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Este documento presenta una introducción al libro "Fundamentos de Metrología, Tolerancias y Ajustes en Fabricación Mecánica". Explica que el objetivo del libro es abordar aspectos relevantes de la metrología dimensional y las técnicas metrológicas básicas para la calibración y medición de piezas. También incluye definiciones sobre tolerancias e incertidumbre. El libro servirá como base para la asignatura de "Fundamentos de Fabricación" en la Universidad Politécnica de Cartagena.

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Fundamentos de Metrologı́a, Tolerancias y Ajustes en Fabricación Mecánica Joaquı́n López Rodrı́guez Área de Ingenierı́a de los Procesos de Fabricación Universidad Politécnica de Cartagena
© 2017, Joaquín López Rodríguez © 2017, Universidad Politécnica de Cartagena CRAI Biblioteca Plaza del Hospital, 1 30202 Cartagena 968325908 ediciones@upct.es Primera edición, 2017 Esta obra está bajo una licencia de Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada (by-nc-nd): no se permite el uso comercial de la obra original ni la generación de obras derivadas. http://es.creativecommons.org/blog/wp-content/uploads/2013/04/by-nc-nd.eu_petit .png ISBN: 978-84-16325-56-6 © Imagen de la cubierta: Elaboración del autor
El objetivo fundamental de este libro es abordar los aspectos más relevantes de la me- trologı́a dimensional en el ámbito de la fabricación mecánica. En concreto se expondrán las técnicas metrológicas básicas para la calibración de instrumentos de medida y la medición de piezas fabricadas, se estudiarán las tolerancias dimensionales para la ve- rificación y el montaje de las piezas fabricadas y finalmente se hará un breve análisis de las tolerancias de acabado superficial. A lo largo del texto se irán resolviendo ejerci- cios prácticos de aplicación a medida que se vayan exponiendo los distintos contenidos teóricos. Al final del texto se incluyen diversas prácticas de laboratorio, una colección de cuestiones y ejercicios prácticos que cubren todos los contenidos teóricos expuestos en el libro y las referencias bibliográficas más relevantes. Aunque el texto sirve de base para impartir una parte importante de los contenidos de la asignatura “Fundamentos de Fabricación” de 2◦ curso en el Grado de Ingenierı́a en Tecnologı́as Industriales de la Universidad Politécnica de Cartagena, también será utilizado por alumnos de otros gra- dos de ingenierı́a en asignaturas relacionadas impartidas por el Área de Ingenierı́a de los Procesos de Fabricación.
Índice general 1. Introducción 1 1.1. Sistema Internacional de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Unidades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Unidades suplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Unidades derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Múltiplos y submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Metrologı́a y fabricación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Tolerancia e Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Expresión de una medida 11 2.1. Estimación de la variabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Ejemplo práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4. Expresión de incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5. Selección de las mediciones reiteradas. Criterio de rechazo de Chauvenet . . 19 2.6. Propagación de varianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7. Algunos ejemplos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Calibración y medición 41 3.1. Algunos ejemplos de medición y calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Procedimiento de calibración y resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Procedimiento de medición y resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4. Procedimiento conjunto de calibración y medición . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 iii
Índice general iv 4. Organización metrológica. Plan de calibración 57 5. Normalización de tolerancias dimensionales 61 5.1. El sistema de tolerancias dimensionales ISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.1.1. Grupos de diámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.1.2. Unidad de Tolerancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.1.3. Calidad o Precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1.4. Posiciones de las Tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6. Ajustes en fabricación mecánica 73 6.1. Sistema de ajustes recomendados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.1.1. Sistema de agujero base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.1.2. Sistema de eje base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2. Influencia de la temperatura en el cálculo de ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3. Cálculo de calados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7. Operaciones con cotas 96 7.1. Adición de cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.2. Transferencia de cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 107 8.1. Tolerancias de los calibres de lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2. Calibres de herradura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3. Calibres tampón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9. Acabado superficial 117 9.1. Parámetros de medida de rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 9.2. Especificaciones de acabado superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 10.Prácticas de Laboratorio 133 10.1.Medida y acotación de una pieza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Índice general v 10.2.Calibración de un instrumento de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.3.Medición del diámetro interior de un casquillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.4.Verificación del ángulo de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.5.Verificación del un calibre lı́mite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 11.Pruebas de Evaluación 146 11.1.Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 11.2.Ejercicios de aplicación práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Bibliografía 170
C A P Í T U L O 1 Introducción A mediados del siglo XVIII se siente la necesidad de unas unidades universales, so- bre las que se pudiera fundamentar un sistema de unidades de medida válido en todos los paı́ses. En 1791, la Asamblea Nacional Francesa adopta un sistema de medidas cu- ya unidad básica de longitud era el metro, definido como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Ası́ se creo el primer sistema métrico decimal, que se denominó genéricamente sistema métrico y que se basa en dos unidades fundamentales, el metro y el kilogramo. El primer prototipo del metro se depositó en 1799 en los archi- vos de Francia, y estaba formado por una regla de platino sin inscripciones ni marcas. En España se adopta este sistema en 1849. En 1875 se celebra en Francia una reunión de representantes de veinte paı́ses bajo el nombre de Conferencia Diplomática del Metro, firmándose un acuerdo conocido como la Convención del Metro, en el que se creaba la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM), cuya misión era la de conservar los patrones primarios de las unidades. Después de esta convención, el metro se redefinió como la longitud entre dos trazos muy finos grabados en una regla de platino e iridio al 10 %, conservada por el BIPM y cuya carac- terı́stica principal era su gran rigidez en todas las direcciones, y ser lo suficientemente delgada para que en poco tiempo alcanzase la temperatura ambiente de medida (véase la figura 1.1). En España, se conservan dos prototipos de este metro. El kilogramo se definió como la masa de 1 decı́metro cúbico de agua a la temperatura de 4 ◦C (correspondiente a la máxima densidad del agua). Ası́ se fabricó un cilindro de platino que tuviese la misma masa que el agua en las condiciones anteriores. Esta 1
1. Introducción 2 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 1000 571 1020 Presión atmosférica normal 0 ◦C (temp. hielo fundente) (en el vacı́o se alargarı́a 0,21 µm) 12 4 20 3 20 10 3 3 3 Lı́nea neutra Figura 1.1: Sección del patrón construido por Tresca.
1. Introducción 3 definición sigue estando vigente. El tiempo se ha venido midiendo a partir del periodo de rotación de la tierra. Ası́, el segundo se empezó a definir como 1/86400 del dı́a solar medio (tiempo de rotación de la tierra sobre su eje en relación al sol). Sin embargo, la rotación de la tierra no es lo suficientemente constante como para servir de patrón del tiempo. En 1967 se redefinió el segundo a partir de la frecuencia de resonancia del átomo de Cesio (9192631770 Hz). Ası́, el segundo es la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles energéticos hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133. En la Conferencia General de Pesas y Medidas de 1960 se adopta como definición del metro, la que lo establece como un determinado número de longitudes de onda (1650763,73) en el vacı́o de la radiación correspondiente a la transición entre los ni- veles 2p10 y 5d5 del isótopo de Cripton 86. Esta definición presenta frente a la anterior la ventaja de que al estar basada en un fenómeno natural, se asegura su conservación y reproducibilidad, si bien la precisión de su medida depende del método operativo se- guido. Años más tarde, se detectaron algunos problemas relativos al perfil de la lı́nea espectral del Cripton 86, por lo que en 1983, la Conferencia General de Pesas y Medidas adoptó como nueva definición del metro, vigente hoy en dı́a, la longitud recorrida por la luz en el vacı́o durante 1/299792458 segundos. En la Conferencia General de Pesas y Medidas de 1960 se adoptó también el siste- ma de unidades denominado Sistema Internacional (SI), que se basa en las tres unidades mecánicas del sistema Giorgi, y en el amperio, kelvin y candela, que forman el conjunto de unidades fundamentales. Además, se adoptaron dos unidades suplementarias, el ra- dián y el estereorradián, para la medida de ángulos planos y sólidos, respectivamente, y un número de unidades derivadas que pueden ser expresadas en función de las seis unidades fundamentales y las dos suplementarias, por medio de las leyes de la Fı́sica. En España, se adoptó legalmente dicho sistema en 1967, siendo en la actualidad aceptado a nivel mundial. 1.1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES El Sistema Internacional nace como fruto de la evolución de los sistemas M.K.S., que surgieron en la segunda mitad del siglo XIX [10]. En 1902, el profesor italiano Giorgi pro-
1. Introducción 4 puso un sistema basado en el metro, kilogramo (masa) y segundo, junto con una unidad eléctrica a determinar, y para la que propuso el Ohmio. Este sistema se completó en 1935 por la Comisión Electrotécnica Internacional que adoptó el amperio como unidad bási- ca. El sistema se denominó M.K.S. (ó M.K.S.-Giorgi, para distinguirlo del M.Kf.S. Sistema Técnico). El sistema M.K.S. ha sido el que se ha tomado como base para la creación del Sistema Internacional, completado con las unidades necesarias para las medidas térmi- cas y ópticas. En la Conferencia de Pesas y Medidas de 1971, se acuerda la incorporación de una séptima unidad básica al SI, el mol, unidad de cantidad de sustancia necesaria en el campo de la Quı́mica en donde es más significativo el número de moléculas de un sistema y su estructura, que su masa total. Las unidades de un sistema forman un conjunto coherente, si las ecuaciones entre valores numéricos tienen exactamente la misma forma que las ecuaciones entre las mag- nitudes fı́sicas correspondientes. Por ejemplo, magnitud = cantidad · unidad F = 10 N, donde 10 N es el valor numérico de la magnitud fuerza F, la ecuación entre magnitudes fı́sicas es F = m · a, y la ecuación entre los valores numéricos es 10 N = 5 kg · 2 m/s2. 1.1.1 Notación Los valores numéricos se pueden escribir en grupos de tres dı́gitos, por ejemplo, para escribir un millón, las posibilidades válidas por orden de preferencia son 106 ; 1 000 000; 1000000, mientras que no son válidas las siguientes expresiones 1,000,000 ó 1,000,000. Los sı́mbolos de las unidades se escribirán separados un espacio del valor numérico, en minúsculas (excepto si el nombre de la unidad deriva de un nombre propio), en singular, y sin punto final.
1. Introducción 5 Unidades fundamentales magnitud unidad sı́mbolo longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s intensidad de corriente amperio A temperatura kelvin K intensidad luminosa candela cd cantidad de sustancia mol mol Unidades suplementarias magnitud unidad sı́mbolo ángulo plano radián rad ángulo sólido estereorradián sr Unidades derivadas magnitud unidad sı́mbolo área metro cuadrado m2 frecuencia hercio Hz frecuencia de rotación por segundo s−1 fuerza newton N presión, tensión pascal Pa energı́a julio J potencia vatio W velocidad metro por segundo m/s velocidad angular radián por segundo rad/s viscosidad cinemática metro cuadrad. por seg. m2/s volumen metro cúbico m3 coef. de dilatac. lineal por kelvin K−1
1. Introducción 6 Múltiplos y submúltiplos Los múltiplos y submúltiplos más frecuentes en mecánica son factor nombre sı́mbolo 103 kilo k 102 hecto h 10 deca da 10−1 deci d 10−2 centi c 10−3 mili m 10−6 micro µ Los múltiplos y submúltiplos del kilogramo se forman añadiendo los nombres a la palabra gramo. 1.2 METROLOGÍA Y FABRICACIÓN En procesos de fabricación más o menos complejos es suficiente que los elementos fabricados cumplan unos intervalos de valores admisibles o tolerancias previamente es- pecificadas para asegurar la funcionalidad del conjunto fabricado [15]. Esto asegura la “intercambiabilidad” de elementos análogos, por lo que no es necesario establecer valo- res exactos para las magnitudes, sino que es suficiente cumplir con las especificaciones previamente establecidas. Cada vez que hay que decidir si el valor concreto de una mag- nitud esta dentro de dichos intervalos de valores admisibles, es preciso “medir”, y para ello, es necesario acotar el valor de la magnitud medida entre un mı́nimo y un máximo, puesto que resulta humanamente imposible encontrar el valor verdadero de cualquier magnitud medida [1, 3]. Los procedimientos empleados para encontrar el valor de una magnitud dimensional y su cota máxima de variación constituyen el ámbito de la “Metro- logı́a” o ciencia de la medida. Por lo tanto, el objetivo de cualquier trabajo metrológico es la determinación de una cierta medida de una magnitud fı́sica con referencia a una unidad, proporcionando siempre el margen de “incertidumbre” o cuantificación de la precisión. La calidad de una medida está relacionada con el concepto de “incertidumbre” y las magnitudes significativas de los productos con las “tolerancias de fabricación” [13]. Ob-
1. Introducción 7 viamente, cuanto más estrictas sean las tolerancias de fabricación, se requerirán mayores precisiones de medida para la comprobación del cumplimiento de dichas especificacio- nes. Entre los elementos principales que intervienen en la medición de cualquier magnitud fı́sica se pueden encontrar los siguientes magnitud a medir o “mensurando”, instrumento de medida, proceso de medición, y personal responsable del proceso. Otros elementos importantes son la unidad de medida, el patrón de medida, el proceso metrológico o el soporte legal [5, 6]. Los ámbitos más importantes de la Metrologı́a en la actualidad son los siguientes. La metrologı́a de precisión, que está relacionada directamente con el control de la calidad de los productos. La metrologı́a legal, que cubre la seguridad de las mediciones domésticas. La organización de la calibración, para el aseguramiento de la trazabilidad en las empresas industriales. La metrologı́a cientı́fica, que se encarga del estudio y mejora de las precisiones en la materialización de los patrones de los máximos niveles. 1.3 DEFINICIONES BÁSICAS A continuación se definen brevemente algunos términos muy empleados en Metro- logı́a [2]. La trazabilidad se puede definir del siguiente modo: Cualidad de la medida que permite referir la precisión de la misma a un patrón aceptado o especificado, gracias al conocimiento de las precisiones de los sucesivos escalones de medición a partir de dicho patrón.
1. Introducción 8 Si una medida es trazable diremos que es metrológica. Existen medidas legales o co- tidianas que aunque no sean trazables, es decir que no disponen de información acerca de la cadena de precisiones, emplean medios que sı́ han sido sometidos a tratamientos que garanticen la obtención de precisiones suficientes. Por otro lado, aquellas evalua- ciones que no son trazables y que no se apoyan en ningún procedimiento de carácter metrológico no pueden ser consideradas como medidas. Precisión Cualidad de un instrumento o método de medida para proporcionar indi- caciones próximas al valor verdadero de una magnitud medida. Por tanto, un instrumento que presente un buen agrupamiento de las medidas pero estando éstas relativamente alejadas del valor verdadero de la magnitud medida será un instrumento poco preciso aunque fácilmente corregible. Incertidumbre Expresión cuantitativa del grado de agrupamiento de las medidas efectua- das con un determinado instrumento o método de medida. Se puede apreciar que la incertidumbre constituye la cuantificación de la precisión de una medida en los casos en los que ésta haya sido ajustada o corregida. Repetibilidad Grado de concordancia existente entre los sucesivos resultados obtenidos con el mismo método y mensurando, y bajo las mismas condiciones (mismo operario, mismo aparato, mismo laboratorio y dentro de un intervalo de tiem- po lo suficientemente pequeño). Reproducibilidad Grado de concordancia existente entre los resultados individuales obteni- dos con el mismo método y con el mismo mensurando pero bajo condiciones diferentes (diferentes operarios, diferentes aparatos, diferentes laboratorios o diferentes intervalos de tiempo).
1. Introducción 9 Diseminación de unidades de medida Proceso que tiene por objeto facilitar a laboratorios, empresas u organis- mos patrones de calidad suficiente para asegurar la trazabilidad interna de las medidas que efectúen. Normalmente en España esta labor se reserva a laboratorios de referencia como el Centro Español de Metrologı́a (CEM [7]). 1.3.1 Tolerancia e Incertidumbre Si la medida es tal que su intervalo de incertidumbre (2U) resulta totalmente con- tenido en el de tolerancia (T), o no poseen puntos comunes, la decisión se adopta sin dificultad. Una postura prudente es definir como “intervalo de decisión”: T − 2U, y limi- tar el cociente entre ambos (p. ej.): 3 ≤ T 2U ≤ 10 En la figura 1.2 se observa la reducción del “intervalo de decisión” para los dos casos extremos de la relación anterior.
1. Introducción 10 −U +U −U +U T/3 T/3 T 2T/3 (67 % de T) T/10 T/10 T 9T/10 (90 % de T) Pieza Tolerancia especificada, T T − 2U Tolerancia de fabricación Recomendación: 3 ≤ T 2U ≤ 10 Longitud de la pieza Figura 1.2: Banda de tolerancia de fabricación.
C A P Í T U L O 2 Expresión de una medida Para expresar correctamente una medición cientı́fica [9], cualquier medida debe dis- poner de los siguientes elementos básicos: el valor del mensurando obtenido tras el proceso de medición, una unidad de medida, el grado de precisión de dicha medida, y la normativa utilizada para la determinación del grado de precisión. Aunque en las medidas de “baja precisión” sólo se utilizan los dos primeros elementos, en realidad los otro dos se encuentran implı́citos. Por ejemplo, si un instrumento, ası́ como el método de medida, se han diseñado para que la incertidumbre sea lo suficiente- mente pequeña con respecto a los requerimientos de la medida y a la división de escala del instrumento, su valor podrá quedar absorbido por dicha división de escala. El valor verdadero de la magnitud a medir o mensurando siempre es desconocido de- bido a las imperfecciones que inevitablemente comporta el desarrollo de esta actividad. Es habitual agrupar las causas de estas imperfecciones en las cuatro categorı́as siguien- tes: 1. instrumento o equipo de medida; 2. operador o sistema de adquisición de datos; 3. mensurando; y 11
2. Expresión de una medida 12 4. otras causas. Todos los elementos relacionados se ven adicionalmente afectados por las variaciones del entorno del sistema formado por máquina, mensurando y operador. Uno de los objetivos de la Metrologı́a es cuantificar la variabilidad de la medida, para lo que se empleará un determinado procedimiento estadı́stico. Aquellos errores que no pueden ser cuantificados son los que ocurren fortuitamente y de forma aislada, y que por lo tanto no pueden ser predichos por ningún procedimiento estadı́stico. Estos errores quedan fuera del objeto de este curso. 2.1 ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD Una forma sencilla de estimar el centro de un conjunto de datos x1, x2, . . . , xn es mediante la mediana o el centro del recorrido xmax + xmin 2 , (2.1) y una forma sencilla de estimar la extensión de dicho conjunto de datos puede ser tam- bién mediante el recorrido como R = xmax − xmin. (2.2) Cuando el tamaño de la muestra es de 10 ó menos observaciones, la desviación tı́pi- ca se puede calcular de forma aproximada a partir del recorrido mediante la siguiente expresión s ≃ R 4 , (2.3) o de forma más sofisticada mediante la siguiente expresión s ≃ R d2 , (2.4) donde d2 es un factor que depende del número de observaciones n y cuyo valor se puede obtener de la tabla 2.1. La expresión que más se utiliza para estimar la desviación tı́pica en metrologı́a, en especial cuando se emplean sistemas informáticos para el cálculo de incertidumbres y el valor de n es relativamente grande, es la siguiente s = v u u u u t n P 1 (xi − x)2 n − 1 . (2.5)
2. Expresión de una medida 13 n d2 2 1,128 3 1,693 4 2,059 5 2,326 6 2,534 7 2,704 8 2,847 9 2,970 10 3,078 Tabla 2.1: Valores del factor d2 en función de n. Para valores de n pequeños será más cómodo y suficientemente efectivo utilizar las estimaciones sencillas mencionadas anteriormente. 2.2 INTERVALOS DE CONFIANZA Los intervalos de confianza básicamente establecen una gama de valores en los que se incluye, con una determinada probabilidad denominada nivel de confianza (1 − α), el valor verdadero de un parámetro de la población. Este parámetro suele ser, normalmente, la media µ. Por ejemplo, si se extrae una muestra de tamaño n y se obtiene la media muestral x, la probabilidad de que la media µ se encuentre en el intervalo x ± kα σ √ n es p x − kα σ √ n ≤ µ ≤ x + kα σ √ n = 1 − α, (2.6) para lo que habrá de conocerse, o al menos suponer conocida o estimada, la desviación tı́pica poblacional σ. Si este último supuesto no se cumpliera, la expresión de la ecuación (2.6) se sustituye por p x − t s √ n ≤ µ ≤ x + t s √ n = 1 − α, (2.7) donde s es la desviación tı́pica muestral, que puede ser calculada por ejemplo mediante las estimaciones sencillas expuestas anteriormente. El factor kα es un coeficiente que se obtiene suponiendo que la distribución es normal y el factor t es el coeficiente de una distribución de Student con n − 1 grados de libertad.
2. Expresión de una medida 14 Cuando n -→ ∞, lı́m n→∞ x = µ, s ≃ σ y la distribución de Student se transforma en una distribución normal. 2.3 EJEMPLO PRÁCTICO Los resultados de las cinco medidas sobre una cierta magnitud son los siguientes1 x1 = 10,013 x2 = 10,007 x3 = 10,008 x4 = 10,015 x5 = 10,009 de donde resulta que: xmax = x4 = 10,015; xmin = x2 = 10,007. 1.- Una primera aproximación del resultado de la medición anterior, de las ecuaciones (2.1) y (2.2) podrı́a ser la siguiente estimador de tendencia central = xmax + xmin 2 = 10,011, R = xmax − xmin = 0,008, por lo que, 10,011 ± 0,004. Obsérvese que este resultado no proporciona información acerca del nivel de confianza de la medida obtenida. 2.- Como se ha mencionado anteriormente, desde el punto de vista metrológico, el mo- do más riguroso de expresar el resultado de una medida es mediante los intervalos de 1 Por comodidad y como el desarrollo que a continuación se expone puede ser aplicable a cualquier mag- nitud o unidad, no se indicarán unidades en el presente ejercicio práctico.
2. Expresión de una medida 15 confianza. Para ello, se debe calcular la media y la desviación tı́pica muestral, resultando x = n P 1 xi n = 10,0104, s = v u u u u t n P 1 (xi − x)2 n − 1 = 0,00324. Para un nivel de confianza 1− α igual a 0,95 y n− 1 = 4 grados de libertad se obtiene que t = 2,776, por lo que sustituyendo en la ecuación (2.7) resulta 10,0104 − 2,776 0,00324 √ 5 ≤ µ ≤ 10,0104 + 2, 776 0, 00324 √ 5 , obteniéndose: 10,0104 ± 0,0040. Obviamente, el resultado de la medida debe ser compatible con la división de escala o resolución del método utilizado, por lo que el desajuste residual de 4 décimas de la división de escala se transferirá a la acotación de la variabilidad incrementando el intervalo de confianza calculado: 10,010 ± 0,0044, o mejor aún: 10,010 ± 0,005, para 1 − α = 0,95 (compatible con k = 2). Obsérvese que resulta una estimación similar a la del primer caso. 3.- Supóngase que se conociera o se pudiera estimar adecuadamente el valor de la des- viación tı́pica poblacional σ, siendo ésta: σ = 0,004. En este caso, se podrı́a expresar el resultado de la medida mediante la expresión de la ecuación (2.6). De este modo, para un nivel de confianza del 95 %, resulta kα = 1,96, por lo que 10,0104 − 1,96 0,004 √ 5 ≤ µ ≤ 10,0104 + 1,96 0,004 √ 5 ,
2. Expresión de una medida 16 obteniéndose 10,0104 ± 0,0035. Transfiriéndose el desajuste residual a la acotación de variabilidad, tal y como se ha hecho en el ejemplo anterior, resulta: 10,010 ± 0,004, para 1 − α = 0,95 (compatible con k = 2). 4.- En una situación similar al caso 3, hubiera sido razonable efectuar una única medición del mensurando. Supóngase que el resultado de esta medición es la primera observación de la muestra anterior x1 = 10,013. En este caso, el tamaño de la muestra, obviamente, será n = 1, por lo que el resultado de la medida resulta, de la ecuación (2.6) para un nivel de confianza del 95 %, igual a 10,013 − 1,96 0,004 √ 1 ≤ µ ≤ 10,013 + 1,96 0,004 √ 1 , por lo que 10,013 ± 0,00784. El resultado final de la medida quedará 10,013 ± 0,008, para 1 − α = 0,95 (compatible con k = 2). 5.- En la práctica, es muy común que se efectúe una única medición y que, además, se desconozca el valor de σ. Una situación de este tipo se puede presentar, por ejemplo, si el resultado de la medición es el expresado en el caso 4 y además el resultado de medidas sucesivas se repite. En este caso, lo razonable serı́a considerar como semi-intervalo de variabilidad la mitad de la división de escala del método de medida, obteniéndose 10,013 ± 0,0005. Obsérvese que aunque un instrumento o método repita resultados ante un mismo men- surando, podrá tenerse la situación particular en la que la indicación se encuentre entre
2. Expresión de una medida 17 dos enrases y distintos observadores, o un mismo observador en distintos instantes de tiempo, tengan tendencia a aproximar al valor inmediato de la división de escala por exceso o por defecto. En la práctica, y bajo circunstancias análogas, se recomienda utilizar como semi- intervalo de variabilidad una división de escala del método de medida, obteniéndose en este caso: 10,013 ± 0,001. Para justificar la recomendación anterior, se van a considerar los siguietes dos ca- sos. Supóngase ahora dos situaciones en las que en cada una se reiteran 5 mediciones obteniéndose en las dos un recorrido de valor igual a una división de escala: x′ 1 = 10,013 x′ 2 = 10,013 x′ 3 = 10,013 x′ 4 = 10,013 x′ 5 = 10,014 σ ≃ s = 0,00045; ±kα σ √ 1 = ±0,00088 luego 10,013 ± 0,001. x′ 1 = 10,013 x′ 2 = 10,013 x′ 3 = 10,013 x′ 4 = 10,014 x′ 5 = 10,014 σ ≃ s = 0,00055; ±kα σ √ 1 = ±0,00108 luego 10,013 ± 0,001 (aproximadamente). Estos dos resultados justifican en parte la elección como semi-intervalo de variabili- dad de una división de escala del método de medida. En estos casos la precisión queda absorbida por la división de escala del instrumento. La apreciación del instrumento es, por tanto, la que determina la precisión de la medida.
2. Expresión de una medida 18 Tal y como se detalla en la siguiente sección, en adelante se supondrá como aproxima- ción razonable que la distribución de una muestra de mediciones reiteradas es normal y que el factor kα puede valer 2 ó 3, según convenga. 2.4 EXPRESIÓN DE INCERTIDUMBRES El estudio realizado en la sección anterior se ha desarrollado siguiendo las reco- mendaciones del Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM) sobre la expresión de incertidumbres experimentales. Este comité designó en 1980 un grupo de trabajo que fructificó en la recomendación INC-1 (1980) sobre “expresión de incertidumbres experi- mentales.” Esto condujo a que en 1981 el CIPM aprobase la recomendación 1 (CI-1981), reiterada en 1986 por medio de las recomendaciones 1 y 2 (CI-1986), que a continuación se resumen: Dependiendo del método empleado para su determinación numérica, las compo- nentes de la incertidumbre de medida pueden agruparse en dos categorı́as: 1. las que se estiman mediante procedimientos estadı́sticos (tipo A), y 2. las que se aprecian por otros métodos (tipo B). Ambos tipos de componentes deben cuantificarse mediante varianzas o cantidades equivalentes, debiendo caracterizarse las situaciones de dependencia - en su caso - por las correspondientes covarianzas. La incertidumbre ası́ determinada, puede multiplicarse por un factor superior a la unidad k, al objeto de obtener una incertidumbre total mayor, pero a condición de indicar siempre el valor de dicho factor. U = ku Al factor k que multiplica al estimador de la variabilidad se le suele denominar factor de recubrimiento o de incertidumbre y como se acaba de indicar el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM) recomienda que adopte el valor de 2 ó 3. Obsérvese que este factor serı́a el equivalente al factor kα utilizado para determinar intervalos de confianza en una distribución normal. Se puede comprobar que para un nivel de confianza del 95 %, kα = 1,96 ≃ 2, y para un nivel de confianza del 99,5 %, kα = 2,81 ≃ 3.
2. Expresión de una medida 19 2.5 SELECCIÓN DE LAS MEDICIONES REITERADAS. CRITERIO DE RECHAZO DE CHAUVENET Antes de proceder al cálculo del valor convencionalmente verdadero de una medida y de su incertidumbre asociada, es aconsejable filtrar los valores numéricos obtenidos en el proceso de medición para eliminar aquellos que se hayan obtenido de forma inco- rrecta debido a errores de tipo fortuito o accidental (falta de concentración del operario, posicionamiento incorrecto del dispositivo de lectura de datos del instrumento, fallo en el sistema automático de adquisición de datos, etc.). Existen muchos métodos empleados para este fin, aunque el más usado en Metrologı́a es el llamado “criterio de rechazo de Chauvenet.” El criterio de Chauvenet básicamente consiste en rechazar todas aquellas medidas cuya probabilidad de aparición sea inferior a α = 1 2n , siendo n el número de reiteraciones de la medida. Esto supone que se deben rechazar aquellas medidas cuya desviación a la media sea superior a un determinado valor (función de la desviación tı́pica muestral). Por lo tanto el criterio se simplifica a la siguiente expresión: |xi − x| k(n)s; (2.8) donde k(n) = kα=1/2n se obtiene a partir de la distribución normal (véase la figura 2.1), y cuyo valor, para facilitar la aplicación del criterio, se puede obtener de la tabla 2.2. Si se elimina el valor absoluto y se cambia la desigualdad anterior en términos de aceptación, se puede obtener la siguiente expresión, x − k(n)s | {z } Lı́mite inferior ≤ xi ≤ x + k(n)s | {z } Lı́mite superior ; (2.9) que representa los lı́mites superior e inferior entre los que se debe encontrar cualquier medición xi para ser aceptada. Para aplicar el criterio hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones: 1. el criterio de Chauvenet se aplica de forma continuada hasta que no se rechace ninguna medida; y 2. el número máximo de rechazos que se aceptan es 1 si el número de reiteraciones de la medida es menor o igual a 10 y 2 si se encuentra entre 10 y 20. Si hubiesen
2. Expresión de una medida 20 n n n k(n) k(n) k(n) n n n k(n) k(n) k(n) 2 1,15 15 2,13 3 1,38 20 2,24 4 1,54 25 2,33 5 1,65 30 2,40 6 1,73 40 2,48 7 1,80 50 2,57 8 1,86 100 2,81 9 1,92 300 3,14 10 1,96 500 3,29 1000 3,48 Tabla 2.2: Coeficiente k(n) del criterio de Chauvenet. 1 − 1 2n k1/2ns L. inferior L. superior Figura 2.1: Cálculo del coeficiente k(n) = kα=1/2n.
2. Expresión de una medida 21 más rechazos, la serie de medidas debe ser anulada y revisado el método empleado. Debe tenerse en cuenta que si en una iteración de aplicación del criterio salen del intervalo más de un dato, sólo se rechaza el más alejado. Por tanto, en cada iteración sólo se puede rechazar un dato. Ası́, para muestras con 10 o menos datos, como máximo se podrán hacer 2 iteraciones y para muestras con datos entre 10 y 20, como máximo se podrán hacer 3 iteraciones. Ejemplo En la medida del diámetro de un eje en un proyector de perfiles con lectores de cabeza micrométrica cuya división de escala es de 0,001 mm se han obtenido los 15 valores siguientes: 9,995 10,005 10,002 9,999 10,002 10,002 10,004 10,002 10,003 10,003 10,003 10,002 9,994 10,000 10,004 (dimensiones en mm) Aplicar a este cuadro de valores el criterio de rechazo de Chauvenet. En primer lugar se calcularán los estimadores centrales (media) y de dispersión (des- viación tı́pica) de la muestra de 15 mediciones. La media muestral será: x = P xi 15 = 10,0013 mm; y la desviación tı́pica: s = sP (xi − x)2 15 − 1 = 0,0031 mm. De la tabla 2.2 obtenemos para una muestra de tamaño 15 el coeficiente k del criterio de Chauvenet de 2,13. Por lo tanto, los lı́mites superior e inferior de las mediciones para ser aceptadas son respectivamente: Lı́m. sup. = 10,0013 + 2,13 × 0,0031 = 10,0079 ≃ 10,008 mm;
2. Expresión de una medida 22 Lı́m. inf. = 10,0013 − 2,13 × 0,0031 = 9,9947 ≃ 9,995 mm. Se observa que la medición 9,994 mm queda fuera de estos lı́mites, por lo que debe ser rechazada. Ahora el tamaño de la muestra es 14, por lo que habrá que calcular de nuevo la media y la desviación tı́pica. De este modo; x = 10,0019 mm; s = 0,0025 mm. El coeficiente k para una muestra de 14 mediciones es 2,10. Ahora los nuevos lı́mites superior e inferior serán respectivamente: Lı́m. sup. = 10,0019 + 2,10 × 0,0025 = 10,0072 ≃ 10,007 mm; Lı́m. inf. = 10,0019 − 2,10 × 0,0025 = 9,9967 ≃ 9,997 mm. Se observa que la medición 9,995 mm queda fuera de estos lı́mites, por lo que de nuevo se debe rechazar una medición. Ahora tenemos una muestra de 13 mediciones con factor k = 2,06. La nueva media muestral y desviación tı́pica son respectivamente: x = 10,0024 mm; s = 0,0016 mm; y los nuevos lı́mites superior e inferior son respectivamente: Lı́m. sup. = 10,0024 + 2,06 × 0,0016 = 10,0057 ≃ 10,006 mm; Lı́m. inf. = 10,0024 − 2,06 × 0,0016 = 9,9991 ≃ 9,999 mm.
2. Expresión de una medida 23 Por tanto, el resultado de la medida será: 10,0024 ± 2 0,0016 √ 13 ≃ 10,002 ± (0,00089 + 0,0004) ≃ 10,002 ± 0,002 mm. Esta simplificación del intervalo de confianza del 95 % está dada para k = 2. 2.6 PROPAGACIÓN DE VARIANZAS En muchas ocasiones el resultado final de una medida depende de otras medidas efectuadas individualmente [8, 14]. En este caso, la medida (y) se obtendrá a partir de q magnitudes xi, de igual o distinta naturaleza, del siguiente modo y = f(x1, x2, .., xq), (2.10) lo que supone conocer estimaciones del valor verdadero (µi) y de la varianza (σi) de cada una de las q magnitudes medidas, y eventualmente de las covarianzas σij que puedan existir: xi = µi, (2.11) V(xi) = σ2 i = x2 i − xi 2 = x2 i −µ2 i , (2.12) cov(xi, xj) = σij = xixj − xi xj = xixj −µiµj. (2.13) En la práctica, y como se ha hecho en las secciones anteriores, se supondrán los siguien- tes estimadores: µ̂i = xi σ̂2 i = u2 i σ̂ij = uij                (2.14) siendo la hipótesis habitual la de aproximar linealmente la función f en el entorno del punto (µ1, µ2, . . . , µq): y ≃ f(µ1, µ2, . . . , µq) + q X i=1 ∂f ∂xi µi (xi − µi). (2.15) Introduciendo las ecuaciones (2.11), (2.12) y (2.13), y la aproximación de la ecuación (2.14) en la ecuación (2.15), se obtiene y = ŷ = f(x1, x2, . . . , xq) u2 y = ˆ V(y) = q X i=1 q X j=1 ∂f ∂xi xi ∂f ∂xj ! xj uij            . (2.16)
2. Expresión de una medida 24 Se puede demostrarse que si todas las medidas (xi) son independientes entre ellas, es decir uij = 0 para i ≠ j, se obtiene la siguiente expresión: u2 y = q X i=1 ∂f ∂xi 2 xi u2 i . (2.17) Suele ser habitual representar las varianzas de tipo A, estimadas estadı́sticamente, por s2 y las de tipo B, estimadas por otros métodos, mediante u2, resultando u2 y = ∂f ∂x1 2 x1 s2 1 + · · · + ∂f ∂xm 2 xm s2 m + ∂f ∂xm+1 2 xm+1 u2 m+1 + · · · + ∂f ∂xq !2 xq u2 q (2.18) Habitualmente se asigna a cada variable xi una incertidumbre: Ui = kiui, donde ki (1, 2 ó 3) depende de las condiciones de medida. La incertidumbre de la variable y será: Uy = ky uy donde ky = 2 ó 3. A continuación se presenta un ejemplo en el que la aplicación de la ley de propagación de varianzas puede conllevar ciertas dificultades. x z y Instrumento calibrado: - Desplazamiento de escala: c Se efectúan dos mediciones independientes x‘, z′ , de tal forma que: x = x‘ + c z = z′ + c y = 1 2 x − 1 2 z - Incertidumbre asociada:uc Se requiere calcular la nueva cota y que se podrá obtener a través de la siguiente relación En una primera aproximación, se podrı́an plantear las siguientes posibilidades. Posibilidad 1.- Supóngase que x y z son magnitudes independientes. u2 y = 1 2 2 u2 x + 1 2 2 u2 z. Sustituyendo u2 x = u2 x′ + u2 c y u2 z = u2 z′ + u2 c: 1 |{z} =⇒ u2 y = 1 2 2 u2 x′ + 1 2 2 u2 z′ + 1 2 u2 c .
2. Expresión de una medida 25 c 6σ x′ 6σ x x = x′ (b) (a) Figura 2.2: Instrumento ajustado (a) y sin ajustar (b). Posibilidad 2.- Obsérvese que el valor de y se puede expresar: y = 1 2 (x′ + c) − 1 2 (z′ + c) = 1 2 x′ − 1 2 z′ . Aplicando ahora la ley de propagación de varianzas resulta 2 |{z} =⇒ u2 y = 1 2 2 u2 x′ + 1 2 2 u2 z′. Si el desplazamiento de escala del instrumento, c, hubiese resultado nulo, x = x′ y z = z′. Téngase en cuenta que un instrumento, ajustado o sin ajustar, deberá presentar aproximadamente en ambos casos un mismo agrupamiento de sus medidas (véase la figura 2.2). Obsérvese que si las mediciones en el segundo caso se corrigen con el valor de c, la situación serı́a equivalente a la del primer caso (instrumento ajustado). Además, las medidas corregidas x y z no son independientes, pues están correladas a través de c. La opción 2 es correcta. La opción 1 podrı́a haber sido empleado si se tiene en cuenta que x y z están correla- das a través de c. Por tanto, u2 y = ∂y ∂x 2 u2 x + ∂y ∂z 2 u2 z + 2 ∂y ∂x ∂y ∂x uxz,
2. Expresión de una medida 26 donde uxz es la covarianza de x y z y que se puede obtener, teniendo en cuenta que x′, z′ y c si son independientes, del siguiente modo: uxz = (x′ + c)(z′ + c) − x′ + c z′ + c = x′ z′ + cz′ + cx′ + c2 − x′ z′ − c z′ − c x′ − c c = x′ z′ − x′ z′ | {z } 0 + cz′ − c z′ | {z } 0 + cx′ − c x′ | {z } 0 + c2 − c c | {z } u2 c =u2 c .                                                (2.19) Por lo tanto al sustituir en la ecuación anterior resulta: u2 y = 1 2 2 u2 x + 1 2 2 u2 z + 2 1 2 − 1 2 u2 c = 1 4 u2 x + 1 4 u2 z − 2 1 4 u2 c = 1 4 (u2 x′ + u2 c) + 1 4 (u2 z′ + u2 c ) − 2 1 4 u2 c = 1 4 u2 x′ + 1 4 u2 z′. (2.20) 2.7 ALGUNOS EJEMPLOS PRÁCTICOS Ejemplo 1 Se emplea una sonda de rodillos fijos para verificar el radio del cilindro parcial que se muestra en la figura obteniendo una medida m = 2,24 mm. La distancia entre centros de los rodillos de la sonda es de 82,35 mm con una incertidumbre (k = 2) de 0,01 mm. El diámetro de los rodillos de la sonda es de 8,000 mm y su incertidumbre asociada para un factor de incertidumbre de 2 es 0,001 mm. La escala de medida de la sonda tiene una incertidumbre de 0,02 mm (k = 3). Según estos datos, se pide: a) determinar el radio del cilindro y su incertidumbre asociada para un factor de incer- tidumbre k = 3; y b) ¿qué sugerirı́as para mejorar este proceso de medida?.
2. Expresión de una medida 27 ✻ ❄ m CILINDRO /2 c R + d /2 R + d /2 - m Según la figura, se puede encontrar la siguiente re- lación trigonométrica para calcular el radio del cilin- dro: R + d 2 2 = c 2 2 + R + d 2 − m 2 . Operando y despejando R, se obtiene: R = c2 8m − d 2 + m 2 , siendo R una función de c, m y d: R = f(c, m, d). Sustituyendo valores obtenemos que R = 375,5532 mm. Aplicando la ley de propagación de varianzas se podrá obtener el estimador de varia- bilidad de la medida del radio del cilindro. De esta forma: u2 R = ∂R ∂c 2 u2 c + ∂R ∂m 2 u2 m + ∂R ∂d 2 u2 d. Derivando y sustituyendo valores se obtiene: ∂R ∂c = c 4m = 9,1908; ∂R ∂m = 0,5 − c2 8m2 = −168,4434; ∂R ∂d = −0,5.
2. Expresión de una medida 28 Las incertidumbres asociadas a c, m y d son, respectivamente: uc = Uc k = 0,01 2 = 0,005 mm; um = Um k = 0,02 3 = 0,0067 mm; ud = Ud k = 0,001 2 = 0,0005 mm. Por lo tanto, la variabilidad de R resulta: uR = v u u t9,19082 × 0,0052 | {z } contrib. de c(0,16 %) + (−168,4434)2 × 0,00672 | {z } contrib. de m(99,84 %) + (−0,5)2 × 0,00052 | {z } contrib. de d(≃0 %) = 1,1295 mm. A la vista de los resultados, se observa que la mayor contribución a la incertidumbre se debe a la medida m. Por tanto, el número de cifras significativas que hemos de emplear para expresar el valor final de R vendrá determinado por la división de escala de la sonda micrométrica empleada. Por lo tanto, la incertidumbre asociada al radio del cilindro para un factor de incerti- dumbre igual a 3 resulta: UR(k = 3) = uR × 3 + 0,0032 ≃ 3,40 mm. Luego: R = 375,55 ± 3,40 mm(k = 3). Para mejorar el proceso de medida se sugiere el uso de una sonda micrométrica con un sistema de medida más preciso.
2. Expresión de una medida 29 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 o M Pieza Palpador Varilla Calibrada R r Ejemplo 2 Para determinar el radio de una pie- za se ha empleado el dispositivo mostrado en la figura. Para ello, se han usado dos varillas calibra- das, ambas de radio certificado r = 8,000 ± 0,001 mm para un factor de calibración k = 3; y un micrómetro de exteriores con una incertidumbre global de 0,002 mm para un factor k = 3. Sabiendo que la lectura del micrómetro de exteriores es de 70,855 mm, determinar el valor del radio (R) de la pieza y su incertidumbre asociada en mm para un factor de calibración k = 2. - r M /2 O B A R - r R + r Según la figura, se puede encontrar la siguiente re- lación trigonométrica para calcular el radio del cilin- dro: (R + r)2 = (R − r)2 + M 2 − r 2 . Operando y despejando el radio de la pieza: R = (M/2 − r)2 4r . Sustituyendo valores, se obtiene: R = 23,5084 mm. Aplicando la ley de propagación de varianzas se puede calcular la variabilidad del radio de la pieza: R = f(M, r): u2 R = ∂R ∂M 2 u2 M + ∂R ∂r 2 u2 r . Derivando y sustituyendo valores se obtiene: ∂R ∂M = M/2 − r 4r = 0,857; ∂R ∂r = −2r(M/2 − r) − (M/2 − r)2 4r2 = −4,652; Las incertidumbres asociadas a M, y r respectivamente son:
2. Expresión de una medida 30 uM = UM k = 0,002 3 = 0,0007 mm; ur = Ur K = 0,001 3 = 0,0003 mm; Sustituyendo, se obtiene el estimador de variabilidad del radio de la pieza: uR = q 0,8572 × 0,00072 + (−4,652)2 × 0,00032 =0,0015 mm = 1,5µm. Luego, la incertidumbre asociada al radio R de la pieza para un factor de incertidum- bre 2: UR(k = 2) = 0,0015 × 2 + 0,0004 = 0,0034 mm ≃ 0,004 mm = 4µm. Observar que se ha redondeado a milésimas de milı́metro ya que no tiene sentido usar más cifras significativas al venir expresado uno de los datos en dicho nivel de sig- nificación. Por lo tanto, el radio de la pieza será: R = (23,508 ± 0,004)mm, con factor k = 2. Nótese que con este método la aportación a la incertidumbre del instrumento con escala graduada es mucho menor que en el caso del ejemplo anterior.
2. Expresión de una medida 31 Ejemplo 3 Debe determinarse el diámetro interior D de un casquillo cilı́ndrico y no se dispone de micrómetros adecuados, por lo que se prepara el montaje esquematizado en la figura adjunta empleando dos bolas patrón y una mesa de planitud de forma que la cota H se puede determinar mediante una regla vertical de trazos. Las bolas patrón tienen un diámetro certificado de 40,000 ± 0,003 mm (k = 3) y la regla vertical tiene una incertidumbre global de 0,01 mm (k = 2). Sabiendo que la lectura de la regla vertical es de 66,45 mm, determı́nese el valor del diámetro interior y su correspondiente incertidumbre para un factor k = 2. x y (D1 + D2)/2 H D Mesa de planitud D2 D1 cilı́ndrico Casquillo Del esquema mostrado en la figura se pueden deducir las siguietes relaciones: D = 1 2 D1 + x + 1 2 D2 = 1 2 (D1 + D2) + x, H = 1 2 D1 + y + 1 2 D2 = 1 2 (D1 + D2) + y. Además, introduciendo las expresiones anteriores en la siguiente relación x2 + y2 = 1 2 (D1 + D2) 2 y operando adecuadamente, se puede obtener finalmente la siguiente expresión para el diámetro D D = 1 2 (D1 + D2) + H s D1 + D2 H − 1. Sustituyendo los valores correspondientes a cada parámetro se obtiene el siguiente valor para D D = 1 2 (40 + 40) + 66,45 s 40 + 40 66,45 − 1 = 70,0066 mm.
2. Expresión de una medida 32 Por otro lado, aplicando la ley de propagación de varianzas se puede obtener la si- guiente expresión para la incertidumbre del diámetro D u2 D = ∂D ∂D1 2 u2 D1 + ∂D ∂D2 2 u2 D2 + ∂D ∂H 2 u2 H, donde ∂D ∂D1 = ∂D ∂D2 = 1 2 + 1 2 q D1+D2 H − 1 = 1 2 + 1 2 q 40+40 66,45 − 1 = 1,607, ∂D ∂H = s D1 + D2 H − 1 − D1 + D2 2H q D1+D2 H − 1 = s 40 + 40 66,45 − 1 − 40 + 40 2 × 66,45 q 40+40 66,45 − 1 = −0,881, uD1 = uD2 = 0,003 3 = 0,001 mm, y uH = 0,01 2 = 0,005 mm. Sustituyendo los valores anteriores en la expresión de la incertidumbre uD se obtiene finalmente uD = v u u u t 1,6072 × 0,0012 × 2 | {z } Contrib. de D1 y D2(21,1 %) + (−0,881)2 × 0,0052 | {z } Contrib. de H(78,9 %) = 0,00496 mm. Puede comprobarse que la contribución a la incertidumbre final de la regla vertical es aproximadamente 4 veces superior a la contribución del diámetro de las bolas patrón, por lo que el redondeo del resultado final se hará a la segunda cifra significativa. Ası́, UD = 0,00496 × 2 + 0,0034 = 0,01332 ≃ 0,02 mm. Por lo que D = (70,01 ± 0,02) mm, con factor k = 2.
2. Expresión de una medida 33 Ejemplo 4 Se pretende medir el ángulo α de la pieza mostrada en la figura adjunta. Para ello, se prepara el montaje indicado empleando los siguientes elementos: mesa de planitud, regla de senos, bloques patrón longitudinales y “reloj” comparador sobre so- porte vertical con base desplazable. La medida se lleva a cabo anotando la desviación apreciada por el comparador cuando se desplaza una longitud ℓ sobre una generatriz de la pieza apoyada sobre la regla de senos. El montaje se prepara para que el ángulo α0 coincida con el valor nominal del ángulo de la pieza, que es 30◦. Ası́, el comparador apreciará la desviación de la generatriz respecto de la mesa de planitud que se corres- ponde con la diferencia del ángulo de la pieza α respecto del valor nominal α0. Los datos conocidos son los que se indican a continuación incertidumbre del comparador, Uc(k = 2) = 2 µm, longitud de la mesa de senos, L = 300 mm, incertidumbre de L, UL(k = 2) = 10−5L, longitud de los bloques patrón a y b, 50 y 100 mm, respectivamente. incertidumbre de los bloques patrón, U0(k = 3) = 0,1 + 0,002x0 µm cuando x0 se introduce en mm, longitud de exploración, ℓ = 75 mm, la indicación obtenida con el comparador en el punto B es 4 µm superior a la obte- nida en el punto A. Indı́quese si la pieza es conforme con la especificación de tolerancia para α de 30◦ ±20′′.
2. Expresión de una medida 34 0,001 mm 75 mm aα B A Figura 2.3: Apreciación mı́nima angular. B A a b ℓ H L Mesa de planitud Bloques patrón Regla de senos α α0 = 30◦ Comparador En primer lugar se determinará el grado de apreciación con el que se debe indicar el resultado final del ángulo α. Obsérvese que en este caso, todos los parámetros dispo- nibles se corresponden con magnitudes de longitud, por lo que no resulta evidente la determinación del grado de apreciciación más apropiado. Como más adelante se verá, el instrumento que más afecta a la incertidumbre final del ángulo α es el comparador. Teniendo en cuenta que el comparador tiene una división de escala de 0,001 mm, la mı́nima variación en ángulo que podrı́a ser apreciada con este instrumento será (véase la Fig. 2.3): aα = arcsin 0,001 75 ≃ 0,001 75 rad = 0,001 75 × 360 2π × 60 × 60′′ = 2,75′′ . Por tanto, no tendrá sentido expresar el resultado final del ángulo α con un nivel de significación superior al ′′.
2. Expresión de una medida 35 El valor final del ángulo se obtendrá como α = α0 + ∆α = 30 + ∆α, donde ∆α es la variación del ángulo detectada con el comparador. A continuación se determinará la incertidumbre asociada a la materialización del ángulo α0 con la regla de senos. El ángulo α0 está relacionado con H y L a través de la siguiente expresión α0 = arcsin H L . Por tanto, aplicando la ley de propagación de varianzas, resulta u2 α0 = ∂α0 ∂H 2 u2 H + ∂α0 ∂L 2 u2 L, donde ∂α0 ∂H = 1 L p 1 − (H/L)2 , y ∂α0 ∂L = −H L2 p 1 − (H/L)2 . Operando adecuadamente se obtiene finalmente u2 α0 = 1 L2 u2 H + H2 L2 u2 L 1 − H2/L2 , donde u2 H = u2 a + u2 b. Según los datos proporcionados en el enunciado, se pueden obtener los siguientes resul- tados para las diferentes componentes de la incertidumbre: uL = 300 × 10−5 2 mm = 1,5 µm. ua = 1 3 (0,1 + 0,002 × 50) = 0,0667 µm. ub = 1 3 (0,1 + 0,002 × 100) = 0,1 µm. uH = q 0,06672 + 0,12 = 0,12 µm. Por lo tanto, resultará u2 α0 = 1 3002×106 0,122 + 1502 3002 1,52 1 − 1502/3002 = 8,5467 × 10−12 rad2 .
2. Expresión de una medida 36 Ası́, se obtiene finalmente uα0 = 2,92 × 10−6 rad ≃ 0,6′′ . A continuación se obtendrá la incertidumbre asociada a ∆α. Teniendo en cuenta que dicho ángulo es suficientemente pequeño, se podrá utilizar la siguiente aproximación ∆α = arcsin ∆h ℓ ≃ ∆h ℓ = 4 × 10−3 75 rad = 11, 0′′ . Por tanto, aplicando la ley de propagación de varianzas a la expresión aproximada, se podrá obtener u2 ∆α = ∂∆α ∂∆h 2 u2 ∆h + ∂∆α ∂ℓ 2 u2 ℓ = 1 ℓ2 u2 ∆h + ∆h2 ℓ2 u2 ℓ ! , donde u∆h es la incertidumbre asociada al comparador uc. Obsérvese que no se dispone de información para estimar la incertidumbre uℓ asociada a la longitud de exploración ℓ. Puede comprobarse que la contribución de uℓ a la incertidumbre de ∆α es significa- tivamente inferior que la contribución de u∆h. Nótese que el factor ∆h2 ℓ2 es del orden de 10−9 haciendo que aunque la incertidumbre asociada a ℓ sea mil veces superior a la del comparador, la incertidumbre final sólo serı́a afectada en un uno por mil. Por tanto, ya que con los medios disponibles en un laboratoria de metrologı́a convencional es relati- vamente viable asegurar una longitud de exploración ℓ con una incertidumbre del orden de 1 mm, su influencia se podrá considerar prácticamente despreciable. Ası́, la expresión anterior podrá quedar como u∆α ≃ 1 ℓ u∆h = 1 75 × 10−3 rad = 2,75′′ Por tanto, la incertidumbre final del ángulo α resultará uα = r uα2 0 + u2 ∆α = q 0,62 + 2,752 = 2,81′′ . Obsérvese que la contribución a uα de ∆α, que es del orden de la contribución del com- parador, representa el 82 % del total. Finalmente, Uα(k = 2) = 2,81 × 2 ≃ 6′′ . Luego α = 30◦ 11′′ ± 6′′ (k = 2). Puede comprobarse que el intervalo anterior se encuentra totalmente contenido en el intervalo de tolerancia 30◦00′′ ± 20′′, por lo que la pieza es conforme con la tolerancia especificada.
2. Expresión de una medida 37 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Comparar los métodos de los dos rodillos (véase el ejemplo 2 del Capı́tulo 2.7) y de la sonda de rodillos fijos (véase el ejemplo 1 del Capı́tulo 2.7) empleados para medir el radio exterior de curvatura de la pieza que se muestra en la figura, en los que se emplea, en ambos casos, un micrómetro centesimal con una incertidumbre de 0,02 mm para un factor de calibración k = 3. Los rodillos del primer método son de 15 mm de diámetro con una incertidumbre de 0,001 mm (k = 2), mientras que los rodillos fijos de la sonda son de 25 mm de diámetro con una incertidumbre de 0,001 mm (k = 2) y con distancia entre sus centros de 75 mm con una incertidumbre asociada de 0,005 mm (k = 2). La lectura obtenida con el micrómetro en el método de los dos rodillos es M = 88,49 mm, mientras que las dos lecturas obtenidas con la sonda son M1 = 13,93 mm sobre la pieza a medir y M2 = 0,02 mm sobre el plano auxiliar de vidrio óptico de error prácticamente despreciable. R Mármol de verificación Solución: Método de los dos rodillos: (R = 45,01 ± 0,02) mm (K = 2). Método de la sonda: (R = 45,00 ± 0,07) mm (K = 2). 2. Supongamos que ha de obtenerse la longitud de una barra metálica a 200C con una máquina medidora de una coordenada horizontal que está situada en un local donde la temperatura ambiente se mantiene entre 270C y 310C. Una vez estabilizada térmicamente la barra, se mide su temperatura con dos sondas asignándoles un valor θ = (29,75 ± 0,04)0C (K = 2). En estas condiciones se reiteran diez medidas sobre la barra obteniéndose las siguientes indicaciones:
2. Expresión de una medida 38 Lecturas a θ = 29,750C li(θ)(mm) 500,057 500,056 500,054 500,059 500,056 500,056 500,057 500,054 500,055 500,059 El fabricante de la medidora indica que la bancada y el sistema de medida de la misma son prácticamente insensibles a la temperatura entre 150C y 350C, pero la medidora no incorpora ningún sistema de compensación automática de temperatu- ra para el mensurando. La última calibración realizada sobre la máquina con bloques patrón longitudinales mantenidos a una temperatura dentro del margen indicado, determinó la necesidad de aplicar una corrección global sobre todo su campo de medida (0-1000 mm) con una desviación tı́pica igual a 3µm. La corrección global se introdujo en el sistema de medida de la medidora. El coeficiente de dilatación lineal del material de la barra medida (acero inoxidable) se estima con un valor de (11,5 ± 1,5)10−6K−1 (K = 2). Determı́nese la longitud de la barra y su incertidumbre expandida (K = 2). Solución: (500,000 ± 0,010) mm (K = 2). 3. Para medir el diámetro medio de la rosca M30x3 que se muestra en la figura, se emplea el método de las tres varillas con un micrómetro milesimal de incertidumbre 0,002 mm para k = 3. La expresión que relaciona el diámetro medio de la rosca (DM ) con la medida del micrómetro (M), el diámetro de las varillas calibradas (d), el paso de la rosca (P) y el ángulo (α) es la siguiente:
2. Expresión de una medida 39 DM = M − d 1 + 1 sin α 2 ! + P 2 tan α 2 − c1 + c2, donde c1 y c2 son las correcciones por el ángulo de hélice de la rosca y deformación en el contacto respectivamente. Mediante un proyector de perfiles se obtuvo el paso de la rosca P = 3,001 mm para una incertidumbre de 0,003 mm con factor de incertidumbre k = 3 y el ángulo α = 60◦02′ con incertidumbre 10′ (k = 3). Suponiendo despreciables las correcciones c1 y c2 y que la medida del micrómetro milesiomal es M = 31,346 mm usando un juego de tres varillas calibradas de diámetro d = 2,0500 mm con incertidumbre 0,0005 mm (k = 2), se pide, determinar el diámetro medio de la rosca y la incertidumbre asociada para un factor de incertidumbre 3. 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 α d P D M M Solución: (DM = 27,795 ± 0,005) mm (K = 3). 4. Se desea medir el ángulo (α) y el ancho (A) de escotadura de la guı́a en cola de mi- lano mostrada en la figura. Para ello se dispone de dos pares de bolas calibradas de diámetros respectivos 10 y 20 mm, con una incertidumbre asociada en ambos casos de 0,0005 mm para un factor de incertidumbre k = 2 y una máquina medidora de una coordenada, con incertidumbre asociada de 0,004 mm k = 3, en la que se deter- minan dos medidas sobre la distancia interior entre dos bolas de igual diámetro (M)
2. Expresión de una medida 40 tal y como se muestra en la figura. Las medidas obtenidas con la máquina medidora son M1 = 10,045 mm y M2 = 37,355 mm para las bolas de diámetros 20 y 10 mm respectivamente. Se pide: a) El valor del ángulo α y el ancho de escotadura A. b) La incertidumbre asociada a α y A para un factor de incertidumbre k = 3 en ambos casos. 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 A M α d Solución: (A = 64,665 ± 0,011) mm (K = 3). (α = 60◦1′48′′ ± 1′7′′) (K = 3).
