Guia6 2 c2018
- 1. Geometría Proyectiva - 2◦ cuatrimestre de 2018 P I T H-R “No hay 5 sin 6” En esta guia, todas las superficies son regulares y todas las funciones y superficies son de clase C3 . 1. Justificar por qué las siguientes superficies no son localmente isométricas: a) La esfera b) El cilindro c) La silla de montar {z = x2 − y2 } d) La pseudeoesfera 2. Dado k > 0, considerar la superficie del elipsoide E = {(x, y, z) : x2 + y2 + z k 2 = 1}. a) Calcular la curvatura de Gauss K : E → R, probar que la curvatura calculada K no depende del ángulo θ (en coordenadas esféricas) e interpretar geométri- camente. b) ¿Existe una isometría entre E y la esfera unitaria para cualquier k > 0? ¿Para algún k > 0? c) Calcular las curvaturas principales κ1, κ2, ver que las direcciones principales de curvatura v1, v2 son las direcciones de los ángulos θ, ϕ (en coordenadas esféricas), e interpretar geométricamente qué ocurre cuando k → ∞. d) Hallar los puntos umbílicos de E. 3. Sea ϕ(u, v) = (f(v) cos(u), f(v) sin(u), g(v)) la parametrización de una superficie de revolución con curvatura Gaussiana constante k. Para determinar f y g se elige v de modo que (f )2 + (g )2 = 1 (es decir que v es la longitud de arco de la curva generatriz). Mostrar que: a) f satisface f + k f = 0 y g = 1 − (f )2dv. Se toma 0 < u < 2π y el dominio de v de modo que la última integral está definida. b) Todas las superficies de revolución con curvatura constante k = 1 que interse- can perpendicularmente el plano xy están dadas por f(v) = C cos(v) y g(v) = v 0 1 − C2 sen2(t)dt donde C es una constante. Determinar el dominio de v y hacer un gráfico de la curva cortada con el plano xz para los casos C = 1, C > 1 y C < 1 (notar que el plano xz se obtiene tomando u = 0). Observar que C = 1 representa la esfera unitaria S 2 . c) Todas las superficies de revolución con curvatura constante k = −1 son de uno de los siguientes tipos: 1) f(v) = C cosh(v) y g(v) = v 0 1 − C2 senh2 (t)dt. 2) f(v) = C senh(v) y g(v) = v 0 1 − C2 cosh2 (t)dt. 3) f(v) = ev y g(v) = v 0 √ 1 − e2tdt. Determinar el dominio de v y hacer un gráfico de cada superficie cortada con el plano xz. 1
- 2. d) La última superficie del ítem previo es la pseudoesfera. e) Las únicas superficies de revolución con k = 0 son el cilindro circular recto, y el cono circular recto. 4. Sea M superficie regular conexa de clase C4 , supongamos que todos los puntos de M son umbílicos. Si κp(v) es la curvatura normal en p en la dirección de v ∈ TpM, probar: a) κp(v) = κ es constante (no depende de la dirección ni del punto). b) K(p) es constante (la curvatura de Gauss) e igual a κ2 . c) Si κ = 0, M es una porción de un plano. d) Si κ 0, M es una porción de una esfera de radio R = 1/|κ| (sug: tomar un punto p ∈ M y c = p + 1/κN(p), probar que q − c = R para todo q ∈ M). 5. Probar que si una geodésica de M es una curva plana, es una línea de curvatura (sug: n(s) = ±N ◦ α(s), y fórmulas de Frenet). 6. Probar que si todas las geodésicas de una superficie M son curvas planas, entonces M está contenida en un plano o en una esfera. 7. Si C es una curva asintótica con curvatura nunca nula, entonces |τ| = √ −K (sug: verificar que el vector binormal a la curva es normal a la superficie). 8. Probar que si M es compacta existe un punto p ∈ M donde K(p) > 0. 9. Decimos que M es una superficie mínima si tiene curvatura media constantemente nula, es decir κ1(p) + κ2(p) = 0 para todo p ∈ M. Probar que no hay superficies mínimas compactas. 10. Sea f : M → S una isometría local, probar que si p, q ∈ M son suficientemente cercanos, entonces distS ( f(p), f(q)) = distM(p, q). Dar un ejemplo donde no valga la igualdad. 11. Dado p ∈ M, 0 < c < r(p) = ip(M). Probar a) Expp(Bc(0p)) = Bc(p) = {q ∈ M : dist(q, p) ≤ c}, b) Si donde S c(x) denota la circunferencia centrada en x de radio c en el espacio correspondiente, entonces S c(p) es una curva regular y además Expp(S c(0p)) = S c(p) = {q ∈ M : dist(q, p) = c}. c) Los rayos geodésicos que salen de p cortan S c(p) ortogonalmente. 12. Sea f : M → S de clase C1 tal que distS (f(p), f(q)) = distM(p, q) para todo p, q ∈ M. Probar que f es una isometría (sug: usar entornos exponenciales). 13. Sea i : M → R≥0 el radio de inyectividad de la exponencial riemanniana. Probar que i es continua. 14. Sea M superficie regular, a) Probar que M es completa en R3 si y sólo si (M, dist) es completo. b) Probar que (M, dist) es compacto si y sólo si M es compacta en R3 . 2