Leccion3

3.3 Demostraciones
Veamos algunas definiciones interesantes.
3.3.1 Teorema
Consiste en una proposición P, llamada hipótesis y otra proposición Q que será la conclusión.
3.3.2 Corolario
Es un teorema que se deduce inmediatamente de otro teorema.
3.3.3 Lema
Es un teorema que no tiene especial interés en s´ı mismo pero que es útil para probar algún otro
teorema.
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Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez
3.3.4 Demostración
Es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema.
Nota 3.2 Obsérvese que, de acuerdo con estas definiciones, un teorema es verdadero si, y sólo si la
proposición condicional
P −→ Q
es una tautolog´ıa o también si
P =⇒ Q
o también si
P
∴ Q
Dicho de otra forma un teorema es verdadero si, y sólo si el razonamiento
P −→ Q
es válido.
Ejemplo 3.5 Determinar cuáles de los razonamientos siguientes son válidos. Construir demostraciones
para los razonamientos que lo sean y para los que no lo sean, explicar por qué la conclusión no se sigue
de la hipótesis.
(a)
p ∧ q
p −→ r
∴ r ∧ q
(b)
p ∨ q
p −→ r
∴ r ∨ q
(c)
p −→ q
p −→ r
∴ r −→ q
Solución
(a) En efecto,
(p ∧ q) ∧ (p −→ r) ⇐⇒ (q ∧ p) ∧ (p −→ r) {Conmutatividad de ∧}
⇐⇒ q ∧ [p ∧ (p −→ r)] {Asociatividad de ∧}
=⇒ q ∧ r {Modus ponens}
=⇒ r ∧ q {Conmutatividad de ∧}
El razonamiento es válido.
(b) En efecto,
(p ∨ q) ∧ (p −→ r) =⇒ (¬q −→ p) ∧ (p −→ r) {Implicación}
=⇒ ¬q −→ r {Silogismo hipotético}
=⇒ ¬¬q ∨ r {Implicación}
⇐⇒ q ∨ r {Doble negación}
⇐⇒ r ∨ q {Conmutatividad de ∨}
El razonamiento, por tanto, es válido.
(c) Veamos si el razonamiento es válido, es decir, si [(p −→ q) ∧ (p −→ r)] =⇒ (r −→ q).
Si (p −→ q)∧(p −→ r) es verdad, entonces p −→ q y p −→ r, ambas, han de ser verdad. Analizamos
las distintas opciones según los valores de verdad de p.
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Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas
− Si p es verdad, entonces q y r han de ser verdad, luego r −→ q es verdad.
− Si p es falsa, entonces q y r pueden ser las dos verdad, las dos falsas o una falsa y la otra
verdad. En uno de los casos (r verdadera y q falsa) la conclusión, r −→ q es falsa.
Por lo tanto de la veracidad de la hipótesis no se sigue la veracidad de la conclusión y, consecuente-
mente, el razonamiento no es válido.
Ejemplo 3.6 Formular simbólicamente los siguientes razonamientos y determinar cuáles son válidos.
Tomar:
p : Estudio mucho.
q : Obtengo C como calificación.
r : Me hago rico.
(a)
Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación.
Estudio mucho.
∴ Obtengo C como calificación.
(b)
Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación.
Si no me hago rico, entonces no obtengo C como calificación.
∴ Me hago rico.
(c)
Estudio mucho si y sólo si me hago rico.
Me hago rico.
∴ Estudio mucho.
(d)
Si estudio mucho o me hago rico, entonces obtengo C como calificación.
Obtengo C como calificación.
∴ Si no estudio mucho, entonces me hago rico.
(e)
Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación o me hago rico.
No obtengo C como calificación y no me hago rico.
∴ No estudio mucho.
Solución
(a) La regla de inferencia en notación simbólica es
p −→ q
p
∴ q
conocida con el nombre de Modus ponens, luego el razonamiento es válido.
