ALGEBRA . CIRCUITOS LOGICOS

Matemática y Lógica
Ing. Julio Núñez Cheng 1
SESIÓN No 15
CIRCUITOS LÓGICOS
Algebra de Boole:
El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole, quien la
desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole denominada
también álgebra de la lógica, permite prescindir de la intuición y
simplificar deductivamente afirmaciones lógicas que son todavía más
complejos.
Bit
Bit es el acrónimo (vocablo fusionado) de Binary digit. (dígito binario). Un
bit es un dígito del sistema de numeración binario.
Mientras que en el sistema de numeración decimal se usan diez dígitos,
en el binario se usan sólo dos dígitos, el 0 y el 1. Un bit o dígito binario
puede representar uno de esos dos valores, 0 ó 1.
Podemos imaginarnos un bit como una bombilla que puede estar en uno
de los siguientes dos estados:
apagada o encendida
El bit es la unidad mínima de información empleada en informática, en
cualquier dispositivo digital, o en la teoría de la información.
Con él, podemos representar dos valores cualesquiera, como verdadero o
falso, abierto o cerrado, blanco o negro, norte o sur, masculino o
femenino, amarillo o azul, etc. Basta con asignar uno de esos valores al
estado de "apagado" (0), y el otro al estado de "encendido" (1).
Combinaciones de Bits
Con un bit podemos representar solamente dos valores. Para representar
o codificar más información en un dispositivo digital, necesitamos una
mayor cantidad de bits. Si usamos dos bits, tendremos cuatro
combinaciones posibles, como el caso de dos proposiciones lógicas:
• 1 1 Los dos están "encendidos"
• 1 0 El primero está "encendido" y el segundo "apagado"
• 0 1 El primero está "apagado" y el segundo "encendido"
• 0 0 Los dos están "apagados"

Con estas cuatro combinaciones podemos representar hasta cuatro
valores diferentes, como por ejemplo, los colores negro, azul, verde y
rojo.
¿Con tres bits (o tres proposiciones) cuantas combinaciones se pueden
obtener?
23
= 8
A través de secuencias de bits, se puede codificar cualquier valor
discreto como números, palabras, e imágenes.
Cuatro bits forman un nibble, y pueden representar hasta 24
= 16 valores
diferentes.
Hay 4 combinaciones posibles
con dos bits
Bit 1 Bit 0
1 1
1 0
0 1
0 0
Hay 4 combinaciones posibles
con dos proposiciones
p q
V V
V F
F V
F F
Observar la similitud de las combinaciones posibles de los dos bits y
de las dos proposiciones lógicas: V = 1 F = 0
En general, con n número de bits pueden representarse hasta 2n
valores diferentes.

El Álgebra de proposiciones es un álgebra booleana:
Revisar en la sesión 05 ¨Leyes Fundamentales del Álgebra de Conjuntos¨
que corresponde al álgebra Booleana.
a) Para cada proposición p hay una segunda proposición:
p´ ( negación de p ), donde se cumple que:
p p´ = 0 o [V][F] =0 [1] [0]=0
[Como producto]
p + p´ = 1 o [V] + [F] = V [1] + [0] = 1
[Como suma]
b) Cada operación es distributiva respecto a la otra:
Ejemplo: Las Tablas de Verdades de:
p + q r = (p + q) (p + r) Es equivalente a:
[p v ( q ∧∧∧∧ r )] = [ p v q ] [ p v r ]
c) En general, si x, y representan dos proposiciones, entonces se
cumplen las leyes:
x x = x Ejemplo: [F][F] = F [V][V] = V
x x' = 0 [1] [0] = 0
x + x' = 1 [1] + [0] = 1
x y + x y = x y
x + xy = x
ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
Una aplicación importante del álgebra booleana es el álgebra de circuitos
con dispositivos de dos estados: El ejemplo más simple es un
conmutador que cumple una función de estar cerrado o abierto.
Interruptores de corriente eléctrica (Conmutadores)
Cumplen una función de cerradura.
CERRADOS Dejan pasar la Corriente Eléctrica
ABIERTOS No dejan pasar la Corriente Eléctrica
Los interruptores pueden representarse mediante letras; p, q, r, s, t.

NO PASA CORRIENTE
NO PASA CORRIENTE
NO PASA CORRIENTE
p q r
Si un interruptor está cerrado: p
Abierto será: p´
1: Cerrado 0: Abierto
Circuitos en serie
Dos o más interruptores están en serie, cuando se encuentran uno a
continuación de otro.
En la figura se tiene un circuito formado por 3 interruptores p, q, r una
batería o pila y un foco.
Si uno o dos interruptores están abiertos entonces no pasa corriente y el
foco no prende.
Recordemos la Tabla de Verdad de la conjunción de premisas y
comparemos tomando dos interruptores.
LA CONJUNCIÓN CIRCUITO EN SERIE
p q p ∧∧∧∧ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Cerrado p y cerrado q: pasa corriente y el foco prende.
p q p q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
FOCO
BATERIA
PASA CORRIENTE
“Observar la similitud de la Tabla de Verdad de la Conjunción
con un circuito en serie”
Tener presente estas formas de
representación.

