![ Δx
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f
Lim
A
n
1
i
i
n
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0
Δx
R
donde:
•[0, x] se dividió en n partes iguales de longitud Δx (partición regular)
•Se tomó wi como el extremo izquierdo o derecho de cada subintervalo
[xi-1, xi] en el que quedó dividido el intervalo [0, x]
•Únicamente se consideraron valores positivos para f(x) en el intervalo
[0, x]
Anteriormente aprendimos a calcular el
área de una región plana R.
y
0
y = f(x)
x
x
Δx
xi-1 xi
i
f(wi)
R
•
•](https://image.slidesharecdn.com/intrie-230207004142-c24e952d/85/IntRie-ppt-2-320.jpg)
![Ahora, generalicemos…sea f una función
continua en [a, b].
0
y
x
y = f(x)
a b](https://image.slidesharecdn.com/intrie-230207004142-c24e952d/85/IntRie-ppt-3-320.jpg)
![Dividamos el intervalo [a, b] en n
subintervalos no necesariamente iguales eligiendo
n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de
tal forma que:
x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn
denotemos por Δix la longitud de cada subintervalo
tal que:
Δ1x = x1 – x0 Δ2x = x2 – x1 …
Δix = xi – xi-1 …
Δn-1x = xn-1 – xn-2 Δnx = xn – xn-1](https://image.slidesharecdn.com/intrie-230207004142-c24e952d/85/IntRie-ppt-4-320.jpg)
![Al conjunto de subintervalos de [a, b] se le
denomina partición de [a, b] y se denota Δ. A la
longitud del subintervalo (o subintervalos) más
largo de la partición Δ se llama norma de la
partición y se le denota ||Δ||.
Elijamos un punto wi en cada subintervalo
de la partición Δ tal que
xi-1 ≤ wi ≤ xi
Tracemos rectángulos que tengan como
base a cada subintervalo de la partición Δ y
altura f(wi).](https://image.slidesharecdn.com/intrie-230207004142-c24e952d/85/IntRie-ppt-6-320.jpg)
![
b
a
dx
x
f
El concepto anterior se conoce como
integración definida y se denota por
n
1
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i
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0
Δ
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x
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La integral definida (Riemann) de una
función f continua en [a, b], está dada por:
si el límite existe.](https://image.slidesharecdn.com/intrie-230207004142-c24e952d/85/IntRie-ppt-11-320.jpg)
IntRie.ppt
- 2. Δx w f Lim A n 1 i i n o 0 Δx R donde: •[0, x] se dividió en n partes iguales de longitud Δx (partición regular) •Se tomó wi como el extremo izquierdo o derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] en el que quedó dividido el intervalo [0, x] •Únicamente se consideraron valores positivos para f(x) en el intervalo [0, x] Anteriormente aprendimos a calcular el área de una región plana R. y 0 y = f(x) x x Δx xi-1 xi i f(wi) R • •
- 3. Ahora, generalicemos…sea f una función continua en [a, b]. 0 y x y = f(x) a b
- 4. Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que: x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn denotemos por Δix la longitud de cada subintervalo tal que: Δ1x = x1 – x0 Δ2x = x2 – x1 … Δix = xi – xi-1 … Δn-1x = xn-1 – xn-2 Δnx = xn – xn-1
- 5. 0 y x y = f(x) x0=a xn=b x1 x2 xn-1 xi xi-1 Δ1x Δ2x Δix Δnx Δn-1x … … Esto es,
- 6. Al conjunto de subintervalos de [a, b] se le denomina partición de [a, b] y se denota Δ. A la longitud del subintervalo (o subintervalos) más largo de la partición Δ se llama norma de la partición y se le denota ||Δ||. Elijamos un punto wi en cada subintervalo de la partición Δ tal que xi-1 ≤ wi ≤ xi Tracemos rectángulos que tengan como base a cada subintervalo de la partición Δ y altura f(wi).
- 7. 0 y x y = f(x) x0=a xn=b x1 x2 xn-1 xi xi-1 • • • • • • • • • • Δ1x Δ2x Δix Δnx Δn-1x … … • • • • • • • • • • w1 w2 wi wn-1 wn Esto es,
- 8. A la suma de las áreas de estos rectángulos se le conoce como Suma de Riemann que está dada por: f(w1)Δ1x + f(w2)Δ2x + … + f(wi)Δix + … + f(wn-1)Δn-1x + f(wn)Δnx n 1 i i i x Δ w f o bien
- 9. L x Δ w f lim n 1 i i i 0 Δ Si hacemos que la norma de la partición Δ se aproxima a cero, la suma de Riemann se aproximará a un valor L que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.
- 10. 0 y x y = f(x) a b Área positiva A1 Área positiva A3 Área negativa A2 Esto es, L = A1 + A2 + A3
- 11. b a dx x f El concepto anterior se conoce como integración definida y se denota por n 1 i i i 0 Δ b a x Δ w f lim dx x f La integral definida (Riemann) de una función f continua en [a, b], está dada por: si el límite existe.
- 12. Fin