Larry

CINEMÁTICA 2
Mecánica de Fluidos Avanzada
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO
DE HIDRÁULICA E HIDROLOGÍA

CAMPO DE VELOCIDADES
• El campo de velocidad está constituido por una distribución continua
de una magnitud vectorial definida mediante una función continua de
las coordenadas espacio-temporales.
• Cuando se describe el campo de velocidad lo que se describe es el
valor de la velocidad para la partícula que ocupa un determinado sitio en
el espacio en un instante dado.
• Independientemente del enfoque adoptado (Euler o Lagrange), se
puede escribir (en coordenadas cartesianas):

CAMPO DE ACELERACIONES (1)
• El gráfico muestra la posición de una partícula en el instante “t” y en el
instante “t+dt”, posterior al primero. Para cada instante, las
velocidades serán V(t) y V(t+dt), respectivamente.
• Como la velocidad ha cambiado, afirmamos que hay “aceleración”.

• La aceleración se define como:
• Bajo el enfoque Lagrangiano, el vector velocidad es:
donde u, v y w son sus componentes en las direcciones x, y, z; es decir:
su diferencial será:

y la aceleración será:
• Reemplazando los valores de u, v, w (componentes del vector velocidad):
que define al “campo de aceleraciones”.
• En la expresión anterior, la derivada de la velocidad respecto al tiempo
es la “aceleración local” y los demás términos forman la “aceleración
convectiva”.

• Aplicando la derivada sustancial:
• La aceleración en coordenadas cilíndricas y esféricas es:

EJERCICIO
• Un campo de velocidad está dado por V=(20y
2
i – 20xyj)m/s. Calcule
la aceleración en el punto (1; -1.2).

• En un caso general, el sistema de referencia puede encontrarse
en movimiento.
• Incluyendo la aceleración del sistema de referencia, la aceleración
de Coriolis, la aceleración normal y la aceleración angular:

DISTORSIONES EN UN FLUIDO (1)
• Un fluido en movimiento se
“transforma” en función a
3 procesos básicos:
1. Traslación; el volumen
cambia de posición, pero
mantiene su forma y volumen.
2. Compresión/dilatación; el
fluido mantiene su forma pero
su volumen se incrementa o
reduce.
3. Distorsión; el volumen se
conserva pero la forma cambia.

DISTORSIONES EN UN FLUIDO (2)
•
•
A su vez, la distorsión puede considerar como la superposición de dos efectos:
la rotación y el corte.
Los ángulos α y β son las deformaciones de corte; así, la rotación se define
a través de (α – β)/2, y el corte a través de (α + β)/2.

DEFORMACIONES
 Es una representación del desplazamiento entre partículas en el
cuerpo respecto a una longitud de referencia.
 Al igual que los esfuerzos, una deformación dada puede
descomponerse en:
- Deformación de corte; que es la causante de la distorsión.
- Deformación normal o directa; que es la causante de la compresión.

VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN DE CORTE (1)
• Dado el volumen ABCD, y un punto
O ubicado en su centro. Si la
velocidad en O está dada por (u;
v), las velocidades en sus vértices
(en función de u y v) serán:

• Si el volumen se desplaza a una nueva ubicación:

• La nueva ubicación de cada vértice se calculará como:
• Las deformaciones α y β serán:
• y reemplazando las velocidades se obtiene:

• La Velocidad de deformación de corte se define como la variación del
corte respecto al tiempo:
 xy =
• La Velocidad de deformación de corte en las otras dos direcciones es:
εxz = ε yz =

VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN NORMAL O DIRECTA (1)
 Cogiendo dos puntos paralelos E y F (pueden ser también A y C),
relación entre la longitud F’E’ y la longitud inicial FE es:
que se conoce como deformación directa o normal.
 Reemplazando las expresiones encontradas para la velocidad:

VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN NORMAL O DIRECTA (2)
 Derivando respecto al tiempo se obtendrá la Velocidad de
deformación normal:
 Con las razones de deformación de corte y de deformación normal,
se forma el llamado “tensor de velocidades de deformación”.

VORTICIDAD (1)
 Como se mencionó, la rotación se define usando (α – β)/2
de esta manera, la Velocidad instantánea de rotación de un fluido será:
Ω = d  α − β = 1 
dα
− dβ = α'−β '
   
dt 2dt  2  2  dt 
 Luego, el vector velocidad angular será:
1 ∂
w
∂v  1 ∂u ∂
w

j +
1 ∂
v
∂u 
Ω =  − i + −  − k

2

∂y

∂z ∂x

2

∂
x

 ∂z 
2    ∂y 
 El doble de la velocidad angular se denomina “vorticidad”, que se
define como:

VORTICIDAD (2)
 La vorticidad puede estimarse en las tres diferentes
direcciones, conformando un “vector vorticidad”:
∂
w
∂v   ∂
u
∂w  ∂v ∂u 
ω =  − i + −  j +  − k

∂y

∂z

∂x

 ∂z 
 ∂x   ∂y 
ω = ∇xV
 Como se observa, la vorticidad es el “doble de la Velocidad
instantánea de rotación” del elemento fluido.

EJERCICIO
Un campo de velocidad está dado por V=20y2 ˆı -20xyˆj m/s. Calcula la
aceleración, la velocidad angular, el vector vorticidad, y cualquier
componente de la velocidad de deformación no nulo en el punto (1, -1, 2).

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