Geo6i13
- 1. 1 AREA DE MATEMATICA - GEOMETRIA GRADO SEXTO PERIODO 01 NOMBRE: ________________________________________________________________________ CAPACIDADES DESTREZAS Solución de problemas Razonamiento Representación gráfica Interpretar, Contrastar Resolver. EJE : GEOMÉTRICO - MÉTRICO UNIDAD TEMATICA: SISTEMA GEOMÉTRICO TEMA SUBTEMA Conceptos geométricos Posiciones relativas Ángulos Punto Línea Definición. Clases de líneas Solución de problemas. Recta Definición. Semirrecta o rayo Segmento de recta Clases de rectas Rectas perpendiculares Rectas paralelas Solución de problemas. Ángulos Definición Clases de ángulos Solución de problemas. INDICADORES DE LOGRO: Analiza las características y propiedades de las rectas, semirrectas, segmentos, puntos y ángulos, construyendo a partir de ellos figuras geométricas. CURIOSIDADES MATEMATICAS Las 10:08 y las 10:10 en los relojes ¿Te has fijado alguna vez en que casi todos los relojes que aparecen en los anuncios marcan las 10:10 o las 10:08? Si nunca lo has hecho, puedes comprobarlo por ti mimo, busca cualquier anuncio. ¿A qué se deben estas horas tan parecidas? Pues en definitiva a diversos efectos psicológicos y estéticos muy estudiados: - Las manillas forman un “tick” o “check”, que significa “aceptable” o “ok”. También puede identificarse la posición de las manillas como una sonrisa. - La posición de las agujas no tapa ni el logo del fabricante ni el calendario, ubicado normalmente a las 9 (cuando está a la izquierda) o a las 3 (cuando se sitúa a la derecha). - La gente se suele levantar a las 10 de la mañana cuando no tiene que ir a trabajar por que es fin de semana o festivo. En el caso del reloj Casio de la derecha de la imagen podemos ver que el día está FORMACIÓN ACADÉMICA PFA-01-R04 Versión 02TALLER
- 2. fijado como “SUN” (domingo) y que el calendario marca el 30 de junio, para muchos, el comienzo de las vacaciones. Este mensaje subliminal crea una sensación agradable en el posible comprador. - Si dibujamos un rectángulo dentro de la esfera con el límite marcado por el minutero, éste sería aproximadamente un rectángulo áureo. Se ha demostrado que todo aquello que tenga proporciones aureas es agradable a la vista. - Si hay segundero, éste suele señalar los 25 ó 35 segundos. Si marcara los 30 segundos dividiría la circunferencia en tres partes iguales, dando una sensación rígida y puramente matemática. Así consigue romperla. - Y estos sólo son algunos de los motivos de por qué los publicistas eligen fotografiar los relojes a las 10:08 y a las 10:10. No te parece genial, que las matemáticas sean utilizadas en todo? HISTORY OF GEOMETRY Geometry, the Greek geo (earth) and metron (measure), is a branch of mathematics that deals with the properties of geometric figures in the plane or space, such as: points, lines, planes, polygons, polyhedra , parallel, perpendicular, curves, surfaces, etc.. Its origins date back to the solution of specific problems and measures concerning the theoretical justification of many instruments, such as compass, theodolite and pantograph. Has its practical application in physics, mechanics, cartography, astronomy, navigation, topography, ballistics, etc. It also provides theoretical basis for such inventions as the global positioning system (especially when considered in conjunction with mathematical analysis and especially differential equations) and is useful in the preparation of designs (theoretical justification of the geometry, the technical drawing and even the manufacture of handicrafts). La primera actividad será traducir la lectura anterior. GEOMETRIA
- 3. La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: GEO = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra". Punto: Figura geométrica que no tiene dimensiones y se usa para indicar una posición en el espacio. Línea: Extensión considerada solo en su longitud. Plano: en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: Recta: La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión, y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión. Semirecta: si señalamos un punto A en una recta, dicho punto junto con los puntos que le siguen o le preceden en el mismo sentido se denomina semirecta; A se conoce como el origen de la semi- recta . Para denotar una semirecta se señala otro punto además del origen, y se utiliza el siguiente símbolo: Segmento de recta: si señalamos sobre una recta los puntos A y B, se denomina segmento el conjunto de puntos comprendidos entre A y B, incluyendo a los puntos A y B que se denominan extremos del segmento. El segmento de recta se denota por el siguiente símbolo: Angulo: Forma geométrica: Se denomina ángulo a la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. CONCEPTOS GEOMETRICOS GEOMETRIA: Es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, volúmenes, capacidades,etc. PUNTO: Esla figura geométrica más simple, representa una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones. Se nombra con letras mayúsculas Algunas formas de representar un punto son: LINEA: Es una sucesión infinita de puntos. Las líneas se clasifican básicamente en: Recta, poligonal y curva.
