Grouped data 04 2020
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Este documento explica cómo calcular medidas de tendencia central y dispersión para datos agrupados. Primero se muestra cómo calcular la media aritmética multiplicando la frecuencia de cada intervalo por su marca de clase y dividiendo la suma entre el total de datos. Luego se describe el cálculo de la desviación media como el promedio de las desviaciones absolutas de las marcas de clase respecto a la media. Finalmente, se indica que la varianza, desviación estándar y coeficiente de variación también se pueden obtener a partir de las operaciones en la última columna
Grouped data 04 2020
- 2. Contenido Introducción Antecedentes Tendencia central y dispersión
- 3. Introducción La agrupación de datos Esta presentación es la cuarta y última parte, de cuatro, en las que se construye una tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados. El objetivo es mostrar detalladamente las operaciones aritméticas necesarias para resumir un conjunto de datos agrupándolos en intervalos, también llamados clases o categorías.
- 4. Introducción Hasta ahora se han completado las primeras 7 columnas, y sólo faltan 3, las medidas de tendencia central y dispersión: Media aritmética Desviación media Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación.
- 5. Antecedentes En caso que sea necesario, este es el conjunto de datos con el que se está trabajando.
- 6. Medidas de tendencia central Síntesis de datos Una forma rápida de obtener información acerca de un conjunto de datos es la obtención de estadísticos que los representan, entre dichos estadísticos se encuentran las medidas de tendencia central: media aritmética, mediana, moda, entre otras. En esta presentación aprenderemos a calcular la media aritmética para datos agrupados que se representa de acuerdo al conjunto de datos. Media aritmética de una población: m Media aritmética de una muestra: ഥ𝒙
- 7. A la media aritmética comúnmente se le conoce como promedio y, cuando se trata de datos no agrupados, se determina sumando todos los valores y dividiendo entre el número de datos. En el ejemplo que estamos resolviendo se trata de una muestra, por lo tanto se representa como: ഥ𝒙 Para calcularla vamos a efectuar la multiplicación indicada en la octava columna: 𝒇𝒊 ∙ 𝒙𝒊 Media aritmética de una muestra Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙
- 8. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 3×43.5 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 9×49.5 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 23×55.5 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 43×61.5 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙ Para cada clase, categoría o intervalo se llevan a cabo las operaciones indicadas, como se muestra en la figura. Naturalmente sólo se escribe el resultado, en esta diapositiva se muestra el procedimiento pero sólo para fines de aclaración del procedimiento. Se multiplica la frecuencia uno por la marca de clase uno, luego la dos, y así sucesivamente. Media aritmética de una muestra
- 9. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 2644.5 64.5 70.5 67.5 62 140 0.207 0.4667 4185 70.5 76.5 73.5 63 203 0.210 0.6767 4630.5 76.5 82.5 79.5 53 256 0.177 0.8533 4213.5 82.5 88.5 85.5 26 282 0.087 0.9400 2223 88.5 94.5 91.5 16 298 0.053 0.9933 1464 94.5 100.5 97.5 2 300 0.007 1.0000 195 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙ Media aritmética de una muestra De acuerdo con la fórmula, estos productos se suman y el resultado se divide entre el número de datos, en nuestro caso 300. EL resultado de la división es la media aritmética muestral. = 1 𝑛 =1 𝑛 ∙ Fórmula para determinar la media aritmética muestral
- 10. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 2644.5 64.5 70.5 67.5 62 140 0.207 0.4667 4185 70.5 76.5 73.5 63 203 0.210 0.6767 4630.5 76.5 82.5 79.5 53 256 0.177 0.8533 4213.5 82.5 88.5 85.5 26 282 0.087 0.9400 2223 88.5 94.5 91.5 16 298 0.053 0.9933 1464 94.5 100.5 97.5 2 300 0.007 1.0000 195 Totales: 21408 Media aritmética: 71.3600 Desviación media: Varianza: s 2 = Desviación estándar: s = Coeficiente de variación: Cv = Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ = = ∙ ∙ Media aritmética de una muestra Esta forma de calcular la media aritmética es la que ocasiona inexactitud, ya que al multiplicar la frecuencia por la marca de clase estamos considerando que todos los datos dentro del intervalo son iguales a dicha marca de clase. = 1 𝑛 =1 𝑛 ∙
- 11. Media aritmética de una muestra Como ya se mencionó, existen otras medidas de tendencia central que serán estudiadas posteriormente. Para completar la tabla de análisis estadístico solamente necesitamos la media aritmética.