C A P Í T U L O 3 Calibración y medición Como se ha indicado en el capı́tulo anterior, cuando se realizan mediciones sucesivas sobre un mismo mensurando en condiciones de repetibilidad, no siempre se obtienen los mismos resultados. Esta variabilidad del proceso de medición afecta a la precisión de las medidas por lo que debe ser cuantificada y acotada para la obtención de medidas fiables. En la sección anterior se han expuesto algunos procedimientos estadı́sticos que ayudan a cuantificar y acotar la variabilidad de las medidas. En lo que sigue se estudiará de forma más detallada el procedimiento operativo de medición y se establecerán las relaciones existentes entre éste y el procedimiento operativo de calibración. Para ello, se van a considerar los siguientes casos que resultan ilustrativos de las principales situaciones que se pueden presentar en la práctica metrológica. 3.1 ALGUNOS EJEMPLOS DE MEDICIÓN Y CALIBRACIÓN Ensayo 1 Supóngase que con un determinado instrumento de medida centesimal se efectúan 5 mediciones sobre un cierto mensurando de valor desconocido, obteniéndose los siguien- tes valores numéricos 5,03 5,03 5,03 5,03 5,03 Estos resultados permiten hacer las siguientes consideraciones. En este caso, el grado de agrupamiento de las medidas efectuadas con este instru- mento centesimal es máximo ya que todas los valores obtenidos son iguales. 41
3. Calibración y medición 42 Se deduce, por tanto, que habrı́a sido suficiente realizar una única medición. El resultado de la medida es, obviamente, 5,03. Se desconoce si el valor real de la magnitud medida es 5,03 o un valor próximo, dado que no se dispone de información adicional del instrumento empleado ni de su nivel de ajuste. Con los resultados obtenidos no se conoce la incertidumbre ni puede llegar a deter- minarse. Ensayo 2 Si las mediciones se efectuasen en las mismas condiciones del caso anterior pero obteniéndose los siguientes valores numéricos: 4,98 5,00 4,99 5,02 5,03 es posible ahora hacer las siguientes consideraciones. El grado de agrupamiento de las medidas no es en este caso total, apreciándose una cierta variabilidad con un recorrido de valor 0,05 (5 divisiones de escala del instrumento). En este caso, a diferencia del anterior, no hubiera sido suficiente realizar una sola medición, ya que se habrı́a obtenido un valor igual a 4,98 (primer valor de la mues- tra) que coincide, como se puede apreciar, con uno de los extremos de las medidas. El mejor resultado de la medida podrá ser el valor entero de la división de escala que esté más próximo a la media aritmética de las medidas x′ = 5 P 1 xi 5 = 5, 004 ≃ 5, 00. Al igual que en el caso anterior, no es posible conocer el valor real de la magni- tud medida ya que no se dispone de información adecuada acerca del instrumento empleado. Tampoco es posible calcular la incertidumbre de la medida.
3. Calibración y medición 43 Ensayo 3 Supóngase que con un determinado instrumento de medida se efectúan 5 mediciones sobre un patrón de valor conocido e igual a 5 cuya incertidumbre se puede considerar despreciable frente a la división centesimal de la escala del instrumento 5,03 5,03 5,03 5,03 5,03 Los resultados obtenidos sugieren los siguientes comentarios. El grado de agrupamiento, como en el ensayo 1, es máximo. Por tanto, hubiera bastado realizar una única medición. El resultado de la medida es, obviamente, igual a 5,03. Con la información disponible del mensurando, se puede determinar el desajuste de la escala del instrumento, siendo en este caso igual a 0,03, es decir 3 divisiones de escala en exceso. Aunque no se conoce el valor de la incertidumbre de la medida, al haber conse- guido un agrupamiento máximo, tal y como se indicó en secciones anteriores, es posible acotar la variabilidad del instrumento con un semi-intervalo igual a una di- visión de escala del instrumento, obviamente, después de ajustar o corregir con dos divisiones de escala las medidas del instrumento: 5,03 − 0,03 ± 0,01 = 5,00 ± 0,01. Ensayo 4 Supóngase ahora que sobre el mismo patrón del caso anterior se reiteran 5 medicio- nes con un instrumento también centesimal obteniéndose los siguientes valores numéri- cos 4,98 5,00 4,99 5,02 5,03 En este caso, el grado de agrupamiento no es total, apreciándose un variabilidad con un recorrido igual a 0,05 (5 divisiones de escala del instrumento).
3. Calibración y medición 44 El mejor resultado de la medida, como en el ensayo 2, podrá ser x′ = 5 P 1 xi 5 = 5, 004 ≃ 5, 00. El instrumento tiene un desajuste o desplazamiento de escala igual a 0,004 en ex- ceso. Aunque se desconoce la incertidumbre asociada a la medición efectuada, ésta se puede estimar acotando la variabilidad de la medida mediante, por ejemplo, el re- corrido de los valores de la muestra (±0,025). Además se deberá añadir el valor 0,004 del desajuste que no se ha corregido U ≤ 0,029 ≤ 0,03. Los casos 3 y 4 que se acaban de analizar corresponden realmente a una operación de medida denominada calibración que básicamente consiste en la medida de un patrón de valor conocido con una precisión lo suficientemente alta, y con la que se pueden obtener las siguientes caracterı́sticas metrológicas del instrumento de medida: variabilidad de las medidas efectuadas por el instrumento, desajuste del instrumento, e incertidumbre asociada al proceso de medición del patrón, también conocida como incertidumbre de calibración. En la figura 3.1 se puede ver esquemáticamente el proceso y los resultados de una operación de calibración sobre un instrumento de medida. Aunque más adelante se de- tallará mediante un ejemplo el proceso de calibración de un instrumento de medida, a continuación se expondrá, de forma general, el procedimiento operativo tanto de cali- bración como de medición ası́ como los resultados obtenidos con ambas operaciones [11]. 3.2 PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN Y RESULTADOS OBTENIDOS Básicamente, el proceso de calibración consiste en la medida reiterada nc veces (xci(i = 1, 2, . . . , nc)) de un patrón de “valor conocido” x0 e incertidumbre U0 (recuérdese que la
3. Calibración y medición 45 Proceso de medición del patrón o referencia Instrumento o equipo de medida Referencia o patrón (valor conocido) de calibración Incertidumbre y corrección Figura 3.1: Diagrama esquemática del proceso de calibración de un ins- trumento de medida. incertidumbre se calcula en muchas ocasiones multiplicando el valor de la acotación de variabilidad, que en este caso se podrá llamar u0, por un factor de incertidumbre o factor de recubrimiento k0 que suele valer 2 ó 3). El número de mediciones nc suele ser igual o mayor que 5, aunque en muchas ocasiones, sobre todo en metrologı́a dimensional, se suele usar nc = 10. Es importante mencionar que las medidas realizadas en una operación de calibración deben realizarse bajo condiciones de repetibilidad, lo que facilitará la corrección del instrumento y la mejor identificación de las posibles causas de error que afecten a sus medidas. Los resultados que se extraen de todo proceso de calibración son los que se indican a continuación. xci, medidas de calibración (i = 1, 2, . . . , nc). x′ c, estimador central de las medidas de calibración que, generalmente, suele ser la media aritmética de las medidas  x′ c = nc X 1 xci/nc  . sc, desviación tı́pica de las medidas de calibración. ∆xc, corrección o ajuste de calibración (∆xc = x0 − x′ c). uc, incertidumbre asociada a la corrección de calibración calculada, también lla- mada simplemente incertidumbre de calibración. Mediante el teorema central del lı́mite la varianza del valor medio x′ c se podrá igualar a s2 c /nc y mediante la ley de propagación de varianzas se obtiene que la varianza correspondiente a la corrección de calibración (∆xc = x0 − x′ c) será igual a u2 c = U0 k0 2 + s2 c /nc.
3. Calibración y medición 46 Uc, incertidumbre expandida de calibración para un factor de incertidumbre o de recubrimiento kc (Uc = kcuc). 3.3 PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN Y RESULTADOS OBTENIDOS El proceso de medición consiste, básicamente, en la medición reiterada de nm (x′ mj(j = 1, 2, . . . , nm)) medidas sobre un mensurando de “valor desconocido” (ensayos 1 y 2 de la Sección 3.1). Generalmente, nm suele ser inferior o igual a 3, aunque en muchas ocasiones nm = 1. En el caso en el que nm 1, las medidas realizadas se obtienen, al igual que en el proceso de calibración del instrumento o equipo que se está utilizando, bajo condiciones de repetibilidad. Sin embargo, las operaciones que se realizan en los procesos de medi- ción y calibración se efectúan entre ambas bajo condiciones de reproducibilidad, es decir, la calibración y la medición se efectuarán con un mismo equipo y con un mismo método de medida, pero no necesariamente con idénticas condiciones de utilización: mensuran- do, lugar, condiciones ambientales e intervalos de tiempo lo suficientemente grandes. Para simplificar el planteamiento que a continuación se expone, se supondrá que la úni- ca corrección que habrá que considerar en el proceso de medición con un determinado instrumento será la de calibración, despreciando aquellas desviaciones o desajustes del instrumento que pudieran surgir al utilizar dicho instrumento en condiciones distintas a las de calibración (temperatura, humedad, etc.). Los resultados que se extraen del proceso de medición son los que se indican a con- tinuación. xmj, medidas (j = 1, 2, . . . , nm). x′ m, estimador central de las medidas, que puede ser la media aritmética de las medidas, como en el proceso de calibración, x′ m = nm X 1 xmj/nm, aunque cuando nm es pequeño, y además impar, suele ser frecuente usar la mediana de las medidas realizadas. sm, desviación tı́pica de las medidas. Como se ha indicado, nm suele ser inferior o igual a 3, por lo que, si no se conoce el valor de sm, resulta muy difı́cil y poco fiable estimar su valor. En estos casos, es muy frecuente utilizar la aproximación sm ≃ sc, lo que implica suponer que tanto los resultados de la calibración como los resultados de la medición pertenecen a la misma población.
3. Calibración y medición 47 um, incertidumbre asociada, estrictamente, al proceso de medición y que en este caso coincidirá con la varianza asociada a la media aritmética x′ m de la medición (u2 m = s2 m/nm ≃ s2 c /nm). Um, incertidumbre expandida de la medición para un factor de incertidumbre o factor de recubrimiento km (Um = kmum). 3.4 PROCEDIMIENTO CONJUNTO DE CALIBRACIÓN Y MEDICIÓN Obviamente, antes del proceso de medición se deberá calibrar el instrumento o equi- po de medida registrando todos los resultados derivados del proceso de calibración. Los resultados de la calibración tienen un periodo de validez que dependerá de las con- diciones de uso del instrumento o equipo durante el proceso o procesos de medición. El resultado final de cada medición efectuada deberá venir afectado por los resultados obtenidos en la calibración. Este resultado final del proceso global calibración-medición proporciona el valor convencionalmente verdadero (x) de la magnitud medida (valor de la medición afectado por las correspondientes correcciones obtenidas en la calibración) que irá asociado a una cierta incertidumbre (U). x, valor resultante de la medida (x = x′ m + ∆xc). u, incertidumbre asignable al valor resultante de la medida, cuyo valor de la va- rianza se obtendrá aplicando la ley de propagación de la varianza a la expresión x = x′ m + ∆xc, resultando u2 = u2 m + u2 c = s2 m nm + u2 0 + s2 c nc ! ≃ u2 0 + s2 c 1 nc + 1 nm . U, incertidumbre expandida asignable al resultado global de la medida para un factor de incertidumbre o de recubrimiento k (U = ku). Para concluir, es importante resaltar que como se ha expuesto, el resultado final de la medida (x) y su incertidumbre (U) son funciones de los resultados obtenidos en los procesos de calibración y medición, teniendo que x = F(x0, x′ c, x′ m) = f(x0, xci, nc, xmj, nm), u = Φ(u0, uc, um) = φ(u0, sc, nc, nm) ó φ(u0, sc, nc, sm, nm).
3. Calibración y medición 48 Calibración de un instrumento de medida Aunque ya se ha descrito en la Sección 3.3 el procedimiento general de calibración de un instrumento o equipo de medida, en este ejemplo se describirá de forma más detallada el procedimiento de calibración aplicado a un instrumento de medida con escala graduada. Según el Vocabulario Internacional de Metrologı́a (VIM), se define “calibración” como: “el conjunto de operaciones que establece, en unas condiciones determina- das, la relación que existe entre los valores indicados por un instrumento o sistema de medida, o los valores representados por una medida materializa- da (por ejemplo un patrón), y los correspondientes valores conocidos de una magnitud medida”. Como ya se ha indicado, la calibración es una operación imprescindible para estable- cer la trazabilidad de los elementos industriales de medida. El resultado de una calibra- ción es recogido en un documento que suele denominarse “certificado de calibración”. Es conveniente consultar el documento del Sistema de Calibración Industrial (SCI), donde se establecen los requisitos y las recomendaciones generales para la emisión de certificados de calibración SCI. Vamos a suponer que las condiciones habituales de utilización del instrumento son idénticas a las existentes durante la calibración. Esto supone que la única corrección que consideraremos será la de calibración. En caso contrario, la variabilidad debe ser corregida por las variaciones entre las condiciones de la medida y de la calibración. Consideremos primero la calibración de un punto del aparato. Se mide un patrón de magnitud próxima al punto a calibrar nc veces. El patrón tiene un valor conocido x0 y una incertidumbre U0 y factor k0 conocidos también. El valor dado de la magnitud del patrón es: x0 ± U0 = x0 ± k0u0 (3.1) Se realizan nc medidas1 del patrón con el instrumento y se calcula su valor medio xc. Al comparar con el valor dado x0 suele aparecer una diferencia (corrimiento de escala o corrección de calibración). 1 normalmente entre 10 ó 20 medidas suele ser aceptable.
3. Calibración y medición 49 ∆xc = x0 − xc (3.2) El valor de ∆xc es un estimador de la corrección que realmente deberı́a introducirse y posee una incertidumbre asociada, que aplicando la ley de propagación de varianzas resulta: u2 ∆xc = u2 0 + s2 c nc (3.3) Al medir con el instrumento en valores próximos al patrón reiterando n mediciones se obtendrá: x′ = P xi n con desviación tı́pica sx′ √ n (3.4) Por lo tanto, el valor de la medida será: x = x′ + ∆xc (3.5) Aplicando de nuevo la ley de propagación de varianzas, se puede obtener la variabili- dad de la medida (x): u2 x = u2 x′ + u2 ∆xc = u2 0 + s2 c nc + s2 x′ n . (3.6) Si tomamos un coeficiente k de incertidumbre, y suponemos que el mensurando tiene un grado de definición igual al del patrón sc = sx′ :2 U k 2 = U0 k0 2 + 1 nc + 1 n s2 c . (3.7) Para calibrar un instrumento en todo el campo de medida, el procedimiento más elemental consiste en repetir la calibración en varios puntos de su escala. Los valores de la corrección de calibración e incertidumbre asociada en cada uno de los puntos calibrados no facilitan una información práctica para la utilización habitual de la mayor parte de los instrumentos de uso industrial. Por ello, suele aplicarse algún criterio globalizador que permita evaluar la incertidumbre y corrección de calibración del instrumento con independencia del punto de utilización. 2 Para obtener un resultado más preciso, la variabilidad del mensurando debe ser estimada reiterando sucesivas mediciones sobre el mismo.
3. Calibración y medición 50 Para ello se estable una corrección global como promedio de la corrección en cada punto de calibración: ∆xc = 1 N N X j=1 ∆xcj, (3.8) siendo N los puntos usados del campo de medida del instrumento. En todos los puntos habrá una corrección residual que puede determinarse mediante: δcj = ∆xcj − ∆xc. (3.9) Esta corrección residual se incorpora a la incertidumbre mediante el criterio de asimi- larla a una incertidumbre de factor k = 3. Luego la incertidumbre de calibración en cada punto es: u2 cj = u2 oj + s2 cj ncj + δ2 cj 9 . (3.10) El valor resultante de una medida con el instrumento calibrado será: x = x′ + ∆xc, (3.11) y su incertidumbre: U k = u = máx    v u u t u2 oj + s2 cj 1 ncj + 1 n ! + δ2 cj 9    . (3.12) Las incertidumbres obtenidas siempre se redondearán por exceso a unidades enteras de la división de escala del instrumento a calibrar. Cuando la corrección global de calibración complica la utilización del instrumento, toda la corrección de calibración se considera residual3. Ejemplo 1. Calibración de un micrómetro milesimal Se calibra un micrómetro milesi- mal digital de campo de medida 0-25 mm con bloques patrón longitudinales de grado 0 3 Cuando las correcciones de calibración varı́an notablemente entre los distintos puntos del campo de medida, el uso de una corrección global como valor medio de las anteriores no es representativo de todo el campo de medida.
3. Calibración y medición 51 y nominales de 5, 12 y 20 mm, 4 obteniéndose los siguientes valores: 5,004 12,001 20,003 5,003 12,003 20,005 5,000 12,006 20,002 5,002 12,001 20,002 5,000 12,002 20,001 Se desea obtener, a partir de estos datos de calibración, el valor global que para todo el campo de medida puede asignarse a la incertidumbre del instrumento, para el caso de medición con tres repeticiones. Se valorará la oportunidad de realización de un ajuste (o corrección de calibración) del instrumento, debiendo indicarse, en su caso, el valor de dicho ajuste. Para todos los casos considérese un factor de incertidumbre de valor 2. Lo primero que vamos a hacer es calcular la media aritmética de las indicaciones en cada punto considerado del campo de medida. Ası́: para x01 = 5 mm; xc1 = 5, 0018 mm; para x02 = 12 mm; xc2 = 12, 0026 mm; para x03 = 20 mm; xc3 = 20, 0026 mm; Una vez calculadas las medias aritméticas podemos obtener la corrección de calibra- ción en cada punto del campo de medida: ∆xc1 = x01 − xc1 = 5 − 5, 0018 = −0, 0018 mm = −1, 8 µm ∆xc2 = x02 − xc2 = 12 − 12, 0026 = −0, 0026 mm = −2, 6 µm ∆xc3 = x03 − xc3 = 20 − 20, 0026 = −0, 0026 mm = −2, 6 µm 4 Debe mencionarse que en la práctica, para este tipo de instrumentos conviene que los patrones elegidos para su calibración difieran en sus cifras decimales para evitar calibrar el instrumento en el mismo punto de la escala graduada del tambor.
3. Calibración y medición 52 Suponiendo que en principio, el micrómetro puede ser utilizado en cualquier punto de su campo de medida, serı́a de bastante utilidad considerar una “corrección global” del instrumento. Esta corrección global se puede calcular como media aritmética de las correcciones de calibración obtenidas en los tres puntos considerados. Ası́: ∆xc = 1 3 3 X j=1 ∆xcj = −0, 0023 mm = −2, 3 µm ≃ −2 µm Si vamos a realizar un ajuste del instrumento con un valor −2 µm, en cada punto del campo de medida del mismo, aparecerá una “corrección residual” que afectará a la incertidumbre del instrumento. La corrección residual que debemos considerar en cada caso será: δc1 = ∆xc1 − ∆xc = −0, 0018 − (−0, 002) = 0, 0002 mm = 0, 2 µm δc2 = ∆xc2 − ∆xc = −0, 0026 − (−0, 002) = −0, 0006 mm = −0, 6 µm δc3 = ∆xc3 − ∆xc = −0, 0026 − (−0, 002) = −0, 0006 mm = −0, 6 µm La corrección residual se incorporará a la incertidumbre asimilándola a una incerti- dumbre de factor k = 3. A continuación vamos a calcular la incertidumbre asociada a cada punto considerado. Para ello, debemos analizar cada una de las contribuciones a dicha incertidumbre. En primer lugar debemos considerar la “incertidumbre de corrección de calibración” que por la ley de propagación de varianzas se puede expresar de la siguiente forma: u2 cj = u2 0j + s2 cj ncj + δ2 cj 9 ; (3.13) donde u0j representa la incertidumbre del patrón considerado; scj es el parámetro de dispersión de la muestra j de la operación de calibración, y se puede calcular a través de la siguiente expresión: scj = v u u u t 1 ncj − 1 ncj X i=1 (xcji − xcj)2; (3.14) y δcj es la corrección residual en el punto j del campo de medida.
3. Calibración y medición 53 La incertidumbre asociada a los bloques patrón de calidad 0 se pueden calcular a partir de la siguiente expresión: u0j(µm) = 0, 1 + 0, 002Lj, donde Lj es la longitud nominal en mm. Ası́: u01 = 0, 1 + 0, 002 × 5 = 0, 110 µm = 0, 00011 mm; u02 = 0, 1 + 0, 002 × 12 = 0, 124 µm = 0, 000124 mm; u03 = 0, 1 + 0, 002 × 20 = 0, 140 µm = 0, 00014 mm. Además: sc1 = 0, 0018 mm = 1,8 µm; sc2 = 0, 0021 mm = 2,1 µm; sc3 = 0, 0015 mm = 1,5 µm. Sustituyendo todos los valores podemos obtener la incertidumbre de corrección de calibración para cada punto: u2 c1 = 0, 000112 + 0, 00182 5 + 0, 00022 9 = 6,645 · 10−7 mm2 ; uc1 = 0, 82 µm; u2 c2 = 0, 0001242 + 0, 00212 5 + 0, 00062 9 = 9, 3738 · 10−7 mm2 ; uc2 = 0, 97 µm; u2 c3 = 0, 000142 + 0, 00152 5 + 0, 00062 9 = 5, 096 · 10−7 mm2 ; uc3 = 0, 71 µm.
3. Calibración y medición 54 Para calcular la incertidumbre total tenemos que incluir la incertidumbre que añade el elemento a medir (sm). En este caso, vamos a suponer que dicha incertidumbre es del orden de la del patrón utilizado en la calibración, por lo que podemos suponer que smj ≃ scj. De esta forma y mediante la ley de propagación de varianzas, la incertidumbre en cada punto considerado resulta: u2 j = u2 cj + s2 mj n , (3.15) siendo n según el enunciado igual a 3. Por lo tanto: u1 = s 6,645 · 10−7 + 0, 00182 3 = 0, 0013 mm = 1, 3 µm; u2 = s 9,3738 · 10−7 + 0, 00212 3 = 0, 0016 mm = 1, 6 µm; u3 = s 5,096 · 10−7 + 0, 00152 3 = 0, 0011 mm = 1, 1 µm. Siguiendo con el mismo criterio globalizador con el fin de facilitar el uso del ins- trumento de medida asignando un único valor de incertidumbre para todo su campo de medida, elegimos como incertidumbre de medida el valor máximo de los anteriores calculados. Ası́: u = máx(uj) = 0,0016 = 1,6 µm. Además como el factor de incertidumbre es k = 2, la incertidumbre global resulta: U = ku = 2 × 1, 6 = 3, 2 µm. Redondeando a la división de escala inmediatamente superior del instrumento resul- ta: U = 4 µm Por lo tanto, una vez calibrado el micrómetro milesimal, se le asigna una incertidum- bre de 4 µm para un factor de calibración (k = 2) y se le realiza un ajuste de -2 µm (es decir, 2 divisiones de la escala en el sentido apropiado) de corrección de calibración.
3. Calibración y medición 55 0000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 00 00 00 11 11 11 00 00 00 11 11 11 0 0 PATRON X o BLOQUE X COMPARADOR Ejemplo 2 Para calibrar el bloque de longitud x de la figura se emplea un patrón de longitud x0 = 10, 0000 mm e incertidumbre 0,5 µm para un factor de calibración k = 2, Para medir el blo- que se emplea un reloj comparador como el de la figura de incertidumbre 1 µm para un factor de calibración 2. Cada medida se efectúa enfrentan- do el palpador del comparador sobre el patrón x0 y situando manualmente su indicador en la posición 0. Posteriormente, se enfrenta el palpador sobre el bloque a medir apreciando en su indicador las diferencias respecto a la longitud x0. Este proceso se repite 10 veces obteniendo de esta forma los siguientes resultados: Diferencias x′ en mm respecto a x0 0,002 0,001 0,002 0,001 0,003 0,001 0,002 0,002 0,002 0,001 Obtener el valor del bloque x en mm, y su incertidumbre asociada para un factor de calibración k = 3. La medida del bloque x se puede obtener sumando a la longitud patrón x0 la media x′ de las desviaciones apreciadas con el reloj comparador. De este modo: x = x0 + x′. (3.16) El valor medio de las desviaciones y su correspondiente estimación de desviación tı́pica (aplicando el teorema central del lı́mite) se obtienen de los valores adjuntos en la
3. Calibración y medición 56 tabla: x′ = 10 P i=1 x′ i 10 = 0, 0017 mm; sx′ = v u u u u t 10 P i=1 (x′ − x′)2 10 − 1 = 0, 000674 mm = 0, 674 µm. Para calcular la incertidumbre asociada a la medida del bloque x se aplica la ley de propagación de varianzas con el siguiente resultado: u2 x = u2 x0 + u2 x′ ; (3.17) donde ux0 corresponde a la incertidumbre asociada al bloque patón x0; y ux′ correspon- de a la incertidumbre asociada a la media de las desviaciones x′. ux0 = U0 k = 0, 5 2 = 0, 25 µm. Aplicando de nuevo la ley de propagación de varianzas se podrá obtener ux′ : u2 x′ = u2 comparador + s2 x′ 10 = 1 2 2 + 0, 6742 10 = 0, 2954 µm2 . (3.18) Sustituyendo estos valores en la ecuación 3.17: ux = q 0, 252 + 0, 2954 = 0, 598 µm. Para un factor de calibración k = 3, la incertidumbre global de la longitud del bloque x resulta: Ux(k = 3) = 3 × 0,598 + 0,3 µm ≃ 3 µm = 0, 003 mm. Luego el bloque tiene una longitud: x = 10, 002 ± 0, 003 mm (factor de calibración 3).
C A P Í T U L O 4 Organización metrológica. Plan de calibración Como se indicó en el capı́tulo de Introducción, la Trazabilidad de una medida se pue- de definir como la propiedad consistente en poder referir la precisión de dicha medida a patrones apropiados, a través de una cadena ininterrumpida de comparaciones. La co- rrecta trazabilidad de un laboratorio de metrologı́a se consigue a través de un “plan de calibración” permanente [4]. Para la creación y puesta en marcha de un plan de calibra- ción se deben agrupar todos los instrumentos en “grupos de calibración”, que deben ser ordenados de mayor a menor precisión, organizándolos en niveles en lo que se llama “diagrama de niveles”. Un plan de calibración tiene un soporte fı́sico constituido por los siguientes elemen- tos: - Diagrama de niveles. Es un gráfico donde figuran agrupados y numerados todos los instrumentos de medida existentes en el laboratorio. - Etiquetas de calibración. Etiquetas donde queda reflejado la fecha de la calibración efectuada y la fecha de la próxima calibración. - Fichero de instrucciones. Es una colección de fichas numeradas como en el diagra- ma. En cada una de ellas está señalada la relación de instrumentos que abarca y las instrucciones necesarias para efectuar su calibración. - Archivo de resultados. Una colección de carpetas numeradas de acuerdo al dia- grama de niveles donde están reflejados los resultados de la última calibración, ası́ como los datos que se consideren necesarios. 57
4. Organización metrológica. Plan de calibración 58 El criterio fundamental para formar un grupo en el diagrama de niveles es que todos los elementos que comprende se calibren con los mismos grupos de patrones, mediante los mismos procedimientos generales y que sus incertidumbres se estimen con las mis- mas ecuaciones de cálculo. En un grupo puede haber un sólo elemento, varios similares, o también accesorios o componentes análogos de diferentes aparatos. El criterio fundamental para la formación de los niveles dentro del diagrama es que los grupos de cada nivel sean calibrados por grupos de niveles superiores, nunca inferiores, ni tampoco del mismo nivel. Para completar la ordenación de los grupos en el diagrama se complementa con las tres reglas siguientes: 1. El primer nivel lo forman los patrones de referencia del centro, es decir aquellos de más precisión que se calibran periódicamente en otros centros de nivel superior. 2. El último nivel lo forman los instrumentos que una vez calibrados no calibran a otros. Generalmente, este nivel es el más numeroso y sencillo de calibrar. 3. Los niveles intermedios están formados por aquellos que reciben calibración de los niveles superiores y calibran a niveles inferiores. Se colocan en el nivel más elevado posible, pues la experiencia ha demostrado que ello facilita las posteriores modifi- caciones del diagrama al introducir nuevos grupos o por cualquier otra razón. Los grupos de calibración pueden representarse mediante un rectángulo, identificándo- se mediante un número y un tı́tulo que se debe ajustar a las denominaciones establecidas por el “Sistema de Calibración Industrial” (SCI) (véase la figura 4.1). No se admiten bajo ningún concepto la inclusión de marcas comerciales o modelos. Para aclarar mejor los conceptos anteriores, se va a resolver el siguiente ejercicio. Ejemplo Dado el “diagrama de niveles” indicado en la figura, correspondiente al “plan de calibración” de un Laboratorio de Metrologı́a, se pide indicar los defectos que existen en dicho “diagrama de niveles”, razonando la respuesta para cada defecto.
4. Organización metrológica. Plan de calibración 59 SCI Denominación Instrumentos que lo calibran Instrumentos a los que calibra Instrumentos que participan en su calibración calibración participa Instrumentos en cuya Figura 4.1: Representación de un grupo de calibración en el diagrama de niveles. 4 6 7 4 5 8 6 8 10 8 4 9 9 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 Nivel R Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 1 2 6 2 3 1 4 1 2 4 5 7 10 6 5 En el nivel de referencia no se observa ningún error ya que está constituido por grupos de calibración que no son calibrados por ningún otro del diagrama, y además calibran a instrumentos pertenecientes a grupos de niveles inferiores. En el nivel 1 se observa que el grupo 4 es calibrado por instrumentes pertenecientes al grupo 6 que se sitúa en un nivel inferior. Por lo tanto es incorrecto. En el nivel 2 se observan dos errores. En primer lugar, el grupo 7 podrı́a situarse
4. Organización metrológica. Plan de calibración 60 perfectamente en un nivel superior, por lo que deberı́a pasar al nivel 1. Por otro lado, el grupo 8 debe situarse en el nivel inferior ya que está constituido por instrumentos de medida que no participan en la calibración de ningún otro instrumento del diagrama de niveles. Por último, en el nivel 3, el grupo 10 está mal situado ya que está constituido por instrumentos que participan en la calibración de instrumentos del grupo 9. EJEMPLO PROPUESTO Dado el “diagrama de niveles” indicado en la figura, se pide indicar los defectos que existen en dicho “diagrama de niveles”, razonando la respuesta para cada defecto. 4 6 7 4 5 8 8 10 8 9 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 Nivel R Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 1 2 2 3 1 1 2 4 5 7 10 6 5 4 5 7 4 9 10 3 3 2
C A P Í T U L O 5 Normalización de tolerancias dimensionales En este capı́tulo se va a tratar el Sistema de Normalización Internacional ’ISO’ en lo referente a las tolerancias dimensionales más empleadas en Fabricación. Sólo se va a hacer referencia a cotas nominales inferiores a 500 mm. 5.1 EL SISTEMA DE TOLERANCIAS DIMENSIONALES ISO El sistema ISO para tolerancias dimensionales se basa en tres principios fundamenta- les: 1. Subdividir los diámetros normalizados (de 1 a 500 mm) distribuyéndolos en una serie de 13 agrupaciones de diámetros; cada agrupación abarca un campo determi- nado, y dentro de cada campo las tolerancias son las mismas en valor absoluto. 2. Calidad o precisión. 3. Posición de la tolerancia respecto a una lı́nea de referencia o cota nominal. La cota nominal se expresa meidante el valor entero en mm más cercano a las dimen- siones admisibles de la pieza. Las cotas nominales se distribuyen en 13 agrupaciones fundamentales del siguiente modo. 61
5. Normalización de tolerancias dimensionales 62 5.1.1 Grupos de diámetros 1 a 3 mm 80 a 120 mm 3 a 6 mm 120 a 180 mm 6 a 10 mm 180 a 250 mm 10 a 18 mm 250 a 315 mm 18 a 30 mm 315 a 400 mm 30 a 50 mm 400 a 500 mm 50 a 80 mm Con estos grupos se vio que no era suficiente para determinadas precisiones, por lo que finalmente se ha llegado a una subdivisión de 13 grupos principales y 22 intermedios para dimensiones entre 10 y 500 mm: 10 a 14 mm 140 a 160 mm 14 a 18 mm 160 a 180 mm 18 a 24 mm 180 a 200 mm 24 a 30 mm 200 a 225 mm 30 a 40 mm 225 a 250 mm 40 a 50 mm 250 a 280 mm 50 a 65 mm 280 a 315 mm 65 a 80 mm 315 a 355 mm 80 a 100 mm 355 a 400 mm 100 a 120 mm 400 a 450 mm 120 a 140 mm 450 a 500 mm 5.1.2 Unidad de Tolerancia El sistema ISO adopta para el cálculo de tolerancias con dimensiones comprendidas entre 1 y 500 mm la unidad internacional de tolerancia: i = 0, 45(D)1/3 + 0, 001D donde i está definido en micras (µm). D es la media geométrica entre los valores extre- mos de cada grupo de diámetros en milı́metros (D = p DmaxDmin). El término 0, 001D se
5. Normalización de tolerancias dimensionales 63 introduce para tener en cuenta la incertidumbre de la medición (adquiere un valor apre- ciable únicamente para diámetros mayores de 80 mm). Aplicando esta ecuación a los grupos principales se obtienen los siguientes valores para las unidades de tolerancia: D i (µm) D i (µm) 1 a 3 mm 0,6 80 a 120 mm 2,2 3 a 6 mm 0,75 120 a 180 mm 2,5 6 a 10 mm 0,9 180 a 250 mm 2,8 10 a 18 mm 1,1 250 a 315 mm 3,2 18 a 30 mm 1,3 315 a 400 mm 3,6 30 a 50 mm 1,6 400 a 500 mm 4,0 50 a 80 mm 1,9 5.1.3 Calidad o Precisión Para cada grupo de dimensiones el sistema ISO establece 19 calidades de elaboración designadas por los sı́mbolos IT01, IT0, IT1, IT2, . . . , IT17. El sı́mbolo IT01 indica la calidad más precisa, y el sı́mbolo IT17 indica la calidad más basta. Las amplitudes de la tolerancia se calculan del siguiente modo: IT01 IT0 IT1 IT2 IT3 IT4 IT5 IT6 IT7 IT8 0, 3 + 0, 080D 0, 5 + 0, 012D 0, 8 + 0, 02D * * * 7i 10i 16i 25i IT9 IT10 IT11 IT12 IT13 IT14 IT15 IT16 IT17 40i 64i 100i 160i 250i 400i 640i 1000i 1600i * se obtienen como términos de una progresión geométrica cuyo primer término es IT1 y su último término es IT5 A partir de IT6 se sigue el criterio de adoptar una progresión geométrica según una ley normal R5 (razón 101/5 = 1,6) Las fórmulas indicadas han sido obtenidas empı́ricamente. Para la aplicación práctica, los valores realmente útiles corresponden a las amplitudes de las franjas de tolerancia tabuladas para su uso inmediato en la Tabla 5.1.
5. Normalización de tolerancias dimensionales 64 Grupos Amplitud en tolerancia en µm para la calidad de elaboración dimensionales 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 a 3 0,3 0,5 0,8 1,2 2 3 4 6 10 14 25 40 60 100 140 250 400 600 - 3 a 6 0,4 0,6 1 1,5 2,5 4 5 8 12 18 30 48 75 120 180 300 480 750 - 6 a 10 0,4 0,6 1 1,5 2,5 4 6 9 15 22 36 58 90 150 220 360 580 900 1500 10 a 18 0,5 0,8 1,2 2 3 5 8 11 18 27 43 70 110 180 270 430 700 1100 1800 18 a 30 0,6 1 1,5 2,5 4 6 9 13 21 33 52 84 130 210 330 520 840 1300 2100 30 a 50 0,6 1 1,5 2,5 4 7 11 16 25 39 62 100 160 250 390 620 1000 1600 2500 50 a 80 0,8 1,2 2 3 5 8 13 19 30 46 74 120 190 300 460 740 1200 1900 3000 80 a 120 1 1,5 2,5 4 6 10 15 22 35 54 87 140 220 350 540 870 1400 2200 3500 120 a 180 1,2 2 3,5 5 8 12 18 25 40 63 100 160 250 400 630 1000 1600 2500 4000 180 a 250 2 3 4,5 7 10 14 20 29 46 72 115 185 290 460 720 1150 1850 2900 4600 250 a 315 2,5 4 6 8 12 16 23 32 52 81 130 210 320 520 810 1300 2100 3200 5200 315 a 400 3 5 7 9 13 18 25 36 57 89 140 230 360 570 890 1400 2300 3600 5700 400 a 500 4 6 8 10 15 20 27 40 63 97 155 250 400 630 970 1550 2500 4000 6300 Tabla 5.1: Amplitud en µm de los intervalos de tolerancias para distintas calidades de elaboración.
5. Normalización de tolerancias dimensionales 65 5.1.4 Posiciones de las Tolerancias En la práctica, la medida efectiva difiere de la nominal, no sólo por la inevitable inexac- titud en la ejecución, sino también para proporcionar el juego o apriete que se desee en el ajuste entre un eje y un agujero. Para lograr esto último, lo que se hace es situar la zo- na de tolerancia en distintas posiciones con relación a la lı́nea de referencia que coincide con la cota nominal considerada. La posición de la zona de tolerancia viene dada pues, por la diferencia superior (diferencia entre la cota máxima especificada y la cota nominal) en unos casos y por la diferencia inferior (diferencia entre la cota mı́nima especificada y la cota nominal) en otros. La distancia entre la diferencia referida (superior o inferior) y la lı́nea de referencia se llama diferencia de referencia. El sistema ISO fija una serie de estas diferencias de referencia que dan lugar a todos los tipos de ajustes necesarios. Las posiciones se designan por medio de letras; los agujeros mediante letras mayúscu- las y los ejes mediante letras minúsculas. En total existen 21 posiciones correspondientes a las distintas letras (se han excluido la ’i’, ’l’, ’o’, y ’q’; y las correspondientes mayúscu- las). Las diferencias de referencia también se pueden obtener mediante fórmulas. En la figura 5.1 aparecen representadas las posiciones de los intervalos de tolerancia respecto a la lı́nea de referencia. Obsérvese que se han añadadido las posiciones ’cd’, ’ef’, ’fg’ y las correspondientes mayúsculas de los agujeros para ampliar la gama para diámetros nominales inferiores a 10 mm. También se han añadido las posiciones ’za’, ’zb’, ’zc’, y las correspondientes mayúsculas para obtener ajustes con grandes aprietes. Las posiciones vienen tabuladas por la desviación de menor valor absoluto. En las tablas 5.2, 5.3 y 5.4 se encuentran estos valores en µm. Los calibres “pasa-no pasa” son instrumentos que se utilizan para la verificación de tolerancias dimensionales sin necesidad de obtener información numérica de la pieza objeto de estudio. Estos instrumentos materializan en cada uno de sus extremos las dimensiones máxima y mı́nima de la tolerancia especificada en la pieza que se pretende verificar. La decisión (pieza aceptada o rechazada) se adopta con una simple operación de ajuste. Si el ajuste entre la pieza y el calibre es holgado para el lado “pasa” y con apriete para el lado “no pasa”, la pieza se encontrará dentro de la tolerancia especificada. En las figuras 5.2 y 5.3 se representan dos calibres tı́picos para verificación de ejes (calibre de herradura) y agujeros (calibre tampón), respectivamente. En el Capı́tulo 8 se estudiarán de forma más detallada este tipo de instrumentos.
5. Normalización de tolerancias dimensionales 66 −d s +d i A B K U ZA C CD D E EF F FG G H J J M N P s R S T V X Y Z ZB ZC zc zb za z y x v u t s r p n m k j j h g fg f ef e d cd c b a Línea de referencia Línea de referencia Taladros Ejes s Figura 5.1: Posición de los intervalos de tolerancia
5. Normalización de tolerancias dimensionales 67 Posición a’ b’ c cd d e ef f fg g h j s a j k Calidad Todas las calidades 5y6 7 8 4 a 7 ≤ 3 7 G. Diámetro (mm) Diferencia superior d s 0, ejes; (Diferencia inferior D i 0, agujeros) - Diferencia inferior d i ≤ 3 -270 -140 -60 -34 -20 -14 -10 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 0 0 3 a 6 -270 -140 -70 -46 -30 -20 -14 -10 -6 -4 0 -2 -4 - +1 0 6 a 10 -280 -150 -80 -56 -40 -25 -18 -13 -8 -5 0 -2 -5 - +1 0 10 a 14 -290 -150 -95 - -50 -32 - -16 - -6 0 -3 -6 - +1 0 14 a 18 -290 -150 -95 - -50 -32 - -16 - -6 0 d -3 -6 - +1 0 18 a 24 -300 -160 -110 - -65 -40 - -20 - -7 0 i -4 -8 - +2 0 24 a 30 -300 -160 -110 - -65 -40 - -20 - -7 0 f -4 -8 - +2 0 30 a 40 -310 -170 -120 - -80 -50 - -25 - -9 0 e -5 -10 - +2 0 40 a 50 -320 -180 -130 - -80 -50 - -25 - -9 0 r -5 -10 - +2 0 50 a 65 -340 -190 -140 - -100 -60 - -30 - -10 0 e -7 -12 - +2 0 65 a 80 -360 -200 -150 - -100 -60 - -30 - -10 0 n -7 -12 - +2 0 80 a 100 -380 -220 -170 - -120 -72 - -36 - -12 0 c -9 -15 - +3 0 100 a 120 -410 -240 -180 - -120 -72 - -36 - -12 0 i -9 -15 - +3 0 120 a 140 -460 -260 -200 - -145 -85 - -43 - -14 0 a -11 -18 - +3 0 140 a 160 -520 -280 -210 - -145 -85 - -43 - -14 0 -11 -18 - +3 0 160 a 180 -580 -310 -230 - -145 -85 - -43 - -14 0 d s -11 -18 - +3 0 180 a 200 -660 -340 -240 - -170 -100 - -50 - -15 0 = -13 -21 - +4 0 200 a 225 -740 -380 -260 - -170 -100 - -50 - -15 0 −d i -13 -21 - +4 0 225 a 250 -820 -420 -280 - -170 -100 - -50 - -15 0 = -13 -21 - +4 0 250 a 280 -920 -460 -300 - -190 -110 - -56 - -17 0 IT / 2 b -16 -26 - +4 0 280 a 315 -1050 -540 -330 - -190 -110 - -56 - -17 0 -16 -26 - +4 0 315 a 355 -1200 -600 -360 - -210 -125 - -62 - -18 0 -18 -28 - +4 0 355 a 400 -1350 -680 -400 - -210 -125 - -62 - -18 0 -18 -28 - +4 0 400 a 450 -1500 -760 -440 - -230 -135 - -68 - -20 0 -20 -32 - +5 0 450 a 500 -1650 -840 -480 - -230 -135 - -68 - -20 0 -20 -32 - +5 0 Tabla 5.2: Diferencias fundamentales (valores en µ m). a Las diferencias para ’a’ y ’b’ no están previstas para los diámetros ≤ 1 mm. b Para las calidades 7 a 11 las dos diferencias simétricas pueden ser redondeadas, si son impares al valor par inmediato inferior
5. Normalización de tolerancias dimensionales 68 Posición m n p r s t u v x y z za zb zc Agujeros a Calidad Todas las calidades Todas las calidades Q G. Diámetro (mm) Diferencia inferior d i Diferencia inferior d i 0, ejes; (Diferencia superior D s 0, agujeros) 5 6 7 ≤ 3 +2 +4 +6 +10 +14 - +18 - +20 - +26 +32 +40 +60 3 a 6 +4 +8 +12 +15 +19 - +23 - +28 - +35 +42 +50 +80 1 3 4 6 a 10 +6 +10 +15 +19 +23 - +28 - +34 - +42 +52 +67 +97 2 3 6 10 a 14 +7 +12 +18 +23 +28 - +33 - +40 - +50 +64 +90 +130 3 3 7 14 a 18 +7 +12 +18 +23 +28 - +33 +39 +45 - +60 +77 +108 +150 3 3 7 18 a 24 +8 +15 +22 +28 +35 - +41 +47 +54 +63 +73 +98 +136 +188 3 4 5 24 a 30 +8 +15 +22 +28 +35 +41 +48 +55 +64 +75 +88 +118 +160 +218 3 4 8 30 a 40 +9 +17 +26 +34 +43 +48 +60 +68 +80 +94 +112 +148 +200 +274 4 5 9 40 a 50 +9 +17 +26 +34 +43 +54 +70 +81 +97 +114 +136 +180 +242 +325 4 5 9 50 a 65 +11 +20 +32 +41 +53 +66 +87 +102 +122 +144 +172 +226 +300 +405 5 6 11 65 a 80 +11 +20 +32 +43 +59 +75 +102 +120 +146 +174 +210 +274 +360 +480 5 6 11 80 a 100 +13 +23 +37 +51 +71 +91 +124 +146 +178 +214 +258 +335 +445 +585 5 7 13 100 a 120 +13 +23 +37 +54 +79 +104 +144 +172 +210 +254 +310 +400 +525 +690 5 7 13 120 a 140 +15 +27 +43 +60 +92 +122 +170 +202 +248 +300 +365 +470 +620 +800 6 7 15 140 a 160 +15 +27 +43 +65 +100 +134 +190 +228 +280 +340 +415 +535 +700 +900 6 7 15 160 a 180 +15 +27 +43 +68 +108 +146 +210 +252 +310 +380 +465 +600 +780 +1000 6 7 15 180 a 200 +17 +31 +50 +77 +122 +166 +236 +284 +350 +425 +520 +670 +880 +1150 6 9 17 200 a 225 +17 +31 +50 +80 +130 +180 +258 +310 +385 +470 +575 +740 +960 +1250 6 9 17 225 a 250 +17 +31 +50 +84 +140 +196 +284 +340 +425 +520 +640 +820 +1050 +1350 6 9 17 250 a 280 +20 +34 +56 +94 +158 +218 +315 +385 +475 +580 +710 +920 +1200 +1550 7 9 20 280 a 315 +20 +34 +56 +98 +170 +240 +350 +425 +525 +650 +790 +1000 +1300 +1700 7 9 20 315 a 355 +21 +37 +62 +108 +190 +268 +390 +475 +590 +730 +900 +1150 +1500 +1900 7 11 21 355 a 400 +21 +37 +62 +114 +208 +294 +435 +530 +660 +820 +1000 +1300 +1650 +2100 7 11 21 400 a 450 +23 +40 +68 +126 +232 +330 +490 +595 +740 +920 +1100 +1450 +1850 +2400 7 13 23 450 a 500 +23 +40 +68 +132 +252 +360 +540 +660 +820 +1000 +1250 +1600 +2100 +2600 7 13 23 Tabla 5.3: Diferencias fundamentales (valores en µ m). a A las desviaciones superiores obtenidas de esta tabla para agujeros se les ha de sumar el factor corrector Q para las calidades indicadas.
5. Normalización de tolerancias dimensionales 69 Posición J K M N a P Calidad 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 ≥ 9 5 6 7 8 ≥ 9 5 6 7 ≥ 8 G. Diámetro (mm) Diferencia superior D s ≤ 3 +2 +4 +6 0 0 0 0 -2 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 -4 -6 -6 -6 -6 3 a 6 +5 +6 +10 0 +2 +3 +5 -3 -1 0 +2 -4 -7 -5 -4 -2 0 -11 -9 -8 -12 6 a 10 +5 +8 +12 +1 +2 +5 +6 -4 -3 0 +1 -6 -8 -7 -4 -3 0 -13 -12 -9 -15 10 a 18 +6 +10 +15 +2 +2 +6 +8 -4 -4 0 +2 -7 -9 -9 -5 -3 0 -15 -15 -11 -18 18 a 30 +8 +12 +20 +1 +2 +6 +10 -5 -4 0 +4 -8 -12 -11 -7 -3 0 -19 -18 -14 -22 30 a 40 +10 +14 +24 +2 +3 +7 +12 -5 -4 0 +5 -9 -13 -12 -8 -3 0 -22 -21 -17 -26 40 a 50 +10 +14 +24 +2 +3 +7 +12 -5 -4 0 +5 -9 -13 -12 -8 -3 0 -22 -21 -17 -26 50 a 65 +13 +18 +28 +3 +4 +9 +14 -6 -5 0 +5 -11 -15 -14 -9 -4 0 -27 -26 -21 -32 65 a 80 +13 +18 +28 +3 +4 +9 +14 -6 -5 0 +5 -11 -15 -14 -9 -4 0 -27 -26 -21 -32 80 a 100 +16 +22 +34 +2 +4 +10 +16 -8 -6 0 +6 -13 -18 -16 -10 -4 0 -32 -30 -24 -37 100 a 120 +16 +22 +34 +2 +4 +10 +16 -8 -6 0 +6 -13 -18 -16 -10 -4 0 -32 -30 -24 -37 120 a 140 +18 +26 +41 +3 +4 +12 +20 -9 -8 0 +8 -15 -21 -20 -12 -4 0 -37 -36 -28 -43 140 a 160 +18 +26 +41 +3 +4 +12 +20 -9 -8 0 +8 -15 -21 -20 -12 -4 0 -37 -36 -28 -43 160 a 180 +18 +26 +41 +3 +4 +12 +20 -9 -8 0 +8 -15 -21 -20 -12 -4 0 -37 -36 -28 -43 180 a 200 +22 +30 +47 +2 +5 +13 +22 -11 -8 0 +9 -17 -25 -22 -14 -5 0 -44 -41 -33 -50 200 a 225 +22 +30 +47 +2 +5 +13 +22 -11 -8 0 +9 -17 -25 -22 -14 -5 0 -44 -41 -33 -50 225 a 250 +22 +30 +47 +2 +5 +13 +22 -11 -8 0 +9 -17 -25 -22 -14 -5 0 -44 -41 -33 -50 250 a 280 +25 +36 +55 +3 +5 +16 +25 -13 -9 0 +9 -20 -27 -25 -14 -5 0 -49 -47 -36 -56 280 a 315 +25 +36 +55 +3 +5 +16 +25 -13 -9 0 +9 -20 -27 -25 -14 -5 0 -49 -47 -36 -56 315 a 355 +29 +39 +60 +3 +7 +17 +28 -14 -10 0 +11 -21 -30 -26 -16 -5 0 -55 -51 -41 -62 355 a 400 +29 +39 +60 +3 +7 +17 +28 -14 -10 0 +11 -21 -30 -26 -16 -5 0 -55 -51 -41 -62 400 a 450 +33 +43 +66 +2 +8 +18 +29 -16 -10 0 +11 -23 -33 -27 -17 -6 0 -61 -55 -45 -68 450 a 500 +33 +43 +66 +2 +8 +18 +29 -16 -10 0 +11 -23 -33 -27 -17 -6 0 -61 -55 -45 -68 Tabla 5.4: Diferencias fundamentales para agujeros (valores en µ m). a La diferencia para N en las calidades 9 a 16 no están previstas para los diámetros ≤ 1 mm
5. Normalización de tolerancias dimensionales 70 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 dmax ≃ 30 dmin ≃ 29,967 Lado pasa Lado no pasa 30h8 Figura 5.2: Esquema de un calibre de herradura para la verificación de ejes con tolerancia ISO 30h8. 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 dmin ≃ 30 dmax ≃ 30,033 Lado pasa Lado no pasa 30H8 Figura 5.3: Esquema de un calibre tampón para la verificación de agujeros con tolerancia ISO 30H8.
5. Normalización de tolerancias dimensionales 71 5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si queremos verificar un agujero 30H7, con un micrómetro milesimal de 2 micras de incertidumbre, ¿cuáles son las medidas admisibles máxima y mı́nima efectuadas con dicho instrumento que aseguran al elemento dentro de tolerancias?. Solución: 30,002 mm; 30,019 mm. 2. Se pretende verificar un cilı́ndro con especificaciones 30h6. El diámetro se mide con un micrómetro milesimal perfectamente calibrado con incertidumbre ±2µm. Si el resultado de la medida es de 29,987 mm, ¿podemos asegurar que la pieza está dentro de tolerancias?. Razone la respuesta. Solución: Fuera de tolerancias. 3. Se quiere verificar un eje con designación ISO 30h7 con un micrómetro milesimal (división de escala de 0,001 mm). Para utilizar correctamente el instrumento de medida, el Laboratorio de Metrologı́a procede a su calibración obteniendo según la formulación matemática aplicada una incertidumbre calculada de 0,3 µm. Decir si es apropiado dicho instrumento para la verificación del eje especificado, y cuál es la medida máxima y la medida mı́nima admisible dadas por el instrumento que aseguren al eje dentro de tolerancias. Solución: No es apropiado. 29,980 mm; 29,999 mm. 4. Queremos verificar el agujero 65H6 con un micrómetro milesimal para interiores de tal forma que la relación entre la tolerancia y la incertidumbre sea lo más próxima a T 2U = 5 por razones económicas. ¿Qué incertidumbre debe poseer el instrumen- to?. ¿Cuáles son las medidas admisibles máxima y mı́nima efectuadas con dicho instrumento que aseguran al elemtento dentro de tolerancias?. Solución: 2 µm. 65,002 mm; 65,017 mm. 5. Indicar de entre los siguientes casos cuáles están dentro de tolerancias y cuáles no: Caso Elemento Medida(mm) Incertidumbre(µm) 1 15H4 15,0040 0,5 2 40J6 39,993 4 3 25h5 24,998 1
5. Normalización de tolerancias dimensionales 72 Solución: Caso 1 SI; caso 2 NO; caso 3 SI.
C A P Í T U L O 6 Ajustes en fabricación mecánica Se denomina ajuste [16] al conjunto constituido por dos piezas; una interior, a la que se va a denominar genéricamente como ’eje’, y otra exterior o ’agujero’. Se pueden encontrar los siguientes tipos de ajustes: 1. “Ajuste con juego o móvil”, en el que el diámetro del agujero es siempre mayor que el diámetro del eje. En la figura 6.1 se puede ver representado un ajuste de este tipo. En este tipo de ajustes se podrán presentar dos situaciones extremas; una en la que el juego sea mı́nimo (Jmin), y otra en la que el juego sea máximo (Jmax). Co- mo se muestra en la figura 6.1 el “juego máximo” y el “juego mı́nimo” pueden ser obtenidos a partir de las siguientes relaciones: Jmax = Ds − di; Jmin = Di − ds. 2. “Ajuste con aprieto o fijo”, en el que el diámetro del agujero es siempre menor que el diámetro del eje. En la figura 6.2 se puede ver un ejemplo de este tipo. Al igual que en el caso anterior, se pueden dar dos situaciones extremas, una con “apriete máximo” (Amax) y otra con “apriete mı́nimo” (Amin): Amax = ds − Di; 73
6. Ajustes en fabricación mecánica 74 Ds di ds L.R. dmax dmin Dmin Dmax Di Jmax Jmin Figura 6.1: Ajuste con juego. Ds Di Amin Amax di ds L.R. Dmax Dmin dmax dmin Figura 6.2: Ajuste con apriete.
6. Ajustes en fabricación mecánica 75 L.R. Dmax Dmin Ds Di Amax Jmax dmin di ds dmax Figura 6.3: Ajuste indeterminado. Amin = di − Ds. 3. “Ajuste indeterminado”, en el que los intervalos de tolerancia de los dos elementos acoplados están solapados, por lo que hasta que los elementos no hayan sido fabri- cados no se podrá determinar si exite un ajuste con apriete o con juego. En la figura 6.3 se puede ver un ejemplo de este tipo. En la figura 6.4 se muestra un ejemplo en el que el acoplamiento entre varios elemen- tos mecánicos debe realizarse con distintos tipos de ajustes. 6.1 SISTEMA DE AJUSTES RECOMENDADOS Con el objeto de acotar el conjunto de tolerancias a emplear en la fabricación de elementos acoplados, se han establecido dos sistemas de ajustes que a continuación se detallan.
6. Ajustes en fabricación mecánica 76 −d s +d i B K U ZA C CD D E EF F FG G H J J M N P s R S T V X Y Z ZB ZC zc zb za z y x v u t s r p n m k j j h g fg f ef e d cd c b a Línea de referencia Línea de referencia Taladros Ejes A 40H7/f7 60H7/m6 Ajuste con Juego Ajuste Indeterminado Figura 6.4: Ajuste eje-cojinete.
