Informe 1 - Física II

FIEE-UNI| INGENIERÍA DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
MOVIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y
AMORTIGUADO
SARANGO VELIZ, ANDY JUAN
LAZO QUISPE, CARLOS ALBERTO
SECCIÓN|N

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MOVIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y AMORTIGUADO
INTRODUCCIÓN
En el siguiente laboratorio veremos unas de las formas de movimiento
principales que se encuentran en la naturaleza. Su característica distintiva es un
patrón repetitivo, el sistema adopta la misma configuración, en cierto momento,
que mostraba antes.
El comportamiento periódico y repetitivo es quizás más ubicuo que la traslación
y la rotación. Son acontecimientos periódicos, las estaciones, la noche y el día,
las fases de la luna, las mareas y el respirar. Nos comunicamos por medio de
vibraciones al generar oscilaciones periódicas de la presión de aire con
nuestras cuerdas vocales y esas oscilaciones periódicas las siente el tímpano
,cuyas vibraciones finalmente excitan respuestas bien definidas del sistema
nervioso. La forma en que transcurre el tiempo se mide contando las oscilaciones
del péndulo.
El comportamiento oscilatorio es muy común, debido principalmente a que es la
respuesta natural de casi cualquier sistema al cual, en un equilibrio estable se
le perturbe, sin embargo no cualquier sistema en equilibrio esta necesariamente
en equilibrio estable. Por tanto nuestra primera tarea al estudiar el
movimiento oscilatorio será analizar el equilibrio del mismo.

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OBJETIVOS
1. Verificar las leyes del movimiento oscilatorio amortiguado sujeto a
oposición del movimiento y el movimiento armónico simple.
2. Determinar el periodo y la frecuencia de un sistema que efectúe un
movimiento armónico simple y amortiguado, teórica y experimentalmente.
3. Tener los conocimientos básicos de un sistema armónico amortiguado y
armónico simple.
4. Aplicar las ecuaciones de un sistema amortiguado y armónico simple,
obtener los resultados a partir de los datos experimentales.
5. Obtener mejor rendimiento por parte de nosotros los estudiantes
observando la experiencia, comprendiendo y comprobando la teoría
vista en clase.
6. Determinar la constante de rigidez del resorte.
7. Comprobar la relación entre el periodo, la masa y la constante de rigidez
de un sistema masa resorte.
8. Verificar las ecuaciones de movimiento masa-resorte.
9. Estudiar la alternancia entre la energía cinética y la energía potencial de
un oscilador mecánico.
MATERIALES
SENSOR DE FUERZA
El sensor de Fuerza PASCO CI6537 es capaz
de medir fuerzas de hasta 50N tanto por
extensión (por convención negativa) como por
compresión (por convención positiva).
El dispositivo está protegido de manera que
no sufre daño si es expuesto a fuerzas
superiores a los 50N. Posee un botón de tara
para setear cualquier carga como cero, un
gancho extraíble y orificios que permiten
adosarlo a los carritos Pasco y adosarle a su
vez otros accesorios.
SENSOR DE FUERZA

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UNA COMPUTADORA
(LOGGER PRO)
LoggerPro es un programa que le permite reunir
y analizar datos de LabPro, Go!Link, Go!Temp,
Go!motion, espectrómetros de óptica de Vernier,
wdss de Vernier, y balanzas Ohaus. Entre sus
muchos rasgos están, los datos pueden entrarse
manualmente desde el teclado, pegado del
portapapeles. El LoggerPro es también un
creador de documentos con la habilidad para
incluir varias páginas en un documento.
LOGGER PRO
INTERFAZ LABPRO
Vernier LabPro® es un interfaz de recopilación
de datos versátil que se puede utilizar para
reunir datos en el aula o en el campo, se puede
utilizar con calculadoras TI, Palm™, o como data
logger autónomo. Más de cuarenta sensores son
útiles con LabPro, sensor de oxígeno, sensor de
humedad relativa, sensor de pH, detector de
movimiento, acelerómetros, etc.
INTERFAZ LABPRO
UN DETECTOR DE
MOVIMIENTO
El Sensor de Movimiento es un dispositivo que
permite la detección de movimiento en estancias
gracias a la tecnología de detección infrarroja
que incorpora. Además, este dispositivo cuenta
con un sensor de luminosidad que combinado.
Con las funciones propias del detector de
movimiento proporcionan una gran
funcionalidad.
UN DETECTOR DE MOVIMIENTO

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RESORTE
Se conoce como resorte a un operador elástico
capaz de almacenar energía y desprenderse de
ella sin sufrir deformación permanente cuando
cesan las fuerzas o la tensión a las que es
sometido
RESORTE
CONJUNTO DE PESAS
SOPORTE UNIVERSAL
CON NUECES
Son un conjunto de cilindros compactos de
diversos tamaños y diversos pesos, de acuerdo a
lo que se desee realizar tienen incluido un
gancho que sirve para sujetar las pesas.
CONJUNTO DE PESAS
Es un mecanismo que se encarga de mantener
sujeto un objeto para poder realizar funciones
de diversos tipos de medición como calcular el
peso, dejar suspendido un objeto, etc. Su uso es
muy común en los laboratorios ya sean de física,
química, biología, etc. Poseen ganchos de acople
que se pueden deslizar para lograr el agarre
de materiales a distancias determinadas por el
usuario.
SOPORTE UNIVERSAL
Es una pieza que posee dos agujeros con dos
tornillos opuestos. Uno de los agujeros se utiliza
para ajustar la doble nuez (generalmente a un
pie universal), mientras que en la otra se coloca
y ajusta la pieza a sujetar
NUEZ UNIVERSAL

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FUNDAMENTO TEORICO
SISTEMAS AMORTIGUADOS
REGLA MILIMETRADA
PLACA DE MICA
RECIPIENTE DE
PLASTICO DE 1 LITRO REGLA MILIMETRADA
Es un círculo diseñado de policarbonato, el cual
es colocado con la pesa, la función es que sirva
como bloqueador con respecto a la oscilación
del resorte.
PLACA DE MICA
La regla graduada es un instrumento de
medición con forma de plancha delgada y
rectangular que incluye una escala graduada
dividida en unidades de longitud, por ejemplo
centímetros o pulgadas; es un instrumento útil
para trazar segmentos rectilíneos con la ayuda
de un bolígrafo o lápiz, y puede ser rígido,
semirrígido o muy flexible, construido de
madera, metal, material plástico, etc.
REGLA MILIMETRADA

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Cualquier sistema físico “real” sufre una pérdida continua de energía como
consecuencia de su interacción con el medio que lo contiene. Esta interacción se
puede identificar de manera genérica con la fricción.
𝐹⃗𝑓𝑟𝑖𝑐 = −𝛽𝑣⃗ 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 [
𝑘𝑔
𝑠
]
𝑣(𝑡) = 𝑣0 𝑒−
𝛽
𝑚
𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑥0 +
𝑣0 𝑚
𝛽
(1 − 𝑒−
𝛽
𝑚
𝑡
)
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
𝑚𝑎⃗ = ∑ 𝐹⃗𝑖
𝑖
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
= −𝜆
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝑘𝑥
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+
𝜆
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0
𝛾 =
𝜆
2𝑚
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑠−1)
𝜔0
2
=
𝑘
𝑚
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (𝑠−1)
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾𝑡
[𝐴1 𝑒𝑥𝑝 (√𝛾2 − 𝜔0
2
𝑡) + 𝐴2 𝑒𝑥𝑝 (−√𝛾2 − 𝜔0
2
𝑡)]
MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 2𝛾
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝜔0
2
𝑥 = 0
MOVIMIENTO SUB
AMORTIGUADO
MOVIMIENTO
CRÍTICAMENTE
AMORTIGUADO
MOVIMIENTO SOBRE
AMORTIGUADO