(b) La regla de inferencia en notación simbólica es
p −→ q
¬r −→ ¬q
∴ r
Observemos lo siguiente:
(p −→ q) ∧ (¬r −→ ¬q) ⇐⇒ (p −→ q) ∧ (q −→ r) {Contrarrec´ıproca}
=⇒ p −→ r {Silogismo Hipotético}
Por tanto, la conclusión es
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Estudio mucho o me hago rico
es decir, el razonamiento no es válido.
(c) La regla de inferencia en notación simbólica es
p ←→ r
r
∴ p
Veamos si [(p ←→ r) ∧ r] =⇒ p. En efecto, si (p ←→ r) ∧ r es verdad, entonces p ←→ r y r han de
ser, ambas, verdad, luego p también será verdad y, consecuentemente, el razonamiento es válido.
(d) La regla de inferencia en notación simbólica es:
(p ∨ r) −→ q
q
∴ ¬p −→ r
Si ¬p −→ r es falsa, entonces ¬p es verdad y r falsa, es decir p y r son, las dos, falsas, luego
(p ∨ r) −→ q es verdad independientemente del valor de verdad que tenga q, de aqu´ı que el
valor de verdad de [(p ∨ r) −→ q] ∧ q dependa del de q, es decir, podrá ser verdadera o falsa y,
consecuentemente, el razonamiento no sea válido.
(e) La regla de inferencia en notación simbólica es:
p −→ (q ∨ r)
¬q ∧ ¬r
∴ ¬p
Observemos lo siguiente:
[p −→ (q ∨ r)] ∧ (¬q ∧ ¬r) ⇐⇒ [p −→ (q ∨ r)] ∧ [¬ (q ∨ r)] {De Morgan}
=⇒ ¬p {Modus Tollens}
Por tanto, el razonamiento es válido.
Ejemplo 3.7 Expresar verbalmente los razonamientos dados y establecer la validez de los mismos.
Tomar:
p : 1Gb es mejor que nada.
q : Compraremos mayor capacidad de memoria.
r : Compraremos un ordenador nuevo.
(a)
p −→ r
p −→ q
∴ p −→ (r ∧ q)
(b)
p −→ (r ∨ q)
r −→ ¬q
∴ p −→ r
(c)
p −→ r
r −→ q
∴ q
(d)
¬r −→ ¬p
r
∴ p
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(e)
p −→ r
r −→ q
p
∴ q
Solución
(a) La forma verbal del razonamiento ser´ıa:
Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.
Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.
∴ Si 1GB es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo y mayor
capacidad de memoria.
Entonces,
(p −→ r) ∧ (p −→ q) ⇐⇒ (¬p ∨ r) ∧ (¬p ∨ q) {Implicación}
⇐⇒ ¬p ∨ (r ∧ q) {Distributividad de ∨ respecto de ∧}
⇐⇒ p −→ (r ∧ q) {Implicación}
Por lo tanto, el razonamiento es válido.
(b) En forma verbal, el razonamiento es
Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo o
mayor capacidad de memoria.
Si compramos un ordenador nuevo, entonces no compraremos mayor capacidad
de memoria.
∴ Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.
Pues bien, si p −→ r es falso, entonces p es verdad y r es falso, luego r −→ ¬q es verdad indepen-
dientemente del valor de verdad de q y el valor de verdad de [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) dependerá
del de p −→ (r ∨ q) que, a su vez, depende del que tenga q.
− Si q es verdad, entonces p −→ (r ∨ q) es verdad y, por lo tanto, [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) es
verdad.
− Si q es falso, entonces p −→ (r ∨ q) es verdad y, por lo tanto, [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) es
falso.
Consecuentemente, el razonamiento no es válido.
(c) El razonamiento ser´ıa,
Si compramos un ordenador nuevo, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.
∴ Compraremos mayor capacidad de memoria.
Estudiemos la validez del razonamiento. Por el silogismo hipótetico,
[(p −→ r) ∧ (r −→ q)] =⇒ (p −→ q)
pero p −→ q no implica lógicamente q. En efecto, si p −→ q es verdad, entonces pueden ocurrir
dos cosas:
si p es verdad, q ha de ser también verdad.
si p es falso, q puede ser verdad o falso.
