RSA crypt4you

El algoritmo RSA
Aula Virtual Crypt4you
Selección del capítulo 14 del Libro Electrónico de Seguridad
Informática y Criptografía del mismo autor para Crypt4you

Dr. Jorge Ramió Aguirre
Universidad Politécnica de Madrid

Este archivo forma parte libro electrónico de Seguridad Informática y Criptografía
v 4.1 de marzo de 2006. Se autoriza el uso, su reproducción en computador y la
impresión sólo con fines docentes o personales, respetando los créditos del autor.
Queda prohibida su comercialización.

Curso de Seguridad Informática y Criptografía © JRA

Capítulo 14: Cifrado Asimétrico Exponencial Página 2

Aquí ciframos números, no mensajes
• La operación característica de la cifra asimétrica es mediante un
cifrado exponencial. La operación a realizar será C = AB mod n, en
donde n es el cuerpo de cifra del orden de 1.024 bits, B es una clave
pública 17 bits para el intercambio de clave y cerca de 1.024 bits de la
clave privada para firma digital. A será siempre un número N (nunca
un mensaje M) y por lo general del orden de las centenas de bits.
• Esto es así porque este tipo de cifra es muy lenta y sería muy costoso
en tiempo cifrar, por ejemplo, mensajes de cientos o miles de bytes.
• Por lo tanto, cuando se cifre con la clave pública de destino para
hacer un intercambio de clave, se tratará de un número N del orden de
los 128 bits (la clave de sesión), y cuando se cifre con la clave
privada de emisión para una firma digital, se tratará de un número N
de 160 bits, por ejemplo un hash SHA-1 sobre el mensaje M.

© Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006


Otros casos de cifra exponencial
• La cifra con la clave privada de recepción cuando desciframos
un número o dato que se nos ha enviado confidencialmente, o
bien la cifra con la clave pública del emisor para comprobar
así su firma digital, serán casos de descifrado.
• En el primero de ellos, puesto que se recibe un número muy
grande dentro del cuerpo de cifra con n bits y la clave privada
será también de esa magnitud, en el caso de RSA se realizará
el descifrado usando el Teorema del Resto Chino.
• Si deseamos cifrar mensajes M con estos algoritmos, se puede
hacer formando bloques de cifra, al igual que se hace con los
sistemas simétricos, pero recuerde que esto tiene sentido sólo
para prácticas de laboratorio y nunca en sistemas reales.



Cifrado exponencial con clave del receptor
• Al cifrar el número N y en el descifrado del criptograma
C se usará una exponenciación: Ee(N) = C y Ed(C) = N.
• En la operación de cifrado, el subíndice e significará el
uso de la clave pública del receptor (R) en el extremo
emisor y el subíndice d el uso de la clave privada del
receptor (R) en el extremo receptor.

C = EeR(N) = NeR mod nR N = EdR(C) = CdR mod nR

• N deberá ser un elemento del CCR de nR.
• Esta operación se usará para realizar el intercambio de
una clave de sesión entre un emisor y un receptor.



Cifrado exponencial con clave del emisor
• En la operación de cifrado el subíndice d significa el uso
de la clave privada del emisor (E) en el extremo emisor,
y el subíndice e el uso de la clave pública del emisor (E)
en el extremo receptor.

C = EdE(N) = NdE mod nE N = EeE(C) = CeE mod nE

• N deberá ser un elemento del CCR de nE.
• Esta operación se usará para autenticar la identidad de un
usuario mediante una firma digital, al mismo tiempo que
se demuestra la integridad del mensaje mediante un hash.



Cifrado exponencial genérico tipo RSA
Sea el grupo de trabajo n = p q (n) = (p-1)(q-1)
Se eligen una clave pública e y una privada d de forma que:
e d mod (n) = 1 e d = k(p-1)(q-1) + 1.

Si e d = k (n) + 1 Por el Teorema del Resto
Chino se tiene que:
Por el Teorema de Euler y ... Ned = N mod n
se tiene que: ssi Ned = N mod p
Nk (n) mod n = 1 Ned = N mod q
para todo N primo con n Luego, el sistema de cifra será
válido para cualquier valor de N



Operación de descifrado exponencial

Al cifrar el número N con una clave pública e (en este caso
para realizar un intercambio de clave, aunque es igual de
válido con una clave d en caso de firma digital) tenemos:
Cifrado: C = Ne mod n
Descifrado: Cd mod n = (Ne)d mod n = Ned mod n
Cd mod n = Nk (n)+1 mod n = N Nk (n) mod n
Cd mod n = N 1 mod n = N mod n
Por lo tanto, la operación Cd mod n recuperará el número N.



Comprobación de la recuperación de N
Sea n = p q = 5 11 = 55 (n) = (5-1)(11-1) = 40
Sea el número N = 50 = 2 52 (debe ser un elemento de n = 55)
Se elige e = 3 d = inv[e, (n)] = inv (3, 40) = 27
e d mod (n) = 3 27 mod 40 = 81 mod 40 = 1
C = Ne mod n = 503 mod 55 = (2 52)3 mod 55
C = [(2)3 mod 55 (52)3 mod 55] mod 55 - por reducibilidad  -
N = Cd mod n = {[(2)3 mod 55 (52)3 mod 55] mod 55}27 mod 55
N = [(2)3 27 mod 55 (52)3 27 mod 55] mod 55
N = [22 (n)+1 52 (n)+1 52 (n)+1] mod 55
Por el Teorema de Euler y del Resto Chino = 2 5 5 mod 55 = 50



Algoritmo de cifra asimétrica RSA
En febrero de 1978 Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman
proponen un algoritmo de cifra de clave pública: RSA

Pasos del algoritmo
1. Cada usuario elige un grupo n = p q (pueden y de hecho son distintos).
2. Los valores p y q no se hacen públicos.
3. Cada usuario calcula (n) = (p-1)(q-1).
4. Cada usuario elige una clave pública e de forma que 1 < e < (n) y que
cumpla con la condición: mcd [e, (n)] = 1.
5. Cada usuario calcula la clave privada d = inv [e, (n)].
6. Se hace público el grupo n y la clave e.
7. Se guarda en secreto la clave d. También guardará p y q puesto que en
la operación de descifrado usará el Teorema del Resto Chino.

