Libro sep

y=

4x - 5y =
2x + 10y

x= -8.000

y=

BLOQUE 3
= 4.500

= 3
= 29

-7.000
45

135

90

secuenci a 1 8

Sucesiones de
números con signo
En esta secuencia construirás sucesiones de números con signo a
partir de una regla dada y obtendrás la regla que genera una sucesión
de números con signo.

sesión 1 ¿CUÁL ES LA REGLA?
Para empezar
Sucesiones de números
En la secuencia 3 de tu libro Matemáticas I, volumen I trabajaste con sucesiones de
figuras y con sucesiones de números. En esta secuencia, continuarás estudiando las su-
cesiones de números y las reglas que permiten obtener cada uno de sus términos.

Consideremos lo siguiente
Completa los términos que faltan en la siguiente sucesión de números:

–5, –2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, ,…

a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión.

b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?

c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión?

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obra
I. Señala cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla su-
mar tres al término anterior.

• –15, –11, –7, –3, 1, 5, … • –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, …

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, … • –14, –6, 2, 10, 18, 26, …

• –4, –1, 2, 5, 8, 11, … • –12, –9, –6, –3, 0, 3, …

• –8, –3, 2, 7, 12, 17, …

12

MATEMÁTICAS II
II. Responde las preguntas:

a) ¿Con la regla sumar cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesio-
nes o una sola sucesión?

b) Encuentra una sucesión que se obtenga con esta regla.

c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que escribiste es sumar cinco al
término anterior y el primer término es

d) ¿Por qué crees que esta regla sea más precisa?

Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre dos términos consecuti-
vos de una sucesión se obtiene al restar a un término el término anterior. ¿Cuál es la
diferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontraron en el
inciso b)? . Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dos
términos consecutivos sea 7.

III. Completa lo que falta en las siguientes expresiones y responde las preguntas:
a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35, … es sumar seis al tér-
mino anterior y el primer término es

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

c) Una regla para obtener la sucesión –12, –10, –8, –6, –4, –2, … es sumar
al término anterior y el primer término es

d) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

e) Escribe la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y
el primer término es –14:

f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esa sucesión?

A lo que llegamos
En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante,
cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior.
La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto
hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término.
Por ejemplo:
En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …

13

secuenci a 1 8
La diferencia entre dos términos consecutivos se calcula al restar a un término el térmi-
no anterior, por ejemplo: 7 – 2 = 5.
La regla verbal es: sumar 5 al término anterior y el primer término es –8.
Si no se indica cuál es el primer término, se pueden obtener muchas sucesiones utilizan-
do la misma regla.

IV. Una regla para obtener la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, 10, … (es la misma que está en el
apartado Consideremos lo siguiente) es sumar al término anterior y el
primer término es

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

b) Completa la siguiente tabla con algunos de los términos de la sucesión.

Lugar del término Término de la sucesión

1 –5

2 –2

3 1

4 4

5 7

10

15

20

30

40

c) Para pasar del término en el lugar 30 al término en el lugar 40, se avanza 10 lu-
gares. ¿Cuánto cambia el valor del término?

d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 50?

e) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar todos los términos.

14

MATEMÁTICAS II
Lo que aprendimos
Responde las preguntas para la siguiente sucesión:
–23, –16, –9, –2, 5, 12,19, ...

b) ¿Cuál es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los términos de la suce-
sión?

NÚMEROS QUE CRECEN sesión 2
Para empezar
En la sesión anterior encontraste la regla verbal para una sucesión de números con signo
diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el
primer término. En esta sesión obtendrás la regla algebraica utilizando el lugar que ocu-
pa cada término.
Para la siguiente sucesión de números:
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, …

b) Señalen con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener
los términos de la sucesión. La n indica el lugar del término.
Recuerden que:
• 2n + 4. inos
entre dos térm
• La diferencia al restar
calcula
• Sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2. consecutivos se or.
término anteri
• 4n + 2. a un término el
ra
varias reglas pa
• Cuando hay ón de
• 4n – 2. ma sucesi
obtener la mis as
ce que son regl
c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son equivalentes. números, se di
equivalentes.
Completa la siguiente tabla para encontrar los términos que se indican en cada sucesión:

Lugar del Reglas algebraicas
término 3n 3n + 1 3n – 7 3n – 10 3n – 16
1
2
3
4
10
100
115

15

secuenci a 1 8
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en cada una de estas sucesiones?

b) Para la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, … ¿Cuál es la regla algebraica que nos permite en-
contrar el término que está en el lugar n ?

c) ¿Aparece en esta sucesión el número 278?

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obra
I. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n – 7.

a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar al término
anterior y el primer término es

b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40?

c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término?


II. Responde las preguntas sobre la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?
b) Observa las dos sucesiones

3, 6, 9, 12, 15, 18, …

1, 4, 7, 10, 13, 16, …

¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión (3, 6, 9, 12,
15, 18, …)?
c) Subraya la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-
ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión:

• Restar 2

• Sumar 2

d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …?

16

MATEMÁTICAS II
III. Observa el diagrama y responde las preguntas.

5, 10, 15, 20, 25, 30, …

6, 11, 16, 21, 26, 31, …

a) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión?

b) ¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-
ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión?

c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 6, 11, 16, 21, 26, 31, …?

d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión –15, –10, –5, 0, 5, 10, …?

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar las reglas algebraicas
y encuentren la regla verbal y la regla algebraica para obtener la sucesión –11, –6, –1,
4, 9, 14, …

A lo que llegamos
En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecu-
tivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplican-
do el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos
y sumando o restando una constante adecuada.
Por ejemplo:
En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …,
la diferencia es de 5.
Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término
en la sucesión que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente
término en la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, debemos restar 13.
Entonces la regla para obtener la sucesión
–8, –3, 2, 7, 12, 17, … es 5n – 13.

17

secuenci a 1 8
IV. Para la sucesión que se obtiene con la regla 5n – 8:

a) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?

b) ¿El número 500 está en la sucesión?

c) ¿El número 497 está en la sucesión?


e) ¿En que lugar de término está el número 132?

Comparen sus respuestas.

Lo que aprendimos
1. Encuentra los primeros 10 términos de las sucesiones que se obtienen con las si-
guientes reglas:

a) Sumar 8 al término anterior y el primer término es –19

b) 7n – 25

c) 2n – 4.5

2. Responde las preguntas para la sucesión –23, –16, –9, –2, 5, 12,19, …


b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

c) La regla verbal para obtener esta sucesión es sumar al término an-
terior y el primer término es

d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 78?

e) ¿En qué lugar de término está el número 201?

3. Responde a las preguntas sobre la siguiente sucesión:
–2.5, –1.5, –0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, …


b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesión.

c) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 25 en la sucesión?

d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 278?

e) ¿Qué lugar ocupa el número 101.5 en esta sucesión?

18

MATEMÁTICAS II
4. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesio-
nes y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas.

Términos de la sucesión Reglas

( ) –10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, … (a) 5n – 13

(b) 2n – 12
( ) –7, –3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, …
(c) 4n – 15

( ) –13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, … (d) 2n – 8

(e) 4n – 7
( ) –11, –7 –3, 1, 5, 9, 13, 17, … (f) 5n – 16

(g) 4n – 11
( ) –11, –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, …
(h) 5n – 18

( ) –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, … (i) 2n – 10

DE MAYOR A MENOR sesión 3
Para empezar
En la sesión anterior, encontraste reglas para sucesiones en las que los términos iban au-
mentando. Ahora trabajarás con sucesiones en las que los términos van disminuyendo.
Encuentren los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –4n.

¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?

Completa la siguiente sucesión de números:
6, 2, , , –10, , –18, –22, , , ,…


b) Escribe una regla para encontrar el término en el lugar n.

Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla y la diferen-
cia entre dos términos consecutivos.

19

secuenci a 1 8
Manos a la obra
I. Señala con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener cada uno de los términos
de la sucesión.
• Sumar 4 al término anterior y el primer término es 6.
• Restar 4 al término anterior y el primer término es 6.
• –4n – 2
• –4n + 10
• 4n + 2
• Sumar ( –4) al término anterior y el primer término es 6.

II. Responde las preguntas:

a) En la sucesión –7, –3, 1, 5, 9, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo?

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

c) En la sucesión 14, 10, 6, 2, –2, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo?

d) Una regla verbal para obtener esta última sucesión es restar al

e) La sucesión también la podemos obtener con la regla sumar al

f) Para calcular la diferencia entre dos términos consecutivos, haz la resta del segun-
do término menos el primer término: – =

III. Encuentra los primeros diez términos de las sucesiones que se obtienen con las reglas
indicadas.

Lugar del Regla algebraica
Recuerda que: término –4n + 6 –4n – 2 –4n – 5
iones
Las multiplicac 1 (–4) × 1 + 6 = (–4) × 1 − 2 = (–4) × 1 − 5 =
y divisiones se 2 (–4) × 2 + 6 = (–4) × 2 − 2 = (–4) × 2 − 5 =
e las
hacen antes qu
.
sumas y restas 3
4
5
6
7
8
9
10

20

MATEMÁTICAS II
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de estas sucesiones?

b) En estas sucesiones, ¿los términos van aumentando o disminuyendo?


IV. Responde las preguntas sobre la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, …

a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?

b) En la regla algebraica para obtener cada uno de los términos de la sucesión, debe-
mos multiplicar la n por

c) Observa las dos sucesiones:
–4, –8, –12, –16, –20, –24, …

7, 3, –1, –5, –9, –13, …

¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-
ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión?

d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, …?

Comparen sus respuestas. Encuentren la regla algebraica para obtener la sucesión
–11, –15, –19, –23, –27, –31, …

A lo que llegamos
Para las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante:
• Si la constante es positiva, los términos van aumentando.
• Si la constante es negativa, los términos van disminuyendo.
En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del término
por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante
adecuada.
Por ejemplo:
En la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …., la diferencia es de –3.
Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se
obtiene con la regla –3n, a su correspondiente término en la sucesión –2, –5, –8, –11,
–14, –17, –20, …, debemos sumar 1.
Entonces la regla para obtener la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, … es –3n + 1.

21

secuenci a 1 8
V. Responde las preguntas.
a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla
sumar (–6) al término anterior y el primer término es 23.

b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

c) ¿Cuáles son los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla
–5n + 12?

d) ¿Son equivalentes las reglas –6n + 23 y 23 – 6n? Explica tu respuesta:

Comparen sus respuestas. Comenten si son equivalentes las reglas 7 – n y –n + 7.

Lo que aprendimos
1. Responde las preguntas.

a) ¿En la sucesión –12, –7, –2, 3, 8, 13, … los términos van aumentando o disminu-
yendo?

b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión?

c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

d) Otra regla para obtener la sucesión es sumar al término anterior y
el primer término es

e) ¿En la sucesión –5, –10, –15, –20, –25, –30, … los términos van aumentando o
disminuyendo?

f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión?

g) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?

h) Otra regla para obtener la sucesión es sumar al término anterior y
el primer término es

2. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –n – 18.
Indica la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión.