Consecuentemente, el razonamiento no es válido.
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(d) La forma verbal del razonamiento ser´ıa:
Si no compramos un ordenador nuevo, entonces 1GB no es mejor que nada.
Compraremos un ordenador nuevo.
∴ 1Gb es mejor que nada.
Estudiemos su validez.
Si [(¬r −→ ¬p) ∧ r] es verdad, entonces ¬r −→ ¬p y r han de ser, ambas, verdad, de aqu´ı que ¬r
sea falsa y ¬p y, por lo tanto, p pueda ser verdad o falsa.
As´ı pues, de la veracidad de [(¬r −→ ¬p) ∧ r] no se sigue la veracidad de p, luego la primera
proposición no implica lógicamente la segunda y, consecuentemente, el razonamiento no es válido.
(e) El razonamiento en forma verbal es,
Si compramos un ordenador nuevo, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.
1Gb es mejor que nada.
∴ Compraremos mayor capacidad de memoria.
Veamos el razonamiento:
(p −→ r) ∧ (r −→ q) ∧ q =⇒ (p −→ q) ∧ p {Silogismo Hipotético}
=⇒ q {Modus Ponens}
por lo tanto es válido.
3.4 Razonamientos y Cuantificadores
La mayor´ıa de los razonamientos que hemos visto hasta ahora trataban con proposiciones y no con
predicados además poco, o nada, ten´ıan ver con cuestiones de tipo matemático.
En casi todos los teoremas matemáticos aparecen de forma natural los predicados y los cuantificadores,
as´ı pues si queremos utilizar el procedimiento lógico aprendido en los razonamientos para demostrar
este tipo de teoremas, habrá que utilizar proposiciones cuantificadas en los razonamientos. En este
apartado introducimos predicados y cuantificadores en los razonamientos y vemos como todo lo que
hemos aprendido hasta ahora puede utilizarse sin más que añadir un par de reglas.
3.4.1 Definiciones Matemáticas
En las definiciones, y únicamente en las definiciones, un condicional puede leerse e interpretarse
correctamente como un bicondicional.
Cuando se definen conceptos matemáticos, normalmente se utiliza el condicional. Consideremos, por
ejemplo, el universo de todos los triángulos del plano. En un libro podemos leer la siguiente definción:
“Si un triángulo tiene sus tres lados iguales, entonces es equilátero”
y en otro texto, leemos
“Si un triángulo es equilátero, entonces tiene sus tres lados iguales”
En ambos casos se están utilizando proposiciones cuantificadas con el cuantificador universal. En efecto,
sean
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p(x) : x tiene tres lados iguales.
q(x) : x es un triángulo equilátero.
Entonces en notación simbólica el primer libro dice
∀x [p(x) −→ q(x)]
y el segundo
∀x [q(x) −→ p(x)]
Pues bien, observemos que una de ellas es la rec´ıproca de la otra y si tenemos en cuenta que una
proposición y su rec´ıproca no son, en general, lógicamente equivalentes ¿cuál de las dos definiciones es
la correcta?
La respuesta es que ambas lo son, en el sentido de que los dos libros utilizan el condicional como un
bicondicional, o sea,
∀x [p(x) ←→ q(x)]
es decir, los dos están diciendo que
“Un triángulo es equilátero si, y sólo si tiene sus tres lados iguales”
Concluyendo: En las definiciones, y únicamente en las definiciones, un condicional puede leerse e inter-
pretarse correctamente como un bicondicional.
