Gradientes 2

INSTITUCION EDUCATIVA TECNICA MORENO Y ESCANDON
SAN SEBASTIAN DE MARIQUITA
GRADO UNDECIMO JULIO 3 DE 2012
AREA: MATEMATICAS FINANCIERA
TEMA: EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS
PROFESOR: CARLOS ALBERTO CALDERON AVILA
EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS
La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la fórmulasimplemente reemplazando F
por P(1+i)n, que es la fórmula base de las Matemáticas
Financieras.
i
i
AiP
n
11
)1(
n
n
ii
i
AP
1
11
De las fórmulas se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma:
11
1
n
n
i
ii
PA
A continuación se tratan casos prácticos relacionados con las equivalencias expuestas anteriormente.
Ejemplo 1
Doña Linda Reina recibió un préstamo del Banco de Bogotá por diez millones de pesos para cancelar en 12
cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de las cuotas.
Gráficamente se tendría la siguiente interpretación del problema:
10.000.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A
0 i = 3%
Al identificar los datos conocidos se puede determinar que se debe utilizar la fórmula
11
1
n
n
i
ii
PA
P = Valor presente, es en este caso, el valor del préstamo o sea $ 10.000.000
i = 3%
n = 12 meses
Tenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A
103,01
03,0103,0
10000000 12
12
A
A=1.004.620,85
Lo que significa que doña Linda Reina debe cancelar mensualmente una cuota fija igual a $1.004.620,85
durante 12 meses.

TABLA DE AMORTIZCION
Per. n Cuota A Interes i Abono Saldo
0 10.000.000
1 1.004.621 300.000 704.621 9.295.379
2 1.004.621 278.861 725.759 8.569.620
3 1.004.621 257.089 747.532 7.822.087
4 1.004.621 234.663 769.958 7.052.129
5 1.004.621 211.564 793.057 6.259.072
6 1.004.621 187.772 816.849 5.442.223
7 1.004.621 163.267 841.354 4.600.869
8 1.004.621 138.026 866.595 3.734.275
9 1.004.621 112.028 892.593 2.841.682
10 1.004.621 85.250 919.370 1.922.312
11 1.004.621 57.669 946.952 975.360
12 1.004.621 29.261 975.360 0
PRACTICA:
1. Sofía Vera recibió un préstamo del Banco Santander de $30 millones para cambiar de vehículo; si el plazo es
de 5 años y se debe pagar en cuotas mensuales vencidas, determinar:
a. El valor de las cuotas si la tasa de interés es del 2,5% mensual,
b. ¿Cuál es el saldo de la deuda después de cancelar la cuota # 9?
c. ¿Cuál es la composición (capital e intereses) de la cuota # 13?
2. Natalia Pardo recibió un préstamo de $50 millones del Banco Popular para adquirir un nuevo apartamento; si
el interés es del 2% mensual y el crédito se debe pagar en cuotas iguales mensuales anticipadas durante 7
años, determinar el valor de cada cuota.
3. Beatriz Pinzón recibió un préstamo de $10 millones de su amiga Marcela Valencia para pagar en 3 años, en
cuotas iguales mensuales, determinar el valor de la cuota si la tasa de interés es de 1,5%mensual:

GRADO DECIMO JULIO 23 DE 2012
TEMA: GRADIENTES
GRADIENTE ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE
En el gradiente aritmético se presentan dos situaciones, la primera es cuando la cuota variable aumenta
período a período en una cantidad fija y la segunda cuando es decreciente, en ambos casos se emplea la
misma fórmula, pero el planteamiento del problema se hace en forma diferente, como se explica a continuación:
Si se recibe un préstamo de una entidad bancaria y éste debe ser cancelado en cuotas variables, las cuales se
incrementan en la misma cantidad en cada período hasta terminar el plazo, se tendría un caso de gradiente
creciente; su ilustración mediante un ejemplo sería de la siguiente forma:
Linda Plata de Rico recibe un préstamo del Banco Santander por $5.000.000 el cual debe ser cancelado en 3
años en cuotas variables semestrales con una tasa de interés del 5% semestral, e incrementos de $250.000 en
cada una de las cuotas; con base en la información anterior determinar el valor de la primera cuota.
El punto de partida de este problema sería la elaboración del gráfico correspondiente
Semestres
0 1 2 3 4 5 6
A
A +250.000
A+ 500.000
A+ 750.000
A+1.000.000
A+1.250.000
Como se había explicado anteriormente las cuotas variables tienen un componente fijo que para el problema se
llama "A"; la variable seria el gradiente de $250.000 que es el incremento semestral del pago, por lo que el valor
del préstamo sería.
igual al valor presente de la parte fija más el valor presente del componente variable.
P1 = Valor presente parte fija
P2 = Valor presente parte variable,
Valor del préstamo = P1+ P2
Tasa de interés = i = 5% semestral; n = 6
6
6
05,0105,0
105,01
1
11
1 A
ii
i
AP n
n
P1=A (5,075692067221)
66
6
05,01
6
05,0105,0
105,01
05,0
000.250
11
11
2 nn
n
i
n
ii
i
i
g
P
P2=2.991.998.44

