limite y continuidad.pdf
- 1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto, Edo-Lara Joyner correa 24399168 Barquisimeto
- 2. Que son los límites: La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que llega un periodo temporal. Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor. La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del cuando tiende a infinito. La noción de límite matemático Una definición informal del límite matemático indica que el límite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda. No obstante, además del límite citado, no podemos obviar que existen otros muy importantes en el ámbito de las Matemáticas. Así, también se puede hablar del límite de una sucesión que puede ser existente o único y divergente, en el caso de que los términos de aquella no converjan en ningún punto. Clasificación de límite: Una sucesión puede tener un límite finito (sucesión convergente), infinito (sucesión con límite infinito) o, simplemente, no tener límite. Hay muchos límites de una sucesión de gran importancia en el cálculo matemático
- 3. Ejercicios con la definición de límite 1 Utilizando la definición de límite (épsilon-delta), prueba que Solución Consideremos un arbitrario. Debemos probar que existe un que satisfaga la definición de límite. Deseamos que cuando (que todavía no conocemos), se cumpla que: Si simplicamos un poco, tenemos: Nota que estamos tratando de dejar de un lado de la desigualdad para poder obtener una expresión para . Si multiplicamos por 2 ambos lados de la desigualdad, obtendremos:
- 4. Por lo tanto, si tomamos se cumple la desigualdad. Con lo que terminamos la demostración. ¿Qué significa esto? Significa que para cualquier que nos den, siempre podremos encontrar un que satisfaga la definición debido a que ya tenemos la fórmula para ello — en este caso—. Por ejemplo, si tuviéramos , entonces . Por lo tanto, si es equivalente a . Es decir, . Por lo tanto, si tomamos cualquier en el intervalo se va a cumplir que Por ejemplo, tomemos , entonces . De este modo:
- 5. Similarmente, si tomamos , entonces . Por lo que: Calcula el límite: Solución Deseamos encontrar el límite Notemos, primero, que si "evaluamos en infinito", obtenemos una forma indeterminada: Como el valor de no está determinado, necesitamos realizar una manipulación algebraica de nuestra función.
- 6. Antes de hacer la manipulación algebraica, transformemos el límite utilizando la propiedad: Con lo que el límite resulta ser: Ahora necesitamos manipular algebraicamente los límites con el fin de eliminar la resta de infinitos. Esto se logra "racionalizando" (es decir, multiplicar y dividir por el conjugado): Observemos que si evaluamos en infinito, volvemos a tener una nueva indeterminación. En este caso se trata de una indeterminación . Para deshacernos de esta indeterminación debemos realizar otra manipulación algebraica. En este caso se trata de multiplicar y dividir por :
- 7. El cuál es el resultado que buscábamos. Que es continuidad: Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe. Como puede ser determinada una función: Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: Que el punto x= a tenga imagen. Que exista el límite de la función en el punto x = a. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto. Cómo se sabe si una función es continua o discontinua Decimos que la función es discontinua en un cierto punto si éste rompe la continuidad de la función. Estos puntos los podemos reconocer en la gráfica de la función como cambios drásticos de valor, saltos, o como valores sin definir, huecos. Ejercicios de continuidad Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
- 8. 1 2 3 4 5 6 Solución Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 1
- 9. La función es continua en todos los puntos de su dominio menos en los valores que anulan el denominador. La función tiene dos puntos de discontinuidad en y .
- 10. 2 La función es continua en toda ℛ menos en los valores en que se anula el denominador, si igualamos este a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad. ; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: y La función tiene tres puntos de discontinuidad en , y
- 11. 3 La función es continua en toda ℛ
- 12. 4 Salto =
- 13. La función es discontinua inevitable de salto en . 5
- 14. En hay una discontinuidad de salto finito. 6
- 15. Salto = La función es discontinua inevitable de salto en . Continuidad en x=0
- 16. Estudia la continuidad de f(x) en x = 0. Solución Estudia la continuidad de f(x) en x = 0. En hay una discontinuidad esencial.