Ejemplo 3.8 En el universo de los números enteros, podemos definir el concepto de divisibilidad de
la forma siguiente:
“Para cada par de enteros x e y, decimos que x es divisible por y si x es múltiplo de y”
Pues bien, si
p(x, y) : x es múltiplo de y
q(x, y) : x es divisible por y
entonces la definición anterior en forma simbólica ser´ıa,
∀x, ∀y [p(x, y) −→ q(x, y)]
Pero la intención es que se interprete la definición dada como
∀x, ∀y [p(x, y) ←→ q(x, y)]
es decir,
“Para cada par de enteros x e y, diremos que x es divisible por y si, y sólo si x es múltiplo de y”
Pero, ¿qué significa “ser múltiplo de”? Recordemos que
“x es múltiplo de y, si puede encontrarse otro número entero k tal que x = ky”
que, al igual que antes, hay que interpretar como
“x es múltiplo de y si, y sólo si puede encontrarse otro número entero k tal que x = ky”
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Si llamamos r(x, y) : x = ky, en notación simbólica ser´ıa
∀x, ∀y [q(x, y) ←→ ∃k : r(x, y)]
y relacionando está definición con la anterior, tendr´ıamos que
∀x, ∀y [p(x, y) ←→ ∃k : r(x, y)]
es decir que otra forma de definir la divisibilidad ser´ıa:
“Para cada par de números enteros x e y, diremos que x es divisible por y si, y sólo si existe
un entero k tal que x = ky”
Ejemplo 3.9 Utilizaremos la definición anterior para adaptar la de número entero par.
Recordemos que un número entero es par si es divisible por 2. Consideremos, pues, el universo de los
números enteros y definamos
“Para cada entero x, x es par si, y sólo si x es divisible por 2”
Si ahora tenemos en cuenta el significado de “divisible por” dado en el ejemplo anterior, tendremos que
“Para cada entero x, x es par si, y sólo si puede encontrarse un entero k tal que x = 2k”
Por ejemplo supongamos que el universo del discurso está formado por los números 16, 26 y 36 y que nos
piden probar que todos son pares. Podr´ıamos hacer lo siguiente:
− si x = 16 y 16 = 2k, entonces k = 8 que es entero, luego x = 2 · 8, es decir, x es par.
Obsérvese que hemos demostrado la proposición probando el resultado para todos y cada uno de los
elementos del universo del discurso.
Ahora bien, si el universo tuviera, por ejemplo, cincuenta números, entonces este procedimiento ser´ıa
largo y tedioso y, aún más, si el universo fueran todos los enteros pares, este procedimiento no ser´ıa
factible.
Remediaremos esta situación con las dos reglas siguientes.
Nota 3.3 Al igual que definimos los números enteros pares, podemos definir los impares en la forma
siguiente:
“Para cada entero x, x es impar si, y sólo si puede encontrarse un entero k tal que x = 2k + 1”
71

3.4.2 Regla de Particularización
Si un predicado se transforma en una proposición verdadera para todos los elementos de un universo
del discurso, entonces es una proposición verdadera, en particular, para cada elemento del universo.
Obsérvese que lo que decimos es que si ∀x, p(x) es verdad, entonces p(a) es verdad para cada a en el
universo del discurso.
Ejemplo 3.10 Estudiar, en el universo de todos los alumnos de la Universidad de Cádiz, la validez del
siguiente razonamiento.
Todos los alumnos de Informática estudian Matemática Discreta.
Florinda es alumna de Informática.
Por lo tanto, Florinda estudia Matemática Discreta.
Solución
Sean
p(x) : x es alumno de Informática.
q(x) : x estudia Matemática Discreta.
y llamemos f a Florinda.
El razonamiento en forma simbólica ser´ıa:
∀x [p(x) −→ q(x)]
p(f)
∴ q(f)
Pues bien,
∀x [p(x) −→ q(x)] ∧ p(f) =⇒ [p(f) −→ q(f)] ∧ p(f) {Regla de Particularización}
=⇒ q(f) {Modus Ponens}
luego, en efecto, el razonamiento es válido.
Ejemplo 3.11 Consideremos el universo de los números enteros, elijamos un número a que no sea
múltiplo de 2 y estudiemos la validez del siguiente razonamiento.
El número a no es múltiplo de 2.
Si un número es par, entonces es divisible por 2.
Si un número es divisible por 2, entonces es múltiplo de 2.
Por lo tanto, el número a no es par.
