L Ó G I C A . MATEMÁTICA

Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng 1
Sesión No 11
L Ó G I C A
INTRODUCCIÓN
En principio la lógica deriva del griego clásico “logos” que originalmente significaba
“palabras” o “lo que se habla”, en la época contemporánea se interpreta como
“pensamiento” o “razonamiento”.
La lógica esta relacionada con la racionalidad y la estructura de los conceptos,
estudiando el pensamiento en sí y asignándolo valores de verdad.
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
• La evolución de la lógica está intrínsicamente ligada a la evolución intelectual del ser
humano, ya que como ciencia del razonamiento, su historia representa la historia
misma del hombre.
• La lógica surge desde el primer momento en que el hombre, al enfrentar a la
naturaleza: deduce y razona; con el ánimo de entenderla y aprovecharla para su
supervivencia.
I.-Lógica Antigua
Desde sus orígenes, iniciando con los griegos antiguos hasta nuestros días.
Aristóteles fue quien fundó la lógica y desarrolló ampliamente la silogística, que es
igual a la actual lógica de clases.
Precursores:
1.Aristóteles (384-332 a.c.)
2.Platón (427-347 a.c.)
3.Sócrates (470-399 a.c.)
4.Parménides
5.Zenón
6.Euclides
El proceso de pensar y llegar a una conclusión se llama inferencia, cuando esta
conclusión es correcta, se dice que la inferencia es válida, caso contrario la
inferencia no es válida.
Identificar a los
precursores de la Lógica
antigua y moderna

II.-Lógica Moderna
Tanto la lógica moderna como la lógica clásica asumen en sus formas más corrientes
que cualquier proposición bien elaborada, puede ser verdadera o falsa.
En años recientes se han desarrollado sistemas de la llamada lógica combinatoria:
una afirmación puede tener un valor distinto a verdadero o falso.
En algunos supuestos es sólo un tercer valor neutro, en otros es un valor de
probabilidades expresadas como una fracción que oscila entre 0 y 1, o entre -1 y +1.
También se han llevado a cabo serios trabajos por desarrollar sistemas de lógica
modal, con el objeto de representar las relaciones lógicas entre las afirmaciones de
posibilidad e imposibilidad, de necesidad y contingencia.
Otra vía es la que se supone lógica deóntica: la investigación de las relaciones entre
órdenes o entre afirmaciones de obligación.
Precursores:
1. Gottfried Wilhelm Von Leibniz
2. Leonhard Euler
3. René Descartes
4. Isaac Newton
5. George Boole
6. Augustus de Morgan
¡Estudiar de manera constante, es muy importante!
Conclusión
Dentro del campo del razonamiento, se puede reducir a tres los tipos de estudio
dentro de la lógica:
a. Lógica Formal o Pura: Estudia las leyes generales de la inferencia.
b. Metodológica o Aplicada: Estudia la aplicación de las leyes y reglas lógico-
formales.
c. Filosofía de la lógica: Estudia la lógica y la naturaleza de sus leyes.
Investigar los conceptos de ciencia formal y ciencia factual,
y ubicar a la lógica en el campo correspondiente.
La lógica muestra un devenir histórico muy interesante, naciendo de la fuerte formalización de
las matemáticas de los griegos, que fue impactada, como muchas ciencias, por el pensamiento
de la Edad Media, donde la religión se anteponía a todo; pero, el ímpetu de la mente de los
filósofos renacentistas ayudó a retomar su desarrollo. No cabe duda que la lógica tiene impactó
fundamental, como ciencia de las ciencias, en el pensamiento contemporáneo, y que el
nacimiento de la tecnología computacional deba mucho al desarrollo del formalismo lógico de
principios de siglo.

