Informe circulo-de-mhor

Dpto. ciencias de la ingeniería y construcción.
Universidad Católica del Norte.
Antofagasta miércoles 03 de Junio 2015
Círculo de Mohr
Nombres: Camilo Abarca.
Nicolás Marín.
Oscar Palma.
Claudio Guerra.
Josué Morales.
Asignatura: Mecánica de Suelos.
Profesor: Roberto Galleguillos.

Mecánica de Suelos
Método Círculo de Mohr
Introducción:
Al igual que la mayoría de los materiales, los suelos fallan al ser sometidos a
esfuerzos de tracción o a esfuerzo cortantes. Los esfuerzos de tracción dan lugar a la
formación de fisuras que pueden significar la falla del material. Por otra parte en la
mayoría de los problemas que se presenta en geotecnia solo la resistencia a la falla por
cortes es de interés.
La falla por corte se inicia en un punto de la masa de suelo cuando se alcanza
simultáneamente a lo largo de un plano determinado una combinación crítica de
esfuerzos normales y cortantes. Para investigar estas combinaciones criticas se han
desarrollado varios tipos de ensayos, dentro de los cuales el mas usado es el ensayo
triaxial. Este ensayo permite determinar los parámetros fundamentales que caracterizan
comportamiento mecánico del suelo tales como el ángulo de fricción interna del suelo y
de cohesión.
El círculo de Mohr nos permite obtener los esfuerzos actuantes sobre el suelo y su
trayectoria.
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Esfuerzos en una masa de suelo
Concepto de esfuerzo efectivo en un sistema de partículas
La figura siguiente muestra una pequeña celda de medición hipotética (elemento A) enterrada en una masa de
suelo.
Imaginemos que esta celda se ha colocado de tal forma que las partículas del suelo no se han desplazado.
Los diagramas de dicha figura representan las caras horizontal y vertical del elemento A, con las partículas de
suelo que cargan sobre esas caras. Estas partículas ejercen generalmente fuerzas normales y tangenciales sobre
dichas caras. Si cada cara es cuadrada, de lado a , podemos definir los esfuerzos que actúan sobre la celda por:
Donde Nv y Nh representan respectivamente las fuerzas normales en direcciones verticales y horizontales;
Tv y Th son respectivamente las fuerzas tangenciales en direcciones vertical y horizontal; y σ v, σ h, τ v y τ h
representan los esfuerzos correspondientes. De esta forma hemos definido cuatro esfuerzos que, al menos
teóricamente, pueden visualizarse y medirse directamente.
En este apartado, excepto cuando se indique lo contrario, se supondrá que la presión en la fase intersticial
del suelo es nula; es decir igual a la presión en la atmosférica. De aquí que las fuerzas Nv ,Nh ,T v y Th se deben
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únicamente a las fuerzas transmitidas a través del esqueleto mineral. En un suelo seco, el esfuerzo puede
imaginarse como la fuerza existente en el esqueleto mineral por unidad de área de suelo.
Realmente, es bastante difícil medir con precisión los esfuerzos existentes en el interior de un suelo,
principalmente debido a que la presencia de un medidor altera el campo de esfuerzos que existiría si aquel no se
hubiera colocado. Con objeto de que nuestra definición de esfuerzos se pueda aplicar con independencia de un
medidor, podemos hacer pasar un plano imaginario a través del suelo, como se indica en la figura a continuación.
Este plano atravesara los granos minerales y los espacios intersticiales. Puede suceder que este plano pase
a través de uno o más puntos de contacto entre partículas. En cada punto en que este plano atraviesa materia
mineral, la fuerza transmitida a través del esqueleto mineral puede descomponerse en fuerzas normales y
tangenciales al plano. Las componentes tangenciales pueden a su vez descomponerse según un par de ejes
coordenados. La suma de las componentes normales al plano de todas las fuerzas, dividida por el área del plano es
el esfuerzo normal σ que actúa sobre dicho plano. Análogamente, la suma de todos los componentes tangenciales
sobre el plano en la dirección x, por ejemplo, dividida por el área de este plano es el esfuerzo tangencial o cortante
τ x en la dirección x.
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Análisis de Tensiones
1. Tensiones planas
Las condiciones de tensión a las cuales se encuentra sometido un suelo en particular, son ejemplos de un estado de
tensión llamado tensión plana.
Para explicar la tensión plana, consideraremos el elemento de tensión mostrado en la figura 1.a. Este elemento es
infinitesimal en tamaño y puede esbozarse como un cubo o un paralelepípedo rectangular. Los ejes xyz son
paralelos a los bordes del elemento, cuyas caras se designan según las direcciones de sus normales dirigidas hacia
fuera; Cuando el material esta en tensión plana en el plano xy, sólo las caras x y y del elemento están sometidas a
tensiones y todas las tensiones actúan paralelamente a los ejes x e y como se muestran en la figura 1.a. Esta