Solución
Sean
p(x) : x es par.
q(x) : x es divisible por 2.
r(x) : x es múltiplo de 2.
El razonamiento escrito en forma simbólica ser´ıa:
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¬r(a)
∀x [p(x) −→ q(x)]
∀x [q(x) −→ r(x)]
∴ ¬p(a)
Pues bien,
(¬r(a)) ∧ [∀x [p(x) −→ q(x)]] ∧ [∀x [q(x) −→ r(x)]] =⇒ (¬r(a)) ∧ [p(a) −→ q(a)] ∧ [q(a) −→ r(a)]
=⇒ (¬r(a)) ∧ [p(a) −→ r(a)]
=⇒ ¬p(a)
es decir, el razonamiento es válido.
Obsérvese que en la primera implicación hemos utilizado la regla de particularización, obteniendo de
este modo una proposición no cuantificada a la que luego hemos aplicado de forma sucesiva la regla del
silogismo hipótetico y del modus tollens.
Nota 3.4 Como hemos visto en los ejemplos anteriores, la regla de particularización nos ha permitido
deducir conclusiones particulares partiendo de premisas o hipótesis generales. Sin embargo, en la inmensa
mayor´ıa de los teoremas matemáticos hay que llegar a conclusiones generales. Por ejemplo, tendremos
que probar que p(x) es verdad para todos los valores de un cierto universo del discurso, es decir probar
que ∀x, p(x) es verdad, para lo cual habrá que establecer la veracidad de la proposición p(a) para cada
elemento a del universo y como ya hemos comentado anteriormente, en la mayor parte de los universos
esto no es factible. Lo que haremos para solventar esta cuestión es probar que p(a) es verdad pero no
para el caso en que a sea un elemento particular sino para el caso en que a denote un elemento arbitrario
o genérico del universo.
3.4.3 Regla de Generalización
Si un predicado es una proposición verdadera para cualquier elemento elegido de forma arbitraria en
nuestro universo del discurso, entonces es verdadera para todos los elementos del universo.
Obsérvese que aqu´ı decimos que si p(a) es verdadera, siendo a un elemento arbitrario del universo,
entonces ∀x, p(x) es verdad.
Obsérvese también que un elemento arbitrario o genérico del universo ha de ser uno que tenga todas las
caracter´ısticas comunes de los elementos del universo de esta forma lo que probemos o hagamos para a
será aplicable a todos los elementos.
Ejemplo 3.12 Dados los predicados p(x), q(x) y r(x) donde la variable x pertenece a un universo
cualquiera, estudiar la validez del siguiente razonamiento.
∀x [p(x) −→ q(x)]
∀x [q(x) −→ r(x)]
∴ ∀x [p(x) −→ r(x)]
En efecto,
[∀x [p(x) −→ q(x)] ∧ ∀x [q(x) −→ r(x)]] =⇒ [(p(a) −→ q(a)) ∧ (q(a) −→ r(a))]
=⇒ [p(a) −→ r(a)]
=⇒ ∀x [p(x) −→ q(x)]
En la primera implicación hemos utilizado la regla de particularización pero para un elemento a genérico es
decir elegido arbitrariamente, después hemos aplicado la regla del silogismo hipotético para proposiciones
y finalmente hemos aplicado la regla de generalización.
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En la práctica el razonamiento se har´ıa de la forma siguiente:
Si
[∀x (p(x) −→ q(x)) ∧ ∀x [p(x) −→ q(x))]
es verdad, entonces ambas serán verdaderas para todos los valores de x en el universo del discurso.
Pues bien, sea a un elemento elegido arbitrariamente en el universo. Según lo que acabamos de decir,
[p(a) −→ q(a)] y [q(a) −→ r(a)]
serán, ambas, verdad. (En realidad hemos aplicado la regla de particularización para un elemento genérico
a).
Entonces, por la regla del silogismo hipotético,
p(a) −→ r(a)
será verdad y como a es un elemento arbitrario del universo, será verdad para todos los elementos del
mismo, es decir,
∀x [p(x) −→ r(x)]
es verdad. (Aqu´ı hemos aplicado la regla de generalización).
