IMO 2014 spa
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Este documento presenta 6 problemas de matemáticas. El primer problema trata sobre una sucesión infinita de números enteros positivos y encontrar un entero n que cumpla una condición dada. El segundo problema involucra colocar fichas en un tablero de tamaño n×n de manera pacífica y encontrar el mayor tamaño k de un cuadrado vacío. El tercer problema pide demostrar que una recta es tangente a una circunferencia dada una configuración geométrica. Los problemas restantes involucran geometría plana y teoremas relacionados
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- 1. Language: Spanish Day: 1 Martes 8 de julio de 2014 Problema 1. Sea a0 < a1 < a2 < · · · una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero n ≥ 1 tal que an < a0 + a1 + · · · + an n ≤ an+1. Problema 2. Sea n ≥ 2 un entero. Consideremos un tablero de tamaño n × n formado por n2 cuadrados unitarios. Una configuración de n fichas en este tablero se dice que es pacífica si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Hallar el mayor entero positivo k tal que, para cada configuración pacífica de n fichas, existe un cuadrado de tamaño k × k sin fichas en sus k2 cuadrados unitarios. Problema 3. En el cuadrilátero convexo ABCD, se tiene ∠ABC = ∠CDA = 90◦ . La perpen- dicular a BD desde A corta a BD en el punto H. Los puntos S y T están en los lados AB y AD, respectivamente, y son tales que H está dentro del triángulo SCT y ∠CHS − ∠CSB = 90◦ , ∠THC − ∠DTC = 90◦ . Demostrar que la recta BD es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo TSH. Language: Spanish Tiempo: 4 horas y 30 minutos Cada problema vale 7 puntos
- 2. Language: Spanish Day: 2 Miércoles 9 de julio de 2014 Problema 4. Los puntos P y Q están en el lado BC del triángulo acutángulo ABC de modo que ∠PAB = ∠BCA y ∠CAQ = ∠ABC. Los puntos M y N están en las rectas AP y AQ, respectivamente, de modo que P es el punto medio de AM, y Q es el punto medio de AN. Demostrar que las rectas BM y CN se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC. Problema 5. Para cada entero positivo n, el Banco de Ciudad del Cabo produce monedas de valor 1 n . Dada una colección finita de tales monedas (no necesariamente de distintos valores) cuyo valor total no supera 99 + 1 2 , demostrar que es posible separar esta colección en 100 o menos montones, de modo que el valor total de cada montón sea como máximo 1. Problema 6. Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos que sean paralelas ni tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general separa el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas. Demostrar que para cada n suficientemente grande, en cualquier conjunto de n rectas en posición general es posible colorear de azul al menos √ n de ellas de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga todos los lados de su frontera azules. Nota: A las soluciones que reemplacen √ n por c √ n se les otorgarán puntos dependiendo del valor de c. Language: Spanish Tiempo: 4 horas y 30 minutos Cada problema vale 7 puntos