6. Ajustes en fabricación mecánica 77 6.1.1 Sistema de agujero base En este sistema la diferencia inferior del agujero siempre es cero, es decir, su posición de toleracia es ’H’, por lo que su intervalo de tolerancia siempre se sitúa por encima de la lı́nea de referencia. Para obtener los diferentes ajustes (apriete, juego, o indeterminado) se modifica la posición del eje. En la figura 6.5 aparece representado un ejemplo de este sistema. 0 T AGUJERO BASE Ajuste holgado Ajuste con apriete Ajuste indeterminado Dmin Figura 6.5: Sistema de agujero base 6.1.2 Sistema de eje base En este sistema (figura 6.6), la diferencia superior del eje siempre es cero, es decir, la posición de tolerancia del eje es ’h’, con lo que el intervalo de tolerancia del eje siempre se sitúa bajo la lı́nea de referencia. Los distintos ajustes se obtienen modificando la posición de tolerancia del agujero. En la figura 6.7 se muestra un acoplamiento tı́pico entre un pistón y una biela en el que se debe utilizar este sistema. Para optar por un sistema u otro, existen algunas recomendaciones que facilitan su elección. En general, el sistema de “agujero base” es más recomendable pues es el más económico, tanto desde el punto de vista de su fabricación como de su verficación dimen- sional. Este sistema se prefiere en mecanismos compactos, de ejes cortos con muchos elementos acoplados sobre ellos. El sistema de eje base suele ser necesario en mecanis- mos con largos ejes.
6. Ajustes en fabricación mecánica 78 t dmin Ajuste holgado dmax Ajuste con aprieto Ajuste indeterminado L.R. Figura 6.6: Sistema de eje base PISTON BIELA COJINETE DE LA BIELA EJE h6 AJUSTE CON APRIETE AJUSTE HOLGADO J7 F7 SISTEMA DE EJE BASE Figura 6.7: Acoplamiento entre un pistón y una biela.
6. Ajustes en fabricación mecánica 79 Ejemplo 1 Determinar los elementos de un acoplamiento entre un eje y un agujero de 70 mm de cota nominal tal que el juego mı́nimo sea de 30 µm. El sistema adoptado es el de eje base y las calidades del agujero y eje son, respectivamente, 8 y 7. Al tratarse de un sistema de eje base, la codificación ISO del eje resultará la siguiente: 70h7. De la Tabla 5.1 obtenemos que para un ı́ndice de tolerancia igual a 7, la amplitud de tolerancia debe ser t = 30 µm. Además, como la desviación superior del eje debe ser igual a 0, la desviación inferior de la tolerancia del eje ha de ser di = −30 µm. Por otro lado, la tolerancia del agujero debe tener un ı́ndice de tolerancia igual a 8, lo que le corresponde, de la Tabla 5.1, una amplitud de tolerancia igual a 46 µm. En la Figura 6.8 se muestra un esquema del ajuste eje-agujero considerado. Teniendo en cuenta que el Eje, 70h7 Agujero, I.T. 8 L.R. (0) di = −30 µm Ds Di T = 46 µm Jmin ≥ 30 µm Figura 6.8: Ejemplo de sistema de eje base 70h7 (Ejemplo 1). juego entre eje y agujero como mı́nimo ha de ser igual a 30 µm, se ha de cumplir la siguiente condición: Di ≥ 30 µm. En la Tabla 5.2 encontramos que la posición de tolerancia para el agujero que mejor se ajusta a la condición anterior es la posición F que presenta una desviación Di = 30 µm. Por tanto, el acoplamiento resultante será el siguiente 70F8 h7, para el que los juegos mı́nimo y máximo resultantes serán, respectivamente: Jmin = Di − ds = 30 µm,
6. Ajustes en fabricación mecánica 80 Jmax = Ds − di = 106 µm. Ejemplo 2 El ajuste con sistema de eje base destinado al eje de un vagón de ferrocarril debe tener un juego máximo de 30 µm y un juego mı́nimo de −110 µm. Sabiendo que el diámetro nominal del ajuste es de 80 mm, determinar las codificaciones ISO que cumplan las condiciones anteriores. Elegir calidades I.T. consecutivas, siendo la mejor para el eje, para que el acoplamiento sea lo más económico posible. Puede observarse que el acoplamiento que ha de diseñarse corresponde con un ajus- te indeterminado. Para resolver el problema, se considerará inicialmente que se trata de un ajuste holgado, asignando a los extremos de los juegos especificados el signo corres- pondiente. En la Fig. 6.9 se muestra un esquema del acoplamiento. El acoplamiento debe L.R. (0) Ds Di T Jmin ≥ −110 µm Eje, 80h Agujero di = −t Jmax ≤ 30 µm t Figura 6.9: Esquema del acoplamiento del Ejemplo 2. satisfacer la siguiente condición: T + t + Jmin ≤ Jmax. Sustituyendo las condiciones de holgura máxima y mı́nima especificadas, se obtiene: T + t ≤ 140 µm. A continuación, para que el acoplamiento elegido sea lo más económico posible, de la Tabla 5.1 seleccionamos dos ı́ndices de tolerancia consecutivos, siendo el mejor el del eje, cuyas amplitudes de tolerancia sumen una cantidad lo más próxima a 140 µm sin
6. Ajustes en fabricación mecánica 81 llegar a sobrepasarla. Ası́, al eje se le asigna un ı́ndice de tolerancia igual a 8 y al agujero un ı́ndice de tolerancia igual a 9, lo que corresponde, respectivamente, con t = 46 µm y T = 74 µm. Por tanto, al tratarse de un sistema de eje base, el eje seleccionado deberá ser 80h8. De la condición de juego máximo se obtiene: Ds − di ≤ 30 µm. Como di = −46 µm, finalmente resulta: Ds ≤ −16 µm. Ahora se impone la condición de juego mı́nimo, lo que equivale a: Di ≥ −110 µm. Como Di = Ds − T = Ds − 74 µm, resulta: Ds ≥ −36 µm. A continuación, en la Tabla 5.4 buscamos, para un ı́ndice de tolerancia igual a 9, una posición para el agujero cuya desviación superior se encuentre comprendida entre −16 y −36 µm. Dicha posición se corresponde con la letra P, por lo que el agujero quedará definido como 80P9, para el que le corresponde una desviación superior Ds = −32 µm y una desviación infe- rior Di = −106 µm. Las holguras máximas y mı́nimas entre el eje y el agujero elegidos serán: Jmax = −32 − (−46) = 14 µm 30 µm, Jmin = −106 − 0 = −106 µm −110 µm, lo que satisface las condiciones de diseño iniciales. En la Fig. 6.10 se muestra como resultarı́a el acoplamiento indeterminado finalmente diseñado.
6. Ajustes en fabricación mecánica 82 L.R. (0) di = −46 µm Ds = −32 µm Di = −106 µm Eje, 80h8 Agujero, 80P9 Figura 6.10: Esquema del acoplamiento indeterminado resultante del Ejemplo 2. 6.2 INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA EN EL CÁLCULO DE AJUSTES En los paı́ses adheridos a la ISO las dimensiones indicadas en los planos suponen medidas a una temperatura de 20◦C. La corrección necesaria de temperatura, viene dada por la fórmula: Lt = L20[1 + α(t − 20)] donde Lt es la longitud a la temperatura t (◦C), L20 es la longitud a 20 ◦C, y α es coeficiente de dilatación térmica del material. En la tabla 6.1 se pueden ver algunos ejemplos de coeficientes de dilatación térmica para varios materiales. Ejemplo Se pretende construir un eje de acero para alojarlo en un cojinete de fricción de bronce de diámetro 30H7. Se desea que en el intervalo usual de temperaturas en servicio (20 a 120 ◦C), el juego del ajuste esté comprendido entre 0,02 mm y 0,2 mm. Determinar una designación codificado ISO para dicho eje que resulte compatible con las condiciones de diseño, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18 × 10−6 ◦C−1 y el del acero de 11 × 10−6 ◦C−1. Teniendo en cuenta que la temperatura de referencia adoptada por el sistema ISO es 20 ◦C, a dicha temperatura, las dimensiones del agujero 30H7 deberán estar comprendi-
6. Ajustes en fabricación mecánica 83 Material α (◦C−1) Aceros de calibres 11,5 × 10−6 Aceros suaves 10,5 × 10−6 Aluminio 22 × 10−6 Cobre 16 × 10−6 Latón 18 × 10−6 Tabla 6.1: Valores aproximados de los coeficientes de dilatación térmica de algunos materiales. das entre 30,021 mm y 30 mm. Además, teniendo en cuenta la diferencia de dilatanción térmica entre eje y agujero, las holguras máxima y mı́nima entre ambos elementos se producirán, respectivamente, a 120 ◦C y a 20 ◦C. Por tanto, a la temperatura de 20 ◦C se impondrá la condición de juego mı́nimo y a la temperatura de 120 ◦C se impondrá la condición de juego máximo. En la Fig. 6.11 se muestran ambas situaciones extremas. Agujero, 30H7 Ds = 21 µm Di = 0 20 ◦C; condición de juego mı́nimo ds di Jmin ≥ 20 µm Eje L.R. (0) Agujero, 30H7 Eje 75 µm 54 µm di + 33 µm Jmax ≤ 200 µm ds + 33 µm 120 ◦C; condición de juego máximo Figura 6.11: Esquema del acoplamiento entre eje y agujero que debe fun- cionar en un rango de temperaturas comprendido entre 20 y 120 ◦ C. Por tanto, de la condición de juego mı́nimo impuesta a 20 ◦C (esquema izquierdo de la Fig. 6.11), resulta: Di − ds ≥ 20 µm,
6. Ajustes en fabricación mecánica 84 por lo que ds ≤ −20 µm. De la Tabla 5.2, la posición de tolerancia que mejor se ajusta a la condición anterior corresponde a la letra ’f’ que tiene una desviación superior ds = −20 µm. Para imponer la condición de juego máximo a 120 ◦C, en primer lugar se han de cal- cular los incrementos en diámetro experimentados en cada caso. En el caso del agujero, dicho incremento podrá calcularse de forma aproximada como: ∆D ≃ 30αa∆T = 30 × 18 × 10−6 × 100 = 0,054 mm = 54 µm. Del mismo modo, en el caso del eje, ∆d ≃ 30αe∆T = 30 × 11 × 10−6 × 100 = 0,033 mm = 33 µm. En el esquema derecho de la Fig. 6.11 se muestra la nueva situación a la temperatura de 120 ◦C. Imponiendo ahora la condición de juego máximo resulta: 75 − (di + 33) ≤ 200 µm. Teniendo en cuenta que di = ds − t = −20 − t, y sustituyendo en la expresión anterior se puede obtener que t ≤ 138 µm. Si pretendemos elegir el acoplamiento más económico posible, de la Tabla 5.1, el ı́ndi- ce de tolerancia del eje deberı́a ser igual a 11, lo que le corresponde una amplitud de tolerancia igual a 130 µm. Por tanto, el acoplamiento más económico que satisface las condiciones de diseño especificadas es: 30H7 f11. Otra opción posible, aunque no tan económica, podrı́a haber sido elegir una calidad para el eje comparable con la calidad del agujero. Ası́, otro posibilidad, aunque menos económica, que satisface las condiciones de diseño especificadas podrı́a ser: 30H7 f6 .
6. Ajustes en fabricación mecánica 85 p r a b Presión exterior, q Presión interior Figura 6.12: Elemento sometido a una presión interior p y una presión exterior q. 6.3 CÁLCULO DE CALADOS En los ajustes fijos se producirán esfuerzos importantes entre los elementos acopla- dos que han de tenerse en cuenta para su correcto diseño y montaje. Para su estudio se utilizará la teorı́a de elasticidad de los cilindros de paredes gruesas que básicamente se puede resumir del siguiente modo. Considérese el elemento genérico mostrado en la Figura 6.12, en el que como consecuencia de los distintos acoplamientos que pudieran producirse aparecerá una presión p en el interior del elemento y una presión q en la zona exterior. A una distancia r del centro del elemento, se presentarán las siguientes tensiones radial σr = −a2p b2 r2 − 1 − b2q 1 − a2 r2 b2 − a2 , (6.1) y tangencial σθ = a2p b2 r2 + 1 − b2q 1 + a2 r2 b2 − a2 . (6.2) El desplazamiento radial u que experimentarı́a el elemento en dicha posición como con- secuencia del acoplamiento vendrá determinado por la siguiente expresión u = r E (σθ − νσr ), (6.3) donde E es el módulo de elasticidad y ν el coeficiente de Poisson. Considérese ahora el ajuste fijo entre un eje y un agujero como el mostrado en la Figura 6.13, en el que aparecerá una presión interior pc como consecuencia de la interac- ción entre ambos elementos. El eje de este acoplamiento se podrı́a considerar como un
6. Ajustes en fabricación mecánica 86 F L D d AGUJERO EJE µpcπdL pcπdL Figura 6.13: Ajuste fijo entre un eje y un agujero. caso particular del elemento de la Figura 6.12 en el que sólo existe una presión exterior q = pc, a = 0 y b = d/2 (Fig. 6.14(a)). Sustituyendo estos valores en las Ec. (6.1), (6.2) y (6.3) para r = d/2, se podrá obtener, respectivamente: σre = −pc, σθe = −pc, y ue = − d 2Ee pc(1 − νe) 0, siendo ue el desplazamiento radial experimento por el eje en r = d/2 como consecuencia del acoplamiento, y Ee y νe el módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del eje, respectivamente. De la misma forma, el agujero de este acoplamiento se podrı́a considerar como un caso particular del elemento de la Figura 6.12 en el que sólo existe una presión interior p = pc, a = d/2 y b = D/2 (Fig. 6.14(b)). Sustituyendo estos valores en las Ec. (6.1), (6.2) y (6.3) para r = d/2, se podrá obtener, respectivamente: σra = −pc, σθa = pc D2 + d2 D2 − d2 , y ua = d 2Ea pc D2 + d2 D2 − d2 + νa ! 0, siendo ua el desplazamiento radial experimento por el agujero en r = d/2 como conse- cuencia del acoplamiento, y Ea y νa el módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del
6. Ajustes en fabricación mecánica 87 b = d/2 a = 0 p = 0 q = pc (a) a = d/2 b = D/2 p = pc q = 0 (b) Figura 6.14: Situación particular en el acoplamiento de la Fig. 6.13: a) eje; b) agujero. agujero, respectivamente. Obsérvese que, como cabı́a esperar, el desplazamiento radial experimentado por el eje es negativo (disminuirá su dimensión como consecuencia del calado) y el desplazamiento radial experimentado por el agujero es positivo (aumentará su diámetro después del acoplamiento). En la Fig. 6.15 se muestra el estado tensional que se produce en este ejemplo. Por tanto, teniendo en cuenta que la interferencia diametral 2U que se producirá en un ajuste fijo entre un eje y un agujero se podrá expresar como (véase el esquema de la Fig. 6.16) 2U = 2ua − 2ue, (6.4) y sustituyendo los valores anteriores se puede obtener: 2U = dpc 1 Ea D2 + d2 D2 − d2 + νa Ea + 1 − νe Ee ! . (6.5) Luego, la presión producida en el acoplamiento resultará: pc = 2U d 1 Ea D2+d2 D2−d2 + νa Ea + 1−νe Ee . (6.6) Si el ajuste debe resistir un esfuerzo exterior F como el indicado en la Figura 6.13, la presión mı́nima pmin de calado necesaria para impedir el despegue de los elementos del
6. Ajustes en fabricación mecánica 88 (b) (a) σre σθe σra σθa Figura 6.15: Estado tensional producido para la situación particular del acoplamiento de la Fig. 6.13: a) eje; b) agujero. Antes del montaje Agujero Agujero Eje 2ua 2U 2|ue| Después del montaje Eje Figura 6.16: Ajuste fijo entre un eje y un agujero. El esquema de la iz- quierda representa la situación antes del montaje y el esque- ma de la derecha representa la situación después del monta- je.
6. Ajustes en fabricación mecánica 89 ajuste deberı́a ser: pmin = F µπdL . (6.7) Debe tenerse en cuenta que la presión producida en el acoplamiento entre el eje y el agujero podrá producir un cierto alisamiento de las irregularidades microgeométricas del perfil, lo que provocará una reducción de la interferencia diametral que en ocasiones puede ser importante. Por tanto, para determinar el apriete mı́nimo necesario entre el eje y el agujero que asegure la presión mı́nima de calado de la Ec. (6.7), se deberı́a considerar el aspecto anterior: Amin = 2U + ∆V, (6.8) donde ∆V = 2Ra + 2Re es la reducción diametral de las dimensiones del eje y del agujero debidas al alisamiento de las irregularidades del perfil durante su acoplamiento, siendo Ra y Re la altura media del perfil del agujero y eje, respectivamente. Sustituyendo la Ec. (6.8) en la Ec. (6.5) para pc = pmin se puede obtener la siguiente expresión: Amin = dpmin 1 Ea D2 + d2 D2 − d2 + νa Ea + 1 − νe Ee ! + ∆V. (6.9) Obviamente, si el apriete entre elementos es excesivo, se producirán deformaciones plásticas del material que pudieran ocasionar el despegue de los elementos acoplados o incluso su rotura. Por tanto, durante el diseño de un acoplamiento es imprescindible verificar si se sobrepasan los lı́mites de fluencia Y del material utilizando. Por ejemplo, empleando el criterio de von-Mises, se ha de cumplir la siguiente condición para evitar el fallo por fluencia del material (σθ − σr )2 + (σr − σz)2 + (σz − σθ)2 ≤ 2Y2 , (6.10) siendo σθ, σr y σz, respectivamente, las tensiones tangencial, radial y longitudinal so- portadas por cada elemento. Otra situación que se suele presentar con bastante frecuencia se representa en la Figura 6.17. En este caso, las tensiones y desplazamientos radiales correspondientes al eje se podrán calcular con las mismas expresiones del caso anterior, y para el caso del agujero se supondrá que la dimensión exterior b correspondiente al caso genérico de la Figura 6.12 es mucho mayor que a (b a). Por tanto, se podrá escribir que b2+a2 ≃ b2 y b2−a2 ≃ b2, e introduciendo esta aproximación en las Ecs. (6.1), (6.2) y (6.3), se obtendrán,
6. Ajustes en fabricación mecánica 90 Agujero Eje Ea νa Ya Ee νe Ye L d Figura 6.17: Acoplamiento de un eje en un taladro realizado en una pared. respectivamente, las siguientes expresiones σra ≃ −pc, σθa ≃ pc, y ua ≃ d 2Ea pc (1 + νa) 0, y siguiendo el mismo planteamiento del caso anterior, se puede deducir que el apriete mı́nimo necesario en el acoplamiento que asegure la presión mı́nima de calado de la Ec. (6.7), resultará: Amin ≃ dpmin 1 + νa Ea + 1 − νe Ee + ∆V. (6.11) Ejemplo Se desea acoplar un eje de acero de diámetro 32h7 en una pieza de cobre en la que hay que practicar un taladro con ı́ndice de tolerancia 8. El acoplamiento debe diseñarse para que sea capaz de resistir una fuerza axial F de 12000 N sin desacoplarse dentro de un margen de temperaturas comprendido entre 0 ◦C y 60 ◦C. La pieza de cobre tiene un diámetro exterior de 50 mm y una profundidad de 60 mm, tal y como se representa en la figura adjunta. Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento seco entre el acero y el cobre es de 0,3, determı́nese:
6. Ajustes en fabricación mecánica 91 1. Completar el dimensionamiento del taladro según codificación ISO. 2. Sugerir un procedimiento de montaje. 3. Obtener los efectos tensionales que podrı́an alcanzarse y sus consecuencias. F (Dimensiones en mm) D = 50 d = 32 L = 60 Datos adicionales: Eje Agujero Lı́mite elástico, E (N/mm2) 215000 110000 Coeficiente de dilatación, α (K−1) 11 × 10−6 17 × 10−6 Lı́mite de fluencia, Y (N/mm2) 190 55 Coeficiente de Poisson, ν 0,3 0,33 La presión de calado mı́nima necesaria para soportar una fuerza axial igual a 12000 N es: pmin = F µπdL = 12000 0,3π × 32 × 60 = 6,63 N/mm2 . El apriete mı́nimo correspondiente, se puede obtener como: Amin = dpmin 1 Ea D2 + d2 D2 − d2 + νa Ea + 1 − νe Ee ! , y sustituyendo los valores correspondientes en la expresión anterior se obtiene: Amin = 0,00593 mm = 5,93 µm. Debido a la diferencia en los coeficientes de dilatación térmico de ambos elementos, existirá un mayor riesgo para el desacoplamiento a la temperatura de 60 ◦C (véase el es- quema de la Fig. 6.18). En el caso del agujero, el incremento en diámetro a la temperatura
6. Ajustes en fabricación mecánica 92 Agujero, 0 ◦C Agujero, (Dimensiones en µm) Eje, 32h7 Eje, 32h7 14 −7 −32 Ds + 22 Di + 22 Ds − 11 Di − 11 60 ◦C Amin ≥ 5,93 −11 Figura 6.18: Influencia de la temperatura en el acoplamiento fijo del eje y agujero del ejemplo de cálculo de calados. de 60 ◦C podrá calcularse de forma aproximada como: ∆D = 32αa∆T = 32 × 17 × 10−6 × 40 = 0,022 mm = 22 µm. Del mismo modo, en el caso del eje, ∆d = 32αe∆T = 32 × 11 × 10−6 × 40 = 0,014 mm = 14 µm. Imponiendo la condición de apriete mı́nimo a dicha temperatura (esquema de la derecha de la Fig. 6.18), se obtiene: −11 − (Ds + 22) ≥ 5,93 µm, de donde: Ds ≤ −38,93 µm. De la Tabla 5.3, la posición de tolerancia que mejor se ajusta a la condición anterior se corresponde con la letra S, para la que Ds = −43 µm. Por tanto, el agujero seleccionado será: 32S8 = 32 −0,043 −0,082 mm. La contracción en diámetro que experimentan ambos elementos a la temperatura de 0 ◦C, se puede obtener del siguiente modo. En el caso del agujero: ∆D ≃ 32αa∆T = 32 × 17 × 10−6 × (−20) = −0,011 mm = −11 µm,
6. Ajustes en fabricación mecánica 93 y en el caso del eje, ∆d ≃ 32αe∆T = 32 × 11 × 10−6 × (−20) = −0,007 mm = −7 µm. Ası́, los aprietes máximos y mı́nimos que se pueden producir dentro del rango de tem- peraturas de funcionamiento, pueden verse en la siguiente tabla: 0 ◦C 60 ◦C Amin 22 µm 10 µm Amax 86 µm 74 µm Puede observárse que en ningún caso el apriete será inferior a 5,93 µm. El procedimiento más adecuado para el montaje, es el calentamiento del agujero. Ası́, si el montaje se realizase con el eje a la temperatura ambiente de 20 ◦C, el agujero deberı́a ser calentado de tal forma que su diámetro mı́nimo (31,918 mm) fuese mayor que el máximo diámetro del eje (32 mm). Por tanto, ∆Dmontaje = 32 − 31,918 = 0,082 mm = ∆Tagujero Dαa. Ası́, ∆Tagujero = 0,082 31,918 × 17 × 10−6 = 151,12 ◦ C. Luego, el agujero debe calentarse hasta Tagujero = 20 + ∆Tagujero = 171,12 ◦ C. A continuación se comprobará si se pueden producir fallas por deformación plástica de alguno de los materiales del acoplamiento. Utilizando el criterio de von-Mises, para que no se produzca deformación plástica, se ha de cumplir la siguiente condición para ambos materiales: (σr − σθ)2 + (σθ − σz)2 + (σz − σr )2 ≤ 2Y2 . De la tabla anterior, se deduce que es a 0 ◦C donde se produce el mayor apriete (86 µm), por tanto habrá que verificar si en esas condiciones se producirán deformaciones plásticas de los materiales. La máxima presión de calado que podrı́a alcanzarse será por tanto pmax = Amax d 1 Ea D2+d2 D2−d2 + νa Ea + 1−νe Ee = 96,12 N/mm2 .
6. Ajustes en fabricación mecánica 94 Las tensiones que se producen en cada elemento serán las siguientes. En el caso del eje: σre = −pmax = −96,12 N/mm2 , σθe = −pmax = −96,12 N/mm2 , σze = 12000 π162 = 14,92 N/mm2 . Si se aplica ahora el criterio de von-Mises: (σre − σθe)2 + (σθe − σze)2 + (σze − σre)2 = 24660 N2 /mm4 2Y2 e = 72200 N2 /mm4 . Por tanto en el eje no se produce fluencia. En el caso del agujero: σra = −pmax = −96,12 N/mm2 , σθa = pmax D2 + d2 D2 − d2 = 229,5 N/mm2 , σza = 12000 π 4 (502 − 322) = 10,35 N/mm2 . Si se aplica ahora el criterio de von-Mises: (σra − σθa)2 + (σθa − σza)2 + (σza − σra)2 = 165428 2Y2 a = 6050 N2 /mm4 . Por tanto en el agujero si se produce fluencia. Para evitar el fallo del material del agujero, se podrı́an proponer dos posibles solucio- nes: 1. Utilizar un material de mayor resistencia para el agujero. Un material con lı́mite de fluencia igual a 288 N/mm2 resolverı́a el problema. Si esta opción no es viable, otra alternativa podrı́a ser la siguiente. 2. Utilizar ı́ndices de tolerancia para eje y agujero de mejor calidad para evitar que los aprietes máximos alcancen valores tan elevados. 6.4 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar los valores de las diferencias del agujero y del eje del ajuste 65H6/p5 e indicar el tipo de ajuste que es. Solución: Apriete. Amin = 13µm, Amax = 45µm.
6. Ajustes en fabricación mecánica 95 2. Determinar los elementos de un acoplamiento agujero-eje de 15 mm de cota nomi- nal, de tal forma que el juego mı́nimo sea de 15 µm. Se adopta el sistema de eje único, y calidades para el agujero y eje respectivamente, 6 y 5. Solución: 15F6 h5 . 3. El extremo derecho de una pieza de acero, de 10 mm de diámetro, se aloja en un cojinete de fricción de bronce de diámetro 10H7. Se desea que en el intervalo usual de temperaturas en servicio (20 ◦C a 120 ◦C), el juego del ajuste esté comprendido entre 0.02 mm y 0.2 mm. Determinar una designación codificada según ISO para dicho eje que resulte compa- tible con las condiciones de diseño, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18 × 10−6 (◦C−1) y el del acero de 11 × 10−6 (◦C−1). NOTA: Considerar como temperatura de referencia para las designaciones ISO de 20◦C. Solución: 10H7 e12.
C A P Í T U L O 7 Operaciones con cotas En ocasiones, es necesario determinar la tolerancia dimensional de alguna cota que no ha sido especificada en el plano de diseño [12]. Por ejemplo, si se desea conocer la tolerancia de una cota correspondiente a una pieza bien mecanizada sin medirla, se debe realizar una operación denominada adición de cotas. Por otro lado, si se desea conocer la tolerancia de una cota no especificada en el plano para fabricar o verificar la pieza a partir de ella, se debe realizar una operación denominada transferencia de cotas. En lo que sigue, se expondrán ambos tipos de operaciones. 7.1 ADICIÓN DE COTAS Para describir este tipo de operaciones, se utilizará un caso concreto como el que se muestra en la figura 7.1. La pieza mostrada en la figura ha sido fabricada en base a las cotas L1, L2 y L3 especificadas en el plano de diseño. El problema consiste en determinar la tolerancia de la nueva cota L indicada en el plano suponiendo que la pieza satisface todas las tolerancias de las cotas de diseño. En primer lugar, la dimensión nominal de la nueva cota L se podrá obtener del si- guiente modo: L = L1 − L2 − L3 (7.1) Este tipo de relaciones será denotado como cadena de cotas, y a cada cota de esta relación se le asignará el signo que corresponda. Por ejemplo, la cota L1 será considerada positiva y las cotas L2 y L3 serán consideradas negativas. Una vez calculada la cota nominal, será necesario conocer la posición y amplitud del 96
7. Operaciones con cotas 97 L2 L3 L L1 Figura 7.1: Pieza diseñada en base a las cotas L1, L2 y L3. Nueva cota L. intervalo de la nueva cota. Para ello, habrá que tener que tener en cuenta lo siguiente. Obsérvese que para que la nueva cota L sea lo más grande posible, las cotas L2 y L3 deberı́an ser lo más pequeñas posible y la cota L1 lo más grande posible. Por tanto, se deberá cumplir la siguiente relación: Lmax = L1max − L2min − L3min . Sustituyendo los valores máximos y mı́nimos por sus correspondientes desviaciones su- periores e inferiores, respectivamente, y cotas nominales, se puede obtener L + DsL = L1 + DsL1 − L2 − DiL2 − L3 − DiL3 . Por tanto, teniendo en cuenta la Ecuación (7.1), la desviación superior de la nueva cota se podrá obtener como DsL = DsL1 − DiL2 − DiL3 . De la misma forma, para que la nueva cota L sea lo más pequeña posible, las cotas L2 y L3 deberı́an ser lo más grandes posible y la cota L1 lo más pequeña posible. Por tanto, se deberá cumplir la siguiente relación: Lmin = L1min − L2max − L3max .
7. Operaciones con cotas 98 Sustituyendo los valores máximos y mı́nimos por sus correspondientes desviaciones su- periores e inferiores, respectivamente, y cotas nominales, se puede obtener L + DiL = L1 + DiL1 − L2 − DsL2 − L3 − DsL3 , y teniendo en cuenta la Ecuación (7.1), la desviación inferior de la nueva cota se podrá obtener como DiL = DiL1 − DsL2 − DsL3 . Obsérvese, que la amplitud de tolerancia de la nueva cota, HL, podrá obtenerse fácilmente como HL = DsL − DiL = (DsL1 − DiL2 − DiL3 ) − (DiL1 − DsL2 − DsL3 ), y reagrupando términos, se puede obtener HL = HL1 + HL2 + HL3 . Obsérvese que, siguiendo un razonamiento análogo al que se acaba de exponer, es in- mediata la generalización del método. Ası́, la desviación superior Ds de una cota obtenida por adición se podrá obtener como Ds = X D+ s − X D− i , (7.2) donde los superı́ndices + y − hacen referencia al signo correspondiente de la cadena de cotas. Del mismo modo, la desviación inferior Di de la nueva cota se obtendrá como Di = X D+ i − X D− s , (7.3) y su amplitud de tolerancia H = X H+,− . (7.4) 7.2 TRANSFERENCIA DE COTAS Una situación distinta a la de la sección anterior se presenta cuando es necesario fabricar o verificar una pieza utilizando una cota no especificada en el plano. Téngase en cuenta que aunque para fabricar la pieza no se utilicen tolerancias especificadas en el plano, estas deben ser cumplidas, por lo que la nueva cota ha de satisfacer esta condición. Para verificar si una operación de adición satisface esta condición, supongamos que la pieza de la Fg. 7.2 ha sido fabricada mediante las cotas L1, L3 y la nueva tolerancia L
7. Operaciones con cotas 99 Plano de diseño (especificaciones restrictivas que han de cumplirse) L2 L3 L1 L3 L L1 Plano de fabricación (especificaciones utilizadas durante la fabricación) (a) (b) Figura 7.2: Operación de transferencia. (a) Plaño de diseño. (b) Plano de fabricación. obtenida por adición. A continuación, verificamos si se satisface la especificación de la cota de diseño L2 utilizando de nuevo una operación de adición. Ası́, como L2 = L1−L3−L, resulta: DsL2 = DsL1 − DiL − DiL3 , e introduciendo el valor de DiL obtenido en la sección anterior resulta: DsL2 = DsL2 + HL1 + HL3 , lo que obviamente inclumple la condición de diseño para la cota L2. De la misma forma, se puede obtener que DiL2 = DiL2 − HL1 − HL3 . Por tanto, una operación de adición tal y como se ha aplicado en la sección anterior no podrá ser empleada para este tipo de situaciones. En lo que sigue se indicará el modo en el que ha de aplicarse la operación de adición para cumplir las especificaciones de diseño. Para garantizar que en este tipo de situaciones la nueva cota satisfaga las especifica- ciones del plano de diseño, habrá que forzar explı́citamente tales condiciones. Ası́ para fabricar la pieza de la Figura 7.2 utilizando las cotas L1, L3 y la nueva cota L, habrá que
7. Operaciones con cotas 100 obtener L tal que la cota sustituida L2 satisfaga la condición de diseño dada por sus desviaciones superior DsL2 e inferior DiL2 . Esto se conseguirá siempre que se obtenga la nueva cota L aplicando una operación de adición a la cota sustituida L2. Por tanto, la cadena de cotas a la que habrá de aplicarse la operación de adición será para este caso la siguiente: L2 = L1 − L3 − L. Operando del modo indicado en la sección anterior, las desviaciones correspondientes a la nueva cota L resultan ahora: DsL = DiL1 − DiL2 − DsL3 , DiL = DsL1 − DsL2 − DiL3 . Puede comprobarse que si obtenemos ahora las desviaciones de la cota L2 obviamente deberán coincidir con las especificaciones del plano. Por tanto, una operación de transferencia es una adición aplicada a la cota del plano que se va a sustituir. Obsérvese que el intervalo de tolerancia de la cota L se podrá obtener como HL = DsL − DiL = HL2 − HL1 − HL3 , resultando un intervalo de tolerancia inferior al de la cota sustituida L2. En general, se puede escribir que HCN = HCS − X HCC , (7.5) donde CN, CS y CC hacen referencia, respectivamente, a la nueva cota, cota sustituida y cotas conservadas. Obsérvese que la tolerancia de la nueva cota con la que hay que fabricar la pieza reduce su amplitud con respecto a la cota sustituida, por lo que una operación de transferencia no es recomendable a menos que sea estrictamente necesario realizarla. Obviamente la operación de transferencia estará limitada en el mejor de los casos por la condición HCN 0. (7.6) Ejemplo 1 Para fabricar la pieza considerada, se debe transformar el esquema de la parte superior por el de la parte inferior. Calcular las nuevas cotas D y E.
7. Operaciones con cotas 101 (Dimensiones en mm) A B C D E B = 40 −0,01 −0,02 115 0,1 −0,08 A = 300 −0,03 C = 50 0,03 −0,03 170 0,06 −0,05 300 0,02 −0,02 300 0,02 −0,02 Para transformar la acotación se han de emplear transferencia de cotas. Las cotas sustituidas serán las cotas de 115 y 170 del plano de la parte superior. En la siguiente tabla se muestran las cuatro posibles alternativas que podrı́an utilizarse para realizar la operación de transferencia (véase en la Fig. 7.3 las distintas cadenas de cotas correspon- dientes a las diferentes posibilidades consideradas). Obviamente, la opción que permita obtener las dos cotas nuevas (D y E) con la mayor amplitud de tolerancia, será la opción más deseable desde el punto de vista de fabricación de la pieza.
7. Operaciones con cotas 102 (a) 115 por D (b) 170 por E (D ya ha sido obtenida en la operación anterior) (c) 170 por E ó 115 por E A B C D 115 300 C D E 170 A B 115 170 300 E Figura 7.3: Cadenas de cotas correspondientes a las diferentes posibilida- des consideradas.
7. Operaciones con cotas 103 1.- 115 por D HD = 0,18 − (0,04 + 0,01 + 0,03 + 0,06) = 0,04 mm Válida (Fig. 7.3(a)) 170 por E HE = 0,11 − (0,06 + 0,04) = 0,01 mm Válida (Fig. 7.3(b)) 2.- 170 por E HE = 0,11 − (0,01 + 0,03 + 0,04 + 0,18) = −0,15 mm 0 No válida (Fig. 7.3(c)) 115 por D — — 3.- 115 por E HE = 0,18 − (0,04 + 0,03 + 0,01 + 0,11) = −0,01 mm 0 No válida (Fig. 7.3(c)) 170 por D — — 4.- 170 por D No es viable cerrar la cadena de cotas No válida 115 por E — — Por tanto la primera alternativa es la única que se puede llevar a cabo. En la primera operación de transferencia de cotas, se ha de sustituir la cota de 115 mm por la nueva cota D. La cadena de cotas correspondiente se puede expresar en mm del siguiente modo: 115 = 300 − A − B − C − D. Despejando el valor nominal de la nueva cota D se obtiene: D = 65 mm. Ahora, las desviaciones superior e inferior de la cota D se obtendrán aplicando adicción a la cadena de cotas anterior. Ası́, se puede escribir: 0,1 = 0,02 − (−0,03) − (−0,02) − (−0,03) − DiD , y despejando la desviación inferior de la nueva cota D resulta: DiD = 0 mm.
7. Operaciones con cotas 104 Del mismo modo, se puede escribir: −0,08 = −0,02 − 0 − (−0,01) − 0,03 − DsD , y despejando la desviación superior de la nueva cota D resulta: DsD = 0,04 mm. Por tanto, D = 65 0,04 0 mm. Obsérvese que como se esperaba, la amplitud de tolerancia de la cota D coincide con el valor calculado en la tabla anterior. En la segunda operación de transferencia de cotas, se ha de sustituir la cota de 170 mm por la nueva cota E. La cadena de cotas correspondiente se puede expresar en mm del siguiente modo: 170 = C + D + E. Despejando el valor nominal de la nueva cota E se obtiene: E = 55 mm. Ahora, las desviaciones superior e inferior de la cota E se obtendrán aplicando adicción a la cadena de cotas anterior. Ası́, se puede escribir: 0,06 = 0,03 + 0,04 + DsE , y despejando la desviación superior de la nueva cota E resulta: DsE = −0,01 mm. Del mismo modo, se puede escribir: −0,05 = −0,03 + 0 + DiE , y despejando la desviación inferior de la nueva cota E resulta: DiE = −0,02 mm. Por tanto, E = 55 −0,01 −0,02 mm. Obsérvese que al igual que en el caso anterior, la amplitud de tolerancia de la cota E coincide con el valor calculado en la tabla anterior.
7. Operaciones con cotas 105 Ejemplo 2 En el ejemplo de la figura adjunta, calcular la temperatura máxima que podrı́a alcanzar la pieza, con coeficiente de dilatación lineal α = 11 × 10−6 K−1, para garantizar que la longitud de la cota A no supere en ningún caso el valor 20,11 mm. Las especificaciones de diseño son las siguientes: B = 15g11; C = 10H10; D = 35m6; E = 80 −0,019 −0,525 mm. B C D A E En primer lugar, de las tablas de codificación ISO se obtienen las desviaciones en µm de las cotas especificadas: B = 15g11 = 15−6 −116, C = 10H10 = 1058 0 , D = 35m6 = 3525 9 . Suponiendo que la pieza ha sido bien fabricada de acuerdo a las tolerancias especifi- cadas, para obtener las desviaciones de la nueva cota A se ha de aplicar una operación de adición a la siguiente cadena de cotas: A = E − B − C − D. Ası́, el valor nominal de la nueva cota A resulta igual a 20 mm. La desviación superior: DsA = DsE − DiB − DiC − DiD = −19 − (−116) − 0 − 9 = 88 µm. La desviación inferior: DiA = DiE − DsB − DsC − DsD = −525 − (−6) − 58 − 25 = −602 µm. Obsérvese que la longitud máxima Amax de la cota A a 20 ◦C es igual a 20,088 mm. Por tanto, el incremento de longitud que aún podrı́a experimentar A hasta alcanzar la longitud 20,11 mm es ∆A = 0,022 mm.
7. Operaciones con cotas 106 De este modo, la temperatura de la pieza deberı́a experimentar el siguiente incremento ∆T = ∆A Amaxα = 0,022 20,088 × 11 × 10−6 = 99,56 ◦ C. Luego, la temperatura máxima que puede alcanzar la pieza será: Tmax = 20 + ∆T = 119,56 ◦ C. 7.3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular los lı́mites entre los que podrá variar la cota X en el montaje de la figura (A), y los lı́mites entre los que se debe encontrar la nueva cota D de la figura (B) para cumplir las siguientes especificaciones de diseño: A = 50+200 −0 ; B = 30h8; C = 20h10. C B A X A B D (A) (B) NOTA: las desviaciones de la tolerancia indicadas en la cota A están expresadas en µm. Solución: X= 0+317 0 , D= 50−33 −84.
C A P Í T U L O 8 Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites Los calibres de lı́mites son instrumentos que se utilizan para verificar tolerancias di- mensionales en piezas fabricadas mediante una operación simple de ajuste. Para ello, los calibres de lı́mites materializan los extremos de la tolerancia. Un lado del calibre mate- rializa un extremo de la franja de tolerancia haciendo que la mayorı́a de las piezas bien fabricadas produzcan un ajuste móvil (lado pasa del calibre), y el otro materializa el otro extremo haciendo que la mayorı́a de las piezas bien fabricadas produzcan un ajuste fijo (lado no pasa del calibre). La ventaja principal de este tipo de instrumentos es que con una sencilla operación es posible verificar un gran número de piezas sin necesidad de obtener valores numéricos de sus dimensiones. El principal inconveniente es que se ne- cesita una cierta experiencia cuando se trata de verificar piezas con tolerancias pequeñas o piezas de gran tamaño. Cuando las franjas de tolerancia son muy estrechas, el lado no pasa del calibre podrı́a ser introducido en una pieza correctamente fabricada si se ejerce una presión suficientemente alta. Para evitar esto, se acepta que en ningún caso se ejerza una fuerza superior a 5 N durante el proceso de verificación. La fuerza sobre la pieza se debe ejercer con un ligero balanceo para favorecer la introducción de un elemento sobre el otro. Los tipos de calibres de lı́mites más utilizados son los de herradura (Fig. 8.1(a)), para verificar ejes, tampón (Fig. 8.1(b)), para verificar agujeros, y de varilla (Fig. 8.1(c)), para verificar agujeros de grandes dimensiones. Los lados no pasa de este tipo de calibres suelen identificarse con una franja roja. En la Figura 8.2 se muestran otros tipos de 107
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 108 dmin dmax dmax dmin Lado pasa Lado no pasa Lado pasa Lado no pasa Lado pasa Lado no pasa dmin dmax (c) Calibre de varilla (b) Calibre tampón (a) Calibre de herradura Figura 8.1: Tipos de calibres de lı́mites. (a) Calibre de herradura. (b) Cali- bre tampón. (c) Calibre de varilla.
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 109 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 Calibres de verificación de roscas Calibre tampón plano con extremos esféricos Calibre tampón esférico Calibre tampón plano cilı́ndrico con caras de contacto reducidas Calibre tampón plano cilı́ndrico Calibre de herradura de una boca Figura 8.2: Otros tipos de calibres de lı́mites. calibres de lı́mites. La dureza de los lados del calibre debe ser suficientemente elevada para reducir el desgaste. Los materiales más empleados suelen ser el acero templado, metal duro o recubrimientos de cromo de unos 0,1 mm de espesor. Para evitar que los lados del calibre se deformen con el tiempo es recomendable realizar un tratamiento de normalización y estabilización. El soporte del calibre se suele construir de acero o fundición. Para reducir el peso en los calibres de grandes dimensiones se suelen efectuar agujeros y rebajes que reduzcan su peso sin alterar su rigidez estructural.
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 110 8.1 TOLERANCIAS DE LOS CALIBRES DE LÍMITES Las franjas de tolerancias de los calibres lı́mites son simétricas respecto a los lı́mites de la franja de tolerancia que se verifica. Debe tenerse en cuenta que la mayorı́a de las piezas verificadas suelen entrar en el lado pasa del calibre, mientras que en el lado no pasa ocurre lo contrario. Esto provocará un desgaste gradual del lado pasa del calibre, por lo que para compensar el desgaste y aumentar su periodo de uso se suele prever un sobredimensionamiento del lado pasa del calibre y admitir un cierto desgaste adicio- nal. Esto podrı́a provocar que un calibre nuevo pudiera rechazar piezas correctamente fabricadas (por ejemplo, el lado pasa de un calibre de herradura nuevo no entrarı́a en un eje cuya dimensión se aproximara sin sobrepasar el lı́mite superior de la tolerancia es- pecificada). De la misma forma, un calibre usado podrı́a admitir piezas incorrectamente fabricadas. Por otro lado, la amplitud de las tolerancias de los calibres de lı́mites deben ser su- ficientemente estrechas. Como ejemplo, un calibre utilizado para verificar piezas con ı́ndice de tolerancia igual a 8 debe poseer un ı́ndice de tolerancia igual o menor a 4. En la Tabla 8.1 se muestra la amplitud de la franja de tolerancia para diferentes tipos de cali- bres de lı́mites y distintas calidades de las piezas que se pretenden verificar. Además, la Intervalo de tolerancia (µm) Índice de tolerancia de la pieza 5 6 7 8-10 11-12 13-16 Calibre tampón cilı́ndrico - 2 3 3 5 7 Calibre de herradura 2 3 3 4 5 7 Calibre de varilla con extremos esféricos - 2 2 2 4 6 Calibre tampón plano-cilı́ndrico - 2 3 3 5 7 Calibre tampón plano-esférico - 2 2 2 4 6 Calibre de anillo - 3 3 4 5 7 Calibre tampón patrón regulable - 1 1 2 2 3 Disco patrón para calib. herradura - 1 1 2 2 3 Anillo patrón regulable - 1 1 2 2 3 Tabla 8.1: Amplitud de la franja de tolerancia de los calibres de lı́mites. calidad superficial debe ser también de muy buena calidad. Generalmente se recomiendo que la desviación media aritmética de la superficie del calibre sea siempre inferior a 0,2
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 111 H Desviaciones microgeométricas del perfil Figura 8.3: Acabado superficial de los calibres de lı́mites. µm y en ningún caso superior a T/10, siendo T la amplitud de la franja de tolerancia de la pieza verificada (véase la Figura 8.3). En lo que sigue se indicarán los criterios utilizados para determinar las desviaciones de tolerancia de los calibres de lı́mites. 8.2 CALIBRES DE HERRADURA Como se acaba de indicar, este tipo de calibres se emplea para la verificación de ejes. Constan de dos partes. El lado pasa del calibre debe coincidir, aproximadamente, con el lı́mite superior de la tolerancia que verifica. De la misma forma, el lado no pasa ha de aproximarse al lı́mite inferior de la tolerancia. En ocasiones, cuando el diámetro de las piezas que se verifican es grande, los lados pasa y no pasa del calibre suelen estar separados en forma de anillos independientes. Para aumentar el periodo de uso de este tipo de calibres, la posición central de la franja de tolerancia del lado pasa de un calibre nuevo se situa un valor z1 por debajo del lı́mite superior de la tolerancia de la pieza verificada. Además, se admite que el lado pasa del calibre usado pueda rebasar hasta un cierto valor y1 el lı́mite superior de la tolerancia de la pieza. En la figura 8.4 se representan los lı́mites de tolerancia de un calibre de herradura. En la Tabla 8.2 se muestran las desviaciones de la posición de la franja de tolerancia de los calibres de lı́mites. El parámetro a1 de la Tabla 8.2 se utiliza para corregir las posiciones de tolerancia del calibre compensando los errores de medida cuando las dimensiones de las piezas que se verifican son superiores a 180 mm. Para hacer esta corrección se utiliza el siguiente cri- terio conservador: “siempre será preferible rechazar piezas bien fabricadas que aceptar
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 112 Desviaciones de tolerancia del calibre (µm) IT → 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Grupo (mm) z y z y z y z y z z z z z z z z ↓ z1 y1 z1 y1 z1 y1 z1 y1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 ≤ 3 1 1 1 1,5 1 1,5 1,5 1,5 2 3 5 5 10 10 20 20 40 40 3 ≤ 6 1 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 3 3 6 6 12 12 24 24 48 48 6 ≤ 10 1 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 3 3 7 7 14 14 28 28 56 56 10 ≤ 18 1,5 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 2 4 4 8 8 16 16 32 32 64 64 18 ≤ 30 2 2 2 3 1,5 3 3 3 5 4 9 9 19 19 36 36 72 72 30 ≤ 50 2 2 2,5 3,5 2 3 3,5 3 6 5 11 11 22 22 42 42 80 80 50 ≤ 80 2 2 2,5 4 2 3 4 3 7 7 13 13 25 25 48 48 90 90 80 ≤ 120 2,5 3 3 5 3 4 5 4 8 6 15 15 28 28 54 54 100 100 120 ≤ 180 3 3 4 6 3 4 6 4 9 6 18 18 32 32 60 60 110 110 180 ≤ 250 4 3 5 7 4 5 7 6 12 7 21 24 40 45 80 100 170 210 250 ≤ 315 5 3 6 8 5 6 8 7 14 9 24 27 45 50 90 110 180 240 315 ≤ 400 6 4 7 10 6 6 10 8 16 9 28 32 50 65 100 125 210 280 400 ≤ 500 7 4 8 11 7 7 11 9 18 11 32 37 55 70 110 145 240 320 Desviaciones de tolerancia del calibre (µm) IT → 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Grupo (mm) a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a ↓ y′ a1 y′ 1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 180 ≤ 250 2 2 3 3 3 3 4 4 4 7 7 10 10 15 15 25 25 45 45 70 70 110 110 250 ≤ 315 2 3 3 3 4 3 6 6 6 9 9 15 15 20 20 35 35 55 55 90 90 140 140 315 ≤ 400 2 4 2 2 6 2 7 7 7 11 11 15 15 30 30 45 45 70 70 110 110 180 180 400 ≤ 500 2 5 2 2 7 2 9 9 9 14 14 20 20 35 35 55 55 90 90 140 140 220 220 Tabla 8.2: Desviación de la posición de la franja de tolerancia de los cali- bres de lı́mites.
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 113 Lado no pasa Lado pasa H z1 Pieza H y1 Usado Nuevo Figura 8.4: Lı́mites de tolerancia de un calibre de herradura. y′ 1 a1 a1 Lado no pasa Lado pasa Pieza Usado Nuevo H z1 y1 H Figura 8.5: Lı́mites de tolerancia de un calibre de herradura para dimen- siones superiores a 180 mm. piezas mal fabricadas” (véase el ejemplo de la Fig. 8.5). Por tanto, la máxima desviación aceptada del lado pasa del calibre usado será igual a y′ 1 = y1 − a1 y el centro de la franja de tolerancia del lado no pasa se situará a una distancia igual al parámetro a1 por encima del lı́mite inferior de la tolerancia de la pieza verificada. Debe mencionarse que sólo se preven valores no nulos del parámetro y1 para ı́ndices de tolerancia de las piezas verificadas inferiores a 9. Por tanto, para ı́ndices de tolerancia iguales o superiores a 9 el parámetro y1, debe considerarse igual a cero. En ocasiones, también se puede exigir un valor nulo de este parámetro con ı́ndices de tolerancia infe- riores a 9, para lo que se ha de especificar en el calibre con una letra N. Por ejemplo, un calibre de herradura para verificar ejes de tolerancia 30g6 en el que se exija que y1 sea igual a cero, será identificado como 30g6N.
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 114 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 H H z y Lado pasa nuevo usado Pieza Lado no pasa Figura 8.6: Lı́mites de tolerancia de un calibre tampón. 8.3 CALIBRES TAMPÓN Los calibres tampón se emplean para la verificación de agujeros. En este caso, el lado pasa del calibre debe coincidir, aproximadamente, con el lı́mite inferior de la tolerancia que verifica. De la misma forma, el lado no pasa ha de aproximarse al lı́mite superior de la tolerancia de la pieza. Cuando el diámetro de las piezas que se verifican es grande, y al igual que en el caso de los calibres de herradura, los lados pasa y no pasa del calibre suelen estar separados. Para aumentar el periodo de uso de este tipo de calibres, la posición central de la franja de tolerancia del lado pasa de un calibre nuevo se encuentra un valor z por encima del lı́mite inferior de la tolerancia de la pieza verificada. Además, se admite que en el lado pasa de un calibre usado, su franja de tolerancia quede a una distancia y por debajo del lı́mite inferior de la tolerancia de la pieza. En la figura 8.6 se representan los lı́mites de tolerancia de un calibre tampón. En la Tabla 8.2 también se pueden encontrar las desviaciones de la posición de la franja de tolerancia correspondientes a los calibres tampón. Para dimensiones superiores a 180 mm se utiliza el factor corrector a siguiendo el mismo criterio conservador mencionado en la sección anterior (véase el ejemplo de la Fig 8.7). Por tanto, la máxima desviación aceptada del lado pasa del calibre usado será igual a y′ = y − a y el centro de la franja de tolerancia del lado no pasa se situará ahora a una distancia igual al parámetro a por debajo del lı́mite superior de la tolerancia de la pieza verificada.
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 115 a y′ H z y Lado pasa nuevo usado Pieza Lado no pasa H a Figura 8.7: Lı́mites de tolerancia de un calibre tampón para dimensiones superiores a 180 mm. Ejemplo 1 Determinar las dimensiones lı́mites de un calibre de herradura para la verifi- cación de piezas de dimensiones 30h7. Las dimensiones máxima y mı́nima del eje 30h7 son, respectivamente, 30 y 29,979 mm. El calibre de herradura necesario para su verificación tendrá una amplitud de tole- rancia en cada uno de su lado de H = 3 µm (Tabla 8.1). Además, para aumentar la vida del lado pasa del calibre se admite una sobremedida de z1 = 3 µm y un desgaste máximo admisible de y1 = 3 µm (Tabla 8.2). Por tanto, las dimensiones máxima y mı́nima de cada lado del calibre serán las siguientes. Lado no pasa: Dmin = 29,979 − H/2 = 29,979 − 0,0015 = 29,9775 mm. Dmax = 29,979 + H/2 = 29,979 + 0,0015 = 29,9805 mm. Lado pasa nuevo: Dmin = 30 − z1 − H/2 = 30 − 0,003 − 0,0015 = 29,9955 mm. Dmax = 30 − z1 + H/2 = 30 − 0,003 + 0,0015 = 29,9985 mm. Lado pasa usado:
8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 116 Dmax = 30 + y1 = 30 + 0,003 = 30,003 mm. Ejemplo 2 Determinar las dimensiones lı́mites de un calibre tampón para la verificación de piezas de dimensiones 25J8. Las dimensiones máxima y mı́nima del agujero 25J8 son, respectivamente, 25,020 y 24,987 mm. El calibre tampón necesario para su verificación tendrá una amplitud de tolerancia en cada uno de sus lados de H = 3 µm (Tabla 8.1). Además, para aumentar la vida del lado pasa del calibre se admite una sobremedida de z = 5 µm y un desgaste máximo admisible de y = 4 µm (Tabla 8.2). Por tanto, las dimensiones máxima y mı́nima de cada lado del calibre serán las siguientes. Lado no pasa: dmin = 25,020 − H/2 = 25,020 − 0,0015 = 25,0185 mm. dmax = 25,020 + H/2 = 25,020 + 0,0015 = 25,0215 mm. Lado pasa nuevo: dmin = 24,987 + z − H/2 = 24,987 + 0,005 − 0,0015 = 24,9905 mm. dmax = 24,987 + z + H/2 = 24,987 + 0,005 + 0,0015 = 24,9935 mm. Lado pasa usado: dmin = 24,987 − y = 24,987 − 0,004 = 24,983 mm.
C A P Í T U L O 9 Acabado superficial Básicamente, las desviaciones del perfil real de una pieza (véase el ejemplo de la Figu- ra 9.1) con respecto al perfil teórico se pueden dividir en desviaciones dimensionales y de forma (o macrogeométricas), por un lado, y de acabado superficial (o microgeométricas), por otro. Las principales diferencias entre las desviaciones dimensionales y de forma y las desviaciones de acabado son las que se indican a continuación: Desviaciones dimensionales y de forma: • Caracterı́sticas macrogeométricas de la pieza. • Afectan a la función de la pieza y a su intercambiabilidad. Desviaciones de acabado: • Caracterı́sticas microgeométricas de la pieza. • Afectan a la estanqueidad, rozamiento o desgaste de la pieza. En general, se puede decir que las tolerancias dimensionales son las de mayor am- plitud, seguidas por las tolerancias de forma y finalmente las de acabado superficial. De forma orientativa, la relación entre las tres desviaciones que se acaban de mencionar para una pieza de calidad media podrı́an ser los siguientes Tolerancia dimensional: ±0,050 mm Tolerancia de forma: ±0,020 mm Tolerancia de acabado: 0,005 mm 117
9. Acabado superficial 118 Desviación de forma Longitud básica Perfil teórico Desviaciones de rugosidad Desviación dimensional de acabado Desviación y x Longitud básica, l Figura 9.1: Clasificación de los defectos geométricos de una pieza.
9. Acabado superficial 119 Dimensión máxima (mm) Ra (µm) 3 18 80 250 500 0,125 5 0,2 6 5 0,32 7 6 5 0,5 8 7 6 5 0,8 9 8 7 6 5 1,25 10 9 8 7 6 2,0 11 10 9 8 7 3,2 12 11 10 9 8 Tabla 9.1: Relación orientativa entre Ra y la tolerancia dimensional (IT). Debe mencionarse que en los planos no suele ser necesario indicar tolerancias para todas las desviaciones geométricas anteriores. Téngase en cuenta que la obtención de calidades dimensionales estrechas generalmente conlleva la obtención de desviaciones de forma y de acabado superficial reducidas. De forma orientativa, la relación entre el valor de Ra y la tolerancia dimensional (especificada mediante el ı́ndice de tolerancia IT según la norma ISO) se muestra en la tabla 9.1. Para poder separar los defectos macro y microgeométricos se utiliza como criterio la longitud básica de exploración ℓ (Fig. 9.1), tal que se consideran defectos dimensionales o de forma a aquellos que se producen para longitudes superiores a ℓ y se consideran defectos de acabado superficial a aquellos que se producen para longitudes inferiores a ℓ. En la Fig. 9.2 se muestra el ejemplo de palpado de un perfil y un sistema mecánico de filtrado o separación de defectos. Los valores de la longitud básica están normalizados y se pueden elegir de entre una gama relativamente amplia dependiendo de los criterios utilizados por el usuario para separar los distintos tipos de desviaciones. A continuación se expondrán los parámetros más utilizados para cuantificar el valor de las desviaciones microgemétricas del perfil a lo largo de la longitud básica.