condición de tensión es muy común porque está presente en la superficie de cualquier cuerpo tensionado, excepto
en puntos donde las cargas externas actúan sobre la superficie.
Tensión normal σ tiene un subíndice que identifica la cara sobre la que actúa la tensión; por ejemplo, la
tensión xσ actúa sobre la cara x del elemento y la tensión yσ , sobre la cara y. Puesto que el tamaño del
elemento es infinitesimal, las tensiones normales que actúan sobre las caras opuestas son iguales. La convención
de signos para las tensiones normales es la usual; es decir, la tracción es positiva y la compresión es negativa.
(a) (b) (c)
Figura 1 Elementos en tensión plana:
(a) vista tridimensional de un elemento orientado según los ejes xyz
(b) vista bidimensional del mismo elemento
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(c) vista bidimensional de un elemento orientado según los ejes x1y1z1.
La tensión tangencial τ tiene dos subíndices – el primero representa la cara sobre la que actúa la tensión y la
segunda da el sentido sobre esa cara-. La convención de signos para las tensiones tangenciales es como sigue. Una
tensión tangencial es positiva cuando actúa sobre una cara positiva de un elemento en el sentido positivo de un eje
y es negativa cuando actúa sobre una cara positiva de un elemento en el sentido negativo de un eje. La convención
de signos anterior es congruente con el equilibrio del elemento, porque sabemos que las tensiones tangenciales
sobre caras opuestas de un elemento infinitesimal deben ser iguales en magnitud y opuestos en sentido; por lo
tanto, de acuerdo con nuestra convención de signos, una tensión positiva xyτ actúa hacia arriba sobre la cara
positiva (figura 1.a) y hacia abajo sobra la cara negativa. De manera similar, las tensiones yxτ que actúan sobre
las caras superior e inferior del elemento son positivas aunque tengan sentidos opuestos.
Sabemos también que las tensiones tangenciales sobre planos perpendiculares son iguales en magnitud y tienen
signos tales que ambas tensiones se acercan o alejan de la línea de intersección de las caras. En tanto xyτ y yxτ
sean positivas en los sentidos mostrados en la figura, son congruentes con esta información; por lo tanto, notamos
que:
yxxy ττ =
1.1 Tensiones sobre secciones inclinadas
Ahora estamos listos para considerar las tensiones que actúan sobre secciones inclinadas, suponiendo que se
conocen las tensiones xσ , yσ y xyτ (figura 1.a y 1.b). Para representar las tensiones que actúan sobra una
sección inclinada, ahora tomamos en cuenta un nuevo elemento de tensión (figura 1.c) que se encuentra en el
mismo punto en el material que el elemento original (figura 1.b). Sin embargo, el nuevo elemento posee caras
paralelas y perpendiculares a la dirección inclinada. Asociados con este nuevo elemento se tienen los ejes x1, y1 y
z1, tales que el eje z1 coincide con el eje z y los ejes x1y1 están girados en sentido anti horario un ángulo θ con
respecto a los ejes xy.
Las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre este nuevo elemento se denotan 1xσ , 1yσ , 11yxτ y 11xyτ ,
usando las designaciones por subíndices y convenciones de signos descritas para las tensiones que actúan sobre el
elemento xy. Las conclusiones anteriores relativas a las tensiones tangenciales aún son aplicables; es decir,
1111 xyyx ττ = 1.2
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Mecánica de Suelos
A partir de esta ecuación y del equilibrio del elemento, vemos que las tensiones tangenciales que actúan sobre las
cuatro caras de un elemento en tensión plana son conocidas si determinamos la tensión tangencial que actúa
sobre cualquiera de las caras.
Las tensiones que actúan sobre el elemento inclinado x1y1 (figura 1.c) pueden expresarse en términos de las
tensiones sobre el elemento xy (figura 1.b) usando ecuaciones de equilibrio. Con este fin, escogemos un elemento
de tensión en forma de cuña que se muestra en la figura 2.a que tiene una cara inclinada que es la misma que la
cara x1 del elemento inclinado (figura 1.c). Las otras dos caras laterales de la cuña son paralelas a los ejes x e y.
A fin de escribir las ecuaciones de equilibrio para la cuña, necesitamos un diagrama de cuerpo libre que muestre
las fuerzas que actúan sobre las caras. Sea A0 el área de la cara izquierda (esto es, la cara negativa x). Entonces las
fuerzas normales y cortantes que actúan sobre dicha cara son 01
Axσ y 0Axyτ , según se aprecia en el diagrama
de cuerpo libre de la figura 2.b. El área de la cara inferior (o cara y negativa) es A0tg(θ) y el área de la cara
inclinada (o cara x1 positiva) es A0sec(θ). Así, las fuerzas normales y cortantes que actúan sobre esas caras tienen
las magnitudes y sentidos mostrados en la figura.
Figura 2 Elemento de tensión en forma de cuña en tensión plana:
(a) tensiones que actúan sobre el elemento
(b) fuerzas que actúan sobre el elemento (diagramas de cuerpo libres).
Las fuerzas que actúan sobre las caras izquierdas e inferior pueden descomponerse en componentes ortogonales
