasiones se usa el término intercambiable con el de deriva
(drift). Aunque también se asocia con la representación determinística del valor medio
obtenida mediante el procedimiento de Análisis de Superficie de Tendencia (Trend Surface
Analysis) usualmente como polinomios de las coordenadas mediante ajuste con mínimos
cuadrados.
Validación Cruzada: Es una técnica para probar la validez de un modelo de variograma
obtenido por Kriging de cada localización de la muestra con todas las otras muestras en la
vecindad de búsqueda, y comparando los estimados con los valores reales de la muestra. La
interpretación de los resultados, sin embargo, es en ocasiones muy difícil. La existencia de
grandes diferencias entre los valores reales y estimados, pueden indicar la presencia de
‘outliers espaciales’, o puntos que aparentemente no pertenecen a esos contornos.
Variograma No ergódico: Variograma calculado restando a la función de covarianzas la
varianza de la muestra. Esta aproximación compensa los casos donde existen variogramas
direccionales, digamos, en aquellos donde los pares de datos del oeste tienen medias
diferentes de los pares del este. ‘No ergódico; es en ocasiones un término oscuro que se
refiere al echo de algunas suposiciones probabilísticas relacionadas con el cálculo del
variograma no son tan necesarias. Los variogramas no ergódicos pueden ser modelados y
usados en Kriging de la misma forma que los variogramas ordinarios.
Variograma relativo: El variograma en el que el valor del variograma ordinario de cada
intervalo ha sido dividido por el cuadrado de la media de los valores de la muestra usada en
el cálculo del intervalo. Es en ocasiones útil cuando se presenta un ‘efecto proporcional’,
cuando hay áreas de varianza mayor que la varianza promedio. Cuando los modelos de
128

variogramas relativos son usados en Kriging, la desviación estándar del Kriging resultante
representa fracciones decimales de los valores estimados.
Variograma: Gráfico de la semivarianza (la mitad de la diferencia media cuadrada) como
una función de la distancia (y de la dirección) entre pares de valores muestrales.
Típicamente, son examinadas todos los pares de muestras y agrupadas en clases (intervalos)
de distancia y dirección aproximadamente iguales. Los variogramas aportan un significado
de cuantificación de la relación observada comúnmente de que las muestras cercanas entre
ellas tienden a tener valores mas similares que las muestras mas alejadas. Es la herramienta
central de la Geoestadística, ya que da una descripción adecuada de la escala y del patrón
de la variación espacial dentro de una región dada. Los procesos de kriging, optimización
del muestreo y los cálculos de probabilidades condicionadas utilizan la información de la
variación espacial obtenida de los variogramas.
Vecindad de búsqueda: Es el área elíptica centrada en un punto o bloque que está siendo
analizado por el Kriging. Solamente las muestras dentro de la elipse serán usadas para el
cálculo de la estimación por Kriging.
129

GLOSSARY OF GEOSTATISTICAL TERMS
ANISOTROPIC: This term is applied both to a random function and to it's
variogram (or covariance) when the values of the variogram
depend on both the distance and the direction. Also see
Isotropic.
ANISOTROPY: In Geostatistics, the situation where a variogram exhibits a
longer range (i.e., better correlation) in one direction than
another.
BLOCK KRIGING: Estimating the value of a block from a set of nearby sample
values using kriging. In Geo-EAS, the block area is
approximated by a 2x2, 3x3, or 4x4 array of points centered on
each specified grid node.
COVARIANCE: A statistical measure of the correlation between two
variables. In Geostatistics, covariance is usually treated as
the simple inverse of the variogram, computed as the overall
sample variance minus the variogram value. These covariance
values, rather than variogram values, are actually used in the
Geo-EAS kriging matrix equations for greater computational
efficiency.
CROSS VALIDATION: A technique for testing the validity of a variogram model by
kriging each sampled location with all of the other samples in
the search neighborhood, and comparing the estimates with the
true sample values. Interpretation of results, however, can
often be difficult. Unusually large differences between
estimated and true values may indicate the presence of
"spatial outliers", or points which do not seem to belong with
their surroundings. A method for comparing two or more
conjectured variogram (or covariance) models. The technique
depends on Jackknifing the data and on the exactness of the
kriging estimator.
DISCRETIZATION: In kriging, the process of approximating the are of a block by
a finite array of points.
DRIFT: The expected value of a random function, it may be constant
or it may depend on the coordinates of the location. In order
for a random function to be stationary, second-order
stationary or to satisfy the Intrinsic Hypothesis; the drift
must be a constant. The drift is a characteristic of a random
function and not of data
EXPONENT MODEL: A function frequently used when fitting mathematical models to
experimental variograms, often in combination with a nugget
model.
GAUSSIAN MODEL: A function frequently used when fitting mathematical models
to experimental variograms, often in combination with a
nugget model.
GEOSTATISTICS: A methodology for the analysis of spatially correlated data.
The characteristic feature is the use of variograms of related
techniques to quantify and model the spatial correlation
1