Cifra: C = NeR mod nR Firma: C = h(M)dE mod nE



Intercambio de clave RSA (B A)
En el protocolo intercambiaremos una clave K

Sea K = DA9F (16 bits)
Benito Adela

Claves Benito 216 66.331 217 Claves Adela
nB = 65.669 Forzaremos cifrar un nA = 66.331
eB = 35, dB = 53.771 bloque de 16 bits eA = 25, dA = 18.377

Cifra K = DA9F16 = 55.96710 En la práctica no habrá que
C = KeA mod nA forzar este tamaño ya que la
cifra asimétrica se hace en
C = 55.96725 mod 66.331 = un cuerpo (más de mil bits)
16.667
mucho mayor que el número
Benito envía a Adela C = 16.667 que se cifra (cientos de bits).



Recuperación de la clave K por A
Claves Benito Claves Adela
nB = 65.669 nA = 66.331
eB = 35, dB = 53.771 eA = 25, dA = 18.377
Benito Teníamos que: K = DA9F16 = 55.96710 Adela
C = KeA mod nA C = 55.96725 mod 66.331 = 16.667
Benito había enviado a Adela C = 16.667

Adela calcula: Los primos que ha
• CdA mod nA = 16.66718.377 mod 66.331 = 55.967. usado Benito son
• El intercambio de clave se ha realizado con (97, 677) y los de
confidencialidad porque sólo Adela ha podido Adela (113, 587)
realizar ese cálculo con su clave privada dA.



Descifrado con números grandes
Grupo n = 91 = 7 13; (n) = (7 13) = (7-1)(13-1) = 72 N = 48
Elegimos e = 5 pues mcd (5,72) = 1 d = inv(5,72) = 29
CIFRADO:
C = Ne mod n = 485 mod 91 = 5245.803.968 mod 91 = 55
DESCIFRADO:
N = Cd mod n = 5529 mod 91 = 48 ... 5529 ya es “número grande”
5529 es un número con 51 dígitos...
5529 = 295473131755644748809642476009391248226165771484375
¿Cómo podemos acelerar esta operación?

1ª opción: usar reducibilidad  2ª opción: algoritmo exp. rápida 
Opción óptima: usar el Teorema del Resto Chino 


Uso del Teorema del Resto Chino en RSA
• Normalmente la clave pública e de RSA es un valor bastante bajo,
por ejemplo 216 + 1 (un valor típico). Luego, en el proceso de cifra
(no en la firma) no tendremos problemas con la velocidad de cifra
porque el exponente e será relativamente bajo, en este caso 17 bits.
• Como el cuerpo de trabajo n = p q es mucho mayor, del orden de
21.024 si hablamos de claves de 1.024 bits, entonces la clave privada
d será por lo general mucho mayor que el valor de e y caerá muy
cerca de ese valor de 1.024 bits. Por lo tanto, podría ser costoso para
el receptor descifrar algo con su clave privada o firmar digitalmente
un documento con dicha clave privada.
• La solución está en aplicar el Teorema del Resto Chino: en vez de
trabajar en n, lo haremos en p y q por lo que las exponenciaciones
modulares se harán en p y q, mucho más rápido que hacerlo en n.



Descifrado RSA aplicando el TRC

N = Cd mod n Aplicando el Teorema del Resto Chino:
N = {Ap[Cpdp (mod p)] + Aq[Cqdq (mod q)]} mod n
con: Ap = q [inv (q,p)] = qp-1 mod n
Aq = p [inv (p,q)] = pq-1 mod n
dp = d mod (p-1) dq = d mod (q-1)
Cp = C mod p Cq = C mod q

Se hacen más operaciones pero el tiempo de cálculo total es menor dado
que los valores dp, dq, Ap y Aq están precalculados. Las operaciones Cp y
Cq son sencillas y muy rápidas. El único cálculo que consume tiempo será
Cpdp y Cqdq pero ambos se hacen en cuerpos mucho menores que n.



Ejemplo de descifrado RSA usando el TRC
Sea: p = 89, q = 31, n = p q = 89 31 = 2.759, (n) = 88 30 = 2.640
Elegimos e = 29 d = inv [e, (n)] = inv [29, 2.640] = 2.549
Si el número a cifrar es N = 1.995, entonces:
C = Ne mod n = 1.99529 mod 2.759 = 141
N = Cd mod n = 1412.549 mod 2.759 = 1.995
Ap = qp-1 mod n = 3188 mod 2.759 = 713 Aq = pq-1 mod n = 8930 mod 2.759 = 2.047
dp = d mod (p-1) = 2.549 mod 88 = 85 dq = d mod (q-1) = 2.549 mod 30 = 29
Cp = C mod p = 141 mod 89 = 52 Cq = C mod q = 141 mod 31 = 17
Reemplazando en: N = {Ap[Cpdp (mod p)] + Aq[Cqdq (mod q)]} mod n
N = {713[5285 mod 89] + 2.047[1729 mod 31]} mod 2.759
N = {713 37 + 2.047 11} mod 2.759 = (26.381 + 22.517) mod 2.759 = 1.995



Ataque a la clave por factorización de n
¿Qué fortaleza tendrá este algoritmo ante ataques?
 El intruso que desee conocer la clave secreta d a partir de los
valores n y e se enfrentará al Problema de la Factorización de
Números Grandes (PFNG), puesto que la solución para conocer
esa clave privada es conocer primero el valor del Indicador de
Euler (n) = (p-1)(q-1) para así poder encontrar d = inv [e, (n)],
pero para ello deberá saber los valores de los primos p y q.
 La complejidad asociada al PFNG para un número n viene dada
por la ecuación e ln(n) ln ln(n), donde ln es logaritmo natural.
 Le recomiendo se descargue de este sitio el programa factor.exe
en entorno MS-DOS. No obstante, existirán otros ataques a RSA
que no requieren factorizar un número grande.