3.5 Métodos de Demostración
Estudiamos en esta sección, la estructura de las demostraciones as´ı como las estrategias para su con-
strucción. Aunque no sea posible considerarlas todas, describiremos algunas de las técnicas de demostración
más comunes, daremos ejemplos de su uso y las relacionaremos con las reglas de inferencia anteriormente
descritas.
Hemos visto con anterioridad que una demostración era un razonamiento que establece la veracidad de
un teorema, es decir demostrar un teorema equivale a probar que la proposición condicional P −→ Q es
una tautolog´ıa o lo que es igual probar que P =⇒ Q.
Veremos algunas de las técnicas utilizadas para probar implicaciones. Debido a que dichas técnicas son
bastante comunes nos referiremos a ellas por sus nombres.
3.5.1 Demostración Vac´ıa
Una demostración de este tipo se construye estableciendo que el valor verdadero de la hipótesis P es
falso.
En efecto, si podemos establecer la falsedad de P, entonces el condicional P −→ Q siempre es ver-
dad independientemente del valor de verdad de la conclusión Q, luego P −→ Q es una tautolog´ıa y,
consecuentemente, P =⇒ Q
Aunque parece que tiene poco valor, este método de demostración es importante para establecer limita-
ciones o estudiar casos especiales.
3.5.2 Demostración Trivial
Se construye una demostración de este tipo, probando que el valor verdadero de la conclusión es
verdad.
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Si es posible establecer la veracidad de la conclusión Q, entonces el condicional P −→ Q será una
tautolog´ıa independientemente del valor de verdad que tenga la hipótesis, luego P =⇒ Q, la demostración
es correcta y el teorema cierto.
Al igual que la demostración vac´ıa, la demostración trivial tiene una aplicación limitada y aún as´ı es
bastante importante. Se utiliza frecuentemente para establecer casos especiales de afirmaciones.
3.5.3 Demostración Directa
Una demostración de este tipo muestra que la verdad de la conclusión Q, se sigue lógicamente de
la verdad de la hipótesis P. La demostración empieza asumiendo que P es verdad para después,
utilizando cualquier información disponible, as´ı como teoremas probados con anterioridad, probar que
Q es verdad.
Ejemplo 3.13 Demostrar que el cuadrado de un número entero par también es par.
Demostración
El teorema a demostrar escrito en forma de condicional, ser´ıa
“Para cualquier entero n, si n es par, entonces n2
es par”
que se corresponde con el esquema
∀n p(n) −→ p(n2
)
donde
p(n) : n es par.
y el universo del discurso son todos los números enteros.
Pues bien, sea n un número entero cualquiera.
Si n es par, entonces por la definición que vimos en el ejemplo 3.3.9, existirá un número entero k
tal que
n = 2k
de aqu´ı que elevando al cuadrado, obtengamos
n2
= 4k2
= 2(2k2
)
y como el cuadrado de un número entero también es entero, 2k2
será entero (lo llamaremos m).
As´ı pues, hemos encontrado un entero m tal que
n2
= 2m.
Por lo tanto, y utilizando de nuevo la definición 3.3.9, concluimos que
n2
es par.
Aunque este ejemplo es bastante sencillo, el desarrollo lógico de la demostración es idéntico al de otros
teoremas de contenidos más complicados. Observemos, una vez más, el camino seguido a través de
implicaciones.
75

Sea n cualquier número entero. Entonces,
n es par =⇒ ∃k : n = 2k {Ejemplo 3.3.9}
=⇒ n2
= 4k2
{Elevando al cuadrado}
=⇒ ∃m : n2
= 2m Tomando m = 2k2
=⇒ n2
es par {Ejemplo 3.3.9}
3.5.4 Demostración por la Contrarrec´ıproca
La demostración de un teorema se dice que es por la contrarrec´ıproca cuando suponiendo que la con-
clusión, Q, es falsa y utilizando la hipótesis P y otros teoremas y equivalencias lógicas establecidas
previamente, se concluye que P es falso.