que actúan en las direcciones x1 y y1. Entonces podemos obtener dos ecuaciones de equilibrio sumando fuerzas
en tales direcciones; la primera ecuación, obtenida sumando fuerzas en la dirección x1, es
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0cos((cossec 000001
=+−−− θθτθθσθτθσθσ tgAsentgAsenAAA yxyxyxx
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De la misma manera, sumamos las fuerzas en la dirección y1 obtenemos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0coscossec 0000011
=+−−+ θθτθθσθτθσθτ sentgAtgAAsenAA yxyxyxyx
Si usamos la relación yxxy ττ = simplificamos y reordenamos, obtenemos estas dos ecuaciones:
( ) ( ) ( ) ( )θθτθσθσσ cos2cos 22
1
sensen xyyxx ++= 1.3a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )θθτθθσστ 22
coscos11
sensen xyyxyx −+−−= 1.3b
Las ecuaciones (1.3a) y (1.3b) dan las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre el plano x1 en
términos del ángulo θ y las tensiones xσ , yσ y xyτ que actúan sobre los planos x y y.
1.2 Ecuaciones de transformación para tensión plana
Las ecuaciones (1.3a) y (1.3b) para las tensiones sobre una sección inclinada pueden expresarse de manera más
conveniente introduciendo las siguientes identidades trigonométricas:
( ) ( )( )θθ 2cos1
2
1
cos2
+= ( ) ( )( )θθ 2cos1
2
12
−=sen ( ) ( ) ( )θϑθ 2
2
1
cos sensen =
Cuando se hacen estas sustituciones, resultan las ecuaciones
( ) ( )θτθ
σσσσ
σ 22cos
221
senxy
yxyx
x +
−
+
+
= 1.4a
( ) ( )θτθ
σσ
τ 2cos2
211 xy
yx
yx sen +
−
−= 1.4b
Se conocen como ecuaciones de transformación para tensión plana porque transforman las componentes de
tensión de un conjunto de ejes en otro. Ahora bien, como se explicó antes, el estado de tensión intrínseco en el
punto considerado es el mismo, ya que lo representan tensiones que actúan sobre el elemento xy (figura 1.b) o
sobre el elemento inclinado x1y1 (figura 1.c).
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Puesto que las ecuaciones de transformación nada más se obtuvieron a partir del equilibrio del elemento, son
aplicables a tensión en cualquier tipo de material, sea éste lineal o no lineal, elástico o inelástico.
Una importante observación relativa a las tensiones normales puede obtenerse de las ecuaciones de
transformación. Como asunto preliminar, notamos que la tensión normal 1yσ que actúa sobre la cara y1 del
elemento inclinado (figura 1.c) puede obtenerse de la ecuación 1.4a sustituyendo θ+90º con θ. El resultado es la
siguiente ecuación para 1yσ :
( ) ( )θτθ
σσσσ
σ 22cos
221
senxy
yxyx
y −
−
−
+
= 1.5
Sumamos las expresiones para xσ y yσ (Ecs. 1.4a y 1.5) para obtener esta ecuación para tensión plana:
yxyx σσσσ +=+ 11 1.6
Esta ecuación muestra que la suma de las tensiones normales que actúan sobre las caras perpendiculares de
elementos de tensión plana (en un punto dado de un cuerpo sometido a tensiones) es constante e independiente del
ángulo θ.
2 Tensiones principales y tensiones tangenciales máximas
2.2 Tensiones principales
Las tensiones normales máxima y mínima, llamadas tensiones principales, pueden encontrarse con la ecuación
de transformación para la tensión normal 1xσ (Ec. 1.4a). Derivamos 1xσ con respecto a θ, igualamos a cero y
obtenemos una ecuación de la que podemos encontrar los valores de θ para los que 1xσ es un máximo o un
mínimo.
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La ecuación para la derivada es:
( ) ( ) ( ) 02cos221
=+−−= θτθσσ
θ
σ
xyyx
x
sen
d
d
2.1
De donde obtenemos:
( )
yx
xy
ptg
σσ
τ
θ
−
=
2
2 2.2
El subíndice p indica que el ángulo pθ define la orientación de los planos principales; es decir, los planos sobre
los que actúan las tensiones principales.
Dos valores del ángulo pθ2 en el intervalo de 0 a 360º se pueden obtener de la ecuación (2.2). Estos valores
difieren en 180º, con un valor entre 0 y 180º y el otro entre 180º y 360º; por lo tanto, el ángulo pθ tiene dos
valores que difieren en 90º, un valor entre 0 y 90º y el otro entre 90º y 180º. Los dos valores de pθ se conocen
como Angulos principales. Para uno de estos ángulos, la tensión normal 1xσ es una tensión normal máxima;
para el otro, es una tensión principal mínima. Como los ángulos principales difieren en 90º, vemos que las
tensiones principales ocurren sobre planos mutuamente perpendiculares.
Las tensiones principales pueden calcularse sustituyendo cada uno de los valores de pθ en la primera ecuación
de transformación de tensiones (Ec. 1.4a) y despejando 1xσ . Al determinar las tensiones principales de esta
manera, no sólo obtenemos los valores de las tensiones principales, sino también vemos qué tensión principal se
vincula con qué ángulo principal.
También podemos obtener fórmulas generales para las tensiones
principales. Con este fin observamos el triángulo rectángulo en la figura
3, el cual se construye a partir de la ecuación (2.2).
Nótese que la hipotenusa del triángulo, obtenida con el teorema de
Pitágoras, es:
2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
= 2.3
10