Tiempo necesario para afrontar el PFNG
Para un procesador de 2x108 instrucciones por segundo (años
noventa). Fuente: Criptografía Digital, José Pastor. Prensas Univ.
de Zaragoza, 1998.
Nº de bits (n) Nº de dígitos Días Años
60 18 1,7 x 10-8 -
120 36 1,5 x 10-5 -
256 77 1,0 -
363 109 9,0 x 102 2,5
442 133 9,4 x 104 2,5 x 102
665 200 3,8 x 108 1,0 x 106 
Desafío RSA640 (193 dígitos) roto en noviembre de 2005 en la Universidad
de Bonn. Lo que en 1998 se valoraba en un millón de años, hoy se ha roto en
un tiempo equivalente a 30 años con un PC a 2,2 GHz. Y se resolverán
nuevos desafíos de números mayores. Deberemos ser siempre muy cautos.



Tamaño de los parámetros en RSA
Toda la seguridad de RSA está basada en sus parámetros: los
primos p y q y los valores de sus claves pública e y privada d.
El cuerpo de trabajo debe ser al menos de 1.024 bits con primos
p y q de al menos 500 bits y que difieran unos cuantos dígitos.
Aunque la clave pública debe ser pequeña para facilitar así las
operaciones, su valor no puede ser excesivamente bajo. Se usará
4
el número 4 de Fermat F4 = 22 + 1 = 216 + 1 = 65.537.
Como ed mod (n) = 1, esto hace que la clave privada d sea un
número superior a los 1.000 bits, por lo general cerca de 1.024.
Habrá que prestar también especial atención en la generación de
dichos primos y la posterior comprobación de su primalidad.



El problema en la elección del valor de n
Si p y q son muy cercanos, puede ser fácil factorizar n

 Si p q y suponemos que p > q, entonces (p-q)/2 es un
entero muy pequeño y por otra parte (p+q)/2 será un
entero ligeramente superior a n.
 Además se cumplirá que: n = (p+q)²/4 - (p-q)²/4. Esto
lo podemos escribir como n = x² - y² y² = x² - n
 Elegimos enteros x > n hasta que (x² - n) sea cuadrado
perfecto. En este caso x = (p+q)/2; y = (p-q)/2. Por lo
tanto rompemos el valor n: p = (x+y); q = (x-y). 



Ejemplo de mala elección del valor de n
• Sea p = 181; q = 251 n = 181 251 = 45.431
• Como 45.431 = 213,14 buscaremos valores enteros
de x mayores que 213 de forma que (x² - 45.431) sea
un cuadrado perfecto 
1. x = 214 x² – 45.431 = 365 365 = 19,10 
2. x = 215 x² – 45.431 = 794 794 = 28,17 
3. x = 216 x² – 45.431 = 1.225 1.225 = 35 
Entonces: p = x – y = 216 – 35 = 181
q = x + y = 216 + 35 = 251

Para evitar otros problemas, es recomendable
usar los denominados primos seguros.



Elección de los números primos
Los valores primos deben elegirse apropiadamente:
Sistema RSA
a) p y q deben diferir en unos pocos dígitos.
Recuerde que la relación bit/dígito es 3,3.
¿Cómo?
b) p y q no deben ser primos muy cercanos.
c) Longitud mínima de p y q: 500 bits.
d) Valores de (p-1) y (q-1) del Indicador de
Euler con factores primos grandes.
e) El mcd entre (p-1) y (q-1) debe ser pequeño.
Esto se cumple con los denominados primos seguros



Cálculo de números primos p y q seguros
Se elige r un primo grande de modo que: 2 r + 1 = p
Se elige un r’ primo algo mayor que r de modo que: 2 r’ + 1 = q
EJEMPLO: Sean r = 1.019 y r’ = 3.863
p = 2 1.019 + 1 = 2.039 (11 bits) Es primo 
q = 2 3.863 + 1 = 7.727 (13 bits) Es primo 
n = p q = 15.755.353
Luego: p-1 = 2.038; q-1 = 7.726
p-1 = 2 1.019; q-1 = 2 3.863 mcd (p-1, q-1) = 2
Los primos p y q cumplen la condición de primos seguros
Nota: es posible que encuentre algún documento donde proponga elegir un valor r
primo y comprobar luego si p = 2r+1 y q = 2p+1 son primos. En este caso p y q
seguirán siendo primos seguros pero sólo de forma independiente. Aquí será muy
fácil atacar el valor n factorizándolo a través de una ecuación de segundo grado.



Par de primos seguros pero independientes
Elegimos r primo. Comprobamos primero que p = 2r+1 es primo y
luego que q = 2p+1 también es primo.
Los valores de p y q serán primos seguros pero en el sistema RSA
basado en n = p q no servirán como pareja segura dado que:
n = p q = [2r +1][2p +1] = [2r + 1][2(2r + 1) + 1] = [2r +1][4r + 3]
n = 8r2 + 10r + 3 8r2 + 10r + (3 - n) = 0
Luego: r = [- 10 100 - 32(3-n)]/16 = [- 10 4 + 32n]/16
r = [- 10 + 4 + 32n]/16
Conocido el valor de r podemos calcular p y q .
Ejemplo: r = 41, p = 2r+1 = 83 , q = 2p+1 = 167 , n = 13.861.
r = [- 10 + 4 + 32 13.861]/16 = [- 10 + 666]/16 = 41.



Claves privadas parejas en RSA
Una clave privada pareja CPP dP, permite descifrar el criptograma
C resultado de una cifra con la clave pública e sin que dP sea el
inverso de la clave pública e. En el sistema RSA habrá como
mínimo una clave dP pareja de la clave privada d.
Esto se debe a que las claves inversas e y d lo serán en (n) y en
cambio la cifra se hace en el cuerpo n.
Ejemplo:
Si p = 13; q = 19; n = 247, (n) = 216 y elegimos e = 41, entonces
d = inv (41, 216) = 137, que es único. Si ciframos con la clave
pública el número N = 87 obtenemos C = 8741 mod 247 = 159.
Luego sabemos que N = Cd mod n = 159137 mod 247 = 87 
Pero también lo desciframos con dP = 29, 65, 101, 173, 209 y 245.



