![Ejemplo: Verificar que las ER (ab + a) ∗a y a(ba + a)∗ son
equivalentes, usando las equivalencias presentadas arriba.
Solución:
(ab + a)∗a = (a + ab)∗a -por (1);= (a∗ab)∗a∗a -por (6);=
([a∗a]b)∗[a∗a] -agrupamos terminos;](https://image.slidesharecdn.com/lfta-130316103410-phpapp01/85/Expresiones-Regulares-y-Gramaticas-22-320.jpg)
Expresiones Regulares y Gramáticas
- 1. Lenguajes Formales y Teoría de Rina Familia Autómatas Johanna Dotel 12-0617 Paola Novas 12-0534
- 2. Expresiones Regulares y Gramáticas Regulares.
- 3. Lenguajes Regulares Los lenguajes regulares se llaman así porque sus palabras contienen “regularidades” o repeticiones de los mismos componentes, Como por ejemplo en el lenguaje siguiente: L1 = {ab, abab, ababab, abababab, . . .} son simplemente repeticiones de “ab” cualquier numero de veces.
- 4. Otros ejemplos… L2 = {abc, cc, abab, abccc, ababc, . . .} sus palabras comienzan con repeticiones de “ab”, seguidas de repeticiones de “c”. definir lenguajes basados en la idea de repetir esquemas simples. Esta es la idea básica para formar los lenguajes Regulares.
- 5. los lenguajes finitos son también regulares por definición. L3 = {anita, lava, la, tina} es regular. al combinar lenguajes regulares uniéndolos o concatenándolos, también se obtiene un lenguaje regular. L1 ∪ L3 = {anita, lava, la, tina, ab, abab, ababab, abababab, . . .} es regular. También es regular una concatenacion como : L3L3 = {anitaanita,anitalava, anitala, anitatina, lavaanita, lavalava, lavala, lavatina, . . .}1
- 6. o Podemos identificar que un lenguaje es regular si cumple con las siguientes condiciones L es finito; L es la unión o la concatenación de otros lenguajes regulares R1 y R2, L = R1 ∪ R2 o L = R1R2 respectivamente. L es la cerradura de Kleene de algún lenguaje regular, L = R∗ lenguaje que contiene todas las cadenas que son posibles de formar sobre
- 7. Expresiones Regulares Sea Σ un alfabeto. El conjunto ER de las expresiones regulares sobre Σ contiene las cadenas en el alfabeto Σ∪ {“∧”, “+”, “•”, “∗”, “(”, “)”, “Φ”} que cumplen con lo siguiente: “∧” y “Φ” ∈ ER Si σ ∈ Σ, entonces σ ∈ ER. Si E1, E2 ∈ ER, entonces “(”E1“+”E2“)” ∈ ER, “(”E1“•”E2“)” ∈ ER, “(”E1“)∗” ∈ ER. Las comillas “ ” enfatizan el hecho de que estamos definiendo cadenas de texto, no expresiones matemáticas.
- 8. ER Las ER son simplemente formulas cuyo propósito es representar cada una de ellas un lenguaje. Así, el significado de una ER es simplemente el lenguaje que ella representa. Por ejemplo, la ER “Φ” representa el conjunto vacío {}. Ejemplos.- Son ER en {a, b, c} las siguientes: “a”, “((a+b))∗”, “((a•b)•c)”. No son ER: “ab”, “((a • b(c)∗)”.
- 9. Una palabra “empata” con una expresión regular si es parte del lenguaje que esta representa. La palabra vacía ε “empata” con la ER ∧ Una palabra de una letra como “a” empata con una ER consistente en la misma letra “a”, “b” empata “b”, etc.
- 10. Metodología de diseño de las ER Al tratar de encontrar una ER para un lenguaje dado, mientras mas complejo sea el lenguaje es obvio que resulta mas difícil encontrar por pura intuición dicha ER. En estos casos puede ser conveniente trabajar en forma metódica.
- 11. Ejemplo.- Obtener una ER para el lenguaje en el alfabeto {a, b, c} en que las palabras contienen exactamente una vez dos b contiguas. Por ejemplo, las palabras aabb, babba, pertenecen al lenguaje, pero no aaba, abbba ni bbabb. Para resolver este problema, expresamos primero la estructura de la ER de la manera siguiente: < contexto1 > bb < contexto2 > Podemos ver que en esta expresión aparecen directamente las bb que deben estar en la ER, rodeadas por otras dos ER, que son < contexto1 > y < contexto2 >.