9. Acabado superficial 120 d Pieza Patı́n Patı́n Palpador Amortigua defectos de gran longitud de onda Palpador Perfil registrado Perfil real d Figura 9.2: Palpador y sistema mecánico de filtrado. 9.1 PARÁMETROS DE MEDIDA DE RUGOSIDAD Probablemente, el parámetro más utilizado para medir rugosidad sea la desviación media aritmética del perfil, Ra. Este parámetro se define como la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones del perfil en los lı́mites de la longitud básica. Ası́, Ra = 1 ℓ ℓ Z 0 |y(x)|dx, (9.1) o para perfiles definidos por n puntos discretos a lo largo de ℓ, Ra = 1 n n X i=1 |yi|. (9.2) El significado gráfico de Ra puede verse claramente en la Fig. 9.3. Ra representa la altura del rectángulo, de base ℓ, cuyo valor del área es el mismo que el área encerrado por las irregularidades del perfil y la lı́nea media. La lı́nea media, o lı́nea central, es aquella que divide al perfil en dos regiones de igual área a lo largo de ℓ. Por tanto, su valor se podrı́a obtener imponiendo la siguiente condición: X |A+ | = X |A− |, (9.3) y el valor Ra se podrı́a calcular como Ra = P |A+| + P |A−| ℓ = 2 P |A+| ℓ = 2 P |A−| ℓ . (9.4)
9. Acabado superficial 121 Ra Ry Rp Rm Longitud básica, l x y ym Lı́nea central Ra = 1 l x0+l Z x0 |y|dx = P |A+ | + P |A− | l A+ A+ A− A− Longitud básica, l x y Lı́nea central ym Figura 9.3: Lı́nea media o lı́nea central del perfil.
9. Acabado superficial 122 y x Longitud básica, l Rz = (R1 + R3 + R5 + R7 + R9) − (R2 + R4 + R6 + R8 + R10) 5 R1 R3 R5 R7 R9 R2 R4 R6 R8 R10 Figura 9.4: Altura media del perfil. El parámetro Ra básicamente se utiliza para determinar propiedades tales como: calidad del proceso de fabricación, valor actual del desgaste en las herramientas de corte (en procesos de mecanizado), estanqueidad o rodadura. Otros parámetros de medida de rugosidad son, por ejemplo (véase el ejemplo de la Fig. 9.3), Rp (distancia entre la cresta más alta y la lı́nea media), Rm (distancia entre el valle más profundo y la lı́nea media), la altura máxima del perfil ó Ry (distancia entre la cresta más alta y el valle más profundo) y la altura media del perfil ó Rz (véase el ejemplo de la Fig. 9.4), que amortigua posibles defectos muy localizados del perfil a lo largo de ℓ. Sin embargo, estos parámetros no son apropiados para determinar propiedades tan importantes como las relativas a la capacidad de lubricación de una superficie o a su
9. Acabado superficial 123 λ Ry λ Ry λ Ry Buena resistencia al desgaste Baja capacidad de lubricación Alta capacidad de lubricación Mala resistencia al desgaste Figura 9.5: Superficies con igual valor de Ry y diferente comportamiento frente al desgaste y a la capacidad de lubricación. resistencia al desgaste. Por ejemplo, en la Fig. 9.5 se representan tres perfiles con el mismo valor de Ry pero con un comportamiento claramente diferente frente al desgaste o a la capacidad de lubricación. Para determinar la resistencia al desgaste o capacidad de lubricación de una superficie, se ha de utilizar el perfil portante tp de la superficie. El perfil portante representa la longitud de material cortado por una lı́nea imaginaria paralela a la lı́nea media a distintas alturas del perfil (véase el ejemplo de la Fig. 9.6). Obsérvese que un perfil portante cóncavo (Fig. 9.6(b)) representa a una superficie con baja resistencia al desgaste pero con una alta capacidad de lubricación, mientras que un perfil portante convexo (Fig. 9.6(c)) representa justo lo contrario.
9. Acabado superficial 124 (a) (b) (c) y Longitud básica, l 100 %l tp( %) y Longitud básica, l 100 %l tp( %) Baja resistencia al desgaste Alta resistencia al desgaste y Longitud básica, l 100 %l Alta capacidad de lubricación Baja capacidad de lubricación tp( %) Figura 9.6: Perfil portante. (a) Caso normal. (b) Caso con baja resistencia al desgaste y alta capacidad de lubricación. (c) Casos con alta resistencia al desgaste y baja capacidad de lubricación.
9. Acabado superficial 125 Rugosidad, Ra (µm) Clase de rugosidad 50 N12 25 N11 12,5 N10 6,3 N9 3,2 N8 1,6 N7 0,8 N6 0,4 N5 0,2 N4 0,1 N3 0,05 N2 0,025 N1 desbastes: N10 a N12; acabados: N9 a N6; acabados (abrasión): N5 a N1 Tabla 9.2: Calidades ISO de rugosidad. 9.2 ESPECIFICACIONES DE ACABADO SUPERFICIAL Los valores de acabado superficial se especifican gráficamente mediante un sı́mbolo como el representado en la Fig. 9.7(a). Obsérvese que según el proceso utilizado para conseguir un determinado acabado superficial, el sı́mbolo empleado puede cambiar li- geramente (Fig. 9.7(b)). Junto con el sı́mbolo, puede aparecer información adicional tal como, el valor de Ra (en su lugar se puede emplear la codificación normalizada ISO que se representa en la tabla 9.2), proceso de fabricación, tratamiento térmico o recubrimiento utilizado, longitud básica a emplear en la medida de la rugosidad, sobremedida (o creces) para operaciones de mecanizado posteriores o dirección de las estrı́as del mecanizado (véase alguno de los sı́mbolos más utilizados en la Fig. 9.7(c)). Este tipo de codificación cuantitativa sustituye a la antigua codificación de acabado superficial (tabla 9.3) basada en triángulos (a mayor número de triángulos, mejor acabado superficial).
9. Acabado superficial 126 (a) (b) (c) C R M Creces de mecanizado Valor de Ra Dirección de las estrı́as de mecanizado Longitud básica Proceso de fabricación, tratamiento térmico, etc. Proceso de cualquier tipo Proceso de conformación plástica Proceso de mecanizado Figura 9.7: Simbologı́a de acabado superficial. (a) Caso general. (b) Dife- rentes sı́mbolos para representar distintos procesos de fabri- cación. (c) Dirección de las estrı́as de mecanizado.
9. Acabado superficial 127 Sı́mbolo Tipo de acabado Ra aproximado (µm) ▽ ▽ ▽▽ super acabado Ra 0,2 ▽ ▽ ▽ muy fino 0,2 Ra 0,8 ▽▽ fino 0,8 Ra 3,2 ▽ basto 3,2 Ra 12,5 ∼ grueso 12,5 Ra 50 ninguno sin acabado 50 Ra Tabla 9.3: Antigua codificación de acabado superficial. Ejemplo 1 En un rugosı́metro se obtiene el perfil de la figura adjunta en una longitud básica ℓ = 0,8 mm. La amplificación vertical del registro gráfico del perfil es de 50000 y la amplificación horizontal de 100. Se pide: 1. Calcular el parámetro de rugosidad Ra. 2. Calcular los parámetros locales Ry, Rp y Rm. 3. Obtener el diagrama del perfil portante. Pieza Aire 8 8 8 8 8 8 8 8 8 32 80 5 5 5 5 40 En primer lugar, se ha de calcular la altura de la lı́nea media y0 que ha de cumplir la siguiente condición R ℓ ydx = 0. Para ello, si consideramos como origen de ordenadas la lı́nea discontinua inferior del registro gráfico (véase la figura adjunta), la ecuación anterior proporciona el siguiente resultado:
9. Acabado superficial 128 32 5 32 16 y0 Rp Rm Ry yo P A+ P A− 40 − y0 (40 − y0)32 = 48y0 + 1 2 × 16 × 5. Despejando el valor de y0 resulta: y0 = 15,5 mm. Finalmente, el valor de la desviación media aritmética del perfil Ra se podrá obtener: Ra = 1 ℓ Z ℓ 0 |y|dx = P A+ + P A− ℓ = 48 × 15,5 + 1 2 × 16 × 5 + (40 − 15,5)32 80 × 50000 = 0,000392 mm = 0,392 µm. Por otro lado, los parámetros locales de rugosidad resultantes son: Rp = 40 − y0 + 5 50000 = 0,00059 mm = 0,59 µm. Rm = y0 + 5 50000 = 0,00041 mm = 0,41 µm. Ry = Rp + Rm = 1 µm. Para obtener el perfil portante, en primer lugar se construye una tabla donde en la primera columna se representa la altura en porcentaje del plano de corte y en la segunda columna la cantidad de material cortado en tanto por ciento. Ası́, yc ( %) x/ℓ ( %) 0 100 10 60 20 40 80 40 90 20 100 0
9. Acabado superficial 129 A continuación se representan en un gráfico los resultados de la tabla anterior, resultan- do: 100 50 0 50 100 y( %) x( %) Puede observarse que un pequeño desgaste en el perfil mejorarı́a significativamente su calidad superficial. Ejemplo 2 Determinar, para el perfil de la figura, la desviación media aritmética (Ra) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). y0 x (µm) y (µm) 44 88 0 50 150 250 350 450 60◦ Al igual que en el ejercicio anterior, en primer lugar se ha de calcular la altura de la lı́nea media y0 (véase la figura adjunta) que ha de cumplir la siguiente condición R ℓ ydx = 0. La ecuación anterior proporciona el siguiente resultado: 4 × 1 2 × 2 × (88 − y0) tan60 (88 − y0) + 2 × 1 2 × 2 × (44 − y0) tan 60 (44 − y0) = 6 × 1 2 × 2 × y0 tan 60 y0. Véase la descomposición mostrada en la siguiente figura
9. Acabado superficial 130 y0 x (µm) y (µm) 44 88 0 50 150 250 350 450 2y0 tan 60 2(44−y0) tan 60 2(88−y0) tan 60 60◦ Operando adecuadamente se obtiene 440y0 = 17424, lo que proporciona el siguiente resultado para la altura de la lı́nea media y0 = 39,6 µm. Obsérvese que si y0 hubiese resultado mayor que 44 µm, la topologı́a del problema serı́a diferente y habrı́a que replantear de nuevo la ecuación de la lı́nea media. A continuación, el valor de la desviación media aritmética del perfil Ra se podrá obte- ner como Ra = 1 ℓ Z ℓ 0 |y|dx = P A+ + P A− ℓ = 4 × (88−39,6)2 tan 60 + 2 × (44−39,6)2 tan 60 + 6 × 39,62 tan 60 500 = 21,73 µm. Finalmente, la altura de la lı́nea media a cresta resultará Rp = 88 − y0 = 88 − 39,6 = 48,4 µm. Ejemplo 3 En una operación de cilindrado en torno paralelo se utiliza una herramienta como la mostrada en la figura adjunta para mecanizar una pieza cilı́ndrica. Si la herra- mienta, situada en la periferia de la pieza y penetrando lo suficiente para eliminar una capa de material de un determinado espesor, avanza 0,15 mm en la dirección axial del eje de giro de la pieza por cada vuelta de la pieza, calculése la desviación media aritmética del perfil resultante en la pieza (supónganse despreciables las irregularidades del perfil producidas por factores externos tales como vibraciones de la bancada de la máquina, irregularidades del material de la pieza, defectos de la herramienta de corte, etc.)
9. Acabado superficial 131 Rp Ry Rm Superficie generada (dimensiones en µm) 75 150 S3 S1 S2 Pieza Herramienta Superficie generada 0,15 mm 15◦ 15◦ A B C D Obviamente, por simetrı́a, se ha de cumplir que Rp = Rm = 1 2 Ry. Es decir, la lı́nea media se situará justo a mitad de altura del perfil. Además, la longitud de los segmentos AB y BC se pueden obtener como AB = Ry tan 15, BC = Ry tan15 . Teniendo en cuenta además que AC = 150 = AB + BC, se obtiene finalmente la siguiente relación Ry tan 15 + Ry tan15 = 150. Por tanto, la altura máxima del perfil resultará Ry = 150 tan 15 + 1/ tan 15 = 37,5 µm. Por otro lado, el área positiva S1 se podrá obtener como S1 = 1 2 75 × 1 2 × 37,5 = 703,125 µm2 . Obviamente, la suma de las áreas negativas ha de coincidir con S1 S2 + S3 = S1 = 703,125 µm2 . Finalmente, el valor de Ra resultante de esta operación de mecanizado será: Ra = S1 + S2 + S3 150 = 2 × 703,125 150 = 9,375 µm.
9. Acabado superficial 132 9.3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar, para el perfil de la figura, el parámetro de rugosidad de desviación media aritmética (Ra) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). y (µm) x (µm) 0 80 40 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 Solución: Ra = 33,06 µm (ym = 36,36 µm), Rp = 43,64 µm. 2. En una operación de cilindrado como la mostrada en la figura adjunta, calcúlese el avance f de la herramienta en la dirección axial del eje de giro de la pieza por cada vuelta de la pieza necesario para conseguir un acabado superficial de la pieza correspondiente a una desviación media aritmética del perfil de 10 µm (supónganse despreciables las irregularidades del perfil producidas por factores externos tales como vibraciones de la bancada de la máquina, irregularidades del material de la pieza, defectos de la herramienta de corte, etc.) Pieza Herramienta Superficie generada 10◦ 10◦ f Rp Ry Rm S3 S1 S2 Superficie generada f f /2 A B C D Solución: f = 233,92 µm/vuelta.
C A P Í T U L O 10 Prácticas de Laboratorio 10.1 MEDIDA Y ACOTACIÓN DE UNA PIEZA Objetivos En esta práctica se medirán las cotas significativas de una pieza y se establecerán la codificaciones ISO correspondientes. Material necesario Para la ejecución de la práctica se necesitará el siguiente material: Micrómetro de exteriores de apreciación igual a 0,01 mm; pie de rey de apreciación igual a 0,01 mm; Procedimiento Medir 10 veces cada cota de la pieza. Para ello se usará el instrumento más apropia- do para cada caso. Aplicar el criterio de rechazo de Chauvenet a cada muestra de datos. Obtener la medida final de cada cota y su correspondiente incertidumbre para un factor de incertidumbre K = 2 suponiendo que no existen desviaciones significativas en la escala de los intrumentos utilizados. Obtener la codificación ISO que mejor se ajuste a cada medida obtenida. 133
10. Prácticas de Laboratorio 134 Hacer un croquis de la pieza medida con las codificaciones ISO obtenidas.
10. Prácticas de Laboratorio 135 10.2 CALIBRACIÓN DE UN INSTRUMENTO DE MEDIDA Objetivos En esta práctica se calibrará un micrómetro de exteriores. Material necesario Para la ejecución de la práctica se necesitará el siguiente material: un juego de bloques patrón de calidad 0; un micrómetro de apreciación igual a 0,01 mm; Procedimiento Elegir tres puntos del campo de medida del micrómetro, tratando de cubrir los valores centrales y extremos del mismo (procurar que la última cifra significativa sea diferente en cada campo seleccionado). Montar tres grupos de bloques patrón cuya dimensión más probable coincida con los valores seleccionados anteriormente (como máximo se podrán acoplar 3 bloques en cada grupo). Realizar 10 mediciones sobre cada grupo de bloques patrón. Aplicar el criterio de rechazo de Chauvenet a cada muestra de datos. Calcular las correcciones de calibración y las incertidumbres en cada punto del campo de medida para n = 3 (número de reiteraciones que se efectuarán con el instrumento calibrado sobre las piezas que se deseen medir), tomando k = k0 = 3. Método operativo “MICRÓMETRO” Apreciación = TOMA DE DATOS:
10. Prácticas de Laboratorio 136 Punto 1 Punto 2 Punto 3 X1 = X2 = X3 = s1 = s2 = s3 = APLICACIÓN DEL CRITERIO DE RECHAZO: Punto 1 Punto 2 Punto 3 X + k(n) × s X − k(n) × s CÁLCULO DE CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN: Punto 1 Punto 2 Punto 3 ∆Xc Corrección global, ∆Xc = CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES (n = 3):
10. Prácticas de Laboratorio 137 Punto 1 Punto 2 Punto 3 u2 0(µm) = (0,06 + 0,0005 × X0(mm))2 s2 c nc s2 m 3 ≃ s2 c 3 δ2 j 9 = (∆Xc −∆Xcj )2 9 u2 = u2 0 + s2 c nc + s2 m 3 + δ2 j 9 u umáx = INCERTIDUMBRE GLOBAL (n = 3): U(n = 3) = u × K ≃
10. Prácticas de Laboratorio 138 10.3 MEDICIÓN DEL DIÁMETRO INTERIOR DE UN CASQUILLO Objetivos En esta práctica se compararán dos procedimientos diferentes para la medición del diámetro interior D de un casquillo cilı́ndrico. Material necesario Para la ejecución de la práctica se necesitará el siguiente material: un proyector de perfiles; una máquina medidora de alturas de apreciación 0,001 mm e incertidumbre asocia- da igual a 0,005 mm (k = 2); dos bolas calibradas de diámetros D1 = D2 = 12, 000 ± 0, 005 mm (k = 2); una mesa de planitud. Procedimiento A continuación se describen los dos procedimientos empleados en esta práctica. Método de la flecha Para determinar el diámetro interior D del casquillo se utilizará un proyector de perfi- les con el que se podrán obtener los valores de la cuerda c y flecha f de un determinado sector circular. Estos valores se determinarán a partir de las coordenadas de los puntos A, B y T indicados en la figura adjunta, donde T es el punto de tangencia entre el sector circular y una lı́nea paralela a la que une los puntos A y B.
10. Prácticas de Laboratorio 139 f c A(xA, yB) T(xT , yT ) B(xB, yB) D Anillo Interior Se supondrá que el proyector de perfiles no presenta desplazamientos de escala sig- nificativos entre los puntos mencionados anteriormente, por lo que las distancias entre dichos puntos, que determinan las longitudes de la cuerda y de la flecha que se quieren determinar, no necesitan ser corregidas. Para determinar la variabilidad de las medidas obtenidas con el proyector de perfiles se realizará una prueba de repetibilidad efectuan- do 10 mediciones sobre el punto que presente un mayor grado de dispersión en sus medidas. Intuitivamente se puede apreciar que este punto será el punto de tangencia T. La variabilidad de la medida realizada con el proyector de perfiles sobre cualquier pun- to del casquillo se supondrá igual a la desviación tı́pica sYT obtenida en esta prueba de repetibilidad. El diámetro interior del casquillo D se obtendrá reiterando medidas sobre 5 sectores circulares de la pieza. La incertidumbre final del diámetro interior se obtendrá para un factor de incertidumbre igual a 3. Método de las dos bolas Con este método, el diámetro interior del casquillo se obtendrá tal y como se indica en la figura. Para ello, se utilizarán dos bolas calibradas, D1 y D2, de igual diámetro y una medidora de alturas con la que se obtendrá la distancia H entre la bola 1 y la mesa de planitud. Al igual que en el método anterior, se realizarán 5 determinaciones del diámetro del casquillo y se obtendrá la incertidumbre final utilizando un factor k igual a 3.
10. Prácticas de Laboratorio 140 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 D H D1 D2 Casquillo cilindrico Mesa de planitud
10. Prácticas de Laboratorio 141 10.4 VERIFICACIÓN DEL ÁNGULO DE UN CONO Objetivos En esta práctica se verificará si el ángulo α del cono indicado en la figura se encuentra dentro de una tolerancia igual a 15◦ ±5′. Material necesario Para la ejecución de la práctica se requerirá el siguiente material: un juego de bloques patrón de calidad 0: u0(µm) = (0,06 + 0,0005 × X0(mm)) ; una máquina medidora de alturas de apreciación igual a 0,001 mm e incertidumbre asociada igual a 0,005 mm (k = 2); una regla de senos de longitud entre los centros de sus rodillos L = 100 mm con incertidumbre asociada UL(k=2) L = 10−5; una mesa de planitud. Procedimiento Para la medición del ángulo del cono (α) se dispondrá un montaje como el indicado en la figura.
10. Prácticas de Laboratorio 142 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 000 000 000 111 111 111 000 000 111 111 00 11 0 0 0 1 1 1 0000 1111 000 111 L Mesa de planitud Bloques patrón Regla de senos H α0 = 15◦ α l Medidora de alturas La medida se efectuará anotando la desviación apreciada por la máquina medidora de alturas cuando se desplaza una longitud l = 50 mm sobre la generatriz del cono. Se debe elegir un conjunto de bloques patrón adecuado para que la altura total (H) permita materializar el ángulo nominal α0 = 15◦ entre la regla de senos, de distancia entre los centros de sus rodillos de L = 100 mm, y la mesa de planitud.
10. Prácticas de Laboratorio 143 10.5 VERIFICACIÓN DEL UN CALIBRE LÍMITE Objetivos En esta práctica se verificará el estado de un calibre lı́mite de tipo tampón (véase la figura adjunta) utilizando un máquina medidora de una coordenada horizontal de elevada precisión dimensional. 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 dmin ≃ 30 dmax ≃ 30,033 Lado pasa Lado no pasa 30H8 Material necesario Para la ejecución de la práctica se necesitará el siguiente material: un calibre lı́mite tipo tampón; máquina medidora de una coordenada horizontal que permite obtener medidas con resolución de 0,0001 mm e incertidumbre igual a 0,0005 mm (k = 2); soporte para fijar el calibre en la máquina medidora. Procedimiento Se realizarán 10 medidas sobre cada lado del calibre. Los resultados de la medida final de cada lado se compararán con los lı́mites admisibles especificados por ISO para calibres de este tipo (véanse las tablas que se exponen a continuación).
10. Prácticas de Laboratorio 144 Intervalo de tolerancia (µm) Índice de tolerancia de la pieza 5 6 7 8-10 11-12 13-16 Calibre tampón cilı́ndrico - 2 3 3 5 7 Calibre de herradura 2 3 3 4 5 7 Calibre de varilla con extremos esféricos - 2 2 2 4 6 Calibre tampón plano-cilı́ndrico - 2 3 3 5 7 Calibre tampón plano-esférico - 2 2 2 4 6 Calibre de anillo - 3 3 4 5 7 Calibre tampón patrón regulable - 1 1 2 2 3 Disco patrón para calib. herradura - 1 1 2 2 3 Anillo patrón regulable - 1 1 2 2 3 Tabla 10.1: Amplitud de la franja de tolerancia de los calibres de lı́mites.
10. Prácticas de Laboratorio 145 Desviaciones de tolerancia del calibre (µm) IT → 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Grupo (mm) z y z y z y z y z z z z z z z z ↓ z1 y1 z1 y1 z1 y1 z1 y1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 ≤ 3 1 1 1 1,5 1 1,5 1,5 1,5 2 3 5 5 10 10 20 20 40 40 3 ≤ 6 1 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 3 3 6 6 12 12 24 24 48 48 6 ≤ 10 1 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 3 3 7 7 14 14 28 28 56 56 10 ≤ 18 1,5 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 2 4 4 8 8 16 16 32 32 64 64 18 ≤ 30 2 2 2 3 1,5 3 3 3 5 4 9 9 19 19 36 36 72 72 30 ≤ 50 2 2 2,5 3,5 2 3 3,5 3 6 5 11 11 22 22 42 42 80 80 50 ≤ 80 2 2 2,5 4 2 3 4 3 7 7 13 13 25 25 48 48 90 90 80 ≤ 120 2,5 3 3 5 3 4 5 4 8 6 15 15 28 28 54 54 100 100 120 ≤ 180 3 3 4 6 3 4 6 4 9 6 18 18 32 32 60 60 110 110 180 ≤ 250 4 3 5 7 4 5 7 6 12 7 21 24 40 45 80 100 170 210 250 ≤ 315 5 3 6 8 5 6 8 7 14 9 24 27 45 50 90 110 180 240 315 ≤ 400 6 4 7 10 6 6 10 8 16 9 28 32 50 65 100 125 210 280 400 ≤ 500 7 4 8 11 7 7 11 9 18 11 32 37 55 70 110 145 240 320 Desviaciones de tolerancia del calibre (µm) IT → 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Grupo (mm) a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a ↓ y′ a1 y′ 1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 180 ≤ 250 2 2 3 3 3 3 4 4 4 7 7 10 10 15 15 25 25 45 45 70 70 110 110 250 ≤ 315 2 3 3 3 4 3 6 6 6 9 9 15 15 20 20 35 35 55 55 90 90 140 140 315 ≤ 400 2 4 2 2 6 2 7 7 7 11 11 15 15 30 30 45 45 70 70 110 110 180 180 400 ≤ 500 2 5 2 2 7 2 9 9 9 14 14 20 20 35 35 55 55 90 90 140 140 220 220 Tabla 10.2: Desviación de la posición de la franja de tolerancia de los ca- libres de lı́mites.
C A P Í T U L O 11 Pruebas de Evaluación 11.1 CUESTIONES DE AUTOEVALUACIÓN Cuestiones de metrologı́a 1. Expresa analı́ticamente el criterio de rechazo de Chauvenet e indica cómo lo apli- carı́as a una muestra de 15 medidas. 2. Describe brevemente el procedimiento de calibración del punto x0 de un instru- mento utilizando un patrón de incertidumbre expandida U0 = k0u0 y expresa la ecuación de incertidumbre del instrumento para un factor de calibración k. 3. Se pretende realizar una medida indirecta a partir de n medidas xi independientes y = f(x1, . . . , xs, . . . , xn). Si las incertidumbres de las variables x1, . . . , xs se pueden clasificar como de tipo A (es decir, estimadas mediante procedimientos estadı́sticos) y las incertidumbres de las variables xs+1, . . . , xn de tipo B, obtener mediante la ley de propagación de varianzas la expresión de la incertidumbre de la medida indirecta y para un factor de incertidumbre k. 4. ¿Qué decisión adoptarı́as si 2 valores de una muestra de 15 medidas se encuentran fuera de los lı́mites establecidos por el criterio de rechazo de Chauvenet? 5. Expresa analı́ticamente el criterio de rechazo de Chauvenet y establece el procedi- miento que utilizarı́as para inspeccionar una muestra de 20 medidas. 6. ¿Qué elementos son necesarios para expresar actualmente una medida? 146
11. Pruebas de Evaluación 147 7. ¿Qué elementos intervienen en la calibración de un instrumento y qué relación exis- te entre ellos? 8. Se desea determinar la dimensión L de un bloque longitudinal cuando se trabaja con una temperatura superior a la de referencia en ∆t. Teniendo en cuenta que el patrón de longitud inicial L0 se dilata linealmente según el coeficiente α, es decir L = L0(1 + α∆t), obténgase la incertidumbre de L suponiendo conocidas las varianzas uL0 , uα y u∆t correspondientes a L0, α y ∆t, respectivamente. 9. Defı́nase el concepto de precisión e incertidumbre de un medida. 10. Cuando se utiliza un instrumento de incertidumbre asociada U para medir una pieza de tolerancia dimensional T, ¿qué relación recomendada deberı́a existir entre los valores U y T para verificar apropiadamente la pieza? 11. Define los conceptos de incertidumbre y precisión de una medida e indica que rela- ción existe entre ambos. 12. Describe brevemente el procedimiento de calibración del punto x0 de un instru- mento utilizando un patrón de incertidumbre expandida U0 = k0u0. Si en dicha operación de calibración se reiteran con el instrumento nc medidas sobre el patrón obteniéndose un valor medio Xc y desviación tı́pica sc, determı́nese la corrección de calibración y su correspondiente incertidumbre para un factor de incertidumbre k. 13. Define brevemente los conceptos de incertidumbre y precisión. ¿Se puede asegurar que un instrumento con un buen grado de agrupamiento en sus medidas será un instrumento preciso? Razona la respuesta. 14. Enumera los elementos básicos que intervienen en cualquier proceso de medida. 15. ¿Qué información básica se obtiene de la calibración de un instrumento de media? Define los conceptos de precisión de un instrumento e incertumbre de una medida. 16. Define brevemente los conceptos de tolerancia, incertidumbre y precisión. ¿Entre qué valores es recomendable que se encuentre la relación entre la tolerancia de un pieza fabricada y la incertidumbre del instrumento que se utiliza para su verifica- ción?
11. Pruebas de Evaluación 148 17. Define brevemente el concepto de trazabilidad de una medida.
11. Pruebas de Evaluación 149 Cuestiones de tolerancias dimensionales 1. Para fabricar la pieza mostrada en la figura son necesarias la cota A y la nueva cota C, por lo que se decide realizar una operación de transferencia de cotas sustituyen- do la cota B por la nueva cota C. BDSB DIB ADSA DIA C a) ¿Qué condición se debe cumplir para poder realizarse esta operación.? b) Determinar las desviaciones y tolerancia de la nueva cota C. 2. Diferencias entre el sistema de ajuste de agujero base y el sistema de ajuste de eje base. ¿Cuáles son las razones que justifican la utilización del sistema de agujero base.? 3. Hágase un esquema con las dimensiones admisibles de un calibre lı́mite empleado para verificar ejes de cota nominal superior a 180 mm. 4. En una acoplamiento eje-agujero ISO H6/g5. a) Define el tipo de ajuste, con sus principales caracterı́sticas. b) Forma de montaje recomendada. c) Medidas nominales del calibre de fabricación para el eje. 5. En un acoplamiento eje-agujero ISO 30H6/p5, define: tipo de ajuste; presión de calado; pérdida de apriete por alisado; medidas nominales del calibre de fabricación para el agujero.
11. Pruebas de Evaluación 150 6. Representa gráficamente los lı́mites admisibles de dos calibres de herradura: uno con dimensiones inferiores a 180 mm y otro con dimensiones superiores a 180 mm. 7. Para un acoplamiento eje-agujero con designación ISO 30H6/g5. a) Define el tipo de ajuste y sus principales caracterı́sticas. b) Valores máximos y mı́nimos de los juegos/aprietes del acoplamiento. c) Modificación de las condiciones del ajuste cuando la temperatura alcanza un valor de 100 ◦C. Calcular los nuevos valores máximos y mı́nimos de los nuevos juegos/aprietes teniendo en cuenta que los coeficientes de dilatación lineal del eje y del agujero son, respectivamente, 18 × 10−6 y 10 × 10−6 K−1. 8. Define brevemente: Adición de cotas. Transferencia de cotas. 9. Diferencias entre el sistema de ajuste de agujero base y el sistema de ajuste de eje base. ¿Cuáles son las razones que justifican la utilización del sistema de agujero base? 10. Hágase un esquema con las dimensiones admisibles de un calibre lı́mite empleado para verificar agujeros de cota nominal superior a 180 mm 11. Calcular el valor máximo que el agujero mostrado en la figura puede alcanzar para que el acoplamiento eje-agujero de cota nominal d permanezca unido cuando se ejerce sobre el eje de dimensiones d0 di una fuera axial máxima igual a F. El eje y el agujero son del mismo material con módulo de elasticidad E, y se trabaja con la hipótesis de rozamiento seco eje-agujero con coeficiente de rozamiento µ. La presión producida en el calado es: p = 2U 1 2 E 1 d − d D2 , donde 2U es el apriete o interferencia diametral.
11. Pruebas de Evaluación 151 F p L D d AGUJERO EJE 12. Para fabricar la pieza mostrada en la figura, se utilizará la cota A y la nueva cota C. Para ello, se deberá realizar una sustitución de la cota B por la nueva cota C. ADSA DIA BDSB DIB C a) En qué condiciones será posible realizar dicha sustitución. b) Determinar las desviaciones y tolerancia de la nueva cota C. 13. Haz un esquema gráfico con las desviaciones de tolerancia de un ajuste indetermi- nado y calcula, en función de dichas desviaciones, los aprietes u holguras máximas y mı́nimas que se pueden presentar. 14. Explica brevemente la diferencia fundamental entre operaciones de cotas por adi- ción y por transferencia. ¿Qué condición mı́nima se ha de cumplir para poder efec- tuar una operación por transferencia? 15. Calcular el valor máximo que el agujero mostrado en la figura puede alcanzar para que el acoplamiento eje-agujero de cota nominal d permanezca unido cuando se ejerce sobre el eje de dimensiones d0 di una fuera axial máxima igual a F. El eje y el agujero son del mismo material con módulo de elasticidad E, y se trabaja con
11. Pruebas de Evaluación 152 la hipótesis de rozamiento seco eje-agujero con coeficiente de rozamiento µ. La presión producida en el calado es: p = 2U 1 2 E 1 d − d D2 , donde 2U es el apriete o interferencia diametral. F p L D d AGUJERO EJE 16. Deduce el valor del apriete necesario para producir una presión de calado p en el ajuste entre un eje y agujero con las siguientes dimensiones. Diámetro nominal exterior del agujero D, diámetro nominal interior del agujero y exterior del eje d y diámetro interior del eje δ. 17. ¿A qué tipo de calibre le corresponde una codificación ISO 10H6N? Representa es- quemáticamente, sin necesidad de especificar valores numéricos, las desviaciones de tolerancias de los dos lados del calibre nuevo y desgastado. 18. ¿A qué tipo de calibre le corresponde una codificación ISO 30h6N? Representa es- quemáticamente, sin necesidad de especificar valores numéricos, las desviaciones de tolerancias de los dos lados del calibre nuevo y desgastado. 19. Desde el punto de vista económico, ¿qué sistema de ajuste entre un eje y un agujero es el más recomendable? Indica las caracterı́sticas fundamentales de cada sistema de ajuste. 20. Representa esquemáticamente las desviaciones de toleración de un calibre de he- rradura y un calibre tampón. ¿Qué tipo de calibre corresponde a la denominación 30H6N y qué particularidad presenta con respecto a otro calibre con denominación 30H6?
11. Pruebas de Evaluación 153 21. ¿En qué casos no es posible aplicar una operación de transferencia de cotas? ¿Qué operación deberı́as aplicar para obtener una cota no representada en el plano de diseño a partir de las cotas especificadas en él si la pieza se ha fabricado según tolerancias? 22. Dibuja el acoplamiento entre un eje y un agujero con un ajuste indeterminado cal- culando en función de las desviaciones superior (Ds y ds) e inferior (Di y di) para agujer y eje, respectivamente, las situaciones extremas que se pueden presentar (juegos o aprietes). 23. ¿En qué situaciones se recomienda el uso del sistema de ajustes de eje base? ¿Cuáles son las principales caracterı́sticas de dicho sistema? 24. ¿Es posible aplicar siempre una operación de transferencia para optener una cota nueva del plano de una pieza? Razona la respuesta.
11. Pruebas de Evaluación 154 Cuestiones de acabado superficial 1. En un rugosı́metro que explora dos superficies a lo largo de la longitud básica l se obtienen los diagramas del perfil portante representados en la figura. Indica el comportamiento de cada superficie explorada (bueno o malo) frente al desgaste y a su capacidad de lubricación. Y( %) X/l ( %) 100 % Y( %) X/l ( %) 100 % 100 % 100 % 0 % (a) (b) 2. Define la desviación media aritmética del perfil, Ra. ¿Qué información proporciona? 3. Define brevemente: a) Desviaciones de forma y de rugosidad. b) Parámetros de calidad superficial. 4. Representa esquemáticamente el perfil portante tı́pico de una superficie resistente al desgaste y el perfil portante tı́pico de una superficie con alta capacidad para la lubricación. Justifica la respuesta. 5. Define el concepto de desviación media aritmética del perfil de rugosidad. Interpreta el sı́mbolo de la figura. 3 µm 80 µm 6. Define la desviación media aritmética del perfil, Ra, e indica que información pro- porciona. ¿Es apropiado este parámetro para determinar la resistencia al desgaste de una superficie? ¿Qué método usarı́as para determinar la capacidad de lubricación de una superficie?
11. Pruebas de Evaluación 155 7. ¿Qué información útil proporcional el perfil portante de una superficie? Representa gráficamente un perfil portante tı́pico de una superficie con una alta resistencia al desgaste. 8. Haz un gráfico con la simbologı́a que utilizarı́as para definir el acabado superfi- cial de una pieza obtenida mendiante un proceso de conformado por deformación plástica. El acabado superficial se especifica mediante la desviación media aritméti- ca del perfil Ra = 1 µm evaluado sobre una longitud básica l = 2 mm. 9. Representa gráficamente la tolerancia de acabado superficial correspondiente a la superficie de una pieza obtenida por conformación plástica en la que la desviación media del perfil debe ser de 10 µm evaluada a lo largo de una longitud básica de 100 µm. 10. ¿Qué caracterı́stica de un acabado superficial suele utilizarse para determinar la re- sistencia al desgaste o la capacidad de lubricación de una pieza? Pon un ejemplo ilustrativo de dos superficies con la misma altura máxima del perfil microgeométri- co y que posean comportamientos diferentes frente al desgaste. 11. ¿Para qué caracterı́sticas superficiales es útil el parámetro de rugosidad Ra (desvia- ción media aritmética de las irregularidades del perfil)?
11. Pruebas de Evaluación 156 11.2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA Problemas de metrologı́a 1. JUN001 Para evaluar el radio de una plantilla circular se realizan medidas de parejas de cuerdas (C) y flechas (F), obteniéndose los siguientes valores: C1 = 16,183 mm F1 = 4,125 mm C2 = 17,364 mm F2 = 5,037 mm El error o incertidumbre (k = 2) de cada una de las cuatro medidas anteriores es 0,007 mm. Se pide determinar el valor del radio de la plantilla y el error total o incertidumbre asociada a dicha determinación para un factor de incertidumbre k = 2. Sol: R = 10,000 ± 0,008 mm (k = 2). 2. JUN04 El ángulo α de la pieza representada en la figura se determina usando dos bolas calibradas de diámetros d1 = 20,000 ± 0,001 mm (k = 2) y d2 = 8,000 ± 0,001 mm (k = 2). Las alturas h1 y h2 se determinan con un gramil de alturas de incerti- dumbre igual a 0,005 mm para k = 3, resultando valores iguales a 30,000 y 10,000 mm, respectivamente. Determı́nese el valor del ángulo α y su correspondiente in- certidumbre para un factor k = 2. Considérese que el valor final del ángulo se debe dar con una resolución máxima de segundos (′′). 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 d1 d2 h1 h2 α 1 El código en negrita que aparece al principio del enunciado de cada ejercicio corresponde a la convocato- ria (febrero (FEB), junio (JUN) o septiembre (SEP)) y año (últimos dos dı́gitos) del examen final de la asignatura “Introducción a los Procesos de Fabricación” de la Titualción de Ingenierı́a Industrial que se imparte en esta universidad.
11. Pruebas de Evaluación 157 Sol: α = 25◦22′37′′ ± 6′56′′ (k = 2). 3. FEB05 Se pretende medir el radio R de una pieza utilizando el método de los dos rodillos. Para ello se utiliza un micrómetro de exteriores de apreciación milesimal e incertidumbre UM = 0,005 mm (k = 2) y dos rodillos calibrados de radio r = 5,000± 0,001 mm (k = 2). Si el resultado de la medida realizada con el micrómetro es de M = 55,975 mm, determı́nese el radio de la pieza y su correspondiente incertidumbre para un factor de incertidumbre k = 3. 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 o M Pieza Palpador R r Rodillo calibrado Sol: R = 26,421 ± 0,015 mm (k = 3). 4. SEP09 Determinar el valor del diámetro menor D del cono de ángulo α = 30◦ ± 5′′ (k = 3) y su correspondiente incertidumbre para un factor k = 2. En el montaje de la figura se emplean dos bolas calibradas de diámetro d = 20,000±0,001 mm (k = 2) y la medida M realizada con una medidora horizontal fué igual a M = 80,500 ± 0,002 mm (k = 2). Se valorará especialmente el uso de un redondeo apropiado para el resultado final. d d M D α
11. Pruebas de Evaluación 158 Sol: D = 25,859 ± 0,003 mm (k = 2). 5. JUN07 Calcular el ángulo α en el sistema sexagesimal y su correspondiente incerti- dumbre para un factor k = 2 materializado por el dispositivo mostrado en la figura. Se utilizan dos bloques patrón de dimensiones H1 = 25,00 ± 0,01 mm (k = 2) y H2 = 8,00 ± 0,01 mm (k = 2). La regla de senos presenta una distancia entre los cen- tros de los rodillos L = 100,00 ± 0,01 mm (k = 3). Se valorará el uso de un redondeo apropiado para el valor final del ángulo α. 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 00 00 00 11 11 11 000 111 L Mesa de planitud Bloques patrón Regla de senos α H2 H1 Sol: α = 19◦16′8′′ ± 32′′ (k = 2). 6. SEP07 Dado el montaje de la figura, determinar el valor del ángulo α y su corres- pondiente incertidumbre para un factor k = 2. La longitud del bloque patrón es L = 10,250 ± 0,001 mm (k = 2) y el diámetro de las dos varillas calibradas es D1 = 15,0000 ± 0,0005 mm (k = 2) y D2 = 10,0000 ± 0,0005 mm (k = 2). Se va- lorará especialmente el uso de un redondeo apropiado para el valor final del ángulo α. α L D2 D1 Sol: α = 12◦32′32′′ ± 4′′ (k = 2).
11. Pruebas de Evaluación 159 7. JUN08 Para la medida del diámetro D del casquillo de la figura se utilizaron dos esferas con diámetro D1 = D2 = 10,000 ± 0,002 mm para k = 2. La altura H se determinó mediante un gramil de incertidumbre 0,005 mm para k = 2, obteniéndose un valor igual a 18,500 mm. Se pide: a) Calcular el diámetro D del casquillo de la figura y su correspondiente incerti- dumbre para un factor k = 3. b) Indicar qué elemento es el que más afecta a la precisión de la medida y por tanto, teniendo en cuenta que el coste de incremento de precisión de todos los elementos es el mismo, qué estrategia seguirı́as para mejorar el proceso de medida. D H D1 D2 Casquillo cilindrico Mesa de planitud Sol: D = 15,268 ± 0,016 mm (k = 3). 8. SEP08 Determinar, para el montaje de la figura, el valor del ángulo α y su corres- pondiente incertidumbre para un factor k = 2. Se utilizan los siguientes bloques patrón: L = 10,000 ± 0,001 mm (k = 2) y H = 2,000 ± 0,001 (K = 2). El diámetro de las dos varillas calibradas es D1 = D2 = 10,0000 ± 0,0005 mm (k = 2). Se valorará especialmente el uso de un redondeo apropiado para el valor final del ángulo α. α L D2 D1 H Sol: α = 5◦42′38′′ ± 11′′ (k = 2).
11. Pruebas de Evaluación 160 9. JUN09 Determı́nese el diámetro D (valor nominal e incertidumbre asociada con k = 2) del cono a la altura h (distancia entre la base y el punto de tangencia entre el rodillo y el cono) mediante el procedimiento de medida mostrado en la figura teniendo en cuenta los valores que se indican a continuación: r = 5,0000 ± 0,0005 mm (k = 2); α = 30◦0′ ± 3′ (k = 2); M = 26,310 ± 0,002 mm (k = 2). α D d h M Sol: D = 7,65 ± 0,01 mm (k = 2). 10. JUN10 Se pretende determinar la codificación ISO de la longitud de una varilla. Para ello, se realizan 10 medidas con una medidora de una coordenada en un recinto que se encuentra a una temperatura T = (27,05 ± 0,02)◦C (k = 2). El resultado de las medidas en mm es el siguiente: 28,24; 28,23; 28,23; 28,25; 28,24; 28,23; 28,29; 28,22; 28,24; 28,23. Teniendo en cuenta que la incertdumbre de la medidora es igual a 0,01 mm para k = 3 y que el coeficiente de dilatación lineal del material de la barra medida (acero inoxidable) se estima con un valor de (11,5 ± 1,5)10−6 K−1 (k = 2), se pide: a) Aplicar el criterio de rechazo de Chauvenet. b) Obtener la longitud de la varilla y su correspondiente incertidumbre a la tem- peratura de 20◦C para un factor k = 2. c) Obtener la codificación ISO de la varilla. Sol: Se rechaza el dato 28,29; 28,23 ± 0,02 mm (k = 2); 28zb11.
11. Pruebas de Evaluación 161 Problemas de tolerancias dimensionales 1. SEP00 Se desea construir un cojinete de fricción de bronce para alojar el extremo de un eje de acero de diámetro 20h8. El margen de temperaturas del ajuste se debe encontrar comprendido entre -10◦C y 80◦C, y el juego no debe ser inferior a 10 µm ni superior a 100 µm. Determinar las dimensiones del taladro de bronce más económico expresándolas según codificación ISO, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18 × 10−6 K−1 y el del acero es de 11 × 10−6 K−1. Sol: 20F8. 2. SEP00 Determinar el valor y la designación ISO de los agujeros de cota A si se supone que la pieza se ha acotado en un sistema de agujero base. Se sabe que la cota C tiene un valor 90100 30 , que la cota nominal de B es doble que la de A y que su intervalo de tolerancia está centrado con respecto al valor nominal. A B C A Sol: 30H11. 3. JUN04 En un acoplamiento entre un eje 30h7 y un agujero 30T8 como el mostrado en la figura se desea conocer cuál es el valor de la fuerza axial máxima que puede soportar el ajuste sin que éste se despegue teniendo en cuenta el coeficiente de rozamiento en seco entre eje y agujero es µ = 0,3 y que la perdida de apriete por alisamiento de las asperezas superficiales se puede considerar despreciable. Si el acoplamiento se somete a la fuerza axial máxima anteriormente calculada, ¿se pro- ducirán deformaciones permanentes en el eje que pongan en peligro la seguridad del acoplamiento.?
11. Pruebas de Evaluación 162 50 mm 30h7 30T8 Ea = 110000 N/mm2 Ya = 55 N/mm2 Ye = 290 N/mm2 Ee = 215000 N/mm2 νe = 0,3 νa = 0,33 Sol: F = 61412 N; no hay deformaciones permanentes. 4. SEP04 Determı́nense las dimensiones del taladro de bronce más económico, ex- presandolas según codificación ISO, para alojar el extremo de un eje de acero de diámetro 30g7. Se desea que en el margen de temperaturas de trabajo del ajuste, de −10◦C a 70◦C, el juego no sea inferior a 10 µm, ni superior a 120 µm. El coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18×10−6 K−1 y el del acero 11×10−6 K−1. Sol: 30F9. 5. FEB05 Se desea realizar el montaje entre dos piezas de acero con designación ISO 32h7 y 32S8. El eje presenta un taladro interior de 10 mm de diámetro, y la pieza sobre la que se acopla tiene un diámetro exterior de 50 mm (véase figura adjunta). 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 F 10 60 32 50 Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento entre ambas piezas se puede estimar en este caso con un valor de 0,3, determı́nese: a) Fuerza, F, que podrı́a provocar el desacoplamiento de las dos piezas.
11. Pruebas de Evaluación 163 b) Tensiones que se podrı́an alcanzar en el caso del apartado anterior. ¿Se pro- ducirá fluencia en alguna de las piezas? Considérese el criterio de fluencia de von-Mises. Datos del acero: E = 215000 N/mm2; Y = 190 N/mm2; ν = 0,3 Sol: F = 60722,35 N; eje: σre = −33,56 N/mm2, σθe = −40,81 N/mm2, σze = 83,67 N/mm2, no produce fluencia; agujero: σra = −33,56 N/mm2, σθa = 80,14 N/mm2, σza = 52,38 N/mm2, no produce fluencia. 6. FEB06 Expresar mediante nomenclatura ISO, la calidad y la posición de la tolerancia de la cota B del croquis, teniendo en cuenta que la pieza ha sido mecanizada en base a las cotas siguientes (dimensiones en mm): A = 65 +0,025 +0,009; C = 70 +0,010 −0,002; D = 235 −0,065 −0,09 A B C D Sol: 100 −0,072 −0,125; 100T6. 7. JUN06 Se desea realizar el montaje de un eje de acero en un cojinete de fricción de bronce de diámetro 30H7. En un intervalo de temperaturas comprendido entre 0 y 80 ◦C, la holgura entre ambos elementos debe estar comprendida entre 0,02 y 0,2 mm. Teniendo en cuenta que el coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18 × 10−6 ◦C−1 y el del acero de 11 × 10−6 ◦C−1, determı́nese la designación ISO del eje más económico que permita cumplir las condiciones anteriores. Sol: 30e10. 8. JUN07 Seleccionar el eje de aluminio más económico posible para alojarlo en un agujero de bronce 25H8 satisfaciendo las condiciones indicadas a continuación en el rango de temperatura comprendido entre -10 y 80 ◦C. La holgura entre ambos
11. Pruebas de Evaluación 164 elementos debe estar comprendida entre 30 y 200 µm. Los coeficientes de dilatación del aluminio y del bronce son, respectivamente, 22 × 10−6 y 18 × 10−6 ◦C−1. Sol: 25e10. 9. SEP07 Seleccionar el cojinete de fricción de bronce más económico posible para alojarlo en el extremo de un eje de acero de diámetro 30g7. Se desea que en el margen de temperaturas de trabajo, de -10 a 70 ◦C, el juego no sea inferior a 10 µm ni superior a 120 µm. a) Determinar las dimensiones del taladro expresándolas según ISO, sabiendo que los coeficientes de dilatación del acero y del bronce son, respectivamente, 11 × 10−6 y 18 × 10−6 ◦C−1. b) ¿Cuál es la temperatura por debajo de la cual los elementos seleccionados en el apartado anterior podrı́an producir un ajuste con apriete? Sol: 30F9; t=-108,57 ◦C. 10. JUN08 Sobre el plano indicado en la figura (las dimensiones son en mm): a) Determı́nese, según codificación ISO, la posición y calidad de la cota x indicada en el plano para que en el montaje de las piezas 1 y 2 sea posible un recorrido R = 10 +0,55 0,0 mm. b) Una vez fijada la codificación ISO de la cota x, determı́nense los valores posi- bles del recorrido R cuando se realice el montaje de dos piezas bien fabricadas. 1 2 X R A = 100 ± 0, 2 Sol: 90b9; Rf inal = 10 0,507 0,02 mm. 11. SEP08 Seleccionar el cojinete de fricción de bronce más económico posible para alojarlo en el extremo de un eje de acero de diámetro 30f8. Se desea que en el
11. Pruebas de Evaluación 165 margen de temperaturas de trabajo, de 20 a 100 ◦C, el apriete no sea inferior a 10 µm ni superior a 80 µm. a) Determinar las dimensiones del taladro expresándolas según ISO, sabiendo que los coeficientes de dilatación del acero y del bronce son, respectivamente, 11 × 10−6 y 18 × 10−6 ◦C−1. Sol: 30Z5. 12. JUN09 Se dispone de una serie de juegos de calibres desgastados de acero que medidos a 20 ◦C nos dan las siguientes medidas Tipo de calibre Lado PASA Lado NO PASA Tampón 54,930 54,983 Herradura 55,074 55 Herradura 55,008 54,987 Herradura 54,989 54,917 Se desea verificar una pieza cuya notación es 55h9. Indicar si alguno de los calibres puede servir y en su caso que se deberı́a hacer para emplearlo. Sol: El único calibre que podrı́a emplearse es el cuarto, aunque su lado no pasa deberı́a ser rectificado para incrementar su dimensión hasta el valor deseado. 13. JUN10 Realizar los cálculos adecuados para reacotar, según codificación ISO, el plano de la forma indicada en la segunda figura con el fin de poder fabricar la pieza de acero. 25H8 X 25H8 70f11 20F7 20F7
11. Pruebas de Evaluación 166 ¿Qué dimensiones podrá alcanzar la longitud total de la pieza fabricada según el plano de la segunda figura si ésta trabaja a 80◦C? El coeficiente lineal de dilatación del acero es α = 11 × 10−6 ◦C−1. Sol: 25−104 −240; 70,016 mm. 14. SEP10 Seleccionar el cojinete de fricción de bronce más económico posible para alojarlo en el extremo de un eje de acero de diámetro 50f7. Se desea que en el margen de temperaturas de trabajo, de 20 a 100 ◦C, el juego no sea inferior a 20 µm ni superior a 200 µm. a) Determinar las dimensiones del taladro expresándolas según ISO, sabiendo que los coeficientes de dilatación del acero y del bronce son, respectivamente, 11 × 10−6 y 18 × 10−6 ◦C−1. Obviar cualquier falla del material por deformación plástica. b) ¿Qué temperatura deberı́a alcanzar el acoplamiento para que el ajuste entre eje y agujero se produzca con apriete? Sol: 50H10; -408,57 ◦C. 15. SEP10 Realizar los cálculos adecuados para reacotar, según codificación ISO, la pie- za de acero de la forma indicada en la segunda figura. 70h11 20h6 25h7 X 20h6 25h7 ¿Qué dimensión máxima podrı́a alcanzar la pieza fabricada según el plano de la segunda figura si ésta trabajase a 100◦C? El coeficiente lineal de dilatación del acero es α = 11 × 10−6 ◦C−1. Sol: 250 −156; 25N11; 70,062 mm.
11. Pruebas de Evaluación 167 Problemas de acabado superficial 1. JUN06 Los resultados del perfil de una pieza obtenidos con un rugosı́metro se muestran en la figura. La amplificación vertical y horizontal del registro gráfico es igual a 25000 y 100, respectivamente. Determı́nese: a) posición de la lı́nea media y b) desviación media aritmética Ra del perfil. (Dimensiones en mm) 10 20 10 10 10 80 Sol: ym = 16,8 mm (0,67 µm); Ra = 0,6 µm. 2. JUN07 Determinar, para el perfil de la figura, el parámetro de rugosidad de desvia- ción media aritmética (Ra) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). Obtener también el perfil portante indicando las caracterı́sticas superficiales relativas a resistencia al desgaste y capacidad de lubricación. La amplificación vertical y horizontal del re- gistro gráfico es igual a 25000 y 100, respectivamente. (Dimensiones en mm) 80 10 10 20 20 10 10 10 5 5 10 10 Sol: Ra = 0,425 µm; Rp = 1,0 µm; perfil portante: buena capacidad de lubricación y baja resistencia al desgaste.
11. Pruebas de Evaluación 168 3. SEP07 Determinar, para el perfil de la figura, el parámetro de rugosidad de desvia- ción media aritmética (Ra) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). Obtener también el perfil portante indicando las caracterı́sticas superficiales relativas a resistencia al desgaste y capacidad de lubricación. La amplificación vertical y horizontal del re- gistro gráfico es igual a 25000 y 100, respectivamente. (Dimensiones en mm) 80 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 Sol: ym = 13,75 mm; Ra = 0,51 µm; Rp = 1,05 µm. 4. SEP09 Determinar, para el perfil de la figura, el parámetro de rugosidad de des- viación media aritmética (Ra), la altura media del perfil (Rz) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). Obtener también el perfil portante indicando las caracterı́sti- cas superficiales relativas a resistencia al desgaste y capacidad de lubricación. La amplificación vertical y horizontal del registro gráfico es igual a 25000 y 100, res- pectivamente. (Dimensiones en mm) 80 10 10 10 10 10 10 10 10 20 10 10 Sol: ym = 16,25 mm; Ra = 0,47 µm; Rp = 0,95 µm; Rz = 1,6 µm; perfil portante aproximadamente concavo (a continuación se muestra la figura).
11. Pruebas de Evaluación 169 0 50 100 50 100 y( %) x/ℓ( %)
Bibliografı́a [1] Bentley, J.P., “Principles of Measurement Systems” (1995). Addison-Wesley. [2] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, “International Vocabulary of Basis and General Terms in Metrology” (1993) ISO. [3] Busch, T.; Harlow, R.; Thompson, R.L., “Fundamentals of Dimensional Metrology” (1989). Delmar, New York. [4] Carro, J., “Trazabilidad” (2000). Sección de Publicaciones de la ETSII de la Universi- dad Politécnica de Madrid. [5] Carro, J., “Curso de Metrologı́a Dimensional” (1978). U.P.M. Sección de publicaciones de la E.T.S. Ingenieros Industriales. [6] Carro, J.; Pérez, J.M.; Sánchez, A.M.; Sebastián, M.A.; Torres, F.; Vizán, A., “Ejercicios de Tecnologı́a Mecánica” (1992). U.P.M. Sección de publicaciones de la E.T.S. Ingenie- ros Industriales. [7] CEM (Centro Español de Metrologı́a), “Disposiciones Legales sobre Metrologı́a” (1996). Ministerio de Obras Públicas y Medio Ambiente. [8] Hume, K.J., “Metrologı́a Industrial” (1968). River. [9] ISO, IEC, OIML, BIPM, “Guide to the Expresion of Uncertainty in Measurement” (1992) ISO/TAG 4/WG 3. [10] Jerrard, H.G., McNeill, D.B., “Diccionario de Unidades Cientı́ficas y Técnicas” (1983) Ed. Bellaterra. [11] Morris, A.S., “Measurement and Calibration Requirements for Quality Assurance to ISO 9000” (1997). John Wiley Sons, Chichester. 170
Bibliografı́a 171 [12] Pérez, J.M., “Tecnologı́a Mecánica I” (1998). U.P.M. Sección de publicaciones de la E.T.S. Ingenieros Industriales. [13] Puncochar, D.E., “Interpretation of Geometric Dimensioning and Tolerancing” (1996). Industrial Press, New York. [14] Sánchez, A.M.; Carro, J., “Elementos de Metrologı́a” (1996). U.P.M. Sección de publi- caciones de la E.T.S. Ingenieros Industriales. [15] Sevilla, L.; Martı́n, M.J., “Metrologı́a Dimensional” (2011). Universidad de Malaga. [16] Schröck, J., “Montaje, Ajuste, Verificación de Elementos de Máquinas” (1965). Re- verté, Barcelona.

