Guía1: Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES - GU´ 1
IA
1. Un embudo, en cuya salida se tiene un ńgulo de 60◦ y un ´rea de la secciń recta
a
a
o
2 , contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye hacia
de 0.5cm
afuera. Determinar el tiempo en que se vaciar´ el embudo. Suponiendo que el nivel
a
inicial es h(0) = 10cm.
Soluciń. En la figura se muestra el embudo con agua, con una altura h para un
o
instante t.

h
h
60

0.5cm 2

El volumen del agua que fluye hacia afuera en un instante corto de tiempo
V = (´rea de la secciń recta) (velocidad)
a
o

t es

t,

es decir
V = 0,5 v

t

donde v es la velocidad del agua que sale.
De la Ley de Torricelli, la velocidad a la que un l´
ıquido mana de un orificio es
v = 0,6 2gh
donde g = 980 cm/s2 es la aceleraciń de la gravedad en la superficie de la Tierra y
o
h es la altura instantńea del nivel del l´
a
ıquido por encima del orificio. De aqu´ que
ı
V = 0,3
1

2gh

t.

(1)

Por otro lado, la variaciń del volumen del agua en el embudo
o
V ∗ = −π r2

V ∗ , est´ dada por
a

h

h
h es la disminuciń de la altura h(t) del agua y r = h tan 30◦ = √ es el
o
3
radio del embudo a la altura h(t) de donde
donde

V ∗ = −π

h2
3

h.

(2)

El signo menos aparece porque el volumen del agua en el embudo decrece.
Como la cantidad de agua que var´ dentro del embudo V ∗ , es la misma que la
ıa
cantidad de agua que ha salido al exterior V , entonces igualando las ecuaciones 1
y 2, se obtiene
√
h2
h
0,9 2g −3/2
0,3 2gh t = −π
h
o
=−
h
.
(3)
3
t
π
Si ahora se hace tender

t hacia cero, se obtiene la ecuaciń diferencial
o
dh
= −kh−3/2
dt

(4)

√
0,9 2g
≈ 12,7.
donde k =
π
Separando variables e integrando
h3/2 dh = −k dt

y

2 5/2
h = −kt + c
5

(5)

2
Usando la condiciń inicial en (5), esto es h(0) = 10, se obtiene c = 105/2 . Sustituo
5
yendo el valor de c en la ultima f´rmula de (5) se tiene
´
o
2 5/2
2
h = −kt + 105/2 .
5
5

(6)

Despejando t en (6) y sustituyendo el valor de k se infiere
t=

2
(105/2 − h5/2 ) ≈ 10 − 0, 0315h5/2 .
5k

De aqu´ que el embudo se vaciar´ cuando h = 0, esto acontece cuando t ≈ 10s.
ı
a
2. Hallar la soluciń general de las siguientes ecuaciones (donde a, b, k, θ y ω son conso
tantes)
a) y − 2y + a = 0

f ) sen 2x dy = y cos 2xdy

b) (x − 1)y = 2x3 y
√
c) y = 2x−1 y − 1

g) x ln x dy − y dx = 0
h) (1 − cos θ)dr = r senθ dθ

d ) y = y cot 2x
e) y = y tanh x

i ) y + 3y sen ωx = 0.

3. Resolver los siguientes problemas con valor inicial
2

a) (x2 + 1)yy = 1;

y(0) = −3

b) y = y 2 sen x;

y(π) = 0,2

c) xyy = y + 2;

y(2) = 0.

4. Hallar todas las curvas en el plano que tienen la propiedad dada:
a) Las normales pasan por el origen.
b) Las tangentes pasan por el origen.
c) Las tangentes en el punto (x, y) se intersecan con el eje x en el punto (x − 1, 0).
d ) La pendiente en cada punto P es igual al rec´
ıproco de la pendiente de la recta
que pasa por P y el origen.
5. . Consid´rese un tanque esf´rico de radio R=50cm. que contiene agua y tiene en el
e
e
fondo una salida de radio r0 = 5 cm. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua
fluye hacia afuera. Determinar el tiempo en que el tanque quedar´ vac´ suponiendo
a
ıo,
que la altura inicial del nivel del agua es h(0) = R = 50 cm.
6. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a
la cantidad de radio instantńeamente presente. Su vida media, es decir, el tiempo
a
en que desaparecer´ el 50 % de una cantidad dada, es de 1590 aõs. ¿Qu´ porcentaje
a
n
e
desaparecer´ en 1 aõ?
a
n
7. Supńgase que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambio
o
respecto al tiempo del fen´meno activo y(t) es proporcional a la cantidad existente.
o
Si y(t) se duplica en dos horas, ¿cuńto puede esperarse al final de 8 horas, a la
a
misma rapidez de crecimiento?
8. La ley de acciń de masas afirma que, si la temperatura se mantiene constante, la
o
velocidad de una reacciń qu´
o
ımica es proporcional al producto de las concentraciones
de las substancias que estń reaccionando. En la reacciń bimolecular
a
o
A + B → M,
se combinan a moles por litro de una substancia A y b moles por litro de una
substancia B. Si y es el n´mero de moles por litro que han reaccionado despu´s de
u
e
transcurrido el tiempo t, la rapidez de la reacciń est´ dada por
o
a
y = k(y − a)(y − b)
Resolver la ecuaciń suponiendo que a y b son distintos.
o
9. La ley de Lambert, afirma que la absorciń de la luz en una capa transparente
o
muy delgada es proporcional al espesor de la capa y a la cantidad de luz incidente.
Plantear lo anterior en t´rminos de una ecuaciń diferencial y resolverla
e
o
Chiclayo, Agosto 2011
Docente: Adelmo P´rez Herrera.
e

3

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