22

MATEMÁTICAS II
3. Encuentra una regla para las siguientes sucesiones:
a) Que el segundo término sea 7 y el cuarto término sea 19.
b) Que el tercer término sea 1 y el sexto término sea –14.

4. En la columna de la izquierda se presentan algunas reglas algebraicas y en la colum-
na de la derecha, algunas reglas verbales. Relaciona las columnas con las reglas equi-
valentes.
Regla algebraicas Reglas verbales
(a) umar (–7) al término anterior
S
( ) 4n – 12 y el primer término es 10
(b) umar 4 al término anterior
S
y el primer término es –12
( ) –4n – 8
(c) umar 7 al término anterior
S

( ) –7n + 10 (d) umar (–4) al término anterior
S
(e) umar (–7) al término anterior
S
( ) 7n – 10 y el primer término es 3
(f) umar 7 al término anterior
S
y el primer término es 3
( ) –4n – 12
(g) umar 4 al término anterior y el
S
primer término es −8
( ) 7n – 4 (h) umar (−4) al término anterior
S
y el primer término es −12

5. Para conocer más sucesiones de números con signo pueden ver el programa Sucesio-
nes de números con signo.

Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. El piropo matemático, de los números a las estrellas. México: SEP/Edi-
torial Lectorum, Libros del Rincón, 2003.

Sobre las sucesiones de números con signo consulta:
http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_
aritmeticas.htm
[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].
Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.

Explora las actividades del interactivo Sucesiones geométricas con Logo.

23

secuenci a 1 9

Ecuaciones de
primer grado
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el plantea-
miento y resolución de ecuaciones con una incógnita.

sesión 1 Piensa un número
Para empezar
• El jugador A piensa un número y sin mostrarlo al jugador B, lo escribe en el cuadro
Entrada. Después realiza las operaciones indicadas y le dice a B el número que obtu-
vo en el cuadro Salida.

Multiplícalo por 10 Súmale 12

Entrada Salida
Diagrama 1

• El jugador B tiene que encontrar el número que el jugador A escribió en la Entrada y
decírselo.
• Cuando el jugador B acierte, cambian los papeles y juegan otro turno.

Los números de la siguiente tabla resultaron de aplicar las operaciones del diagrama
anterior. Escriban los números de entrada correspondientes.

Nombre Entrada Salida

Brenda 53 542
Saúl 69 702
Jesús 824.5
Raúl 4

Comparen sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.

24

MATEMÁTICAS II
Manos a la obra
I. Consideren que el número de Salida es 72. Escriban los números que deben ir en el
círculo azul y en el cuadro rojo.

72

Entrada Salida

Diagrama 2

a) ¿Qué operación hicieron con el número 72 para encontrar el número que va en el
círculo azul?

b) ¿Qué operación hicieron con el número del círculo azul para encontrar el número
del cuadro de Entrada?

c) Completen el siguiente diagrama escribiendo las operaciones que hicieron para
encontrar los números faltantes.

824.5

Entrada Salida

Diagrama 3

II. Completen el siguiente diagrama.


8

Entrada Salida

25

secuenci a 1 9
III. Consideren la siguiente adivinanza:
Pensé un número. Lo llamé p, le resté 5, el resultado lo dividí entre 4 y obtuve 2.75.
a) ¿Cuál de los siguientes diagramas sirve para encontrar el valor de p?

Divídelo entre 4 Réstale 5

Diagrama 1 p 2.75


Réstale 5 Divídelo entre 4

Diagrama 2 p 2.75

Súmale 5 Multiplícalo por 4


Diagrama 3 p 2.75

Divídelo entre 4 Réstale 5

b) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subráyenla.

p
• + 5 = 2.75
Recuerden que: 4
aldad donde hay
Una ecuación es una igu p–5
mado incógnita.
un valor desconocido lla •
4
= 2.75
nifica encontrar el
Resolver la ecuación sig
valor de la incógnita. • (p − 5) 4 = 2.75

c) ¿Cuál es el valor de p ?

Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.

26

MATEMÁTICAS II
IV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuación 6x + 22 = 4.

Multiplícalo por 6 Sumar 22

¿Cuál es el valor de x? x = x 6x 4

Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.
Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente. Para cada renglón de la
tabla escriban la ecuación correspondiente considerando que x es el número de entrada.
Resuelvan la ecuación y verifiquen si es el resultado que habían obtenido.

A lo que llegamos
La ecuación 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo las
operaciones de la siguiente manera.
Con lenguaje algebraico, se escribe: Haciendo un diagrama, se escribe:

× 10 + 12

10y + 12 = 4
y 10y 10y + 12 = 4

× 10 + 12
10y = 4 – 12
y 10y 10y + 12 = 4
10y = –8
– 12

× 10 + 12
y = (–8) ÷ 10
y 10y 10y + 12 = 4
y = –0.8
÷ 10 – 12

27

secuenci a 1 9
Lo que aprendimos
1. Planteen y resuelvan la ecuación que corresponde al siguiente diagrama:

Divídelo entre 4 Réstale 5 a) Ecuación:

b) ¿Cuál es el valor de p ? p =
p 34.5

2. Resuelvan la ecuación 7x + 18 = 31. Verifiquen las soluciones.

sesión 2 EL MODELO DE LA BALANZA
Para empezar
La balanza
El modelo de la balanza nos permite representar y resolver ecuaciones. Para ello es nece-
sario que las acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan siempre
el equilibrio.

La siguiente balanza está en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas de
un gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los anillos pesan lo mismo.

=

Figura 1

¿Cuánto pesa cada anillo?

Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el valor de cada anillo.

28

MATEMÁTICAS II
Manos a la obra
I. ¿Cuáles de las siguientes acciones mantendrían la balanza en equilibrio? Subráyenlas.

• Pasar un anillo del lado izquierdo al lado derecho.

• Quitar 1 anillo de ambos lados.

• Cambiar un anillo por una pesa de 1 gramo en el lado derecho.

• Quitar el mismo número de pesas de 1 gramo en ambos lados.

• Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados.

Comparen sus respuestas y comenten porqué creen que mantienen el equilibrio de la
balanza.

II. A continuación se presenta una nueva situación con la balanza, completa lo que se te
pide para hallar el peso de estos otros anillos.

a) ¿Cuántas pesas de 1 gramo se pueden qui- b) Ahora, ¿cuántos anillos del mismo peso pue-
tar de cada lado sin que la balanza pierda el den quitarse de cada lado sin que se altere el
equilibrio? equilibrio de la balanza?

Después de quitar las pesas de 1 gramo y los ani- d) ¿Cuántas pesas de 1 gramo quedan del lado
llos del mismo peso, derecho?
c) ¿cuántos anillos quedan del lado izquierdo de e) Si dos anillos pesan 28 gramos, ¿cuántos gra-
la balanza? mos pesa cada anillo?

29

secuenci a 1 9
Comparen sus respuestas. Verifíquenlas sustituyendo el peso de los anillos en la ba-
lanza. Después lean con ayuda de su profesor la siguiente información.

A lo que llegamos
Para encontrar un peso desconocido en el modelo de la balanza se
realizan las mismas acciones en ambos lados de la balanza de manera
que siempre se mantenga el equilibrio.
En la siguiente balanza se tiene representada la ecuación:

6x + 3 = 2x + 15

Donde x representa el peso de un cubo.

Para encontrar x se pueden
quitar de ambos lados 3
pesas de 1 gramo.
6x + 3 – 3 = 2x + 15 – 3
6x = 2x + 12

Después, se pueden quitar de
ambos lados 2 cubos.
6x – 2x = 2x + 12 – 2x
4x = 12

Al final, el peso de se
puede encontrar dividiendo
las 12 pesas de 1 gramo
entre 4.

x = 12 = 3
4

Cada cubo pesa 3 gramos.

30

MATEMÁTICAS II
Resolvamos otro ejemplo, la ecuación 4x + 75 = 13x + 3.
Primero se puede restar 3 de ambos lados:

4x + 75 – 3 = 13x + 3 – 3
4x + 72 = 13x

Después, se puede restar 4x de ambos lados:

4x + 72 – 4x = 13x – 4x
72 = 9x

Finalmente el valor de la incógnita se encuentra dividiendo 72 entre 9.

x = 72 = 8
9

III. El método de la balanza también se puede usar con números decimales y fracciona-
rios, por ejemplo, la ecuación:
3.2x + 9 = 5.7x + 1.5

a) ¿Qué número pueden restar en ambos lados de la ecuación para eliminar uno de
los términos numéricos? Escriban cómo queda la ecuación:

b) ¿Cuál expresión con la letra x pueden restar en ambos lados de la ecuación ante-
rior para que sólo quede un término numérico y un término con la incógnita x ?
Escriban cómo queda la ecuación:

c) ¿Cuál es el valor de x?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, observen cómo pueden restar
términos en diferente orden pero, si lo hacen correctamente, todos llegan al mismo
resultado.

Lo que aprendimos
Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando el método de la balanza:

a) 4x + 3 = 2x + 5

b) 3x + 1 = x + 5

c) x + 10 = 5x + 2
3
d) 2
x +1=x+2

31

secuenci a 1 9
sesión 3 MÁS ALLÁ DEL MODELO DE LA BALANZA
Para empezar
En la sesión anterior resolviste algunas ecuaciones mediante el modelo de la balanza. En
esta sesión resolverás ecuaciones con coeficientes negativos, con paréntesis y con deno-
minadores.

Durante un juego de adivinaza de números, Luis y Ana pensaron un mismo número, hi-
cieron diferentes operaciones y al final obtuvieron el mismo resultado.
• Luis pensó un número, lo multiplicó por 3 y al resultado obtenido le sumó 5.
• Ana pensó el mismo número que Luis, lo multiplicó por 2, al producto obtenido le
restó 3 y obtuvo el mismo resultado final que Luis.
Hicieron un diagrama y les quedó de la siguiente manera.

×3 +5

Entrada Salida
×2 –3

a) ¿Qué ecuación puede plantearse para encontrar el valor de x?
b) ¿Cuál fue el número que pensaron Luis y Ana?

Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

Manos a la obra
I. Relaciona los diagramas siguientes de la columna derecha con su correspondiente
ecuación en la columna izquierda.

32

MATEMÁTICAS II
( ) (3x ) (2) = 5x – 3
×3 +5
( ) 3x + 2x = 5 – 3

( ) 3x + 2 = 5x – 3 Entrada ×2 –3 Salida

( ) 3x + 5 = 2x – 3
Diagrama A

×3 ×2

Entrada ×5 –3 Salida

Diagrama B

×3 +2

Entrada ×5 –3 Salida

Diagrama C

II. El método de la balanza se puede utilizar para resolver la ecuación:

3x + 5 = 2x – 3

Para eso hay que realizar siempre las mismas operaciones en ambos lados de la ecua-
ción de manera que se conserve la igualdad. Contesta lo que se te pide.

a) Resta 5 en ambos lados de la ecuación 3x + 5 – = 2x – 3 –

b) Reduce los términos semejantes: =

33

secuenci a 1 9
c) ¿Qué te conviene hacer para que del lado izquierdo del igual quede sólo x?
Si lo haces, ¿cómo queda la ecuación?

d) ¿Cuál es el número que pensaron Luis y Ana?