- 4. LÍNEA POLIGONAL Línea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en: poligonal abierta: si el primer y último segmentos no están unidos, poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos. LÍNEA CURVA: Línea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. La curva puede ser abierta o cerrada. Curva cerrada: Una curva que se junta de tal manera que no tiene puntas sueltas o finales. Ejemplos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia. Curva abierta: Una curva con las puntas abiertas (en otras palabras las puntas no se juntan). Ejemplos de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito. CURVA PARABOLA HIPERBOLA CATENARIA RECTA: Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia.se nombra con la letra que representa el punto inicial y el punto final y el símbolo . encima de las letras que determinan la recta. A B Ejemplo: Recta AB A B ● ● se lee recta AB Las rectas pueden ser horizontales, verticales, oblicuas. RECTA HORIZONTAL RECTA VERTICAL RECTA OBLICUA ELIPSE CIRCUNFERENCIA
- 5. SEMIRRECTA O RAYO: Cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos, tiene un origen y se extiende indefinidamente en un solo sentido a partir de un punto. Y se simboliza encima de las letras mayúsculas con las que determinan la semirrecta. Ejemplo: O P, se lee semirrecta OP. O P ● SEGMENTO DE RECTA: Es una parte de la recta que tiene dos extremos definidos. y se simboliza — con la barra encima de las letras que determinan el segmento. Ejemplo: Segmento , se lee segmento EG EL PLANO: Es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras. P● ●C ●B ●D Por Ejemplo: Utilizamos el símbolo P para referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD. SEMIPLANO: Es cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas. A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos. Frontera Semiplano B Semiplano A TALLER Nº 1 ACTIVIDAD INDIVIDUAL 1- Escriba Verdadero o falso en cada afirmación. a- Un punto tiene dimensiones infinitas. ___ b- Al marcar un punto en una recta, esta queda dividida en dos semirrectas. ___ c- El plano tiene dos dimensiones: largo y ancho. ___ d- Para nombrar un punto utilizamos una letra mayúscula. ___ e- Si se marcan tres puntos en una recta, se determina un segmento. ___ 2- Marque un punto y trace varias rectas que pasen por él. ¿Qué concluye?. 3- Observe y nombre 5 segmentos. A B C D 4- Marque dos puntos y trace las rectas que puedan pasar por ellos al mismo tiempo. ¿Qué concluye? 5-Observe la figura y responda cada literal. a- Nombre tres puntos b- Nombre tres rectas c- Nombre un plano d- Nombre dos segmentos con extremo C e- Nombre cuatro segmentos con extremo A f- Nombre dos rectas que pasan por el punto C g- Nombre dos semirrectas con extremo B
- 6. 6- Observe la figura y escriba: 7- Relacione el término de la izquierda con el concepto de la derecha, escribiendo dentro del paréntesis el número que corresponda. 1- PLANO ( ) Rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, volúmenes, capacidades,etc. 2- CURVA ABIERTA ( ) Esla figura geométrica más simple, representa una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones. Se nombra con letras mayúsculas 3- SEGMENTO DE RECTA ( ) Es una sucesión infinita de puntos. 4- PUNTO ( ) Línea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. 5- LINEA ) Una curva con las puntas abiertas (en otras palabras las puntas no se juntan) 6- SEMIPLANO ( ) Una curva que se junta de tal manera que no tiene puntas sueltas o finales 7- RECTA ( ) Es una parte de la recta que tiene dos extremos definidos. y se simboliza — con la barra encima de las letras que determinan el segmento. 8- LINEA CURVA ( ) Es cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas. A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos. 9- SEMIRRECTA ( ) Línea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. La curva puede ser abierta o cerrada. 10- LINEA POLIGONAL ( ) Es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras. 11- CURVA CERRADA ( ) Cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos, tiene un origen y se extiende indefinidamente en un solo sentido a partir de un punto. Y se simboliza encima de las letras mayúsculas con las que determinan la semirrecta. 12- GEOMETRIA ( ) Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia.se nombra con la letra que representa el punto inicial y el punto final y el símbolo . encima de las letras que determinan la recta. ACTIVIDAD EN EQUIPO: Copiar y desarrollar los ejercicios de la página 212 del libro “Nuevo pensamiento Matemático 6”
- 7. POSICION DE LAS LINEAS RECTAS RECTAS HORIZONTALES: Es la que tiene dirección de derecha e izquierda. La línea recta horizontal expresa equilibrio, calma, equilibrio estable. Horizontal RECTAS VERTICALES: Es la que cae de arriba hacia abajo sin inclinarse a ningún lado. La línea recta vertical sugiere elevación, movimiento ascendente, actividad Vertical RECTAS OBLICUAS: Es la que no es vertical ni horizontal. La línea recta inclinada u oblicua, por el contrario, expresa tensión, inestabilidad, desequilibrio. Parecen que están a punto de caerse. Oblicua o inclinada RECTAS PARALELAS: Dos líneas son paralelas cuando conservan la misma separación entre ellas, es decir que no se cortan. Se representan con el símbolo Paralelas RECTAS PERPENDICULARES: Cuando dos rectas se cortan en un punto y forman un ángulo recto. Se representa con el símbolo RECTAS INTERSECANTES: Cuando tienen un mismo punto en común RECTAS CONCURRENTES: Tres o más rectas son concurrentes cuando se encuentran en el mismo plano y tienen un punto en común. m n q O P El punto común de las rectas m, n, q, p es O. TALLER Nº 2 ACTIVIDAD INDIVIDUAL 1- Identifique las rectas horizontales, verticales, oblicuas, paralelas y perpendiculares.