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1.MOVIMIENTO SUB AMORTIGUADO 𝜔0 > 𝛾
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾𝑡
[𝐴1 𝑒 𝑗𝜔1 𝑡
+ 𝐴2 𝑒−𝜔1 𝑡
] = 𝐴𝑒−𝛾𝑡
cos(𝜔1 𝑡 − 𝛿)
Donde A y δ son constantes que dependen de las condiciones iniciales.
La amplitud de la oscilación
disminuye con el tiempo. El
cociente entre dos máximos
consecutivos se denomina
decremento.
𝐴𝑒−𝛾𝑇
𝐴𝑒−𝛾(𝑇+𝑟)
= 𝑒 𝛾𝑡
Y al factor de la exponencial
decremento logarítmico.
𝜈(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝐴𝑒−𝛾𝑡
𝜔1 (
𝛾
𝜔1
cos(𝜔1 𝑡 − 𝛿))
La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr
de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad.
𝑑𝑊𝑅
𝑑𝑡
= 𝐹𝜈 = −2𝑚𝛾𝜈2
= −2𝑚𝛾𝜔1
2
𝐴2
𝑒−2𝛾𝑡
(
𝛾
𝜔1
cos(𝜔1 𝑡 − 𝛿) + sin(𝜔1 𝑡 − 𝛿))
2
2.MOVIMIENTO APERIÓDICO CRÍTICO 𝜔0 = 𝛾
𝑥(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2 𝑡)𝑒−𝛾𝑡
Decae sin oscilar y rápidamente.
3.MOVIMIENTO APERIÓDICO CRÍTICO 𝜔0 < 𝛾
𝑥(𝑡) = 𝐴1 𝑒𝑥𝑝(𝛽 − 𝛾)𝑡 + 𝐴2 𝑒𝑥𝑝(−(𝛽 + 𝛾)𝑡)
𝜔1
2
≡ 𝜔0
2
− 𝛾2
𝛽2
= 𝛾2
− 𝜔0
2

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Decae sin oscilar aunque algo más lento que el anterior.
 MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
SIMPLE
El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento
vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en
ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que
es directamente proporcional a la posición. Y que queda descrito en función del
tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un
movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un
movimiento armónico, pero no un m.a.s.
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s.
oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su
trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a
ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la
partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida
hacia éste.
GRAFICA AMPLITUD
VS TIEMPO
ECUACIONES DEL
ARMÓNICO SIMPLE

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Donde :
Y: posición en función del
tiempo
A: amplitud
W: Frecuencia cíclica.
Φ : fase inicial
Donde:
ϓ: posición en función del tiempo
A: amplitud mediana.
e: Base de logaritmos neperiano.
b: Factor de amortiguamiento .
M: masa en (Kg)
T: tiempo
Donde la solución de la ecuación
diferencial es:
Oscilaciones : Variación, perturbación o fluctuación
en el tiempo de un medio o sistema
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su
posición x dada en función del tiempo t por la ecuación
Movimiento Oscilatorio
Armónico simple
Movimiento oscilatorio
amortiguado
Es aquel movimiento donde existen
fuerzas disipativas o de resistencias
que ejerce el medio.
 Es un movimiento
unidimensional.
 Es periódico
 Es oscilatorio

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PROCEDIMIENTO
 Instale el sistema masa resorte utilizando el sensor
de fuerza y el resorte helicoidal.
 Encienda el computador, conecte el sensor de la
interface y esta a su vez, a uno de los puertos
USB del computador.
 Recopile los datos obtenidos por el computador.
ARMONICO SIMPLE
MASA|2 MASA|3
MASA|4

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RESULTADOS
MOVIMIENTO
AMORTIGUADO
Fuerza Posición Velocidad Aceleración Tiempo
N m m/s m/s² s
5.000005072 0.04
4.751558892 0.12567513 -0.1363425 -1.47159505 0.06
4.894415445 0.08
4.509323868 0.12073593 -0.19336625 -1.55968978 0.1
4.48447925 0.12
3.931686501 0.11168073 -0.265110417 -1.30779915 0.14
3.801252257 0.16
3.155292191 0.09878393 -0.313523438 -0.383748 0.18
2.968957556 0.2
2.304364027 0.08533833 -0.30209725 0.8927666 0.22
2.14287401 0.24
1.540392026 0.07381353 -0.238599375 2.06065297 0.26
1.49070279 0.28
0.975176968 0.06530713 -0.13083 2.85057553 0.3
1.074555439 0.32
0.745364252 0.06283753 0.001018281 2.9966928 0.34
1.012443895 0.36
0.844742724 0.06558153 0.127291111 2.25425168 0.38
1.31057931 0.4
1.291945846 0.07353913 0.19919725 0.95036411 0.42
1.894427831 0.44
2.049706693 0.08451513 0.189975227 0.11604109 0.46
Columna de datos Logger Pro -Masa #2
MASA|2

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2.658399832 0.48
2.801256385 0.08808233 0.182576042 0.04281553 0.5
3.503116842 0.52
3.621128777 0.09741193 0.202600865 -0.1876707 0.54
4.229821916 0.56
4.285722306 0.10646713 0.186046875 -1.11444363 0.58
4.763981201 0.6
4.66460273 0.11222953 0.120021417 -2.34688128 0.62
4.962738145 0.64
4.652180421 0.11799193 -0.00986125 -3.01741365 0.66
4.788825819 0.68
4.36025616 0.11250393 -0.155459706 -2.46265259 0.7
4.322989233 0.72
3.745351866 0.10262553 -0.224164792 -1.22133896 0.74
3.602495313 0.76
2.962746402 0.09357033 -0.237324408 -0.2195919 0.78
2.770200613 0.8
2.118029392 0.08424073 -0.238770875 0.64696131 0.82
1.981383994 0.84
1.385113164 0.07326473 -0.196837083 1.71769465 0.86
1.391324318 0.88
0.900643114 0.06695353 -0.096955966 2.62949487 0.9
1.06213313 0.92
0.77020887 0.06530713 0.028278859 2.94137172 0.94
1.074555439 0.96
0.962754659 0.06914873 0.151062917 2.59707254 0.98
1.447224708 1
1.496913944 0.07792953 0.2472344 1.72342741 1.02
2.074551311 1.04
MASA|3
N m m/s m/s² s
7.85713613 0.04
7.91924768 0.17643913 0.1775025 -0.418924479 0.06
8.3664508 0.08
8.3664508 0.18357353 0.16421125 -0.811163737 0.1