Mecánica de Suelos
Figura 3 Representación geométrica de la ecuación (2.2)
La cantidad R siempre es un número positivo y al igual que los otros dos lados del triángulo, tiene unidades de
tensión. Del triángulo obtenemos dos relaciones adicionales:
( )
R
tx
p
2
2cos
σσ
θ
−
= 2.4a
( )
R
sen
xy
p
τ
θ =2 2.4b
Al sustituir estas expresiones para ( )pθ2cos y ( )psen θ2 en la ecuación (1.4a), obtenemos la tensión principal
más grande en términos algebraicos, denotada con 1σ :
( ) 





+




 −





 −
+
+
==
RR
xy
xy
txyxyx
x
τ
τ
σσσσσσ
σσ
22211
Luego de sustituir el valor de R de la ecuación (2.3) y de ordenar de manera algebraica, se tiene
2
2
1
22
xy
yxyx
τ
σσσσ
σ +




 −
+
+
= 2.5
La menor de las tensiones principales se denota 2σ , puede encontrarse a partir de la condición de que la suma de
las tensiones normales sobre planos perpendiculares es constante (Ec. 1.6):
yx σσσσ +=+ 21 2.6
Sustituimos la expresión para 1σ en la ecuación (2.6), despejamos 2σ y obtenemos
12 σσσσ −+= yx
2
2
2
22
xy
yxyx
τ
σσσσ
σ +