Es decir en un circuito en serie todos los interruptores deben estar
cerrados para que pase corriente.
Con tres interruptores en serie: Pasa corriente, si los tres interruptores
están cerrados.
Circuitos en paralelo
Dos o más interruptores están en paralelo cuando están uno debajo de
otro.
Sólo cuando los interruptores están abiertos no pasa corriente.
p q r p q r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
“En un Circuito en Serie, basta que un interruptor (Conmutador) este abierto
para que no pase corriente”
BATERIA
FOCO
p
q
r
“En un Circuito en paralelo, basta que un interruptor este cerrado
para que pase corriente”

Al comparar la disyunción inclusiva con un circuito en paralelo, se
observa que p ∨∨∨∨ q = p + q si se reemplaza V = 1 y F = 0
LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA CIRCUITO EN PARALELO
p q p ∨∨∨∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Con tres interruptores en Paralelo
p q r p + q + r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
Funciones y circuitos
En la figura se representa un circuito en serie y otro en paralelo, con su
respectiva función (F).
CIRCUITO EN SERIE CIRCUITO EN PARALELO
F = x y F = x + y
p q p + q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
X Y
Y
X

¿Cuál es la función que representa al circuito de la siguiente figura?
Observar que X, W están en serie (producto) y estos a su vez con Z en
paralelo (suma): su representación será: X W + Z
Finalmente el interruptor “Y” está en serie (producto) con X W, Z por lo
tanto la función que representa al circuito será: F = Y (X W + Z)
Establecer la función del circuito de la figura siguiente:
Comprobar su respuesta: F = Z (X W + Z) + X Y W
Construir un circuito que realice la función Booleana: X Y Z´ + X´(Y + Z´)
Solución:
Z
X W
Z
X Y W
“Recordar que todo producto representa conmutadores en serie y la suma
conmutadores en paralelo”
X
X´
Y Z´
Y
Z´
Y
X W
Z

Hallar la función booleana que representa el circuito en la figura :
Respuesta: F = ( X + Y´ + Z ) U V ( Y Z´ + X + Y´ U )
Simplificación de circuitos
Se ha demostrado que el álgebra de circuitos es un álgebra booleana y
por lo tanto las reglas relativas a la simplificación de las funciones
booleanas se aplican en el álgebra de circuitos.
Simplificar el circuito:
Solución: Usar las leyes la página 04
1° Hallar la función booleana:
f = ( x + y ) ( x y + x' )
2° Realizar las operaciones:
f = x x y + x x' + x y y + x' y
3° Aplicar las leyes del álgebra booleana y simplificar (ver leyes de la
página No 04):
f = x x y + x x' + x y y + x' y
↓↓↓↓ ↓↓↓↓ ↓↓↓↓
x y 0 x y
f = x y + x y + x' y
x y
f = x y + x' y
Z
X
Y´ U V
Y Z´
Y´ U
X
x
y
x y
x'

Factorizando: f = y (x + x')
↓↓↓↓
1
f = y (1)
Recordar que:
x x = x x x' = 0 x + x' = 1 xy + x y = x y
x + xy = x
Simplificar el circuito:
Solución:
1° Hallar la función booleana
f = (x’ + y' ) ( x' + y ) + x y
2° Realizar las operaciones:
f = x' x' + x' y + x' y' + y y' + x y
3° Aplicar las leyes del álgebra booleana y simplificar
f = x' x' + x' y + x' y' + y y' + x y
↓↓↓↓ ↓↓↓↓
x' 0
4° Reemplazando:
f = x' + x' y + x' y' + x y
x'
Por la ley: x + x y = x
Luego: f = x' + x y
f = y Que representa al
circuito simplificado.
x'x'
y' y
x y

5° Y aplicando la ley x + y z = ( x + y ) ( x + z )
f = ( x' + x ) ( x' + y )
↓↓↓↓
1
6° Luego:
f = 1 ( x' + y )
El circuito simplificado será, que cumple la misma función de cerradura.
AUTOEVALUACIÓN
01. Dibujar el circuito que realiza la siguiente expresión sin
simplificarla.
a) x + y (x + yz )
b) x ( z + w ) + z ( x + y )
02. Hallar la función que representa el circuito:
03. Simplificar los siguientes circuitos:
f = x' + y
x'
y
y
x
x y’ z
y
x’
z
x'
y'
x'
y
x
y

Solución: x' y
Solución: x
PUERTAS LÓGICAS
1. Puerta Y (AND)
La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND, realiza la
función booleana de producto lógico.
El producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y
B o simplemente A por B.
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta
AND es:
Su tabla de verdad es igual a la conjunción de proposiciones donde se ha
cambiado V= 1 y F= 0:
Tabla de verdad puerta AND
Entrada A Entrada B Salida AB
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
x
y
x'
y
x
y'
x
Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico
que es la expresión física de un operador booleano en la lógica de
conmutación.

Se puede definir la puerta AND, como aquella compuerta que entrega un 1
lógico sólo si todas las entradas están a nivel alto 1.
Símbolo de la función lógica Y
2. Puerta O (OR)
La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR, realiza la
operación de suma lógica.
OR es:
Su tabla de verdad es igual a la disyunción inclusiva donde se ha
cambiado V= 1 y F = 0
Tabla de verdad puerta OR
Entrada A Entrada B Salida A + B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Podemos definir la puerta O como aquella que proporciona a su salida un
1 lógico, si al menos una de sus entradas está a 1.
Símbolo de la función lógica O

3. Puerta NO (NOT)
La puerta lógica NO (NOT en inglés) realiza la función booleana de
inversión o negación de una variable lógica.
NOT es:
Su tabla de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad puerta NOT
Entrada A Salida
0 1
1 0
Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del
que esté en su entrada.
Símbolo de la función lógica NO
AUTOEVALUACIÓN
Determinar cuál de las siguientes expresiones son Tautologías
construyendo la Tabla de Verdad para cada una.
a) p q + p´+ q´
b) p + q + p´
c) p q´ + p´q
d) ( p + q ) ( p´+ q ) ( p + q´ )
Construir una tabla de verdad para cada una de las siguientes funciones:
a) p q r + p´q r´
b) ( p + q ) ( p´+ q )
FIN DE LA SESIÓN

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