P á g i n a 13 | 35
8.82607623 0.12
8.80123161 0.19043353 0.12319417 -1.294624023 0.14
9.14284511 0.16
9.15526742 0.19400073 0.05370094 -1.530587256 0.18
9.40992475 0.2
9.26085705 0.19454953 -0.01020425 -1.297093164 0.22
9.49688092 0.24
9.29812397 0.19262873 -0.05252188 -0.926504346 0.26
9.40992475 0.28
9.15526742 0.19015913 -0.07833875 -0.827708681 0.3
9.21116781 0.32
8.85092085 0.18604313 -0.10868813 -1.011595323 0.34
8.89439893 0.36
8.45961812 0.18275033 -0.16583097 -0.87841529 0.38
8.42235119 0.4
7.99378153 0.17232313 -0.19949738 -0.111201956 0.42
7.93788114 0.44
7.47204456 0.16463993 -0.17298114 0.6653764 0.46
7.45341109 0.48
6.98757451 0.15887753 -0.13034 0.92011566 0.5
6.96272989 0.52
6.55900485 0.15421273 -0.09425904 0.865817918 0.54
6.58384946 0.56
6.21739135 0.15146873 -0.06339375 0.874363381 0.58
6.34161444 0.6
6.03105672 0.14927353 -0.02944083 1.027672195 0.62
6.18012442 0.64
5.99378979 0.14845033 0.02058 1.06927096 0.66
6.24223597 0.68
6.08074595 0.15091993 0.06640581 0.827469663 0.7
6.4285706 0.72
6.33540329 0.15476153 0.08575 0.634612706 0.74
6.70807255 0.76
6.75155064 0.15777993 0.10513401 0.748660382 0.78
7.14285337 0.8
7.14906452 0.16217033 0.14757575 0.770709622 0.82
7.65216804 0.84
7.65837919 0.16985353 0.18211667 0.290421486 0.86
8.09316 0.88
8.16769386 0.17781113 0.17683989 -0.443991088 0.9
8.58384121 0.92
8.58384121 0.18467113 0.02827886 2.94137172 0.94
9.00619971 0.96
8.91303239 0.18906153 0.09253854 -1.12598766 0.98
9.2670682 1
9.20495666 0.19180553 0.0480886 -1.17641973 1.02
9.42855822 1.04

P á g i n a 14 | 35
8.58384121 0.18467113 0.02827886 2.94137172 0.94
9.00619971 0.96
8.91303239 0.18906153 0.09253854 -1.12598766 0.98
9.2670682 1
9.20495666 0.19180553 0.0480886 -1.17641973 1.02
9.42855822 1.04
MASA|4
N m m/s m/s² s
6.89440719 0.04
6.88198488 0.15832873 0.21266 -0.11165365 0.06
7.37266608 0.08
7.44098878 0.16683513 0.20923 -0.237264 0.1
7.88198075 0.12
7.96272576 0.17534153 0.19751083 -0.45208561 0.14
8.42856235 0.16
8.45961812 0.18275033 0.17460844 -0.78596909 0.18
8.90061009 0.2
8.86334316 0.18961033 0.1359995 -1.16088848 0.22
9.24843474 0.24
9.21116781 0.19400073 0.07996188 -1.43736962 0.26
9.50930323 0.28
9.35402436 0.19619593 0.01610875 -1.51665155 0.3
9.59004823 0.32
9.38508014 0.19509833 -0.04378609 -1.46812316 0.34
9.47824745 0.36
9.21116781 0.19262873 -0.10108972 1.35483381 0.38
9.29191282 0.4
8.86955431 0.18714073 -0.15550763 -1.09124818 0.42
8.88197662 0.44
8.47204043 0.17973193 -0.19321034 -0.64618915 0.46
8.39750657 0.48
7.93788114 0.17122553 -0.20772938 -0.145304 0.5
7.90061421 0.52
7.39129955 0.16271913 -0.20332644 0.3219259 0.54
7.36645493 0.56
6.91304065 0.15476153 -0.182035 0.75197102 0.58
6.85714026 0.6
6.46583753 0.14762713 -0.14157325 1.09140731 0.62
6.48447099 0.64
6.09316826 0.14323673 -0.09084141 1.29526149 0.66
6.2236025 0.68
5.91925593 0.14049273 -0.0369986 1.40786683 0.7
6.0745348 0.72

P á g i n a 15 | 35
6.48447099 0.64
6.09316826 0.14323673 -0.09084141 1.29526149 0.66
6.2236025 0.68
5.91925593 0.14049273 -0.0369986 1.40786683 0.7
6.0745348 0.72
5.88198901 0.13994393 0.02317632 1.42296089 0.74
6.16149096 0.76
6.01863441 0.14241353 0.08074039 1.30823608 0.78
6.3602479 0.8
6.31055867 0.14680393 0.12858213 1.11004102 0.82
6.68943909 0.84
6.70807255 0.15256633 0.17074458 0.81455314 0.86
7.16769799 0.88
7.18012029 0.16079833 0.1982579 0.37045472 0.9
7.68943496 0.92
7.72670189 0.16903033 0.20160571 -0.13271159 0.94
8.18011617 0.96
8.26707233 0.17726233 0.18529146 -0.57422949 0.98
8.70185314 1
8.72669776 0.18412233 0.1544186 -0.94630583 1.02
9.11800049 1.04
MOVIMIENTO
AMORTIGUADO
N m m/s m/s² s
6.37267021 0.04
5.96894517 0.05021513 -0.3773 8.04040234 0.06
5.99378979 0.08
5.62733167 0.03320233 -0.0883225 10.6902783 0.1
5.70807668 0.12
5.36025203 0.03155593 0.46176375 10.3720654 0.14
5.50931974 0.16
5.26087356 0.06859993 0.94592969 2.62703164 0.18
5.40994127 0.2
5.21118432 0.12841913 0.709667 -5.90621309 0.22
5.4596305 0.24
5.28571818 0.13006553 0.234955 -6.48294205 0.26
Columna de datos Logger Pro -Movimiento Amortiguado

P á g i n a 16 | 35
5.61490937 0.28
5.51553089 0.13363273 0.099715 -2.40498923 0.3
5.85714439 0.32
5.80745515 0.13829753 0.12449828 -0.05939376 0.34
6.21739135 0.36
6.16149096 0.14378553 0.13577083 0.12110153 0.38
6.55900485 0.4
6.54037138 0.14954793 0.13295538 -0.17705401 0.42
6.91304065 0.44
6.88819603 0.15448713 0.12184295 -0.47641268 0.46
7.2608653 0.48
7.19875376 0.15942633 0.09564698 -0.72948116 0.5
7.5341561 0.52
7.44719994 0.16299353 0.05778231 -0.814193 0.54
7.73291304 0.56
7.61490111 0.16299353 0.02863438 -0.78956707 0.58
7.86955844 0.6
7.66459034 0.16601193 -0.00437325 -0.73622082 0.62
7.88198075 0.64
7.66459034 0.16244473 -0.03285297 -0.67512473 0.66
7.79502459 0.68
7.52173379 0.16271913 -0.05447647 -0.68575368 0.7
7.63353457 0.72
7.30434338 0.15915193 -0.08770319 -0.65869906 0.74
7.37887724 0.76
7.0558972 0.15503593 -0.1141152 -0.43745377 0.78
7.06831951 0.8
6.68943909 0.14982233 -0.12356575 -0.12486338 0.82
6.73291717 0.84
6.34161444 0.14488313 -0.12264292 0.16595217 0.86
6.40372598 0.88
6.03105672 0.13994393 -0.11075392 0.43487721 0.9
6.09316826 0.92
5.78261054 0.13555353 -0.08658886 0.65742692 0.94
5.85093324 0.96
5.51553089 0.13308393 -0.05663073 0.82535594 0.98
5.67702091 1
5.42236358 0.13088873 -0.0206486 0.94452508 1.02
5.5838535 1.04

P á g i n a 17 | 35
CALCULOS
PRIMERA PARTE
Calculo de la constante de rigidez del resorte.
Por el método estático haremos uso de los datos de la tabla N°1 y tabla N°2
para generar la siguiente gráfica cuya pendiente muestra la relación entre la
fuerza y la elongación también conocida como constante de rigidez,
considerando que para medir las elongaciones el resorte contó con una longitud
natural de 0.175m.
Tabla N°1 Tabla de datos con longitudes y pesos necesarios para el
experimento 1.
Tabla N°2 Tabla de masas usadas para deformar el resorte.
Grafica N°1 Gráfica de peso vs elongación obtenida con los datos de la
tabla N°1 y tabla N°2 de forma estática.