Número de claves privadas parejas
Si = mcm [(p-1),(q-1)] y sea d = e-1 mod = inv (e, )
La clave pública e tendrá claves parejas di de la forma:
di = d + i 1 < di < n
i = 0, 1, ... = (n - d )/
En el ejemplo anterior tenemos que:
= mcm [(p-1),(q-1)] = mcm (12, 18) = 36
Luego: d = inv (41, 36) = 29, así di = d + i = 29 + i 36
Es decir di = 29, 65, 101, 137, 173, 209, 245. Observe que
en aparece (137) la clave privada d y comprobamos que:
= (n - d )/ = (247 – 29)/36) = 6,05 = 6



Casos de claves privadas parejas
Sea p = 751, q = 1.009; e = 13 Sea p = 379, q = 1.783; e = 71
Clave privada: d = 407.077 Clave privada: d = 531.287
Nº de claves privadas parejas: 5 Nº de claves privadas parejas: 53
29.077, 155.077, 281.077, 533.077, 7.379, 19.853, 32.327, 44.801,
659.077. 57.275, 69.749, 82.223, 94.697,
Sea p = 751, q = 1.009; e = 101 107.171, 119.645, 132.119,
Clave privada: 553.901 144.593, 157.067, 169.541, ...
Nº de claves privadas parejas: 5 ... 506.339, 518.813, 543.761,
49.901, 175.901, 301.901, 427.901, 556.235, 568.709, 581.183,
679.901. 593.657, 606.131, 618.605,
631.079, 643.553, 656.027,
Para otros valores de e, siempre 668.501. ... Y separadas 12.474.
existe una separación entre todas Sea p = 379, q = 1.783; e = 131
las claves privadas igual a 126.000. Ahora las CPP aumentan a 54.



Minimizando las claves privadas parejas
Para que sea lo más pequeño posible ( = 1) un primer
paso es elegir los primos p y q como primos seguros.
Ejemplo:
Sean r’ = 5; r’’ = 23 p = 2 5 + 1 = 11 (es primo )
q = 2 23 + 1 = 47 (es primo )
En estas condiciones con n = 517 y (n) = 460, sea e = 17
Luego = mcm (10, 46) = 230 y d = inv (17, 230) = 203
Entonces = (n - d )/ = (517 – 203)/230 = 1,36 = 1
Así: di = d + i = 203 + i 230 = 203, 433 =1
En efecto, d = inv [e, (n)] = inv (17, 460) = 433 y lo
cifrado con e = 17 también se descifra con dP = 203.



Minimizando no sólo con primos seguros
Para que sea igual a la unidad, habrá que elegir además
un valor adecuado de clave pública:
Tomando el mismo ejemplo anterior:
p = 11; q = 47; n = 517 y (n) = 460
Según el valor que elijamos de clave pública e, podríamos
obtener más de una clave privada pareja:
- Sea: e = 7, d = 263 = 230 y d = inv (7, 230) = 33
di = d + i = 33 + i 230 = 33, 263, 493 =2
- Sea: e = 77, d = 233 = 230 y d = inv (77, 230) = 3
di = d + i = 3 + i 230 = 3, 233, 463 =2
Con primos seguros, el número de claves parejas será siempre bajo.



¿Preocupado por claves privadas parejas?
Si bien al generar claves RSA con librerías actuales como Crypto++
de Wei Dei (OpenSSL) aparecen claves que no pueden considerarse
como óptimas ya que no se controla este hecho, hay que tener en
mente que las claves privadas parejas tendrán siempre valores muy
cercanos al cuerpo de (n) es decir un tamaño del orden de 2n bits.
Por lo tanto, independientemente de la distribución, se trataría de una
búsqueda en un cuerpo cercano a 2n bits, en la actualidad en 21024 bits,
es decir un valor inmenso para la capacidad de cómputo actual,
incluso suponiendo un ataque similar al del DES Challengue III y un
cálculo de claves por segundo varios órdenes de magnitud superior.
No obstante, en todos estos temas siempre hay que estar en alerta pues
en cualquier momento puede aparecer algún método óptimo de ataque.



Claves parejas de la clave pública en RSA
Al trabajar en un cuerpo finito y con iguales opciones de
cifra con la clave pública e y la clave privada d, tenemos
que las ecuaciones vistas en las diapositivas anteriores son
válidas en este entorno, cambiando d por e.
¿Tiene alguna importancia esto?

No es un problema puesto que todo el mundo conoce la
clave pública y el sistema sigue siendo igual de seguro.
Se cumple que los valores de dichas claves parejas
son similares y equivalentes en ambos entornos, el
de las claves públicas y el de las claves privadas.




Ejemplo de firma y claves parejas de e
Retomamos el primer ejemplo de claves privadas parejas con:
p = 13; q = 19; n = 247, (n) = 216, e = 41, d = 137
Si firmamos N = 24, obtenemos C = 24137 mod 247 = 215
Luego sabemos que N = Ce mod n = 21541 mod 247 = 24
Como e = inv (d, ) = inv (137, 36) = 5, entonces:
= (n - e )/ = (247 – 5)/36) = 6,72 = 6
ei = e + i = 5 + i 36 = 5, 41, 77, 113, 149, 185, 221
Y se podrá comprobar el criptograma C de la firma con
cualquiera de estas claves, parejas de la clave pública e.



Comprobación de una firma digital
¿Problemas con la firma digital y las claves públicas parejas?
 Un usuario firma un hash de un mensaje con su clave privada, lo que
envía al destino junto con el mensaje original. En destino se descifra
con la clave pública del emisor y se comparan los dos hash, el de
emisión y el recuperado en recepción, para dar validez a dicha firma.
 En este escenario, esto significa que se podría dar por válida una
firma al descifrar el hash recibido con una clave pública pareja e’
distinta a la inversa de la usada en emisión y dar validez a dicha
firma; es decir usando alguna de las claves públicas parejas.
 Esto en sí no es un ataque por lo que, al menos en este contexto y en
principio, no debería considerarse como una vulnerabilidad. Esto es
así porque, además, como se ha dicho es típico que la clave pública
sea el mismo número primo para todos, el valor e = 65.537 = 216 + 1.
Como es obvio, lo que será distinto para cada par de claves son p y q.



Números no cifrables en RSA
 Si Ne mod n = N se dice que N es un número no cifrable, NNC.
Aunque la clave e sea válida, el número N se enviará en claro .
 En RSA habrá como mínimo 9 números no cifrables.
 En el caso más crítico, todos los números del cuerpo n pueden ser
no cifrables como veremos más adelante.
 Para conocer estos valores no cifrables, habrá que hacer un ataque
de cifrado por fuerza bruta en p y q, es decir deberemos comprobar
que Xe mod p = X y Xe mod q = X con 1 < X < n-1 .
Ejemplo:
Sea el cuerpo n = 35 (p = 5, q = 7), con (n) = 24 y e = 11.
Dentro de los números posibles {0, 34} serán no cifrables: {6, 14,
15, 20, 21, 29, 34} además de los obvios {0, 1}. El valor n-1 (en
este caso 34) será también siempre no cifrable.