- 8. 2- Identifique cuales parejas de rectas son perpendiculares: 3- Trace una recta AB. Dibuje un punto P que no esté sobre la recta. Escoja un punto Q sobre la recta, de tal manera que el segmento CD sea el más corto posible. Qué relación existe entre AB y CD. 4- Complete los espacios colocando los símbolos ∡ de acuerdo con la información dada. a- ___ b- ___ c- ___ d. ___ e. ___ f- ___ 5- Trace las rectas AB, CD, EF, de tal forma que AB sea perpendicular a CD y EF sea paralela a AB. ¿Qué relación existe entre EF y CD? ACTIVIDAD EN EQUIPO Copiar y desarrollar los ejercicios de la página 217 Y 218 del libro “Nuevo pensamiento Matemático 6” ANGULOS Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común llamado vértice. Los ángulos se nombran usando las letras que determinan los lados y dejando la letra que va en el vértice en la mitad. Los ángulos se simbolizan con ∡ Ejemplo: A Se nombra: Ángulo ABC ó ángulo B ó ángulo α B C Se simboliza: ∡ ABC ó ∡ B ó ∡ α Recuerde que: - Para medir los ángulos se hace con el transportador. - La unidad de medida para hallar el valor de los ángulos es el grado sexagesimal que se representa así: 1º.Que es el ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. - Para dar más precisión a la medida de los ángulos se utilizan otras medidas más pequeñas que el grado, como el minuto que se representa así: 1’ y el segundo que se representa así: 1”.
- 9. Un grado es igual a 60 minutos. Se escribe: 1º = 60’ Un minuto es igual a 60 segundos. Se escribe: 1’ = 60” CONSTRUCCION DE ÁNGULOS: Para construir ángulos se hace lo siguiente: 1- Trazar la semirrecta en la dirección que se quiera el lado inicial del ángulo. 2- Se marca en la semirrecta el punto correspondiente al vértice. 3- Se coloca el transportador de tal forma que su centro coincida con el vértice y su línea de referencia horizontal coincida con la semirrecta ya trazada, es decir el valor cero (0) debe quedar a la derecha del vértice. 4- Teniendo el transportador en posición y de acuerdo con la escala, se busca el valor correspondiente para marcarlo con un punto sobre el papel. 5- Se retira el transportador, se une el punto marcado con el vértice y se obtiene la gráfica del ángulo correspondiente a un valor dado. 6- Finalmente se nombra el ángulo. MEDICION DE ANGULOS: Para medir un ángulo se hace así: 1- Se hace coincidir el vértice del ángulo con el centro del transportador y el lado inicial con la línea de referencia horizontal. 2- Se Lee el valor indicado por la escala del transportador que coincida con el lado Terminal, este número es el valor del ángulo. TALLER Nº 3 ACTIVIDAD INDIVIDUAL 1- Mida con el transportador los ángulos y escriba su valor
- 10. 2- Cuántos minutos y segundos tiene cada uno de los siguientes ángulos. a- 72º d- 120º b- 215º e- 60º c- 150º f- 90º 3- Complete la siguiente tabla: 4- Utilizando el diagrama inferior , halle ∡ APB, ∡ BPC, y ∡ APC. ¿Cómo se relacionan las medidas de los ∡ APB, ∡ BPC y ∡ APC ?Generalice esta observación. 5- Exprese en minutos y segundos las siguientes medidas de ángulos: a- 2º b- 40º c- 50º d- 75º e- 45º f- 90º g- 5º h- 10º i- 20º j- 30º 6- Exprese en grados los siguientes minutos: a- 1500’ b- 2700’ c- 900’ d- 150’ e- 3600’ f- 180’ 7- Dibuje ángulos de: a- 90º b- 55º c- 240º d- 60º e- 320º f- 120º g-180º h- 45º i- 60º k- 30º l- 325 m- 370 CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS PLANOS ÁNGULO NULO Aquel que mide 0°, es decir, que no forma abertura alguna entre dos segmentos de recta. Grados Minutos Segundos 15º 23º 120º 135º