Comparen sus soluciones. Verifíquenlas sustituyendo el valor de x en el diagrama de
Ana y Luis.

A lo que llegamos
Para solucionar cualquier ecuación usando el modelo de la balanza hay que conservar
la igualdad realizando las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación.

Por ejemplo, al resolver la ecuación: 3x + 5 = 6 + (–2x )

• Para eliminar el término +5 se resta 5 3x + 5 – 5 = 6 + (–2x ) – 5
en ambos lados de la igualdad.
• Se reducen los términos semejantes 3x = 1 + (–2x )
• Para eliminar el término –2x se suma 2x 3x + 2x = 1 + (–2x)+ 2x
en ambos lados de la igualdad.
• Se reducen los términos semejantes 5x = 1

• Finalmente, se divide 1 entre 5 para x= 1
5
encontrar el valor de x.

III. No siempre se puede usar de manera inmediata el modelo de la balanza para resol-
ver ecuaciones. En ocasiones hay que hacer operaciones antes de comenzar a elimi-
nar términos.
Por ejemplo, para resolver la ecuación

5 (2x – 3) = 6x +14

a) Primero se puede hacer la multiplicación que indica el paréntesis. Completa:

5 (2x – 3) = 6x +14

– = 6x + 14

34

MATEMÁTICAS II
b) Encuentra el valor de x y verifícalo.

x=

IV. Para resolver la ecuación: Recuerda que:
nces
equivalentes, ento
Si 2 fracciones son
ados son iguales.
sus productos cruz
y–4 y+1 A=C
=
5 3 B D
entonces
a) Se pueden aplicar los productos cruzados para AD = BC
“eliminar” los denominadores.

y–4 y+1
= = 3 (y – 4) = 5 (y + 1)
5 3

b) Realiza las multiplicaciones indicadas y encuentra el valor de y . Verifícalo.

y=

Comparen sus soluciones.

Lo que aprendimos
1. Juan pensó un número y lo introdujo en la entrada del siguiente diagrama compues-
to. Por ambas rutas obtuvo el mismo resultado.

–1 ×7

Entrada Salida
+6 ×3

35

secuenci a 1 9
a) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver?

b) ¿Qué número fue el que pensó Juan?

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3(x + 4) = – 5x – 36

r+6 r–4
b) =
–5 5

z–6 z+4
c) =
4 9

SESIÓN 4 MISCELÁNEA DE PROBLEMAS
Lo que aprendimos
Resuelve los problemas siguientes mediante el planteamiento y resolución de una
ecuación.
1. El hexágono rojo y el rectángulo azul tienen igual perímetro. Contesta lo que se te
pide para encontrar el perímetro de cada figura.

E D

AB = DE
F C
BC = CD = EF = FA
x
A 2x – 1 B

x

2x + 4.5

36

MATEMÁTICAS II
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del hexágono?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo?

c) ¿Cuál es la ecuación que hay que resolver para encontrar el valor de x?

d) Resuelve la ecuación anterior en tu cuaderno. ¿Cuál es el valor de x?

e) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

f) ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

2. Para cultivar y mantener una hectárea de jitomate se invierte en planta, fertilizante,
fumigante y agua de riego cinco veces lo que se invierte en mano de obra. El costo
total por hectárea es $80 000.00.
Ecuación:
¿Cuánto dinero cuesta la mano de obra para cultivar y atender 3.5 hectáreas de jito-
mate?

3. Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a
otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora.
¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?

Ecuación:

3 1
4. La edad actual de José es 8 de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá 2
de la
que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es la edad actual del hermano?

Ecuación:

5. Una cancha de volibol se encuentra dentro de una cancha de basquetbol. El largo de
la cancha de volibol es el doble de su ancho.

x

2x

37

secuenci a 1 9
Las medidas de ambas canchas se relacionan como sigue:
• El largo de la cancha de basquetbol es 10 metros mayor que el largo de la cancha
de volibol.
• El ancho de la cancha de basquetbol es 6 metros, mayor que el ancho de la cancha
de volibol.
• El área de la cancha de basquetbol es 258 m2 mayor que el área de la cancha de
volibol.

Contesta lo que se te pide para encontrar cuáles son las medidas de cada cancha.
La letra x representa la medida del ancho de la cancha de volibol.
a) ¿Cómo se representa la medida del largo de la cancha de volibol?

b) ¿Cómo se representa el área de la cancha de volibol?

c) ¿Cómo se representa la medida del ancho de la cancha de basquetbol?

d ) ¿Cómo se representa la medida del largo de la cancha de basquetbol?

e) ¿Cómo se representa el área de la cancha de basquetbol?

f) ¿Qué ecuación representa la relación “El área de la cancha de basquetbol es 258 m2
mayor que el área de la cancha de volibol”?. Complétala y resuélvela.
Pista: el término 2× 2 se elimina en ambos lados de la igualdad.

(2x + 10) (x + 6) = 258 +

g) Completa la tabla siguiente para verificar tu solución.

Cancha Largo Ancho Área

Volibol

Basquetbol

6. Para conocer más sobre la solución de ecuaciones pueden ver el programa Ecuacio-
nes de primer grado en la vida cotidiana.

38

MATEMÁTICAS II
Para saber más
Sobre la resolución de problemas mediante el planteamiento y solución de ecuacio-
nes consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. “Algebra egipcia y babilónica”, “El epitafio de
Diofanto”, “La dama misteriosa”, en Crónicas algebraicas. México: SEP/Santillana,
Libros del Rincón, 2003.

Bosch Carlos y Claudia Gómez. “La balanza y las ecuaciones”, ”Resolución de ecuacio-
nes lineales” en Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del
Rincón, 2003.

Hernández, Carlos. “Ecuaciones de primer grado” en Matemáticas y deportes. México:
SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Tahan, Malba. El hombre que calculaba. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rin-
cón, 2005, pp. 97,125-128, 180,183.

Sobre resolución de ecuaciones de primer grado consulta:
http://descartes.cnice.mecd.es
Ruta: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Resolver
ecuaciones de 1r y 2º grado Resolución de ecuaciones sencillas; o Resolución de
ecuaciones de primer grado.
Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

39

secuenci a 2 0

Relación funcional

En el mundo y en el Universo nos podemos encontrar con un sinfín de
fenómenos donde una cantidad depende de otra: el costo de unos
tomates y su peso; lo que tarda una piedra en caer y su altura; la
fuerza de atracción entre planetas y su distancia; etcétera.
A estas relaciones, se les conoce como relaciones funcionales. Y para
entenderlas, el ser humano ha inventado las expresiones algebraicas
y las gráficas.

sesión 1 LA COLA DE LAS TORTILLAS
Para empezar
En tu libro de Matemáticas I, volumen II hiciste las gráficas de situaciones de proporcio-
nalidad directa e inversa. Aprendiste que el plano cartesiano tiene dos ejes: el eje de las
abscisas y de las ordenadas, y que cada punto del plano tiene dos coordenadas.
En esta sesión estudiarás algunas gráficas donde los ejes no están graduados; no te pre-
ocupes, no es necesario graduar ni medir las longitudes. Sólo observa con cuidado cómo
están acomodados los datos.

Un lunes por la tarde, en la tortillería El Rosario, se hizo una larga cola para comprar las
tortillas. Había personas de diferentes estaturas y edades como se puede ver en la ima-
gen de abajo.

Jorge Lola Jesús Alma Luis Valentina
40

MATEMÁTICAS II
En el siguiente plano cartesiano se han representado con un punto la estatura y edad de
cada persona.

Edad A B

C

D E

F

Estatura

Anoten en cada punto de la gráfica el nombre de la persona, según corresponda.

Manos a la obra
I. Ana y Beto llegaron a formarse en la cola después. En el siguiente plano cartesiano se
han dibujado los puntos que les corresponden.
Edad

Ana

Beto

Estatura

a) ¿Quién tiene mayor estatura, Ana o Beto?

b) ¿Quién tiene mayor edad?

41

secuenci a 2 0
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles falsas (F)?
Entre más alta sea una persona, más arriba está el punto que la representa.
Entre más edad tenga una persona, más arriba está el punto que la representa.
Si dos puntos están en la misma línea horizontal, las personas representadas por
estos puntos tienen la misma edad.
Si dos puntos están en la misma línea vertical, las personas representadas por
estos puntos tienen la misma edad.

II. De las personas que estaban formadas en la cola, antes de que llegaran Ana y Beto:
a) ¿Quienes son las más altas?
b) ¿En cuáles puntos deben de estar sus nombres?
c) ¿Qué nombre debe estar en el punto B?
d) ¿Qué nombre debe ir en el punto E?

A lo que llegamos
Las coordenadas de puntos en el plano cartesiano permiten comparar los datos que se
presentan en él.
Por ejemplo, en la gráfica de la derecha
se puede ver que:
Edad

• Patricia y Mauro tienen la misma edad,
Patricia Mauro
pues están sobre la misma línea hori-
zontal y son los de mayor edad, pues
están hasta arriba. José

• José y Guillermo tienen la misma estatu-
ra, pues están en la misma línea vertical.
• El más alto es Mauro, pues es el que Brenda Guillermo
está más a la derecha.
Las siguientes reglas permiten comparar
las coordenadas de puntos en el plano:
• Entre más a la derecha esté un punto,
más grande será el valor de su abscisa. Estatura

• Entre más arriba esté un punto, más
grande será el valor de su ordenada.

42

MATEMÁTICAS II
Lo que aprendimos
1. Observen las figuras geométricas de la izquierda y escriban el nombre de la figura que
corresponde en cada punto del plano de la derecha.

Altura
Trapecio Cuadrado Rectángulo Triángulo

Base

2. Dibujen en sus cuadernos cuatro rectángulos distintos con perímetro 20 cm. Anoten
la base y la altura de cada uno en la tabla. Para cada rectángulo localicen en el plano
el punto correspondiente.

11
Altura

Medida Medida
Rectángulo de la base de altura
10 (cm) (cm)

A
9
B
8
C
7
D
6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Base

43

secuenci a 2 0
sesión 2 ¡CÓMO HABLAN POR TELÉFONO!
Para empezar
En México y en el mundo, las compañías telefónicas tienen diferentes tarifas. Por ejemplo,
una compañía mexicana decidió no cobrar renta mensual y sólo cobrar por las llamadas
realizadas. La forma de cobrar cambia de acuerdo con los siguientes tipos de llamadas:
1. Llamadas locales. Son las llamadas hechas entre números telefónicos dentro de la
misma ciudad. Se cobran por llamada, no importa cuántos minutos dure.
2. Llamadas de larga distancia. Son las llamadas hechas entre números ubicados en
diferentes lugares de México o en el Mundo. Se cobran por minuto y el costo por
minuto depende de la ciudad o el país al que se hable. Un sólo minuto es más caro
que el costo de toda una llamada local.