Cantidad de números no cifrables
La cantidad de números no cifrables dentro de un cuerpo n será:
n = [1 + mcd (e-1, p-1)][1 + mcd (e-1, q-1)]
Los números no cifrables serán:
N = [q{inv (q, p)}Np + p{inv (p, q)}Nq] mod n
con: Np las soluciones de Ne mod p = N
Nq las soluciones de Ne mod q = N
Esto último debido al TRC puesto que Ne mod n = N
En el ejemplo anterior se da el caso mínimo: Valores para un mínimo

n = [1 + mcd (10, 4)][1 + mcd (10, 6)] = (1+2)(1+2) = 9
N11 mod 5 = N N5 = {0, 1, 4} N11 mod 7 = N N7 = {0, 1, 6}
N = [7{inv (7, 5)}Np + 5 {inv (5,7)}Nq] mod 35
N = [7 3 Np + 5 3 Nq] mod 35 = [21{0, 1, 4} + 15{0, 1, 6}] mod 35
N = {(0, 21, 84) + (0, 15, 90)} mod 35 sumando todos los términos...
N = {0, 15, 90, 21, 36, 111, 84, 99, 175} mod 35 ordenando...
N = {0, 1, 6, 14, 15, 20, 21, 29, 34}



Ejemplo de números no cifrables (1)
Sea p = 13; q = 17; n = p q = 221
Elegimos e = 7 por lo que d = inv (7, 192) = 55, luego:
n = [1 + mcd (e-1, p-1)][1 + mcd (e-1, q-1)]

221 = [1 + mcd (6, 12)][1 + mcd (6, 16)] = (1+6)(1+2) = 21
Soluciones de N7 mod 13 = N Np = {0, 1, 3, 4, 9, 10, 12}
Soluciones de N7 mod 17 = N Nq = {0, 1, 16}
Los números no cifrables serán:
N = [q{inv (q, p)}Np + p{inv (p, q)}Nq] mod n
N = [17{inv (17, 13)}Np + 13{inv (13, 17)}Nq] mod 221
N = [{17 10}Np + {13 4}Nq] mod 221
N = [170 Np + 52 Nq] mod 221



Ejemplo de números no cifrables (2)
Teníamos Np = {0, 1, 3, 4, 9, 10, 12}
Nq = {0, 1, 16}
N = [170 Np + 52 Nq] mod 221 luego:
N = [170 {0, 1, 3, 4, 9, 10, 12} + 52 {0, 1, 16}] mod 221
N = [{0, 170, 510, 680, 1.530, 1.700, 2.040} +{0, 52, 832}] mod 221
N = [0+0, 0+52, 0+832, 170+0, 170+52, 170+832, ...] mod 221

N = [0, 52, 832, 170, 222, 1.002, 510, 562, 1.342, 680, 732, 1.512, 1.530,
1.582, 2.362, 1.700, 1.752, 2.531, 2.040, 2.092, 2.872] mod 221
N = [0, 52, 169, 170, 1, 118, 68, 120, 16, 17, 69, 186, 204, 35, 152,
153, 205, 101, 51, 103, 220] ordenando...
N = [0, 1, 16, 17, 35, 51, 52, 68, 69, 101, 103, 118, 120, 152, 153,
169, 170, 186, 204, 205, 220] estos son los 21 mensajes de 221.



Distribución de números no cifrables
Dado que N = {0, 1, 16, 17, 35, 51, 52, 68, 69, 101, 103, 118, 120,
152, 153, 169, 170, 186, 204, 205, 220}, observe que excepto el
valor 0, los valores de los extremos siempre sumarán el valor
del módulo: 1+220 = 16+205 = 17+204 = 35+186 ... = 221 = n.
No obstante, esto no es una debilidad porque el siguiente valor
no cifrable posterior al 1 es aleatorio y también la distribución
entre los demás. Es más, en la mayoría de las claves no se
aprecia una secuencia de valores muy clara, aunque sí se
observa un comportamiento y distribución bastante curiosos.
Si no fuera así, el sistema sería muy débil porque podríamos
conocer de antemano qué valores muy pequeños serían no
cifrables (además del 0 y el 1) y con esa información poder
deducir si un valor x de centenas de bits (clave) es o no cifrable.



Dos casos de números no cifrables
Sean p = 409, q = 499 Sean p = 241, q = 251
Con e = 31, d = 19.663 Con e = 61, d = 26.281
Total números no cifrables: 49 Total números no cifrables: 671
0, 1, 1.636, 1.637, 23.313, 23.314, 0, 1, 231, 250, 251, 364, 400, 482,
24.949, 24.950, 26.586, 48.263, 522, 604, 640, 733, 866, 1.004,
49.899, 56.388, 58.024, 72.855, 1.024, 1.287, 1.486, 1.506, 1.777,
74.491, 79.701, 81.337, 81.338, 1.870, 1.988, 2.009, 2.028, 2.227,
82.973, 82.974, 96.168, 97.804, 2.259, 2.260, 2.291, 2.510, ....
97.805, 99.440, 99.441, 104.650, ... 57.981, 58.200, 58.231, 58.232,
104.651, 106.286, 106.287, 107.923, 58.264, 58.463, 58.482, 58.503,
121.117, 121.118, 122.753, 122.754, 58.621, 58.714, 58.985, 59.005,
124.390, 129.600, 131.236, 146.067, 59.204, 59.467, 59.487, 59.625,
147.703, 154.192, 155.828, 177.505, 59.758, 59.851, 59.887, 59.969,
179.141, 179.142, 180.777, 180.778, 60.009, 60.091, 60.127, 60.240,
202.454, 202.455, 204.090. 60.241, 60.260, 60.490.



