Leccion01 rsa crypt4you -V2

Aula Virtual Crypt4you
Curso: El algoritmo RSA
Lección 1: Los principios
del algoritmo RSA

Profesor: Dr. Jorge Ramió Aguirre
Universidad Politécnica de Madrid

Lección 1 El algoritmo RSA – Crypt4you © JRA 2012

Capítulo 14: Cifrado Asimétrico Exponencial Página 2

Origen documento de apoyo a la Lección
• Selección de dispositivas del capítulo 14 sobre Cifrado Asimétrico
Exponencial del Libro Electrónico de Seguridad Informática y
Criptografía para la Lección 1 del curso El algoritmo RSA de Crypt4you.
• Este archivo forma parte libro electrónico de Seguridad Informática y
Criptografía v 4.1 de marzo de 2006.
• http://www.criptored.upm.es/guiateoria/gt_m001a.htm
• Se autoriza el uso, su reproducción en computador y la impresión sólo
con fines docentes o personales, respetando los créditos del autor.
• Queda prohibida su comercialización.
• Este documento sirve como material de apoyo a la Lección 1 del curso el
algoritmo RSA de Crypt4you. El mayor contenido temático y académico
se encuentra en la página Web de dicha lección.
• http://www.crypt4you.com

© Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006


Aquí ciframos números, no mensajes
• La operación característica de la cifra asimétrica es mediante un
cifrado exponencial. La operación a realizar será C = AB mod n, en
donde n es el cuerpo de cifra del orden de 1.024 bits, B es una clave
pública 17 bits para el intercambio de clave y cerca de 1.024 bits de la
clave privada para firma digital. A será siempre un número N (nunca
un mensaje M) y por lo general del orden de las centenas de bits.
• Esto es así porque este tipo de cifra es muy lenta y sería muy costoso
en tiempo cifrar, por ejemplo, mensajes de cientos o miles de bytes.
• Por lo tanto, cuando se cifre con la clave pública de destino para
hacer un intercambio de clave, se tratará de un número N del orden de
los 128 bits (la clave de sesión), y cuando se cifre con la clave
privada de emisión para una firma digital, se tratará de un número N
de 160 bits, por ejemplo un hash SHA-1 sobre el mensaje M.



Otros casos de cifra exponencial
• La cifra con la clave privada de recepción cuando desciframos
un número o dato que se nos ha enviado confidencialmente, o
bien la cifra con la clave pública del emisor para comprobar
así su firma digital, serán casos de descifrado.
• En el primero de ellos, puesto que se recibe un número muy
grande dentro del cuerpo de cifra con n bits y la clave privada
será también de esa magnitud, en el caso de RSA se realizará
el descifrado usando el Teorema del Resto Chino.
• Si deseamos cifrar mensajes M con estos algoritmos, se puede
hacer formando bloques de cifra, al igual que se hace con los
sistemas simétricos, pero recuerde que esto tiene sentido sólo
para prácticas de laboratorio y nunca en sistemas reales.



Cifrado exponencial con clave del receptor
• Al cifrar el número N y en el descifrado del criptograma
C se usará una exponenciación: Ee(N) = C y Ed(C) = N.
• En la operación de cifrado, el subíndice e significará el
uso de la clave pública del receptor (R) en el extremo
emisor y el subíndice d el uso de la clave privada del
receptor (R) en el extremo receptor.

C = EeR(N) = NeR mod nR N = EdR(C) = CdR mod nR

• N deberá ser un elemento del CCR de nR.
• Esta operación se usará para realizar el intercambio de
una clave de sesión entre un emisor y un receptor.



Cifrado exponencial con clave del emisor
• En la operación de cifrado el subíndice d significa el uso
de la clave privada del emisor (E) en el extremo emisor,
y el subíndice e el uso de la clave pública del emisor (E)
en el extremo receptor.

C = EdE(N) = NdE mod nE N = EeE(C) = CeE mod nE

• N deberá ser un elemento del CCR de nE.
• Esta operación se usará para autenticar la identidad de un
usuario mediante una firma digital, al mismo tiempo que
se demuestra la integridad del mensaje mediante un hash.



Cifrado exponencial genérico tipo RSA
Sea el grupo de trabajo n = p q (n) = (p-1)(q-1)
Se eligen una clave pública e y una privada d de forma que:
e d mod (n) = 1 e d = k(p-1)(q-1) + 1.

Si e d = k (n) + 1 Por el Teorema del Resto
Chino se tiene que:
Por el Teorema de Euler y ... Ned = N mod n
se tiene que: ssi Ned = N mod p
Nk (n) mod n = 1 Ned = N mod q
para todo N primo con n Luego, el sistema de cifra será
válido para cualquier valor de N



Operación de descifrado exponencial

Al cifrar el número N con una clave pública e (en este caso
para realizar un intercambio de clave, aunque es igual de
válido con una clave d en caso de firma digital) tenemos:
Cifrado: C = Ne mod n
Descifrado: Cd mod n = (Ne)d mod n = Ned mod n
Cd mod n = Nk (n)+1 mod n = N Nk (n) mod n
Cd mod n = N 1 mod n = N mod n
Por lo tanto, la operación Cd mod n recuperará el número N.



Comprobación de la recuperación de N
Sea n = p q = 5 11 = 55 (n) = (5-1)(11-1) = 40
Sea el número N = 50 = 2 52 (debe ser un elemento de n = 55)
Se elige e = 3 d = inv[e, (n)] = inv (3, 40) = 27
e d mod (n) = 3 27 mod 40 = 81 mod 40 = 1
C = Ne mod n = 503 mod 55 = (2 52)3 mod 55
C = [(2)3 mod 55 (52)3 mod 55] mod 55 - por reducibilidad  -
N = Cd mod n = {[(2)3 mod 55 (52)3 mod 55] mod 55}27 mod 55
N = [(2)3 27 mod 55 (52)3 27 mod 55] mod 55
N = [22 (n)+1 52 (n)+1 52 (n)+1] mod 55
Por el Teorema de Euler y del Resto Chino = 2 5 5 mod 55 = 50



Algoritmo de cifra asimétrica RSA
En febrero de 1978 Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman
proponen un algoritmo de cifra de clave pública: RSA

Pasos del algoritmo
1. Cada usuario elige un grupo n = p q (pueden y de hecho son distintos).
2. Los valores p y q no se hacen públicos.
3. Cada usuario calcula (n) = (p-1)(q-1).
4. Cada usuario elige una clave pública e de forma que 1 < e < (n) y que
cumpla con la condición: mcd [e, (n)] = 1.
5. Cada usuario calcula la clave privada d = inv [e, (n)].
6. Se hace público el grupo n y la clave e.
7. Se guarda en secreto la clave d. También guardará p y q puesto que en
la operación de descifrado usará el Teorema del Resto Chino.
Cifra: C = NeR mod nR Firma: C = h(M)dE mod nE

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