![Área de una región en el plano
Sea f una función continua y no negativa en el intervalo [a, b], entonces el área
A(Q) de la región encerrada por el gráfico de f, el eje X y las rectas x=a y x=b está dada
por
𝐴( 𝑄) = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Área entre curvas
Sean y=f(x) e y=g(x) dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x)≥g(x), para todo x
en [a, b]. Si Q es la región encerrada por las rectas verticales x=a, x=b y los gráficos de
f y g, entonces el área de Q es:
𝐴( 𝑄) = ∫ [ 𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥)] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Ejemplo:
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x −
x2 y el eje X.
En primer lugar, hallamos los puntos de corte con el eje X
para representar la curva y conocer los límites de integración.](https://image.slidesharecdn.com/aplicacionintegraldefinida-170331200620/85/Aplicacion-integral-definida-2-320.jpg)
![En segundo lugar, se calcula la integral:
1. Volumen generado por la revolución de una función
En un plano se tiene una región y una recta. Giramos la región alrededor de la
recta y obtenemos un sólido, llamado sólido de revolución generado por la
región. La recta alrededor de la cual gira la región se llama el eje de revolución.
Se presentan dos métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución:
El método del disco y el método de las arandelas.
Método del Disco
Caso 1. Giro alrededor del eje X
Sea y=f(x) una función continua en el intervalo [a, b] tal que f(x)≥0, para
todo x del dominio. Si a la región del plano acotada por la gráfica de f, el eje
X y las rectas x=a y x=b, lo hacemos girar alrededor del eje X, obtenemos un
sólido de revolución cuyo volumen está dado por
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓( 𝑥))2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Caso 2. Giro alrededor de la recta y=k, paralela al eje X.
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓( 𝑥) − 𝑘)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Caso 3. Giro alrededor del eje Y.
Si la función es dada de la forma x=f(y)≥0 en el intervalo [c, d] y el giro es
alrededor del eje Y.
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓( 𝑦))2
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
Caso 4. Giro alrededor de la recta x=k, paralela al eje Y.
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓( 𝑦) − 𝑘)2
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
Ejemplo: 1) Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la
región bajo la curva:
y = √x, de 0 a 1.](https://image.slidesharecdn.com/aplicacionintegraldefinida-170331200620/85/Aplicacion-integral-definida-3-320.jpg)
![el volumen de este disco será:
calculado entre 0 y 8
Método de las arandelas
Caso 1. Se tienen dos funciones y=f(x) y y=g(x), continuas en el intervalo [a,
b] en donde f(x)≥g(x). Buscamos una fórmula que nos permita calcular el
volumen del sólido de revolución que se genera al rotar alrededor del eje X
la región acotada por los gráficos de las funciones y=f(x), y=g(x) y las rectas
x=a, x=b.
𝑉 = 𝜋 ∫ ((𝑓( 𝑥))
2
− (𝑔( 𝑥))
2
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Caso 2. Giro alrededor de la recta y=k, paralela al eje X
𝑉 = 𝜋 ∫ (( 𝑓( 𝑥) − 𝑘)2
− ( 𝑔( 𝑥) − 𝑘)2
)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Caso 3. Giro alrededor del eje Y
Se tienen dos funciones x=f(y) y x=g(y), continuas en el intervalo [c, d], en
donde f(y)≥g(y)
𝑉 = 𝜋 ∫ ((𝑓( 𝑦))
2
− (𝑔( 𝑦))
2
)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
Caso 4. Giro alrededor de la recta x=k, paralela al eje Y.
𝑉 = 𝜋 ∫ (( 𝑓( 𝑦) − 𝑘)2
− ( 𝑔( 𝑦)− 𝑘)2
)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
Ejemplo
Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas
y= x y y= x² en torno al eje x.
solución:
Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersección:
x=x²](https://image.slidesharecdn.com/aplicacionintegraldefinida-170331200620/85/Aplicacion-integral-definida-5-320.jpg)
![x−x²=0
X (x−1) =0
x=0 y x=1
ya con los puntos de intersección graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos
resulta (anillo rosado)
En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno
El radio interno es y= x² y el radio externo es y= x.