P á g i n a 18 | 35
La grafica muestra la relación lineal entre la carga y la deformación que
experimenta el resorte.
Por el método dinámico haremos uso de los datos de la tabla N°3 para generar
la siguiente gráfica cuya pendiente al igual que el caso anterior también
muestra la relación entre la fuerza y la elongación también conocida como
constante de rigidez, estos son solo una muestra del gran conjunto de datos
obtenidos por computadora.
Tabla N°3 Tabla de elongación vs fuerza obtenidos por computadora.
Grafica N°2 Gráfica de peso vs elongación obtenida con los datos de la
tabla N°3 de forma dinámica.
Elongacion(m) Fuerza(N)
-0.0299 -1.94
-0.0941 -6.07
-0.1013 -6.62
-0.0480 -3.35
-0.0329 -2.21
-0.0911 -6.18
-0.0949 -6.53
-0.0417 -3.08
-0.0387 -2.41
-0.0963 -6.25
-0.0966 -6.40
-0.0401 -2.79
-0.0392 -2.66
-0.0941 -6.35
-0.0919 -6.27
-0.0343 -2.53
-0.0464 -2.88
-0.0977 -6.39
-0.0916 -6.14
-0.0313 -2.28
-0.0488 -3.11
-0.0980 -6.43
-0.0897 -5.98
-0.0272 -1.99
-0.0519 -3.34
-0.0977 -6.46
-0.0851 -5.82
-0.0217 -1.76
0.0203 1.43
Elongacion(m) Fuerza(N)
-0.0563 -3.55
-0.1002 -6.45
-0.0848 -5.61
-0.0200 -1.47
0.0173 1.15
-0.0563 -3.78
-0.0969 -6.50
-0.0790 -5.44
-0.0132 -1.22
0.0115 0.90
-0.0620 -3.97
-0.0996 -6.50
-0.0782 -5.25
-0.0104 -0.93
0.0093 0.62
-0.0628 -4.19
-0.0974 -6.52
-0.0738 -5.04
-0.0060 -0.63
0.0044 0.36
-0.0664 -4.37
-0.0971 -6.51
-0.0700 -4.83
-0.0008 -0.36
-0.0003 0.10
-0.0697 -4.52
-0.0985 -6.47
-0.0689 -4.61

P á g i n a 19 | 35
La grafica muestra la relación lineal entre la carga y la deformación que
experimenta el resorte.
De ambas graficas haciendo el ajuste de curvas por medio de Excel obtuvimos
las rectas mínimo cuadráticas cuya pendiente (constante de rigidez), se refleja
en la siguiente tabla.
Tabla N°4 Tabla de pendientes (Cte. de rigidez) obtenida de las gráficas
anteriores.
El porcentaje de error es calculado mediante la siguiente formula.
%𝜀 =
𝐶𝑡𝑒. 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 − 𝐶𝑡𝑒. 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜
𝐶𝑡𝑒. 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜
∗ 100%
De esta ecuación obtenemos un margen de error del 20.5% entre ambos
métodos.

P á g i n a 20 | 35
SEGUNDA PARTE
Determinación de las ecuaciones del movimiento armónico simple.
Haremos uso de los datos mostrados en la tabla N°5 obtenidos por
computadora, los cuales contienen la información necesaria sobre la dinámica y
cinemática del cuerpo de 1.008 kg de masa a través de su movimiento.
Para el cálculo de la amplitud, periodo y fase inicial de las oscilaciones
necesitamos tener la ecuación de su movimiento, la cual tiene la forma:
𝑋(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + Φ) + 𝐸 … (1)
DONDE
 X (t)=La posición del cuerpo en función del tiempo (m)
 A=Amplitud de las oscilaciones (m)
 ω= frecuencia angular (rad/s)
 t= tiempo (s)
 Φ=fase inicial (rad)
 E= posición de equilibrio (m)
Para el periodo procederemos de la siguiente forma usando la ecuación
siguiente:
𝑇 =
2𝜋
𝜔
… (2)
Para el cálculo de la velocidad y aceleración del cuerpo en función del tiempo,
partiremos con los datos de la ecuación anterior y aplicaremos la formula
cinemática siguiente:
𝑉(𝑡) =
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐴𝜔 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + Φ) … (3)
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝐴𝜔2
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + Φ) … (4)
DONDE
 V (t)=La velocidad del cuerpo en función del tiempo (m/s)
 a (t)= La aceleración del cuerpo en función del tiempo (m/s2)
Tabla N°5 Tabla de datos cinemáticos y dinámicos del cuerpo en el tiempo.