structure. Also includes the various techniques such as
kriging, which utilize spatial correlation model.
INTRINSIC HYPOTHESIS: A weak form of stationarity for a random function
sufficient for deriving the kriging equations corresponding
to the (Ordinary) kriging estimator. See (i) and (ii).
INVERTED COVARIANCE VARIOGRAM: A variogram computed by subtracting lag
covariances from the sample variance. This approach
compensates for cases where in directional variograms, the
mean of the, say, west members of the sample pairs is not the
same as the mean of the east members. “InvCov” is a rather
obscure term referring to the fact that some probabilistic
assumptions underlying the variogram computation are no
longer necessary. Inverted Covariance variograms may be
modeled and used in kriging in the same way as ordinary
variograms.
ISOTROPIC: A term applied both to a random function and to its
variogram. See anisotropic which is the complementary
property.
KRIGING: A weighted-moving-average interpolation method where the set
of weights assigned to samples minimizes the estimation
variance, which is computed as a function of the variogram
model and locations of the samples relative to each other, and
to the point or block being estimated.
KRIGING EQUATIONS: A set of linear equations whose solution includes the
values of the weights in the kriging estimator.
KRIGING STANDARD DEVIATION: The standard error of estimation computed for a
kriged estimate. By definition, kriging is the weighted linear
estimate with a particular set of weights which minimizes the
computed estimation variance (standard error squared). The
relationship of the kriging standard deviation to the actual
error of estimation is very dependent on the variogram model
used and the validity of the underlying assumptions (kriging
standard deviations should be interpreted with caution).
KRIGING VARIANCE: The minimized value of the estimation variance, i.e., the
variance of the error of estimation. This variance is not
data dependent but rather is determined by the variogram and
the sample location pattern as well as the location of the
point to be estimated relative to the sample locations.
LAG: A distance class interval used for variogram computation.
LINEAR MODEL: A function frequently used when fitting mathematical models to
model.
MADOGRAM: A plot of mean absolute difference of paired sample
measurements as a function of distance and direction.
Madograms are not true variograms, and generally should not be
used in kriging. If used, the kriged estimates might be
2

"reasonable", but the kriging standard deviations will be
meaningless.
NESTED VARIOGRAM MODEL: A model which is the sum of two or more component
models such as nugget, spherical, etc. Adding a nugget
component to one of the other models is the most common nested
model, but not more complex combinations are occasionally
used.
NON-ERGODIC VARIOGRAM: A variogram computed by subtracting lag covariance from
the sample variance. This approach compensates for cases where
in directional variograms, the mean of the, say, west members
of the sample pairs is not the same as the mean of the east
members. "Non-ergodic" is a rather obscure term referring to
the fact that some probabilistic assumptions underlying the
variogram computation are no longer necessary. Non-ergodic
variograms may be modeled and used in kriging in the same way
as ordinary variograms.
NUGGET: The variogram may exhibit an apparent discontinuity at the
origin. The magnitude of the discontinuity is called the
nugget.
NUGGET MODEL: A constant variance model most often used in combination with
one or more other functions when fitting mathematical models
to experimental variograms.
OCTANT SEARCH: In Geo-EAS, the kriging search neighborhood ellipse may be
divided into eight equal-angle sectors, which may have minimum
and maximum numbers of samples specified. A limit on the
number of consecutive empty sectors may also be specified.
When the specified criteria are not satisfied for a particular
point or block then the kriged estimate is not produced.
ORDINARY KRIGING: A variety of kriging which assumes that local means are not
necessarily closely related to the population mean, and which
therefore uses only the samples in the local neighborhood for
the estimate. Ordinary kriging is the most commonly used
method for environmental situations.
POINT KRIGING: Estimating the value of a point from a set of nearby sample
values using kriging. The kriged estimate for a point will
usually be quite similar to the kriged estimate for a
relatively small block centered on the point, but the computed
kriging standard deviation will be higher. When a kriged point
happens to coincide with a sample location, the kriged
estimate will equal the sample value.
POSITIVE DEFINITE: A term applied both to matrices and to functions, (Auto)
covariance functions must be positive definite whereas the
negative of variograms must be conditionally positive
definite. Conditional positive definiteness is a weaker
condition.
QUADRANT SEARCH: In Geo-EAS, the kriging search neighborhood ellipse may be
divided into four equal-angle sectors, which may have minimum
and maximum numbers of samples specified. A limit on the
number of consecutive empty sectors may also be specified.
3