Cantidad mínima de números no cifrables
Para que la cantidad de números no cifrables sea la mínima posible,
es decir 9, deberemos elegir la clave pública e de forma que:
mcd (e-1, p-1) = 2 y mcd (e-1, q-1) = 2
Entonces: n = [1 + 2][1 + 2] = 9

Esto se logra usando primos seguros:
p = 2r + 1 y q = 2r’ + 1 con r, r’, p y q primos grandes
ya que: mcd (e-1, p-1) = mcd (e-1, (2r +1)-1) mcd = 2 o bien r
mcd (e-1, q-1) = mcd (e-1, (2r’ +1)-1) mcd = 2 o bien r’
Luego: n = {9, 3(r+1), 3(r’+1), (r+1)(r’+1)}
Hay que comprobar en diseño que no se den valores del mcd igual a
r o r’ pues tendríamos un número muy alto de este tipo de mensajes.
Además, observe que si e = p n = 3p y si e = q n = 3q.



Cantidad máxima de números no cifrables
En el peor de los casos, mcd (e-1, p-1) = p-1 y mcd (e-1, q-1) = q-1
Entonces: n = [1 + mcd(e-1, p-1)][1 + mcd(e-1, q-1)]
n = p q = n ... ¡todas las cifras irán en claro!
Si en el ejemplo anterior con p = 13, q = 17, hubiésemos elegido
como clave e = 49, con d = inv (49, 192) = 145, observamos que:
mcd (e-1, p-1) = mcd (48, 12) = 12
mcd (e-1, q-1) = mcd (48, 16) = 16
n = [1 + 12][1 + 16] = 13 17 = 221 = p q = n
Por lo tanto, cualquier número en el cuerpo n = 221 será no cifrable
para la clave pública e = 49. Compruebe que en este caso esto se
cumple si e = (n)/k +1 (k = 2 y 4), es decir e = 97 y 49.
Nunca podrá usarse e = (n)/2 + 1 ya que la clave de descifrado será
igual a 1 y por lo tanto no será cifrable ningún número de n.



NNC por mala elección de la clave e
Sea p = 101, q = 761, n = 76.861. Luego (n) = 100 760 = 76.000
Algunos valores de e válidos como clave pero relacionados con (n):
e = (n)/2 + 1 = 38.001 76.861 NNC (100 %)
e = (n)/4 + 1 = 19.001 76.861 NNC (100 %)
e = (n)/5 + 1 = 15.201 76.861 NNC (100 %)
e = (n)/8 + 1 = 9.501 38.481 NNC (50 % aprox.)
e = (n)/10 + 1 = 7.601 76.861 NNC (100 %)
e = (n)/16 + 1 = 4.751 9.741 NNC (12,5 % aprox.)
e = (n)/19 + 1 = 4.001 4.141 NNC (5 % aprox.)
e = (n)/20 + 1 = 3.801 76.861 NNC (100 %)
e = (n)/50 + 1 = 1.521 15.981 NNC (20 % aprox.)
e = (n)/100 + 1 = 761 15.981 NNC (20 % aprox.)
e = (n)/1.000 + 1 = 77 385 NNC (0,5 % aprox.)



Confidencialidad en intercambio de clave
 A diferencia del número de claves privadas parejas, por lo general
un número relativamente bajo y distribución generalmente en torno
a 2n bits, la cantidad de números no cifrables es mucho mayor y en
ciertos casos puede llegar a ser todo el cuerpo de cifra.
 No obstante en este nuevo escenario debemos ser menos paranoicos:
la utilización actual de este tipo de cifra con clave pública de destino
está en el intercambio de una clave de sesión de corta duración, por
lo que la confidencialidad de dicha clave no está en compromiso en
tanto es computacionalmente imposible un ataque por fuerza bruta a
ella durante el corto tiempo de validez de la misma.
 El único problema es que sería fácilmente detectable pues si la cifra
de Ke mod n se envía en claro, el resultado será un número K de 128
bits en un cuerpo de cifra de 1.024 bits... habrá centenas de ceros .



Firmas digitales no cifrables
¿Hay algún problema con la firma digital no cifrable?
 Si la cantidad de números no cifrables con la clave pública (tema
confidencialidad) es alto, también lo será en igual proporción el de
números no cifrables con la clave privada (tema autenticidad).
 En este caso, significa que el hash de la firma del mensaje dentro del
cuerpo de cifra n iría en claro. Aunque el hash sea de 128 bits (MD5)
ó 160 bits (SHA1) y se cifre con la clave privada del emisor y luego
se reduzca al cuerpo de cifra de 1.024 bits, la cifra irá en claro por lo
que se podría apreciar claramente al tener esa cifra tener sólo una
centena de bits significativos... y muchos ceros a la izquierda.
 Como mucho esto puede dar pistas al criptoanalista en cuanto a que
la clave del emisor podría no ser óptima y, por lo tanto, animarle a
intentar otros tipos de ataques por la cifra de otros números en claro.



Ataque al secreto de N por cifrado cíclico
Un nuevo problema: se puede encontrar el número en claro N
sin necesidad de conocer d, la clave privada del receptor.
Como C = Ne mod n, realizaremos cifrados sucesivos de los
criptogramas Ci resultantes con la misma clave pública hasta
obtener nuevamente el cifrado C original.

Ci = Cei-1 mod n (i = 1, 2, ...) con C0 = C

Si en el cifrado iésimo se encuentra el criptograma C inicial,
entonces es obvio que el cifrado anterior (i-1) será el número
buscado. Esto se debe a que RSA es un grupo mutiplicativo.
Para evitarlo hay que usar primos seguros de forma que los
subgrupos de trabajo sean lo suficientemente altos.



Ejemplo de ataque por cifrado cíclico
Sea p = 13, q = 19, n = 247, (n) = 216, e = 29 (d = 149, no conocido)
El número a cifrar será M = 123 C = 12329 mod 247 = 119

i Ci
i=0 C0 = 119
i=1 C1 = 11929 mod 247 = 6
i=2 C2 = 629 mod 247 = 93
i=3 C3 = 9329 mod 247 = 175
i=4 C4 = 17529 mod 247 = 54
i=5 C5 = 5429 mod 247 = 123 en este paso aún no lo sabemos
i=6 C6 = 12329 mod 247 = 119

El ataque ha prosperado muy rápidamente: como hemos obtenido otra
vez el criptograma C = 119, es obvio que el paso anterior con C = 123
se correspondía con el texto en claro. ¿Y si usamos primos seguros?