P á g i n a 21 | 35
Tiempo(s) Fuerza(N) Posición(M) Velocidad(M/S) Aceleración(M/S2
)
0.1 6.06 0.341 0.008 -0.535
0.2 6.09 0.341 -0.045 -0.576
0.3 5.55 0.331 -0.107 -0.117
0.4 4.91 0.320 -0.069 0.707
0.5 4.74 0.318 0.034 0.864
0.6 5.25 0.327 0.104 0.220
0.7 5.92 0.339 0.078 -0.638
0.8 6.15 0.342 -0.023 -0.912
0.9 5.74 0.334 -0.104 -0.336
1 5.04 0.322 -0.091 0.549
1.1 4.74 0.316 0.005 0.933
1.2 5.08 0.323 0.096 0.466
1.3 5.75 0.335 0.099 -0.418
1.4 6.16 0.342 0.012 -0.926
1.5 5.88 0.338 -0.086 -0.563
1.6 5.21 0.325 -0.100 0.336
1.7 4.76 0.317 -0.019 0.885
1.8 4.93 0.321 0.077 0.617
1.9 5.58 0.333 0.104 -0.220
2 6.11 0.342 0.033 -0.871
2.1 6.00 0.339 -0.070 -0.720
2.2 5.40 0.328 -0.111 0.089
2.3 4.83 0.317 -0.052 0.844
2.4 4.82 0.318 0.058 0.803
2.5 5.41 0.329 0.108 0.027
2.6 6.02 0.339 0.063 -0.720
2.7 6.11 0.341 -0.036 -0.837
2.8 5.59 0.332 -0.104 -0.172
2.9 4.92 0.320 -0.070 0.672
3 4.77 0.318 0.030 0.858
3.1 5.22 0.327 0.102 0.240
3.2 5.87 0.339 0.078 -0.611
3.3 6.13 0.342 -0.021 -0.892
3.4 5.75 0.334 -0.100 -0.357
3.5 5.08 0.322 -0.092 0.501
3.6 4.75 0.316 0.000 0.926
3.7 5.06 0.322 0.093 0.501
3.8 5.74 0.335 0.100 -0.398
3.9 6.14 0.342 0.014 -0.899
4 5.90 0.338 -0.080 -0.556
4.1 5.24 0.326 -0.097 0.274
4.2 4.77 0.318 -0.025 0.858
4.3 4.91 0.321 0.074 0.624
4.4 5.56 0.333 0.100 -0.199
4.5 6.06 0.341 0.034 -0.816
4.6 6.02 0.340 -0.063 -0.707
4.7 5.43 0.329 -0.107 0.048
4.8 4.86 0.318 -0.054 0.775
4.9 4.83 0.318 0.048 0.796
5 5.36 0.328 0.106 0.082
5.1 5.98 0.339 0.064 -0.693
5.2 6.11 0.341 -0.033 -0.809
5.3 5.60 0.333 -0.097 -0.192
5.4 4.97 0.321 -0.071 0.617
5.5 4.79 0.318 0.026 0.844
5.6 5.19 0.327 0.097 0.261
5.7 5.85 0.338 0.078 -0.549
5.8 6.12 0.342 -0.012 -0.871
5.9 5.77 0.335 -0.096 -0.405
6 5.13 0.323 -0.093 0.446
)
6.1 4.77 0.317 -0.007 0.899
6.2 5.04 0.322 0.086 0.521
6.3 5.69 0.334 0.097 -0.343
6.4 6.10 0.341 0.018 -0.844
6.5 5.91 0.338 -0.071 -0.549
6.6 5.27 0.327 -0.092 0.220
6.7 4.80 0.319 -0.027 0.789
6.8 4.93 0.321 0.066 0.638
6.9 5.50 0.332 0.100 -0.137
7 6.03 0.341 0.038 -0.803
7.1 6.01 0.340 -0.060 -0.727
7.2 5.44 0.329 -0.107 0.014
7.3 4.90 0.319 -0.058 0.755
7.4 4.84 0.318 0.044 0.796
7.5 5.33 0.327 0.102 0.117
7.6 5.94 0.338 0.067 -0.645
7.7 6.06 0.341 -0.027 -0.796
7.8 5.61 0.333 -0.092 -0.192
7.9 5.02 0.322 -0.066 0.563
8 4.78 0.319 0.021 0.782
8.1 5.16 0.327 0.091 0.288
8.2 5.80 0.338 0.078 -0.508
8.3 6.07 0.342 -0.011 -0.851
8.4 5.78 0.335 -0.092 -0.412
8.5 5.17 0.324 -0.093 0.405
8.6 4.81 0.317 -0.011 0.864
8.7 5.05 0.322 0.080 0.528
8.8 5.64 0.333 0.095 -0.261
8.9 6.06 0.341 0.027 -0.796
9 5.90 0.338 -0.064 -0.590
9.1 5.30 0.328 -0.091 0.185
9.2 4.85 0.320 -0.027 0.755
9.3 4.92 0.322 0.060 0.604
9.4 5.47 0.332 0.093 -0.110
9.5 5.99 0.341 0.038 -0.741
9.6 5.98 0.340 -0.055 -0.700
9.7 5.49 0.330 -0.102 -0.014
9.8 4.96 0.319 -0.058 0.686
9.9 4.86 0.318 0.036 0.755
10 5.32 0.327 0.093 0.165
10.1 5.88 0.337 0.069 -0.569
10.2 6.03 0.340 -0.021 -0.768
10.3 5.65 0.333 -0.085 -0.213
10.4 5.06 0.323 -0.063 0.508
10.5 4.83 0.320 0.016 0.734
10.6 5.16 0.327 0.084 0.288
10.7 5.73 0.337 0.074 -0.460
10.8 6.03 0.341 -0.008 -0.789
10.9 5.78 0.335 -0.084 -0.391
11 5.20 0.325 -0.086 0.343
11.1 4.86 0.318 -0.015 0.775
11.2 5.05 0.322 0.069 0.515
11.3 5.61 0.332 0.088 -0.206
11.4 6.02 0.339 0.027 -0.707
11.5 5.88 0.337 -0.054 -0.542
11.6 5.36 0.328 -0.081 0.123
11.7 4.91 0.321 -0.029 0.672
11.8 4.94 0.323 0.054 0.583
11.9 5.44 0.332 0.088 -0.069
12 5.92 0.340 0.040 -0.686

P á g i n a 22 | 35
De la tabla N°5 extraeremos una muestra de datos que reflejen con buena
aproximación la posición del cuerpo en función del tiempo y la graficaremos
con el objetivo de usar el ajuste de curvas de Excel para obtener así la ecuación
de su movimiento, reflejado en la gráfica N°3.
Tabla N°6 Tabla de datos extraídos de la tabla N°5 para la gráfica posición
vs tiempo.
Grafica N°3 Gráfica de posición vs tiempo obtenida con los datos de la tabla
N°6.
Tiempo(s) Posición(m)
0.1 0.341
0.2 0.341
0.3 0.331
0.4 0.320
0.5 0.318
0.6 0.327
0.7 0.339
0.8 0.342
0.9 0.334
1 0.322
1.1 0.316
1.2 0.323
1.3 0.335
1.4 0.342
1.5 0.338
1.6 0.325
1.7 0.317
1.8 0.321
1.9 0.333
2 0.342
2.1 0.339
2.2 0.328
2.3 0.317
2.4 0.318
2.5 0.329
Tiempo(s) Posición(m)
2.6 0.339
2.7 0.341
2.8 0.332
2.9 0.320
3 0.318
3.1 0.327
3.2 0.339
3.3 0.342
3.4 0.334
3.5 0.322
3.6 0.316
3.7 0.322
3.8 0.335
3.9 0.342
4 0.338
4.1 0.326
4.2 0.318
4.3 0.321
4.4 0.333
4.5 0.341
4.6 0.340
4.7 0.329
4.8 0.318
4.9 0.318
5 0.328