En la casa de Jesús contrataron el servicio telefónico con la compañía arriba menciona-
da. Jesús vive con sus padres y sus tres hermanos: José, Iván y Luis. Durante el mes de
diciembre, cada miembro de la familia hizo una sola llamada telefónica y apuntó el cos-
to y la duración. Por órdenes del papá cada uno redondeó la duración de la llamada al
minuto entero siguiente, por ejemplo:
Si la llamada duró 3 minutos y 18 segundos, apuntaron que la duración fue de 4 mi-
nutos, para los dos tipos de llamadas: locales o de larga distancia.
Con los datos anotados se obtuvo la siguiente gráfica contesten las siguientes preguntas:

a) Un miembro de la familia hizo una llamada
Costo (pesos)

local, ¿quién fue?
Padre José
b) Uno de los miembros de la familia hizo una
llamada que tuvo el mismo costo que la llama-
Iván
da de José, ¿quién la hizo?
Madre
c) ¿Quién pagó el mayor costo por minuto?

Luis

Jesús d) Tres miembros de la familia hicieron llamadas
que tenían el mismo precio por minuto, ¿quie-
nes crees que fueron? ,
Duración (minutos)
y

Gráfica 1


44

MATEMÁTICAS II
Manos a la obra
I. Contesten las siguientes preguntas:

a) En una ocasión, en casa de Jesús, alguien anotó que una llamada costó $15 y duró
5 minutos, ¿cuánto costó cada minuto de esta llamada?

b) Si otra llamada costó lo mismo por cada minuto que la anterior y duró 10 minu-
tos, ¿cuánto se debió pagar por esta llamada?

c) Y si la llamada hubiera durado 8 minutos, ¿cuánto se debería pagar?

d) Completen la siguiente tabla usando este costo por minuto y dibujen la gráfica
correspondiente.

30
Costo (pesos) 28
Duración Costo
de la llamada de la llamada 26
(en minutos) (en pesos)
24
1 22
2 20

3 18
16
4
14
5 15
12
6 10
7 8

8 6
4
9
2
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Duración (minutos)

II. En otra ocasión, en casa de Jesús, se hicieron tres llamadas de larga distancia donde
el costo por minuto fue el mismo.
¿Cuál de las siguientes gráficas se obtuvo con esos datos?
Costo (pesos)

Costo (pesos)

Costo (pesos)

Costo (pesos)

Duración (minutos) Duración (minutos) Duración (minutos) Duración (minutos)

a) b) c) d)

45

secuenci a 2 0
a) ¿Cómo decidieron cuál de las gráficas era la correcta?
b) Regresen a la gráfica del apartado Consideremos lo siguiente y contesten:
¿Cuáles puntos están sobre una recta que pasa por el origen?

A lo que llegamos
El costo de una llamada de larga distancia y su duración son
Costo (pesos)

cantidades directamente proporcionales. La constante de
proporcionalidad es el costo por minuto.
La gráfica de costo y duración de varias llamadas que costa-
ron lo mismo por minuto son puntos que están en una línea
recta que pasa por el origen.
Duración (minutos)

III. En el mes de diciembre, faltó apuntar una llamada hecha por el vecino Guillermo,
quién habló a la misma ciudad que la madre pero duró hablando lo mismo que Iván.
Dibujen el punto faltante en la gráfica.
Costo (pesos)

Padre José

Iván

Madre

Luis
Jesús

Duración (minutos)

Lo que aprendimos
A continuación se presenta una gráfica que relaciona el costo y peso de la compra de
unas verduras: jitomate, limón, cebolla, pepino y aguacate. Por cada verdura, se graficó
el peso comprado (en kilogramos) y el costo correspondiente a la cantidad comprada
(en pesos).

46

MATEMÁTICAS II

Costo ($)
Aguacate
Cebolla

Jitomate
Limón

Pepino

Peso (kg)

a) De las verduras, ¿cuál costó más por kilogramo?

b) Hay dos verduras para las cuales el costo por kilogramo fue el mismo, ¿cuáles fueron?
y

eL TAXI sesión 3
Un taxi cobra por su servicio $10 más $2 por cada kilómetro recorrido. Observa las si-
guientes gráficas y decide cuál de ellas representa esta situación.

30 30
Cobro (pesos)

Cobro (pesos)

28 28
26 26
24 24
22 22
20 20
18 18
16 16
14 14
12 12
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Distancia (kilómetros) Distancia (kilómetros)

a) b)

47

secuenci a 2 0
30 30
Cobro (pesos)

Cobro (pesos)
28 28
26 26
24 24
22 22
20 20
18 18
16 16
14 14
12 12
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Distancia (kilómetros) Distancia (kilómetros)
c) d)

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para decidir cuál gráfica es la correcta.

Manos a la obra
I. Contesten lo siguiente:

a) Si el taxi recorre 2 km, ¿cuánto cobrará?

b) Si el taxi recorre 10 km, ¿cuánto cobrará?

c) Escriban una expresión que sirva para formular la cantidad que cobra el taxista (y)
a partir del número de kilómetros recorridos (x).

y=

II. Usen la expresión que acaban de formular para completar la siguiente tabla.

x y
Número de kilómetros Cantidad a cobrar en pesos
2
4
6
8
10

48

MATEMÁTICAS II
III. Localicen los valores de la tabla en el siguiente plano cartesiano

30

(pesos)
28
y 26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x
(kilómetros)

Comparen sus respuestas y comenten,
a) Los puntos que localizaron, ¿están sobre la gráfica que habían elegido?
b) ¿Están en alguna de las otras gráficas?

A lo que llegamos
Al igual que en el caso del taxi, a menudo encontramos cantidades
relacionadas en las que su gráfica asociada son puntos sobre un línea
recta. A este tipo de relaciones se les conoce como relaciones lineales.
Las relaciones de proporcionalidad también son relaciones lineales,
pues su gráfica es una línea recta.
Las relaciones de proporcionalidad tienen nombre propio pues satis-
facen más propiedades que las relaciones lineales. Por ejemplo, no
toda gráfica de una relación lineal pasa por el origen, pero como ya
se vio, las asociadas a relaciones de proporcionalidad siempre pasan
por el origen.

IV. Si un pasajero se sube al taxi y sólo tiene $32, ¿cuántos kilómetros puede viajar?

49

secuenci a 2 0
V. Se ha decidido llenar un tinaco con capacidad de 1 000 litros de agua. El tinaco,
actualmente contiene 100 litros de agua. Se ha abierto una llave que arroja en el
tinaco 10 litros de agua cada minuto.

a) Si ha pasado 1 minuto desde que se abrió la llave, ¿cuánta agua habrá en el tina-
co? ¿Y si han pasado 2 minutos?
¿Y si han pasado 10 minutos?
b) Escriban una expresión que relacione y (la cantidad de agua en el tinaco) con x
(los minutos que lleva abierta la llave).

y=

c) Dibujen la gráfica de la relación que obtuvieron.
y

600

400

300

200

100

0
x
5 10 15 20 25 30 35 40

¿En qué valor interseca la gráfica al eje y?

y
A lo que llegamos
Al valor dónde la gráfica de una relación lineal interseca al eje y
se le conoce como ordenada al origen.
(0, b )
En la siguiente figura, la letra b representa la ordenada al origen.
x
50

MATEMÁTICAS II
Lo que aprendimos
En una ocasión se decidió llenar una cisterna con una llave que arrojaba cierta cantidad
de litros de agua cada minuto. Cuando se empezó a llenar el tinaco, éste tenía 100 litros
de agua. Después de 10 minutos de haber abierto la llave, el tinaco tenía 180 litros de
agua.

a) ¿Cuántos litros arrojó la llave en 10 minutos?

b) ¿Cuántos litros habrá arrojado en 5 minutos?

c) ¿Cuántos litros arroja la llave cada minuto?

d) Después de 11 minutos de haber abierto la llave, ¿cuántos litros de agua habrá en el
tinaco?

e) Escribe una expresión que relacione y (la cantidad de litros de agua que hay en el
tinaco) con x (el número de minutos que han pasado desde que se abrió la llave).

y=

EL RESORTE sesión 4
Al colgar diferentes pesos sobre un resorte éste cambia su tamaño, entre mayor sea el
peso que se le cuelgue más se alarga.
En un laboratorio escolar se colgaron varios pesos a un resorte que mide 8 cm en reposo. Se
registraron los cambios de longitud en cada caso y con ello se obtuvo la siguiente tabla.

Peso Longitud
Longitud
1 kg 10 cm
2 kg 12 cm
3 kg 14 cm
4 kg 16 cm
Peso

¿Cuál crees que será la longitud del resorte si se le cuelgan 5 kg?

¿Cuál crees que será la longitud del resorte si se le cuelgan 8 kg?

¿Y si se le cuelgan 3.5 kg?

¿Cómo calcularon las longitudes?
Si se le colgara una pesa de 6.2 kg, ¿cuál será la longitud del resorte?
¿Cómo podrían decidir cuál será la medida del resorte al colgarle cualquier otro peso?

51

secuenci a 2 0
Manos a la obra
I. Llamemos longitud de aumento a la cantidad de centímetros que aumentó la longi-
tud del resorte al colgarle un peso. Calculen la longitud de aumento para cada peso
indicado en la tabla y después contesten lo que se pide.

Longitud de
aumento

Longitud
a) Observen que esta tabla es de proporcionalidad, ¿cuál es la constante
Peso
de aumento de proporcionalidad?
(kg)
(cm)
1 b) Llamemos x al número de kilogramos colgados y llamemos y a la
longitud de aumento. Escriban una expresión que sirva para calcular
y a partir de x .
2
y=
3
c) Al colgar 5 kg, ¿cuál es la longitud de aumento?
4
d) Y al colgar 6.2 kg, ¿cuál será la longitud de aumento?

e) Para el caso anterior, ¿cuál será la longitud del resorte?

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Es posible calcular la longitud de aumento para
cualquier peso que se quiera? ¿Cómo?
Una vez que se tiene la longitud de aumento, ¿se podrá calcular la longitud del resorte?
¿Cómo?

II. Encuentren una expresión que sirva para calcular la longitud y que tendrá el resorte
al colgarle x kilogramos.

y=

III. Usen la expresión anterior para calcular la longitud del resorte para los diferentes
pesos indicados en la tabla.

Peso x 0 1 2 5 6 6.2 7.6
Longitud y

Comparen sus respuestas y grafiquen la Recuerden que:
relación para ver si es lineal. Una relación es lineal si su gráfica
Encuentra la ordenada al origen. es una línea recta.

52

MATEMÁTICAS II
A lo que llegamos
Como en el caso del resorte, con frecuencia es útil calcular la expresión que relaciona
dos cantidades x y y . Si esta relación es lineal, es posible encontrar la expresión al
calcular la ordenada al origen (en el ejemplo, cuando no hay peso colgado al resorte) y
el incremento de y cuando x cambia de cero a uno (por ejemplo, lo que aumenta el
resorte al colgar un kilogramo). Una vez encontrados estos números, la expresión se
puede escribir así:
y = (incremento al aumentar uno) x + (ordenada al origen)
Comúnmente esto se escribe como y = mx + b.