Ataque por cifrado cíclico y primos seguros
Sea p = 11 y q = 23, aunque esto no sea recomendable. Luego n = 253,
(n) = 220, y si e = 17, la clave privada es d = 134, no conocida.
Sea el número confidencial N = 123 C = 12317 mod 253 = 128.

i Ci i Ci
i=0 C0 = 128 i = 12 C12 = 16717 mod 253 = 150
i=1 C1 = 12817 mod 253 = 6 i = 13 C13 = 15017 mod 253 = 193
i=2 C2 = 617 mod 253 = 173 i = 14 C14 = 19317 mod 253 = 118
i=3 C3 = 17317 mod 253 = 101 i = 15 C15 = 11817 mod 253 = 200
i=4 C4 = 10117 mod 253 = 95 i = 16 C16 = 20017 mod 253 = 73
i=5 C5 = 9517 mod 253 = 39 i = 17 C17 = 7317 mod 253 = 94
i=6 C6 = 3917 mod 253 = 96 i = 18 C18 = 9417 mod 253 = 41
i=7 C7 = 9617 mod 253 = 2 i = 19 C19 = 4117 mod 253 = 123 
i=8 C8 = 217 mod 253 = 18 i = 20 C20 = 12317 mod 253 = 128
i=9 C9 = 1817 mod 253 = 215 Para n = 253, hemos tenido que recorrer un
i = 10 C10 = 21517 mod 253 = 151 espacio mucho mayor dentro de un cuerpo
i = 11 C11 = 15117 mod 253 = 167 de cifra muy similar al anterior (n = 247).



La paradoja del cumpleaños
 El próximo ataque a la clave privada estará basado en este problema.
Pregunta: ¿Cuál será la confianza (probabilidad > 50%) de que en un
aula con 365 personas -no se tiene en cuenta el día 29/02 de los años
bisiestos- dos de ellas al azar estén de cumpleaños en la misma fecha?
Solución: Se escribe en la pizarra los 365 días del año y las personas
entran al aula de uno en uno, borrando el día de su cumpleaños de la
pizarra. Para alcanzar esa confianza del 50%, basta que entren sólo 23
personas al aula. Este es un valor muy bajo, en principio inimaginable y
de allí el nombre de paradoja, aunque matemáticamente no lo sea.
Explicación: El primero en entrar tendrá una probabilidad de que su
número no esté borrado igual a n/n = 1, el segundo de (n-1)/n, etc. De
esta manera, la probabilidad de no coincidencia será pNC = n!/(n-k)!nk.
Para k = 23 se tiene pNC = 0,493 y así la probabilidad de coincidencia será
igual a pC = (1- pNC) = 0,507, que es mayor que 0,5.



Ataque a la clave por paradoja cumpleaños
Algoritmo propuesto por Merkle y Hellman en 1981:
• El atacante elige dos números aleatorios distintos i, j
dentro del cuerpo de cifra n. Lo interesante es que elige,
además, un mensaje o número N cualquiera.
• Para i = i+1 y para j = j+1 calcula Ni mod n y Nj mod n.
• Cuando encuentra una coincidencia de igual resultado de
cifra para una pareja (i, j), será capaz de encontrar d.
Un ejemplo para resolver en siguientes diapositivas: sea p
= 7; q = 13, n = 91, e = 11, d = 59. El atacante sólo conoce
n = 91 y e = 11. Partirá con el número N = 20 y elegirá los
valores i = 10 y j = 50.



Ejemplo de ataque paradoja cumpleaños
i Ci j Ci
i = 10 C10 = 2010 mod 91 = 43 j = 50 C50 = 2050 mod 91 = 36
i = 11 C11 = 2011 mod 91 = 41 j = 51 C51 = 2051 mod 91 = 83
i = 12 C12 = 2012 mod 91 = 1 j = 52 C52 = 2052 mod 91 = 22
i = 13 C13 = 2013 mod 91 = 20 j = 53 C53 = 2053 mod 91 = 76
i = 14 C14 = 2014 mod 91 = 36 j = 54 C54 = 2054 mod 91 = 64
i = 15 C15 = 2015 mod 91 = 83 j = 55 C55 = 2055 mod 91 = 6
i = 16 C16 = 2016 mod 91 = 22 j = 56 C56 = 2056 mod 91 = 29
i = 17 C17 = 2017 mod 91 = 76 j = 57 C57 = 2057 mod 91 = 34
Hay una colisión en el paso quinto al coincidir el valor C = 36 en contador i
que ya había aparecido en contador j. Observe los valores repetidos.
Con los valores de i, j y el desplazamiento observado en uno de ellos cuando se
detecta la colisión (i = 14), se establece un conjunto de ecuaciones y, si el ataque
prospera, obtenemos la clave privada, una clave privada pareja, o bien un valor
de clave privada particular que sólo sirve para descifrar el número elegido (aquí
el 20) y no un número genérico. En este caso se hablará de un falso positivo.



Resultado del ataque paradoja cumpleaños
La primera coincidencia se encuentra para i = 14; j = 50. Así, el atacante
conociendo la clave pública e = 11, calcula:
w = (14-50) / mcd (11, |14-50|) = -36 / mcd (11, 36) = - 36.
Entonces deberán existir valores s, t de forma que se cumpla lo siguiente:
w s+e t= 1 -36 s + 11 t = 1
Las posibles soluciones a la ecuación son: w s mod e = 1; e t mod w = 1
-36 s = 1 mod 11 s = inv (-36, 11) = inv (8, 11) = 7
11 t = 1 mod 36 t = inv (11, 36) = 23
El valor t = 23 será una clave privada pareja de d = 59. Compruebe que se
verifica w s + e t = 1 y que las claves parejas son 11, 23, 35, 47, 71 y 83.
Nota: como este algoritmo parte con valores aleatorios de los contadores i, j (i
deberá ser el menor posible y j la mitad del cuerpo de cifra) y del número N (en el
ejemplo 20) no siempre prospera el ataque, es decir será no determinista. En ese
caso, es posible que cambiando el valor de N sí se logre el objetivo buscado.