P á g i n a 23 | 35
La grafica muestra la relación sinusoidal entre la posición y el tiempo pasando
siempre por un posición intermedia aproximadamente cada mismo intervalo de
tiempo.
De la ecuación número 1 y de la ecuación obtenida en la gráfica anterior
podemos comparar:
𝑋( 𝑡) = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛( 𝜔𝑡 + 𝛷) + 𝐸 = [0.0116𝑠𝑒𝑛(10.0𝑡 + 0.0192) + 0.329]𝑚
Tabla N°7 Amplitud, frecuencia angular, periodo, fase inicial y posición de
equilibrio del cuerpo para el experimento dado.
Dado que se conoce la frecuencia angular, solo hicimos uso de la ecuación
número 2 para calcular el periodo aquí mostrado.
El cálculo de la velocidad y aceleración del móvil se obtiene con las ecuaciones
3 y 4 y los datos de la tabla N°7.
𝑉(𝑡) =
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑡
= 0.116 ∗
𝑐𝑜𝑠(10.0𝑡 + 0.0192)𝑚
𝑠
El cálculo de la velocidad y aceleración del móvil se obtiene con las ecuaciones
3 y 4 y los datos de la tabla N°7.
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
= −1.16 ∗ 𝑠𝑒𝑛(10.0𝑡 + 0.0192)𝑚/𝑠2
Bosquejando la gráfica velocidad vs tiempo, haremos uso de otra tabla que
será también una muestra de la tabla N°5
Tabla N°8 Tabla de datos extraídos de la tabla N°5 para la gráfica
velocidad vs tiempo.
A(m) 0.0116
ω(rad/s) 10.0
φ(rad) 0.0192
T(s) 0.628
E(m) 0.329
Tiempo Velocidad
0.1 0.008232
0.2 -0.045276
0.3 -0.107016
0.4 -0.0686
0.5 0.0343
0.6 0.104272
0.7 0.078204
0.8 -0.023324
0.9 -0.104272
1 -0.090552
1.1 0.005488
1.2 0.09604
1.3 0.098784
1.4 0.012348
1.5 -0.086436
1.6 -0.100156
Tiempo Velocidad
2.6 0.063112
2.7 -0.035672
2.8 -0.104272
2.9 -0.069972
3 0.030184
3.1 0.101528
3.2 0.078204
3.3 -0.02058
3.4 -0.100156
3.5 -0.091924
3.6 0
3.7 0.093296
3.8 0.100156
3.9 0.01372
4 -0.079576
4.1 -0.097412

P á g i n a 24 | 35
Grafica N°4 Gráfica de velocidad vs tiempo obtenida con los datos de la
tabla N°8.
La grafica muestra la relación sinusoidal entre la velocidad y el tiempo la cual
se aproxima bastante a la ecuación obtenida párrafos arriba.
Elaboraremos la gráfica fuerza vs aceleración con todos los datos de las
columnas de fuerza y aceleración de la tabla N°5, obteniéndose:
Grafica N°5 Gráfica de fuerza vs aceleración obtenida con los datos de la
tabla N°5.
0.2 -0.045276
0.3 -0.107016
0.4 -0.0686
0.5 0.0343
0.6 0.104272
0.7 0.078204
0.8 -0.023324
0.9 -0.104272
1 -0.090552
1.1 0.005488
1.2 0.09604
1.3 0.098784
1.4 0.012348
1.5 -0.086436
1.6 -0.100156
1.7 -0.019208
1.8 0.076832
1.9 0.104272
2 0.032928
2.1 -0.069972
2.2 -0.111132
2.3 -0.052136
2.4 0.057624
2.5 0.108388
2.7 -0.035672
2.8 -0.104272
2.9 -0.069972
3 0.030184
3.1 0.101528
3.2 0.078204
3.3 -0.02058
3.4 -0.100156
3.5 -0.091924
3.6 0
3.7 0.093296
3.8 0.100156
3.9 0.01372
4 -0.079576
4.1 -0.097412
4.2 -0.024696
4.3 0.074088
4.4 0.100156
4.5 0.0343
4.6 -0.063112
4.7 -0.107016
4.8 -0.053508
4.9 0.04802
5 0.105644

P á g i n a 25 | 35
La grafica muestra la relación lineal con pendiente negativa entre ambas
magnitudes, aunque se sabe de la 2da ley de newton que está pendiente debe
ser la masa inercial del cuerpo, la cual está muy aproximada.
TERCERA PARTE
Movimiento Armónico Amortiguado.
Similar al caso anterior haremos uso de los datos mostrados en la tabla N°9
obtenidos por computadora, los cuales contienen la información necesaria sobre
la dinámica y cinemática del cuerpo de 1.008 kg de masa a través de su
movimiento al realizar un movimiento armónico en un medio viscoso como el
agua.
Para el cálculo de la amplitud, periodo, frecuencia angular y fase inicial de las
oscilaciones necesitamos tener la ecuación de su movimiento, la cual tiene la
forma:
𝑋(𝑡) = 𝐴0 ∗ 𝑒−𝛾𝑡
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡 + Φ) … (5)
DONDE
 X (t)=La posición del cuerpo en función del tiempo (m)
 A0=Amplitud inicial de las oscilaciones (m)
 𝜔0= frecuencia angular (rad/s)
 t= tiempo (s)

P á g i n a 26 | 35
 Φ=fase inicial (rad)
Para el periodo procederemos de la siguiente forma usando la ecuación
siguiente:
𝑇 =
2𝜋
𝜔0
… (6)
Para el cálculo del decremento logarítmico haremos uso de la siguiente fórmula:
𝛿 = 𝑙𝑛 (
𝐴1
𝐴2
) … (7)
Dónde: A1 y A2 son dos amplitudes máximas consecutivas en metros.
Tabla N°9 Tabla de datos cinemáticos y dinámicos del cuerpo en el tiempo.
)
0.1 1.42 0.0191 -0.156 0.153
0.2 0.33 0.0035 -0.146 0.404
0.3 -0.98 -0.0119 -0.096 0.759
0.4 -1.35 -0.0198 0.018 0.871
0.5 -0.55 -0.0080 0.115 0.375
0.6 0.68 0.0098 0.108 -0.378
0.7 1.32 0.0177 0.017 -0.770
0.8 0.97 0.0134 -0.081 -0.526
0.9 -0.08 -0.0017 -0.112 0.129
1 -1.02 -0.0152 -0.048 0.651
1.1 -1.12 -0.0135 0.053 0.609
1.2 -0.26 -0.0012 0.102 0.085
1.3 0.83 0.0120 0.068 -0.449
1.4 1.25 0.0147 -0.011 -0.600
1.5 0.65 0.0090 -0.077 -0.301
1.6 -0.40 -0.0037 -0.084 0.214
1.7 -1.08 -0.0122 -0.024 0.554
1.8 -0.82 -0.0097 0.054 0.446
1.9 0.07 0.0018 0.086 -0.018
2 0.90 0.0114 0.050 -0.474
2.1 1.03 0.0142 -0.030 -0.559
2.2 0.37 0.0051 -0.091 -0.177
2.3 -0.60 -0.0091 -0.077 0.370
2.4 -1.03 -0.0144 0.003 0.605
2.5 -0.58 -0.0078 0.076 0.335
2.6 0.35 0.0048 0.085 -0.193
2.7 0.96 0.0131 0.027 -0.549
2.8 0.81 0.0114 -0.051 -0.464
2.9 0.04 0.0005 -0.089 -0.006
3 -0.70 -0.0108 -0.053 0.451
3.1 -0.89 -0.0133 0.026 0.519
3.2 -0.33 -0.0037 0.078 0.160
3.3 0.51 0.0070 0.062 -0.296
3.4 0.93 0.0106 0.002 -0.491
3.5 0.60 0.0079 -0.058 -0.298
3.6 -0.21 -0.0037 -0.073 0.133
3.7 -0.80 -0.0108 -0.025 0.451
3.8 -0.71 -0.0100 0.042 0.389
3.9 -0.04 0.0002 0.071 0.020
4 0.63 0.0081 0.044 -0.342
4.1 0.81 0.0098 -0.013 -0.439
4.2 0.38 0.0059 -0.063 -0.200
4.3 -0.35 -0.0056 -0.065 0.217
4.4 -0.79 -0.0113 -0.010 0.469
4.5 -0.53 -0.0078 0.054 0.322
4.6 0.17 0.0024 0.071 -0.093
4.7 0.72 0.0103 0.029 -0.418
)
6.1 0.65 0.0092 -0.011 -0.385
6.2 0.34 0.0043 -0.055 -0.174
6.3 -0.23 -0.0048 -0.054 0.170
6.4 -0.59 -0.0089 -0.011 0.359
6.5 -0.46 -0.0072 0.037 0.247
6.6 0.06 0.0007 0.051 -0.056
6.7 0.53 0.0057 0.021 -0.288
6.8 0.56 0.0057 -0.023 -0.272
6.9 0.15 -0.0004 -0.046 -0.040
7 -0.36 -0.0056 -0.033 0.219
7.1 -0.55 -0.0086 0.008 0.296
7.2 -0.28 -0.0039 0.043 0.124
7.3 0.22 0.0029 0.039 -0.143
7.4 0.54 0.0057 0.005 -0.282
7.5 0.45 0.0035 -0.030 -0.202
7.6 0.02 -0.0012 -0.044 0.032
7.7 -0.43 -0.0072 -0.024 0.258
7.8 -0.49 -0.0080 0.020 0.286
7.9 -0.13 -0.0023 0.049 0.072
8 0.34 0.0046 0.037 -0.202
8.1 0.51 0.0068 -0.003 -0.303
8.2 0.31 0.0037 -0.038 -0.158
8.3 -0.15 -0.0028 -0.042 0.102
8.4 -0.44 -0.0067 -0.011 0.265
8.5 -0.38 -0.0056 0.025 0.210
8.6 0.02 0.0002 0.039 -0.002
8.7 0.39 0.0037 0.024 -0.210
8.8 0.46 0.0062 -0.011 -0.258
8.9 0.16 0.0018 -0.041 -0.092
9 -0.25 -0.0048 -0.036 0.162
9.1 -0.43 -0.0072 0.001 0.277
9.2 -0.24 -0.0042 0.034 0.158
9.3 0.15 0.0013 0.039 -0.083
9.4 0.41 0.0057 0.013 -0.250
9.5 0.36 0.0046 -0.023 -0.212
9.6 0.03 -0.0004 -0.039 -0.012
9.7 -0.31 -0.0053 -0.025 0.182
9.8 -0.39 -0.0061 0.007 0.224
9.9 -0.13 -0.0037 0.030 0.098
10 0.24 0.0016 0.030 -0.093
10.1 0.41 0.0035 0.007 -0.208
10.2 0.25 0.0035 -0.022 -0.154
10.3 -0.09 -0.0017 -0.033 0.035
10.4 -0.34 -0.0053 -0.013 0.200
10.5 -0.31 -0.0050 0.019 0.190
10.6 -0.01 -0.0006 0.035 0.011
10.7 0.29 0.0040 0.022 -0.176