Lo que aprendimos
1. Para medir la temperatura se usan dos unidades distintas: los grados Celsius y los
grados Fahrenheit. La relación que permite pasar de una unidad a la otra es lineal. La
siguiente figura muestra la gráfica de dicha relación.

y
60
Fahrenheit

50

40

30

20

10

x
0 5 10 15

Celsius

53

secuenci a 2 0
a) Cuando la temperatura es de 0 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?
(Es decir, ¿cuál es la ordenada al origen?)

b) Cuando la temperatura es de 5 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

c) Cuando la temperatura es de 10 °C, ¿cuál es la temperatura en grados Fahrenheit?

d) Cuando la temperatura cambia de 0 °C a 5 °C , ¿cuántos grados Fahrenheit au-
mentó?

e) Decidan cuál de las siguientes cantidades fue el aumento de temperatura, si la
temperatura cambió de 0 °C a 1 °C.

A) 1 .7 °F B) 2 °F C) 1.8 °F D) 1.9 °F

f) Escriban una expresión que relacione y (la temperatura medida en grados Fahren-
heit) con x (la temperatura medida en grados Celsius). y =

2. La longitud de los metales se modifica al ser sometidos a cambios de temperatura. La
siguiente tabla muestra cómo varía la longitud de una barra de hierro al someterla a
distintas temperaturas.

Temperatura (°C) 0 10 20 30 40

Longitud de la barra de hierro (m) 10 10.012 10.024 10.036 10.048

Si x es la temperatura y y la longitud de la barra de hierro, ¿cuál es la expresión que
permite encontrar y a partir de x? y =

54

MATEMÁTICAS II
EL PLAN PERFECTO sesión 5
Los celulares

Las compañías de teléfonos celulares Mexcel, Tele-cel e ILcel tienen las siguientes tari-
fas:
Mexcel: $100 de renta mensual más $1.00 el minuto.
Tele-cel: $60 de renta mensual más $2.00 el minuto.
ILcel: no cobra renta pero las llamadas cuestan $5 el minuto.
Completen la siguiente tabla para saber cuánto cobra cada compañía por hablar x mi-
nutos durante un mes.

x Mexcel cobra Tele-cel cobra ILcel cobra
(minutos) (en pesos) (en pesos) (en pesos)

10

30

60

a) Si una persona habla 15 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

b) Si una persona habla 30 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

c) Si una persona habla 60 minutos en un mes, ¿qué compañía le cobrará menos?

Si una persona habla entre 25 y 35 minutos al mes, ¿con cuál compañía le saldrá más
barato?
¿Para qué cantidades de minutos al mes es más barato hablar por Tele-cel?

55

secuenci a 2 0
Manos a la obra
I. Usen la letra x para representar la duración de la llamada (en minutos) y la letra y
para representar el costo de la llamada (en pesos) correspondiente. Si una persona
habló x minutos en un mes:
a) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará Mexcel?

y=

b) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará Tele-cel?

y=

c) ¿Cuál es la expresión que representa lo que le cobrará ILcel?

y=

II. Completen la siguiente tabla con las expresiones que encontraron:

x Mexcel cobra Tele-cel cobra ILcel cobra
(minutos) (en pesos) (en pesos) (en pesos)

10

20

30

40

50

60

III. Ayudándose de los valores en la tabla, dibujen las gráficas de las tres relaciones en el
siguiente plano cartesiano. Pinten de diferentes colores las gráficas, por ejemplo: rosa
para Mexcel, azul para Tele-cel y verde para ILcel.

56

MATEMÁTICAS II
y

300
Costo

250

200

150

100

50

x
10 20 30 40 50 60
Duración

Observen sus gráficas y contesten:
a) Cuando la duración está entre 0 min y 20 min, ¿cuál de las tres gráficas está más
abajo?
b) Cuando la duración está entre 20 min y 40 min, ¿cuál de las tres gráficas está más
abajo?
c) ¿Cuándo está la gráfica de Mexcel más abajo que las otras?

IV. Ayudándose de las gráficas que construyeron, completen las siguientes frases de ma-
nera que sean correctas.

a) Si una persona acumula minutos en llamadas durante un mes, no
importa si contrata el servicio con Tele-cel o ILcel, ambas le cobrarán lo mismo.

b) Si una persona acumula entre cero y minutos en llamadas durante un
mes, le conviene más contratar el servicio de ILcel, pero si excede esos limítes, le
conviene más Tele-cel.

57

secuenci a 2 0
c) Si una persona acumula entre y minutos en lla-
madas al mes le conviene más contratar el servicio de Tele-cel.

d) Si una persona acumula más de minutos en llamadas al mes le
conviene más contratar el servicio de Mexcel.


A lo que llegamos
Para comparar dos o más relaciones lineales, puede ser útil construir
sus gráficas en el mismo plano cartesiano.
Por ejemplo, las gráficas de las relaciones lineales y = 4x + 1 y
y = 2x + 5 se han dibujado en el siguiente plano cartesiano.

15
Eje y

10

5

5 10 15
Eje x

De esta gráfica se puede ver que: el valor de la expresión y = 4x + 1
es menor que el de la expresión y = 2x + 5 cuando x toma valores
menores a 2 (pues la gráfica roja está por debajo), y los papeles se
invierten cuando x toma valores mayores que 2.

58

MATEMÁTICAS II
Lo que aprendimos
1. En una escuela telesecundaria quieren rentar un autobús para realizar una excursión.
Se contactaron 3 compañías de autobuses las cuales proporcionaron la siguiente in-
formación:
Compañía A: cobra $1 500 más $20 por cada kilómetro recorrido.

Compañía B: cobra $2 000 más $15 por cada kilómetro recorrido.

Compañía C: cobra $3 000 más $10 por cada kilómetro recorrido.

Calcula las expresiones que relacionan el cobro con el número de kilómetros recorridos-
para cada compañía.

¿En cuál intervalo es más barato contratar a la compañía B? Entre km y
km.

2. Para conocer más sobre la construcción de gráficas de fenómenos de ecuaciones pue-
den ver el programa Relaciones funcionales, expresiones algebraicas y gráficas.

Para saber más
Sobre relaciones lineales en problemas consulta:
http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/familias_funciones/Funciones_lineales.htm
Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.

59

secuenci a 21

Los polígonos y sus
ángulos internos
En esta secuencia determinarás una fórmula para calcular la suma de
los ángulos internos de un polígono.

sesión 1 TRIÁNGULOS EN POLÍGONOS
Para empezar
Un polígono es una figura geométrica cerrada y plana formada por lados rectos. Como
los siguientes:

La palabra polígono viene de las palabras griegas poli que significa muchos y gonos que
significa ángulos.
Un polígono es convexo si cada uno de sus ángulos internos mide menos de 180º y sus
lados no se cruzan.
Observen los siguientes pentágonos y comenten: ¿Cuáles son convexos y cuáles no?

R S T V

a) Para cada uno de los siguientes polígonos convexos, tomen uno de los vértices y,
desde ese vértice, tracen todas las diagonales del polígono.

60

MATEMÁTICAS II

Cuadrilátero Hexágono

Octágono Dodecágono

El procedimiento anterior es una manera de dividir un polígono convexo en triángulos.
Comparen sus trazos y comenten en cuántos triángulos quedó dividido cada polígono.

b) Completen la tabla con el número de lados de cada polígono y el número de triángu-
los en los que quedó dividido.

Polígono Número de lados Número de triángulos
Cuadrilátero

Hexágono

Octágono

Dodecágono

c) ¿Qué relación hay entre el número de lados de cada polígono y el número de trián-
gulos en los que quedó dividido?

d) ¿En cuántos triángulos quedará dividido un eneágono?

e) ¿En cuántos triángulos quedará dividido un polígono de n lados?
Comparen y comenten sus respuestas.

61

secuenci a 21
Manos a la obra
I. En los siguientes eneágonos se trazaron diagonales para dividirlos en triángulos.

Eneágono 1 Eneágono 2 Eneágono 3

a) ¿En cuál de los eneágonos se utilizó el procedimiento descrito en el apartado
Consideremos lo siguiente para dividirlo en triángulos?


II. Las figuras muestran la división de un heptágono en triángulos trazando sus diago-
nales desde un vértice.

E F E F E F E F

D P D P D P D P

C C C C

A A A A
B B B B
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

a) Completen el siguiente texto.
En la figura 1 la diagonal PB dividió al heptágono en un triángulo y en un hexágono.
En la figura 2 la diagonal PC dividió al hexágono en un
y en un pentágono.
En la figura 3 la diagonal PD dividió al pentágono en un triángulo y un

En la figura 4 la diagonal PE dividió al en dos triángulos.
b) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde el punto P?
c) Observen que por cada diagonal que se traza se forma un triángulo y la última
diagonal forma dos triángulos ¿En cuántos triángulos quedó dividido el heptá-
gono?

62

MATEMÁTICAS II
a) Si se trazan desde un vértice las diagonales de un polígono de 10 lados, ¿cuántas
diagonales se obtienen?
b) ¿En cuántos triángulos quedará dividido?

III. Completen la siguiente tabla.
Polígono Número de lados del Número de Número de
polígono diagonales desde triángulos en los
uno de sus vértices que quedó dividido
Triángulo 3 0 1
Cuadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octágono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Endecágono 11
Dodecágono 12
Icoságono 20
Polígono de n lados n

Comparen sus resultados.

A lo que llegamos
El número de triángulos en los que se puede dividir un polígono
convexo es igual al número de lados del polígono menos dos. Por
ejemplo, un polígono convexo de 15 lados se puede dividir en 13
triángulos.

IV. Las siguientes figuras muestran los pasos de la división de un pentágono en triángu-
los trazando las diagonales desde el vértice C.
A A A

E E E
B B B

D D D
C C C

63

secuenci a 21
Observen que esta división del pentágono tiene las siguientes características:
(1) Los vértices de los triángulos son vértices del pentágono.
(2) Juntando todos los ángulos de todos los triángulos se obtienen todos los ángulos del
pentágono.
a) ¿Cuáles de las siguientes divisiones en triángulos del endecágono cumplen con las
características (1) y (2)?

División 1 División 2 División 3

b) Verifiquen que estas características se cumplen para las divisiones que realizaron
en los polígonos del apartado Consideremos lo siguiente.
¿Cuáles son triangulaciones simples? y

Triangulaciones simples de los polígonos convexos

Un polígono convexo se puede dividir en triángulos cuyos vértices sean vértices del
polígono y tales que la suma de las medidas de sus ángulos internos sea igual a la suma
de las medidas de los ángulos internos del polígono. A esta forma de dividir un polígono
en triángulos le llamaremos triangulación simple del polígono.

Lo que aprendimos
1. Observa las siguientes triangulaciones de polígonos.

Dodecágono Octágono Endecágono

64

MATEMÁTICAS II
a) Tacha la que no sea una triangulación simple.

b) ¿Cuál de las triangulaciones simples se obtuvo trazando las diagonales desde un
mismo vértice?

2. ¿En cuántos triángulos se pueden dividir cada uno de los siguientes polígonos con
una triangulación simple? . Haz las triangulaciones correspondientes.

3. Haz una triangulación simple del siguiente hexágono, pero que no se obtenga trazan-
do las diagonales desde un mismo vértice.