Ahora hallamos el volumen:
V=π (R²−r²) dx
V=π = calculado entre 0 y 1
=
2. Método de Secciones Transversales Paralelas Conocidas
Consideremos un sólido tal que, para cualquier punto x del intervalo [a, b], la
sección perpendicular al eje X, tiene área conocida igual a A(x). Si se realizan
cortes o particiones regulares a través del intervalo [a, b], el sólido quedará
dividido en n rebanadas. Es claro que el volumen del sólido completo es la suma
de los volúmenes de las n rebanadas.
Este resultado nos permite establecer que si las rebanadas son cortadas
perpendicularmente al eje X con secciones de área de A(x), entonces
𝑉 = ∫ 𝐴( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎](https://image.slidesharecdn.com/aplicacionintegraldefinida-170331200620/85/Aplicacion-integral-definida-6-320.jpg)
![Similarmente, si las rebanadas son cortadas perpendicularmente al eje Y con
secciones de área A(y) donde c≤y≤d, entonces
𝑉 = ∫ 𝐴( 𝑦) 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
Ejemplo
3. Longitud de una Curva Plana
a. Si y=f(x) una función que tiene derivada continua en [a, b] y L es la longitud
del gráfico de f entre a y b, entonces
𝐿 = ∫ √1 + (𝑓′( 𝑥))2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
b. Si x=f(y) tiene una derivada continua en [c, d] y L es la longitud del gráfico
de f entre c y d, entonces](https://image.slidesharecdn.com/aplicacionintegraldefinida-170331200620/85/Aplicacion-integral-definida-7-320.jpg)
![4. Trabajo
En términos cotidianos, por trabajo entendemos el esfuerzo para realizar una
tarea. En física, si un objeto se mueve a lo largo de una recta una distancia d
mientras está sujeta a una fuerza constante F en dirección del movimiento, el
trabajo W realizado es
𝑊 = 𝐹𝑑
Supongamos que el objeto se desplaza a lo largo del eje X desde el punto a hasta
el punto b y que la fuerza F(x) es una función en el intervalo [a, b]. Nos queda
que el trabajo está dado por
𝑊 = ∫ 𝐹( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎](https://image.slidesharecdn.com/aplicacionintegraldefinida-170331200620/85/Aplicacion-integral-definida-9-320.jpg)
![Ejemplo
5. Centro de masa
Si Q es la región encerrada por x=a, x=b, y=f(x), y=g(x), donde g(x)≤f(x), y si A
es el área de Q, entonces:
1. Los momentos de Q respecto al eje Y y al eje X son respectivamente,
𝑀 𝑦 = ∫ 𝑥(𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥))𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑀 𝑥 =
1
2
∫ [(𝑓( 𝑥))
2
−
𝑏
𝑎
(𝑔( 𝑥))
2
]𝑑𝑥
2. El centroide de la región Q es (𝑥̅, 𝑦̅), donde
𝑥̅ =
𝑀 𝑦
𝐴
=
1
𝐴
∫ 𝑥(𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥))𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑦̅ =
𝑀 𝑥
2𝐴
∫ [(𝑓( 𝑥))
2
− (𝑔( 𝑥))
2
]𝑑𝑥
𝑏
𝑎](https://image.slidesharecdn.com/aplicacionintegraldefinida-170331200620/85/Aplicacion-integral-definida-10-320.jpg)
Aplicacion integral definida
- 1. República Bolivariana de Venezuela Universidad Fermín Toro Facultad de Ingeniería Integrantes: *David Machado 26120531 Profesor: *Domingo Méndez. Abril, 2017
- 2. Área de una región en el plano Sea f una función continua y no negativa en el intervalo [a, b], entonces el área A(Q) de la región encerrada por el gráfico de f, el eje X y las rectas x=a y x=b está dada por 𝐴( 𝑄) = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Área entre curvas Sean y=f(x) e y=g(x) dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x)≥g(x), para todo x en [a, b]. Si Q es la región encerrada por las rectas verticales x=a, x=b y los gráficos de f y g, entonces el área de Q es: 𝐴( 𝑄) = ∫ [ 𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥)] 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Ejemplo: Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje X. En primer lugar, hallamos los puntos de corte con el eje X para representar la curva y conocer los límites de integración.