 −
−
+
= 2.7
11

Mecánica de Suelos
2.3 Ángulos principales
Denotemos ahora los dos ángulos que definen los planos principales con 1pθ y 2pθ , correspondientes a las
tensiones principales 1σ y 2σ . Ambos ángulos pueden determinarse de la ecuación para ( )θ2tg (Ec. 2.2); sin
embargo, no podemos saber de esa ecuación cuál ángulo es 1pθ y cuál es 2pθ . Un procedimiento simple para
identificarlos es tomar uno de los valores y sustituirlo en la ecuación para 1xσ (Ec. 1.4a). El valor resultante de
1xσ será 1σ o 2σ (suponiendo que ya hemos encontrado 1σ y 2σ de las ecuaciones 2.5 y 2.7), lo que
permite relacionar los ángulos principales con las dos tensiones principales.
Otro método para relacionar los ángulos principales con las tensiones principales es usar las ecuaciones 2.4a y
2.4b para hallar pθ ya que el único ángulo que satisface las dos ecuaciones es 1pθ . Entonces podemos
reescribir estas ecuaciones como sigue:
( ) R
yx
p
2
2cos 1
σσ
θ
−
= 2.8a
( ) R
sen xy
p
τ
θ =12 2.8b
Existe sólo un ángulo entre 0 y 360º que satisface ambas ecuaciones. Así, el valor de 1pθ puede determinarse en
forma única con las ecuaciones 2.8a y 2.8b. El ángulo 2pθ correspondiente a 2σ define un plano perpendicular
al plano definido por 1pθ ; por lo tanto, 2pθ puede tomarse como 90º mayor o 90º menor que 1pθ .
2.4 Tensiones tangenciales sobre los planos principales
Una característica importante de los planos principales puede obtenerse de la ecuación de transformación para las
tensiones tangenciales (Ec. 1.4b). Si igualamos a cero la tensión tangencial 11yxτ , obtenemos una expresión que es
la misma que la ecuación (2.1); por lo tanto, si despejamos el ángulo θ2 de esa ecuación, obtenemos la misma
expresión para ( )θ2tg dada por la ecuación (2.2); en otras palabras, los ángulos a los planos de tensión
tangencial cero son los mismos que los ángulos a los planos principales. Así pues, podemos expresar la
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Mecánica de Suelos
importante observación que sigue relativa a los planos principales: las tensiones tangenciales son cero sobre los
planos principales.
2.5 Tensiones tangenciales máximas
Ya encontradas las tensiones principales y sus direcciones para un elemento en tensión plana, se determinan las
tensiones tangenciales máximas y los planos sobre los que actúan. Las tensiones tangenciales 11yxτ que actúan
sobre planos inclinados están dados por la segunda ecuación de transformación (Ec. 1.4b). Derivamos 11yxτ con
respecto a θ, igualamos a cero y obtenemos
( ) ( ) ( ) 0222cos11
=+−−= θτθσσ
θ
τ
sen
d
xyyx
yx
2.9
De donde:
( )
xy
yx
stg
τ
σσ
θ
2
2
−
−= 2.10
El subíndice s indica que el ángulo sθ define la orientación de los planos de tensiones tangenciales máximas
positivas y negativas.
La comparación de la ecuación (2.10) para sθ con la (2.2) para pθ muestra que
( )
( ) ( )p
p
s
tg
tg θ
θ
θ 2cot
2
1
2 −=−= 2.11
A partir de esta ecuación podemos obtener la siguiente relación entre los ángulos sθ y pθ :
45±= ps θθ 2.12
Esta ecuación muestra que los planos de tensión tangencial máxima ocurren a 45º respecto a los planos
principales.
El plano de la tensión tangencial máxima positiva máxτ está definido por el ángulo 1sθ , para el cual son
aplicables las siguientes ecuaciones:
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Mecánica de Suelos
( ) R
xy
s
τ
θ =1
2cos 2.13a
( ) R
sen
yx
s
2
2 1
σσ
θ
−
−= 2.13b
En donde R esta dado por las ecuaciones (2.3). Además, el ángulo 1sθ se relaciona con el ángulo 1pθ como
sigue:
º4511
−= ps θθ 2.14
La tensión tangencial máxima correspondiente se obtiene sustituyendo las expresiones para ( )1
2cos sθ y
( )1
2 ssen θ en la segunda ecuación de transformación (Ec. 1.4b):
2
2
2
xy
yx
máx τ
σσ
τ +