- 11. ÁNGULO AGUDO Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad (mayor de 0º y menor de 90º). Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice. ÁNGULO RECTO Un ángulo recto es de amplitud igual a rad (equivalente a 90º). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice. ÁNGULO OBTUSO Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad (mayor a 90º y menor a 180º). ÁNGULO LLANO O COLINEAL El ángulo llano tiene una amplitud de rad (equivalente a 180º). ÁNGULO CÓNCAVO, REFLEJO O ENTRANTE El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de rad y menos de rad (esto es, más de 180º y menos de 360°) Un ángulo es convexo si mide más de 0° y menos de 180°. ÁNGULO COMPLETO O PERIGONAL Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad (equivalente a 360º) ÁNGULO DE MÁS DE UNA REVOLUCIÓN Aquél que mide más de 360° y es coterminal con un ángulo reducido entre 0° y 360°. CLASIFICACION DE LOS ANGULOS SEGÚN SU POSICION CONSECUTIVOS: Son dos ángulos ubicados uno a continuación del otro. Y poseen un lado común y el vértice común
- 12. ADYACENTES: Son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son rayos opuestos o sea están sobre la misma recta. OPUESTOS POR EL VERTICE: Son aquellos cuyos lados de uno son las prolongaciones en sentido contrario de los lados del otro. CLASIFICACION DE LOS ANGULOS SEGÚN SU SUMA COMPLEMENTARIOS: Son dos ángulos que sumados dan 90°. SUPLEMENTARIOS: Son dos ángulos que sumados dan 180°. = TALLER Nº 4 ACTIVIDAD INDIVIDUAL 1- Observe la figura y nombre: a- Un ángulo agudo b- Un ángulo obtuso. c- Dos ángulos rectos, adyacentes. d- Un par de ángulos complementarios. e- Un par de ángulos suplementarios. 2- Analice la gráfica e identifique: a- Los ángulos agudos b- Los ángulos obtusos c- Los ángulos rectos. 3- Para la figura dada: a- Nombre dos parejas de ángulos que sean consecutivos. b- Nombre dos parejas de ángulos que sean adyacentes. c- Nombre un ángulo llano. d- ¿existen ángulos opuestos por el vértice? En caso afirmativo Indique cuales. e- Nombre dos ángulos suplementarios. f- Mida con el transportador los ángulos: ∡ aob y ∡ boc. ¿son complementarios? Justifique la respuesta. P Q N R M O S ●48° T 42° X Y Z R
- 13. 4- Halle el ángulo complementario de los siguientes ángulos. Haga los diagramas correspondientes: a- 40º b- 50º c- 90º d- 89º e- 73º f- 12° 5- Halle el ángulo suplementario de los siguientes ángulos. Haga los diagramas correspondientes. a- 43º b- 175º c- 100º d- 180º e- 93º f- 78º g- 94° h- 127° 6- Tomando en cuenta los ángulos dibujados en el transportador graduado complete: a. m ∡ ABC = b. m ∡ ABD = c. m ∡ ABE = d. m ∡ ABK = e. m ∡ ABH = f. m ∡ ABF = 7- Señale cuáles de los siguientes pares de ángulos son consecutivos y cuáles son adyacentes. Justifique su respuesta. 8- Encuentre la medida de cada ángulo y escriba si es agudo, recto, obtuso o llano a- ∡ FOH g- ∡ COD b- ∡ BOH h- ∡ AOD c- ∡ DOH i- ∡ EOF d- ∡ AOB j- ∡ AOH e- ∡ DOA k- ∡ FOD f- ∡ AOE l- ∡ FOB 9- ¿Qué son ángulos congruentes? De un ejemplo. 10-¿Qué son ángulos de lados paralelos? De un ejemplo. 11-¿Qué son ángulos alternos, internos y externos? De un ejemplo. 12-¿Qué son ángulos conjugados, internos y externos? De un ejemplo. ACTIVIDAD EN EQUIPO Desarrollar los ejercicios de la página 224 del libro “Nuevo Pensamiento Matemático 6”