P á g i n a 27 | 35
Para bosquejar la gráfica posición vs tiempo hicimos uso de todos los datos de
las columnas tiempo y posición de la tabla N°9, puesto que solo tomar una
muestra reflejaría mayor error en el ajuste de curva del Excel y con ello una
incertidumbre en la medida de su amplitud, periodo, frecuencia angular, etc.
Grafica N°6 Gráfica de posición vs tiempo obtenida con los datos de la tabla
N°9.
La grafica muestra el decremento de las amplitudes en el tiempo haciendo que
el cuerpo tienda al reposo.
De la ecuación número 5 y de la ecuación obtenida en la gráfica anterior
podemos comparar:
𝑿( 𝒕) = 𝑨 𝟎 ∗ 𝒆−𝜸𝒕
∗ 𝒔𝒆𝒏(𝝎 𝟎 𝒕 + 𝚽) = [𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟐𝒆−𝟎.𝟏𝟐𝟕𝒕
𝒔𝒆𝒏( 𝟗. 𝟑𝟖𝒕 + 𝟏. 𝟎𝟗)]𝒎

P á g i n a 28 | 35
Tabla N°10 Amplitud inicial, frecuencia angular, pseudo periodo, fase inicial,
decremento logarítmico y coeficiente de amortiguamiento del cuerpo para el
experimento dado.
Dado que se conoce la frecuencia angular, solo hicimos uso de la ecuación
número 6 para calcular el pseudo periodo aquí mostrado, además para calcular
el decremento logarítmico tomas las amplitudes máximas consecutivas en los
tiempos 0.1 y 0.7s y la ecuación número 7.
CUARTA PARTE
Energía del movimiento Armónico simple.
El primer experimento dado que ya conocemos la posición de equilibrio,
modificaremos los datos para considerar dicha posición como la posición cero,
por ello las nuevas posiciones se obtendrán restando la posición de equilibrio,
también usaremos los siguientes datos para el cálculo de las energías. Para el
análisis solo tomaremos una muestra de 5 segundos que refleja con buena
aproximación el evento ocurrido.
Tabla N°10 Datos del primer experimento obtenidos de los análisis anteriores.
Obtendremos la columna de energía cinética y la energía potencial de con las
siguiente formulas y los datos de la tabla N°10.
𝐸𝑐 =
1
2
∗ 𝑚𝑎𝑠𝑎 ∗ 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑2
, 𝐸 𝑝 =
1
2
∗ ( 𝑐𝑡𝑒. 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧) ∗ 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛2
, 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸 𝑝
Tabla N°11 Datos del primer experimento donde la posición ha sido
modificada.
A0(m) 0.0191
T(s) 0.670
ω0(rad/s) 9.38
φ(rad) 1.09
Decremento. Log 0.074
Coef. Amortiguamiento(s-1
) 0.127
Pos. Eq. (m) masa(kg) Cte. De rigidez (N/m)
0.329 1.008 72.2