 −
= 2.15
La tensión tangencial máxima negativa minτ tiene la misma magnitud pero signo opuesto.
Otra expresión para la tensión tangencial máxima se puede obtener a partir de las tensiones principales 1σ y 2σ
, que dan las ecuaciones (2.5) y (2.6). Restamos la expresión para 2σ de la expresión para 1σ y comparándola
luego con la ecuación (2.15), vemos que:
2
21 σσ
τ
−
=máx 2.16
Entonces, la tensión tangencial máxima es igual a la mitad de la diferencia de las tensiones principales.
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Mecánica de Suelos
3 CIRCULO DE MOHR PARA TENSIÓN PLANA
Las ecuaciones de transformación para la tensión plana pueden representarse en forma gráfica por medio de un
trazado conocido como círculo de Mohr. Esta representación gráfica es de gran utilidad porque permite
visualizar las relaciones entre las tensiones normales y las tangenciales que actúan sobre varios planos inclinados
en un punto de un cuerpo sometido a tensiones; sirve también para calcular las tensiones principales, las tensiones
tangenciales máximas y las tensiones en planos inclinados. Además el circulo de Mohr es válido no sólo para
tensiones, sino también para otras cantidades de naturaleza matemática similar, tales como las deformaciones y
los momentos de inercia.
3.2 Ecuaciones del círculo de Mohr
Las ecuaciones del círculo de Mohr pueden deducirse de las ecuaciones de transformación para la tensión plana
(Ecs. 1.4a y 1.4b). Las dos ecuaciones se repiten aquí pero con un pequeño reordenamiento de la primera
expresión:
( ) ( )θτθ
σσσσ
σ 22cos
221
senxy
yxyx
x +
−
=
+
− 3.1a
( ) ( )θτθ
σσ
τ 2cos2
211 xy
yx
yx sen +
−
−= 3.1b
Por la geometría analítica, se podrá reconocer que ambas son las ecuaciones de un círculo en forma paramétrica,
de donde el ángulo θ2 es el parámetro y las tensiones 1xσ y 11 yxτ son las coordenadas. En esta etapa no es
necesario identificar la naturaleza de las ecuaciones; si eliminamos el parámetro, el significado de las ecuaciones
resultará claro.
Para suprimir el parámetro θ2 , elevamos al cuadrado ambos lados de cada ecuación y luego sumamos ambas. El
resultado es:
2
2
2
2
22 111 xy
yx
yx
yx
x τ
σσ
τ
σσ
σ +




 −
=+




 +
− 3.2
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Mecánica de Suelos
Esta ecuación puede escribirse en forma más simple usando la siguiente notación
2
yx
prom
σσ
σ
+
= 3.3a
2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
= 3.3b
La ecuación (3.2) toma la forma
( ) 222
111
Ryxpromx =+− τσσ 3.4
Que es la ecuación algebraica de un círculo. Las coordenadas son 1xσ y 11 yxτ , el radio es R y el centro del
círculo tiene las coordenadas promx σσ =1
y 011
=yxτ .
3.3 Construcción del círculo de Mohr
El círculo de Mohr puede construirse de varias maneras, dependiendo de cuáles sean las tensiones que se
conozcan y cuáles se desconozcan. Para nuestro propósito inmediato, que es mostrar las propiedades básicas del
círculo, supondremos que conocemos las tensiones xσ , yσ y xyτ que actúan sobre los planos x y y de un
elemento en tensión plana (figura 1.b). Como veremos, esta información es suficiente para construir el círculo.
Luego, como con el círculo dibujado, podemos determinar las tensiones 1xσ , 1yσ , 11yxτ que actúan sobre un
elemento inclinado (figura 1.c). También podemos obtener las tensiones principales y las tensiones tangenciales
máximas con ayuda del círculo.
Con xσ , yσ y xyτ conocidos, el procedimiento para construir el círculo de Mohr se muestra a continuación:
1. Dibuje un conjunto de ejes coordenados con 1xσ como abscisa (positiva hacia la derecha) y 11yxτ como
ordenada (positivo hacia arriba).
2. Localice el centro C del círculo en el punto con coordenadas promx σσ =1
y 011
=yxτ .
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Mecánica de Suelos
3. Localice el punto A, que representa las condiciones de tensión sobre la cara x del elemento mostrado en la
figura 4, marcando sus coordenadas xx σσ =1
y xyyx ττ =11
. Note que el punto A corresponde a 0=θ .
Observe también que la cara x del elemento (figura 4) esta marcada “A” para mostrar su correspondencia
con el punto A del círculo.
4. Localice el punto B que representa las condiciones de tensión sobre la cara y del elemento mostrado en la
figura 4, trazando sus coordenadas yx σσ =1
y xyyx ττ −=11
. Note que el punto B corresponde a
º90=θ . Además, la cara y del elemento (figura 4) esta marcada “B” para mostrar su correspondencia
con el punto B en el diagrama.
5. Dibuje una línea del punto A al punto B. Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro C. Los
puntos A y B, que representan las tensiones sobre planos a 90º, están en extremos opuestos del diámetro
(y, por lo tanto, están a 180º uno del otro sobre el círculo).
6. Con el punto C como centro, trace el círculo de Mohr para los puntos A y B. El círculo dibujado de esta
manera tiene radio R (Ec. 2.3), como se expone en el siguiente párrafo.
17
Figura 4
4