UNA FÓRMULA PARA LA SUMA sesión 2

DE LOS ÁNGULOS INTERNOS
En la secuencia 4 de tu libro de Matemáticas II, volumen I, aprendiste que la suma de
los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

65

secuenci a 21
Contesten las siguientes preguntas sobre los ángulos internos de distintos polígonos
convexos
Polígono Número de lados del Número de Suma de los ángulos
polígono triángulos en los internos del
que quedó dividido polígono
Triángulo 3
Cuadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octágono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Endecágono 11
Dodecágono 12
Icoságono 20

Escriban una expresión que sirva para calcular la suma de las medidas de los ángulos
internos de un polígono convexo de n lados.

Comparen sus respuestas. Si es necesario verifíquenlas haciendo triangulaciones simples
de los polígonos convexos.

Manos a la obra
I. Triangulen de forma simple los siguientes pentágonos.

U
Z
P

V Y T Q M

O

N Ñ
W X
S R

a) ¿En cuántos triángulos quedaron divididos cada uno de los pentágonos?

66

MATEMÁTICAS II
b) ¿Por qué la siguiente expresión no sirve para calcular la suma de las medidas de
los ángulos internos de los pentágonos?

5 (180º)

II. Dibujen un dodecágono convexo y triangúlenlo de forma simple.

III. Completen la siguiente expresión para calcular la suma de las medidas de los ángulos
internos del dodecágono convexo que dibujaron.
(180º) =


La suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo no puede
ser igual a 420°. ¿Están de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué?

67

secuenci a 21
A lo que llegamos
La suma de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados
se puede calcular con la expresión:
(n – 2) 180º

Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus respuestas utilizando la
fórmula (n —2) 180°.

IV. Contesten las siguientes preguntas

a) Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1 260°, ¿cuántos lados tiene
el polígono?

b) ¿Es posible que la suma de los ángulos internos de un polígono sea 1 130°?
Justifiquen sus respuestas.


Lo que aprendimos
1. Se sabe que la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 900º. Elijan los
polígonos a los cuales se hace referencia.

68

MATEMÁTICAS II
2. Determinen la suma de los ángulos internos de un polígono de 235 lados.

3. La suma de los ángulos internos de un polígono es de 2 700°, ¿cuántos lados tiene el
polígono?

4. Para conocer más sobre los ángulos internos de polígonos y las triangulaciones sim-
ples pueden ver el programa Los polígonos y sus ángulos internos.

Para saber más
Sobre los polígonos y sus ángulos, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Nombres de los polígonos” en Una ventana a las
formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

De la Peña, José Antonio. Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del
Rincón, 2003.

69

secuenci a 2 2

Mosaicos y
recubrimientos
En esta secuencia conocerás las características de algunos polígonos
que permiten cubrir el plano.

sesión 1 Recubrimientos del plano
Para empezar
Que no quede nada sin cubrir
La reproducción de figuras geométricas se ha utilizado para cubrir superficies planas
creando hermosos diseños que adornan casas, pirámides, templos y tumbas. También es
común ver estos recubrimientos en telas, pinturas, tapetes y otros accesorios.

Es posible que estos recubrimientos hayan sido copiados de la reproducción de figuras en
las bellezas naturales ya que en la naturaleza se pueden encontrar muchos patrones de
este tipo.

Las figuras que se pueden reproducir una y otra vez para cubrir cualquier superficie
plana sin que se encimen ni dejen huecos, para formar diseños como los anteriores son
figuras que sirven para cubrir el plano.

Comenten la pregunta
¿En alguno de los diseños, las figuras se enciman o dejan huecos?; ¿en cuáles?

70

MATEMÁTICAS II
Recorten los polígonos regulares del anexo Recortables 1. Polígonos regulares. Reproduz-
can cada polígono en su cuaderno, como se muestra en la siguiente ilustración, y traten de
construir algunos diseños cuidando que los polígonos no se encimen y no dejen huecos.

a) ¿Cuáles de los polígonos regulares que recortaron sirven para cubrir el plano?

b) ¿Creen que haya otros polígonos regulares que sirvan para cubrir el plano?
¿Cuáles?


Manos a la obra
I. Utilicen el pentágono regular que recortaron y reprodúzcanlo de tal manera que los
pentágonos compartan el vértice F, que no se encimen y que compartan un lado con
el pentágono vecino.

F

71

secuenci a 2 2
a) ¿Cuántos pentágonos que cumplan con las condiciones pedidas se pueden colocar?

b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del pentágono regular?

c) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos internos de los pentágonos que están
alrededor del vértice F?

d) ¿Cuánto mide el ángulo que falta por cubrir para rodear el vértice F?

Comparen sus respuestas y comenten, ¿sucede lo mismo con cualquier vértice de los
pentágonos regulares? ¿Por qué?

II. Utilicen el hexágono regular que recortaron y reprodúzcanlo de tal manera que los
hexágonos compartan el punto E como vértice, que no se encimen y que no dejen
huecos.

E

a) ¿Cuántos hexágonos regulares que cumplan con las condiciones pedidas lograron
colocar?

b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del hexágono regular?

c) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el punto E como vér-
tice?

Comparen sus respuestas y comenten, ¿si elijen cualquier otro vértice de los hexágonos
regulares que reprodujeron, y realizan la misma actividad, sucederá lo mismo que con el
vértice E? ¿Por qué?

72

MATEMÁTICAS II
III. Realicen el mismo ejercicio con cada uno de los polígonos regulares que recortaron.
Traten de colocarlos de manera que no se encimen y que no dejen huecos.
a) Completen la siguiente tabla:
Medida de cada uno de los Resultado de dividir 360º entre la ¿El polígono regular
Número de lados del
ángulos internos del medida de un ángulo interno del sirve para cubrir
polígono regular
polígono regular polígono regular el plano?

3

4

5

6

7

8

9

10

b) ¿Para cuáles polígonos regulares el resultado de dividir 360º entre la medida de un
ángulo interno es un número entero?

c) ¿Coinciden los polígonos que sirven para cubrir el plano con los polígonos que dan
un número entero en está división?

Justifiquen su respuesta.


A lo que llegamos
De los polígonos regulares, sólo el triángulo, el cuadrado y el hexágono sirven para
cubrir el plano, pues es posible acomodar los ángulos de estas figuras alrededor de cada
vértice para que formen un ángulo de 360º. Para estos polígonos, el resultado de la
división de 360° entre la medida de uno de sus ángulos internos es un número entero.
Los ángulos internos de los demás polígonos regulares no se pueden colocar de tal
manera que formen un ángulo de 360º. Pues el resultado de la división de 360° entre la
medida de uno de sus ángulos internos no es un número entero.

73

secuenci a 2 2
Lo que aprendimos
1. Elije un polígono regular y recubre una hoja de papel blanca; colorea de distintas
formas cada polígono para que construyas diferentes diseños y monta junto con tus
compañeros una exposición con lo que obtengas. Por ejemplo, los siguientes diseños
se construyeron a partir de recubrir el plano con triángulos equiláteros y lo que los
hace diferentes es la coloración.

Diseño 1 Diseño 2 Diseño 3 Diseño 4

Sesión 2 Los recubrimientos
con polígonos irregulares
Para empezar
Cada uno de los siguientes diseños se construyó reproduciendo un mismo polígono.

Diseño 1 Diseño 2

En cada diseño las figuras no se enciman, no dejan huecos entre ellas y se pueden repro-
ducir en cualquier dirección tanto como se quiera hacer crecer el diseño. Se dice que
estas figuras sirven para recubrir el plano.

Comenten qué polígono se utiliza para construir cada uno de los diseños.

74

MATEMÁTICAS II
Uno de los siguientes polígonos irregulares no sirve para cubrir el plano.

Triángulo A Cuadrilátero B Hexágono C

Triángulo D Cuadrilátero E

a) ¿Cuál polígono es el que no sirve para cubrir el plano?
¿Por qué?

Comparen sus respuestas y recorten los polígonos irregulares del anexo Recortables 2.
Polígonos irregulares. Verifiquen cuál de ellos no sirve para recubrir el plano.

Manos a la obra
I. Las siguientes ilustraciones muestran
dos formas de acomodar las reproduc-
ciones del cuadrilátero E. Reproduz-
can cada uno de los diseños en una E
hoja y continúenlos sin dejar huecos y
sin encimar.

Diseño 1

75

secuenci a 2 2
a) ¿Con cuál de los dos diseños lograron
colocar el mayor número de cuadri-
láteros sin dejar huecos ni encimar?

b) ¿Con cuál de los diseños podrían se-
guir colocando cuadriláteros sin que
se encimen y sin que dejen huecos?

E c) En cada uno de los diseños sobre-
pongan un cuadrilátero en los mar-
cados con la letra E. Si desplazan y
giran el cuadrilátero sin levantarlo,
¿en cuál de los diseños pueden llevar
Diseño 2 el cudrilátero E a uno de sus vecinos?


II. El siguiente diseño se hizo reproduciendo el triángulo A.

6 1
5
R 2
4 3

76

MATEMÁTICAS II
a) En los triángulos 2, 3, 4, 5 y 6, marquen de rosa todos los ángulos iguales al án-
gulo rosa del triángulo 1; de la misma forma marquen los que son azules y los que
son verdes.

b) ¿Cuántos ángulos rosas comparten el vértice R?

c) ¿Cuántos ángulos azules comparten el vértice R?

d) ¿Cuántos ángulos verdes comparten el punto R?

e) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el punto R como vér-
tice?

f) Elijan otro vértice, llámenlo S y marquen los ángulos que lo comparten, ¿cuánto
suman las medidas de los ángulos que comparten el vértice S?


III. Con el mismo triángulo A se construyó el siguiente recubrimiento; comenten por qué
no es posible completarlo sin dejar huecos y sin que los triángulos se encimen.

P

a) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el punto P como vérti-
ce y que son ángulos internos de los triángulos?

b) ¿Cuánto mide el ángulo que falta por cubrir?

77

secuenci a 2 2
c) ¿Es posible colocar otro triángulo morado para terminar de rodear el punto P sin
que se encime con los otros triángulos? ¿Por qué?

A lo que llegamos
A Todos los triángulos sirven para recubrir el plano sin
B dejar huecos ni encimarse.
Por ejemplo, para recubrir con el triángulo ABC se
puede girar el triángulo de manera que el vértice A
C coincida con el vértice C; después, girarlo de manera
que el vértice B coincida con el vértice C. Los tres ángu-
A
los forman un ángulo de 180º. Esto se debe a que en
B todo triángulo las medidas de sus ángulos internos

suman 180º.
C Repitiendo este proceso se completa un ángulo de
360º alrededor del vértice C.
El triángulo ABC se puede continuar reproduciendo
hasta cubrir cualquier superficie plana.

IV. El siguiente recubrimiento se construyó con el cuadrilátero B. Marquen de rojo, rosa,
café y azul los ángulos que comparten el vértice T.

4
T 5

1 3
2

78

MATEMÁTICAS II
a) ¿Cuántos cuadriláteros comparten el punto T como vértice?
b) ¿Cuántos ángulos de cada color comparten el punto T como vértice?

c) Elijan otro vértice de cualquiera de los cuadriláteros, ¿cuántos ángulos de cada
color comparten ese vértice?