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  • 2. Fundamentos de Metrologı́a, Tolerancias y Ajustes en Fabricación Mecánica Joaquı́n López Rodrı́guez Área de Ingenierı́a de los Procesos de Fabricación Universidad Politécnica de Cartagena
  • 3. © 2017, Joaquín López Rodríguez © 2017, Universidad Politécnica de Cartagena CRAI Biblioteca Plaza del Hospital, 1 30202 Cartagena 968325908 ediciones@upct.es Primera edición, 2017 Esta obra está bajo una licencia de Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada (by-nc-nd): no se permite el uso comercial de la obra original ni la generación de obras derivadas. http://es.creativecommons.org/blog/wp-content/uploads/2013/04/by-nc-nd.eu_petit .png ISBN: 978-84-16325-56-6 © Imagen de la cubierta: Elaboración del autor
  • 4. El objetivo fundamental de este libro es abordar los aspectos más relevantes de la me- trologı́a dimensional en el ámbito de la fabricación mecánica. En concreto se expondrán las técnicas metrológicas básicas para la calibración de instrumentos de medida y la medición de piezas fabricadas, se estudiarán las tolerancias dimensionales para la ve- rificación y el montaje de las piezas fabricadas y finalmente se hará un breve análisis de las tolerancias de acabado superficial. A lo largo del texto se irán resolviendo ejerci- cios prácticos de aplicación a medida que se vayan exponiendo los distintos contenidos teóricos. Al final del texto se incluyen diversas prácticas de laboratorio, una colección de cuestiones y ejercicios prácticos que cubren todos los contenidos teóricos expuestos en el libro y las referencias bibliográficas más relevantes. Aunque el texto sirve de base para impartir una parte importante de los contenidos de la asignatura “Fundamentos de Fabricación” de 2◦ curso en el Grado de Ingenierı́a en Tecnologı́as Industriales de la Universidad Politécnica de Cartagena, también será utilizado por alumnos de otros gra- dos de ingenierı́a en asignaturas relacionadas impartidas por el Área de Ingenierı́a de los Procesos de Fabricación.
  • 5. Índice general 1. Introducción 1 1.1. Sistema Internacional de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Unidades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Unidades suplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Unidades derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Múltiplos y submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Metrologı́a y fabricación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Tolerancia e Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Expresión de una medida 11 2.1. Estimación de la variabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Ejemplo práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4. Expresión de incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5. Selección de las mediciones reiteradas. Criterio de rechazo de Chauvenet . . 19 2.6. Propagación de varianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7. Algunos ejemplos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Calibración y medición 41 3.1. Algunos ejemplos de medición y calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Procedimiento de calibración y resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Procedimiento de medición y resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4. Procedimiento conjunto de calibración y medición . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 iii
  • 6. Índice general iv 4. Organización metrológica. Plan de calibración 57 5. Normalización de tolerancias dimensionales 61 5.1. El sistema de tolerancias dimensionales ISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.1.1. Grupos de diámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.1.2. Unidad de Tolerancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.1.3. Calidad o Precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1.4. Posiciones de las Tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6. Ajustes en fabricación mecánica 73 6.1. Sistema de ajustes recomendados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.1.1. Sistema de agujero base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.1.2. Sistema de eje base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2. Influencia de la temperatura en el cálculo de ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3. Cálculo de calados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7. Operaciones con cotas 96 7.1. Adición de cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.2. Transferencia de cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 107 8.1. Tolerancias de los calibres de lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2. Calibres de herradura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3. Calibres tampón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9. Acabado superficial 117 9.1. Parámetros de medida de rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 9.2. Especificaciones de acabado superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 10.Prácticas de Laboratorio 133 10.1.Medida y acotación de una pieza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
  • 7. Índice general v 10.2.Calibración de un instrumento de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.3.Medición del diámetro interior de un casquillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.4.Verificación del ángulo de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.5.Verificación del un calibre lı́mite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 11.Pruebas de Evaluación 146 11.1.Cuestiones de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 11.2.Ejercicios de aplicación práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Bibliografía 170
  • 8. C A P Í T U L O 1 Introducción A mediados del siglo XVIII se siente la necesidad de unas unidades universales, so- bre las que se pudiera fundamentar un sistema de unidades de medida válido en todos los paı́ses. En 1791, la Asamblea Nacional Francesa adopta un sistema de medidas cu- ya unidad básica de longitud era el metro, definido como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Ası́ se creo el primer sistema métrico decimal, que se denominó genéricamente sistema métrico y que se basa en dos unidades fundamentales, el metro y el kilogramo. El primer prototipo del metro se depositó en 1799 en los archi- vos de Francia, y estaba formado por una regla de platino sin inscripciones ni marcas. En España se adopta este sistema en 1849. En 1875 se celebra en Francia una reunión de representantes de veinte paı́ses bajo el nombre de Conferencia Diplomática del Metro, firmándose un acuerdo conocido como la Convención del Metro, en el que se creaba la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM), cuya misión era la de conservar los patrones primarios de las unidades. Después de esta convención, el metro se redefinió como la longitud entre dos trazos muy finos grabados en una regla de platino e iridio al 10 %, conservada por el BIPM y cuya carac- terı́stica principal era su gran rigidez en todas las direcciones, y ser lo suficientemente delgada para que en poco tiempo alcanzase la temperatura ambiente de medida (véase la figura 1.1). En España, se conservan dos prototipos de este metro. El kilogramo se definió como la masa de 1 decı́metro cúbico de agua a la temperatura de 4 ◦C (correspondiente a la máxima densidad del agua). Ası́ se fabricó un cilindro de platino que tuviese la misma masa que el agua en las condiciones anteriores. Esta 1
  • 9. 1. Introducción 2 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 1000 571 1020 Presión atmosférica normal 0 ◦C (temp. hielo fundente) (en el vacı́o se alargarı́a 0,21 µm) 12 4 20 3 20 10 3 3 3 Lı́nea neutra Figura 1.1: Sección del patrón construido por Tresca.
  • 10. 1. Introducción 3 definición sigue estando vigente. El tiempo se ha venido midiendo a partir del periodo de rotación de la tierra. Ası́, el segundo se empezó a definir como 1/86400 del dı́a solar medio (tiempo de rotación de la tierra sobre su eje en relación al sol). Sin embargo, la rotación de la tierra no es lo suficientemente constante como para servir de patrón del tiempo. En 1967 se redefinió el segundo a partir de la frecuencia de resonancia del átomo de Cesio (9192631770 Hz). Ası́, el segundo es la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles energéticos hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133. En la Conferencia General de Pesas y Medidas de 1960 se adopta como definición del metro, la que lo establece como un determinado número de longitudes de onda (1650763,73) en el vacı́o de la radiación correspondiente a la transición entre los ni- veles 2p10 y 5d5 del isótopo de Cripton 86. Esta definición presenta frente a la anterior la ventaja de que al estar basada en un fenómeno natural, se asegura su conservación y reproducibilidad, si bien la precisión de su medida depende del método operativo se- guido. Años más tarde, se detectaron algunos problemas relativos al perfil de la lı́nea espectral del Cripton 86, por lo que en 1983, la Conferencia General de Pesas y Medidas adoptó como nueva definición del metro, vigente hoy en dı́a, la longitud recorrida por la luz en el vacı́o durante 1/299792458 segundos. En la Conferencia General de Pesas y Medidas de 1960 se adoptó también el siste- ma de unidades denominado Sistema Internacional (SI), que se basa en las tres unidades mecánicas del sistema Giorgi, y en el amperio, kelvin y candela, que forman el conjunto de unidades fundamentales. Además, se adoptaron dos unidades suplementarias, el ra- dián y el estereorradián, para la medida de ángulos planos y sólidos, respectivamente, y un número de unidades derivadas que pueden ser expresadas en función de las seis unidades fundamentales y las dos suplementarias, por medio de las leyes de la Fı́sica. En España, se adoptó legalmente dicho sistema en 1967, siendo en la actualidad aceptado a nivel mundial. 1.1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES El Sistema Internacional nace como fruto de la evolución de los sistemas M.K.S., que surgieron en la segunda mitad del siglo XIX [10]. En 1902, el profesor italiano Giorgi pro-
  • 11. 1. Introducción 4 puso un sistema basado en el metro, kilogramo (masa) y segundo, junto con una unidad eléctrica a determinar, y para la que propuso el Ohmio. Este sistema se completó en 1935 por la Comisión Electrotécnica Internacional que adoptó el amperio como unidad bási- ca. El sistema se denominó M.K.S. (ó M.K.S.-Giorgi, para distinguirlo del M.Kf.S. Sistema Técnico). El sistema M.K.S. ha sido el que se ha tomado como base para la creación del Sistema Internacional, completado con las unidades necesarias para las medidas térmi- cas y ópticas. En la Conferencia de Pesas y Medidas de 1971, se acuerda la incorporación de una séptima unidad básica al SI, el mol, unidad de cantidad de sustancia necesaria en el campo de la Quı́mica en donde es más significativo el número de moléculas de un sistema y su estructura, que su masa total. Las unidades de un sistema forman un conjunto coherente, si las ecuaciones entre valores numéricos tienen exactamente la misma forma que las ecuaciones entre las mag- nitudes fı́sicas correspondientes. Por ejemplo, magnitud = cantidad · unidad F = 10 N, donde 10 N es el valor numérico de la magnitud fuerza F, la ecuación entre magnitudes fı́sicas es F = m · a, y la ecuación entre los valores numéricos es 10 N = 5 kg · 2 m/s2. 1.1.1 Notación Los valores numéricos se pueden escribir en grupos de tres dı́gitos, por ejemplo, para escribir un millón, las posibilidades válidas por orden de preferencia son 106 ; 1 000 000; 1000000, mientras que no son válidas las siguientes expresiones 1,000,000 ó 1,000,000. Los sı́mbolos de las unidades se escribirán separados un espacio del valor numérico, en minúsculas (excepto si el nombre de la unidad deriva de un nombre propio), en singular, y sin punto final.
  • 12. 1. Introducción 5 Unidades fundamentales magnitud unidad sı́mbolo longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s intensidad de corriente amperio A temperatura kelvin K intensidad luminosa candela cd cantidad de sustancia mol mol Unidades suplementarias magnitud unidad sı́mbolo ángulo plano radián rad ángulo sólido estereorradián sr Unidades derivadas magnitud unidad sı́mbolo área metro cuadrado m2 frecuencia hercio Hz frecuencia de rotación por segundo s−1 fuerza newton N presión, tensión pascal Pa energı́a julio J potencia vatio W velocidad metro por segundo m/s velocidad angular radián por segundo rad/s viscosidad cinemática metro cuadrad. por seg. m2/s volumen metro cúbico m3 coef. de dilatac. lineal por kelvin K−1
  • 13. 1. Introducción 6 Múltiplos y submúltiplos Los múltiplos y submúltiplos más frecuentes en mecánica son factor nombre sı́mbolo 103 kilo k 102 hecto h 10 deca da 10−1 deci d 10−2 centi c 10−3 mili m 10−6 micro µ Los múltiplos y submúltiplos del kilogramo se forman añadiendo los nombres a la palabra gramo. 1.2 METROLOGÍA Y FABRICACIÓN En procesos de fabricación más o menos complejos es suficiente que los elementos fabricados cumplan unos intervalos de valores admisibles o tolerancias previamente es- pecificadas para asegurar la funcionalidad del conjunto fabricado [15]. Esto asegura la “intercambiabilidad” de elementos análogos, por lo que no es necesario establecer valo- res exactos para las magnitudes, sino que es suficiente cumplir con las especificaciones previamente establecidas. Cada vez que hay que decidir si el valor concreto de una mag- nitud esta dentro de dichos intervalos de valores admisibles, es preciso “medir”, y para ello, es necesario acotar el valor de la magnitud medida entre un mı́nimo y un máximo, puesto que resulta humanamente imposible encontrar el valor verdadero de cualquier magnitud medida [1, 3]. Los procedimientos empleados para encontrar el valor de una magnitud dimensional y su cota máxima de variación constituyen el ámbito de la “Metro- logı́a” o ciencia de la medida. Por lo tanto, el objetivo de cualquier trabajo metrológico es la determinación de una cierta medida de una magnitud fı́sica con referencia a una unidad, proporcionando siempre el margen de “incertidumbre” o cuantificación de la precisión. La calidad de una medida está relacionada con el concepto de “incertidumbre” y las magnitudes significativas de los productos con las “tolerancias de fabricación” [13]. Ob-
  • 14. 1. Introducción 7 viamente, cuanto más estrictas sean las tolerancias de fabricación, se requerirán mayores precisiones de medida para la comprobación del cumplimiento de dichas especificacio- nes. Entre los elementos principales que intervienen en la medición de cualquier magnitud fı́sica se pueden encontrar los siguientes magnitud a medir o “mensurando”, instrumento de medida, proceso de medición, y personal responsable del proceso. Otros elementos importantes son la unidad de medida, el patrón de medida, el proceso metrológico o el soporte legal [5, 6]. Los ámbitos más importantes de la Metrologı́a en la actualidad son los siguientes. La metrologı́a de precisión, que está relacionada directamente con el control de la calidad de los productos. La metrologı́a legal, que cubre la seguridad de las mediciones domésticas. La organización de la calibración, para el aseguramiento de la trazabilidad en las empresas industriales. La metrologı́a cientı́fica, que se encarga del estudio y mejora de las precisiones en la materialización de los patrones de los máximos niveles. 1.3 DEFINICIONES BÁSICAS A continuación se definen brevemente algunos términos muy empleados en Metro- logı́a [2]. La trazabilidad se puede definir del siguiente modo: Cualidad de la medida que permite referir la precisión de la misma a un patrón aceptado o especificado, gracias al conocimiento de las precisiones de los sucesivos escalones de medición a partir de dicho patrón.
  • 15. 1. Introducción 8 Si una medida es trazable diremos que es metrológica. Existen medidas legales o co- tidianas que aunque no sean trazables, es decir que no disponen de información acerca de la cadena de precisiones, emplean medios que sı́ han sido sometidos a tratamientos que garanticen la obtención de precisiones suficientes. Por otro lado, aquellas evalua- ciones que no son trazables y que no se apoyan en ningún procedimiento de carácter metrológico no pueden ser consideradas como medidas. Precisión Cualidad de un instrumento o método de medida para proporcionar indi- caciones próximas al valor verdadero de una magnitud medida. Por tanto, un instrumento que presente un buen agrupamiento de las medidas pero estando éstas relativamente alejadas del valor verdadero de la magnitud medida será un instrumento poco preciso aunque fácilmente corregible. Incertidumbre Expresión cuantitativa del grado de agrupamiento de las medidas efectua- das con un determinado instrumento o método de medida. Se puede apreciar que la incertidumbre constituye la cuantificación de la precisión de una medida en los casos en los que ésta haya sido ajustada o corregida. Repetibilidad Grado de concordancia existente entre los sucesivos resultados obtenidos con el mismo método y mensurando, y bajo las mismas condiciones (mismo operario, mismo aparato, mismo laboratorio y dentro de un intervalo de tiem- po lo suficientemente pequeño). Reproducibilidad Grado de concordancia existente entre los resultados individuales obteni- dos con el mismo método y con el mismo mensurando pero bajo condiciones diferentes (diferentes operarios, diferentes aparatos, diferentes laboratorios o diferentes intervalos de tiempo).
  • 16. 1. Introducción 9 Diseminación de unidades de medida Proceso que tiene por objeto facilitar a laboratorios, empresas u organis- mos patrones de calidad suficiente para asegurar la trazabilidad interna de las medidas que efectúen. Normalmente en España esta labor se reserva a laboratorios de referencia como el Centro Español de Metrologı́a (CEM [7]). 1.3.1 Tolerancia e Incertidumbre Si la medida es tal que su intervalo de incertidumbre (2U) resulta totalmente con- tenido en el de tolerancia (T), o no poseen puntos comunes, la decisión se adopta sin dificultad. Una postura prudente es definir como “intervalo de decisión”: T − 2U, y limi- tar el cociente entre ambos (p. ej.): 3 ≤ T 2U ≤ 10 En la figura 1.2 se observa la reducción del “intervalo de decisión” para los dos casos extremos de la relación anterior.
  • 17. 1. Introducción 10 −U +U −U +U T/3 T/3 T 2T/3 (67 % de T) T/10 T/10 T 9T/10 (90 % de T) Pieza Tolerancia especificada, T T − 2U Tolerancia de fabricación Recomendación: 3 ≤ T 2U ≤ 10 Longitud de la pieza Figura 1.2: Banda de tolerancia de fabricación.
  • 18. C A P Í T U L O 2 Expresión de una medida Para expresar correctamente una medición cientı́fica [9], cualquier medida debe dis- poner de los siguientes elementos básicos: el valor del mensurando obtenido tras el proceso de medición, una unidad de medida, el grado de precisión de dicha medida, y la normativa utilizada para la determinación del grado de precisión. Aunque en las medidas de “baja precisión” sólo se utilizan los dos primeros elementos, en realidad los otro dos se encuentran implı́citos. Por ejemplo, si un instrumento, ası́ como el método de medida, se han diseñado para que la incertidumbre sea lo suficiente- mente pequeña con respecto a los requerimientos de la medida y a la división de escala del instrumento, su valor podrá quedar absorbido por dicha división de escala. El valor verdadero de la magnitud a medir o mensurando siempre es desconocido de- bido a las imperfecciones que inevitablemente comporta el desarrollo de esta actividad. Es habitual agrupar las causas de estas imperfecciones en las cuatro categorı́as siguien- tes: 1. instrumento o equipo de medida; 2. operador o sistema de adquisición de datos; 3. mensurando; y 11
  • 19. 2. Expresión de una medida 12 4. otras causas. Todos los elementos relacionados se ven adicionalmente afectados por las variaciones del entorno del sistema formado por máquina, mensurando y operador. Uno de los objetivos de la Metrologı́a es cuantificar la variabilidad de la medida, para lo que se empleará un determinado procedimiento estadı́stico. Aquellos errores que no pueden ser cuantificados son los que ocurren fortuitamente y de forma aislada, y que por lo tanto no pueden ser predichos por ningún procedimiento estadı́stico. Estos errores quedan fuera del objeto de este curso. 2.1 ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD Una forma sencilla de estimar el centro de un conjunto de datos x1, x2, . . . , xn es mediante la mediana o el centro del recorrido xmax + xmin 2 , (2.1) y una forma sencilla de estimar la extensión de dicho conjunto de datos puede ser tam- bién mediante el recorrido como R = xmax − xmin. (2.2) Cuando el tamaño de la muestra es de 10 ó menos observaciones, la desviación tı́pi- ca se puede calcular de forma aproximada a partir del recorrido mediante la siguiente expresión s ≃ R 4 , (2.3) o de forma más sofisticada mediante la siguiente expresión s ≃ R d2 , (2.4) donde d2 es un factor que depende del número de observaciones n y cuyo valor se puede obtener de la tabla 2.1. La expresión que más se utiliza para estimar la desviación tı́pica en metrologı́a, en especial cuando se emplean sistemas informáticos para el cálculo de incertidumbres y el valor de n es relativamente grande, es la siguiente s = v u u u u t n P 1 (xi − x)2 n − 1 . (2.5)
  • 20. 2. Expresión de una medida 13 n d2 2 1,128 3 1,693 4 2,059 5 2,326 6 2,534 7 2,704 8 2,847 9 2,970 10 3,078 Tabla 2.1: Valores del factor d2 en función de n. Para valores de n pequeños será más cómodo y suficientemente efectivo utilizar las estimaciones sencillas mencionadas anteriormente. 2.2 INTERVALOS DE CONFIANZA Los intervalos de confianza básicamente establecen una gama de valores en los que se incluye, con una determinada probabilidad denominada nivel de confianza (1 − α), el valor verdadero de un parámetro de la población. Este parámetro suele ser, normalmente, la media µ. Por ejemplo, si se extrae una muestra de tamaño n y se obtiene la media muestral x, la probabilidad de que la media µ se encuentre en el intervalo x ± kα σ √ n es p x − kα σ √ n ≤ µ ≤ x + kα σ √ n = 1 − α, (2.6) para lo que habrá de conocerse, o al menos suponer conocida o estimada, la desviación tı́pica poblacional σ. Si este último supuesto no se cumpliera, la expresión de la ecuación (2.6) se sustituye por p x − t s √ n ≤ µ ≤ x + t s √ n = 1 − α, (2.7) donde s es la desviación tı́pica muestral, que puede ser calculada por ejemplo mediante las estimaciones sencillas expuestas anteriormente. El factor kα es un coeficiente que se obtiene suponiendo que la distribución es normal y el factor t es el coeficiente de una distribución de Student con n − 1 grados de libertad.
  • 21. 2. Expresión de una medida 14 Cuando n -→ ∞, lı́m n→∞ x = µ, s ≃ σ y la distribución de Student se transforma en una distribución normal. 2.3 EJEMPLO PRÁCTICO Los resultados de las cinco medidas sobre una cierta magnitud son los siguientes1 x1 = 10,013 x2 = 10,007 x3 = 10,008 x4 = 10,015 x5 = 10,009 de donde resulta que: xmax = x4 = 10,015; xmin = x2 = 10,007. 1.- Una primera aproximación del resultado de la medición anterior, de las ecuaciones (2.1) y (2.2) podrı́a ser la siguiente estimador de tendencia central = xmax + xmin 2 = 10,011, R = xmax − xmin = 0,008, por lo que, 10,011 ± 0,004. Obsérvese que este resultado no proporciona información acerca del nivel de confianza de la medida obtenida. 2.- Como se ha mencionado anteriormente, desde el punto de vista metrológico, el mo- do más riguroso de expresar el resultado de una medida es mediante los intervalos de 1 Por comodidad y como el desarrollo que a continuación se expone puede ser aplicable a cualquier mag- nitud o unidad, no se indicarán unidades en el presente ejercicio práctico.
  • 22. 2. Expresión de una medida 15 confianza. Para ello, se debe calcular la media y la desviación tı́pica muestral, resultando x = n P 1 xi n = 10,0104, s = v u u u u t n P 1 (xi − x)2 n − 1 = 0,00324. Para un nivel de confianza 1− α igual a 0,95 y n− 1 = 4 grados de libertad se obtiene que t = 2,776, por lo que sustituyendo en la ecuación (2.7) resulta 10,0104 − 2,776 0,00324 √ 5 ≤ µ ≤ 10,0104 + 2, 776 0, 00324 √ 5 , obteniéndose: 10,0104 ± 0,0040. Obviamente, el resultado de la medida debe ser compatible con la división de escala o resolución del método utilizado, por lo que el desajuste residual de 4 décimas de la división de escala se transferirá a la acotación de la variabilidad incrementando el intervalo de confianza calculado: 10,010 ± 0,0044, o mejor aún: 10,010 ± 0,005, para 1 − α = 0,95 (compatible con k = 2). Obsérvese que resulta una estimación similar a la del primer caso. 3.- Supóngase que se conociera o se pudiera estimar adecuadamente el valor de la des- viación tı́pica poblacional σ, siendo ésta: σ = 0,004. En este caso, se podrı́a expresar el resultado de la medida mediante la expresión de la ecuación (2.6). De este modo, para un nivel de confianza del 95 %, resulta kα = 1,96, por lo que 10,0104 − 1,96 0,004 √ 5 ≤ µ ≤ 10,0104 + 1,96 0,004 √ 5 ,
  • 23. 2. Expresión de una medida 16 obteniéndose 10,0104 ± 0,0035. Transfiriéndose el desajuste residual a la acotación de variabilidad, tal y como se ha hecho en el ejemplo anterior, resulta: 10,010 ± 0,004, para 1 − α = 0,95 (compatible con k = 2). 4.- En una situación similar al caso 3, hubiera sido razonable efectuar una única medición del mensurando. Supóngase que el resultado de esta medición es la primera observación de la muestra anterior x1 = 10,013. En este caso, el tamaño de la muestra, obviamente, será n = 1, por lo que el resultado de la medida resulta, de la ecuación (2.6) para un nivel de confianza del 95 %, igual a 10,013 − 1,96 0,004 √ 1 ≤ µ ≤ 10,013 + 1,96 0,004 √ 1 , por lo que 10,013 ± 0,00784. El resultado final de la medida quedará 10,013 ± 0,008, para 1 − α = 0,95 (compatible con k = 2). 5.- En la práctica, es muy común que se efectúe una única medición y que, además, se desconozca el valor de σ. Una situación de este tipo se puede presentar, por ejemplo, si el resultado de la medición es el expresado en el caso 4 y además el resultado de medidas sucesivas se repite. En este caso, lo razonable serı́a considerar como semi-intervalo de variabilidad la mitad de la división de escala del método de medida, obteniéndose 10,013 ± 0,0005. Obsérvese que aunque un instrumento o método repita resultados ante un mismo men- surando, podrá tenerse la situación particular en la que la indicación se encuentre entre
  • 24. 2. Expresión de una medida 17 dos enrases y distintos observadores, o un mismo observador en distintos instantes de tiempo, tengan tendencia a aproximar al valor inmediato de la división de escala por exceso o por defecto. En la práctica, y bajo circunstancias análogas, se recomienda utilizar como semi- intervalo de variabilidad una división de escala del método de medida, obteniéndose en este caso: 10,013 ± 0,001. Para justificar la recomendación anterior, se van a considerar los siguietes dos ca- sos. Supóngase ahora dos situaciones en las que en cada una se reiteran 5 mediciones obteniéndose en las dos un recorrido de valor igual a una división de escala: x′ 1 = 10,013 x′ 2 = 10,013 x′ 3 = 10,013 x′ 4 = 10,013 x′ 5 = 10,014 σ ≃ s = 0,00045; ±kα σ √ 1 = ±0,00088 luego 10,013 ± 0,001. x′ 1 = 10,013 x′ 2 = 10,013 x′ 3 = 10,013 x′ 4 = 10,014 x′ 5 = 10,014 σ ≃ s = 0,00055; ±kα σ √ 1 = ±0,00108 luego 10,013 ± 0,001 (aproximadamente). Estos dos resultados justifican en parte la elección como semi-intervalo de variabili- dad de una división de escala del método de medida. En estos casos la precisión queda absorbida por la división de escala del instrumento. La apreciación del instrumento es, por tanto, la que determina la precisión de la medida.
  • 25. 2. Expresión de una medida 18 Tal y como se detalla en la siguiente sección, en adelante se supondrá como aproxima- ción razonable que la distribución de una muestra de mediciones reiteradas es normal y que el factor kα puede valer 2 ó 3, según convenga. 2.4 EXPRESIÓN DE INCERTIDUMBRES El estudio realizado en la sección anterior se ha desarrollado siguiendo las reco- mendaciones del Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM) sobre la expresión de incertidumbres experimentales. Este comité designó en 1980 un grupo de trabajo que fructificó en la recomendación INC-1 (1980) sobre “expresión de incertidumbres experi- mentales.” Esto condujo a que en 1981 el CIPM aprobase la recomendación 1 (CI-1981), reiterada en 1986 por medio de las recomendaciones 1 y 2 (CI-1986), que a continuación se resumen: Dependiendo del método empleado para su determinación numérica, las compo- nentes de la incertidumbre de medida pueden agruparse en dos categorı́as: 1. las que se estiman mediante procedimientos estadı́sticos (tipo A), y 2. las que se aprecian por otros métodos (tipo B). Ambos tipos de componentes deben cuantificarse mediante varianzas o cantidades equivalentes, debiendo caracterizarse las situaciones de dependencia - en su caso - por las correspondientes covarianzas. La incertidumbre ası́ determinada, puede multiplicarse por un factor superior a la unidad k, al objeto de obtener una incertidumbre total mayor, pero a condición de indicar siempre el valor de dicho factor. U = ku Al factor k que multiplica al estimador de la variabilidad se le suele denominar factor de recubrimiento o de incertidumbre y como se acaba de indicar el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM) recomienda que adopte el valor de 2 ó 3. Obsérvese que este factor serı́a el equivalente al factor kα utilizado para determinar intervalos de confianza en una distribución normal. Se puede comprobar que para un nivel de confianza del 95 %, kα = 1,96 ≃ 2, y para un nivel de confianza del 99,5 %, kα = 2,81 ≃ 3.
  • 26. 2. Expresión de una medida 19 2.5 SELECCIÓN DE LAS MEDICIONES REITERADAS. CRITERIO DE RECHAZO DE CHAUVENET Antes de proceder al cálculo del valor convencionalmente verdadero de una medida y de su incertidumbre asociada, es aconsejable filtrar los valores numéricos obtenidos en el proceso de medición para eliminar aquellos que se hayan obtenido de forma inco- rrecta debido a errores de tipo fortuito o accidental (falta de concentración del operario, posicionamiento incorrecto del dispositivo de lectura de datos del instrumento, fallo en el sistema automático de adquisición de datos, etc.). Existen muchos métodos empleados para este fin, aunque el más usado en Metrologı́a es el llamado “criterio de rechazo de Chauvenet.” El criterio de Chauvenet básicamente consiste en rechazar todas aquellas medidas cuya probabilidad de aparición sea inferior a α = 1 2n , siendo n el número de reiteraciones de la medida. Esto supone que se deben rechazar aquellas medidas cuya desviación a la media sea superior a un determinado valor (función de la desviación tı́pica muestral). Por lo tanto el criterio se simplifica a la siguiente expresión: |xi − x| k(n)s; (2.8) donde k(n) = kα=1/2n se obtiene a partir de la distribución normal (véase la figura 2.1), y cuyo valor, para facilitar la aplicación del criterio, se puede obtener de la tabla 2.2. Si se elimina el valor absoluto y se cambia la desigualdad anterior en términos de aceptación, se puede obtener la siguiente expresión, x − k(n)s | {z } Lı́mite inferior ≤ xi ≤ x + k(n)s | {z } Lı́mite superior ; (2.9) que representa los lı́mites superior e inferior entre los que se debe encontrar cualquier medición xi para ser aceptada. Para aplicar el criterio hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones: 1. el criterio de Chauvenet se aplica de forma continuada hasta que no se rechace ninguna medida; y 2. el número máximo de rechazos que se aceptan es 1 si el número de reiteraciones de la medida es menor o igual a 10 y 2 si se encuentra entre 10 y 20. Si hubiesen
  • 27. 2. Expresión de una medida 20 n n n k(n) k(n) k(n) n n n k(n) k(n) k(n) 2 1,15 15 2,13 3 1,38 20 2,24 4 1,54 25 2,33 5 1,65 30 2,40 6 1,73 40 2,48 7 1,80 50 2,57 8 1,86 100 2,81 9 1,92 300 3,14 10 1,96 500 3,29 1000 3,48 Tabla 2.2: Coeficiente k(n) del criterio de Chauvenet. 1 − 1 2n k1/2ns L. inferior L. superior Figura 2.1: Cálculo del coeficiente k(n) = kα=1/2n.
  • 28. 2. Expresión de una medida 21 más rechazos, la serie de medidas debe ser anulada y revisado el método empleado. Debe tenerse en cuenta que si en una iteración de aplicación del criterio salen del intervalo más de un dato, sólo se rechaza el más alejado. Por tanto, en cada iteración sólo se puede rechazar un dato. Ası́, para muestras con 10 o menos datos, como máximo se podrán hacer 2 iteraciones y para muestras con datos entre 10 y 20, como máximo se podrán hacer 3 iteraciones. Ejemplo En la medida del diámetro de un eje en un proyector de perfiles con lectores de cabeza micrométrica cuya división de escala es de 0,001 mm se han obtenido los 15 valores siguientes: 9,995 10,005 10,002 9,999 10,002 10,002 10,004 10,002 10,003 10,003 10,003 10,002 9,994 10,000 10,004 (dimensiones en mm) Aplicar a este cuadro de valores el criterio de rechazo de Chauvenet. En primer lugar se calcularán los estimadores centrales (media) y de dispersión (des- viación tı́pica) de la muestra de 15 mediciones. La media muestral será: x = P xi 15 = 10,0013 mm; y la desviación tı́pica: s = sP (xi − x)2 15 − 1 = 0,0031 mm. De la tabla 2.2 obtenemos para una muestra de tamaño 15 el coeficiente k del criterio de Chauvenet de 2,13. Por lo tanto, los lı́mites superior e inferior de las mediciones para ser aceptadas son respectivamente: Lı́m. sup. = 10,0013 + 2,13 × 0,0031 = 10,0079 ≃ 10,008 mm;
  • 29. 2. Expresión de una medida 22 Lı́m. inf. = 10,0013 − 2,13 × 0,0031 = 9,9947 ≃ 9,995 mm. Se observa que la medición 9,994 mm queda fuera de estos lı́mites, por lo que debe ser rechazada. Ahora el tamaño de la muestra es 14, por lo que habrá que calcular de nuevo la media y la desviación tı́pica. De este modo; x = 10,0019 mm; s = 0,0025 mm. El coeficiente k para una muestra de 14 mediciones es 2,10. Ahora los nuevos lı́mites superior e inferior serán respectivamente: Lı́m. sup. = 10,0019 + 2,10 × 0,0025 = 10,0072 ≃ 10,007 mm; Lı́m. inf. = 10,0019 − 2,10 × 0,0025 = 9,9967 ≃ 9,997 mm. Se observa que la medición 9,995 mm queda fuera de estos lı́mites, por lo que de nuevo se debe rechazar una medición. Ahora tenemos una muestra de 13 mediciones con factor k = 2,06. La nueva media muestral y desviación tı́pica son respectivamente: x = 10,0024 mm; s = 0,0016 mm; y los nuevos lı́mites superior e inferior son respectivamente: Lı́m. sup. = 10,0024 + 2,06 × 0,0016 = 10,0057 ≃ 10,006 mm; Lı́m. inf. = 10,0024 − 2,06 × 0,0016 = 9,9991 ≃ 9,999 mm.
  • 30. 2. Expresión de una medida 23 Por tanto, el resultado de la medida será: 10,0024 ± 2 0,0016 √ 13 ≃ 10,002 ± (0,00089 + 0,0004) ≃ 10,002 ± 0,002 mm. Esta simplificación del intervalo de confianza del 95 % está dada para k = 2. 2.6 PROPAGACIÓN DE VARIANZAS En muchas ocasiones el resultado final de una medida depende de otras medidas efectuadas individualmente [8, 14]. En este caso, la medida (y) se obtendrá a partir de q magnitudes xi, de igual o distinta naturaleza, del siguiente modo y = f(x1, x2, .., xq), (2.10) lo que supone conocer estimaciones del valor verdadero (µi) y de la varianza (σi) de cada una de las q magnitudes medidas, y eventualmente de las covarianzas σij que puedan existir: xi = µi, (2.11) V(xi) = σ2 i = x2 i − xi 2 = x2 i −µ2 i , (2.12) cov(xi, xj) = σij = xixj − xi xj = xixj −µiµj. (2.13) En la práctica, y como se ha hecho en las secciones anteriores, se supondrán los siguien- tes estimadores: µ̂i = xi σ̂2 i = u2 i σ̂ij = uij                (2.14) siendo la hipótesis habitual la de aproximar linealmente la función f en el entorno del punto (µ1, µ2, . . . , µq): y ≃ f(µ1, µ2, . . . , µq) + q X i=1 ∂f ∂xi µi (xi − µi). (2.15) Introduciendo las ecuaciones (2.11), (2.12) y (2.13), y la aproximación de la ecuación (2.14) en la ecuación (2.15), se obtiene y = ŷ = f(x1, x2, . . . , xq) u2 y = ˆ V(y) = q X i=1 q X j=1 ∂f ∂xi xi ∂f ∂xj ! xj uij            . (2.16)
  • 31. 2. Expresión de una medida 24 Se puede demostrarse que si todas las medidas (xi) son independientes entre ellas, es decir uij = 0 para i ≠ j, se obtiene la siguiente expresión: u2 y = q X i=1 ∂f ∂xi 2 xi u2 i . (2.17) Suele ser habitual representar las varianzas de tipo A, estimadas estadı́sticamente, por s2 y las de tipo B, estimadas por otros métodos, mediante u2, resultando u2 y = ∂f ∂x1 2 x1 s2 1 + · · · + ∂f ∂xm 2 xm s2 m + ∂f ∂xm+1 2 xm+1 u2 m+1 + · · · + ∂f ∂xq !2 xq u2 q (2.18) Habitualmente se asigna a cada variable xi una incertidumbre: Ui = kiui, donde ki (1, 2 ó 3) depende de las condiciones de medida. La incertidumbre de la variable y será: Uy = ky uy donde ky = 2 ó 3. A continuación se presenta un ejemplo en el que la aplicación de la ley de propagación de varianzas puede conllevar ciertas dificultades. x z y Instrumento calibrado: - Desplazamiento de escala: c Se efectúan dos mediciones independientes x‘, z′ , de tal forma que: x = x‘ + c z = z′ + c y = 1 2 x − 1 2 z - Incertidumbre asociada:uc Se requiere calcular la nueva cota y que se podrá obtener a través de la siguiente relación En una primera aproximación, se podrı́an plantear las siguientes posibilidades. Posibilidad 1.- Supóngase que x y z son magnitudes independientes. u2 y = 1 2 2 u2 x + 1 2 2 u2 z. Sustituyendo u2 x = u2 x′ + u2 c y u2 z = u2 z′ + u2 c: 1 |{z} =⇒ u2 y = 1 2 2 u2 x′ + 1 2 2 u2 z′ + 1 2 u2 c .
  • 32. 2. Expresión de una medida 25 c 6σ x′ 6σ x x = x′ (b) (a) Figura 2.2: Instrumento ajustado (a) y sin ajustar (b). Posibilidad 2.- Obsérvese que el valor de y se puede expresar: y = 1 2 (x′ + c) − 1 2 (z′ + c) = 1 2 x′ − 1 2 z′ . Aplicando ahora la ley de propagación de varianzas resulta 2 |{z} =⇒ u2 y = 1 2 2 u2 x′ + 1 2 2 u2 z′. Si el desplazamiento de escala del instrumento, c, hubiese resultado nulo, x = x′ y z = z′. Téngase en cuenta que un instrumento, ajustado o sin ajustar, deberá presentar aproximadamente en ambos casos un mismo agrupamiento de sus medidas (véase la figura 2.2). Obsérvese que si las mediciones en el segundo caso se corrigen con el valor de c, la situación serı́a equivalente a la del primer caso (instrumento ajustado). Además, las medidas corregidas x y z no son independientes, pues están correladas a través de c. La opción 2 es correcta. La opción 1 podrı́a haber sido empleado si se tiene en cuenta que x y z están correla- das a través de c. Por tanto, u2 y = ∂y ∂x 2 u2 x + ∂y ∂z 2 u2 z + 2 ∂y ∂x ∂y ∂x uxz,
  • 33. 2. Expresión de una medida 26 donde uxz es la covarianza de x y z y que se puede obtener, teniendo en cuenta que x′, z′ y c si son independientes, del siguiente modo: uxz = (x′ + c)(z′ + c) − x′ + c z′ + c = x′ z′ + cz′ + cx′ + c2 − x′ z′ − c z′ − c x′ − c c = x′ z′ − x′ z′ | {z } 0 + cz′ − c z′ | {z } 0 + cx′ − c x′ | {z } 0 + c2 − c c | {z } u2 c =u2 c .                                                (2.19) Por lo tanto al sustituir en la ecuación anterior resulta: u2 y = 1 2 2 u2 x + 1 2 2 u2 z + 2 1 2 − 1 2 u2 c = 1 4 u2 x + 1 4 u2 z − 2 1 4 u2 c = 1 4 (u2 x′ + u2 c) + 1 4 (u2 z′ + u2 c ) − 2 1 4 u2 c = 1 4 u2 x′ + 1 4 u2 z′. (2.20) 2.7 ALGUNOS EJEMPLOS PRÁCTICOS Ejemplo 1 Se emplea una sonda de rodillos fijos para verificar el radio del cilindro parcial que se muestra en la figura obteniendo una medida m = 2,24 mm. La distancia entre centros de los rodillos de la sonda es de 82,35 mm con una incertidumbre (k = 2) de 0,01 mm. El diámetro de los rodillos de la sonda es de 8,000 mm y su incertidumbre asociada para un factor de incertidumbre de 2 es 0,001 mm. La escala de medida de la sonda tiene una incertidumbre de 0,02 mm (k = 3). Según estos datos, se pide: a) determinar el radio del cilindro y su incertidumbre asociada para un factor de incer- tidumbre k = 3; y b) ¿qué sugerirı́as para mejorar este proceso de medida?.
  • 34. 2. Expresión de una medida 27 ✻ ❄ m CILINDRO /2 c R + d /2 R + d /2 - m Según la figura, se puede encontrar la siguiente re- lación trigonométrica para calcular el radio del cilin- dro: R + d 2 2 = c 2 2 + R + d 2 − m 2 . Operando y despejando R, se obtiene: R = c2 8m − d 2 + m 2 , siendo R una función de c, m y d: R = f(c, m, d). Sustituyendo valores obtenemos que R = 375,5532 mm. Aplicando la ley de propagación de varianzas se podrá obtener el estimador de varia- bilidad de la medida del radio del cilindro. De esta forma: u2 R = ∂R ∂c 2 u2 c + ∂R ∂m 2 u2 m + ∂R ∂d 2 u2 d. Derivando y sustituyendo valores se obtiene: ∂R ∂c = c 4m = 9,1908; ∂R ∂m = 0,5 − c2 8m2 = −168,4434; ∂R ∂d = −0,5.
  • 35. 2. Expresión de una medida 28 Las incertidumbres asociadas a c, m y d son, respectivamente: uc = Uc k = 0,01 2 = 0,005 mm; um = Um k = 0,02 3 = 0,0067 mm; ud = Ud k = 0,001 2 = 0,0005 mm. Por lo tanto, la variabilidad de R resulta: uR = v u u t9,19082 × 0,0052 | {z } contrib. de c(0,16 %) + (−168,4434)2 × 0,00672 | {z } contrib. de m(99,84 %) + (−0,5)2 × 0,00052 | {z } contrib. de d(≃0 %) = 1,1295 mm. A la vista de los resultados, se observa que la mayor contribución a la incertidumbre se debe a la medida m. Por tanto, el número de cifras significativas que hemos de emplear para expresar el valor final de R vendrá determinado por la división de escala de la sonda micrométrica empleada. Por lo tanto, la incertidumbre asociada al radio del cilindro para un factor de incerti- dumbre igual a 3 resulta: UR(k = 3) = uR × 3 + 0,0032 ≃ 3,40 mm. Luego: R = 375,55 ± 3,40 mm(k = 3). Para mejorar el proceso de medida se sugiere el uso de una sonda micrométrica con un sistema de medida más preciso.
  • 36. 2. Expresión de una medida 29 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 o M Pieza Palpador Varilla Calibrada R r Ejemplo 2 Para determinar el radio de una pie- za se ha empleado el dispositivo mostrado en la figura. Para ello, se han usado dos varillas calibra- das, ambas de radio certificado r = 8,000 ± 0,001 mm para un factor de calibración k = 3; y un micrómetro de exteriores con una incertidumbre global de 0,002 mm para un factor k = 3. Sabiendo que la lectura del micrómetro de exteriores es de 70,855 mm, determinar el valor del radio (R) de la pieza y su incertidumbre asociada en mm para un factor de calibración k = 2. - r M /2 O B A R - r R + r Según la figura, se puede encontrar la siguiente re- lación trigonométrica para calcular el radio del cilin- dro: (R + r)2 = (R − r)2 + M 2 − r 2 . Operando y despejando el radio de la pieza: R = (M/2 − r)2 4r . Sustituyendo valores, se obtiene: R = 23,5084 mm. Aplicando la ley de propagación de varianzas se puede calcular la variabilidad del radio de la pieza: R = f(M, r): u2 R = ∂R ∂M 2 u2 M + ∂R ∂r 2 u2 r . Derivando y sustituyendo valores se obtiene: ∂R ∂M = M/2 − r 4r = 0,857; ∂R ∂r = −2r(M/2 − r) − (M/2 − r)2 4r2 = −4,652; Las incertidumbres asociadas a M, y r respectivamente son:
  • 37. 2. Expresión de una medida 30 uM = UM k = 0,002 3 = 0,0007 mm; ur = Ur K = 0,001 3 = 0,0003 mm; Sustituyendo, se obtiene el estimador de variabilidad del radio de la pieza: uR = q 0,8572 × 0,00072 + (−4,652)2 × 0,00032 =0,0015 mm = 1,5µm. Luego, la incertidumbre asociada al radio R de la pieza para un factor de incertidum- bre 2: UR(k = 2) = 0,0015 × 2 + 0,0004 = 0,0034 mm ≃ 0,004 mm = 4µm. Observar que se ha redondeado a milésimas de milı́metro ya que no tiene sentido usar más cifras significativas al venir expresado uno de los datos en dicho nivel de sig- nificación. Por lo tanto, el radio de la pieza será: R = (23,508 ± 0,004)mm, con factor k = 2. Nótese que con este método la aportación a la incertidumbre del instrumento con escala graduada es mucho menor que en el caso del ejemplo anterior.
  • 38. 2. Expresión de una medida 31 Ejemplo 3 Debe determinarse el diámetro interior D de un casquillo cilı́ndrico y no se dispone de micrómetros adecuados, por lo que se prepara el montaje esquematizado en la figura adjunta empleando dos bolas patrón y una mesa de planitud de forma que la cota H se puede determinar mediante una regla vertical de trazos. Las bolas patrón tienen un diámetro certificado de 40,000 ± 0,003 mm (k = 3) y la regla vertical tiene una incertidumbre global de 0,01 mm (k = 2). Sabiendo que la lectura de la regla vertical es de 66,45 mm, determı́nese el valor del diámetro interior y su correspondiente incertidumbre para un factor k = 2. x y (D1 + D2)/2 H D Mesa de planitud D2 D1 cilı́ndrico Casquillo Del esquema mostrado en la figura se pueden deducir las siguietes relaciones: D = 1 2 D1 + x + 1 2 D2 = 1 2 (D1 + D2) + x, H = 1 2 D1 + y + 1 2 D2 = 1 2 (D1 + D2) + y. Además, introduciendo las expresiones anteriores en la siguiente relación x2 + y2 = 1 2 (D1 + D2) 2 y operando adecuadamente, se puede obtener finalmente la siguiente expresión para el diámetro D D = 1 2 (D1 + D2) + H s D1 + D2 H − 1. Sustituyendo los valores correspondientes a cada parámetro se obtiene el siguiente valor para D D = 1 2 (40 + 40) + 66,45 s 40 + 40 66,45 − 1 = 70,0066 mm.
  • 39. 2. Expresión de una medida 32 Por otro lado, aplicando la ley de propagación de varianzas se puede obtener la si- guiente expresión para la incertidumbre del diámetro D u2 D = ∂D ∂D1 2 u2 D1 + ∂D ∂D2 2 u2 D2 + ∂D ∂H 2 u2 H, donde ∂D ∂D1 = ∂D ∂D2 = 1 2 + 1 2 q D1+D2 H − 1 = 1 2 + 1 2 q 40+40 66,45 − 1 = 1,607, ∂D ∂H = s D1 + D2 H − 1 − D1 + D2 2H q D1+D2 H − 1 = s 40 + 40 66,45 − 1 − 40 + 40 2 × 66,45 q 40+40 66,45 − 1 = −0,881, uD1 = uD2 = 0,003 3 = 0,001 mm, y uH = 0,01 2 = 0,005 mm. Sustituyendo los valores anteriores en la expresión de la incertidumbre uD se obtiene finalmente uD = v u u u t 1,6072 × 0,0012 × 2 | {z } Contrib. de D1 y D2(21,1 %) + (−0,881)2 × 0,0052 | {z } Contrib. de H(78,9 %) = 0,00496 mm. Puede comprobarse que la contribución a la incertidumbre final de la regla vertical es aproximadamente 4 veces superior a la contribución del diámetro de las bolas patrón, por lo que el redondeo del resultado final se hará a la segunda cifra significativa. Ası́, UD = 0,00496 × 2 + 0,0034 = 0,01332 ≃ 0,02 mm. Por lo que D = (70,01 ± 0,02) mm, con factor k = 2.
  • 40. 2. Expresión de una medida 33 Ejemplo 4 Se pretende medir el ángulo α de la pieza mostrada en la figura adjunta. Para ello, se prepara el montaje indicado empleando los siguientes elementos: mesa de planitud, regla de senos, bloques patrón longitudinales y “reloj” comparador sobre so- porte vertical con base desplazable. La medida se lleva a cabo anotando la desviación apreciada por el comparador cuando se desplaza una longitud ℓ sobre una generatriz de la pieza apoyada sobre la regla de senos. El montaje se prepara para que el ángulo α0 coincida con el valor nominal del ángulo de la pieza, que es 30◦. Ası́, el comparador apreciará la desviación de la generatriz respecto de la mesa de planitud que se corres- ponde con la diferencia del ángulo de la pieza α respecto del valor nominal α0. Los datos conocidos son los que se indican a continuación incertidumbre del comparador, Uc(k = 2) = 2 µm, longitud de la mesa de senos, L = 300 mm, incertidumbre de L, UL(k = 2) = 10−5L, longitud de los bloques patrón a y b, 50 y 100 mm, respectivamente. incertidumbre de los bloques patrón, U0(k = 3) = 0,1 + 0,002x0 µm cuando x0 se introduce en mm, longitud de exploración, ℓ = 75 mm, la indicación obtenida con el comparador en el punto B es 4 µm superior a la obte- nida en el punto A. Indı́quese si la pieza es conforme con la especificación de tolerancia para α de 30◦ ±20′′.
  • 41. 2. Expresión de una medida 34 0,001 mm 75 mm aα B A Figura 2.3: Apreciación mı́nima angular. B A a b ℓ H L Mesa de planitud Bloques patrón Regla de senos α α0 = 30◦ Comparador En primer lugar se determinará el grado de apreciación con el que se debe indicar el resultado final del ángulo α. Obsérvese que en este caso, todos los parámetros dispo- nibles se corresponden con magnitudes de longitud, por lo que no resulta evidente la determinación del grado de apreciciación más apropiado. Como más adelante se verá, el instrumento que más afecta a la incertidumbre final del ángulo α es el comparador. Teniendo en cuenta que el comparador tiene una división de escala de 0,001 mm, la mı́nima variación en ángulo que podrı́a ser apreciada con este instrumento será (véase la Fig. 2.3): aα = arcsin 0,001 75 ≃ 0,001 75 rad = 0,001 75 × 360 2π × 60 × 60′′ = 2,75′′ . Por tanto, no tendrá sentido expresar el resultado final del ángulo α con un nivel de significación superior al ′′.
  • 42. 2. Expresión de una medida 35 El valor final del ángulo se obtendrá como α = α0 + ∆α = 30 + ∆α, donde ∆α es la variación del ángulo detectada con el comparador. A continuación se determinará la incertidumbre asociada a la materialización del ángulo α0 con la regla de senos. El ángulo α0 está relacionado con H y L a través de la siguiente expresión α0 = arcsin H L . Por tanto, aplicando la ley de propagación de varianzas, resulta u2 α0 = ∂α0 ∂H 2 u2 H + ∂α0 ∂L 2 u2 L, donde ∂α0 ∂H = 1 L p 1 − (H/L)2 , y ∂α0 ∂L = −H L2 p 1 − (H/L)2 . Operando adecuadamente se obtiene finalmente u2 α0 = 1 L2 u2 H + H2 L2 u2 L 1 − H2/L2 , donde u2 H = u2 a + u2 b. Según los datos proporcionados en el enunciado, se pueden obtener los siguientes resul- tados para las diferentes componentes de la incertidumbre: uL = 300 × 10−5 2 mm = 1,5 µm. ua = 1 3 (0,1 + 0,002 × 50) = 0,0667 µm. ub = 1 3 (0,1 + 0,002 × 100) = 0,1 µm. uH = q 0,06672 + 0,12 = 0,12 µm. Por lo tanto, resultará u2 α0 = 1 3002×106 0,122 + 1502 3002 1,52 1 − 1502/3002 = 8,5467 × 10−12 rad2 .
  • 43. 2. Expresión de una medida 36 Ası́, se obtiene finalmente uα0 = 2,92 × 10−6 rad ≃ 0,6′′ . A continuación se obtendrá la incertidumbre asociada a ∆α. Teniendo en cuenta que dicho ángulo es suficientemente pequeño, se podrá utilizar la siguiente aproximación ∆α = arcsin ∆h ℓ ≃ ∆h ℓ = 4 × 10−3 75 rad = 11, 0′′ . Por tanto, aplicando la ley de propagación de varianzas a la expresión aproximada, se podrá obtener u2 ∆α = ∂∆α ∂∆h 2 u2 ∆h + ∂∆α ∂ℓ 2 u2 ℓ = 1 ℓ2 u2 ∆h + ∆h2 ℓ2 u2 ℓ ! , donde u∆h es la incertidumbre asociada al comparador uc. Obsérvese que no se dispone de información para estimar la incertidumbre uℓ asociada a la longitud de exploración ℓ. Puede comprobarse que la contribución de uℓ a la incertidumbre de ∆α es significa- tivamente inferior que la contribución de u∆h. Nótese que el factor ∆h2 ℓ2 es del orden de 10−9 haciendo que aunque la incertidumbre asociada a ℓ sea mil veces superior a la del comparador, la incertidumbre final sólo serı́a afectada en un uno por mil. Por tanto, ya que con los medios disponibles en un laboratoria de metrologı́a convencional es relati- vamente viable asegurar una longitud de exploración ℓ con una incertidumbre del orden de 1 mm, su influencia se podrá considerar prácticamente despreciable. Ası́, la expresión anterior podrá quedar como u∆α ≃ 1 ℓ u∆h = 1 75 × 10−3 rad = 2,75′′ Por tanto, la incertidumbre final del ángulo α resultará uα = r uα2 0 + u2 ∆α = q 0,62 + 2,752 = 2,81′′ . Obsérvese que la contribución a uα de ∆α, que es del orden de la contribución del com- parador, representa el 82 % del total. Finalmente, Uα(k = 2) = 2,81 × 2 ≃ 6′′ . Luego α = 30◦ 11′′ ± 6′′ (k = 2). Puede comprobarse que el intervalo anterior se encuentra totalmente contenido en el intervalo de tolerancia 30◦00′′ ± 20′′, por lo que la pieza es conforme con la tolerancia especificada.
  • 44. 2. Expresión de una medida 37 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Comparar los métodos de los dos rodillos (véase el ejemplo 2 del Capı́tulo 2.7) y de la sonda de rodillos fijos (véase el ejemplo 1 del Capı́tulo 2.7) empleados para medir el radio exterior de curvatura de la pieza que se muestra en la figura, en los que se emplea, en ambos casos, un micrómetro centesimal con una incertidumbre de 0,02 mm para un factor de calibración k = 3. Los rodillos del primer método son de 15 mm de diámetro con una incertidumbre de 0,001 mm (k = 2), mientras que los rodillos fijos de la sonda son de 25 mm de diámetro con una incertidumbre de 0,001 mm (k = 2) y con distancia entre sus centros de 75 mm con una incertidumbre asociada de 0,005 mm (k = 2). La lectura obtenida con el micrómetro en el método de los dos rodillos es M = 88,49 mm, mientras que las dos lecturas obtenidas con la sonda son M1 = 13,93 mm sobre la pieza a medir y M2 = 0,02 mm sobre el plano auxiliar de vidrio óptico de error prácticamente despreciable. R Mármol de verificación Solución: Método de los dos rodillos: (R = 45,01 ± 0,02) mm (K = 2). Método de la sonda: (R = 45,00 ± 0,07) mm (K = 2). 2. Supongamos que ha de obtenerse la longitud de una barra metálica a 200C con una máquina medidora de una coordenada horizontal que está situada en un local donde la temperatura ambiente se mantiene entre 270C y 310C. Una vez estabilizada térmicamente la barra, se mide su temperatura con dos sondas asignándoles un valor θ = (29,75 ± 0,04)0C (K = 2). En estas condiciones se reiteran diez medidas sobre la barra obteniéndose las siguientes indicaciones:
  • 45. 2. Expresión de una medida 38 Lecturas a θ = 29,750C li(θ)(mm) 500,057 500,056 500,054 500,059 500,056 500,056 500,057 500,054 500,055 500,059 El fabricante de la medidora indica que la bancada y el sistema de medida de la misma son prácticamente insensibles a la temperatura entre 150C y 350C, pero la medidora no incorpora ningún sistema de compensación automática de temperatu- ra para el mensurando. La última calibración realizada sobre la máquina con bloques patrón longitudinales mantenidos a una temperatura dentro del margen indicado, determinó la necesidad de aplicar una corrección global sobre todo su campo de medida (0-1000 mm) con una desviación tı́pica igual a 3µm. La corrección global se introdujo en el sistema de medida de la medidora. El coeficiente de dilatación lineal del material de la barra medida (acero inoxidable) se estima con un valor de (11,5 ± 1,5)10−6K−1 (K = 2). Determı́nese la longitud de la barra y su incertidumbre expandida (K = 2). Solución: (500,000 ± 0,010) mm (K = 2). 3. Para medir el diámetro medio de la rosca M30x3 que se muestra en la figura, se emplea el método de las tres varillas con un micrómetro milesimal de incertidumbre 0,002 mm para k = 3. La expresión que relaciona el diámetro medio de la rosca (DM ) con la medida del micrómetro (M), el diámetro de las varillas calibradas (d), el paso de la rosca (P) y el ángulo (α) es la siguiente:
  • 46. 2. Expresión de una medida 39 DM = M − d 1 + 1 sin α 2 ! + P 2 tan α 2 − c1 + c2, donde c1 y c2 son las correcciones por el ángulo de hélice de la rosca y deformación en el contacto respectivamente. Mediante un proyector de perfiles se obtuvo el paso de la rosca P = 3,001 mm para una incertidumbre de 0,003 mm con factor de incertidumbre k = 3 y el ángulo α = 60◦02′ con incertidumbre 10′ (k = 3). Suponiendo despreciables las correcciones c1 y c2 y que la medida del micrómetro milesiomal es M = 31,346 mm usando un juego de tres varillas calibradas de diámetro d = 2,0500 mm con incertidumbre 0,0005 mm (k = 2), se pide, determinar el diámetro medio de la rosca y la incertidumbre asociada para un factor de incertidumbre 3. 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 α d P D M M Solución: (DM = 27,795 ± 0,005) mm (K = 3). 4. Se desea medir el ángulo (α) y el ancho (A) de escotadura de la guı́a en cola de mi- lano mostrada en la figura. Para ello se dispone de dos pares de bolas calibradas de diámetros respectivos 10 y 20 mm, con una incertidumbre asociada en ambos casos de 0,0005 mm para un factor de incertidumbre k = 2 y una máquina medidora de una coordenada, con incertidumbre asociada de 0,004 mm k = 3, en la que se deter- minan dos medidas sobre la distancia interior entre dos bolas de igual diámetro (M)
  • 47. 2. Expresión de una medida 40 tal y como se muestra en la figura. Las medidas obtenidas con la máquina medidora son M1 = 10,045 mm y M2 = 37,355 mm para las bolas de diámetros 20 y 10 mm respectivamente. Se pide: a) El valor del ángulo α y el ancho de escotadura A. b) La incertidumbre asociada a α y A para un factor de incertidumbre k = 3 en ambos casos. 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 A M α d Solución: (A = 64,665 ± 0,011) mm (K = 3). (α = 60◦1′48′′ ± 1′7′′) (K = 3).