- 12. Caracterizar una población o muestra únicamente con las medidas de tendencia central no es suficiente; puede haber situaciones muy diferentes que produzcan el mismo valor de media aritmética. Un elemento muy importante para el análisis de datos es la dispersión de los mismos, es decir, que tan cercanos o lejanos se encuentran de la media aritmética. En esta presentación estudiaremos las medidas de dispersión: Desviación media, Varianza, Desviación estándar y Coeficiente de variación. Medidas de dispersión
- 13. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙ También llamada desviación absoluta promedio, es el promedio de las desviaciones absolutas de las marcas de clase, respecto a la media aritmética de los datos. Es una forma de resumir la dispersión estadística de un conjunto de datos, se representa como: 𝑫ഥ𝒙 Para calcularla vamos a efectuar las operaciones indicadas en la novena columna: 𝒙𝒊 ഥ𝒙 𝒇𝒊 Desviación media
- 14. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ Para cada clase, categoría o intervalo se llevan a cabo las operaciones indicadas, como se muestra en la figura. Naturalmente sólo se escribe el resultado, en esta diapositiva se muestra el procedimiento pero sólo para fines de aclaración del procedimiento. Las barras verticales significan “valor absoluto”, por lo que se tomarán todos los resultados de la resta con signo positivo. Desviación media
- 15. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 83.58 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 196.74 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 364.78 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 2644.5 423.98 64.5 70.5 67.5 62 140 0.207 0.4667 4185 239.32 70.5 76.5 73.5 63 203 0.210 0.6767 4630.5 134.82 76.5 82.5 79.5 53 256 0.177 0.8533 4213.5 431.42 82.5 88.5 85.5 26 282 0.087 0.9400 2223 367.64 88.5 94.5 91.5 16 298 0.053 0.9933 1464 322.24 94.5 100.5 97.5 2 300 0.007 1.0000 195 52.28 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙ Desviación media De acuerdo con la fórmula, los resultados de cada categoría se suman y el resultado se divide entre el número de datos, en nuestro caso 300. El resultado de la división es la desviación media. = 1 𝑛 =1 𝑛 Fórmula para determinar la desviación media
- 16. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 83.58 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 196.74 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 364.78 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 2644.5 423.98 64.5 70.5 67.5 62 140 0.207 0.4667 4185 239.32 70.5 76.5 73.5 63 203 0.210 0.6767 4630.5 134.82 76.5 82.5 79.5 53 256 0.177 0.8533 4213.5 431.42 82.5 88.5 85.5 26 282 0.087 0.9400 2223 367.64 88.5 94.5 91.5 16 298 0.053 0.9933 1464 322.24 94.5 100.5 97.5 2 300 0.007 1.0000 195 52.28 Totales: 21408 2616.8 Media aritmética: 71.3600 Desviación media: 8.7227 Varianza: s 2 = Desviación estándar: s = Coeficiente de variación: Cv = Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ = = ∙ ∙ Desviación media La desviación media es útil para caracterizar los datos en estudio en cuanto a su dispersión. Actualmente se emplea más la desviación estándar que se calculará en las siguientes diapositivas. = 1 𝑛 =1 𝑛
- 17. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 83.58 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 196.74 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 364.78 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 2644.5 423.98 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙ Estas tres medidas de dispersión se obtiene efectuando operaciones en la última columna. En nuestro caso se trata de una muestra, por lo que se representan con los símbolos siguientes. Varianza: 𝒔 𝟐 Desviación estándar: 𝒔 Coeficiente de variación: 𝑪𝒗 Operaciones: Se resta la media a cada marca de clase y el resultado se eleva al cuadrado, finalmente este cuadrado se multiplica por la frecuencia absoluta. Varianza, desviación estándar y coeficiente de variación