Ataque que entrega alguna clave pareja
 Normalmente el ataque rompe la clave privada o una clave
privada pareja; sin embargo, se darán situaciones especiales.
 Sea p = 11, q = 31, e = 13. Entonces d = 277 y las claves
privadas parejas son: 7, 37, 67, 97, 127, 157, 187, 217, 247,
307, 337.
 Observe la diferencia constante igual a (n)/10 = 30.
 Se realiza el ataque con el software genRSA tomando valores
de N desde 2 hasta 50, partiendo el contador i en 3 y j en n/2.
 Para N = 2 encuentra d’ = 157; para N = 3 encuentra d’ = 97;
para N = 4 encuentra d’ = 127; para N = 5 encuentra d’ = 127;
para N = 6 encuentra d’ = 97; ... etc.
 Para N = 32 encuentra d’ = 13, una solución falsa.
 Para d’ = 13 el programa realiza 2 iteraciones, para d’ = 127
realiza 3, para d’ = 157 realiza 4 y para d’ = 97 realiza 14.



Ataque que entrega la clave privada
 En función de los parámetros de la clave, a veces se encuentra
para muchos valores de N casi siempre la clave privada d.
 Sea p = 191, q = 211, e = 31. Entonces d = 12.871 y hay 9
claves privadas parejas.
 Se realiza el ataque con el software genRSA tomando valores
de N desde 2 hasta 50, partiendo el contador i en 3 y j en n/2.
 Para casi todos los valores de N encuentra la clave privada d.
 Para N = 7, 39, 49 encuentra d’ = 1.951, para N = 14 encuentra
d’ = 13.668 y para N = 23 encuentra d’ = 18.191, todas falsas.
 Sea ahora p = 241, q = 251, e = 11. Entonces d = 49.091 y hay
9 claves privadas parejas.
 Aunque aquí casi siempre encuentra el valor d’ = 19.091 como
clave privada pareja válida, si usamos N = 36 el programa nos
da como solución el valor d’ = 0, obviamente un falso positivo.



¿Podría darse un ataque distribuido?
 El ataque basado en la paradoja del cumpleaños no sería factible
realizarlo en un solo PC por la alta complejidad computacional.
 ... pero bien podría pensarse en un algoritmo distribuido, de forma
que un computador hiciera las veces de servidor y todos los demás
(... tal vez varios cientos de miles) actuaran como clientes.
 El servidor tendría como función distribuir trozos de cifra entre
los clientes en diferentes intervalos de valores i, j como los del
ejemplo anterior y, además, recibir los resultados de los clientes
para detectar colisiones. Esta última función será la más crítica.
 Supuestamente este ataque llevaría un tiempo menor que el de
factorizar el valor de n, para así encontrar la clave privada.
 Si bien no está demostrado la factibilidad real en tiempo de
cómputo de esta opción, el hecho de que un certificado digital, y
por ende la clave privada, tenga una validez de un año podría ser
un motivo de preocupación ... siempre sin caer en paranoias .



La otra historia del algoritmo RSA
 Rivest, Shamir y Adleman son los autores de RSA pero un algoritmo
de cifra asimétrico basado en la dificultad de factorizar números
grandes como función unidireccional fue descubierto mucho antes...
 En el año 1969 el Government Communications Headquarters
(GCHQ) en Gran Bretaña comienza a trabajar en la idea de poder
distribuir claves a través de una cifra no simétrica. En 1973, el
matemático Clifford Cocks llegará a la misma conclusión que los
creadores de RSA.
 Desgraciadamente este trabajo fue considerado como alto secreto por
el gobierno británico por lo que su contenido no se hace público ni se
patenta como invento, algo que sí hacen Diffie y Hellman en 1976
con su intercambio de claves y en 1978 otro tanto los creadores del
algoritmo RSA.



Consideraciones sobre el bloque de cifra
Si queremos cifrar mensajes en vez de números y ese
mensaje fuese mayor que el módulo de trabajo del
sistema n = p q para RSA ...
¿cómo se generarían los bloques del mensaje a cifrar?

El mensaje M puede transformarse en
números y éstos se dividen en bloques
de g-1 dígitos, siendo g el número de
dígitos del módulo de trabajo:
el valor n = n p para RSA.
Ya se ha dicho que la práctica esto no ocurrirá puesto
que el cuerpo de cifra es como mínimo de 1.024 bits y Ejemplo
el “mensaje” a cifrar tendrá sólo una centena de bits.



Ejemplo de elección del bloque con RSA
Se representará el mensaje en su valor ANSI decimal.
n = p q = 89 127 = 11.303 bloques de cuatro dígitos
(n) = 11.088; e = 25; d = inv (25, 11.088) = 10.201
M = Olé = 079 108 233 M = 0791 0823 3
Se recupera el mensaje agrupando en
bloques de 4 dígitos excepto el último

CIFRADO DESCIFRADO
C1 = 79125 mod 11.303 = 7.853 M1 = 7.85310201 mod 11.303 = 0791
C2 = 82325 mod 11.303 = 2.460 M2 = 2.46010201 mod 11.303 = 0823
C3 = 325 mod 11.303 = 6.970 M3 = 6.97010201 mod 11.303 = 3



Prácticas del tema
Software OpenSSL: http://www.slproweb.com/products/Win32OpenSSL.html

1. Una vez instalado Win32OpenSSL para Windows en el disco duro, en la
carpeta C:OpenSSL-Win32bin y desde el símbolo del sistema MSDOS
genere una clave RSA de 1.024 bits mediante el comando: openssl genrsa
1024. Observe que creada la clave, nos indica “e is 65537 (0x10001)”.
2. Cree una nueva clave RSA guardando la clave en un archivo de nombre
rsakey con el comando: openssl genrsa -out rsakey 1024.
3. Recupere ahora esa clave y guárdela en un archivo en formato hexadecimal
de nombre claveRSA1: openssl rsa -in rsakey -text -out claveRSA1. Si no
desea incluir en el archivo la clave privada, agregue la opción -noout.
4. Edite claveRSA1 con Word o WordPad, elimine todos los “:” y elimine
luego los “cuatro espacios en blanco” de forma que los valores de p y de q
en hexadecimal estén cada uno en una sola cadena. Pegue esos valores de p
y de q en el programa genRSA, con e = 10001, genere y observe la clave.
5. Repita los puntos 2, 3 y 4 hasta encontrar una clave de “baja calidad”.


RSA crypt4you

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