- 12. El lenguaje de < contexto1 > comprende a las palabras que no tienen bb y además no terminan en b. Esto es equivalente a decir que toda b esta seguida de una a o una c. Esto quiere decir que la ER de este contexto va ser de la forma: (. . . b(a + c). . .)∗ donde los detalles que faltan están representados por las “. . .”. Lo que falta por considerar es que puede haber cualquier cantidad de a’s o c’s en el < contexto1 >, por lo que dicho contexto queda como: (b(a + c) + a + c)∗
- 13. Similarmente se puede obtener la expresión para < contexto2 >, que es (a + c + (a + c)b)∗, por lo que finalmente la ER del problema es: (b(a + c) + a + c)∗bb(a + c + (a + c)b)∗
- 14. Un importante elemento de metodología -que se aplico en este ejemplo- consiste en transformar los enunciados de lenguajes de manera que sean más fácilmente representables por ER.
- 15. También puede ser ´útil modificar la forma lógica en que se enuncian los lenguajes. Por ejemplo, el enunciado “palabras que si empiezan en 00, terminan en 11”, puede modificarse de la manera siguiente: “palabras que ya sea no empiezan en 00 o bien terminan en 11”, utilizando la conocida equivalencia de lógica P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q. Ejemplo.- Obtener una ER que represente el lenguaje en {a, b} tal que si una palabra contiene la subcadena aa, entonces no debe contener bb.
- 16. Solución: Transformando lógicamente el enunciado, representamos la condición “contiene la subcadena aa” por el símbolo Caa, y la condición “no contiene bb” por ¬Cbb. Entonces la condición del problema es: Caa ⇒ ¬Cbb
- 17. Equivalencias de Expresiones Regulares Las expresiones regulares no representan en forma única a un lenguaje -esto es, la función L : ER →2 Σ∗ descrita arriba no es inyectiva. Esto quiere decir que puede haber varias ER para un mismo lenguaje, lo cual desde luego no es conveniente, pues al ver dos ER distintas no podemos aun estar seguros de que representan dos lenguajes distintos. Por ejemplo, las ER (a + b)∗ y (a∗b∗)∗ representan el mismo lenguaje.
- 18. Sin embargo, en algunos casos resulta util aplicar ecuaciones de equivalencia entre las ER, que son expresiones de la forma ER1 = ER2, cuyo significado es que el lenguaje de ER1 es el mismo que el de ER2 (contienen las mismas palabras).
- 19. Por ejemplo, la equivalencia R + S = S + R quiere decir que la suma de expresiones regulares es conmutativa, por lo que si tenemos dos ER especificas, como a ∗ y b ∗ab, entonces la ER a ∗+b∗ab será equivalente a la ER b∗ab+a∗, y ambas representaran las mismas palabras.
- 20. A continuación damos una lista de las principales equivalencias de ER, clasificadas en 9 grupos: 1. R + S = S + R, (R + S) + T = R + (S + T), R + Φ = Φ + R = R, R + R = R 2. R • ∧ = ∧ • R = R, R • Φ = Φ • R = Φ, (R • S) • T = R • (S • T) 3. R • (S + T) = R • S + R • T, (S + T) • R = S • R + T • R 4. R∗ = R∗ • R∗ = (R∗)∗ = (∧ + R)∗, Φ∗ = ∧∗ = ε 5. R∗ = ∧ + RR∗ 6. (R + S)∗ = (R∗ + S∗)∗ = (R∗S∗)∗ = (R∗S)∗R∗ = R∗(SR∗)∗ 6= R∗ + S∗ 7. R∗R = RR∗, R(SR)∗ = (RS)∗R 8. (R∗S)∗ = ∧ + (R + S)∗S, (RS∗)∗ = ∧ + R(R + S)∗ 9. R = SR + T ssi R = S∗T, R = RS + T ssi R = T S∗
- 21. Las equivalencias de estos 9 grupos pueden usarse para verificar que dos ER denotan el mismo lenguaje. La técnica a usar para verificar que P = Q, donde P, Q ∈ ER, es formar una serie de equivalencias P = R1 = R2 = . . . = Rn = Q, usando las equivalencias dadas arriba para hacer reemplazamientos.
- 22. Ejemplo: Verificar que las ER (ab + a) ∗a y a(ba + a)∗ son equivalentes, usando las equivalencias presentadas arriba. Solución: (ab + a)∗a = (a + ab)∗a -por (1);= (a∗ab)∗a∗a -por (6);= ([a∗a]b)∗[a∗a] -agrupamos terminos;
- 23. Gracias.