CONCEPTO DE LÓGICA
Es una disciplina que se ocupa del análisis del lenguaje, en su sentido y en su
estructura, y con la comprensión de los métodos de inferencia que los hombres
usamos.
Según Pfander, la lógica trata del estudio de los pensamientos en si y de los
procesos de pensar. Es la ciencia sistemática de los pensamientos.
Según Kant, la considera como una ciencia formal, es decir, aquella ciencia que
estudia las formas del pensamiento prescindiendo de todo contenido.
Es la ciencia de las leyes y de las formas del pensamiento, que nos da normas
para la investigación científica y nos suministra un criterio de la verdad..
La lógica es importante para la ciencia, porque asegura la coherencia del
conocimiento humano, su mayor simplicidad, claridad y eficacia demostrativa.
La misión de la lógica es organizar y precisar mejor los conocimientos adquiridos,
eliminando los errores y las ambigüedades.
Un lenguaje es un conjunto de palabras que forman oraciones y frases
Existen cuatro clases de oraciones: Declarativas, interrogativas, imperativas y
exclamativas.
La lógica usa las oraciones declarativas, denominadas “proposiciones”.
Proposición Lógica: Es una oración cuya propiedad es ser verdadera o falsa.
Ejemplos:
- Los abogados poseen conocimientos jurídicos. (V)
- La Tierra gira sobre su propio eje. (V)
- 8 + 5 > 15 (F)
- El Sol no es el centro del Sistema planetario Solar. (F)
- Las obstetrices atienden partos. (V)
- Los odontólogos realizan endodoncias. (V)
“La oración es la mínima unidad expresiva para decir algo”
Revisar el siguiente
concepto.

Clases de proposiciones: Pueden clasificarse en atómicas (simples) y moleculares
(compuestas).
a. Proposiciones Simples o Atómicas.- Tienen un solo sujeto y un solo predicado.
P: Todos los hombres son mortales.
p: El Presidente del Perú es el jefe de las fuerzas armadas.
q: Los abogados poseen conocimientos jurídicos.
r: Los Ingenieros usan la lógica para resolver problemas.
Las proposiciones simples se clasifican en:
Proposiciones Simples Predicativas.- El predicado concede una cualidad o
circunstancia del sujeto:
- San Martín fue militar.
- El niño está llorando.
- La luna tiene cuatro fases.
Proposiciones Simples Relacionales.- No indican cualidad, pero sí la relación
entre dos o más objetos o personas. Se establecen por una posición o
pertenencia.
- Pedro es más alto que Andrés.
- Carolina es novia de Luis.
- Ica está al sur de Lima.
- Juan y María son primos.
b. Proposiciones Compuestas.- Formadas por dos o más proposiciones simples. Su
valor de verdad depende del valor de cada una de las proposiciones.
Expresiones No Proposicionales.- Son aquellas proposiciones que no tienen la propiedad
de ser verdaderas o falsas, es decir admiten la ambigüedad o duda. Por ejemplo:
¡ Está lloviendo ¡ ¡ Buenas tardes ¡ ¡ Prohibido fumar ¡ ¡ Hola como estas ¡
Expresan generalmente las emociones, directivas, saludos, órdenes.
- Las enfermeras realizan trabajos comunitarios y los odontólogos realizan
endodoncias.
- Si el Sol es el centro del Sistema Planetario Solar, entonces la Tierra gira
sobre su eje.

OPERACIONES CON PROPOSICIONES:
En Lógica se estudian diversas operaciones entre proposiciones.
1.- LA NEGACIÓN: La proposición negativa de otra afirmativa “p” se denota
por “∼∼∼∼p” y se lee “no p” o “no es cierto que p”.
Su tabla:
2.- LA CONJUNCIÓN: Cuando dos proposiciones se unen mediante el
conectivo lógico “y”.-
Su símbolo es ∧∧∧∧, se escribe “p ∧∧∧∧ q” y se lee “p y q”
Su Tabla de verdad:
p q p ∧∧∧∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
En el lenguaje cotidiano la conjunción puede traducirse por “pero”, “a la vez”, “aunque”,
“además”, “no obstante”.
3.- LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA:La disyunción inclusiva o débil, resulta de
unir dos proposiciones con el conectivo “o”, cuyo símbolo es ∨∨∨∨, se
escribe “p ∨∨∨∨ q” y se lee “p o q”
Indica que el cumplimiento de uno de los hechos no impide el cumplimiento del otro.
Ejemplos:
p ~ p
V F
F V
“La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dos
proposiciones p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa”
“Es verdadera si y sólo si por lo menos una de sus componentes es verdadera,
siendo falsa solamente cuando las dos son falsas”
-La luna es un satélite de la tierra o Marte es el centro del
Sistema Planetario.
-Cinco es mayor que ocho o siete es un número primo.
- Juan es abogado o es ingeniero.
Escriba sus tablas
de verdad
De las
Proposiciones
Compuestas