- 3. En segundo lugar, se calcula la integral: 1. Volumen generado por la revolución de una función En un plano se tiene una región y una recta. Giramos la región alrededor de la recta y obtenemos un sólido, llamado sólido de revolución generado por la región. La recta alrededor de la cual gira la región se llama el eje de revolución. Se presentan dos métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución: El método del disco y el método de las arandelas. Método del Disco Caso 1. Giro alrededor del eje X Sea y=f(x) una función continua en el intervalo [a, b] tal que f(x)≥0, para todo x del dominio. Si a la región del plano acotada por la gráfica de f, el eje X y las rectas x=a y x=b, lo hacemos girar alrededor del eje X, obtenemos un sólido de revolución cuyo volumen está dado por 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓( 𝑥))2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Caso 2. Giro alrededor de la recta y=k, paralela al eje X. 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓( 𝑥) − 𝑘)2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Caso 3. Giro alrededor del eje Y. Si la función es dada de la forma x=f(y)≥0 en el intervalo [c, d] y el giro es alrededor del eje Y. 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓( 𝑦))2 𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Caso 4. Giro alrededor de la recta x=k, paralela al eje Y. 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓( 𝑦) − 𝑘)2 𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Ejemplo: 1) Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva: y = √x, de 0 a 1.
- 4. -solución: el sólido está entre x=0 y x=1, graficamos y sacamos un disco: El volumen de este disco será: V= π (√x) ² = πx V= A(X) dx = πx dx = π calculado entre 0 y 1 = = 2) Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la región limitada por , y , alrededor del eje y. solución: Tenemos que despejar a en términos de y así: Graficamos y sacamos el disco
- 5. el volumen de este disco será: calculado entre 0 y 8 Método de las arandelas Caso 1. Se tienen dos funciones y=f(x) y y=g(x), continuas en el intervalo [a, b] en donde f(x)≥g(x). Buscamos una fórmula que nos permita calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar alrededor del eje X la región acotada por los gráficos de las funciones y=f(x), y=g(x) y las rectas x=a, x=b. 𝑉 = 𝜋 ∫ ((𝑓( 𝑥)) 2 − (𝑔( 𝑥)) 2 )𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Caso 2. Giro alrededor de la recta y=k, paralela al eje X 𝑉 = 𝜋 ∫ (( 𝑓( 𝑥) − 𝑘)2 − ( 𝑔( 𝑥) − 𝑘)2 )𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Caso 3. Giro alrededor del eje Y Se tienen dos funciones x=f(y) y x=g(y), continuas en el intervalo [c, d], en donde f(y)≥g(y) 𝑉 = 𝜋 ∫ ((𝑓( 𝑦)) 2 − (𝑔( 𝑦)) 2 )𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Caso 4. Giro alrededor de la recta x=k, paralela al eje Y. 𝑉 = 𝜋 ∫ (( 𝑓( 𝑦) − 𝑘)2 − ( 𝑔( 𝑦)− 𝑘)2 )𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Ejemplo Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas y= x y y= x² en torno al eje x. solución: Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersección: x=x²