Está basada en la equivalencia lógica entre una proposición condicional y su contrarrec´ıproca,
P −→ Q ⇐⇒ ¬Q −→ ¬P
Por lo tanto, si probamos que ¬Q −→ ¬P es una tautolog´ıa, habremos probado que P −→ Q también
lo es, luego P =⇒ Q.
Ejemplo 3.14 Demostrar, para cada entero n, que si 5n + 3 es par, entonces n es impar.
Demostración
Utilizaremos el método de demostración por la contrarrec´ıproca.
Si
p(n) : n es par
q(n) : n es impar
el esquema del teorema propuesto será
∀n [p(5n + 3) −→ q(n)]
en el universo de los números enteros. El esquema de la contrarrec´ıproca ser´ıa
∀n [¬q(n) −→ ¬p(5n + 3)]
es decir,
“Para cada entero n, si n no es impar, entonces 5n + 3 no es par”
Pues bien, sea n cualquier número entero.
Si n no es impar, entonces por la nota 3.3,
n = 2k + 1
para cualquier entero k y, por lo tanto,
5n + 3 = 5(2k + 1) + 3, ∀k ∈ Z
de aqu´ı que
5n + 3 = 2(5k + 4), ∀k ∈ Z
76

y como si k es entero, 5k + 4 también lo es (lo llamaremos m), tendremos que
5n + 3 = 2m, ∀m ∈ Z
Consecuentemente, y de acuerdo con la definición dada en el ejemplo 3.3.9, 5n + 3 no es par y la
demostración concluye.
Veamos la demostración a través de implicaciones. Sea n un número entero cualquiera. Entonces,
n no es impar =⇒ n = 2k + 1, ∀k ∈ Z {Nota 3.3}
=⇒



5n + 3 = 5(2k + 1) + 3
= 10k + 8
= 2(5k + 4)
{Haciendo operaciones}
=⇒ 5n + 3 = 2m, ∀m ∈ Z {Tomando m = 5k + 4}
=⇒ 5n + 3 no es par {Ejemplo 3.3.9}
3.5.5 Demostración por Contradicción
La demostración de un teorema diremos que es por contradicción cuando suponiendo que la conclusión,
Q, es falsa y utilizando la hipótesis P, y otros teoremas y equivalencias lógicas establecidas previamente,
se llega a una contradicción.
Está basada en la equivalencia lógica conocida como reducción al absurdo, es por ello que este método
de demostración es conocido, también, como demostración por reducción al absurdo.
P −→ Q ⇐⇒ (P ∧ ¬Q) −→ C
donde C es una contradicción. Por lo tanto, si probamos que (P ∧ ¬Q) −→ C es una tautolog´ıa tendremos
que P −→ Q también lo es y, consecuentemente, P =⇒ Q.
Ejemplo 3.15 Demostrar que si el cuadrado de un número entero es impar, entonces el número es
impar.
Demostración
El teorema a demostrar es
“Para cada entero n, si n2
es impar, entonces n es impar”
Si
p(n) : n es impar
entonces el esquema del teorema en notación simbólica será
∀n p(n2
) −→ p(n)
en el universo de los números enteros.
Lo demostraremos por contradicción o reducción al absurdo. El esquema ser´ıa
∀n p(n2
) ∧ ¬p(n) −→ C
donde C es una contradicción.
Pues bien, sea n cualquier número entero.
77

Supongamos que n2
es impar y que, sin embargo, n no es impar. Entonces, tendremos que
n2
es impar y n es par
de aqu´ı que por la definición de número impar (Nota 3.3) y la de par dada en el ejemplo 3.3.9,
tengamos que existan dos números enteros k y l tales que
n2
= 2k + 1 y n = 2l
luego,
n2
= 2k + 1 y n2
= 4l2
por lo tanto,
2k + 1 = 4l2
de donde se sigue que
1 = 4l2
− 2k = 2(2l2
− k)
y como si l y k son enteros, 2l2
− k también lo es (lo llamaremos m), tendremos que hemos
encontrado un número entero m tal que
1 = 2m
es decir, el 1 es par, lo cual, obviamente, es una contradicción.