  • 48. C A P Í T U L O 3 Calibración y medición Como se ha indicado en el capı́tulo anterior, cuando se realizan mediciones sucesivas sobre un mismo mensurando en condiciones de repetibilidad, no siempre se obtienen los mismos resultados. Esta variabilidad del proceso de medición afecta a la precisión de las medidas por lo que debe ser cuantificada y acotada para la obtención de medidas fiables. En la sección anterior se han expuesto algunos procedimientos estadı́sticos que ayudan a cuantificar y acotar la variabilidad de las medidas. En lo que sigue se estudiará de forma más detallada el procedimiento operativo de medición y se establecerán las relaciones existentes entre éste y el procedimiento operativo de calibración. Para ello, se van a considerar los siguientes casos que resultan ilustrativos de las principales situaciones que se pueden presentar en la práctica metrológica. 3.1 ALGUNOS EJEMPLOS DE MEDICIÓN Y CALIBRACIÓN Ensayo 1 Supóngase que con un determinado instrumento de medida centesimal se efectúan 5 mediciones sobre un cierto mensurando de valor desconocido, obteniéndose los siguien- tes valores numéricos 5,03 5,03 5,03 5,03 5,03 Estos resultados permiten hacer las siguientes consideraciones. En este caso, el grado de agrupamiento de las medidas efectuadas con este instru- mento centesimal es máximo ya que todas los valores obtenidos son iguales. 41
  • 49. 3. Calibración y medición 42 Se deduce, por tanto, que habrı́a sido suficiente realizar una única medición. El resultado de la medida es, obviamente, 5,03. Se desconoce si el valor real de la magnitud medida es 5,03 o un valor próximo, dado que no se dispone de información adicional del instrumento empleado ni de su nivel de ajuste. Con los resultados obtenidos no se conoce la incertidumbre ni puede llegar a deter- minarse. Ensayo 2 Si las mediciones se efectuasen en las mismas condiciones del caso anterior pero obteniéndose los siguientes valores numéricos: 4,98 5,00 4,99 5,02 5,03 es posible ahora hacer las siguientes consideraciones. El grado de agrupamiento de las medidas no es en este caso total, apreciándose una cierta variabilidad con un recorrido de valor 0,05 (5 divisiones de escala del instrumento). En este caso, a diferencia del anterior, no hubiera sido suficiente realizar una sola medición, ya que se habrı́a obtenido un valor igual a 4,98 (primer valor de la mues- tra) que coincide, como se puede apreciar, con uno de los extremos de las medidas. El mejor resultado de la medida podrá ser el valor entero de la división de escala que esté más próximo a la media aritmética de las medidas x′ = 5 P 1 xi 5 = 5, 004 ≃ 5, 00. Al igual que en el caso anterior, no es posible conocer el valor real de la magni- tud medida ya que no se dispone de información adecuada acerca del instrumento empleado. Tampoco es posible calcular la incertidumbre de la medida.
  • 50. 3. Calibración y medición 43 Ensayo 3 Supóngase que con un determinado instrumento de medida se efectúan 5 mediciones sobre un patrón de valor conocido e igual a 5 cuya incertidumbre se puede considerar despreciable frente a la división centesimal de la escala del instrumento 5,03 5,03 5,03 5,03 5,03 Los resultados obtenidos sugieren los siguientes comentarios. El grado de agrupamiento, como en el ensayo 1, es máximo. Por tanto, hubiera bastado realizar una única medición. El resultado de la medida es, obviamente, igual a 5,03. Con la información disponible del mensurando, se puede determinar el desajuste de la escala del instrumento, siendo en este caso igual a 0,03, es decir 3 divisiones de escala en exceso. Aunque no se conoce el valor de la incertidumbre de la medida, al haber conse- guido un agrupamiento máximo, tal y como se indicó en secciones anteriores, es posible acotar la variabilidad del instrumento con un semi-intervalo igual a una di- visión de escala del instrumento, obviamente, después de ajustar o corregir con dos divisiones de escala las medidas del instrumento: 5,03 − 0,03 ± 0,01 = 5,00 ± 0,01. Ensayo 4 Supóngase ahora que sobre el mismo patrón del caso anterior se reiteran 5 medicio- nes con un instrumento también centesimal obteniéndose los siguientes valores numéri- cos 4,98 5,00 4,99 5,02 5,03 En este caso, el grado de agrupamiento no es total, apreciándose un variabilidad con un recorrido igual a 0,05 (5 divisiones de escala del instrumento).
  • 51. 3. Calibración y medición 44 El mejor resultado de la medida, como en el ensayo 2, podrá ser x′ = 5 P 1 xi 5 = 5, 004 ≃ 5, 00. El instrumento tiene un desajuste o desplazamiento de escala igual a 0,004 en ex- ceso. Aunque se desconoce la incertidumbre asociada a la medición efectuada, ésta se puede estimar acotando la variabilidad de la medida mediante, por ejemplo, el re- corrido de los valores de la muestra (±0,025). Además se deberá añadir el valor 0,004 del desajuste que no se ha corregido U ≤ 0,029 ≤ 0,03. Los casos 3 y 4 que se acaban de analizar corresponden realmente a una operación de medida denominada calibración que básicamente consiste en la medida de un patrón de valor conocido con una precisión lo suficientemente alta, y con la que se pueden obtener las siguientes caracterı́sticas metrológicas del instrumento de medida: variabilidad de las medidas efectuadas por el instrumento, desajuste del instrumento, e incertidumbre asociada al proceso de medición del patrón, también conocida como incertidumbre de calibración. En la figura 3.1 se puede ver esquemáticamente el proceso y los resultados de una operación de calibración sobre un instrumento de medida. Aunque más adelante se de- tallará mediante un ejemplo el proceso de calibración de un instrumento de medida, a continuación se expondrá, de forma general, el procedimiento operativo tanto de cali- bración como de medición ası́ como los resultados obtenidos con ambas operaciones [11]. 3.2 PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN Y RESULTADOS OBTENIDOS Básicamente, el proceso de calibración consiste en la medida reiterada nc veces (xci(i = 1, 2, . . . , nc)) de un patrón de “valor conocido” x0 e incertidumbre U0 (recuérdese que la
  • 52. 3. Calibración y medición 45 Proceso de medición del patrón o referencia Instrumento o equipo de medida Referencia o patrón (valor conocido) de calibración Incertidumbre y corrección Figura 3.1: Diagrama esquemática del proceso de calibración de un ins- trumento de medida. incertidumbre se calcula en muchas ocasiones multiplicando el valor de la acotación de variabilidad, que en este caso se podrá llamar u0, por un factor de incertidumbre o factor de recubrimiento k0 que suele valer 2 ó 3). El número de mediciones nc suele ser igual o mayor que 5, aunque en muchas ocasiones, sobre todo en metrologı́a dimensional, se suele usar nc = 10. Es importante mencionar que las medidas realizadas en una operación de calibración deben realizarse bajo condiciones de repetibilidad, lo que facilitará la corrección del instrumento y la mejor identificación de las posibles causas de error que afecten a sus medidas. Los resultados que se extraen de todo proceso de calibración son los que se indican a continuación. xci, medidas de calibración (i = 1, 2, . . . , nc). x′ c, estimador central de las medidas de calibración que, generalmente, suele ser la media aritmética de las medidas  x′ c = nc X 1 xci/nc  . sc, desviación tı́pica de las medidas de calibración. ∆xc, corrección o ajuste de calibración (∆xc = x0 − x′ c). uc, incertidumbre asociada a la corrección de calibración calculada, también lla- mada simplemente incertidumbre de calibración. Mediante el teorema central del lı́mite la varianza del valor medio x′ c se podrá igualar a s2 c /nc y mediante la ley de propagación de varianzas se obtiene que la varianza correspondiente a la corrección de calibración (∆xc = x0 − x′ c) será igual a u2 c = U0 k0 2 + s2 c /nc.
  • 53. 3. Calibración y medición 46 Uc, incertidumbre expandida de calibración para un factor de incertidumbre o de recubrimiento kc (Uc = kcuc). 3.3 PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN Y RESULTADOS OBTENIDOS El proceso de medición consiste, básicamente, en la medición reiterada de nm (x′ mj(j = 1, 2, . . . , nm)) medidas sobre un mensurando de “valor desconocido” (ensayos 1 y 2 de la Sección 3.1). Generalmente, nm suele ser inferior o igual a 3, aunque en muchas ocasiones nm = 1. En el caso en el que nm 1, las medidas realizadas se obtienen, al igual que en el proceso de calibración del instrumento o equipo que se está utilizando, bajo condiciones de repetibilidad. Sin embargo, las operaciones que se realizan en los procesos de medi- ción y calibración se efectúan entre ambas bajo condiciones de reproducibilidad, es decir, la calibración y la medición se efectuarán con un mismo equipo y con un mismo método de medida, pero no necesariamente con idénticas condiciones de utilización: mensuran- do, lugar, condiciones ambientales e intervalos de tiempo lo suficientemente grandes. Para simplificar el planteamiento que a continuación se expone, se supondrá que la úni- ca corrección que habrá que considerar en el proceso de medición con un determinado instrumento será la de calibración, despreciando aquellas desviaciones o desajustes del instrumento que pudieran surgir al utilizar dicho instrumento en condiciones distintas a las de calibración (temperatura, humedad, etc.). Los resultados que se extraen del proceso de medición son los que se indican a con- tinuación. xmj, medidas (j = 1, 2, . . . , nm). x′ m, estimador central de las medidas, que puede ser la media aritmética de las medidas, como en el proceso de calibración, x′ m = nm X 1 xmj/nm, aunque cuando nm es pequeño, y además impar, suele ser frecuente usar la mediana de las medidas realizadas. sm, desviación tı́pica de las medidas. Como se ha indicado, nm suele ser inferior o igual a 3, por lo que, si no se conoce el valor de sm, resulta muy difı́cil y poco fiable estimar su valor. En estos casos, es muy frecuente utilizar la aproximación sm ≃ sc, lo que implica suponer que tanto los resultados de la calibración como los resultados de la medición pertenecen a la misma población.
  • 54. 3. Calibración y medición 47 um, incertidumbre asociada, estrictamente, al proceso de medición y que en este caso coincidirá con la varianza asociada a la media aritmética x′ m de la medición (u2 m = s2 m/nm ≃ s2 c /nm). Um, incertidumbre expandida de la medición para un factor de incertidumbre o factor de recubrimiento km (Um = kmum). 3.4 PROCEDIMIENTO CONJUNTO DE CALIBRACIÓN Y MEDICIÓN Obviamente, antes del proceso de medición se deberá calibrar el instrumento o equi- po de medida registrando todos los resultados derivados del proceso de calibración. Los resultados de la calibración tienen un periodo de validez que dependerá de las con- diciones de uso del instrumento o equipo durante el proceso o procesos de medición. El resultado final de cada medición efectuada deberá venir afectado por los resultados obtenidos en la calibración. Este resultado final del proceso global calibración-medición proporciona el valor convencionalmente verdadero (x) de la magnitud medida (valor de la medición afectado por las correspondientes correcciones obtenidas en la calibración) que irá asociado a una cierta incertidumbre (U). x, valor resultante de la medida (x = x′ m + ∆xc). u, incertidumbre asignable al valor resultante de la medida, cuyo valor de la va- rianza se obtendrá aplicando la ley de propagación de la varianza a la expresión x = x′ m + ∆xc, resultando u2 = u2 m + u2 c = s2 m nm + u2 0 + s2 c nc ! ≃ u2 0 + s2 c 1 nc + 1 nm . U, incertidumbre expandida asignable al resultado global de la medida para un factor de incertidumbre o de recubrimiento k (U = ku). Para concluir, es importante resaltar que como se ha expuesto, el resultado final de la medida (x) y su incertidumbre (U) son funciones de los resultados obtenidos en los procesos de calibración y medición, teniendo que x = F(x0, x′ c, x′ m) = f(x0, xci, nc, xmj, nm), u = Φ(u0, uc, um) = φ(u0, sc, nc, nm) ó φ(u0, sc, nc, sm, nm).
  • 55. 3. Calibración y medición 48 Calibración de un instrumento de medida Aunque ya se ha descrito en la Sección 3.3 el procedimiento general de calibración de un instrumento o equipo de medida, en este ejemplo se describirá de forma más detallada el procedimiento de calibración aplicado a un instrumento de medida con escala graduada. Según el Vocabulario Internacional de Metrologı́a (VIM), se define “calibración” como: “el conjunto de operaciones que establece, en unas condiciones determina- das, la relación que existe entre los valores indicados por un instrumento o sistema de medida, o los valores representados por una medida materializa- da (por ejemplo un patrón), y los correspondientes valores conocidos de una magnitud medida”. Como ya se ha indicado, la calibración es una operación imprescindible para estable- cer la trazabilidad de los elementos industriales de medida. El resultado de una calibra- ción es recogido en un documento que suele denominarse “certificado de calibración”. Es conveniente consultar el documento del Sistema de Calibración Industrial (SCI), donde se establecen los requisitos y las recomendaciones generales para la emisión de certificados de calibración SCI. Vamos a suponer que las condiciones habituales de utilización del instrumento son idénticas a las existentes durante la calibración. Esto supone que la única corrección que consideraremos será la de calibración. En caso contrario, la variabilidad debe ser corregida por las variaciones entre las condiciones de la medida y de la calibración. Consideremos primero la calibración de un punto del aparato. Se mide un patrón de magnitud próxima al punto a calibrar nc veces. El patrón tiene un valor conocido x0 y una incertidumbre U0 y factor k0 conocidos también. El valor dado de la magnitud del patrón es: x0 ± U0 = x0 ± k0u0 (3.1) Se realizan nc medidas1 del patrón con el instrumento y se calcula su valor medio xc. Al comparar con el valor dado x0 suele aparecer una diferencia (corrimiento de escala o corrección de calibración). 1 normalmente entre 10 ó 20 medidas suele ser aceptable.
  • 56. 3. Calibración y medición 49 ∆xc = x0 − xc (3.2) El valor de ∆xc es un estimador de la corrección que realmente deberı́a introducirse y posee una incertidumbre asociada, que aplicando la ley de propagación de varianzas resulta: u2 ∆xc = u2 0 + s2 c nc (3.3) Al medir con el instrumento en valores próximos al patrón reiterando n mediciones se obtendrá: x′ = P xi n con desviación tı́pica sx′ √ n (3.4) Por lo tanto, el valor de la medida será: x = x′ + ∆xc (3.5) Aplicando de nuevo la ley de propagación de varianzas, se puede obtener la variabili- dad de la medida (x): u2 x = u2 x′ + u2 ∆xc = u2 0 + s2 c nc + s2 x′ n . (3.6) Si tomamos un coeficiente k de incertidumbre, y suponemos que el mensurando tiene un grado de definición igual al del patrón sc = sx′ :2 U k 2 = U0 k0 2 + 1 nc + 1 n s2 c . (3.7) Para calibrar un instrumento en todo el campo de medida, el procedimiento más elemental consiste en repetir la calibración en varios puntos de su escala. Los valores de la corrección de calibración e incertidumbre asociada en cada uno de los puntos calibrados no facilitan una información práctica para la utilización habitual de la mayor parte de los instrumentos de uso industrial. Por ello, suele aplicarse algún criterio globalizador que permita evaluar la incertidumbre y corrección de calibración del instrumento con independencia del punto de utilización. 2 Para obtener un resultado más preciso, la variabilidad del mensurando debe ser estimada reiterando sucesivas mediciones sobre el mismo.
  • 57. 3. Calibración y medición 50 Para ello se estable una corrección global como promedio de la corrección en cada punto de calibración: ∆xc = 1 N N X j=1 ∆xcj, (3.8) siendo N los puntos usados del campo de medida del instrumento. En todos los puntos habrá una corrección residual que puede determinarse mediante: δcj = ∆xcj − ∆xc. (3.9) Esta corrección residual se incorpora a la incertidumbre mediante el criterio de asimi- larla a una incertidumbre de factor k = 3. Luego la incertidumbre de calibración en cada punto es: u2 cj = u2 oj + s2 cj ncj + δ2 cj 9 . (3.10) El valor resultante de una medida con el instrumento calibrado será: x = x′ + ∆xc, (3.11) y su incertidumbre: U k = u = máx    v u u t u2 oj + s2 cj 1 ncj + 1 n ! + δ2 cj 9    . (3.12) Las incertidumbres obtenidas siempre se redondearán por exceso a unidades enteras de la división de escala del instrumento a calibrar. Cuando la corrección global de calibración complica la utilización del instrumento, toda la corrección de calibración se considera residual3. Ejemplo 1. Calibración de un micrómetro milesimal Se calibra un micrómetro milesi- mal digital de campo de medida 0-25 mm con bloques patrón longitudinales de grado 0 3 Cuando las correcciones de calibración varı́an notablemente entre los distintos puntos del campo de medida, el uso de una corrección global como valor medio de las anteriores no es representativo de todo el campo de medida.
  • 58. 3. Calibración y medición 51 y nominales de 5, 12 y 20 mm, 4 obteniéndose los siguientes valores: 5,004 12,001 20,003 5,003 12,003 20,005 5,000 12,006 20,002 5,002 12,001 20,002 5,000 12,002 20,001 Se desea obtener, a partir de estos datos de calibración, el valor global que para todo el campo de medida puede asignarse a la incertidumbre del instrumento, para el caso de medición con tres repeticiones. Se valorará la oportunidad de realización de un ajuste (o corrección de calibración) del instrumento, debiendo indicarse, en su caso, el valor de dicho ajuste. Para todos los casos considérese un factor de incertidumbre de valor 2. Lo primero que vamos a hacer es calcular la media aritmética de las indicaciones en cada punto considerado del campo de medida. Ası́: para x01 = 5 mm; xc1 = 5, 0018 mm; para x02 = 12 mm; xc2 = 12, 0026 mm; para x03 = 20 mm; xc3 = 20, 0026 mm; Una vez calculadas las medias aritméticas podemos obtener la corrección de calibra- ción en cada punto del campo de medida: ∆xc1 = x01 − xc1 = 5 − 5, 0018 = −0, 0018 mm = −1, 8 µm ∆xc2 = x02 − xc2 = 12 − 12, 0026 = −0, 0026 mm = −2, 6 µm ∆xc3 = x03 − xc3 = 20 − 20, 0026 = −0, 0026 mm = −2, 6 µm 4 Debe mencionarse que en la práctica, para este tipo de instrumentos conviene que los patrones elegidos para su calibración difieran en sus cifras decimales para evitar calibrar el instrumento en el mismo punto de la escala graduada del tambor.
  • 59. 3. Calibración y medición 52 Suponiendo que en principio, el micrómetro puede ser utilizado en cualquier punto de su campo de medida, serı́a de bastante utilidad considerar una “corrección global” del instrumento. Esta corrección global se puede calcular como media aritmética de las correcciones de calibración obtenidas en los tres puntos considerados. Ası́: ∆xc = 1 3 3 X j=1 ∆xcj = −0, 0023 mm = −2, 3 µm ≃ −2 µm Si vamos a realizar un ajuste del instrumento con un valor −2 µm, en cada punto del campo de medida del mismo, aparecerá una “corrección residual” que afectará a la incertidumbre del instrumento. La corrección residual que debemos considerar en cada caso será: δc1 = ∆xc1 − ∆xc = −0, 0018 − (−0, 002) = 0, 0002 mm = 0, 2 µm δc2 = ∆xc2 − ∆xc = −0, 0026 − (−0, 002) = −0, 0006 mm = −0, 6 µm δc3 = ∆xc3 − ∆xc = −0, 0026 − (−0, 002) = −0, 0006 mm = −0, 6 µm La corrección residual se incorporará a la incertidumbre asimilándola a una incerti- dumbre de factor k = 3. A continuación vamos a calcular la incertidumbre asociada a cada punto considerado. Para ello, debemos analizar cada una de las contribuciones a dicha incertidumbre. En primer lugar debemos considerar la “incertidumbre de corrección de calibración” que por la ley de propagación de varianzas se puede expresar de la siguiente forma: u2 cj = u2 0j + s2 cj ncj + δ2 cj 9 ; (3.13) donde u0j representa la incertidumbre del patrón considerado; scj es el parámetro de dispersión de la muestra j de la operación de calibración, y se puede calcular a través de la siguiente expresión: scj = v u u u t 1 ncj − 1 ncj X i=1 (xcji − xcj)2; (3.14) y δcj es la corrección residual en el punto j del campo de medida.
  • 60. 3. Calibración y medición 53 La incertidumbre asociada a los bloques patrón de calidad 0 se pueden calcular a partir de la siguiente expresión: u0j(µm) = 0, 1 + 0, 002Lj, donde Lj es la longitud nominal en mm. Ası́: u01 = 0, 1 + 0, 002 × 5 = 0, 110 µm = 0, 00011 mm; u02 = 0, 1 + 0, 002 × 12 = 0, 124 µm = 0, 000124 mm; u03 = 0, 1 + 0, 002 × 20 = 0, 140 µm = 0, 00014 mm. Además: sc1 = 0, 0018 mm = 1,8 µm; sc2 = 0, 0021 mm = 2,1 µm; sc3 = 0, 0015 mm = 1,5 µm. Sustituyendo todos los valores podemos obtener la incertidumbre de corrección de calibración para cada punto: u2 c1 = 0, 000112 + 0, 00182 5 + 0, 00022 9 = 6,645 · 10−7 mm2 ; uc1 = 0, 82 µm; u2 c2 = 0, 0001242 + 0, 00212 5 + 0, 00062 9 = 9, 3738 · 10−7 mm2 ; uc2 = 0, 97 µm; u2 c3 = 0, 000142 + 0, 00152 5 + 0, 00062 9 = 5, 096 · 10−7 mm2 ; uc3 = 0, 71 µm.
  • 61. 3. Calibración y medición 54 Para calcular la incertidumbre total tenemos que incluir la incertidumbre que añade el elemento a medir (sm). En este caso, vamos a suponer que dicha incertidumbre es del orden de la del patrón utilizado en la calibración, por lo que podemos suponer que smj ≃ scj. De esta forma y mediante la ley de propagación de varianzas, la incertidumbre en cada punto considerado resulta: u2 j = u2 cj + s2 mj n , (3.15) siendo n según el enunciado igual a 3. Por lo tanto: u1 = s 6,645 · 10−7 + 0, 00182 3 = 0, 0013 mm = 1, 3 µm; u2 = s 9,3738 · 10−7 + 0, 00212 3 = 0, 0016 mm = 1, 6 µm; u3 = s 5,096 · 10−7 + 0, 00152 3 = 0, 0011 mm = 1, 1 µm. Siguiendo con el mismo criterio globalizador con el fin de facilitar el uso del ins- trumento de medida asignando un único valor de incertidumbre para todo su campo de medida, elegimos como incertidumbre de medida el valor máximo de los anteriores calculados. Ası́: u = máx(uj) = 0,0016 = 1,6 µm. Además como el factor de incertidumbre es k = 2, la incertidumbre global resulta: U = ku = 2 × 1, 6 = 3, 2 µm. Redondeando a la división de escala inmediatamente superior del instrumento resul- ta: U = 4 µm Por lo tanto, una vez calibrado el micrómetro milesimal, se le asigna una incertidum- bre de 4 µm para un factor de calibración (k = 2) y se le realiza un ajuste de -2 µm (es decir, 2 divisiones de la escala en el sentido apropiado) de corrección de calibración.
  • 62. 3. Calibración y medición 55 0000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 00 00 00 11 11 11 00 00 00 11 11 11 0 0 PATRON X o BLOQUE X COMPARADOR Ejemplo 2 Para calibrar el bloque de longitud x de la figura se emplea un patrón de longitud x0 = 10, 0000 mm e incertidumbre 0,5 µm para un factor de calibración k = 2, Para medir el blo- que se emplea un reloj comparador como el de la figura de incertidumbre 1 µm para un factor de calibración 2. Cada medida se efectúa enfrentan- do el palpador del comparador sobre el patrón x0 y situando manualmente su indicador en la posición 0. Posteriormente, se enfrenta el palpador sobre el bloque a medir apreciando en su indicador las diferencias respecto a la longitud x0. Este proceso se repite 10 veces obteniendo de esta forma los siguientes resultados: Diferencias x′ en mm respecto a x0 0,002 0,001 0,002 0,001 0,003 0,001 0,002 0,002 0,002 0,001 Obtener el valor del bloque x en mm, y su incertidumbre asociada para un factor de calibración k = 3. La medida del bloque x se puede obtener sumando a la longitud patrón x0 la media x′ de las desviaciones apreciadas con el reloj comparador. De este modo: x = x0 + x′. (3.16) El valor medio de las desviaciones y su correspondiente estimación de desviación tı́pica (aplicando el teorema central del lı́mite) se obtienen de los valores adjuntos en la
  • 63. 3. Calibración y medición 56 tabla: x′ = 10 P i=1 x′ i 10 = 0, 0017 mm; sx′ = v u u u u t 10 P i=1 (x′ − x′)2 10 − 1 = 0, 000674 mm = 0, 674 µm. Para calcular la incertidumbre asociada a la medida del bloque x se aplica la ley de propagación de varianzas con el siguiente resultado: u2 x = u2 x0 + u2 x′ ; (3.17) donde ux0 corresponde a la incertidumbre asociada al bloque patón x0; y ux′ correspon- de a la incertidumbre asociada a la media de las desviaciones x′. ux0 = U0 k = 0, 5 2 = 0, 25 µm. Aplicando de nuevo la ley de propagación de varianzas se podrá obtener ux′ : u2 x′ = u2 comparador + s2 x′ 10 = 1 2 2 + 0, 6742 10 = 0, 2954 µm2 . (3.18) Sustituyendo estos valores en la ecuación 3.17: ux = q 0, 252 + 0, 2954 = 0, 598 µm. Para un factor de calibración k = 3, la incertidumbre global de la longitud del bloque x resulta: Ux(k = 3) = 3 × 0,598 + 0,3 µm ≃ 3 µm = 0, 003 mm. Luego el bloque tiene una longitud: x = 10, 002 ± 0, 003 mm (factor de calibración 3).
  • 64. C A P Í T U L O 4 Organización metrológica. Plan de calibración Como se indicó en el capı́tulo de Introducción, la Trazabilidad de una medida se pue- de definir como la propiedad consistente en poder referir la precisión de dicha medida a patrones apropiados, a través de una cadena ininterrumpida de comparaciones. La co- rrecta trazabilidad de un laboratorio de metrologı́a se consigue a través de un “plan de calibración” permanente [4]. Para la creación y puesta en marcha de un plan de calibra- ción se deben agrupar todos los instrumentos en “grupos de calibración”, que deben ser ordenados de mayor a menor precisión, organizándolos en niveles en lo que se llama “diagrama de niveles”. Un plan de calibración tiene un soporte fı́sico constituido por los siguientes elemen- tos: - Diagrama de niveles. Es un gráfico donde figuran agrupados y numerados todos los instrumentos de medida existentes en el laboratorio. - Etiquetas de calibración. Etiquetas donde queda reflejado la fecha de la calibración efectuada y la fecha de la próxima calibración. - Fichero de instrucciones. Es una colección de fichas numeradas como en el diagra- ma. En cada una de ellas está señalada la relación de instrumentos que abarca y las instrucciones necesarias para efectuar su calibración. - Archivo de resultados. Una colección de carpetas numeradas de acuerdo al dia- grama de niveles donde están reflejados los resultados de la última calibración, ası́ como los datos que se consideren necesarios. 57
  • 65. 4. Organización metrológica. Plan de calibración 58 El criterio fundamental para formar un grupo en el diagrama de niveles es que todos los elementos que comprende se calibren con los mismos grupos de patrones, mediante los mismos procedimientos generales y que sus incertidumbres se estimen con las mis- mas ecuaciones de cálculo. En un grupo puede haber un sólo elemento, varios similares, o también accesorios o componentes análogos de diferentes aparatos. El criterio fundamental para la formación de los niveles dentro del diagrama es que los grupos de cada nivel sean calibrados por grupos de niveles superiores, nunca inferiores, ni tampoco del mismo nivel. Para completar la ordenación de los grupos en el diagrama se complementa con las tres reglas siguientes: 1. El primer nivel lo forman los patrones de referencia del centro, es decir aquellos de más precisión que se calibran periódicamente en otros centros de nivel superior. 2. El último nivel lo forman los instrumentos que una vez calibrados no calibran a otros. Generalmente, este nivel es el más numeroso y sencillo de calibrar. 3. Los niveles intermedios están formados por aquellos que reciben calibración de los niveles superiores y calibran a niveles inferiores. Se colocan en el nivel más elevado posible, pues la experiencia ha demostrado que ello facilita las posteriores modifi- caciones del diagrama al introducir nuevos grupos o por cualquier otra razón. Los grupos de calibración pueden representarse mediante un rectángulo, identificándo- se mediante un número y un tı́tulo que se debe ajustar a las denominaciones establecidas por el “Sistema de Calibración Industrial” (SCI) (véase la figura 4.1). No se admiten bajo ningún concepto la inclusión de marcas comerciales o modelos. Para aclarar mejor los conceptos anteriores, se va a resolver el siguiente ejercicio. Ejemplo Dado el “diagrama de niveles” indicado en la figura, correspondiente al “plan de calibración” de un Laboratorio de Metrologı́a, se pide indicar los defectos que existen en dicho “diagrama de niveles”, razonando la respuesta para cada defecto.
  • 66. 4. Organización metrológica. Plan de calibración 59 SCI Denominación Instrumentos que lo calibran Instrumentos a los que calibra Instrumentos que participan en su calibración calibración participa Instrumentos en cuya Figura 4.1: Representación de un grupo de calibración en el diagrama de niveles. 4 6 7 4 5 8 6 8 10 8 4 9 9 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 Nivel R Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 1 2 6 2 3 1 4 1 2 4 5 7 10 6 5 En el nivel de referencia no se observa ningún error ya que está constituido por grupos de calibración que no son calibrados por ningún otro del diagrama, y además calibran a instrumentos pertenecientes a grupos de niveles inferiores. En el nivel 1 se observa que el grupo 4 es calibrado por instrumentes pertenecientes al grupo 6 que se sitúa en un nivel inferior. Por lo tanto es incorrecto. En el nivel 2 se observan dos errores. En primer lugar, el grupo 7 podrı́a situarse
  • 67. 4. Organización metrológica. Plan de calibración 60 perfectamente en un nivel superior, por lo que deberı́a pasar al nivel 1. Por otro lado, el grupo 8 debe situarse en el nivel inferior ya que está constituido por instrumentos de medida que no participan en la calibración de ningún otro instrumento del diagrama de niveles. Por último, en el nivel 3, el grupo 10 está mal situado ya que está constituido por instrumentos que participan en la calibración de instrumentos del grupo 9. EJEMPLO PROPUESTO Dado el “diagrama de niveles” indicado en la figura, se pide indicar los defectos que existen en dicho “diagrama de niveles”, razonando la respuesta para cada defecto. 4 6 7 4 5 8 8 10 8 9 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 Nivel R Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 1 2 2 3 1 1 2 4 5 7 10 6 5 4 5 7 4 9 10 3 3 2
  • 68. C A P Í T U L O 5 Normalización de tolerancias dimensionales En este capı́tulo se va a tratar el Sistema de Normalización Internacional ’ISO’ en lo referente a las tolerancias dimensionales más empleadas en Fabricación. Sólo se va a hacer referencia a cotas nominales inferiores a 500 mm. 5.1 EL SISTEMA DE TOLERANCIAS DIMENSIONALES ISO El sistema ISO para tolerancias dimensionales se basa en tres principios fundamenta- les: 1. Subdividir los diámetros normalizados (de 1 a 500 mm) distribuyéndolos en una serie de 13 agrupaciones de diámetros; cada agrupación abarca un campo determi- nado, y dentro de cada campo las tolerancias son las mismas en valor absoluto. 2. Calidad o precisión. 3. Posición de la tolerancia respecto a una lı́nea de referencia o cota nominal. La cota nominal se expresa meidante el valor entero en mm más cercano a las dimen- siones admisibles de la pieza. Las cotas nominales se distribuyen en 13 agrupaciones fundamentales del siguiente modo. 61
  • 69. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 62 5.1.1 Grupos de diámetros 1 a 3 mm 80 a 120 mm 3 a 6 mm 120 a 180 mm 6 a 10 mm 180 a 250 mm 10 a 18 mm 250 a 315 mm 18 a 30 mm 315 a 400 mm 30 a 50 mm 400 a 500 mm 50 a 80 mm Con estos grupos se vio que no era suficiente para determinadas precisiones, por lo que finalmente se ha llegado a una subdivisión de 13 grupos principales y 22 intermedios para dimensiones entre 10 y 500 mm: 10 a 14 mm 140 a 160 mm 14 a 18 mm 160 a 180 mm 18 a 24 mm 180 a 200 mm 24 a 30 mm 200 a 225 mm 30 a 40 mm 225 a 250 mm 40 a 50 mm 250 a 280 mm 50 a 65 mm 280 a 315 mm 65 a 80 mm 315 a 355 mm 80 a 100 mm 355 a 400 mm 100 a 120 mm 400 a 450 mm 120 a 140 mm 450 a 500 mm 5.1.2 Unidad de Tolerancia El sistema ISO adopta para el cálculo de tolerancias con dimensiones comprendidas entre 1 y 500 mm la unidad internacional de tolerancia: i = 0, 45(D)1/3 + 0, 001D donde i está definido en micras (µm). D es la media geométrica entre los valores extre- mos de cada grupo de diámetros en milı́metros (D = p DmaxDmin). El término 0, 001D se
  • 70. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 63 introduce para tener en cuenta la incertidumbre de la medición (adquiere un valor apre- ciable únicamente para diámetros mayores de 80 mm). Aplicando esta ecuación a los grupos principales se obtienen los siguientes valores para las unidades de tolerancia: D i (µm) D i (µm) 1 a 3 mm 0,6 80 a 120 mm 2,2 3 a 6 mm 0,75 120 a 180 mm 2,5 6 a 10 mm 0,9 180 a 250 mm 2,8 10 a 18 mm 1,1 250 a 315 mm 3,2 18 a 30 mm 1,3 315 a 400 mm 3,6 30 a 50 mm 1,6 400 a 500 mm 4,0 50 a 80 mm 1,9 5.1.3 Calidad o Precisión Para cada grupo de dimensiones el sistema ISO establece 19 calidades de elaboración designadas por los sı́mbolos IT01, IT0, IT1, IT2, . . . , IT17. El sı́mbolo IT01 indica la calidad más precisa, y el sı́mbolo IT17 indica la calidad más basta. Las amplitudes de la tolerancia se calculan del siguiente modo: IT01 IT0 IT1 IT2 IT3 IT4 IT5 IT6 IT7 IT8 0, 3 + 0, 080D 0, 5 + 0, 012D 0, 8 + 0, 02D * * * 7i 10i 16i 25i IT9 IT10 IT11 IT12 IT13 IT14 IT15 IT16 IT17 40i 64i 100i 160i 250i 400i 640i 1000i 1600i * se obtienen como términos de una progresión geométrica cuyo primer término es IT1 y su último término es IT5 A partir de IT6 se sigue el criterio de adoptar una progresión geométrica según una ley normal R5 (razón 101/5 = 1,6) Las fórmulas indicadas han sido obtenidas empı́ricamente. Para la aplicación práctica, los valores realmente útiles corresponden a las amplitudes de las franjas de tolerancia tabuladas para su uso inmediato en la Tabla 5.1.
  • 71. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 64 Grupos Amplitud en tolerancia en µm para la calidad de elaboración dimensionales 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 a 3 0,3 0,5 0,8 1,2 2 3 4 6 10 14 25 40 60 100 140 250 400 600 - 3 a 6 0,4 0,6 1 1,5 2,5 4 5 8 12 18 30 48 75 120 180 300 480 750 - 6 a 10 0,4 0,6 1 1,5 2,5 4 6 9 15 22 36 58 90 150 220 360 580 900 1500 10 a 18 0,5 0,8 1,2 2 3 5 8 11 18 27 43 70 110 180 270 430 700 1100 1800 18 a 30 0,6 1 1,5 2,5 4 6 9 13 21 33 52 84 130 210 330 520 840 1300 2100 30 a 50 0,6 1 1,5 2,5 4 7 11 16 25 39 62 100 160 250 390 620 1000 1600 2500 50 a 80 0,8 1,2 2 3 5 8 13 19 30 46 74 120 190 300 460 740 1200 1900 3000 80 a 120 1 1,5 2,5 4 6 10 15 22 35 54 87 140 220 350 540 870 1400 2200 3500 120 a 180 1,2 2 3,5 5 8 12 18 25 40 63 100 160 250 400 630 1000 1600 2500 4000 180 a 250 2 3 4,5 7 10 14 20 29 46 72 115 185 290 460 720 1150 1850 2900 4600 250 a 315 2,5 4 6 8 12 16 23 32 52 81 130 210 320 520 810 1300 2100 3200 5200 315 a 400 3 5 7 9 13 18 25 36 57 89 140 230 360 570 890 1400 2300 3600 5700 400 a 500 4 6 8 10 15 20 27 40 63 97 155 250 400 630 970 1550 2500 4000 6300 Tabla 5.1: Amplitud en µm de los intervalos de tolerancias para distintas calidades de elaboración.
  • 72. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 65 5.1.4 Posiciones de las Tolerancias En la práctica, la medida efectiva difiere de la nominal, no sólo por la inevitable inexac- titud en la ejecución, sino también para proporcionar el juego o apriete que se desee en el ajuste entre un eje y un agujero. Para lograr esto último, lo que se hace es situar la zo- na de tolerancia en distintas posiciones con relación a la lı́nea de referencia que coincide con la cota nominal considerada. La posición de la zona de tolerancia viene dada pues, por la diferencia superior (diferencia entre la cota máxima especificada y la cota nominal) en unos casos y por la diferencia inferior (diferencia entre la cota mı́nima especificada y la cota nominal) en otros. La distancia entre la diferencia referida (superior o inferior) y la lı́nea de referencia se llama diferencia de referencia. El sistema ISO fija una serie de estas diferencias de referencia que dan lugar a todos los tipos de ajustes necesarios. Las posiciones se designan por medio de letras; los agujeros mediante letras mayúscu- las y los ejes mediante letras minúsculas. En total existen 21 posiciones correspondientes a las distintas letras (se han excluido la ’i’, ’l’, ’o’, y ’q’; y las correspondientes mayúscu- las). Las diferencias de referencia también se pueden obtener mediante fórmulas. En la figura 5.1 aparecen representadas las posiciones de los intervalos de tolerancia respecto a la lı́nea de referencia. Obsérvese que se han añadadido las posiciones ’cd’, ’ef’, ’fg’ y las correspondientes mayúsculas de los agujeros para ampliar la gama para diámetros nominales inferiores a 10 mm. También se han añadido las posiciones ’za’, ’zb’, ’zc’, y las correspondientes mayúsculas para obtener ajustes con grandes aprietes. Las posiciones vienen tabuladas por la desviación de menor valor absoluto. En las tablas 5.2, 5.3 y 5.4 se encuentran estos valores en µm. Los calibres “pasa-no pasa” son instrumentos que se utilizan para la verificación de tolerancias dimensionales sin necesidad de obtener información numérica de la pieza objeto de estudio. Estos instrumentos materializan en cada uno de sus extremos las dimensiones máxima y mı́nima de la tolerancia especificada en la pieza que se pretende verificar. La decisión (pieza aceptada o rechazada) se adopta con una simple operación de ajuste. Si el ajuste entre la pieza y el calibre es holgado para el lado “pasa” y con apriete para el lado “no pasa”, la pieza se encontrará dentro de la tolerancia especificada. En las figuras 5.2 y 5.3 se representan dos calibres tı́picos para verificación de ejes (calibre de herradura) y agujeros (calibre tampón), respectivamente. En el Capı́tulo 8 se estudiarán de forma más detallada este tipo de instrumentos.
  • 73. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 66 −d s +d i A B K U ZA C CD D E EF F FG G H J J M N P s R S T V X Y Z ZB ZC zc zb za z y x v u t s r p n m k j j h g fg f ef e d cd c b a Línea de referencia Línea de referencia Taladros Ejes s Figura 5.1: Posición de los intervalos de tolerancia
  • 74. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 67 Posición a’ b’ c cd d e ef f fg g h j s a j k Calidad Todas las calidades 5y6 7 8 4 a 7 ≤ 3 7 G. Diámetro (mm) Diferencia superior d s 0, ejes; (Diferencia inferior D i 0, agujeros) - Diferencia inferior d i ≤ 3 -270 -140 -60 -34 -20 -14 -10 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 0 0 3 a 6 -270 -140 -70 -46 -30 -20 -14 -10 -6 -4 0 -2 -4 - +1 0 6 a 10 -280 -150 -80 -56 -40 -25 -18 -13 -8 -5 0 -2 -5 - +1 0 10 a 14 -290 -150 -95 - -50 -32 - -16 - -6 0 -3 -6 - +1 0 14 a 18 -290 -150 -95 - -50 -32 - -16 - -6 0 d -3 -6 - +1 0 18 a 24 -300 -160 -110 - -65 -40 - -20 - -7 0 i -4 -8 - +2 0 24 a 30 -300 -160 -110 - -65 -40 - -20 - -7 0 f -4 -8 - +2 0 30 a 40 -310 -170 -120 - -80 -50 - -25 - -9 0 e -5 -10 - +2 0 40 a 50 -320 -180 -130 - -80 -50 - -25 - -9 0 r -5 -10 - +2 0 50 a 65 -340 -190 -140 - -100 -60 - -30 - -10 0 e -7 -12 - +2 0 65 a 80 -360 -200 -150 - -100 -60 - -30 - -10 0 n -7 -12 - +2 0 80 a 100 -380 -220 -170 - -120 -72 - -36 - -12 0 c -9 -15 - +3 0 100 a 120 -410 -240 -180 - -120 -72 - -36 - -12 0 i -9 -15 - +3 0 120 a 140 -460 -260 -200 - -145 -85 - -43 - -14 0 a -11 -18 - +3 0 140 a 160 -520 -280 -210 - -145 -85 - -43 - -14 0 -11 -18 - +3 0 160 a 180 -580 -310 -230 - -145 -85 - -43 - -14 0 d s -11 -18 - +3 0 180 a 200 -660 -340 -240 - -170 -100 - -50 - -15 0 = -13 -21 - +4 0 200 a 225 -740 -380 -260 - -170 -100 - -50 - -15 0 −d i -13 -21 - +4 0 225 a 250 -820 -420 -280 - -170 -100 - -50 - -15 0 = -13 -21 - +4 0 250 a 280 -920 -460 -300 - -190 -110 - -56 - -17 0 IT / 2 b -16 -26 - +4 0 280 a 315 -1050 -540 -330 - -190 -110 - -56 - -17 0 -16 -26 - +4 0 315 a 355 -1200 -600 -360 - -210 -125 - -62 - -18 0 -18 -28 - +4 0 355 a 400 -1350 -680 -400 - -210 -125 - -62 - -18 0 -18 -28 - +4 0 400 a 450 -1500 -760 -440 - -230 -135 - -68 - -20 0 -20 -32 - +5 0 450 a 500 -1650 -840 -480 - -230 -135 - -68 - -20 0 -20 -32 - +5 0 Tabla 5.2: Diferencias fundamentales (valores en µ m). a Las diferencias para ’a’ y ’b’ no están previstas para los diámetros ≤ 1 mm. b Para las calidades 7 a 11 las dos diferencias simétricas pueden ser redondeadas, si son impares al valor par inmediato inferior
  • 75. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 68 Posición m n p r s t u v x y z za zb zc Agujeros a Calidad Todas las calidades Todas las calidades Q G. Diámetro (mm) Diferencia inferior d i Diferencia inferior d i 0, ejes; (Diferencia superior D s 0, agujeros) 5 6 7 ≤ 3 +2 +4 +6 +10 +14 - +18 - +20 - +26 +32 +40 +60 3 a 6 +4 +8 +12 +15 +19 - +23 - +28 - +35 +42 +50 +80 1 3 4 6 a 10 +6 +10 +15 +19 +23 - +28 - +34 - +42 +52 +67 +97 2 3 6 10 a 14 +7 +12 +18 +23 +28 - +33 - +40 - +50 +64 +90 +130 3 3 7 14 a 18 +7 +12 +18 +23 +28 - +33 +39 +45 - +60 +77 +108 +150 3 3 7 18 a 24 +8 +15 +22 +28 +35 - +41 +47 +54 +63 +73 +98 +136 +188 3 4 5 24 a 30 +8 +15 +22 +28 +35 +41 +48 +55 +64 +75 +88 +118 +160 +218 3 4 8 30 a 40 +9 +17 +26 +34 +43 +48 +60 +68 +80 +94 +112 +148 +200 +274 4 5 9 40 a 50 +9 +17 +26 +34 +43 +54 +70 +81 +97 +114 +136 +180 +242 +325 4 5 9 50 a 65 +11 +20 +32 +41 +53 +66 +87 +102 +122 +144 +172 +226 +300 +405 5 6 11 65 a 80 +11 +20 +32 +43 +59 +75 +102 +120 +146 +174 +210 +274 +360 +480 5 6 11 80 a 100 +13 +23 +37 +51 +71 +91 +124 +146 +178 +214 +258 +335 +445 +585 5 7 13 100 a 120 +13 +23 +37 +54 +79 +104 +144 +172 +210 +254 +310 +400 +525 +690 5 7 13 120 a 140 +15 +27 +43 +60 +92 +122 +170 +202 +248 +300 +365 +470 +620 +800 6 7 15 140 a 160 +15 +27 +43 +65 +100 +134 +190 +228 +280 +340 +415 +535 +700 +900 6 7 15 160 a 180 +15 +27 +43 +68 +108 +146 +210 +252 +310 +380 +465 +600 +780 +1000 6 7 15 180 a 200 +17 +31 +50 +77 +122 +166 +236 +284 +350 +425 +520 +670 +880 +1150 6 9 17 200 a 225 +17 +31 +50 +80 +130 +180 +258 +310 +385 +470 +575 +740 +960 +1250 6 9 17 225 a 250 +17 +31 +50 +84 +140 +196 +284 +340 +425 +520 +640 +820 +1050 +1350 6 9 17 250 a 280 +20 +34 +56 +94 +158 +218 +315 +385 +475 +580 +710 +920 +1200 +1550 7 9 20 280 a 315 +20 +34 +56 +98 +170 +240 +350 +425 +525 +650 +790 +1000 +1300 +1700 7 9 20 315 a 355 +21 +37 +62 +108 +190 +268 +390 +475 +590 +730 +900 +1150 +1500 +1900 7 11 21 355 a 400 +21 +37 +62 +114 +208 +294 +435 +530 +660 +820 +1000 +1300 +1650 +2100 7 11 21 400 a 450 +23 +40 +68 +126 +232 +330 +490 +595 +740 +920 +1100 +1450 +1850 +2400 7 13 23 450 a 500 +23 +40 +68 +132 +252 +360 +540 +660 +820 +1000 +1250 +1600 +2100 +2600 7 13 23 Tabla 5.3: Diferencias fundamentales (valores en µ m). a A las desviaciones superiores obtenidas de esta tabla para agujeros se les ha de sumar el factor corrector Q para las calidades indicadas.
  • 76. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 69 Posición J K M N a P Calidad 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 ≥ 9 5 6 7 8 ≥ 9 5 6 7 ≥ 8 G. Diámetro (mm) Diferencia superior D s ≤ 3 +2 +4 +6 0 0 0 0 -2 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 -4 -6 -6 -6 -6 3 a 6 +5 +6 +10 0 +2 +3 +5 -3 -1 0 +2 -4 -7 -5 -4 -2 0 -11 -9 -8 -12 6 a 10 +5 +8 +12 +1 +2 +5 +6 -4 -3 0 +1 -6 -8 -7 -4 -3 0 -13 -12 -9 -15 10 a 18 +6 +10 +15 +2 +2 +6 +8 -4 -4 0 +2 -7 -9 -9 -5 -3 0 -15 -15 -11 -18 18 a 30 +8 +12 +20 +1 +2 +6 +10 -5 -4 0 +4 -8 -12 -11 -7 -3 0 -19 -18 -14 -22 30 a 40 +10 +14 +24 +2 +3 +7 +12 -5 -4 0 +5 -9 -13 -12 -8 -3 0 -22 -21 -17 -26 40 a 50 +10 +14 +24 +2 +3 +7 +12 -5 -4 0 +5 -9 -13 -12 -8 -3 0 -22 -21 -17 -26 50 a 65 +13 +18 +28 +3 +4 +9 +14 -6 -5 0 +5 -11 -15 -14 -9 -4 0 -27 -26 -21 -32 65 a 80 +13 +18 +28 +3 +4 +9 +14 -6 -5 0 +5 -11 -15 -14 -9 -4 0 -27 -26 -21 -32 80 a 100 +16 +22 +34 +2 +4 +10 +16 -8 -6 0 +6 -13 -18 -16 -10 -4 0 -32 -30 -24 -37 100 a 120 +16 +22 +34 +2 +4 +10 +16 -8 -6 0 +6 -13 -18 -16 -10 -4 0 -32 -30 -24 -37 120 a 140 +18 +26 +41 +3 +4 +12 +20 -9 -8 0 +8 -15 -21 -20 -12 -4 0 -37 -36 -28 -43 140 a 160 +18 +26 +41 +3 +4 +12 +20 -9 -8 0 +8 -15 -21 -20 -12 -4 0 -37 -36 -28 -43 160 a 180 +18 +26 +41 +3 +4 +12 +20 -9 -8 0 +8 -15 -21 -20 -12 -4 0 -37 -36 -28 -43 180 a 200 +22 +30 +47 +2 +5 +13 +22 -11 -8 0 +9 -17 -25 -22 -14 -5 0 -44 -41 -33 -50 200 a 225 +22 +30 +47 +2 +5 +13 +22 -11 -8 0 +9 -17 -25 -22 -14 -5 0 -44 -41 -33 -50 225 a 250 +22 +30 +47 +2 +5 +13 +22 -11 -8 0 +9 -17 -25 -22 -14 -5 0 -44 -41 -33 -50 250 a 280 +25 +36 +55 +3 +5 +16 +25 -13 -9 0 +9 -20 -27 -25 -14 -5 0 -49 -47 -36 -56 280 a 315 +25 +36 +55 +3 +5 +16 +25 -13 -9 0 +9 -20 -27 -25 -14 -5 0 -49 -47 -36 -56 315 a 355 +29 +39 +60 +3 +7 +17 +28 -14 -10 0 +11 -21 -30 -26 -16 -5 0 -55 -51 -41 -62 355 a 400 +29 +39 +60 +3 +7 +17 +28 -14 -10 0 +11 -21 -30 -26 -16 -5 0 -55 -51 -41 -62 400 a 450 +33 +43 +66 +2 +8 +18 +29 -16 -10 0 +11 -23 -33 -27 -17 -6 0 -61 -55 -45 -68 450 a 500 +33 +43 +66 +2 +8 +18 +29 -16 -10 0 +11 -23 -33 -27 -17 -6 0 -61 -55 -45 -68 Tabla 5.4: Diferencias fundamentales para agujeros (valores en µ m). a La diferencia para N en las calidades 9 a 16 no están previstas para los diámetros ≤ 1 mm
  • 77. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 70 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 dmax ≃ 30 dmin ≃ 29,967 Lado pasa Lado no pasa 30h8 Figura 5.2: Esquema de un calibre de herradura para la verificación de ejes con tolerancia ISO 30h8. 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 dmin ≃ 30 dmax ≃ 30,033 Lado pasa Lado no pasa 30H8 Figura 5.3: Esquema de un calibre tampón para la verificación de agujeros con tolerancia ISO 30H8.
  • 78. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 71 5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si queremos verificar un agujero 30H7, con un micrómetro milesimal de 2 micras de incertidumbre, ¿cuáles son las medidas admisibles máxima y mı́nima efectuadas con dicho instrumento que aseguran al elemento dentro de tolerancias?. Solución: 30,002 mm; 30,019 mm. 2. Se pretende verificar un cilı́ndro con especificaciones 30h6. El diámetro se mide con un micrómetro milesimal perfectamente calibrado con incertidumbre ±2µm. Si el resultado de la medida es de 29,987 mm, ¿podemos asegurar que la pieza está dentro de tolerancias?. Razone la respuesta. Solución: Fuera de tolerancias. 3. Se quiere verificar un eje con designación ISO 30h7 con un micrómetro milesimal (división de escala de 0,001 mm). Para utilizar correctamente el instrumento de medida, el Laboratorio de Metrologı́a procede a su calibración obteniendo según la formulación matemática aplicada una incertidumbre calculada de 0,3 µm. Decir si es apropiado dicho instrumento para la verificación del eje especificado, y cuál es la medida máxima y la medida mı́nima admisible dadas por el instrumento que aseguren al eje dentro de tolerancias. Solución: No es apropiado. 29,980 mm; 29,999 mm. 4. Queremos verificar el agujero 65H6 con un micrómetro milesimal para interiores de tal forma que la relación entre la tolerancia y la incertidumbre sea lo más próxima a T 2U = 5 por razones económicas. ¿Qué incertidumbre debe poseer el instrumen- to?. ¿Cuáles son las medidas admisibles máxima y mı́nima efectuadas con dicho instrumento que aseguran al elemtento dentro de tolerancias?. Solución: 2 µm. 65,002 mm; 65,017 mm. 5. Indicar de entre los siguientes casos cuáles están dentro de tolerancias y cuáles no: Caso Elemento Medida(mm) Incertidumbre(µm) 1 15H4 15,0040 0,5 2 40J6 39,993 4 3 25h5 24,998 1
  • 79. 5. Normalización de tolerancias dimensionales 72 Solución: Caso 1 SI; caso 2 NO; caso 3 SI.
  • 80. C A P Í T U L O 6 Ajustes en fabricación mecánica Se denomina ajuste [16] al conjunto constituido por dos piezas; una interior, a la que se va a denominar genéricamente como ’eje’, y otra exterior o ’agujero’. Se pueden encontrar los siguientes tipos de ajustes: 1. “Ajuste con juego o móvil”, en el que el diámetro del agujero es siempre mayor que el diámetro del eje. En la figura 6.1 se puede ver representado un ajuste de este tipo. En este tipo de ajustes se podrán presentar dos situaciones extremas; una en la que el juego sea mı́nimo (Jmin), y otra en la que el juego sea máximo (Jmax). Co- mo se muestra en la figura 6.1 el “juego máximo” y el “juego mı́nimo” pueden ser obtenidos a partir de las siguientes relaciones: Jmax = Ds − di; Jmin = Di − ds. 2. “Ajuste con aprieto o fijo”, en el que el diámetro del agujero es siempre menor que el diámetro del eje. En la figura 6.2 se puede ver un ejemplo de este tipo. Al igual que en el caso anterior, se pueden dar dos situaciones extremas, una con “apriete máximo” (Amax) y otra con “apriete mı́nimo” (Amin): Amax = ds − Di; 73
  • 81. 6. Ajustes en fabricación mecánica 74 Ds di ds L.R. dmax dmin Dmin Dmax Di Jmax Jmin Figura 6.1: Ajuste con juego. Ds Di Amin Amax di ds L.R. Dmax Dmin dmax dmin Figura 6.2: Ajuste con apriete.
  • 82. 6. Ajustes en fabricación mecánica 75 L.R. Dmax Dmin Ds Di Amax Jmax dmin di ds dmax Figura 6.3: Ajuste indeterminado. Amin = di − Ds. 3. “Ajuste indeterminado”, en el que los intervalos de tolerancia de los dos elementos acoplados están solapados, por lo que hasta que los elementos no hayan sido fabri- cados no se podrá determinar si exite un ajuste con apriete o con juego. En la figura 6.3 se puede ver un ejemplo de este tipo. En la figura 6.4 se muestra un ejemplo en el que el acoplamiento entre varios elemen- tos mecánicos debe realizarse con distintos tipos de ajustes. 6.1 SISTEMA DE AJUSTES RECOMENDADOS Con el objeto de acotar el conjunto de tolerancias a emplear en la fabricación de elementos acoplados, se han establecido dos sistemas de ajustes que a continuación se detallan.
  • 83. 6. Ajustes en fabricación mecánica 76 −d s +d i B K U ZA C CD D E EF F FG G H J J M N P s R S T V X Y Z ZB ZC zc zb za z y x v u t s r p n m k j j h g fg f ef e d cd c b a Línea de referencia Línea de referencia Taladros Ejes A 40H7/f7 60H7/m6 Ajuste con Juego Ajuste Indeterminado Figura 6.4: Ajuste eje-cojinete.
  • 84. 6. Ajustes en fabricación mecánica 77 6.1.1 Sistema de agujero base En este sistema la diferencia inferior del agujero siempre es cero, es decir, su posición de toleracia es ’H’, por lo que su intervalo de tolerancia siempre se sitúa por encima de la lı́nea de referencia. Para obtener los diferentes ajustes (apriete, juego, o indeterminado) se modifica la posición del eje. En la figura 6.5 aparece representado un ejemplo de este sistema. 0 T AGUJERO BASE Ajuste holgado Ajuste con apriete Ajuste indeterminado Dmin Figura 6.5: Sistema de agujero base 6.1.2 Sistema de eje base En este sistema (figura 6.6), la diferencia superior del eje siempre es cero, es decir, la posición de tolerancia del eje es ’h’, con lo que el intervalo de tolerancia del eje siempre se sitúa bajo la lı́nea de referencia. Los distintos ajustes se obtienen modificando la posición de tolerancia del agujero. En la figura 6.7 se muestra un acoplamiento tı́pico entre un pistón y una biela en el que se debe utilizar este sistema. Para optar por un sistema u otro, existen algunas recomendaciones que facilitan su elección. En general, el sistema de “agujero base” es más recomendable pues es el más económico, tanto desde el punto de vista de su fabricación como de su verficación dimen- sional. Este sistema se prefiere en mecanismos compactos, de ejes cortos con muchos elementos acoplados sobre ellos. El sistema de eje base suele ser necesario en mecanis- mos con largos ejes.