When the specified criteria are not satisfied for a particular
point or block then the kriged estimate is not produced.
RANDOM FUNCTION: A random function may be seen in two different forms; it may
be thought of as a collection of dependent random variables
with one for each possible sample location. Alternatively it
may be thought of as a "random variable" whose values are
functions rather than numbers.
RANGE(of a variogram): The distance at which the variogram becomes a
constant. The Power model does not have a (finite) range. The
Exponential and Gaussian models have only an apparent range.
For a spherical model, the distance at which the model reaches
its maximum value, or sill. For the exponential and gaussian
models, which approach the sill asymptotically, Geo-EAS uses
range to mean the "practical", or "effective" range, where the
function reaches approximately 95% of the maximum. The nugget
model effectively has a sill with a range of zero; the linear
model uses "sill/range" merely to define the slope.
RELATIVE VARIOGRAM: A variogram in which the ordinary variogram value of each
lag has been divided by the square of the mean of the sample
values used in computing the lag. This is sometimes useful
when a "proportional effect" is present; i.e., when areas of
higher than average variance. When relative variogram models
are used in kriging, the resulting kriging standard deviations
represent decimal fractions of the estimated values.
SEARCH NEIGHBORHOOD: In Geo-EAS, an elliptical area centered on a point or
block being kriged. Only samples within the ellipse will be
used for kriging. When the next point is kriged, the ellipse
will be re-centered, and a different(perhaps) set of samples
will be used.
SEMI-VARIOGRAM: Identical to the term "variogram" as defined in Geo-EAS. There
is disagreement in the geostatistical literature as to which
term should be used. Geo-EAS uses "variogram" for simplicity.
SILL(of a variogram): The value of the variogram for distances beyond the
range of the variogram. The Power model does not have a sill.
The upper limit of any variogram model which has such a limit,
i.e., which tends to "level off" at large distances. In
Geo-EAS, the spherical, gaussian, exponential, and nugget
models have sills. For the linear model, "sill/range" is used
merely to define the slope.
SIMPLE KRIGING: A variety of kriging which assumes that local means are
relatively constant and equal to the population mean, which is
well-known. The population mean is used as a factor in each
local estimate, along with the samples in the local
neighborhood. This is not usually the most appropriate method
for environmental situations.
4
SPATIAL CORRELATION: Used both as a generic term to denote that data at two
locations is correlated in some sense as a function of their
locations and also to denote the value of a spatial structure

function such as a variogram or (auto)covariance for a pair
of locations.
SPHERICAL MODEL: A function frequently used when fitting mathematical models to
model.
STATIONARITY: Several different forms of stationarity are utilized in
geostatistics. Stationarity, in one of its forms, is a
property of a random function rather than of a data set. It
expresses the property that certain joint distributions are
translation invariant or that certain moments of the random
function are translation invariant. See second order
stationarity and the Intrinsic hypothesis.
SUPPORT: The term is used in both a mathematical and in a physical
sense. Many, if not most variables of interest in
geostatistics, such as the concentrations of chemical
elements or compounds only have values at "points" in an
idealized sense although the random function treats them in
this manner. The data values are usually associated with a
physical sample having a length, area or volume; the
concentration then represents an average concentration over
this length, area or volume. This length, area or volume is
called the support. Although it is common to report
laboratory analyses in such a way as to not reflect the
original support, non-point support has a significant effect
on the variogram modeling process and there is a significant
difference in estimating the average value over a large
volume and in estimating the average value over a small
volume. The kriging estimator and equations allow this to be
incorporated.
TREND: While sometimes used interchangeably with the term "drift",
in geostatistics the two are considered separate. The term is
usually reserved to denote the deterministic representation
obtained by the use of Trend Surface Analysis, i.e, a
functional representation for spatially located data (usually
taken as a polynomial in the position coordinates). The
"trend" is obtained by a least squares fit to the data. As an
estimator to the mean of a random function it is sub-optimal.
If the residuals from trend surface analysis are used to
model the variogram, a biased variogram estimator results.
VARIOGRAM: A plot of the variance (one-half the mean squared difference)
of paired sample measurements as a function of the distance
(and optionally of the direction) between samples. Typically,
all possible sample pairs are examined, and grouped into
classes (lags) of approximately equal distance and direction.
Variograms provide a means of quantifying the commonly
observed relationship that samples close together will tend to
have more similar values than samples far apart.
5

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