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3.4 Tensiones sobre un elemento inclinado:
Consideraremos ahora las tensiones 1xσ , 1yσ , 11yxτ que actúan sobre las caras de un elemento de tensión plana
orientado según un ángulo θ respecto al eje x (figura 4). Si se conoce el ángulo θ, estas tensiones pueden
determinarse con el círculo de Mohr. El procedimiento es el siguiente.
Sobre el círculo de la figura 4, medimos un ángulo θ2 en sentido horario desde el radio CA, porque el punto A
corresponde a 0=θ y es el punto de referencia desde donde medimos los ángulos. El ángulo θ2 localiza el
punto D, que (según se expone en el párrafo siguiente) tiene coordenadas 1xσ y 11yxτ ; por lo tanto, el punto D
sobre el círculo, el cual representa las tensiones sobre la cara 1x del elemento de la figura 4. En consecuencia,
esta cara del elemento se marca “D” en la figura.
Note que un ángulo θ2 sobre el círculo de Mohr corresponde a un ángulo θ sobre el elemento de tensión; por
ejemplo, el punto D sobre el círculo esta a un ángulo θ2 del punto A, pero la cara 1x del elemento mostrado en
la figura 4 (la marca “D”) esta a un ángulo θ de la cara x del elemento ilustrado en la figura (la cara marcada
“A”). De manera similar, los puntos A y B están separados 180º sobre el círculo, pero las caras correspondientes
del elemento lo están por 90º.
Para encontrar las tensiones de un elemento inclinado se desarrollaran las siguientes ecuaciones:
( )β
σσ
σ cos
21
R
yx
x +
+
= 3.5a
( )βτ Rsenyx =11
3.5b
De esta manera queda demostrado que el punto D sobre el círculo de Mohr, definido por el ángulo θ2 ,
representa las condiciones de tensión sobre la cara 1x del elemento de tensión definido por el ángulo θ.
3.5 Tensiones principales:
Quizá la determinación de las tensiones principales sea la aplicación más importante del círculo de Mohr. Note
que al movernos alrededor del circulo de Mohr (figura 4), encontramos que el punto 1P en donde la tensión
tangencial es cero; por consiguiente, el punto 1P representa la tensión principal y un plano principal. La
abscisa 1σ del punto 1P da la tensión principal algebraicamente mayor y su ángulo 1
2 pθ desde el punto de
18