- 6. x−x²=0 X (x−1) =0 x=0 y x=1 ya con los puntos de intersección graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos resulta (anillo rosado) En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno El radio interno es y= x² y el radio externo es y= x. Ahora hallamos el volumen: V=π (R²−r²) dx V=π = calculado entre 0 y 1 = 2. Método de Secciones Transversales Paralelas Conocidas Consideremos un sólido tal que, para cualquier punto x del intervalo [a, b], la sección perpendicular al eje X, tiene área conocida igual a A(x). Si se realizan cortes o particiones regulares a través del intervalo [a, b], el sólido quedará dividido en n rebanadas. Es claro que el volumen del sólido completo es la suma de los volúmenes de las n rebanadas. Este resultado nos permite establecer que si las rebanadas son cortadas perpendicularmente al eje X con secciones de área de A(x), entonces 𝑉 = ∫ 𝐴( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎
- 7. Similarmente, si las rebanadas son cortadas perpendicularmente al eje Y con secciones de área A(y) donde c≤y≤d, entonces 𝑉 = ∫ 𝐴( 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Ejemplo 3. Longitud de una Curva Plana a. Si y=f(x) una función que tiene derivada continua en [a, b] y L es la longitud del gráfico de f entre a y b, entonces 𝐿 = ∫ √1 + (𝑓′( 𝑥))2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 b. Si x=f(y) tiene una derivada continua en [c, d] y L es la longitud del gráfico de f entre c y d, entonces
- 8. 𝐿 = ∫ √1 + (𝑓′( 𝑦))2 𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Ejemplo Hallar la longitud del arco de curva y = ln (cos x) comprendido entre los valores x = 0 y x = π/2 Empezamos calculando y' y su cuadrado: Teniendo esto en cuenta, la longitud de arco que nos piden es:
- 9. 4. Trabajo En términos cotidianos, por trabajo entendemos el esfuerzo para realizar una tarea. En física, si un objeto se mueve a lo largo de una recta una distancia d mientras está sujeta a una fuerza constante F en dirección del movimiento, el trabajo W realizado es 𝑊 = 𝐹𝑑 Supongamos que el objeto se desplaza a lo largo del eje X desde el punto a hasta el punto b y que la fuerza F(x) es una función en el intervalo [a, b]. Nos queda que el trabajo está dado por 𝑊 = ∫ 𝐹( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎
- 10. Ejemplo 5. Centro de masa Si Q es la región encerrada por x=a, x=b, y=f(x), y=g(x), donde g(x)≤f(x), y si A es el área de Q, entonces: 1. Los momentos de Q respecto al eje Y y al eje X son respectivamente, 𝑀 𝑦 = ∫ 𝑥(𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥))𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑀 𝑥 = 1 2 ∫ [(𝑓( 𝑥)) 2 − 𝑏 𝑎 (𝑔( 𝑥)) 2 ]𝑑𝑥 2. El centroide de la región Q es (𝑥̅, 𝑦̅), donde 𝑥̅ = 𝑀 𝑦 𝐴 = 1 𝐴 ∫ 𝑥(𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥))𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑦̅ = 𝑀 𝑥 2𝐴 ∫ [(𝑓( 𝑥)) 2 − (𝑔( 𝑥)) 2 ]𝑑𝑥 𝑏 𝑎
- 11. Ejemplo 6. Presión y Fuerza ejercida por un líquido Se define la presión sobre una superficie como la fuerza que actúa por unidad de área de la superficie. Esto es, si P es la presión, F es la fuerza y A el área, entonces 𝑃 = 𝐹 𝐴 Buscamos estudiar la presión que ejerce un líquido sobre una placa o pared sumergida dentro del líquido. En este caso, la fuerza F es el peso del líquido que está sobre la placa. Supongamos que la placa tenga un área A y está sumergida
- 12. horizontalmente a una profundidad h. Supongamos que el líquido tiene una densidad 𝜌 y, por tanto, su peso específico es 𝛿 = 𝜌𝑔. Aún más, supongamos que el líquido sobre la placa tenga una masa m que ocupa un volumen V. Se tiene: 𝑃 = 𝐹 𝐴 = 𝛿ℎ La fuerza hidrostática, ejercida sobre la placa por un líquido de peso específico 𝛿 es 𝐹 = 𝛿 ∫ ( 𝑠 − 𝑦) 𝐵( 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Lo que quiere decir, 𝐹 = 𝛿 ∫ ( 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑)( 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) 𝑑𝑦 𝑑 𝑐 Ejemplo