A lo que llegamos
Todos los cuadriláteros convexos sirven para recubrir el plano sin dejar huecos ni encimar-
se. En la figura el cuadrilátero ABCD se gira de manera que el vértice D coincida con el
vértice C. Después se gira de manera que el vértice B coincida con el vértice C. Y Después
se gira de manera que el vértice A coincida con el vértice C. Los cuatro ángulos del cuadri-
látero forman un ángulo de 360º.

D D D
A A A

B B B

C
C

Esto se debe a que las medidas de sus ángulos internos suman 360º.
El cuadrilátero ABCD se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier superficie plana.

V. Dibujen y recorten un cuadrilátero irregular en cartulina, marquen los puntos medios
de sus lados y reprodúzcanlo en una hoja blanca como se muestra en las fotos.

Comparen sus reproducciones y comenten: ¿Creen que este método funcione para
formar recubrimientos de cualquier superficie plana con cualquier cuadrilátero?, ¿El
método funcionará con triángulos?
79

secuenci a 2 2
VI. Pinten un punto en su cuaderno y llámenlo Q. Reproduzcan el hexágono C alrededor
del punto Q, sin que se encimen y sin que dejen huecos.
a) ¿Cuántos hexágonos comparten el punto Q como vértice?
b) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que comparten el punto Q como vér-
tice?

Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y revisen sus respuestas.

Lo que aprendimos
1. Traza un paralelogramo. ¿Este paralelogramo servirá para recubrir el plano?
Justifica tu respuesta.

2. ¿Un círculo sirve para recubrir el plano? Justifica tu respuesta.

3. Crea tus propios diseños de recubrimientos del plano y arma con tus compañeros una
exposición en tu salón. Pueden hacer un concurso y votar por el que más les guste.

Algunas combinaciones
Sesión 3
Para empezar
Algunos polígonos regulares que no sirven para recubrir el plano se pueden combinar
con otros polígonos para cubrir el plano sin que se encimen ni dejen huecos.
En cada diseño las figuras no se enciman, no dejan huecos entre ellas y los diseños pue-
den seguir creciendo tanto como se quiera. Estas combinaciones de figuras sirven para
recubrir el plano.

Diseño 1 Diseño 2

80

MATEMÁTICAS II
Lo que aprendimos
1. Anota en el siguiente pentágono las medidas de sus ángulos
internos.

¿El pentágono anterior sirve para recubrir el plano?
Justifica tu respuesta.

2. En el siguiente diseño se están combinando dos figuras, un heptágono regular y un
octágono irregular, ¿cuánto miden los ángulos internos del octágono irregular?

3. ¿Con qué polígono puedes combinar el octágono regular para construir un diseño
que recubra el plano? Construye un diseño en una hoja blanca y compáralo con los
de tus compañeros.

4. Para conocer más ejemplos de polígonos que permiten cubrir el plano pueden ver el
programa Mosaicos y recubrimientos.

Para saber más
Sobre recubrimientos de superficies planas, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “La miel de los hexágonos” y “Recubrimiento” en Una ventana a las formas.
México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Para crear recubrimientos consulta:
http://www.interactiva.matem.unam.mx/teselados/html/tesela.html
Proyecto Universitario de Enseñanza de la Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.
Explora las actividades Mosaicos y creación del interactivo Cubrimientos del plano.

81

secuenci a 2 3

Las características
de la línea recta
En esta secuencia estudiarás el comportamiento de gráficas lineales
de la forma y = mx + b, al modificar los valores de m y de b.

sesión 1 Pendiente y proporcionalidad
Para empezar
Como viste en la secuencia 32 de tu libro de Matemáticas I, volumen II, la gráfica aso-
ciada a una expresión de la forma y = k x está formada por puntos localizados sobre una
línea recta que pasa por el origen.

En un estado de la República Mexicana se realizó una competencia de caminata. Se to-
maron los registros de tres de los competidores y se graficó la distancia recorrida y el
tiempo que cada competidor tardó en recorrerla.

y
(1 0)

)
(1 0)

60
6
,6
0,

5,
(6

60

55

50
Distancia en kilómetros

45

40
Competidor A
35
Competidor B
30
Competidor C
25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 x
Tiempo en horas

La competencia tuvo un recorrido total de 60 kilómetros y los competidores fueron
siempre a velocidad constante.

82

MATEMÁTICAS II
a) ¿En qué lugar llegaron los competidores y en cuanto tiempo terminó cada uno la caminata?
Competidor A lugar Competidor A horas
Competidor B lugar Competidor B horas
Competidor C lugar Competidor C horas
b) ¿Qué velocidad alcanzó el competidor que ganó la competencia?
En una telesecundaria dijeron que el competidor B llegó en primer lugar porque el seg-
mento de recta rojo es el más largo, ¿están de acuerdo? Justifiquen su respuesta.

Manos a la obra
I. Con ayuda de la gráfica anterior completen las siguientes tablas para Recuerden que:
es constante,
encontrar las velocidades a las que fueron los competidores A, B y C. Si la velocidad
ancia y el
entonces la dist
idades directa-
Tiempo Distancia recorrida Tiempo Distancia recorrida tiempo son cant es y la
onal
(horas) (en kilómetros) (horas) (en kilómetros) mente proporci
oporcionalidad
60 60 constante de pr
1 1 es la velocidad.
Tabla del competidor A Tabla del competidor B

Tiempo Distancia recorrida
(horas) (en kilómetros) a) ¿Qué velocidad alcanzó el competidor A?
60
b) ¿Qué velocidad alcanzó el competidor B?
1
Tabla del competidor C c) ¿Qué velocidad alcanzó el competidor C?

d) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite en-
contrar la distancia recorrida y por el competidor A en el tiem-
po x? Subráyenla. Recuerden que:
da a
gebraica asocia
La expresión al idad
• y = 6x proporcional
una relación de
forma
• y = 60x directa es de la
y = kx
• y= x -
tante de propor
do nde k es la cons
e) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite encontrar la dis-
cionalidad.
tancia recorrida y por el competidor B en el tiempo x?

f) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite encontrar la distancia recorrida y por
el competidor C en el tiempo x?


83

secuenci a 2 3
Para medir el ángulo de inclinación de una línea recta que
pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente:
1. Se coloca el centro del transportador en el origen
Recta y = x
(punto (0,0)).
2. Contamos los grados en el transportador desde la parte
derecha del eje x hasta el grado en que el transportador 45°
es cruzado por la recta.
3. El número en que la recta cruza el transportador es el
ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x. Figura 1
Por ejemplo, en la figura 1, la recta la recta y = x tiene un
ángulo de inclinación de 45° respecto al eje x.

II. Con su transportador midan cada uno de los ángulos que forma cada una de las rectas
respecto al eje x.

a) Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor
A=

b) Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor
B=

c) Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor
C=

El competidor D no pudo participar en la caminata porque estaba lesionado. En el si-
guiente plano cartesiano se presenta la recta correspondiente a registros obtenidos por
el competidor D en una caminata anterior.
y
)
60
2,
(1

60

55

50
Distancia en kilómetros

45

40

35

30 Competidor D
25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 x
Tiempo en horas

84

MATEMÁTICAS II
a) ¿Cuál es el ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta correspondiente al com-
petidor D?

b) ¿En qué lugar habría quedado el competidor D?

c) Si la recta correspondiente a un competidor E tiene un ángulo de inclinación respec-
to al eje x de 45° y la recta correspondiente a un competidor F tiene una ángulo de
inclinación respecto al eje x de 50°. ¿Cuál de los dos competidores llegó primero?

¿Cuál de los competidores fue a mayor velocidad?

Usen el plano anterior para graficar y verificar sus respuestas.

A lo que llegamos
Las gráficas que representan expresiones de la forma y = kx son líneas rectas que pasan
por el origen. En estas expresiones, el número k es llamado pendiente de la recta.
Entre mayor sea la pendiente, mayor es el ángulo de inclinación que tiene la recta res-
pecto al eje x y viceversa entre mayor sea el ángulo de inclinación de una recta respecto
al eje x, mayor es la pendiente de la recta.
Por ejemplo, si la gráfica de un competidor G tiene pendiente 8 y la gráfica de otro com-
petidor H tiene pendiente 4, entonces es mayor el ángulo de inclinación de la recta aso-
ciada al competidor G que el ángulo de inclinación de la recta asociada al competidor H.
Las gráficas correspondientes serían las siguientes:
y

10
9
8
7
Gráfica de la recta G: y = 8x
6
Gráfica de la recta H: y = 4x
5
4
3 83°
2
1 76°

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x

Esto significa que el competidor G fue a mayor velocidad que el competidor H, es decir,
si la pendiente de la recta que representa la velocidad constante de un competidor es
mayor que la de otro competidor entonces el de pendiente mayor va a mayor velocidad.
85

secuenci a 2 3
III. Contesten lo siguiente.
1 1
a) ¿Cuál de las rectas correspondientes a las expresiones y = 2 x yy= 4 x tiene
mayor ángulo de inclinación respecto al eje x ?

b) Encuentren las expresiones algebraicas de dos rectas que pasen por el origen y
que tengan ángulos de inclinación respecto al eje x menores que el ángulo de
inclinación de la recta y = 10x , pero mayores que el ángulo de inclinación res-
pecto al eje x de la recta y = 3x: y

c) Encuentren las expresiones algebraicas de dos rectas que pasen por el origen y que
tengan menor ángulo de inclinación respecto al eje x que el ángulo de inclinación
de la recta correspondiente a y = 2x: y

Comparen sus respuestas. Verifíquenlas graficando las rectas en el siguiente plano carte-
siano y midiendo sus ángulos de inclinación.
y
20

15

10

5

5 10 15 20 x

Lo que aprendimos
De las gráficas asociadas a las siguientes expresiones algebraicas:

• y = 5x

• y = 2.5x

• y = 1x
3

a) ¿Cuál de las expresiones algebraicas tiene una gráfica asociada con mayor ángulo
de inclinación respecto al eje x?

b) ¿Cuál de las expresiones algebraicas tiene una gráfica asociada con menor ángulo
de inclinación respecto al eje x?

c) En tu cuaderno elabora las tablas y dibuja las gráficas correspondientes para veri-
ficar tus respuestas.

86

MATEMÁTICAS II
Las pendientes negativas SESIÓN 2

En el siguiente plano cartesiano están graficadas las rectas L y S.
y
8
B 7
6
5
4 Recta L
A'
3 Recta S
2
1

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
–2
–3
–4
A
–5
–6
–7
B' –8

Los puntos A' = (2, 4), B' = (–4, –8) pertenecen a la recta S y los puntos A = (2, –4),
B = (–4, 8) pertenecen a la recta L.

Encuentren las expresiones algebraicas que corresponden a estas rectas.

Recta L: y =

Recta S: y =


Manos a la obra
I. A partir de la gráfica anterior completen las siguientes tablas para encontrar las co-
ordenadas de algunos puntos de las rectas L y S.
Recta S Recta L
Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada
−4 −8 −4 8
−2 −2
0 0 0 0
1 1
2 2
4 8 4 −8
87

secuenci a 2 3
a) Para los puntos de la recta S, ¿por qué número hay que multiplicar las abscisas
para obtener las ordenadas?

b) Para los puntos de la recta L, ¿por qué número hay que multiplicar las abscisas
para obtener las ordenadas?

c) Relaciona las columnas.
( ) Expresión algebraica de la recta L A) y = 2x + 1
( ) Expresión algebraica de la recta S B) y = −2x
C) y = 2x


II. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las gráficas de cuatro líneas rectas que
pasan por el origen.

y
8

7

6

5

4

3

2

1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

a) De las siguientes ecuaciones, ¿cuál le corresponde a cada una de las rectas? Rela-
cionen las columnas.
( ) Recta roja. A. y = x
( ) Recta azul. B. y = −x
( ) Recta verde. C. y = 2x
( ) Recta naranja. D. y = 3x
E. y = −3x

Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.

88

MATEMÁTICAS II
Para medir el ángulo de inclinación (mayor a 90°) de una línea recta
que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente:
1. Se coloca el centro del transportador en el origen (punto (0,0)).
2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del
eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.
3. El número en que la recta cruza el transportador es el ángulo de
inclinación de la recta respecto al eje x.
Por ejemplo, en la figura 2, la recta la recta y = –4x tiene un ángulo
de inclinación de 104° respecto al eje x.

Recta y = –4x

104º

Figura 2

III. Midan el ángulo que forma cada una de las rectas con el eje x.

• Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta roja:

• Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta azul:

• Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta verde:

• Ángulo de inclinación respecto al eje x de la recta morada:

Comparen sus resultados y comenten:

a) ¿Los ángulos de la inclinación respecto al eje x de las rectas que tienen pendien-
te positiva son mayores o menores que 90°?

b) ¿Los ángulos de la inclinación respecto al eje x de las rectas que tienen pendien-
te negativa son mayores o menores que 90°?

89

secuenci a 2 3
A lo que llegamos
En las expresiones de la forma y = kx el número k es llamado pendiente de la recta.
• Las rectas con pendiente positiva tienen ángulos de inclinación respecto al eje x
menores que 90°.
• Las rectas con pendiente negativa tienen ángulos de inclinación respecto al eje x
mayores que 90°.
Por ejemplo, la recta y = –x tiene ángulo de inclinación respecto al eje x de135°, mien-
tras que la recta y = 4x tiene ángulo de inclinación respecto al eje x de 76°.
y

6

5

4
135°
3

2
76°
1

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 x
–2

–3
Recta y = –x
Recta y = 4x
–4

–5

–6

IV. Encuentren las expresiones algebraicas de otras rectas que pasen por el origen y que
tengan las características que se piden:

a) Una recta que tenga un ángulo de inclinación respecto al eje x mayor que 90°.

y=

b) Una recta que tenga un ángulo de inclinación respecto al eje x menor que 90°.

y=

Lo que aprendimos
De las siguientes gráficas contesta:

90

MATEMÁTICAS II
y
8
7
6
5
4
3
2
1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8

a) ¿Cuáles rectas tienen pendientes positivas?

b) ¿Cuáles rectas tienen pendientes negativas?

c) ¿Cuáles rectas tienen un ángulo de inclinación con el eje x mayor que 90°?

c) ¿Cuáles rectas tienen un ángulo de inclinación con el eje x menor que 90°?

Usa tu transportador para verificar sus resultados.

La ordenada al origen SESIÓN 3

Para empezar
En la secuencia 20 de este libro de Matemáticas II, volumen II aprendiste que la gráfica
que corresponde a una expresión algebraica de la forma y = mx + b es una línea recta.
Al número representado por la letra b se le llama ordenada al origen y corresponde al
punto en el cual la recta corta al eje y.

En el siguiente plano cartesiano grafiquen las siguientes expresiones. Usen colores dis-
tintos para cada recta.

91

secuenci a 2 3
y
16

15

14

13

12

11

10

9

8

7
Recta R y = 2x
6 Recta S y = 3x – 6
5 Recta T y = 2x + 4
4
Recta U y = 2x – 6
3

2

1

–2 –1
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
–2

–3

–4

–5

–6

a) ¿La recta R interseca a la recta S? Si su repuesta
fue sí ¿en qué punto se intersecan?
Recuerden que: Si su respuesta fue no ¿por qué creen que no se intersecan?
tersecan
Dos rectas se in
punto que
cuando hay un
bas. A ese
pertenece a am b) ¿La recta R interseca a la recta T? Si su repuesta
a el punto
punto se le llam fue sí ¿en qué punto se intersecan?
de las
de intersección
Si su respuesta fue no ¿por qué creen que no se intersecan?
rectas.

c) ¿Qué recta interseca a la recta U?


¿Con cuál de las siguientes afirmaciones están de acuerdo?

• Las rectas R y S no se intersecan porque la recta R pasa por el origen
Recuerden que: y la recta S no pasa por el origen.
son parale-
Las rectas que
tersecan.
las nunca se in • Como las rectas R y S no son paralelas entonces sí se intersecan.

92

MATEMÁTICAS II
Manos a la obra
I. Completen la siguiente tabla para encontrar algunos puntos de las rectas R, S y T.

Recta R: y = 2x Recta S: y = 3x – 6 Recta T: y = 2x + 4 Recta U: y = 2x – 6
Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada
0 0 0 0
1 1 –3 1 6 1
4 4 4 4
6 6 6 6

II. Con su transportador midan los ángulos de inclinación con respecto al eje X de las
rectas R, S, T y U.

a) Ángulo de inclinación de la recta R:

b) Ángulo de inclinación de la recta S:

c) Ángulo de inclinación de la recta T:

d) Ángulo de inclinación de la recta U:

e) ¿Cuáles de estas rectas son paralelas?

f) ¿Cuáles no son paralelas?

Para medir el ángulo de inclinación respecto al eje x de una línea Recta y = 4x + 2
recta que no pasa por el origen se hace lo siguiente:
1. Se coloca el centro del transportador en el punto en el que la
recta corta el eje x y el extremo derecho del transportador (el
que marca los 0º) sobre el eje x. Si la recta no corta al eje x se 76°
prolonga la recta hasta que corte dicho eje. 2

2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del
eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.
3. El número en que la recta cruza el transportador es el ángulo de
inclinación de la recta respecto al eje x.
Por ejemplo, en la figura 3, la recta y = 4x + 2 tiene un ángulo de
Figura 3
inclinación de 76° respecto al eje x.

Comparen sus tablas y decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
• Las rectas paralelas tienen la misma pendiente
• Las rectas paralelas tienen distinto ángulo de inclinación respecto al eje x

93

secuenci a 2 3
III. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las gráficas de cuatro rectas.

y
10

9

8

7

6 Recta y = -2x + 4
5 Recta y = -2x
4
Recta y = 3x
3
Recta y = 3x + 8

2

1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–10

a) Midan los ángulos de inclinación de cada una de las rectas con respecto al eje x y
completen la siguiente tabla.

Recta Pendiente Ordenada al origen Ángulo de inclinación
y = −2x + 4 184°
y = −2x −2
y = 3x
y = 3x + 8 8

b) Contesten las siguientes preguntas a partir de la información de la tabla anterior.

• ¿Cuál recta es paralela a la recta y = −2x?
• ¿Cuál recta tiene la misma pendiente que la recta y = −2x?

• ¿Qué rectas tienen distinto ángulo de inclinación que la recta y = −2x?
y

• ¿Qué rectas tienen distinta pendiente que la recta y = −2x?
y

94

MATEMÁTICAS II
Comparen sus resultados y comenten:
a) ¿Se interseca la recta y = −2x con la recta y = −2x + 1?, ¿por qué?
b) ¿Con cuáles rectas se interseca la recta y = −2x?

A lo que llegamos
Rectas paralelas
Dos rectas que tienen la misma pendiente son rectas paralelas, es
decir, no se intersecan.
Por ejemplo, las rectas y = 4x , y = 4x + 7 así como y = 4x – 8 son
paralelas. Todas ellas tienen la misma pendiente: 4, es decir, el mismo
ángulo de inclinación respecto al eje x : 76°.
y
10

9

8

7

6

5

4

3

2

1
76º 76º 76º
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x
-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Recta y = 4x
Recta y = 4x + 7
Recta y = 4x – 8

95

secuenci a 2 3
IV. Realicen las siguientes actividades.
a) Completen las expresiones de las siguientes rectas para que sean paralelas a la
recta y = 2 x:
3

• y= x+4

• y=2 x–
3

• y= x–

b) Completen las expresiones de las siguientes rectas para que intersequen a la recta
y = 2 x:
3

• y= x+4

• y= x–

Lo que aprendimos
1. Las gráficas de las siguientes expresiones algebraicas son líneas rectas.

Recta R Recta S Recta T Recta U Recta V

y=1x+4
2
y = 2x 1
y=2x y = 2x + 1 y = –x + 4

a) ¿Qué recta es paralela a la recta y = x + 4?

b) ¿Qué recta es paralela a la recta y = 2x + 1?

Dibuja en tu cuaderno las gráficas de las expresiones anteriores para verificar tus resul-
tados.

2. Encuentra dos expresiones cuyas gráficas sean rectas paralelas a la gráfica de la recta
y = 1 x.
2

Recta 1 y=

Recta 2 y=

96

MATEMÁTICAS II
Miscelánea de problemas y algo más SESIÓN 4

Lo que aprendimos
1. Completa la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas, las pendientes
y las ordenadas al origen de algunas líneas rectas.

Recta Expresión Pendiente Ordenada al origen
A y=x+ 2

B y= x+2 -1

C y= x+ 2 2

D y = –3x + 2

E y = – 1 x + 2
2

Grafica estas rectas usando colores distintos para cada una.

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–10

97

secuenci a 2 3
a) Estas rectas se intersecan en un mismo punto, ¿cuáles son las coordenadas de este
punto? ( , ).

b) Encuentra otras dos rectas distintas que se intersequen en el mismo punto. Escribe
sus expresiones correspondientes:

Recta F y =

Recta G y =

c) ¿Cuál de las rectas anteriores tiene el menor ángulo de inclinación respecto al
eje x ?

d) ¿Cuál de las rectas anteriores tiene el mayor ángulo de inclinación respecto al
eje x?

Verifica midiendo estos dos ángulos de inclinación.

2. En el siguiente plano cartesiano se graficaron cinco rectas incompletas.

y

Recta R
Recta S
Recta T
Recta U
Recta V

x

98

MATEMÁTICAS II
a) Completa la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas de cada
una de las líneas rectas anteriores.


Expresión y = y= y= y= y=

Ordenada
al origen

Pendiente

b) Encuentra los ángulos de inclinación respecto al eje x de cada una de las rectas y
completa la siguiente tabla.

Ángulo de
inclinación

c) ¿Qué rectas son paralelas a la recta T?

3. Para conocer más sobre la pendiente y la ordenada al origen de las líneas rectas pue-
den ver el programa Las características de la línea recta.

Para saber más
Sobre las rectas y puntos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
De la Peña, José Antonio. “Rectas y puntos” en Geometría y el mundo. México: SEP/
Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Sobre las rectas paralelas y algunas ilusiones ópticas consulta:
http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.php

99

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