Si P1 +P2 = 5.000.000 Reemplazamos
A (5,075692067221)+2.991.998.44 = 5.000.000
Despejando A se tendría:
A( 5,07569206721) = 5.000.000 - 2.991.998,44
A( 5,07569206721 ) = 2.008.001,56
0756920672,5
56,001.008.2
A
A=395.611,38
El resultado anterior quiere decir que el valor de la primera cuota es de $ 395.611,38 el de la segunda es este
último valor adicionado en $250.000 que es el gradiente, lo que genera un valor de $ 645.611,38 y así
sucesivamente hasta el período sexto que es el plazo convenido; en la siguiente tabla se detalla la amortización
del préstamo, con una tasa de interés del 5% semestral
TABLA DE AMORTIZACION DEL PRESTAMO
PRACTICA
1- Luis Pérez recibe un préstamo del Banco de Bogotá por $7.000.000 el cual debe ser cancelado en 3
años en cuotas variables semestrales con una tasa de interés del 4,5% semestral, e incrementos de
$300.000 en cada una de las cuotas; con base en la información anterior determinar el valor de la
primera cuota y la tabla de amortización.
2- Luis Pérez recibe un préstamo del Banco de Bogotá por $10.000.000 el cual debe ser cancelado en 2
años en cuotas variables semestrales con una tasa de interés del 1,5% trimestral, e incrementos de
$500.000 en cada una de las cuotas; con base en la información anterior determinar el valor de la
primera cuota y la tabla de amortización.
81
SEMESTRE
SALDO
INICIAL INTERESES CUOTA ABONO A CAPITAL
SALDO
FINAL
1 5.000.000,00 250.000,00 395.611,38 145.611,38 4.854.388,62
2 4.854.388,62 242.719,43 645.611,38 402.891,95 4.451.496,67
3 4.451.496,67 222.574,83 895.611,38 673.036,55 3.778.460,12
4 3.778.460,12 188.923,01 1.145.611,38 956.688,37 2.821.771,75
5 2.821.771,75 141.088,59 1.395.611,38 1.254.522,79 1.567.248,96
6 1.567.248,96 78.362,45 1.645.611,38 1.567.248,93 0,00

GRADO DECIMO AGOSTO 12 DE 2012
TEMA: GRADIENTE ARITMÉTICO DECRECIENTE
PROFESOR: CARLOS ALBERTO CALDERON AVIL
GRADIENTE ARITMÉTICO DECRECIENTE
En este caso el valor de la cuota variable disminuye una cantidad igual “g” con respecto al periodo anterior.
Gráficamente se expresaría de la siguiente forma
0 1 2 3 4 5 n
A A-g A-2g A-3g A-4g A-(n-1) g
En este caso se toma la cuota de mayor valor y se considera como constante, y se calcula su valor presente;
posteriormente se determina el valor presente del gradiente. Como se tomó la de mayor valor como constante,
se calcula la diferencia entre el valor presente de la parte constante y la del gradiente o parte variable. Un
ejemplo que ilustra el concepto anterior se detalla a continuación:
“Juan Pérez recibió un préstamo de $2.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, con
disminuciones de $30.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de interés es del 2% bimestral, calcular el valor
de la primera cuota”.
El diagrama sería el siguiente:
0 1 2 3 4 5 n
A A-30.000 A-60.000 A-90.000 A-120.000 A-150.000
6
6
02,0102,0
102,01
1
11
1 A
ii
i
AP n
n
P1=A (5,6014308)
66
6
02,01
6
02,0102,0
102,01
02,0
000.30
11
11
2 nn
n
i
n
ii
i
i
g
P
P2 = $ 410.403,90