- 18. Para cada clase, categoría o intervalo se llevan a cabo las operaciones indicadas, como se muestra en la figura. Naturalmente sólo se escribe el resultado, en esta diapositiva se muestra el procedimiento pero sólo para fines de aclaración del procedimiento. Al restar puede obtenerse un resultado negativo, pero al elevarlo al cuadrado se vuelve positivo Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 83.58 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 196.74 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 364.78 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 2644.5 423.98 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 1 ∙ Varianza, desviación estándar y coeficiente de variación
- 19. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 83.58 2328.5388 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 196.74 4300.7364 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 364.78 5785.4108 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 2644.5 423.98 4180.4428 64.5 70.5 67.5 62 140 0.207 0.4667 4185 239.32 923.7752 70.5 76.5 73.5 63 203 0.210 0.6767 4630.5 134.82 288.5148 76.5 82.5 79.5 53 256 0.177 0.8533 4213.5 431.42 3511.7588 82.5 88.5 85.5 26 282 0.087 0.9400 2223 367.64 5198.4296 88.5 94.5 91.5 16 298 0.053 0.9933 1464 322.24 6489.9136 94.5 100.5 97.5 2 300 0.007 1.0000 195 52.28 1366.5992 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ ∙ ∙ Al tratarse de una muestra, se divide entre n – 1, en nuestro caso 300 – 1 = 299. Cuando se estudia una población se divide entre n. Elevar al cuadrado hace positivos todos los resultados, pero dificulta la interpretación del valor de la varianza, por ello, se acostumbra utilizar la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza. 𝑠 = 1 𝑛 1 =1 𝑛 Fórmula para determinar la varianza muestral Varianza, desviación estándar y coeficiente de variación
- 20. Marcas de Límite Límite clase F. absoluta F. acumulada F. Relativa F. rel. Acum. inferior superior 40.5 46.5 43.5 3 3 0.010 0.0100 130.5 83.58 2328.5388 46.5 52.5 49.5 9 12 0.030 0.0400 445.5 196.74 4300.7364 52.5 58.5 55.5 23 35 0.077 0.1167 1276.5 364.78 5785.4108 58.5 64.5 61.5 43 78 0.143 0.2600 2644.5 423.98 4180.4428 64.5 70.5 67.5 62 140 0.207 0.4667 4185 239.32 923.7752 70.5 76.5 73.5 63 203 0.210 0.6767 4630.5 134.82 288.5148 76.5 82.5 79.5 53 256 0.177 0.8533 4213.5 431.42 3511.7588 82.5 88.5 85.5 26 282 0.087 0.9400 2223 367.64 5198.4296 88.5 94.5 91.5 16 298 0.053 0.9933 1464 322.24 6489.9136 94.5 100.5 97.5 2 300 0.007 1.0000 195 52.28 1366.5992 Totales: 21408 2616.8 34374.12 Media aritmética: 71.3600 Desviación media: 8.7227 Varianza: s 2 = 114.963612 Desviación estándar: s = 10.7221086 Coeficiente de variación: Cv = 0.15025376 Intervalos reales Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión ∙ = = ∙ ∙ La desviación estándar permite establecer la dispersión de un conjunto de datos, pero el coeficiente de variación tiene la ventaja de que es una medida relativa de variabilidad. En nuestro ejemplo la variación es del 15.02%. Se calcula dividiendo la desviación estándar entre el valor absoluto de la media aritmética. 𝑠 = 1 𝑛 1 =1 𝑛 Varianza, desviación estándar y coeficiente de variación
- 21. Medidas de tendencia central y dispersión en el histograma. En la presentación 3 se explica cómo se construye un histograma mediante los intervalos reales y las frecuencias absolutas.
- 22. Medidas de tendencia central y dispersión en el histograma. Para que el histograma sea realmente útil es necesario agregar algunas líneas de referencia que nos permitirán profundizar en el análisis de datos.
- 23. Medidas de tendencia central y dispersión en el histograma. Un primer valor que debe aparecer en el histograma es la media aritmética, y debe colocarse en la posición que le corresponde según los valores que se registran en el eje equis. La representación de la media aritmética nos permite realizar diversas observaciones acerca del comportamiento de los datos. Aún falta agregar 6 líneas más.
- 24. Medidas de tendencia central y dispersión en el histograma. Le vamos a sumar y restar a la media aritmética, tres múltiplos de la desviación estándar: ഥ𝒙 𝟑𝒔, ഥ𝒙 𝟐𝒔, ഥ𝒙 𝟏𝒔, ഥ𝒙 + 𝟏𝒔, ഥ𝒙 + 𝟐𝒔, ഥ𝒙 + 𝟑𝒔 Estas seis líneas nos servirán para comparar el comportamiento de la muestra o población con las medidas de tendencia central y dispersión. En algunos casos se agregan otras referencias que se estudiarán posteriormente.
- 25. Medidas de tendencia central y dispersión en el histograma.