Mecánica de Suelos
referencia A (donde 0=θ ) proporciona la orientación del plano principal. El otro plano principal, esta
representado por el punto 2P , diametralmente opuesto al punto 1P .
Por la geometría del círculo, vemos que la tensión principal más grande en términos algebraicos es:
RCPOC
yx
+
+
=+=
2
11
σσ
σ
Y la tensión principal menor resulta:
RCPOC
yx
−
+
=−=
2
12
σσ
σ
3.6 Tensiones tangenciales máximas
Los puntos 1S y 2S , que representan los planos de tensiones tangenciales máxima positiva y máxima negativa,
respectivamente, se localiza en la parte inferior y superior del círculo de Mohr (figura 4). Estos puntos están a los
ángulos º902 =θ de los puntos 1P y 2P , lo que concuerda con el hecho de que los planos de tensión
tangencial máxima están orientados a 45º respecto de los planos principales.
Las tensiones tangenciales máximas son iguales en términos numéricos al radio R del círculo. Además, las
tensiones máximas son iguales a la abscisa del punto C, que es la tensión normal promedio promσ .
19

Mecánica de Suelos
Ejercicio1:
En un punto sobre la superficie de un cilindro a presión, el material esta sometido a tensiones biaxiales
Mpax 90=σ y Mpay 20=σ , según se ve sobre el elemento de tensiones de la figura 1-1a. Usar el circulo de
Mhor para determinar las tensiones que actúan sobre un elemento inclinado en un ángulo de º30=θ .Considerar
solo las tensiones en el plano.
Solución:
Construcción del círculo de Mhor. Comenzamos fijando los ejes para las tensiones normales y tangenciales, con
1xσ positivo hacia la derecha y 11 yxτ positivo hacia abajo, como se muestra en al figura 2-2b. Luego situamos
el centro C del circulo sobre el eje 1xσ en el punto en que la tensión es igual a la tensión normal promedio.
Mpa
MpaMpayx
prom 55
2
2090
2
=
+
=
+
=
σσ
σ
El punto A, que representa las tensiones sobre la cara x del elemento ( 0=θ ), tiene coordenada:
Mpax 901 =σ 011
=yxτ
De manera similar, las coordenadas dl punto B, que representan las tensiones sobre la cara y ( )º90( =θ , son:
Mpax 201 =σ 011
=yxτ
Ahora dibujamos el circulo a través de los punto A y B con centro C y radio R igual a:
20
Figura 2-2
a) Elemento en tension plana
b) Circulo de mhor correspondiente

Mecánica de Suelos
Mpa
MpaMpa
R xy
yx
350
2
2090
2
2
2
2
=+




 −
=+




 −
= τ
σσ
Tensiones sobre un elemento a º30=θ .Las tensiones que actúan sobre un plano orientado según un ángulo
º30=θ están dados por las coordenadas del punto D que se halla a un ángulo º602 =θ del punto A (Figura 2-
2b). Por inspección del círculo, vemos que las coordenadas del punto D son:
(Punto D) º60cos1 Rpromx +=σσ
MpaMpaMpa 5.72)º60)(cos35(55 =+=
MpasenMpaRsenyx 3.30)º60)(35(º6011 −=−=−=τ
De manera similar, podemos encontrar las tensiones representadas por el punto D’, que corresponde a un ángulo
)º2402(º120 == θθ o :
(Punto D’) º60cos1 Rpromx −=σσ
MpaMpaMpa 5.37)º60)(cos35(55 =−=
MpasenMpaRsenyx 3.30)º60)(35(º6011 ===τ
Estos resultados se presentan en la figura 2-2 sobre un croquis de un
elemento orientado a un ángulo º30=θ , con todas las tensiones en sus
direcciones verdaderas. Note que la suma
de las tensiones normales sobre el elemento inclinado es igual a yx σσ + , o
110 Mpa.
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Figura 2-2 continuación
Las tensiones que actúan sobre un
elemento orientado a un º30=θ

Mecánica de Suelos
Conclusiones:
De manera sencilla y rápida, en este documento se puede aprender, comprender y desarrollar el
análisis ya estudiado, que permiten conocer los estados tensiónales de cuerpos sometidos a esfuerzos.
Se puede agregar que, aunque muchas técnicas gráficas ya no se utilizan en el trabajo en
ingeniería, el círculo de Mohr continúa siendo de gran valor porque proporciona una representación
clara y simple de un análisis relativamente complicado.
La representación grafica del circulo de Mhor es de gran utilidad porque permite visualizar las
relaciones entre las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre varios planos inclinados en un
punto de un cuerpo sometido a tensiones; permite calcular tensione principales, tangenciales máximas y
las tensiones en planos inclinados.
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