  • 85. 6. Ajustes en fabricación mecánica 78 t dmin Ajuste holgado dmax Ajuste con aprieto Ajuste indeterminado L.R. Figura 6.6: Sistema de eje base PISTON BIELA COJINETE DE LA BIELA EJE h6 AJUSTE CON APRIETE AJUSTE HOLGADO J7 F7 SISTEMA DE EJE BASE Figura 6.7: Acoplamiento entre un pistón y una biela.
  • 86. 6. Ajustes en fabricación mecánica 79 Ejemplo 1 Determinar los elementos de un acoplamiento entre un eje y un agujero de 70 mm de cota nominal tal que el juego mı́nimo sea de 30 µm. El sistema adoptado es el de eje base y las calidades del agujero y eje son, respectivamente, 8 y 7. Al tratarse de un sistema de eje base, la codificación ISO del eje resultará la siguiente: 70h7. De la Tabla 5.1 obtenemos que para un ı́ndice de tolerancia igual a 7, la amplitud de tolerancia debe ser t = 30 µm. Además, como la desviación superior del eje debe ser igual a 0, la desviación inferior de la tolerancia del eje ha de ser di = −30 µm. Por otro lado, la tolerancia del agujero debe tener un ı́ndice de tolerancia igual a 8, lo que le corresponde, de la Tabla 5.1, una amplitud de tolerancia igual a 46 µm. En la Figura 6.8 se muestra un esquema del ajuste eje-agujero considerado. Teniendo en cuenta que el Eje, 70h7 Agujero, I.T. 8 L.R. (0) di = −30 µm Ds Di T = 46 µm Jmin ≥ 30 µm Figura 6.8: Ejemplo de sistema de eje base 70h7 (Ejemplo 1). juego entre eje y agujero como mı́nimo ha de ser igual a 30 µm, se ha de cumplir la siguiente condición: Di ≥ 30 µm. En la Tabla 5.2 encontramos que la posición de tolerancia para el agujero que mejor se ajusta a la condición anterior es la posición F que presenta una desviación Di = 30 µm. Por tanto, el acoplamiento resultante será el siguiente 70F8 h7, para el que los juegos mı́nimo y máximo resultantes serán, respectivamente: Jmin = Di − ds = 30 µm,
  • 87. 6. Ajustes en fabricación mecánica 80 Jmax = Ds − di = 106 µm. Ejemplo 2 El ajuste con sistema de eje base destinado al eje de un vagón de ferrocarril debe tener un juego máximo de 30 µm y un juego mı́nimo de −110 µm. Sabiendo que el diámetro nominal del ajuste es de 80 mm, determinar las codificaciones ISO que cumplan las condiciones anteriores. Elegir calidades I.T. consecutivas, siendo la mejor para el eje, para que el acoplamiento sea lo más económico posible. Puede observarse que el acoplamiento que ha de diseñarse corresponde con un ajus- te indeterminado. Para resolver el problema, se considerará inicialmente que se trata de un ajuste holgado, asignando a los extremos de los juegos especificados el signo corres- pondiente. En la Fig. 6.9 se muestra un esquema del acoplamiento. El acoplamiento debe L.R. (0) Ds Di T Jmin ≥ −110 µm Eje, 80h Agujero di = −t Jmax ≤ 30 µm t Figura 6.9: Esquema del acoplamiento del Ejemplo 2. satisfacer la siguiente condición: T + t + Jmin ≤ Jmax. Sustituyendo las condiciones de holgura máxima y mı́nima especificadas, se obtiene: T + t ≤ 140 µm. A continuación, para que el acoplamiento elegido sea lo más económico posible, de la Tabla 5.1 seleccionamos dos ı́ndices de tolerancia consecutivos, siendo el mejor el del eje, cuyas amplitudes de tolerancia sumen una cantidad lo más próxima a 140 µm sin
  • 88. 6. Ajustes en fabricación mecánica 81 llegar a sobrepasarla. Ası́, al eje se le asigna un ı́ndice de tolerancia igual a 8 y al agujero un ı́ndice de tolerancia igual a 9, lo que corresponde, respectivamente, con t = 46 µm y T = 74 µm. Por tanto, al tratarse de un sistema de eje base, el eje seleccionado deberá ser 80h8. De la condición de juego máximo se obtiene: Ds − di ≤ 30 µm. Como di = −46 µm, finalmente resulta: Ds ≤ −16 µm. Ahora se impone la condición de juego mı́nimo, lo que equivale a: Di ≥ −110 µm. Como Di = Ds − T = Ds − 74 µm, resulta: Ds ≥ −36 µm. A continuación, en la Tabla 5.4 buscamos, para un ı́ndice de tolerancia igual a 9, una posición para el agujero cuya desviación superior se encuentre comprendida entre −16 y −36 µm. Dicha posición se corresponde con la letra P, por lo que el agujero quedará definido como 80P9, para el que le corresponde una desviación superior Ds = −32 µm y una desviación infe- rior Di = −106 µm. Las holguras máximas y mı́nimas entre el eje y el agujero elegidos serán: Jmax = −32 − (−46) = 14 µm 30 µm, Jmin = −106 − 0 = −106 µm −110 µm, lo que satisface las condiciones de diseño iniciales. En la Fig. 6.10 se muestra como resultarı́a el acoplamiento indeterminado finalmente diseñado.
  • 89. 6. Ajustes en fabricación mecánica 82 L.R. (0) di = −46 µm Ds = −32 µm Di = −106 µm Eje, 80h8 Agujero, 80P9 Figura 6.10: Esquema del acoplamiento indeterminado resultante del Ejemplo 2. 6.2 INFLUENCIA DE LA TEMPERATURA EN EL CÁLCULO DE AJUSTES En los paı́ses adheridos a la ISO las dimensiones indicadas en los planos suponen medidas a una temperatura de 20◦C. La corrección necesaria de temperatura, viene dada por la fórmula: Lt = L20[1 + α(t − 20)] donde Lt es la longitud a la temperatura t (◦C), L20 es la longitud a 20 ◦C, y α es coeficiente de dilatación térmica del material. En la tabla 6.1 se pueden ver algunos ejemplos de coeficientes de dilatación térmica para varios materiales. Ejemplo Se pretende construir un eje de acero para alojarlo en un cojinete de fricción de bronce de diámetro 30H7. Se desea que en el intervalo usual de temperaturas en servicio (20 a 120 ◦C), el juego del ajuste esté comprendido entre 0,02 mm y 0,2 mm. Determinar una designación codificado ISO para dicho eje que resulte compatible con las condiciones de diseño, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18 × 10−6 ◦C−1 y el del acero de 11 × 10−6 ◦C−1. Teniendo en cuenta que la temperatura de referencia adoptada por el sistema ISO es 20 ◦C, a dicha temperatura, las dimensiones del agujero 30H7 deberán estar comprendi-
  • 90. 6. Ajustes en fabricación mecánica 83 Material α (◦C−1) Aceros de calibres 11,5 × 10−6 Aceros suaves 10,5 × 10−6 Aluminio 22 × 10−6 Cobre 16 × 10−6 Latón 18 × 10−6 Tabla 6.1: Valores aproximados de los coeficientes de dilatación térmica de algunos materiales. das entre 30,021 mm y 30 mm. Además, teniendo en cuenta la diferencia de dilatanción térmica entre eje y agujero, las holguras máxima y mı́nima entre ambos elementos se producirán, respectivamente, a 120 ◦C y a 20 ◦C. Por tanto, a la temperatura de 20 ◦C se impondrá la condición de juego mı́nimo y a la temperatura de 120 ◦C se impondrá la condición de juego máximo. En la Fig. 6.11 se muestran ambas situaciones extremas. Agujero, 30H7 Ds = 21 µm Di = 0 20 ◦C; condición de juego mı́nimo ds di Jmin ≥ 20 µm Eje L.R. (0) Agujero, 30H7 Eje 75 µm 54 µm di + 33 µm Jmax ≤ 200 µm ds + 33 µm 120 ◦C; condición de juego máximo Figura 6.11: Esquema del acoplamiento entre eje y agujero que debe fun- cionar en un rango de temperaturas comprendido entre 20 y 120 ◦ C. Por tanto, de la condición de juego mı́nimo impuesta a 20 ◦C (esquema izquierdo de la Fig. 6.11), resulta: Di − ds ≥ 20 µm,
  • 91. 6. Ajustes en fabricación mecánica 84 por lo que ds ≤ −20 µm. De la Tabla 5.2, la posición de tolerancia que mejor se ajusta a la condición anterior corresponde a la letra ’f’ que tiene una desviación superior ds = −20 µm. Para imponer la condición de juego máximo a 120 ◦C, en primer lugar se han de cal- cular los incrementos en diámetro experimentados en cada caso. En el caso del agujero, dicho incremento podrá calcularse de forma aproximada como: ∆D ≃ 30αa∆T = 30 × 18 × 10−6 × 100 = 0,054 mm = 54 µm. Del mismo modo, en el caso del eje, ∆d ≃ 30αe∆T = 30 × 11 × 10−6 × 100 = 0,033 mm = 33 µm. En el esquema derecho de la Fig. 6.11 se muestra la nueva situación a la temperatura de 120 ◦C. Imponiendo ahora la condición de juego máximo resulta: 75 − (di + 33) ≤ 200 µm. Teniendo en cuenta que di = ds − t = −20 − t, y sustituyendo en la expresión anterior se puede obtener que t ≤ 138 µm. Si pretendemos elegir el acoplamiento más económico posible, de la Tabla 5.1, el ı́ndi- ce de tolerancia del eje deberı́a ser igual a 11, lo que le corresponde una amplitud de tolerancia igual a 130 µm. Por tanto, el acoplamiento más económico que satisface las condiciones de diseño especificadas es: 30H7 f11. Otra opción posible, aunque no tan económica, podrı́a haber sido elegir una calidad para el eje comparable con la calidad del agujero. Ası́, otro posibilidad, aunque menos económica, que satisface las condiciones de diseño especificadas podrı́a ser: 30H7 f6 .
  • 92. 6. Ajustes en fabricación mecánica 85 p r a b Presión exterior, q Presión interior Figura 6.12: Elemento sometido a una presión interior p y una presión exterior q. 6.3 CÁLCULO DE CALADOS En los ajustes fijos se producirán esfuerzos importantes entre los elementos acopla- dos que han de tenerse en cuenta para su correcto diseño y montaje. Para su estudio se utilizará la teorı́a de elasticidad de los cilindros de paredes gruesas que básicamente se puede resumir del siguiente modo. Considérese el elemento genérico mostrado en la Figura 6.12, en el que como consecuencia de los distintos acoplamientos que pudieran producirse aparecerá una presión p en el interior del elemento y una presión q en la zona exterior. A una distancia r del centro del elemento, se presentarán las siguientes tensiones radial σr = −a2p b2 r2 − 1 − b2q 1 − a2 r2 b2 − a2 , (6.1) y tangencial σθ = a2p b2 r2 + 1 − b2q 1 + a2 r2 b2 − a2 . (6.2) El desplazamiento radial u que experimentarı́a el elemento en dicha posición como con- secuencia del acoplamiento vendrá determinado por la siguiente expresión u = r E (σθ − νσr ), (6.3) donde E es el módulo de elasticidad y ν el coeficiente de Poisson. Considérese ahora el ajuste fijo entre un eje y un agujero como el mostrado en la Figura 6.13, en el que aparecerá una presión interior pc como consecuencia de la interac- ción entre ambos elementos. El eje de este acoplamiento se podrı́a considerar como un
  • 93. 6. Ajustes en fabricación mecánica 86 F L D d AGUJERO EJE µpcπdL pcπdL Figura 6.13: Ajuste fijo entre un eje y un agujero. caso particular del elemento de la Figura 6.12 en el que sólo existe una presión exterior q = pc, a = 0 y b = d/2 (Fig. 6.14(a)). Sustituyendo estos valores en las Ec. (6.1), (6.2) y (6.3) para r = d/2, se podrá obtener, respectivamente: σre = −pc, σθe = −pc, y ue = − d 2Ee pc(1 − νe) 0, siendo ue el desplazamiento radial experimento por el eje en r = d/2 como consecuencia del acoplamiento, y Ee y νe el módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del eje, respectivamente. De la misma forma, el agujero de este acoplamiento se podrı́a considerar como un caso particular del elemento de la Figura 6.12 en el que sólo existe una presión interior p = pc, a = d/2 y b = D/2 (Fig. 6.14(b)). Sustituyendo estos valores en las Ec. (6.1), (6.2) y (6.3) para r = d/2, se podrá obtener, respectivamente: σra = −pc, σθa = pc D2 + d2 D2 − d2 , y ua = d 2Ea pc D2 + d2 D2 − d2 + νa ! 0, siendo ua el desplazamiento radial experimento por el agujero en r = d/2 como conse- cuencia del acoplamiento, y Ea y νa el módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del
  • 94. 6. Ajustes en fabricación mecánica 87 b = d/2 a = 0 p = 0 q = pc (a) a = d/2 b = D/2 p = pc q = 0 (b) Figura 6.14: Situación particular en el acoplamiento de la Fig. 6.13: a) eje; b) agujero. agujero, respectivamente. Obsérvese que, como cabı́a esperar, el desplazamiento radial experimentado por el eje es negativo (disminuirá su dimensión como consecuencia del calado) y el desplazamiento radial experimentado por el agujero es positivo (aumentará su diámetro después del acoplamiento). En la Fig. 6.15 se muestra el estado tensional que se produce en este ejemplo. Por tanto, teniendo en cuenta que la interferencia diametral 2U que se producirá en un ajuste fijo entre un eje y un agujero se podrá expresar como (véase el esquema de la Fig. 6.16) 2U = 2ua − 2ue, (6.4) y sustituyendo los valores anteriores se puede obtener: 2U = dpc 1 Ea D2 + d2 D2 − d2 + νa Ea + 1 − νe Ee ! . (6.5) Luego, la presión producida en el acoplamiento resultará: pc = 2U d 1 Ea D2+d2 D2−d2 + νa Ea + 1−νe Ee . (6.6) Si el ajuste debe resistir un esfuerzo exterior F como el indicado en la Figura 6.13, la presión mı́nima pmin de calado necesaria para impedir el despegue de los elementos del
  • 95. 6. Ajustes en fabricación mecánica 88 (b) (a) σre σθe σra σθa Figura 6.15: Estado tensional producido para la situación particular del acoplamiento de la Fig. 6.13: a) eje; b) agujero. Antes del montaje Agujero Agujero Eje 2ua 2U 2|ue| Después del montaje Eje Figura 6.16: Ajuste fijo entre un eje y un agujero. El esquema de la iz- quierda representa la situación antes del montaje y el esque- ma de la derecha representa la situación después del monta- je.
  • 96. 6. Ajustes en fabricación mecánica 89 ajuste deberı́a ser: pmin = F µπdL . (6.7) Debe tenerse en cuenta que la presión producida en el acoplamiento entre el eje y el agujero podrá producir un cierto alisamiento de las irregularidades microgeométricas del perfil, lo que provocará una reducción de la interferencia diametral que en ocasiones puede ser importante. Por tanto, para determinar el apriete mı́nimo necesario entre el eje y el agujero que asegure la presión mı́nima de calado de la Ec. (6.7), se deberı́a considerar el aspecto anterior: Amin = 2U + ∆V, (6.8) donde ∆V = 2Ra + 2Re es la reducción diametral de las dimensiones del eje y del agujero debidas al alisamiento de las irregularidades del perfil durante su acoplamiento, siendo Ra y Re la altura media del perfil del agujero y eje, respectivamente. Sustituyendo la Ec. (6.8) en la Ec. (6.5) para pc = pmin se puede obtener la siguiente expresión: Amin = dpmin 1 Ea D2 + d2 D2 − d2 + νa Ea + 1 − νe Ee ! + ∆V. (6.9) Obviamente, si el apriete entre elementos es excesivo, se producirán deformaciones plásticas del material que pudieran ocasionar el despegue de los elementos acoplados o incluso su rotura. Por tanto, durante el diseño de un acoplamiento es imprescindible verificar si se sobrepasan los lı́mites de fluencia Y del material utilizando. Por ejemplo, empleando el criterio de von-Mises, se ha de cumplir la siguiente condición para evitar el fallo por fluencia del material (σθ − σr )2 + (σr − σz)2 + (σz − σθ)2 ≤ 2Y2 , (6.10) siendo σθ, σr y σz, respectivamente, las tensiones tangencial, radial y longitudinal so- portadas por cada elemento. Otra situación que se suele presentar con bastante frecuencia se representa en la Figura 6.17. En este caso, las tensiones y desplazamientos radiales correspondientes al eje se podrán calcular con las mismas expresiones del caso anterior, y para el caso del agujero se supondrá que la dimensión exterior b correspondiente al caso genérico de la Figura 6.12 es mucho mayor que a (b a). Por tanto, se podrá escribir que b2+a2 ≃ b2 y b2−a2 ≃ b2, e introduciendo esta aproximación en las Ecs. (6.1), (6.2) y (6.3), se obtendrán,
  • 97. 6. Ajustes en fabricación mecánica 90 Agujero Eje Ea νa Ya Ee νe Ye L d Figura 6.17: Acoplamiento de un eje en un taladro realizado en una pared. respectivamente, las siguientes expresiones σra ≃ −pc, σθa ≃ pc, y ua ≃ d 2Ea pc (1 + νa) 0, y siguiendo el mismo planteamiento del caso anterior, se puede deducir que el apriete mı́nimo necesario en el acoplamiento que asegure la presión mı́nima de calado de la Ec. (6.7), resultará: Amin ≃ dpmin 1 + νa Ea + 1 − νe Ee + ∆V. (6.11) Ejemplo Se desea acoplar un eje de acero de diámetro 32h7 en una pieza de cobre en la que hay que practicar un taladro con ı́ndice de tolerancia 8. El acoplamiento debe diseñarse para que sea capaz de resistir una fuerza axial F de 12000 N sin desacoplarse dentro de un margen de temperaturas comprendido entre 0 ◦C y 60 ◦C. La pieza de cobre tiene un diámetro exterior de 50 mm y una profundidad de 60 mm, tal y como se representa en la figura adjunta. Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento seco entre el acero y el cobre es de 0,3, determı́nese:
  • 98. 6. Ajustes en fabricación mecánica 91 1. Completar el dimensionamiento del taladro según codificación ISO. 2. Sugerir un procedimiento de montaje. 3. Obtener los efectos tensionales que podrı́an alcanzarse y sus consecuencias. F (Dimensiones en mm) D = 50 d = 32 L = 60 Datos adicionales: Eje Agujero Lı́mite elástico, E (N/mm2) 215000 110000 Coeficiente de dilatación, α (K−1) 11 × 10−6 17 × 10−6 Lı́mite de fluencia, Y (N/mm2) 190 55 Coeficiente de Poisson, ν 0,3 0,33 La presión de calado mı́nima necesaria para soportar una fuerza axial igual a 12000 N es: pmin = F µπdL = 12000 0,3π × 32 × 60 = 6,63 N/mm2 . El apriete mı́nimo correspondiente, se puede obtener como: Amin = dpmin 1 Ea D2 + d2 D2 − d2 + νa Ea + 1 − νe Ee ! , y sustituyendo los valores correspondientes en la expresión anterior se obtiene: Amin = 0,00593 mm = 5,93 µm. Debido a la diferencia en los coeficientes de dilatación térmico de ambos elementos, existirá un mayor riesgo para el desacoplamiento a la temperatura de 60 ◦C (véase el es- quema de la Fig. 6.18). En el caso del agujero, el incremento en diámetro a la temperatura
  • 99. 6. Ajustes en fabricación mecánica 92 Agujero, 0 ◦C Agujero, (Dimensiones en µm) Eje, 32h7 Eje, 32h7 14 −7 −32 Ds + 22 Di + 22 Ds − 11 Di − 11 60 ◦C Amin ≥ 5,93 −11 Figura 6.18: Influencia de la temperatura en el acoplamiento fijo del eje y agujero del ejemplo de cálculo de calados. de 60 ◦C podrá calcularse de forma aproximada como: ∆D = 32αa∆T = 32 × 17 × 10−6 × 40 = 0,022 mm = 22 µm. Del mismo modo, en el caso del eje, ∆d = 32αe∆T = 32 × 11 × 10−6 × 40 = 0,014 mm = 14 µm. Imponiendo la condición de apriete mı́nimo a dicha temperatura (esquema de la derecha de la Fig. 6.18), se obtiene: −11 − (Ds + 22) ≥ 5,93 µm, de donde: Ds ≤ −38,93 µm. De la Tabla 5.3, la posición de tolerancia que mejor se ajusta a la condición anterior se corresponde con la letra S, para la que Ds = −43 µm. Por tanto, el agujero seleccionado será: 32S8 = 32 −0,043 −0,082 mm. La contracción en diámetro que experimentan ambos elementos a la temperatura de 0 ◦C, se puede obtener del siguiente modo. En el caso del agujero: ∆D ≃ 32αa∆T = 32 × 17 × 10−6 × (−20) = −0,011 mm = −11 µm,
  • 100. 6. Ajustes en fabricación mecánica 93 y en el caso del eje, ∆d ≃ 32αe∆T = 32 × 11 × 10−6 × (−20) = −0,007 mm = −7 µm. Ası́, los aprietes máximos y mı́nimos que se pueden producir dentro del rango de tem- peraturas de funcionamiento, pueden verse en la siguiente tabla: 0 ◦C 60 ◦C Amin 22 µm 10 µm Amax 86 µm 74 µm Puede observárse que en ningún caso el apriete será inferior a 5,93 µm. El procedimiento más adecuado para el montaje, es el calentamiento del agujero. Ası́, si el montaje se realizase con el eje a la temperatura ambiente de 20 ◦C, el agujero deberı́a ser calentado de tal forma que su diámetro mı́nimo (31,918 mm) fuese mayor que el máximo diámetro del eje (32 mm). Por tanto, ∆Dmontaje = 32 − 31,918 = 0,082 mm = ∆Tagujero Dαa. Ası́, ∆Tagujero = 0,082 31,918 × 17 × 10−6 = 151,12 ◦ C. Luego, el agujero debe calentarse hasta Tagujero = 20 + ∆Tagujero = 171,12 ◦ C. A continuación se comprobará si se pueden producir fallas por deformación plástica de alguno de los materiales del acoplamiento. Utilizando el criterio de von-Mises, para que no se produzca deformación plástica, se ha de cumplir la siguiente condición para ambos materiales: (σr − σθ)2 + (σθ − σz)2 + (σz − σr )2 ≤ 2Y2 . De la tabla anterior, se deduce que es a 0 ◦C donde se produce el mayor apriete (86 µm), por tanto habrá que verificar si en esas condiciones se producirán deformaciones plásticas de los materiales. La máxima presión de calado que podrı́a alcanzarse será por tanto pmax = Amax d 1 Ea D2+d2 D2−d2 + νa Ea + 1−νe Ee = 96,12 N/mm2 .
  • 101. 6. Ajustes en fabricación mecánica 94 Las tensiones que se producen en cada elemento serán las siguientes. En el caso del eje: σre = −pmax = −96,12 N/mm2 , σθe = −pmax = −96,12 N/mm2 , σze = 12000 π162 = 14,92 N/mm2 . Si se aplica ahora el criterio de von-Mises: (σre − σθe)2 + (σθe − σze)2 + (σze − σre)2 = 24660 N2 /mm4 2Y2 e = 72200 N2 /mm4 . Por tanto en el eje no se produce fluencia. En el caso del agujero: σra = −pmax = −96,12 N/mm2 , σθa = pmax D2 + d2 D2 − d2 = 229,5 N/mm2 , σza = 12000 π 4 (502 − 322) = 10,35 N/mm2 . Si se aplica ahora el criterio de von-Mises: (σra − σθa)2 + (σθa − σza)2 + (σza − σra)2 = 165428 2Y2 a = 6050 N2 /mm4 . Por tanto en el agujero si se produce fluencia. Para evitar el fallo del material del agujero, se podrı́an proponer dos posibles solucio- nes: 1. Utilizar un material de mayor resistencia para el agujero. Un material con lı́mite de fluencia igual a 288 N/mm2 resolverı́a el problema. Si esta opción no es viable, otra alternativa podrı́a ser la siguiente. 2. Utilizar ı́ndices de tolerancia para eje y agujero de mejor calidad para evitar que los aprietes máximos alcancen valores tan elevados. 6.4 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar los valores de las diferencias del agujero y del eje del ajuste 65H6/p5 e indicar el tipo de ajuste que es. Solución: Apriete. Amin = 13µm, Amax = 45µm.
  • 102. 6. Ajustes en fabricación mecánica 95 2. Determinar los elementos de un acoplamiento agujero-eje de 15 mm de cota nomi- nal, de tal forma que el juego mı́nimo sea de 15 µm. Se adopta el sistema de eje único, y calidades para el agujero y eje respectivamente, 6 y 5. Solución: 15F6 h5 . 3. El extremo derecho de una pieza de acero, de 10 mm de diámetro, se aloja en un cojinete de fricción de bronce de diámetro 10H7. Se desea que en el intervalo usual de temperaturas en servicio (20 ◦C a 120 ◦C), el juego del ajuste esté comprendido entre 0.02 mm y 0.2 mm. Determinar una designación codificada según ISO para dicho eje que resulte compa- tible con las condiciones de diseño, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18 × 10−6 (◦C−1) y el del acero de 11 × 10−6 (◦C−1). NOTA: Considerar como temperatura de referencia para las designaciones ISO de 20◦C. Solución: 10H7 e12.
  • 103. C A P Í T U L O 7 Operaciones con cotas En ocasiones, es necesario determinar la tolerancia dimensional de alguna cota que no ha sido especificada en el plano de diseño [12]. Por ejemplo, si se desea conocer la tolerancia de una cota correspondiente a una pieza bien mecanizada sin medirla, se debe realizar una operación denominada adición de cotas. Por otro lado, si se desea conocer la tolerancia de una cota no especificada en el plano para fabricar o verificar la pieza a partir de ella, se debe realizar una operación denominada transferencia de cotas. En lo que sigue, se expondrán ambos tipos de operaciones. 7.1 ADICIÓN DE COTAS Para describir este tipo de operaciones, se utilizará un caso concreto como el que se muestra en la figura 7.1. La pieza mostrada en la figura ha sido fabricada en base a las cotas L1, L2 y L3 especificadas en el plano de diseño. El problema consiste en determinar la tolerancia de la nueva cota L indicada en el plano suponiendo que la pieza satisface todas las tolerancias de las cotas de diseño. En primer lugar, la dimensión nominal de la nueva cota L se podrá obtener del si- guiente modo: L = L1 − L2 − L3 (7.1) Este tipo de relaciones será denotado como cadena de cotas, y a cada cota de esta relación se le asignará el signo que corresponda. Por ejemplo, la cota L1 será considerada positiva y las cotas L2 y L3 serán consideradas negativas. Una vez calculada la cota nominal, será necesario conocer la posición y amplitud del 96
  • 104. 7. Operaciones con cotas 97 L2 L3 L L1 Figura 7.1: Pieza diseñada en base a las cotas L1, L2 y L3. Nueva cota L. intervalo de la nueva cota. Para ello, habrá que tener que tener en cuenta lo siguiente. Obsérvese que para que la nueva cota L sea lo más grande posible, las cotas L2 y L3 deberı́an ser lo más pequeñas posible y la cota L1 lo más grande posible. Por tanto, se deberá cumplir la siguiente relación: Lmax = L1max − L2min − L3min . Sustituyendo los valores máximos y mı́nimos por sus correspondientes desviaciones su- periores e inferiores, respectivamente, y cotas nominales, se puede obtener L + DsL = L1 + DsL1 − L2 − DiL2 − L3 − DiL3 . Por tanto, teniendo en cuenta la Ecuación (7.1), la desviación superior de la nueva cota se podrá obtener como DsL = DsL1 − DiL2 − DiL3 . De la misma forma, para que la nueva cota L sea lo más pequeña posible, las cotas L2 y L3 deberı́an ser lo más grandes posible y la cota L1 lo más pequeña posible. Por tanto, se deberá cumplir la siguiente relación: Lmin = L1min − L2max − L3max .
  • 105. 7. Operaciones con cotas 98 Sustituyendo los valores máximos y mı́nimos por sus correspondientes desviaciones su- periores e inferiores, respectivamente, y cotas nominales, se puede obtener L + DiL = L1 + DiL1 − L2 − DsL2 − L3 − DsL3 , y teniendo en cuenta la Ecuación (7.1), la desviación inferior de la nueva cota se podrá obtener como DiL = DiL1 − DsL2 − DsL3 . Obsérvese, que la amplitud de tolerancia de la nueva cota, HL, podrá obtenerse fácilmente como HL = DsL − DiL = (DsL1 − DiL2 − DiL3 ) − (DiL1 − DsL2 − DsL3 ), y reagrupando términos, se puede obtener HL = HL1 + HL2 + HL3 . Obsérvese que, siguiendo un razonamiento análogo al que se acaba de exponer, es in- mediata la generalización del método. Ası́, la desviación superior Ds de una cota obtenida por adición se podrá obtener como Ds = X D+ s − X D− i , (7.2) donde los superı́ndices + y − hacen referencia al signo correspondiente de la cadena de cotas. Del mismo modo, la desviación inferior Di de la nueva cota se obtendrá como Di = X D+ i − X D− s , (7.3) y su amplitud de tolerancia H = X H+,− . (7.4) 7.2 TRANSFERENCIA DE COTAS Una situación distinta a la de la sección anterior se presenta cuando es necesario fabricar o verificar una pieza utilizando una cota no especificada en el plano. Téngase en cuenta que aunque para fabricar la pieza no se utilicen tolerancias especificadas en el plano, estas deben ser cumplidas, por lo que la nueva cota ha de satisfacer esta condición. Para verificar si una operación de adición satisface esta condición, supongamos que la pieza de la Fg. 7.2 ha sido fabricada mediante las cotas L1, L3 y la nueva tolerancia L
  • 106. 7. Operaciones con cotas 99 Plano de diseño (especificaciones restrictivas que han de cumplirse) L2 L3 L1 L3 L L1 Plano de fabricación (especificaciones utilizadas durante la fabricación) (a) (b) Figura 7.2: Operación de transferencia. (a) Plaño de diseño. (b) Plano de fabricación. obtenida por adición. A continuación, verificamos si se satisface la especificación de la cota de diseño L2 utilizando de nuevo una operación de adición. Ası́, como L2 = L1−L3−L, resulta: DsL2 = DsL1 − DiL − DiL3 , e introduciendo el valor de DiL obtenido en la sección anterior resulta: DsL2 = DsL2 + HL1 + HL3 , lo que obviamente inclumple la condición de diseño para la cota L2. De la misma forma, se puede obtener que DiL2 = DiL2 − HL1 − HL3 . Por tanto, una operación de adición tal y como se ha aplicado en la sección anterior no podrá ser empleada para este tipo de situaciones. En lo que sigue se indicará el modo en el que ha de aplicarse la operación de adición para cumplir las especificaciones de diseño. Para garantizar que en este tipo de situaciones la nueva cota satisfaga las especifica- ciones del plano de diseño, habrá que forzar explı́citamente tales condiciones. Ası́ para fabricar la pieza de la Figura 7.2 utilizando las cotas L1, L3 y la nueva cota L, habrá que
  • 107. 7. Operaciones con cotas 100 obtener L tal que la cota sustituida L2 satisfaga la condición de diseño dada por sus desviaciones superior DsL2 e inferior DiL2 . Esto se conseguirá siempre que se obtenga la nueva cota L aplicando una operación de adición a la cota sustituida L2. Por tanto, la cadena de cotas a la que habrá de aplicarse la operación de adición será para este caso la siguiente: L2 = L1 − L3 − L. Operando del modo indicado en la sección anterior, las desviaciones correspondientes a la nueva cota L resultan ahora: DsL = DiL1 − DiL2 − DsL3 , DiL = DsL1 − DsL2 − DiL3 . Puede comprobarse que si obtenemos ahora las desviaciones de la cota L2 obviamente deberán coincidir con las especificaciones del plano. Por tanto, una operación de transferencia es una adición aplicada a la cota del plano que se va a sustituir. Obsérvese que el intervalo de tolerancia de la cota L se podrá obtener como HL = DsL − DiL = HL2 − HL1 − HL3 , resultando un intervalo de tolerancia inferior al de la cota sustituida L2. En general, se puede escribir que HCN = HCS − X HCC , (7.5) donde CN, CS y CC hacen referencia, respectivamente, a la nueva cota, cota sustituida y cotas conservadas. Obsérvese que la tolerancia de la nueva cota con la que hay que fabricar la pieza reduce su amplitud con respecto a la cota sustituida, por lo que una operación de transferencia no es recomendable a menos que sea estrictamente necesario realizarla. Obviamente la operación de transferencia estará limitada en el mejor de los casos por la condición HCN 0. (7.6) Ejemplo 1 Para fabricar la pieza considerada, se debe transformar el esquema de la parte superior por el de la parte inferior. Calcular las nuevas cotas D y E.
  • 108. 7. Operaciones con cotas 101 (Dimensiones en mm) A B C D E B = 40 −0,01 −0,02 115 0,1 −0,08 A = 300 −0,03 C = 50 0,03 −0,03 170 0,06 −0,05 300 0,02 −0,02 300 0,02 −0,02 Para transformar la acotación se han de emplear transferencia de cotas. Las cotas sustituidas serán las cotas de 115 y 170 del plano de la parte superior. En la siguiente tabla se muestran las cuatro posibles alternativas que podrı́an utilizarse para realizar la operación de transferencia (véase en la Fig. 7.3 las distintas cadenas de cotas correspon- dientes a las diferentes posibilidades consideradas). Obviamente, la opción que permita obtener las dos cotas nuevas (D y E) con la mayor amplitud de tolerancia, será la opción más deseable desde el punto de vista de fabricación de la pieza.
  • 109. 7. Operaciones con cotas 102 (a) 115 por D (b) 170 por E (D ya ha sido obtenida en la operación anterior) (c) 170 por E ó 115 por E A B C D 115 300 C D E 170 A B 115 170 300 E Figura 7.3: Cadenas de cotas correspondientes a las diferentes posibilida- des consideradas.
  • 110. 7. Operaciones con cotas 103 1.- 115 por D HD = 0,18 − (0,04 + 0,01 + 0,03 + 0,06) = 0,04 mm Válida (Fig. 7.3(a)) 170 por E HE = 0,11 − (0,06 + 0,04) = 0,01 mm Válida (Fig. 7.3(b)) 2.- 170 por E HE = 0,11 − (0,01 + 0,03 + 0,04 + 0,18) = −0,15 mm 0 No válida (Fig. 7.3(c)) 115 por D — — 3.- 115 por E HE = 0,18 − (0,04 + 0,03 + 0,01 + 0,11) = −0,01 mm 0 No válida (Fig. 7.3(c)) 170 por D — — 4.- 170 por D No es viable cerrar la cadena de cotas No válida 115 por E — — Por tanto la primera alternativa es la única que se puede llevar a cabo. En la primera operación de transferencia de cotas, se ha de sustituir la cota de 115 mm por la nueva cota D. La cadena de cotas correspondiente se puede expresar en mm del siguiente modo: 115 = 300 − A − B − C − D. Despejando el valor nominal de la nueva cota D se obtiene: D = 65 mm. Ahora, las desviaciones superior e inferior de la cota D se obtendrán aplicando adicción a la cadena de cotas anterior. Ası́, se puede escribir: 0,1 = 0,02 − (−0,03) − (−0,02) − (−0,03) − DiD , y despejando la desviación inferior de la nueva cota D resulta: DiD = 0 mm.
  • 111. 7. Operaciones con cotas 104 Del mismo modo, se puede escribir: −0,08 = −0,02 − 0 − (−0,01) − 0,03 − DsD , y despejando la desviación superior de la nueva cota D resulta: DsD = 0,04 mm. Por tanto, D = 65 0,04 0 mm. Obsérvese que como se esperaba, la amplitud de tolerancia de la cota D coincide con el valor calculado en la tabla anterior. En la segunda operación de transferencia de cotas, se ha de sustituir la cota de 170 mm por la nueva cota E. La cadena de cotas correspondiente se puede expresar en mm del siguiente modo: 170 = C + D + E. Despejando el valor nominal de la nueva cota E se obtiene: E = 55 mm. Ahora, las desviaciones superior e inferior de la cota E se obtendrán aplicando adicción a la cadena de cotas anterior. Ası́, se puede escribir: 0,06 = 0,03 + 0,04 + DsE , y despejando la desviación superior de la nueva cota E resulta: DsE = −0,01 mm. Del mismo modo, se puede escribir: −0,05 = −0,03 + 0 + DiE , y despejando la desviación inferior de la nueva cota E resulta: DiE = −0,02 mm. Por tanto, E = 55 −0,01 −0,02 mm. Obsérvese que al igual que en el caso anterior, la amplitud de tolerancia de la cota E coincide con el valor calculado en la tabla anterior.
  • 112. 7. Operaciones con cotas 105 Ejemplo 2 En el ejemplo de la figura adjunta, calcular la temperatura máxima que podrı́a alcanzar la pieza, con coeficiente de dilatación lineal α = 11 × 10−6 K−1, para garantizar que la longitud de la cota A no supere en ningún caso el valor 20,11 mm. Las especificaciones de diseño son las siguientes: B = 15g11; C = 10H10; D = 35m6; E = 80 −0,019 −0,525 mm. B C D A E En primer lugar, de las tablas de codificación ISO se obtienen las desviaciones en µm de las cotas especificadas: B = 15g11 = 15−6 −116, C = 10H10 = 1058 0 , D = 35m6 = 3525 9 . Suponiendo que la pieza ha sido bien fabricada de acuerdo a las tolerancias especifi- cadas, para obtener las desviaciones de la nueva cota A se ha de aplicar una operación de adición a la siguiente cadena de cotas: A = E − B − C − D. Ası́, el valor nominal de la nueva cota A resulta igual a 20 mm. La desviación superior: DsA = DsE − DiB − DiC − DiD = −19 − (−116) − 0 − 9 = 88 µm. La desviación inferior: DiA = DiE − DsB − DsC − DsD = −525 − (−6) − 58 − 25 = −602 µm. Obsérvese que la longitud máxima Amax de la cota A a 20 ◦C es igual a 20,088 mm. Por tanto, el incremento de longitud que aún podrı́a experimentar A hasta alcanzar la longitud 20,11 mm es ∆A = 0,022 mm.
  • 113. 7. Operaciones con cotas 106 De este modo, la temperatura de la pieza deberı́a experimentar el siguiente incremento ∆T = ∆A Amaxα = 0,022 20,088 × 11 × 10−6 = 99,56 ◦ C. Luego, la temperatura máxima que puede alcanzar la pieza será: Tmax = 20 + ∆T = 119,56 ◦ C. 7.3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular los lı́mites entre los que podrá variar la cota X en el montaje de la figura (A), y los lı́mites entre los que se debe encontrar la nueva cota D de la figura (B) para cumplir las siguientes especificaciones de diseño: A = 50+200 −0 ; B = 30h8; C = 20h10. C B A X A B D (A) (B) NOTA: las desviaciones de la tolerancia indicadas en la cota A están expresadas en µm. Solución: X= 0+317 0 , D= 50−33 −84.
  • 114. C A P Í T U L O 8 Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites Los calibres de lı́mites son instrumentos que se utilizan para verificar tolerancias di- mensionales en piezas fabricadas mediante una operación simple de ajuste. Para ello, los calibres de lı́mites materializan los extremos de la tolerancia. Un lado del calibre mate- rializa un extremo de la franja de tolerancia haciendo que la mayorı́a de las piezas bien fabricadas produzcan un ajuste móvil (lado pasa del calibre), y el otro materializa el otro extremo haciendo que la mayorı́a de las piezas bien fabricadas produzcan un ajuste fijo (lado no pasa del calibre). La ventaja principal de este tipo de instrumentos es que con una sencilla operación es posible verificar un gran número de piezas sin necesidad de obtener valores numéricos de sus dimensiones. El principal inconveniente es que se ne- cesita una cierta experiencia cuando se trata de verificar piezas con tolerancias pequeñas o piezas de gran tamaño. Cuando las franjas de tolerancia son muy estrechas, el lado no pasa del calibre podrı́a ser introducido en una pieza correctamente fabricada si se ejerce una presión suficientemente alta. Para evitar esto, se acepta que en ningún caso se ejerza una fuerza superior a 5 N durante el proceso de verificación. La fuerza sobre la pieza se debe ejercer con un ligero balanceo para favorecer la introducción de un elemento sobre el otro. Los tipos de calibres de lı́mites más utilizados son los de herradura (Fig. 8.1(a)), para verificar ejes, tampón (Fig. 8.1(b)), para verificar agujeros, y de varilla (Fig. 8.1(c)), para verificar agujeros de grandes dimensiones. Los lados no pasa de este tipo de calibres suelen identificarse con una franja roja. En la Figura 8.2 se muestran otros tipos de 107
  • 115. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 108 dmin dmax dmax dmin Lado pasa Lado no pasa Lado pasa Lado no pasa Lado pasa Lado no pasa dmin dmax (c) Calibre de varilla (b) Calibre tampón (a) Calibre de herradura Figura 8.1: Tipos de calibres de lı́mites. (a) Calibre de herradura. (b) Cali- bre tampón. (c) Calibre de varilla.
  • 116. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 109 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 Calibres de verificación de roscas Calibre tampón plano con extremos esféricos Calibre tampón esférico Calibre tampón plano cilı́ndrico con caras de contacto reducidas Calibre tampón plano cilı́ndrico Calibre de herradura de una boca Figura 8.2: Otros tipos de calibres de lı́mites. calibres de lı́mites. La dureza de los lados del calibre debe ser suficientemente elevada para reducir el desgaste. Los materiales más empleados suelen ser el acero templado, metal duro o recubrimientos de cromo de unos 0,1 mm de espesor. Para evitar que los lados del calibre se deformen con el tiempo es recomendable realizar un tratamiento de normalización y estabilización. El soporte del calibre se suele construir de acero o fundición. Para reducir el peso en los calibres de grandes dimensiones se suelen efectuar agujeros y rebajes que reduzcan su peso sin alterar su rigidez estructural.
  • 117. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 110 8.1 TOLERANCIAS DE LOS CALIBRES DE LÍMITES Las franjas de tolerancias de los calibres lı́mites son simétricas respecto a los lı́mites de la franja de tolerancia que se verifica. Debe tenerse en cuenta que la mayorı́a de las piezas verificadas suelen entrar en el lado pasa del calibre, mientras que en el lado no pasa ocurre lo contrario. Esto provocará un desgaste gradual del lado pasa del calibre, por lo que para compensar el desgaste y aumentar su periodo de uso se suele prever un sobredimensionamiento del lado pasa del calibre y admitir un cierto desgaste adicio- nal. Esto podrı́a provocar que un calibre nuevo pudiera rechazar piezas correctamente fabricadas (por ejemplo, el lado pasa de un calibre de herradura nuevo no entrarı́a en un eje cuya dimensión se aproximara sin sobrepasar el lı́mite superior de la tolerancia es- pecificada). De la misma forma, un calibre usado podrı́a admitir piezas incorrectamente fabricadas. Por otro lado, la amplitud de las tolerancias de los calibres de lı́mites deben ser su- ficientemente estrechas. Como ejemplo, un calibre utilizado para verificar piezas con ı́ndice de tolerancia igual a 8 debe poseer un ı́ndice de tolerancia igual o menor a 4. En la Tabla 8.1 se muestra la amplitud de la franja de tolerancia para diferentes tipos de cali- bres de lı́mites y distintas calidades de las piezas que se pretenden verificar. Además, la Intervalo de tolerancia (µm) Índice de tolerancia de la pieza 5 6 7 8-10 11-12 13-16 Calibre tampón cilı́ndrico - 2 3 3 5 7 Calibre de herradura 2 3 3 4 5 7 Calibre de varilla con extremos esféricos - 2 2 2 4 6 Calibre tampón plano-cilı́ndrico - 2 3 3 5 7 Calibre tampón plano-esférico - 2 2 2 4 6 Calibre de anillo - 3 3 4 5 7 Calibre tampón patrón regulable - 1 1 2 2 3 Disco patrón para calib. herradura - 1 1 2 2 3 Anillo patrón regulable - 1 1 2 2 3 Tabla 8.1: Amplitud de la franja de tolerancia de los calibres de lı́mites. calidad superficial debe ser también de muy buena calidad. Generalmente se recomiendo que la desviación media aritmética de la superficie del calibre sea siempre inferior a 0,2
  • 118. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 111 H Desviaciones microgeométricas del perfil Figura 8.3: Acabado superficial de los calibres de lı́mites. µm y en ningún caso superior a T/10, siendo T la amplitud de la franja de tolerancia de la pieza verificada (véase la Figura 8.3). En lo que sigue se indicarán los criterios utilizados para determinar las desviaciones de tolerancia de los calibres de lı́mites. 8.2 CALIBRES DE HERRADURA Como se acaba de indicar, este tipo de calibres se emplea para la verificación de ejes. Constan de dos partes. El lado pasa del calibre debe coincidir, aproximadamente, con el lı́mite superior de la tolerancia que verifica. De la misma forma, el lado no pasa ha de aproximarse al lı́mite inferior de la tolerancia. En ocasiones, cuando el diámetro de las piezas que se verifican es grande, los lados pasa y no pasa del calibre suelen estar separados en forma de anillos independientes. Para aumentar el periodo de uso de este tipo de calibres, la posición central de la franja de tolerancia del lado pasa de un calibre nuevo se situa un valor z1 por debajo del lı́mite superior de la tolerancia de la pieza verificada. Además, se admite que el lado pasa del calibre usado pueda rebasar hasta un cierto valor y1 el lı́mite superior de la tolerancia de la pieza. En la figura 8.4 se representan los lı́mites de tolerancia de un calibre de herradura. En la Tabla 8.2 se muestran las desviaciones de la posición de la franja de tolerancia de los calibres de lı́mites. El parámetro a1 de la Tabla 8.2 se utiliza para corregir las posiciones de tolerancia del calibre compensando los errores de medida cuando las dimensiones de las piezas que se verifican son superiores a 180 mm. Para hacer esta corrección se utiliza el siguiente cri- terio conservador: “siempre será preferible rechazar piezas bien fabricadas que aceptar
  • 119. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 112 Desviaciones de tolerancia del calibre (µm) IT → 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Grupo (mm) z y z y z y z y z z z z z z z z ↓ z1 y1 z1 y1 z1 y1 z1 y1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 ≤ 3 1 1 1 1,5 1 1,5 1,5 1,5 2 3 5 5 10 10 20 20 40 40 3 ≤ 6 1 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 3 3 6 6 12 12 24 24 48 48 6 ≤ 10 1 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 3 3 7 7 14 14 28 28 56 56 10 ≤ 18 1,5 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 2 4 4 8 8 16 16 32 32 64 64 18 ≤ 30 2 2 2 3 1,5 3 3 3 5 4 9 9 19 19 36 36 72 72 30 ≤ 50 2 2 2,5 3,5 2 3 3,5 3 6 5 11 11 22 22 42 42 80 80 50 ≤ 80 2 2 2,5 4 2 3 4 3 7 7 13 13 25 25 48 48 90 90 80 ≤ 120 2,5 3 3 5 3 4 5 4 8 6 15 15 28 28 54 54 100 100 120 ≤ 180 3 3 4 6 3 4 6 4 9 6 18 18 32 32 60 60 110 110 180 ≤ 250 4 3 5 7 4 5 7 6 12 7 21 24 40 45 80 100 170 210 250 ≤ 315 5 3 6 8 5 6 8 7 14 9 24 27 45 50 90 110 180 240 315 ≤ 400 6 4 7 10 6 6 10 8 16 9 28 32 50 65 100 125 210 280 400 ≤ 500 7 4 8 11 7 7 11 9 18 11 32 37 55 70 110 145 240 320 Desviaciones de tolerancia del calibre (µm) IT → 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Grupo (mm) a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a ↓ y′ a1 y′ 1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 180 ≤ 250 2 2 3 3 3 3 4 4 4 7 7 10 10 15 15 25 25 45 45 70 70 110 110 250 ≤ 315 2 3 3 3 4 3 6 6 6 9 9 15 15 20 20 35 35 55 55 90 90 140 140 315 ≤ 400 2 4 2 2 6 2 7 7 7 11 11 15 15 30 30 45 45 70 70 110 110 180 180 400 ≤ 500 2 5 2 2 7 2 9 9 9 14 14 20 20 35 35 55 55 90 90 140 140 220 220 Tabla 8.2: Desviación de la posición de la franja de tolerancia de los cali- bres de lı́mites.
  • 120. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 113 Lado no pasa Lado pasa H z1 Pieza H y1 Usado Nuevo Figura 8.4: Lı́mites de tolerancia de un calibre de herradura. y′ 1 a1 a1 Lado no pasa Lado pasa Pieza Usado Nuevo H z1 y1 H Figura 8.5: Lı́mites de tolerancia de un calibre de herradura para dimen- siones superiores a 180 mm. piezas mal fabricadas” (véase el ejemplo de la Fig. 8.5). Por tanto, la máxima desviación aceptada del lado pasa del calibre usado será igual a y′ 1 = y1 − a1 y el centro de la franja de tolerancia del lado no pasa se situará a una distancia igual al parámetro a1 por encima del lı́mite inferior de la tolerancia de la pieza verificada. Debe mencionarse que sólo se preven valores no nulos del parámetro y1 para ı́ndices de tolerancia de las piezas verificadas inferiores a 9. Por tanto, para ı́ndices de tolerancia iguales o superiores a 9 el parámetro y1, debe considerarse igual a cero. En ocasiones, también se puede exigir un valor nulo de este parámetro con ı́ndices de tolerancia infe- riores a 9, para lo que se ha de especificar en el calibre con una letra N. Por ejemplo, un calibre de herradura para verificar ejes de tolerancia 30g6 en el que se exija que y1 sea igual a cero, será identificado como 30g6N.
  • 121. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 114 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 H H z y Lado pasa nuevo usado Pieza Lado no pasa Figura 8.6: Lı́mites de tolerancia de un calibre tampón. 8.3 CALIBRES TAMPÓN Los calibres tampón se emplean para la verificación de agujeros. En este caso, el lado pasa del calibre debe coincidir, aproximadamente, con el lı́mite inferior de la tolerancia que verifica. De la misma forma, el lado no pasa ha de aproximarse al lı́mite superior de la tolerancia de la pieza. Cuando el diámetro de las piezas que se verifican es grande, y al igual que en el caso de los calibres de herradura, los lados pasa y no pasa del calibre suelen estar separados. Para aumentar el periodo de uso de este tipo de calibres, la posición central de la franja de tolerancia del lado pasa de un calibre nuevo se encuentra un valor z por encima del lı́mite inferior de la tolerancia de la pieza verificada. Además, se admite que en el lado pasa de un calibre usado, su franja de tolerancia quede a una distancia y por debajo del lı́mite inferior de la tolerancia de la pieza. En la figura 8.6 se representan los lı́mites de tolerancia de un calibre tampón. En la Tabla 8.2 también se pueden encontrar las desviaciones de la posición de la franja de tolerancia correspondientes a los calibres tampón. Para dimensiones superiores a 180 mm se utiliza el factor corrector a siguiendo el mismo criterio conservador mencionado en la sección anterior (véase el ejemplo de la Fig 8.7). Por tanto, la máxima desviación aceptada del lado pasa del calibre usado será igual a y′ = y − a y el centro de la franja de tolerancia del lado no pasa se situará ahora a una distancia igual al parámetro a por debajo del lı́mite superior de la tolerancia de la pieza verificada.
  • 122. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 115 a y′ H z y Lado pasa nuevo usado Pieza Lado no pasa H a Figura 8.7: Lı́mites de tolerancia de un calibre tampón para dimensiones superiores a 180 mm. Ejemplo 1 Determinar las dimensiones lı́mites de un calibre de herradura para la verifi- cación de piezas de dimensiones 30h7. Las dimensiones máxima y mı́nima del eje 30h7 son, respectivamente, 30 y 29,979 mm. El calibre de herradura necesario para su verificación tendrá una amplitud de tole- rancia en cada uno de su lado de H = 3 µm (Tabla 8.1). Además, para aumentar la vida del lado pasa del calibre se admite una sobremedida de z1 = 3 µm y un desgaste máximo admisible de y1 = 3 µm (Tabla 8.2). Por tanto, las dimensiones máxima y mı́nima de cada lado del calibre serán las siguientes. Lado no pasa: Dmin = 29,979 − H/2 = 29,979 − 0,0015 = 29,9775 mm. Dmax = 29,979 + H/2 = 29,979 + 0,0015 = 29,9805 mm. Lado pasa nuevo: Dmin = 30 − z1 − H/2 = 30 − 0,003 − 0,0015 = 29,9955 mm. Dmax = 30 − z1 + H/2 = 30 − 0,003 + 0,0015 = 29,9985 mm. Lado pasa usado:
  • 123. 8. Verificación de tolerancias dimensionales: calibres de lı́mites 116 Dmax = 30 + y1 = 30 + 0,003 = 30,003 mm. Ejemplo 2 Determinar las dimensiones lı́mites de un calibre tampón para la verificación de piezas de dimensiones 25J8. Las dimensiones máxima y mı́nima del agujero 25J8 son, respectivamente, 25,020 y 24,987 mm. El calibre tampón necesario para su verificación tendrá una amplitud de tolerancia en cada uno de sus lados de H = 3 µm (Tabla 8.1). Además, para aumentar la vida del lado pasa del calibre se admite una sobremedida de z = 5 µm y un desgaste máximo admisible de y = 4 µm (Tabla 8.2). Por tanto, las dimensiones máxima y mı́nima de cada lado del calibre serán las siguientes. Lado no pasa: dmin = 25,020 − H/2 = 25,020 − 0,0015 = 25,0185 mm. dmax = 25,020 + H/2 = 25,020 + 0,0015 = 25,0215 mm. Lado pasa nuevo: dmin = 24,987 + z − H/2 = 24,987 + 0,005 − 0,0015 = 24,9905 mm. dmax = 24,987 + z + H/2 = 24,987 + 0,005 + 0,0015 = 24,9935 mm. Lado pasa usado: dmin = 24,987 − y = 24,987 − 0,004 = 24,983 mm.
  • 124. C A P Í T U L O 9 Acabado superficial Básicamente, las desviaciones del perfil real de una pieza (véase el ejemplo de la Figu- ra 9.1) con respecto al perfil teórico se pueden dividir en desviaciones dimensionales y de forma (o macrogeométricas), por un lado, y de acabado superficial (o microgeométricas), por otro. Las principales diferencias entre las desviaciones dimensionales y de forma y las desviaciones de acabado son las que se indican a continuación: Desviaciones dimensionales y de forma: • Caracterı́sticas macrogeométricas de la pieza. • Afectan a la función de la pieza y a su intercambiabilidad. Desviaciones de acabado: • Caracterı́sticas microgeométricas de la pieza. • Afectan a la estanqueidad, rozamiento o desgaste de la pieza. En general, se puede decir que las tolerancias dimensionales son las de mayor am- plitud, seguidas por las tolerancias de forma y finalmente las de acabado superficial. De forma orientativa, la relación entre las tres desviaciones que se acaban de mencionar para una pieza de calidad media podrı́an ser los siguientes Tolerancia dimensional: ±0,050 mm Tolerancia de forma: ±0,020 mm Tolerancia de acabado: 0,005 mm 117
  • 125. 9. Acabado superficial 118 Desviación de forma Longitud básica Perfil teórico Desviaciones de rugosidad Desviación dimensional de acabado Desviación y x Longitud básica, l Figura 9.1: Clasificación de los defectos geométricos de una pieza.
  • 126. 9. Acabado superficial 119 Dimensión máxima (mm) Ra (µm) 3 18 80 250 500 0,125 5 0,2 6 5 0,32 7 6 5 0,5 8 7 6 5 0,8 9 8 7 6 5 1,25 10 9 8 7 6 2,0 11 10 9 8 7 3,2 12 11 10 9 8 Tabla 9.1: Relación orientativa entre Ra y la tolerancia dimensional (IT). Debe mencionarse que en los planos no suele ser necesario indicar tolerancias para todas las desviaciones geométricas anteriores. Téngase en cuenta que la obtención de calidades dimensionales estrechas generalmente conlleva la obtención de desviaciones de forma y de acabado superficial reducidas. De forma orientativa, la relación entre el valor de Ra y la tolerancia dimensional (especificada mediante el ı́ndice de tolerancia IT según la norma ISO) se muestra en la tabla 9.1. Para poder separar los defectos macro y microgeométricos se utiliza como criterio la longitud básica de exploración ℓ (Fig. 9.1), tal que se consideran defectos dimensionales o de forma a aquellos que se producen para longitudes superiores a ℓ y se consideran defectos de acabado superficial a aquellos que se producen para longitudes inferiores a ℓ. En la Fig. 9.2 se muestra el ejemplo de palpado de un perfil y un sistema mecánico de filtrado o separación de defectos. Los valores de la longitud básica están normalizados y se pueden elegir de entre una gama relativamente amplia dependiendo de los criterios utilizados por el usuario para separar los distintos tipos de desviaciones. A continuación se expondrán los parámetros más utilizados para cuantificar el valor de las desviaciones microgemétricas del perfil a lo largo de la longitud básica.