P á g i n a 29 | 35
Tiempo(s) Posición Mod(M) Velocidad(M/S) Ec(J) Ep(J) EM(J)
0.1 0.01153 0.0082 0.00003 0.00480 0.00483
0.2 0.01235 -0.0453 0.00103 0.00551 0.00654
0.3 0.00248 -0.1070 0.00577 0.00022 0.00599
0.4 -0.00905 -0.0686 0.00237 0.00296 0.00533
0.5 -0.01124 0.0343 0.00059 0.00456 0.00516
0.6 -0.00219 0.1043 0.00548 0.00017 0.00565
0.7 0.00961 0.0782 0.00308 0.00333 0.00642
0.8 0.01345 -0.0233 0.00027 0.00653 0.00681
0.9 0.00494 -0.1043 0.00548 0.00088 0.00636
1 -0.00740 -0.0906 0.00413 0.00198 0.00611
1.1 -0.01317 0.0055 0.00002 0.00626 0.00627
1.2 -0.00631 0.0960 0.00465 0.00144 0.00608
1.3 0.00604 0.0988 0.00492 0.00132 0.00624
1.4 0.01345 0.0123 0.00008 0.00653 0.00661
1.5 0.00851 -0.0864 0.00377 0.00262 0.00638
1.6 -0.00384 -0.1002 0.00506 0.00053 0.00559
1.7 -0.01152 -0.0192 0.00019 0.00479 0.00498
1.8 -0.00768 0.0768 0.00298 0.00213 0.00510
1.9 0.00385 0.1043 0.00548 0.00053 0.00601
2 0.01318 0.0329 0.00055 0.00627 0.00681
2.1 0.01043 -0.0700 0.00247 0.00393 0.00640
2.2 -0.00082 -0.1111 0.00622 0.00002 0.00625
2.3 -0.01179 -0.0521 0.00137 0.00502 0.00639
2.4 -0.01124 0.0576 0.00167 0.00456 0.00624
2.5 -0.00027 0.1084 0.00592 0.00000 0.00592
2.6 0.01043 0.0631 0.00201 0.00393 0.00594
2.7 0.01235 -0.0357 0.00064 0.00551 0.00615
2.8 0.00330 -0.1043 0.00548 0.00039 0.00587
2.9 -0.00850 -0.0700 0.00247 0.00261 0.00508
3 -0.01070 0.0302 0.00046 0.00413 0.00459
3.1 -0.00246 0.1015 0.00520 0.00022 0.00541
3.2 0.00961 0.0782 0.00308 0.00333 0.00642
3.3 0.01318 -0.0206 0.00021 0.00627 0.00648
3.4 0.00549 -0.1002 0.00506 0.00109 0.00615
3.5 -0.00685 -0.0919 0.00426 0.00170 0.00595
3.6 -0.01289 0.0000 0.00000 0.00600 0.00600
3.7 -0.00685 0.0933 0.00439 0.00170 0.00608
3.8 0.00577 0.1002 0.00506 0.00120 0.00626
3.9 0.01318 0.0137 0.00009 0.00627 0.00636
4 0.00851 -0.0796 0.00319 0.00262 0.00581
4.1 -0.00274 -0.0974 0.00478 0.00027 0.00505
4.2 -0.01097 -0.0247 0.00031 0.00434 0.00465
4.3 -0.00768 0.0741 0.00277 0.00213 0.00489
4.4 0.00385 0.1002 0.00506 0.00053 0.00559
4.5 0.01235 0.0343 0.00059 0.00551 0.00610
4.6 0.01071 -0.0631 0.00201 0.00414 0.00615
4.7 -0.00027 -0.1070 0.00577 0.00000 0.00577
4.8 -0.01070 -0.0535 0.00144 0.00413 0.00557
4.9 -0.01097 0.0480 0.00116 0.00434 0.00551
5 -0.00109 0.1056 0.00562 0.00004 0.00567

P á g i n a 30 | 35
Grafica N°7 Gráfica de la energía cinética vs tiempo obtenida con los datos
de la tabla N°11.
La grafica muestra como la energía cinética cambia armónicamente con el
tiempo.
Grafica N°8 Gráfica de la energía potencial vs tiempo obtenida con los datos
de la tabla N°11.
La grafica muestra como la energía potencial cambia armónicamente con el
tiempo.
Grafica N°9 Gráfica de la energía cinética vs posición obtenida con los datos
de la tabla N°11.
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
ENERGÍACINÉTICA(J)
TIEMPO (S)
ENERGÍA CINÉTICA VS TIEMPO

P á g i n a 31 | 35
La grafica muestra una relación cuadrática entre ambas magnitudes.
Grafica N°10 Gráfica de la energía potencial vs posición obtenida con los
datos de la tabla N°11.
La grafica muestra una relación cuadrática entre ambas magnitudes.
Grafica N°11 Gráfica de la energía potencial vs energía cinética obtenida con
los datos de la tabla N°11.
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
ENERGÍAPOTENCIAL(J)
POSICIÓN (M)
ENERGÍA POTENCIAL VS POSICIÓN

P á g i n a 32 | 35
La grafica muestra una relación lineal entre ambas magnitudes, cuya pendiente
es casi uno.
Grafica N°12 Gráfica de la energía mecánica vs tiempo obtenida con los
datos de la tabla N°11.
La grafica muestra con cierta aproximación que esta grafica es casi constante.
EP = -0.9924Ec + 0.0059
-0.001
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
ENERGÍAPOTENCIAL(J)
ENERGÍA CINÉTICA (J)
ENERGÍA CINÉTICA VS ENERGÍA POTENCIAL

P á g i n a 33 | 35
CONCLUCIONES
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.
 En el movimiento armónico simple, la frecuencia y el periodo son
independientes de la amplitud.
 El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración
es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su
valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo
en el centro.
 Las deformaciones sufridas por un resorte y el periodo de oscilación del
mismo son proporcionales a las masas.
 La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el
desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varia en el
tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de
equilibrio.
 Los errores presentes en este laboratorio se presentaron debido a errores
instrumentales, debido a que la regla no se encontraba totalmente
paralela al resorte, errores ergonómicos ya que la reacción del sentido
de la vista no es inmediato ante las oscilaciones del resorte.
 El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de
la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que
describiese un movimiento circular uniforme (M.C.U.) de radio igual a la
amplitud A y velocidad angular ω, para efectos didácticos.
 La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el
centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia
el sentido del movimiento.
 MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
 El error arrojado, está dentro de los límites de la física, ya que este
acepta un error de 15%, por lo que podemos afirmar que nuestra
experiencia fue satisfactoria. Este error no se puede disminuir más, ya
que el experimento se trata de oscilaciones muy sensibles (al sensor) y
errores ergonómicos.

P á g i n a 34 | 35
 De los datos obtenidos en este trabajo, creemos que es factible, para
un movimiento oscilatorio amortiguado por una fuerza de roce
constante, la descripción del decaimiento de sus amplitudes como una
función lineal del tiempo. De esta manera se pudo dar una descripción
adecuada del sistema.
 Finalmente se logró explicar en forma satisfactoria el comportamiento
del sistema en el último medio ciclo en términos de la amplitud crítica.
 Tras realizar el experimento, logramos demostrar que la frecuencia
del oscilador sometido a una fuerza exterior (roce, gravedad, etc.)
disminuye, como cabe esperar, ya que las fuerzas se oponen al
movimiento.
 La amplitud de las oscilaciones (implícitamente la energía también)
disminuye de forma exponencial en el transcurso del tiempo, así que
la fuerza exterior disipa energía mecánica del sistema.
 Podemos ver a través de su representación gráfica cómo la amplitud
disminuye el tiempo. Esto es una evidencia experimental de la acción
de las fuerzas de fricción sobre el movimiento oscilatorio .Si éstas no
actuaran (en vacío) el resorte oscilaría indefinidamente, y con una
amplitud constante.
 Como la frecuencia angular en un movimiento armónico es
independiente de la amplitud del movimiento, entonces, a pesar de la
disminución progresiva de la amplitud, ω se mantendrá constante. Nos
valemos de esta constancia para determinar el valor de la k del
resorte con el que trabajamos. Esta constante nos da una idea de la
rigidez del mismo.
BIBLIOGRAFIA
 MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA EDITOR| FACULTAD DE CIENCIAS DE LA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA. IMPRESO EN EL PERÚ, ABRIL DEL 2004.
 FISICA I – ALONSO FIN.
 FISICA II- GLIC. HUMBERTO LEYVA.
 FISICA II– ALONSO FIN.
 FISICA UNIVERSITARIA (VOL. I)-ZER SEMASKY.
 FISICA UNIVERSITARIA (VOL. II)-ZER SEMASKY.
 MANUAL DE LABORATORIO DE FISICA-FIC UNI.
 “Física para Ciencias e Ingeniería, Vol. 1”, R. Serway y R. Beichner.
 “Física Universitaria, Vol. 1”, Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, y Hugh D.
Young.

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