Lo que nos ha llevado a la contradicción es la suposición de que n no era impar, por lo tanto ésta es falsa
siendo cierta la contraria, es decir, n es impar.
Veamos la demostración a través de implicaciones.
n2
impar y n no es impar =⇒ n2
impar y n es par
=⇒ ∃k : n2
= 2k + 1 y ∃l : n = 2l {Definición de impar y par}
=⇒ ∃k : n2
= 2k + 1 y ∃l : n2
= 4l2
{Elevando l al cuadrado}
=⇒ ∃k y ∃l : 2k + 1 = 4l2
{Igualando}
=⇒ ∃k y ∃l : 1 = 2(2l2
− k) {Haciendo operaciones}
=⇒ ∃m : 1 = 2m Tomando m = 2l2
− k
=⇒ 1 es par {Definición de número par}
=⇒ Contradicción
3.5.6 Búsqueda de Contraejemplos
Este tipo de demostración, ´ıntimamente relacionada con el cuantif icador universal, aparece cuando
se quiere probar que una proposición del tipo ∀x, p(x) es falsa. Normalmente diremos que se refuta la
proposición ∀x, p(x).
En efecto, ∀x, p(x) será falsa cuando exista, al menos, un elemento a en el universo del discurso para el
cual p(a) sea una proposición falsa. Hemos encontrado, pues, un ejemplo que contradice el que ∀x, p(x)
sea verdad por lo cual le llamaremos contraejemplo.
En el caso de un teorema el planteamiento ser´ıa como sigue: ∀x [p(x) −→ q(x)] es falso si existe un
elemento a en el universo para el cual la proposición condicional p(a) −→ q(a) sea falsa, es decir tal que
p(a) sea verdad y, sin embargo, q(a) sea falsa.
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Ejemplo 3.16 En el universo de los números enteros positivos, demostrar o refutar la siguiente
proposición: “la suma de dos cuadrados perfectos es también un cuadrado perfecto.”
Solución
Recordemos que un entero positivo x es un cuadrado perfecto si puede encontrarse otro entero positivo
y tal que x = y2
.
La proposición a demostrar escrita en forma de condicional ser´ıa:
“Si m y n son enteros positivos y cuadrados perfectos, entonces m + n es un cuadrado perfecto.”
Pues bien, si
p(m, n) : m + n es un cuadrado perfecto,
entonces la proposición escrita en forma simbólica es
∀m, ∀n [(p(m, 0) ∧ p(n, 0)) −→ p(m, n)]
y un contraejemplo,
∃a, ∃b : [p(a, 0) ∧ p(b, 0) ∧ ¬p(a, b)]
es decir,
“pueden encontrarse dos enteros positivos a y b tales que sean cuadrados perfectos y que, sin
embargo, su suma no lo sea.”
Pues bien, elijamos dos cuadrados perfectos arbitrariamente, por ejemplo el 25 y el 36 . Entonces,
25 + 36 = 61 = y2
, ∀y
por lo tanto, y de acuerdo con la definición de cuadrado perfecto dada, 61 no es un cuadrado perfecto.
As´ı pues, ya tenemos el contraejemplo
“25 y 36 son, ambos, cuadrados perfectos y, sin embargo, su suma, 25 + 36, no lo es.”
Consecuentemente, la proposición propuesta es falsa.
Nota 3.5 Según hemos visto podemos demostrar un teorema de forma directa o indirecta (contrar-
rec´ıproca y contradicción). Si podemos demostrarlo de forma directa, resultará, en general, menos
engorroso que utilizar métodos indirectos. Podemos empezar intentando un método directo y si no re-
sulta, buscar un contraejemplo que refute el teorema. Si la búsqueda del contraejemplo también falla,
entonces intentar´ıamos la demostración a través de métodos indirectos.
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