- 14. EVALUACION 1) Mide los siguientes ángulos y clasifícalos.- m = -------- m = -------- m = ------ 2) Dibuja un ángulo obtuso, uno agudo y uno recto.- 3) Dibuja un ángulo de 500 , otro de 900 , y otro de 1200 . 4) Complemento de un ángulo es____________________________________________ 5) Ángulos complementarios son___________________________________________ 6) Dibuja el complemento de un ángulo agudo cualquiera.- 7) Suplemento de un ángulo es_______________________________________________ 8) Ángulos suplementarios son_______________________________________________ 9) Dibuja el suplemento de un ángulo cualquiera.- 10) Dados los ángulos: ABC ; DEF ; GHI , cópialos.- C D G A B E F H I 11) Dibuja un ángulo de 400 , otro de 250 y también el ángulo suma.-
- 15. 12) Dibuja la suma de los siguientes ángulos. A C B O D E 13) Encuentra el complemento y el suplemento de cada ángulo según medida.- m Complemento Suplemento 350 600 280 320 14) Construye un ángulo de 500 y otro de 300 y con compás construye el ángulo suma. 15) Construye un ángulo de 700 y otro de 200 y con compás construye el ángulo diferencia.- 16) Dibuja un par de ángulos opuestos por el vértice y otro par de ángulos adyacentes.- 17) Si alfa = 250 . Calcular el complemento de alfa.- a) 750 b) 650 c) 1550 d) 1000 e) 250 18) Calcular el suplemento del complemento de 500 . a) 400 b) 1400 c) 900 d) 1300 e) 600 19) Alfa y Beta son complementarios. Si Alfa es el doble de Beta. ¿Cuánto mide Alfa? a) 600 b) 300 c) 1200 d) 1800 e) Otro 20) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 5 veces Beta ¿Cuánto mide Beta? a) 300 b) 1500 c) 600 d) 800 e) 450 21) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 6 veces Beta ¿Cuánto mide Alfa? a) 1250 b) 27,50 c) 25,70 d) 154,20 e) 1500
- 16. GLOSARIO ÁNGULO AGUDO: Aquellos que miden menos de 90º ÁNGULO CONCAVO: Un ángulo cóncavo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará fuera del ángulo. ÁNGULO CONVEXO: Un ángulo convexo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará dentro del ángulo. ÁNGULO LLANO: Aquel que mide 180º. ÁNGULO OBTUSO: Son los que miden más de 90º. ÁNGULO RECTO: El ángulo que forman las rectas perpendiculares mide 90º Se denomina ángulo recto. ÁNGULO: Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que se cortan en un punto, llamado vértice. La distancia angular es medida en grados minutos y segundos de arco. Los ángulos se miden en grados (º). COMPÁS: instrumento de dibujo que sirve para dibujar arcos y circunferencias CURVA: Conjunto de puntos que cambian continuamente de dirección. FIGURA: En Geometría, se llama figura a todo conjunto de puntos. Es el Espacio cerrado por líneas o superficies: figura plana; figura del espacio. GEOMETRIA: La geometría es una rama de la matemática que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio. INTERSECCION: Conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos dados. Punto donde se cruzan dos líneas. LÍNEA: Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. BIBLIOGRAFÍA CALDERON Cristina. Inteligencia lógico matemática 6. Ed. Voluntad. Bogotá 2003 OLMOS Alfredo. Matemática práctica 6. Ed. Voluntad. Bogotá 1990 CAMARGO Uribe Leonor y otros. Alfa 6. Ed., Norma Bogotá D.C. 1999. BIBLIOGRAFIA. MONTERO CORREDOR, Emma Beatriz. Inteligencia 6. Bogotá Editorial Voluntad. 2003 RIVERO DIAZ, Gonzalo. Matemáticas Constructiva 6. Bogotá. Editorial. Libros & libros. 1997 LONDOÑO, Nelson. Matemáticas Progresiva 1. Bogotá. Editorial Norma. 1990. SALAZAR AMAYA, Claudia. Desafíos Matemáticas. Bogotá. Editorial Norma.2001. ELABORADA REVISADA VALIDADA Lic. ERIKA VÁSQUEZ DOCENTE Lic. DIANA YASMÍN HERNÁNDEZ JEFE DE ÁREA Lic. LEONOR TERESA BEJARANO DE RODRÍGUEZ RECTORA Fecha: 14 - ENERO- 2013 (Fecha envío) Fecha: 18 - ENERO- 2013 (Fecha de revisado) Fecha: 24 - ENERO- 2013 (Fecha de validación)