Finalmente, se calcula el valor de A
P1-P2= $ 2.000.000
A[5,6014308] - 410.403,90 = $ 2.000.000
A[5,6014308] = 2.410.403,90
A = $ 430.319,31
El valor de la segunda cuota sería $ 430,319.31 - $ 30,000 = $ 400,319.31 y así sucesivamente hasta el
período 6.
TABLA DE AMORTIZACION
SEMESTRE SALDO INICIAL INTERESES CUOTA
ABONO A
CAPITAL SALDO FINAL
1 2000000 40000 430319,314 $ 390.319,31 $ 1.609.680,69
2 1609680,686 32193,6137 400319,314 $ 368.125,70 $ 1.241.554,99
3 1241554,986 24831,0997 370319,314 $ 345.488,21 $ 896.066,77
4 896066,7725 17921,3354 340319,314 $ 322.397,98 $ 573.668,79
5 573668,7943 11473,3759 310319,314 $ 298.845,94 $ 274.822,86
6 274822,8565 5496,45713 280319,314 $ 274.822,86 ($ 0,00)
PRACTICA
1- Luis Pérez recibió un préstamo de $3.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables,
con disminuciones de $35.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de interés es del 2,5%
bimestral, calcular el valor de la primera cuota.
2- Alberto Díaz recibió un préstamo de $4.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables,
con disminuciones de $40.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de interés es del 2%
bimestral, calcular el valor de la primera cuota.

GRADO UNDECIMO AGOSTO 21 DE 2012
TEMA: EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTE GEOMÉTRICO
Ejemplo 3
El señor Armando Casasbuenas recibió un préstamo de $5.000.000 del Banco Sudameris que
debe pagar en 6 cuotas mensuales iguales vencidas. Si la tasa de interés es del 2% para los
tres primeros meses y de 3% para los tres siguientes, calcular el valor de la cuota y elaborar la
tabla de amortización correspondiente.
Gráficamente el problema se representa de la siguiente forma:
0 1 2 3 4 5 6 Meses
2% 3%
El planteamiento matemático se haría de la siguiente forma: como se trata de cuotas las
vencidas la fórmula a emplear sería:
11
1
1 n
n
i
ii
AP
i
ii
ii
AP n
n
1
1
11
2
5.000.000
1 2 3 4 5 6 Meses

2% 3%
11
1
000.000.5 n
n
i
ii
A
n
n
n
i
ii
ii
A
1
1
11
3
3
02,0102,0
102,01
000.000.5 A
3
3
3
02,01
03,0103,0
103,01
A
Resolviendo se obtiene el valor de A
$ 5.000.000 = A [2,88388] + A [2,6654636]
$ 5.000.000 = A [5,5493469]
5493469,5
000.000.5
A
A = $ 901.006,92
TABLA DE AMORTIZACION
MES S.INICIAL INTERESES CUOTA ABONO S.FINAL
1 5.000.000,00 100.000,00 901.006,92 801.006,92 4.198.993,08
2 4.198.993,08 83.979,86 901.006,92 817.027,06 3.381.966,02
3 3.381.966,02 67.639,32 901.006,92 833.367,60 2.548.598,41
4 2.548.598,41 76.457,95 901.006,92 824.548,97 1.724.049,44
5 1.724.049,44 51.721,48 901.006,92 849.285,44 874.764,00
6 874.764,00 26.242,92 901.006,92 874.764,00 0,00
PRACTICA:
Juan Pérez recibió un préstamo de $6 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 8
cuotas mensuales iguales vencidas. Si la tasa de interés es del 3% para los tres primeros
meses y de 4% para los tres siguientes, calcular el valor de la cuota y elaborar la tabla de
amortización correspondiente.
Luis Ávila recibió un préstamo de $7 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 10
cuotas iguales vencidas. Si la tasa de interés es del 2,5% para los tres primeros meses y de
3,5% para los tres siguientes, calcular el valor de la cuota y elaborar la tabla de amortización
correspondiente.

