Hipérbola resuelta. problema 8
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Este documento resume los pasos para hallar los elementos de una hipérbola dada por la ecuación 9x2 − 16y2 + 54x − 32y − 79 = 0. Estos incluyen el centro en (-3,-1), vértices en (-7,-1) y (1,-1), focos en (-8,-1) y (2,-1), asíntotas y directrices. Finalmente, se presenta la gráfica de la hipérbola con sus elementos.
Hipérbola resuelta. problema 8
- 1. Hallar las coordenadas de los vértices real e imaginario, los focos, las asíntotas, el centro, las directrices, la ecuación canónica y el tipo de ecuación, la excentricidad. Su gráfica con sus elementos. 𝟗𝒙 𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 𝟐 + 𝟓𝟒𝒙 − 𝟑𝟐𝒚 − 𝟕𝟗 = 𝟎 Solución: Desarrollando y operando la ecuación dada: 9𝑥2 − 16𝑦2 + 54𝑥 − 32𝑦 − 79 = 0 → (9𝑥2 + 54𝑥) − (16𝑦2 + 32𝑦) = 79 9( 𝑥2 + 6𝑥) − 16( 𝑦2 + 2𝑦) = 79 → 9( 𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9) − 16( 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 1) = 79 9( 𝑥2 + 6𝑥 + 9) − 81 − 16( 𝑦2 + 2𝑦 + 1) + 16 = 79 9( 𝑥 + 3)2 − 16( 𝑦 + 1)2 = 79 + 81 − 16 → 9( 𝑥 + 3)2 − 16( 𝑦 + 1)2 = 144 9( 𝑥+3)2 144 − 16( 𝑦+1)2 144 = 144 144 → ( 𝑥+3)2 16 − ( 𝑦+1)2 9 = 1, donde está ecuación representa una hipérbola horizontal con centro 𝐶(−3,−1) → 𝐶(ℎ, 𝑘) → ℎ = −3; 𝑘 = −1 y su ecuación canónica es la siguiente: ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 − ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1; sus características son las siguientes: 𝑎2 = 16; 𝑎 = ±4; 𝑏2 = 9; 𝑏 = ±3; a “c” lo hayamos con la relación pitagórica para las hipérbolas, es decir: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 → 𝑐2 = 16 + 9 → 𝑐2 = 25; 𝑐 = ±5 La excentricidad es 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 5 4 → 𝒆 = 𝟏, 𝟐𝟓 > 𝟏 Los datos obtenidos del problema son: 𝑎 = ±4; 𝑏 = ±3; 𝑐 = ±5 La excentricidad es 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 5 4 ≅ 1,25 > 1 Las coordenadas de los vértices transversal y conjugado son: 𝑉2(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2 (−7,−1) 𝑦 𝑉1(1,−1) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝑦 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(−3,−4) 𝑦 𝐵1(−3,2) Las coordenadas de los focos son: 𝐹2(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2 (−8, −1) 𝑦 𝐹1(2, −1) Las ecuaciones de las asíntotas son: 𝐴: 𝑦 = 𝑘 ± 𝑏 𝑎 ( 𝑥 − ℎ) 𝐴: 𝑦 = 𝑘 ± 𝑏 𝑎 ( 𝑥 − ℎ) → { 𝐴1: 𝑦 = 𝑘 + 𝑏 𝑎 ( 𝑥 − ℎ) → 𝐴1: 𝑦 = −1 + 3 4 (𝑥 + 3) 𝐴2: 𝑦 = 𝑘 − 𝑏 𝑎 ( 𝑥 − ℎ) → 𝐴2: 𝑦 = −1 − 3 4 (𝑥 + 3) Las ecuaciones de las directrices son: 𝐷: 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 → { 𝐷1: 𝑥 = ℎ + 𝑎2 𝑐 → 𝐷1: 𝑥 = −3 + 16 5 𝐷2: 𝑥 = ℎ − 𝑎2 𝑐 → 𝐷2: 𝑥 = −3 − 16 5 La gráfica de problema es la siguiente: