Ley de triangulo
- 1. Geometr´ıa Anal´ıtica I Lectura 7 Ayudante: Guilmer Gonz´alez D´ıa 30 de septiembre, 2008 El d´ıa de hoy veremos: 0. Sobre el tema de vectores. Comentarios. 1. La ley del tri´angulo. 2. Algunos ejercicios. 1 La ley del tri´angulo Por tres puntos en el plano, podemos contruir un tri´angulo. Por tres puntos en el plano podemos contruir dos vectores. Tomemos los puntos A, B y C construyamos los vectores u y v que parten de A hacia B y C respectivamente, tracemos el paralelogramo para formar el vector w suma de los dos anteriores w = u + v. Qui´en es el vector z = u − v? Figura 1: Suma y diferencia de vectores. Preguntar a alguien en el sal´on y hacerlo Ahora observe el tri´angulo ABC formado por esos puntos, y los vectores AB, BC y CA, observe que se cumple: 1
- 2. AB + BC + CA = 0 es decir, el tri´angulo se cierra. Esta propiedad ser´a elementa para muchos ejercicios que usaremos. Por ejemplo, si tres vectores ocurre que su suma es cero, entonces forman un tri´angulo. Esta es lo que se conoce como la ley del tri´angulo. 2 Algunos ejercicios Ejercicio 1: Demuestre que con las medianas de cualquier tri´angulo se puede construir otro. Figura 2: Un tri´angulo y sus medianas. Consideremos el vector a que parte de A hacia el punto medio de su lado opuesto D, el vector b que parte de B hacia E y el vector c que parte de C a F. Se forman tres vectores, si con ellos debemos formar un tri´angulo, atendiendo a la ley del tri´angulo, debemos mostrar que su suma es cero. Debido a la notaci´on que hemos usado, tenemos que u + v + w Observe que a = u + 1 2 v 2
- 3. y de manera an´aloga, tenemos que b = v + 1 2 w c = w + 1 2 u haciendo la suma, a + b + c = u + v + w + 1 2 (u + v + w) = 0 pues u, v, w, son vectores del tri´angulo ABC. Luego, las medianas forman un tri´angulo. Ejercico 2: Consideremos un oct´agono Encuentre el vector PQ + QR + RS + ST + TU + UV + V W + WP Lo anterior se conoce como regla del ciclo, ya que en general, podemos con- siderar una colecci´on de puntos en el plano que formen o bien un pol´ıgono convexo o cruzado y poder en ambos casos observar esta propiedad (si la region poligonal no se cierra, la suma es el vector que une el ´ultimo punto con el primero). 3
- 4. Encuentre de manera gr´afica (por dibujo) y anal´ıtica el vector H = PQ + PR + PS + PT + PU + PV + PW Ejercicio 3: Considere un hex´agono como en la figura hallar la suma de los vectores OA + OB + OC + OD + OE + OF. Observe que se le ha asignado una direcci´on a los vectores en la figura. Si esto no es as´ı, el resultado puede ser otro. Como resultado previo, en un hex´agono regular, las diagonales cruzan en O y parten a la diagonal en dos, por lo que se observa que OA = −OD, por nombrar una diagonal. Dicutir este punto que ser´a esencial. De manera an´aloga, observaremos que OC = −OF y OB = −OE. Con esto, se observa que OA+OD = 0, OC +OF = 0, OB +OE = 0, y entonces se observa el resultado. Observe que en el hex´agono regular se cumple AD + EB + CF = 0 Ejercicio 4: Considere un cuadril´atero ABCD en el espacio o en el plano, sea M el punto medio del segmento ¯AB, N el punto medio del segmento ¯N. Sea O el punto medio del segmento ¯MN. Demuestre que: 4
- 5. a) OA + OB + OC + OD = 0 b) MN + MN = BC + AD Hacer este ejercicio en la pizarra Ejercicio 5: Muestre que en cualquier cuadril´atero, si se unen los puntos medios de los segmentos adyacentes, se forma un paralelogramo. Figura 3: Un paralelogramo a partir de cualquier cuadril´atero. Lo interesante de ´este ejercicio, es que no importa si el cuadril´atero es no convexo, por igual se forma un paralelogramo. 5