GRADO UNDECIMO SEPTIEMBRE 3 DE 2012
Ejemplo 7
Justo Sin Plata recibió un préstamo de su primo Armando Rico Plata de $ 10.000.000 que debe pagar en
3 años, cuotas semestrales iguales vencidas con una tasa de interés del 10% semestral, pero los
intereses deben ser pagados anticipadamente, calcular el valor de la cuota que debe pagar Justo Sin
Plata a su primo Armando y elaborar: tabla de amortización del préstamo.
En este caso, se debe utilizar la equivalencia correspondiente a la fórmula 9 que es la específica para
este caso.
n
i
i
PA
11
95,202.134.2
10,011
10,0
000.000.10 6
A
Para la elaboración de la tabla de amortización se debe tener en cuenta lo siguiente:
En la última cuota "A" que se pague en este caso la número 6 no habrá pago de intereses, todo
corresponderá a abono a capital, puesto que los intereses han sido calculados anticipadamente.
Simbólicamente los abonos a capital se expresarían de la siguiente forma:
Abono a capital última cuota período n = A
Abono a capital cuota período que es simplemente la diferencia entre el saldo que es A y los intereses
anticipados de ese saldo que serían Ai, de la misma forma se hace para los siguientes períodos.
Abono a capital cuota período
Y así sucesivamente hasta llegar al período #1 donde:
Abono a capital cuota # 1 = A( 1 – i )n-1
Para el ejemplo que se está analizando, los abonos a capital se calcularían de la siguiente forma:
El abono a capital de la cuota # 6 que es la última cuota es igual a A o sea $2.134.202,95 puesto que los
intereses fueron pagados anticipadamente en la # 5
El abono a capital de la cuota #5 = = 2.134.202,95(1- 0,10) = $1.920.782,65
El abono a capital de la cuota #4 = = 2.134.202,95(1- 0,10)2 = $1.728.704,39
Los intereses de cada período serían la diferencia entre la cuota y el abono a capital calculado
anteriormente.
Intereses = Cuota - Abono a Capital
La tabla de amortización para el caso analizado sería la siguiente:
Préstamo: $10.000.000
Interés:.... 10% semestral
Plazo:...... 6 semestres

GRADO UNDECIMO AGOSTO 21 DE 2012
EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UN GRADIENTE GEOMÉTRICO
La cuota variable que se incrementa un porcentaje fijo j respecto a la anterior, recibe el nombre de
gradiente geométrico y gráficamente se expresaría de la siguiente forma:
0 1 2 3 4
K n periodos
K (1+0,04)
4
K (1+J) K (1+J)
2
K (1+J)
3
K (1+J)
4
La equivalencia de estas cuotas variables que se incrementan un % j en cada período, y un
valor presente está dada por:
P=K n
nn
iji
ji
1
11
Para i diferente a j
P=
i
kn
1
Los conceptos anteriores se ilustran con un ejemplo:
Pedro Rodríguez recibió un préstamo de $5 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 6 cuotas
trimestrales con incrementos del 4% trimestral; si la tasa de interés es del 7% trimestral, hallar: a) el valor
de la primera cuota y b) el valor de la primera cuota si i=3% y j = 3% trimestral.
Gráficamente el problema se plantearía así: n períodos
Si i es diferente de j
5.000.000 1 2 3 4 5 6
Semestres
K
K (1+0, 04) K (1+0, 04)
2
K (1+0, 04)
3
K (1+0, 04)
4
(1+0, 04)
5

P=K n
nn
iji
ji
1
11
=5.000.000=K 6
66
07,0104,007,0
04,0107,01
$ 5.000.000 = K [5, 22881704586]
K = $ 956.239,23
Si i es igual a j; i = 3% trimestral; j = 3% trimestral
P=
i
kn
1
= 5.000.000=
03,01
6*k
K=
6
000.000.503,1
=
K = $ 858.333,33
PRACTICA:
Juan Pérez recibió un préstamo de $6 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 8 cuotas trimestrales
con incrementos del 3,5% trimestral; si la tasa de interés es del 6% trimestral, hallar: a) el valor de la primera
cuota y b) el valor de la primera cuota si i=2,5% y j = 2,5% trimestral
Luis Ávila recibió un préstamo de $7 millones del Banco de Bogotá que debe pagar en 10 cuotas trimestrales
con incrementos del 5% trimestral; si la tasa de interés es del 8% trimestral, hallar: a) el valor de la primera
cuota y b) el valor de la primera cuota si i=4% y j = 4% trimestral

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