Limites y-continuidad

Límites y continuidad
LÍMITES
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo
infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el
valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número
determinado o al infinito.
Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a
observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende
(se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el
entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como
por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2,
f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más
cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia
en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la
diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada
vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la
tabla inferior derecha).
O sea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando
la variable independiente se aproxima también a un valor
constante.
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41
|x 2| | f (x) 3|
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41
De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende
a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

Definición épsilon-delta
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite
de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe
Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.
Ejercicios resueltos (aplicando la definición épsilon-delta)
En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el límite es el número indicado
aplicando la definición Épsilon-delta:
S o l u c i o n e s
1. Solución:

4. Solución:
Teoremas de límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la
definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Para cualquier número dado a,
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula
directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que
nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se
aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es
posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la
función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la
división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces
como la factorización, la conjugada, etc.

Ejercicios resueltos
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican
en cada paso:
S o l u c i o n e s
1. Solución
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:

5. Solución:
6. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no
obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite
aplicando el TL1:
7. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no
obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite
aplicando el TL7 o el TL4(III):
8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma
indeterminada 0/0;
por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del
TL6:
9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante,
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para
hallar el límite:

10. Solución:
Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:
11. Solución:
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante,
una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite
mediante los TL7 y TL6:
12. Solución:

Límites unilaterales
Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la
derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a
dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no
tiene sentido.
Ejemplo:
Límite unilateral por la derecha:
Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el
límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe
Límite unilateral por la izquierda:
Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x),
cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe
Límite bilateral:

En los ejercicios 1 a 4, trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no
existe, dé la razón:
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:

3. Solución:
4. Solución:
Continuidad de una función

Criterios de continuidad de una función en un número
Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se
cumplen las tres condiciones siguientes:
Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho
número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un
"salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o
esencial.
Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en
la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).
Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de
"salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la
discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d

En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica,
determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál
condición no se cumple de los "Criterios de continuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a
14 demuestre que la función es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidad es
eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los
ejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada.
S o l u c i o n e s
1. Solución:
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple; conclusión: f
es discontinua en -3.

2. Solución:
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5 5 2.5 1
f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple; conclusón:
f es discontinua en 4.
3. Solución:
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -0.5 -1 0 1 0.5 0.1

4. Solución:
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0.02
5
0.12
5
0.
2
0.2
5
0.
2
0.12
5
0.02
5
5. Solución
Por lo tanto, f es discontinua en 0.
6. Solución:

7. Solución:
x ... ...
y ... -2 -1 0 1 2 ...
8. Solución:
9. Solución:

10. Solución:
11. Solución:
12. Solución:

13. Solución:
14. Solución:
15. Solución:
16. Solución:

17. Solución:
18. Solución:
19. Solución:
20. Solución:

21. Solución:
Límites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable
independiente se acerca a un valor fijo determinado.
Crecimiento infinito:
Decrecimiento infinito:

Teorema de límite 17:
Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar
las asíntotas, tanto verticales como horizontales (más adelante nos ocuparemos de estas
últimas), es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función.
Asíntota vertical:
Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y.
Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

En los ejercicios 1 a 7, determine el límite. En los ejercicios 9 a 11. encuentre la(s)
asíntota(s) vertical(es) de la gráfica de la función y trácela(s).
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:

5. Solución:
6. Solución:
Límites en el infinito
Asíntota horizontal:
Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x.

S o l u c i o n e s

Miscelánea1
S o l u c i o n e s

Miscelánea2
S o l u c i o n e s

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