Su tabla de verdad:
4. LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: La palabra “o” se usa en sentido excluyente,
se denomina disyunción exclusiva o fuerte.
Se escribe “p ∆ q” y se lee o bien p o bien q pero no ambas”.
Ejemplos:
- O bien la luna es un satélite de la tierra o bien el Sol es el centro del Sistema
Planetario.
- O bien nueve es un cuadrado perfecto o bien es un número par.
- O Lima es la capital del Perú o Roma está en Francia.
Su Tabla de Verdad:
5. LA CONDICIONAL O IMPLICACIÓN: Es la que resulta de unir las
proposiciones p y q por el símbolo “p →→→→ q”, se lee “si p entonces q”,
donde p es el antecedente o condición y q es el consecuente o conclusión.
Ejemplos:
- Si Andrés se gradúa de Ingeniero, entonces estudiará Doctorado en Francia.
- Si 9 + 8 = 17 , entonces 8 < 17
- Si 14 es número par, entonces es múltiplo de 2.
p q p ∨∨∨∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q p ∆ q
V V F
V F V
F V V
F F F
“Es verdadera si y sólo si por lo menos una de las dos proposiciones
es verdadera y no las dos, resultando falsa en los otros casos”
“La condicional es falsa si y solo si el antecedente es verdadero y falso el
consecuente”

Su tabla de verdad es:
6. LA BICONDICIONAL: Enuncia el cumplimiento o incumplimiento conjunto
de dos hechos, su símbolo es:
“p ↔↔↔↔ q” y se lee “p si solo si q”
El símbolo ↔↔↔↔ es llamado el conectivo bicondicional o doble implicación.
Ejemplos:
- Es de día, si y sólo si no es de noche.
- Pedro viajará a Francia, si y sólo si obtiene Visa.
- Un número es par, si y sólo si es divisible entre 2.
Su tabla de verdad:
p q p →→→→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p ↔↔↔↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
“La bicondicional resulta verdadera, cuando el antecedente (p) y consecuente
( q ) tienen los mismos valores de verdad, caso contrario resultará falsa”

AUTOEVALUACION
1. ¿Cuál es etimología de la palabra Lógica?
2. ¿Cuál es su concepto acerca de la Lógica?
3. ¿Cuál es la diferencia entre una proposición simple y compuesta?
4. ¿Qué tipo de oraciones usa la Lógica?
5. En la oración: El sol es el centro del sistema planetario, ¿Es una proposición
simple predicativa o simple relacional?
6. Enumerar las clases de oraciones estudiadas
7. ¿Cómo se denomina aquellas proposiciones que no tienen la propiedad de ser
verdaderas o falsa?
8. Cuando se afirma que el área del círculo es:
2
A rπ= entonces se puede
concluir que:
Es una proposición lógica.
Es una proposición falsa.
Es una oración declarativa.
¿De los enunciados anteriores cuáles son ciertas?
9. De las siguientes proposiciones indicar su valor de verdad, verdadero o falso:
Juan Carlos fue presidente del Perú ( )
4 + 5 = 11 ( )
El predicado no es la acción que realiza el sujeto ( )
Aristóteles fue un filósofo ruso ( )
Todos los hombres son mortales ( )
10. En las siguientes proposiciones indicar con la letra A, si son ambiguas y con la
letra P si es una proposición lógica:
La tierra es cuadrada ( )
¡Hace calor en el salón de clase! ( )
Cuando el río suena es por que piedras trae ( )
Juan y María se aman ( )
8 + 7 = 19 ( )
¡Pedro acércate a la oficina¡ ( )
Chan Chan es una ciudad de barro ( )
¡El mar está bravo! ( )
11. Transformar las siguientes proposiciones conjuntivas en proposiciones
disyuntivas inclusivas:
Todos los hombres son mortales y los peces son acuáticos.
Sócrates fue un filósofo griego y Pelé un jugador de fútbol.
El sol es el centro del sistema planetario solar y la luna es un satélite de la
tierra.

Hallar la Tabla de Verdad de las proposiciones compuestas:
1) ∼∼∼∼ (p q) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q)
2) ∼∼∼∼ (p ∧∧∧∧ q) ( ∼∼∼∼ p ∨∨∨∨ ∼∼∼∼q)
3) ∼∼∼∼[p →→→→ (p ∨∨∨∨ q)]
4) (p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼ q) →→→→ ∼∼∼∼ r
5) ∼∼∼∼ (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ q
Fin de la Sesión

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