  • 127. 9. Acabado superficial 120 d Pieza Patı́n Patı́n Palpador Amortigua defectos de gran longitud de onda Palpador Perfil registrado Perfil real d Figura 9.2: Palpador y sistema mecánico de filtrado. 9.1 PARÁMETROS DE MEDIDA DE RUGOSIDAD Probablemente, el parámetro más utilizado para medir rugosidad sea la desviación media aritmética del perfil, Ra. Este parámetro se define como la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones del perfil en los lı́mites de la longitud básica. Ası́, Ra = 1 ℓ ℓ Z 0 |y(x)|dx, (9.1) o para perfiles definidos por n puntos discretos a lo largo de ℓ, Ra = 1 n n X i=1 |yi|. (9.2) El significado gráfico de Ra puede verse claramente en la Fig. 9.3. Ra representa la altura del rectángulo, de base ℓ, cuyo valor del área es el mismo que el área encerrado por las irregularidades del perfil y la lı́nea media. La lı́nea media, o lı́nea central, es aquella que divide al perfil en dos regiones de igual área a lo largo de ℓ. Por tanto, su valor se podrı́a obtener imponiendo la siguiente condición: X |A+ | = X |A− |, (9.3) y el valor Ra se podrı́a calcular como Ra = P |A+| + P |A−| ℓ = 2 P |A+| ℓ = 2 P |A−| ℓ . (9.4)
  • 128. 9. Acabado superficial 121 Ra Ry Rp Rm Longitud básica, l x y ym Lı́nea central Ra = 1 l x0+l Z x0 |y|dx = P |A+ | + P |A− | l A+ A+ A− A− Longitud básica, l x y Lı́nea central ym Figura 9.3: Lı́nea media o lı́nea central del perfil.
  • 129. 9. Acabado superficial 122 y x Longitud básica, l Rz = (R1 + R3 + R5 + R7 + R9) − (R2 + R4 + R6 + R8 + R10) 5 R1 R3 R5 R7 R9 R2 R4 R6 R8 R10 Figura 9.4: Altura media del perfil. El parámetro Ra básicamente se utiliza para determinar propiedades tales como: calidad del proceso de fabricación, valor actual del desgaste en las herramientas de corte (en procesos de mecanizado), estanqueidad o rodadura. Otros parámetros de medida de rugosidad son, por ejemplo (véase el ejemplo de la Fig. 9.3), Rp (distancia entre la cresta más alta y la lı́nea media), Rm (distancia entre el valle más profundo y la lı́nea media), la altura máxima del perfil ó Ry (distancia entre la cresta más alta y el valle más profundo) y la altura media del perfil ó Rz (véase el ejemplo de la Fig. 9.4), que amortigua posibles defectos muy localizados del perfil a lo largo de ℓ. Sin embargo, estos parámetros no son apropiados para determinar propiedades tan importantes como las relativas a la capacidad de lubricación de una superficie o a su
  • 130. 9. Acabado superficial 123 λ Ry λ Ry λ Ry Buena resistencia al desgaste Baja capacidad de lubricación Alta capacidad de lubricación Mala resistencia al desgaste Figura 9.5: Superficies con igual valor de Ry y diferente comportamiento frente al desgaste y a la capacidad de lubricación. resistencia al desgaste. Por ejemplo, en la Fig. 9.5 se representan tres perfiles con el mismo valor de Ry pero con un comportamiento claramente diferente frente al desgaste o a la capacidad de lubricación. Para determinar la resistencia al desgaste o capacidad de lubricación de una superficie, se ha de utilizar el perfil portante tp de la superficie. El perfil portante representa la longitud de material cortado por una lı́nea imaginaria paralela a la lı́nea media a distintas alturas del perfil (véase el ejemplo de la Fig. 9.6). Obsérvese que un perfil portante cóncavo (Fig. 9.6(b)) representa a una superficie con baja resistencia al desgaste pero con una alta capacidad de lubricación, mientras que un perfil portante convexo (Fig. 9.6(c)) representa justo lo contrario.
  • 131. 9. Acabado superficial 124 (a) (b) (c) y Longitud básica, l 100 %l tp( %) y Longitud básica, l 100 %l tp( %) Baja resistencia al desgaste Alta resistencia al desgaste y Longitud básica, l 100 %l Alta capacidad de lubricación Baja capacidad de lubricación tp( %) Figura 9.6: Perfil portante. (a) Caso normal. (b) Caso con baja resistencia al desgaste y alta capacidad de lubricación. (c) Casos con alta resistencia al desgaste y baja capacidad de lubricación.
  • 132. 9. Acabado superficial 125 Rugosidad, Ra (µm) Clase de rugosidad 50 N12 25 N11 12,5 N10 6,3 N9 3,2 N8 1,6 N7 0,8 N6 0,4 N5 0,2 N4 0,1 N3 0,05 N2 0,025 N1 desbastes: N10 a N12; acabados: N9 a N6; acabados (abrasión): N5 a N1 Tabla 9.2: Calidades ISO de rugosidad. 9.2 ESPECIFICACIONES DE ACABADO SUPERFICIAL Los valores de acabado superficial se especifican gráficamente mediante un sı́mbolo como el representado en la Fig. 9.7(a). Obsérvese que según el proceso utilizado para conseguir un determinado acabado superficial, el sı́mbolo empleado puede cambiar li- geramente (Fig. 9.7(b)). Junto con el sı́mbolo, puede aparecer información adicional tal como, el valor de Ra (en su lugar se puede emplear la codificación normalizada ISO que se representa en la tabla 9.2), proceso de fabricación, tratamiento térmico o recubrimiento utilizado, longitud básica a emplear en la medida de la rugosidad, sobremedida (o creces) para operaciones de mecanizado posteriores o dirección de las estrı́as del mecanizado (véase alguno de los sı́mbolos más utilizados en la Fig. 9.7(c)). Este tipo de codificación cuantitativa sustituye a la antigua codificación de acabado superficial (tabla 9.3) basada en triángulos (a mayor número de triángulos, mejor acabado superficial).
  • 133. 9. Acabado superficial 126 (a) (b) (c) C R M Creces de mecanizado Valor de Ra Dirección de las estrı́as de mecanizado Longitud básica Proceso de fabricación, tratamiento térmico, etc. Proceso de cualquier tipo Proceso de conformación plástica Proceso de mecanizado Figura 9.7: Simbologı́a de acabado superficial. (a) Caso general. (b) Dife- rentes sı́mbolos para representar distintos procesos de fabri- cación. (c) Dirección de las estrı́as de mecanizado.
  • 134. 9. Acabado superficial 127 Sı́mbolo Tipo de acabado Ra aproximado (µm) ▽ ▽ ▽▽ super acabado Ra 0,2 ▽ ▽ ▽ muy fino 0,2 Ra 0,8 ▽▽ fino 0,8 Ra 3,2 ▽ basto 3,2 Ra 12,5 ∼ grueso 12,5 Ra 50 ninguno sin acabado 50 Ra Tabla 9.3: Antigua codificación de acabado superficial. Ejemplo 1 En un rugosı́metro se obtiene el perfil de la figura adjunta en una longitud básica ℓ = 0,8 mm. La amplificación vertical del registro gráfico del perfil es de 50000 y la amplificación horizontal de 100. Se pide: 1. Calcular el parámetro de rugosidad Ra. 2. Calcular los parámetros locales Ry, Rp y Rm. 3. Obtener el diagrama del perfil portante. Pieza Aire 8 8 8 8 8 8 8 8 8 32 80 5 5 5 5 40 En primer lugar, se ha de calcular la altura de la lı́nea media y0 que ha de cumplir la siguiente condición R ℓ ydx = 0. Para ello, si consideramos como origen de ordenadas la lı́nea discontinua inferior del registro gráfico (véase la figura adjunta), la ecuación anterior proporciona el siguiente resultado:
  • 135. 9. Acabado superficial 128 32 5 32 16 y0 Rp Rm Ry yo P A+ P A− 40 − y0 (40 − y0)32 = 48y0 + 1 2 × 16 × 5. Despejando el valor de y0 resulta: y0 = 15,5 mm. Finalmente, el valor de la desviación media aritmética del perfil Ra se podrá obtener: Ra = 1 ℓ Z ℓ 0 |y|dx = P A+ + P A− ℓ = 48 × 15,5 + 1 2 × 16 × 5 + (40 − 15,5)32 80 × 50000 = 0,000392 mm = 0,392 µm. Por otro lado, los parámetros locales de rugosidad resultantes son: Rp = 40 − y0 + 5 50000 = 0,00059 mm = 0,59 µm. Rm = y0 + 5 50000 = 0,00041 mm = 0,41 µm. Ry = Rp + Rm = 1 µm. Para obtener el perfil portante, en primer lugar se construye una tabla donde en la primera columna se representa la altura en porcentaje del plano de corte y en la segunda columna la cantidad de material cortado en tanto por ciento. Ası́, yc ( %) x/ℓ ( %) 0 100 10 60 20 40 80 40 90 20 100 0
  • 136. 9. Acabado superficial 129 A continuación se representan en un gráfico los resultados de la tabla anterior, resultan- do: 100 50 0 50 100 y( %) x( %) Puede observarse que un pequeño desgaste en el perfil mejorarı́a significativamente su calidad superficial. Ejemplo 2 Determinar, para el perfil de la figura, la desviación media aritmética (Ra) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). y0 x (µm) y (µm) 44 88 0 50 150 250 350 450 60◦ Al igual que en el ejercicio anterior, en primer lugar se ha de calcular la altura de la lı́nea media y0 (véase la figura adjunta) que ha de cumplir la siguiente condición R ℓ ydx = 0. La ecuación anterior proporciona el siguiente resultado: 4 × 1 2 × 2 × (88 − y0) tan60 (88 − y0) + 2 × 1 2 × 2 × (44 − y0) tan 60 (44 − y0) = 6 × 1 2 × 2 × y0 tan 60 y0. Véase la descomposición mostrada en la siguiente figura
  • 137. 9. Acabado superficial 130 y0 x (µm) y (µm) 44 88 0 50 150 250 350 450 2y0 tan 60 2(44−y0) tan 60 2(88−y0) tan 60 60◦ Operando adecuadamente se obtiene 440y0 = 17424, lo que proporciona el siguiente resultado para la altura de la lı́nea media y0 = 39,6 µm. Obsérvese que si y0 hubiese resultado mayor que 44 µm, la topologı́a del problema serı́a diferente y habrı́a que replantear de nuevo la ecuación de la lı́nea media. A continuación, el valor de la desviación media aritmética del perfil Ra se podrá obte- ner como Ra = 1 ℓ Z ℓ 0 |y|dx = P A+ + P A− ℓ = 4 × (88−39,6)2 tan 60 + 2 × (44−39,6)2 tan 60 + 6 × 39,62 tan 60 500 = 21,73 µm. Finalmente, la altura de la lı́nea media a cresta resultará Rp = 88 − y0 = 88 − 39,6 = 48,4 µm. Ejemplo 3 En una operación de cilindrado en torno paralelo se utiliza una herramienta como la mostrada en la figura adjunta para mecanizar una pieza cilı́ndrica. Si la herra- mienta, situada en la periferia de la pieza y penetrando lo suficiente para eliminar una capa de material de un determinado espesor, avanza 0,15 mm en la dirección axial del eje de giro de la pieza por cada vuelta de la pieza, calculése la desviación media aritmética del perfil resultante en la pieza (supónganse despreciables las irregularidades del perfil producidas por factores externos tales como vibraciones de la bancada de la máquina, irregularidades del material de la pieza, defectos de la herramienta de corte, etc.)
  • 138. 9. Acabado superficial 131 Rp Ry Rm Superficie generada (dimensiones en µm) 75 150 S3 S1 S2 Pieza Herramienta Superficie generada 0,15 mm 15◦ 15◦ A B C D Obviamente, por simetrı́a, se ha de cumplir que Rp = Rm = 1 2 Ry. Es decir, la lı́nea media se situará justo a mitad de altura del perfil. Además, la longitud de los segmentos AB y BC se pueden obtener como AB = Ry tan 15, BC = Ry tan15 . Teniendo en cuenta además que AC = 150 = AB + BC, se obtiene finalmente la siguiente relación Ry tan 15 + Ry tan15 = 150. Por tanto, la altura máxima del perfil resultará Ry = 150 tan 15 + 1/ tan 15 = 37,5 µm. Por otro lado, el área positiva S1 se podrá obtener como S1 = 1 2 75 × 1 2 × 37,5 = 703,125 µm2 . Obviamente, la suma de las áreas negativas ha de coincidir con S1 S2 + S3 = S1 = 703,125 µm2 . Finalmente, el valor de Ra resultante de esta operación de mecanizado será: Ra = S1 + S2 + S3 150 = 2 × 703,125 150 = 9,375 µm.
  • 139. 9. Acabado superficial 132 9.3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar, para el perfil de la figura, el parámetro de rugosidad de desviación media aritmética (Ra) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). y (µm) x (µm) 0 80 40 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 Solución: Ra = 33,06 µm (ym = 36,36 µm), Rp = 43,64 µm. 2. En una operación de cilindrado como la mostrada en la figura adjunta, calcúlese el avance f de la herramienta en la dirección axial del eje de giro de la pieza por cada vuelta de la pieza necesario para conseguir un acabado superficial de la pieza correspondiente a una desviación media aritmética del perfil de 10 µm (supónganse despreciables las irregularidades del perfil producidas por factores externos tales como vibraciones de la bancada de la máquina, irregularidades del material de la pieza, defectos de la herramienta de corte, etc.) Pieza Herramienta Superficie generada 10◦ 10◦ f Rp Ry Rm S3 S1 S2 Superficie generada f f /2 A B C D Solución: f = 233,92 µm/vuelta.
  • 140. C A P Í T U L O 10 Prácticas de Laboratorio 10.1 MEDIDA Y ACOTACIÓN DE UNA PIEZA Objetivos En esta práctica se medirán las cotas significativas de una pieza y se establecerán la codificaciones ISO correspondientes. Material necesario Para la ejecución de la práctica se necesitará el siguiente material: Micrómetro de exteriores de apreciación igual a 0,01 mm; pie de rey de apreciación igual a 0,01 mm; Procedimiento Medir 10 veces cada cota de la pieza. Para ello se usará el instrumento más apropia- do para cada caso. Aplicar el criterio de rechazo de Chauvenet a cada muestra de datos. Obtener la medida final de cada cota y su correspondiente incertidumbre para un factor de incertidumbre K = 2 suponiendo que no existen desviaciones significativas en la escala de los intrumentos utilizados. Obtener la codificación ISO que mejor se ajuste a cada medida obtenida. 133
  • 141. 10. Prácticas de Laboratorio 134 Hacer un croquis de la pieza medida con las codificaciones ISO obtenidas.
  • 142. 10. Prácticas de Laboratorio 135 10.2 CALIBRACIÓN DE UN INSTRUMENTO DE MEDIDA Objetivos En esta práctica se calibrará un micrómetro de exteriores. Material necesario Para la ejecución de la práctica se necesitará el siguiente material: un juego de bloques patrón de calidad 0; un micrómetro de apreciación igual a 0,01 mm; Procedimiento Elegir tres puntos del campo de medida del micrómetro, tratando de cubrir los valores centrales y extremos del mismo (procurar que la última cifra significativa sea diferente en cada campo seleccionado). Montar tres grupos de bloques patrón cuya dimensión más probable coincida con los valores seleccionados anteriormente (como máximo se podrán acoplar 3 bloques en cada grupo). Realizar 10 mediciones sobre cada grupo de bloques patrón. Aplicar el criterio de rechazo de Chauvenet a cada muestra de datos. Calcular las correcciones de calibración y las incertidumbres en cada punto del campo de medida para n = 3 (número de reiteraciones que se efectuarán con el instrumento calibrado sobre las piezas que se deseen medir), tomando k = k0 = 3. Método operativo “MICRÓMETRO” Apreciación = TOMA DE DATOS:
  • 143. 10. Prácticas de Laboratorio 136 Punto 1 Punto 2 Punto 3 X1 = X2 = X3 = s1 = s2 = s3 = APLICACIÓN DEL CRITERIO DE RECHAZO: Punto 1 Punto 2 Punto 3 X + k(n) × s X − k(n) × s CÁLCULO DE CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN: Punto 1 Punto 2 Punto 3 ∆Xc Corrección global, ∆Xc = CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES (n = 3):
  • 144. 10. Prácticas de Laboratorio 137 Punto 1 Punto 2 Punto 3 u2 0(µm) = (0,06 + 0,0005 × X0(mm))2 s2 c nc s2 m 3 ≃ s2 c 3 δ2 j 9 = (∆Xc −∆Xcj )2 9 u2 = u2 0 + s2 c nc + s2 m 3 + δ2 j 9 u umáx = INCERTIDUMBRE GLOBAL (n = 3): U(n = 3) = u × K ≃
  • 145. 10. Prácticas de Laboratorio 138 10.3 MEDICIÓN DEL DIÁMETRO INTERIOR DE UN CASQUILLO Objetivos En esta práctica se compararán dos procedimientos diferentes para la medición del diámetro interior D de un casquillo cilı́ndrico. Material necesario Para la ejecución de la práctica se necesitará el siguiente material: un proyector de perfiles; una máquina medidora de alturas de apreciación 0,001 mm e incertidumbre asocia- da igual a 0,005 mm (k = 2); dos bolas calibradas de diámetros D1 = D2 = 12, 000 ± 0, 005 mm (k = 2); una mesa de planitud. Procedimiento A continuación se describen los dos procedimientos empleados en esta práctica. Método de la flecha Para determinar el diámetro interior D del casquillo se utilizará un proyector de perfi- les con el que se podrán obtener los valores de la cuerda c y flecha f de un determinado sector circular. Estos valores se determinarán a partir de las coordenadas de los puntos A, B y T indicados en la figura adjunta, donde T es el punto de tangencia entre el sector circular y una lı́nea paralela a la que une los puntos A y B.
  • 146. 10. Prácticas de Laboratorio 139 f c A(xA, yB) T(xT , yT ) B(xB, yB) D Anillo Interior Se supondrá que el proyector de perfiles no presenta desplazamientos de escala sig- nificativos entre los puntos mencionados anteriormente, por lo que las distancias entre dichos puntos, que determinan las longitudes de la cuerda y de la flecha que se quieren determinar, no necesitan ser corregidas. Para determinar la variabilidad de las medidas obtenidas con el proyector de perfiles se realizará una prueba de repetibilidad efectuan- do 10 mediciones sobre el punto que presente un mayor grado de dispersión en sus medidas. Intuitivamente se puede apreciar que este punto será el punto de tangencia T. La variabilidad de la medida realizada con el proyector de perfiles sobre cualquier pun- to del casquillo se supondrá igual a la desviación tı́pica sYT obtenida en esta prueba de repetibilidad. El diámetro interior del casquillo D se obtendrá reiterando medidas sobre 5 sectores circulares de la pieza. La incertidumbre final del diámetro interior se obtendrá para un factor de incertidumbre igual a 3. Método de las dos bolas Con este método, el diámetro interior del casquillo se obtendrá tal y como se indica en la figura. Para ello, se utilizarán dos bolas calibradas, D1 y D2, de igual diámetro y una medidora de alturas con la que se obtendrá la distancia H entre la bola 1 y la mesa de planitud. Al igual que en el método anterior, se realizarán 5 determinaciones del diámetro del casquillo y se obtendrá la incertidumbre final utilizando un factor k igual a 3.
  • 147. 10. Prácticas de Laboratorio 140 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 D H D1 D2 Casquillo cilindrico Mesa de planitud
  • 148. 10. Prácticas de Laboratorio 141 10.4 VERIFICACIÓN DEL ÁNGULO DE UN CONO Objetivos En esta práctica se verificará si el ángulo α del cono indicado en la figura se encuentra dentro de una tolerancia igual a 15◦ ±5′. Material necesario Para la ejecución de la práctica se requerirá el siguiente material: un juego de bloques patrón de calidad 0: u0(µm) = (0,06 + 0,0005 × X0(mm)) ; una máquina medidora de alturas de apreciación igual a 0,001 mm e incertidumbre asociada igual a 0,005 mm (k = 2); una regla de senos de longitud entre los centros de sus rodillos L = 100 mm con incertidumbre asociada UL(k=2) L = 10−5; una mesa de planitud. Procedimiento Para la medición del ángulo del cono (α) se dispondrá un montaje como el indicado en la figura.
  • 149. 10. Prácticas de Laboratorio 142 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 000 000 000 111 111 111 000 000 111 111 00 11 0 0 0 1 1 1 0000 1111 000 111 L Mesa de planitud Bloques patrón Regla de senos H α0 = 15◦ α l Medidora de alturas La medida se efectuará anotando la desviación apreciada por la máquina medidora de alturas cuando se desplaza una longitud l = 50 mm sobre la generatriz del cono. Se debe elegir un conjunto de bloques patrón adecuado para que la altura total (H) permita materializar el ángulo nominal α0 = 15◦ entre la regla de senos, de distancia entre los centros de sus rodillos de L = 100 mm, y la mesa de planitud.
  • 150. 10. Prácticas de Laboratorio 143 10.5 VERIFICACIÓN DEL UN CALIBRE LÍMITE Objetivos En esta práctica se verificará el estado de un calibre lı́mite de tipo tampón (véase la figura adjunta) utilizando un máquina medidora de una coordenada horizontal de elevada precisión dimensional. 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 dmin ≃ 30 dmax ≃ 30,033 Lado pasa Lado no pasa 30H8 Material necesario Para la ejecución de la práctica se necesitará el siguiente material: un calibre lı́mite tipo tampón; máquina medidora de una coordenada horizontal que permite obtener medidas con resolución de 0,0001 mm e incertidumbre igual a 0,0005 mm (k = 2); soporte para fijar el calibre en la máquina medidora. Procedimiento Se realizarán 10 medidas sobre cada lado del calibre. Los resultados de la medida final de cada lado se compararán con los lı́mites admisibles especificados por ISO para calibres de este tipo (véanse las tablas que se exponen a continuación).
  • 151. 10. Prácticas de Laboratorio 144 Intervalo de tolerancia (µm) Índice de tolerancia de la pieza 5 6 7 8-10 11-12 13-16 Calibre tampón cilı́ndrico - 2 3 3 5 7 Calibre de herradura 2 3 3 4 5 7 Calibre de varilla con extremos esféricos - 2 2 2 4 6 Calibre tampón plano-cilı́ndrico - 2 3 3 5 7 Calibre tampón plano-esférico - 2 2 2 4 6 Calibre de anillo - 3 3 4 5 7 Calibre tampón patrón regulable - 1 1 2 2 3 Disco patrón para calib. herradura - 1 1 2 2 3 Anillo patrón regulable - 1 1 2 2 3 Tabla 10.1: Amplitud de la franja de tolerancia de los calibres de lı́mites.
  • 152. 10. Prácticas de Laboratorio 145 Desviaciones de tolerancia del calibre (µm) IT → 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Grupo (mm) z y z y z y z y z z z z z z z z ↓ z1 y1 z1 y1 z1 y1 z1 y1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 z1 ≤ 3 1 1 1 1,5 1 1,5 1,5 1,5 2 3 5 5 10 10 20 20 40 40 3 ≤ 6 1 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 3 3 6 6 12 12 24 24 48 48 6 ≤ 10 1 1 1,5 2 1 1,5 2 1,5 3 3 7 7 14 14 28 28 56 56 10 ≤ 18 1,5 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 2 4 4 8 8 16 16 32 32 64 64 18 ≤ 30 2 2 2 3 1,5 3 3 3 5 4 9 9 19 19 36 36 72 72 30 ≤ 50 2 2 2,5 3,5 2 3 3,5 3 6 5 11 11 22 22 42 42 80 80 50 ≤ 80 2 2 2,5 4 2 3 4 3 7 7 13 13 25 25 48 48 90 90 80 ≤ 120 2,5 3 3 5 3 4 5 4 8 6 15 15 28 28 54 54 100 100 120 ≤ 180 3 3 4 6 3 4 6 4 9 6 18 18 32 32 60 60 110 110 180 ≤ 250 4 3 5 7 4 5 7 6 12 7 21 24 40 45 80 100 170 210 250 ≤ 315 5 3 6 8 5 6 8 7 14 9 24 27 45 50 90 110 180 240 315 ≤ 400 6 4 7 10 6 6 10 8 16 9 28 32 50 65 100 125 210 280 400 ≤ 500 7 4 8 11 7 7 11 9 18 11 32 37 55 70 110 145 240 320 Desviaciones de tolerancia del calibre (µm) IT → 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Grupo (mm) a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a y′ a ↓ y′ a1 y′ 1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 y′ 1 a1 180 ≤ 250 2 2 3 3 3 3 4 4 4 7 7 10 10 15 15 25 25 45 45 70 70 110 110 250 ≤ 315 2 3 3 3 4 3 6 6 6 9 9 15 15 20 20 35 35 55 55 90 90 140 140 315 ≤ 400 2 4 2 2 6 2 7 7 7 11 11 15 15 30 30 45 45 70 70 110 110 180 180 400 ≤ 500 2 5 2 2 7 2 9 9 9 14 14 20 20 35 35 55 55 90 90 140 140 220 220 Tabla 10.2: Desviación de la posición de la franja de tolerancia de los ca- libres de lı́mites.
  • 153. C A P Í T U L O 11 Pruebas de Evaluación 11.1 CUESTIONES DE AUTOEVALUACIÓN Cuestiones de metrologı́a 1. Expresa analı́ticamente el criterio de rechazo de Chauvenet e indica cómo lo apli- carı́as a una muestra de 15 medidas. 2. Describe brevemente el procedimiento de calibración del punto x0 de un instru- mento utilizando un patrón de incertidumbre expandida U0 = k0u0 y expresa la ecuación de incertidumbre del instrumento para un factor de calibración k. 3. Se pretende realizar una medida indirecta a partir de n medidas xi independientes y = f(x1, . . . , xs, . . . , xn). Si las incertidumbres de las variables x1, . . . , xs se pueden clasificar como de tipo A (es decir, estimadas mediante procedimientos estadı́sticos) y las incertidumbres de las variables xs+1, . . . , xn de tipo B, obtener mediante la ley de propagación de varianzas la expresión de la incertidumbre de la medida indirecta y para un factor de incertidumbre k. 4. ¿Qué decisión adoptarı́as si 2 valores de una muestra de 15 medidas se encuentran fuera de los lı́mites establecidos por el criterio de rechazo de Chauvenet? 5. Expresa analı́ticamente el criterio de rechazo de Chauvenet y establece el procedi- miento que utilizarı́as para inspeccionar una muestra de 20 medidas. 6. ¿Qué elementos son necesarios para expresar actualmente una medida? 146
  • 154. 11. Pruebas de Evaluación 147 7. ¿Qué elementos intervienen en la calibración de un instrumento y qué relación exis- te entre ellos? 8. Se desea determinar la dimensión L de un bloque longitudinal cuando se trabaja con una temperatura superior a la de referencia en ∆t. Teniendo en cuenta que el patrón de longitud inicial L0 se dilata linealmente según el coeficiente α, es decir L = L0(1 + α∆t), obténgase la incertidumbre de L suponiendo conocidas las varianzas uL0 , uα y u∆t correspondientes a L0, α y ∆t, respectivamente. 9. Defı́nase el concepto de precisión e incertidumbre de un medida. 10. Cuando se utiliza un instrumento de incertidumbre asociada U para medir una pieza de tolerancia dimensional T, ¿qué relación recomendada deberı́a existir entre los valores U y T para verificar apropiadamente la pieza? 11. Define los conceptos de incertidumbre y precisión de una medida e indica que rela- ción existe entre ambos. 12. Describe brevemente el procedimiento de calibración del punto x0 de un instru- mento utilizando un patrón de incertidumbre expandida U0 = k0u0. Si en dicha operación de calibración se reiteran con el instrumento nc medidas sobre el patrón obteniéndose un valor medio Xc y desviación tı́pica sc, determı́nese la corrección de calibración y su correspondiente incertidumbre para un factor de incertidumbre k. 13. Define brevemente los conceptos de incertidumbre y precisión. ¿Se puede asegurar que un instrumento con un buen grado de agrupamiento en sus medidas será un instrumento preciso? Razona la respuesta. 14. Enumera los elementos básicos que intervienen en cualquier proceso de medida. 15. ¿Qué información básica se obtiene de la calibración de un instrumento de media? Define los conceptos de precisión de un instrumento e incertumbre de una medida. 16. Define brevemente los conceptos de tolerancia, incertidumbre y precisión. ¿Entre qué valores es recomendable que se encuentre la relación entre la tolerancia de un pieza fabricada y la incertidumbre del instrumento que se utiliza para su verifica- ción?
  • 155. 11. Pruebas de Evaluación 148 17. Define brevemente el concepto de trazabilidad de una medida.
  • 156. 11. Pruebas de Evaluación 149 Cuestiones de tolerancias dimensionales 1. Para fabricar la pieza mostrada en la figura son necesarias la cota A y la nueva cota C, por lo que se decide realizar una operación de transferencia de cotas sustituyen- do la cota B por la nueva cota C. BDSB DIB ADSA DIA C a) ¿Qué condición se debe cumplir para poder realizarse esta operación.? b) Determinar las desviaciones y tolerancia de la nueva cota C. 2. Diferencias entre el sistema de ajuste de agujero base y el sistema de ajuste de eje base. ¿Cuáles son las razones que justifican la utilización del sistema de agujero base.? 3. Hágase un esquema con las dimensiones admisibles de un calibre lı́mite empleado para verificar ejes de cota nominal superior a 180 mm. 4. En una acoplamiento eje-agujero ISO H6/g5. a) Define el tipo de ajuste, con sus principales caracterı́sticas. b) Forma de montaje recomendada. c) Medidas nominales del calibre de fabricación para el eje. 5. En un acoplamiento eje-agujero ISO 30H6/p5, define: tipo de ajuste; presión de calado; pérdida de apriete por alisado; medidas nominales del calibre de fabricación para el agujero.
  • 157. 11. Pruebas de Evaluación 150 6. Representa gráficamente los lı́mites admisibles de dos calibres de herradura: uno con dimensiones inferiores a 180 mm y otro con dimensiones superiores a 180 mm. 7. Para un acoplamiento eje-agujero con designación ISO 30H6/g5. a) Define el tipo de ajuste y sus principales caracterı́sticas. b) Valores máximos y mı́nimos de los juegos/aprietes del acoplamiento. c) Modificación de las condiciones del ajuste cuando la temperatura alcanza un valor de 100 ◦C. Calcular los nuevos valores máximos y mı́nimos de los nuevos juegos/aprietes teniendo en cuenta que los coeficientes de dilatación lineal del eje y del agujero son, respectivamente, 18 × 10−6 y 10 × 10−6 K−1. 8. Define brevemente: Adición de cotas. Transferencia de cotas. 9. Diferencias entre el sistema de ajuste de agujero base y el sistema de ajuste de eje base. ¿Cuáles son las razones que justifican la utilización del sistema de agujero base? 10. Hágase un esquema con las dimensiones admisibles de un calibre lı́mite empleado para verificar agujeros de cota nominal superior a 180 mm 11. Calcular el valor máximo que el agujero mostrado en la figura puede alcanzar para que el acoplamiento eje-agujero de cota nominal d permanezca unido cuando se ejerce sobre el eje de dimensiones d0 di una fuera axial máxima igual a F. El eje y el agujero son del mismo material con módulo de elasticidad E, y se trabaja con la hipótesis de rozamiento seco eje-agujero con coeficiente de rozamiento µ. La presión producida en el calado es: p = 2U 1 2 E 1 d − d D2 , donde 2U es el apriete o interferencia diametral.
  • 158. 11. Pruebas de Evaluación 151 F p L D d AGUJERO EJE 12. Para fabricar la pieza mostrada en la figura, se utilizará la cota A y la nueva cota C. Para ello, se deberá realizar una sustitución de la cota B por la nueva cota C. ADSA DIA BDSB DIB C a) En qué condiciones será posible realizar dicha sustitución. b) Determinar las desviaciones y tolerancia de la nueva cota C. 13. Haz un esquema gráfico con las desviaciones de tolerancia de un ajuste indetermi- nado y calcula, en función de dichas desviaciones, los aprietes u holguras máximas y mı́nimas que se pueden presentar. 14. Explica brevemente la diferencia fundamental entre operaciones de cotas por adi- ción y por transferencia. ¿Qué condición mı́nima se ha de cumplir para poder efec- tuar una operación por transferencia? 15. Calcular el valor máximo que el agujero mostrado en la figura puede alcanzar para que el acoplamiento eje-agujero de cota nominal d permanezca unido cuando se ejerce sobre el eje de dimensiones d0 di una fuera axial máxima igual a F. El eje y el agujero son del mismo material con módulo de elasticidad E, y se trabaja con
  • 159. 11. Pruebas de Evaluación 152 la hipótesis de rozamiento seco eje-agujero con coeficiente de rozamiento µ. La presión producida en el calado es: p = 2U 1 2 E 1 d − d D2 , donde 2U es el apriete o interferencia diametral. F p L D d AGUJERO EJE 16. Deduce el valor del apriete necesario para producir una presión de calado p en el ajuste entre un eje y agujero con las siguientes dimensiones. Diámetro nominal exterior del agujero D, diámetro nominal interior del agujero y exterior del eje d y diámetro interior del eje δ. 17. ¿A qué tipo de calibre le corresponde una codificación ISO 10H6N? Representa es- quemáticamente, sin necesidad de especificar valores numéricos, las desviaciones de tolerancias de los dos lados del calibre nuevo y desgastado. 18. ¿A qué tipo de calibre le corresponde una codificación ISO 30h6N? Representa es- quemáticamente, sin necesidad de especificar valores numéricos, las desviaciones de tolerancias de los dos lados del calibre nuevo y desgastado. 19. Desde el punto de vista económico, ¿qué sistema de ajuste entre un eje y un agujero es el más recomendable? Indica las caracterı́sticas fundamentales de cada sistema de ajuste. 20. Representa esquemáticamente las desviaciones de toleración de un calibre de he- rradura y un calibre tampón. ¿Qué tipo de calibre corresponde a la denominación 30H6N y qué particularidad presenta con respecto a otro calibre con denominación 30H6?
  • 160. 11. Pruebas de Evaluación 153 21. ¿En qué casos no es posible aplicar una operación de transferencia de cotas? ¿Qué operación deberı́as aplicar para obtener una cota no representada en el plano de diseño a partir de las cotas especificadas en él si la pieza se ha fabricado según tolerancias? 22. Dibuja el acoplamiento entre un eje y un agujero con un ajuste indeterminado cal- culando en función de las desviaciones superior (Ds y ds) e inferior (Di y di) para agujer y eje, respectivamente, las situaciones extremas que se pueden presentar (juegos o aprietes). 23. ¿En qué situaciones se recomienda el uso del sistema de ajustes de eje base? ¿Cuáles son las principales caracterı́sticas de dicho sistema? 24. ¿Es posible aplicar siempre una operación de transferencia para optener una cota nueva del plano de una pieza? Razona la respuesta.
  • 161. 11. Pruebas de Evaluación 154 Cuestiones de acabado superficial 1. En un rugosı́metro que explora dos superficies a lo largo de la longitud básica l se obtienen los diagramas del perfil portante representados en la figura. Indica el comportamiento de cada superficie explorada (bueno o malo) frente al desgaste y a su capacidad de lubricación. Y( %) X/l ( %) 100 % Y( %) X/l ( %) 100 % 100 % 100 % 0 % (a) (b) 2. Define la desviación media aritmética del perfil, Ra. ¿Qué información proporciona? 3. Define brevemente: a) Desviaciones de forma y de rugosidad. b) Parámetros de calidad superficial. 4. Representa esquemáticamente el perfil portante tı́pico de una superficie resistente al desgaste y el perfil portante tı́pico de una superficie con alta capacidad para la lubricación. Justifica la respuesta. 5. Define el concepto de desviación media aritmética del perfil de rugosidad. Interpreta el sı́mbolo de la figura. 3 µm 80 µm 6. Define la desviación media aritmética del perfil, Ra, e indica que información pro- porciona. ¿Es apropiado este parámetro para determinar la resistencia al desgaste de una superficie? ¿Qué método usarı́as para determinar la capacidad de lubricación de una superficie?
  • 162. 11. Pruebas de Evaluación 155 7. ¿Qué información útil proporcional el perfil portante de una superficie? Representa gráficamente un perfil portante tı́pico de una superficie con una alta resistencia al desgaste. 8. Haz un gráfico con la simbologı́a que utilizarı́as para definir el acabado superfi- cial de una pieza obtenida mendiante un proceso de conformado por deformación plástica. El acabado superficial se especifica mediante la desviación media aritméti- ca del perfil Ra = 1 µm evaluado sobre una longitud básica l = 2 mm. 9. Representa gráficamente la tolerancia de acabado superficial correspondiente a la superficie de una pieza obtenida por conformación plástica en la que la desviación media del perfil debe ser de 10 µm evaluada a lo largo de una longitud básica de 100 µm. 10. ¿Qué caracterı́stica de un acabado superficial suele utilizarse para determinar la re- sistencia al desgaste o la capacidad de lubricación de una pieza? Pon un ejemplo ilustrativo de dos superficies con la misma altura máxima del perfil microgeométri- co y que posean comportamientos diferentes frente al desgaste. 11. ¿Para qué caracterı́sticas superficiales es útil el parámetro de rugosidad Ra (desvia- ción media aritmética de las irregularidades del perfil)?
  • 163. 11. Pruebas de Evaluación 156 11.2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA Problemas de metrologı́a 1. JUN001 Para evaluar el radio de una plantilla circular se realizan medidas de parejas de cuerdas (C) y flechas (F), obteniéndose los siguientes valores: C1 = 16,183 mm F1 = 4,125 mm C2 = 17,364 mm F2 = 5,037 mm El error o incertidumbre (k = 2) de cada una de las cuatro medidas anteriores es 0,007 mm. Se pide determinar el valor del radio de la plantilla y el error total o incertidumbre asociada a dicha determinación para un factor de incertidumbre k = 2. Sol: R = 10,000 ± 0,008 mm (k = 2). 2. JUN04 El ángulo α de la pieza representada en la figura se determina usando dos bolas calibradas de diámetros d1 = 20,000 ± 0,001 mm (k = 2) y d2 = 8,000 ± 0,001 mm (k = 2). Las alturas h1 y h2 se determinan con un gramil de alturas de incerti- dumbre igual a 0,005 mm para k = 3, resultando valores iguales a 30,000 y 10,000 mm, respectivamente. Determı́nese el valor del ángulo α y su correspondiente in- certidumbre para un factor k = 2. Considérese que el valor final del ángulo se debe dar con una resolución máxima de segundos (′′). 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 d1 d2 h1 h2 α 1 El código en negrita que aparece al principio del enunciado de cada ejercicio corresponde a la convocato- ria (febrero (FEB), junio (JUN) o septiembre (SEP)) y año (últimos dos dı́gitos) del examen final de la asignatura “Introducción a los Procesos de Fabricación” de la Titualción de Ingenierı́a Industrial que se imparte en esta universidad.
  • 164. 11. Pruebas de Evaluación 157 Sol: α = 25◦22′37′′ ± 6′56′′ (k = 2). 3. FEB05 Se pretende medir el radio R de una pieza utilizando el método de los dos rodillos. Para ello se utiliza un micrómetro de exteriores de apreciación milesimal e incertidumbre UM = 0,005 mm (k = 2) y dos rodillos calibrados de radio r = 5,000± 0,001 mm (k = 2). Si el resultado de la medida realizada con el micrómetro es de M = 55,975 mm, determı́nese el radio de la pieza y su correspondiente incertidumbre para un factor de incertidumbre k = 3. 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 11111111111111111111111111 o M Pieza Palpador R r Rodillo calibrado Sol: R = 26,421 ± 0,015 mm (k = 3). 4. SEP09 Determinar el valor del diámetro menor D del cono de ángulo α = 30◦ ± 5′′ (k = 3) y su correspondiente incertidumbre para un factor k = 2. En el montaje de la figura se emplean dos bolas calibradas de diámetro d = 20,000±0,001 mm (k = 2) y la medida M realizada con una medidora horizontal fué igual a M = 80,500 ± 0,002 mm (k = 2). Se valorará especialmente el uso de un redondeo apropiado para el resultado final. d d M D α
  • 165. 11. Pruebas de Evaluación 158 Sol: D = 25,859 ± 0,003 mm (k = 2). 5. JUN07 Calcular el ángulo α en el sistema sexagesimal y su correspondiente incerti- dumbre para un factor k = 2 materializado por el dispositivo mostrado en la figura. Se utilizan dos bloques patrón de dimensiones H1 = 25,00 ± 0,01 mm (k = 2) y H2 = 8,00 ± 0,01 mm (k = 2). La regla de senos presenta una distancia entre los cen- tros de los rodillos L = 100,00 ± 0,01 mm (k = 3). Se valorará el uso de un redondeo apropiado para el valor final del ángulo α. 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 00 00 00 11 11 11 000 111 L Mesa de planitud Bloques patrón Regla de senos α H2 H1 Sol: α = 19◦16′8′′ ± 32′′ (k = 2). 6. SEP07 Dado el montaje de la figura, determinar el valor del ángulo α y su corres- pondiente incertidumbre para un factor k = 2. La longitud del bloque patrón es L = 10,250 ± 0,001 mm (k = 2) y el diámetro de las dos varillas calibradas es D1 = 15,0000 ± 0,0005 mm (k = 2) y D2 = 10,0000 ± 0,0005 mm (k = 2). Se va- lorará especialmente el uso de un redondeo apropiado para el valor final del ángulo α. α L D2 D1 Sol: α = 12◦32′32′′ ± 4′′ (k = 2).
  • 166. 11. Pruebas de Evaluación 159 7. JUN08 Para la medida del diámetro D del casquillo de la figura se utilizaron dos esferas con diámetro D1 = D2 = 10,000 ± 0,002 mm para k = 2. La altura H se determinó mediante un gramil de incertidumbre 0,005 mm para k = 2, obteniéndose un valor igual a 18,500 mm. Se pide: a) Calcular el diámetro D del casquillo de la figura y su correspondiente incerti- dumbre para un factor k = 3. b) Indicar qué elemento es el que más afecta a la precisión de la medida y por tanto, teniendo en cuenta que el coste de incremento de precisión de todos los elementos es el mismo, qué estrategia seguirı́as para mejorar el proceso de medida. D H D1 D2 Casquillo cilindrico Mesa de planitud Sol: D = 15,268 ± 0,016 mm (k = 3). 8. SEP08 Determinar, para el montaje de la figura, el valor del ángulo α y su corres- pondiente incertidumbre para un factor k = 2. Se utilizan los siguientes bloques patrón: L = 10,000 ± 0,001 mm (k = 2) y H = 2,000 ± 0,001 (K = 2). El diámetro de las dos varillas calibradas es D1 = D2 = 10,0000 ± 0,0005 mm (k = 2). Se valorará especialmente el uso de un redondeo apropiado para el valor final del ángulo α. α L D2 D1 H Sol: α = 5◦42′38′′ ± 11′′ (k = 2).
  • 167. 11. Pruebas de Evaluación 160 9. JUN09 Determı́nese el diámetro D (valor nominal e incertidumbre asociada con k = 2) del cono a la altura h (distancia entre la base y el punto de tangencia entre el rodillo y el cono) mediante el procedimiento de medida mostrado en la figura teniendo en cuenta los valores que se indican a continuación: r = 5,0000 ± 0,0005 mm (k = 2); α = 30◦0′ ± 3′ (k = 2); M = 26,310 ± 0,002 mm (k = 2). α D d h M Sol: D = 7,65 ± 0,01 mm (k = 2). 10. JUN10 Se pretende determinar la codificación ISO de la longitud de una varilla. Para ello, se realizan 10 medidas con una medidora de una coordenada en un recinto que se encuentra a una temperatura T = (27,05 ± 0,02)◦C (k = 2). El resultado de las medidas en mm es el siguiente: 28,24; 28,23; 28,23; 28,25; 28,24; 28,23; 28,29; 28,22; 28,24; 28,23. Teniendo en cuenta que la incertdumbre de la medidora es igual a 0,01 mm para k = 3 y que el coeficiente de dilatación lineal del material de la barra medida (acero inoxidable) se estima con un valor de (11,5 ± 1,5)10−6 K−1 (k = 2), se pide: a) Aplicar el criterio de rechazo de Chauvenet. b) Obtener la longitud de la varilla y su correspondiente incertidumbre a la tem- peratura de 20◦C para un factor k = 2. c) Obtener la codificación ISO de la varilla. Sol: Se rechaza el dato 28,29; 28,23 ± 0,02 mm (k = 2); 28zb11.
  • 168. 11. Pruebas de Evaluación 161 Problemas de tolerancias dimensionales 1. SEP00 Se desea construir un cojinete de fricción de bronce para alojar el extremo de un eje de acero de diámetro 20h8. El margen de temperaturas del ajuste se debe encontrar comprendido entre -10◦C y 80◦C, y el juego no debe ser inferior a 10 µm ni superior a 100 µm. Determinar las dimensiones del taladro de bronce más económico expresándolas según codificación ISO, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18 × 10−6 K−1 y el del acero es de 11 × 10−6 K−1. Sol: 20F8. 2. SEP00 Determinar el valor y la designación ISO de los agujeros de cota A si se supone que la pieza se ha acotado en un sistema de agujero base. Se sabe que la cota C tiene un valor 90100 30 , que la cota nominal de B es doble que la de A y que su intervalo de tolerancia está centrado con respecto al valor nominal. A B C A Sol: 30H11. 3. JUN04 En un acoplamiento entre un eje 30h7 y un agujero 30T8 como el mostrado en la figura se desea conocer cuál es el valor de la fuerza axial máxima que puede soportar el ajuste sin que éste se despegue teniendo en cuenta el coeficiente de rozamiento en seco entre eje y agujero es µ = 0,3 y que la perdida de apriete por alisamiento de las asperezas superficiales se puede considerar despreciable. Si el acoplamiento se somete a la fuerza axial máxima anteriormente calculada, ¿se pro- ducirán deformaciones permanentes en el eje que pongan en peligro la seguridad del acoplamiento.?
  • 169. 11. Pruebas de Evaluación 162 50 mm 30h7 30T8 Ea = 110000 N/mm2 Ya = 55 N/mm2 Ye = 290 N/mm2 Ee = 215000 N/mm2 νe = 0,3 νa = 0,33 Sol: F = 61412 N; no hay deformaciones permanentes. 4. SEP04 Determı́nense las dimensiones del taladro de bronce más económico, ex- presandolas según codificación ISO, para alojar el extremo de un eje de acero de diámetro 30g7. Se desea que en el margen de temperaturas de trabajo del ajuste, de −10◦C a 70◦C, el juego no sea inferior a 10 µm, ni superior a 120 µm. El coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18×10−6 K−1 y el del acero 11×10−6 K−1. Sol: 30F9. 5. FEB05 Se desea realizar el montaje entre dos piezas de acero con designación ISO 32h7 y 32S8. El eje presenta un taladro interior de 10 mm de diámetro, y la pieza sobre la que se acopla tiene un diámetro exterior de 50 mm (véase figura adjunta). 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 F 10 60 32 50 Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento entre ambas piezas se puede estimar en este caso con un valor de 0,3, determı́nese: a) Fuerza, F, que podrı́a provocar el desacoplamiento de las dos piezas.
  • 170. 11. Pruebas de Evaluación 163 b) Tensiones que se podrı́an alcanzar en el caso del apartado anterior. ¿Se pro- ducirá fluencia en alguna de las piezas? Considérese el criterio de fluencia de von-Mises. Datos del acero: E = 215000 N/mm2; Y = 190 N/mm2; ν = 0,3 Sol: F = 60722,35 N; eje: σre = −33,56 N/mm2, σθe = −40,81 N/mm2, σze = 83,67 N/mm2, no produce fluencia; agujero: σra = −33,56 N/mm2, σθa = 80,14 N/mm2, σza = 52,38 N/mm2, no produce fluencia. 6. FEB06 Expresar mediante nomenclatura ISO, la calidad y la posición de la tolerancia de la cota B del croquis, teniendo en cuenta que la pieza ha sido mecanizada en base a las cotas siguientes (dimensiones en mm): A = 65 +0,025 +0,009; C = 70 +0,010 −0,002; D = 235 −0,065 −0,09 A B C D Sol: 100 −0,072 −0,125; 100T6. 7. JUN06 Se desea realizar el montaje de un eje de acero en un cojinete de fricción de bronce de diámetro 30H7. En un intervalo de temperaturas comprendido entre 0 y 80 ◦C, la holgura entre ambos elementos debe estar comprendida entre 0,02 y 0,2 mm. Teniendo en cuenta que el coeficiente de dilatación lineal del bronce es de 18 × 10−6 ◦C−1 y el del acero de 11 × 10−6 ◦C−1, determı́nese la designación ISO del eje más económico que permita cumplir las condiciones anteriores. Sol: 30e10. 8. JUN07 Seleccionar el eje de aluminio más económico posible para alojarlo en un agujero de bronce 25H8 satisfaciendo las condiciones indicadas a continuación en el rango de temperatura comprendido entre -10 y 80 ◦C. La holgura entre ambos
  • 171. 11. Pruebas de Evaluación 164 elementos debe estar comprendida entre 30 y 200 µm. Los coeficientes de dilatación del aluminio y del bronce son, respectivamente, 22 × 10−6 y 18 × 10−6 ◦C−1. Sol: 25e10. 9. SEP07 Seleccionar el cojinete de fricción de bronce más económico posible para alojarlo en el extremo de un eje de acero de diámetro 30g7. Se desea que en el margen de temperaturas de trabajo, de -10 a 70 ◦C, el juego no sea inferior a 10 µm ni superior a 120 µm. a) Determinar las dimensiones del taladro expresándolas según ISO, sabiendo que los coeficientes de dilatación del acero y del bronce son, respectivamente, 11 × 10−6 y 18 × 10−6 ◦C−1. b) ¿Cuál es la temperatura por debajo de la cual los elementos seleccionados en el apartado anterior podrı́an producir un ajuste con apriete? Sol: 30F9; t=-108,57 ◦C. 10. JUN08 Sobre el plano indicado en la figura (las dimensiones son en mm): a) Determı́nese, según codificación ISO, la posición y calidad de la cota x indicada en el plano para que en el montaje de las piezas 1 y 2 sea posible un recorrido R = 10 +0,55 0,0 mm. b) Una vez fijada la codificación ISO de la cota x, determı́nense los valores posi- bles del recorrido R cuando se realice el montaje de dos piezas bien fabricadas. 1 2 X R A = 100 ± 0, 2 Sol: 90b9; Rf inal = 10 0,507 0,02 mm. 11. SEP08 Seleccionar el cojinete de fricción de bronce más económico posible para alojarlo en el extremo de un eje de acero de diámetro 30f8. Se desea que en el
  • 172. 11. Pruebas de Evaluación 165 margen de temperaturas de trabajo, de 20 a 100 ◦C, el apriete no sea inferior a 10 µm ni superior a 80 µm. a) Determinar las dimensiones del taladro expresándolas según ISO, sabiendo que los coeficientes de dilatación del acero y del bronce son, respectivamente, 11 × 10−6 y 18 × 10−6 ◦C−1. Sol: 30Z5. 12. JUN09 Se dispone de una serie de juegos de calibres desgastados de acero que medidos a 20 ◦C nos dan las siguientes medidas Tipo de calibre Lado PASA Lado NO PASA Tampón 54,930 54,983 Herradura 55,074 55 Herradura 55,008 54,987 Herradura 54,989 54,917 Se desea verificar una pieza cuya notación es 55h9. Indicar si alguno de los calibres puede servir y en su caso que se deberı́a hacer para emplearlo. Sol: El único calibre que podrı́a emplearse es el cuarto, aunque su lado no pasa deberı́a ser rectificado para incrementar su dimensión hasta el valor deseado. 13. JUN10 Realizar los cálculos adecuados para reacotar, según codificación ISO, el plano de la forma indicada en la segunda figura con el fin de poder fabricar la pieza de acero. 25H8 X 25H8 70f11 20F7 20F7
  • 173. 11. Pruebas de Evaluación 166 ¿Qué dimensiones podrá alcanzar la longitud total de la pieza fabricada según el plano de la segunda figura si ésta trabaja a 80◦C? El coeficiente lineal de dilatación del acero es α = 11 × 10−6 ◦C−1. Sol: 25−104 −240; 70,016 mm. 14. SEP10 Seleccionar el cojinete de fricción de bronce más económico posible para alojarlo en el extremo de un eje de acero de diámetro 50f7. Se desea que en el margen de temperaturas de trabajo, de 20 a 100 ◦C, el juego no sea inferior a 20 µm ni superior a 200 µm. a) Determinar las dimensiones del taladro expresándolas según ISO, sabiendo que los coeficientes de dilatación del acero y del bronce son, respectivamente, 11 × 10−6 y 18 × 10−6 ◦C−1. Obviar cualquier falla del material por deformación plástica. b) ¿Qué temperatura deberı́a alcanzar el acoplamiento para que el ajuste entre eje y agujero se produzca con apriete? Sol: 50H10; -408,57 ◦C. 15. SEP10 Realizar los cálculos adecuados para reacotar, según codificación ISO, la pie- za de acero de la forma indicada en la segunda figura. 70h11 20h6 25h7 X 20h6 25h7 ¿Qué dimensión máxima podrı́a alcanzar la pieza fabricada según el plano de la segunda figura si ésta trabajase a 100◦C? El coeficiente lineal de dilatación del acero es α = 11 × 10−6 ◦C−1. Sol: 250 −156; 25N11; 70,062 mm.
  • 174. 11. Pruebas de Evaluación 167 Problemas de acabado superficial 1. JUN06 Los resultados del perfil de una pieza obtenidos con un rugosı́metro se muestran en la figura. La amplificación vertical y horizontal del registro gráfico es igual a 25000 y 100, respectivamente. Determı́nese: a) posición de la lı́nea media y b) desviación media aritmética Ra del perfil. (Dimensiones en mm) 10 20 10 10 10 80 Sol: ym = 16,8 mm (0,67 µm); Ra = 0,6 µm. 2. JUN07 Determinar, para el perfil de la figura, el parámetro de rugosidad de desvia- ción media aritmética (Ra) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). Obtener también el perfil portante indicando las caracterı́sticas superficiales relativas a resistencia al desgaste y capacidad de lubricación. La amplificación vertical y horizontal del re- gistro gráfico es igual a 25000 y 100, respectivamente. (Dimensiones en mm) 80 10 10 20 20 10 10 10 5 5 10 10 Sol: Ra = 0,425 µm; Rp = 1,0 µm; perfil portante: buena capacidad de lubricación y baja resistencia al desgaste.
  • 175. 11. Pruebas de Evaluación 168 3. SEP07 Determinar, para el perfil de la figura, el parámetro de rugosidad de desvia- ción media aritmética (Ra) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). Obtener también el perfil portante indicando las caracterı́sticas superficiales relativas a resistencia al desgaste y capacidad de lubricación. La amplificación vertical y horizontal del re- gistro gráfico es igual a 25000 y 100, respectivamente. (Dimensiones en mm) 80 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 Sol: ym = 13,75 mm; Ra = 0,51 µm; Rp = 1,05 µm. 4. SEP09 Determinar, para el perfil de la figura, el parámetro de rugosidad de des- viación media aritmética (Ra), la altura media del perfil (Rz) y la altura de la lı́nea media a cresta (Rp). Obtener también el perfil portante indicando las caracterı́sti- cas superficiales relativas a resistencia al desgaste y capacidad de lubricación. La amplificación vertical y horizontal del registro gráfico es igual a 25000 y 100, res- pectivamente. (Dimensiones en mm) 80 10 10 10 10 10 10 10 10 20 10 10 Sol: ym = 16,25 mm; Ra = 0,47 µm; Rp = 0,95 µm; Rz = 1,6 µm; perfil portante aproximadamente concavo (a continuación se muestra la figura).
  • 176. 11. Pruebas de Evaluación 169 0 50 100 50 100 y( %) x/ℓ( %)
  • 177. Bibliografı́a [1] Bentley, J.P., “Principles of Measurement Systems” (1995). Addison-Wesley. [2] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, “International Vocabulary of Basis and General Terms in Metrology” (1993) ISO. [3] Busch, T.; Harlow, R.; Thompson, R.L., “Fundamentals of Dimensional Metrology” (1989). Delmar, New York. [4] Carro, J., “Trazabilidad” (2000). Sección de Publicaciones de la ETSII de la Universi- dad Politécnica de Madrid. [5] Carro, J., “Curso de Metrologı́a Dimensional” (1978). U.P.M. Sección de publicaciones de la E.T.S. Ingenieros Industriales. [6] Carro, J.; Pérez, J.M.; Sánchez, A.M.; Sebastián, M.A.; Torres, F.; Vizán, A., “Ejercicios de Tecnologı́a Mecánica” (1992). U.P.M. Sección de publicaciones de la E.T.S. Ingenie- ros Industriales. [7] CEM (Centro Español de Metrologı́a), “Disposiciones Legales sobre Metrologı́a” (1996). Ministerio de Obras Públicas y Medio Ambiente. [8] Hume, K.J., “Metrologı́a Industrial” (1968). River. [9] ISO, IEC, OIML, BIPM, “Guide to the Expresion of Uncertainty in Measurement” (1992) ISO/TAG 4/WG 3. [10] Jerrard, H.G., McNeill, D.B., “Diccionario de Unidades Cientı́ficas y Técnicas” (1983) Ed. Bellaterra. [11] Morris, A.S., “Measurement and Calibration Requirements for Quality Assurance to ISO 9000” (1997). John Wiley Sons, Chichester. 170
  • 178. Bibliografı́a 171 [12] Pérez, J.M., “Tecnologı́a Mecánica I” (1998). U.P.M. Sección de publicaciones de la E.T.S. Ingenieros Industriales. [13] Puncochar, D.E., “Interpretation of Geometric Dimensioning and Tolerancing” (1996). Industrial Press, New York. [14] Sánchez, A.M.; Carro, J., “Elementos de Metrologı́a” (1996). U.P.M. Sección de publi- caciones de la E.T.S. Ingenieros Industriales. [15] Sevilla, L.; Martı́n, M.J., “Metrologı́a Dimensional” (2011). Universidad de Malaga. [16] Schröck, J., “Montaje, Ajuste, Verificación de Elementos de Máquinas” (1965). Re- verté, Barcelona.