Linealización de problemas por medio de valores propios

Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaciń
o M´todos Multivariados
e

Linealizaciń de problemas por medio de valores
o
propios

Pedro Fernando Morales

Departamento de Matem´ticas
a
Universidad de Baylor
pedro morales@baylor.edu

USAC, Guatemala, 20/11/2012

Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaciń de problemas por medio de valores propios
o

e

Outline

1 Fundamentos

a
o

e

Outline

1 Fundamentos

2 Series de Fourier

a
o

e

Outline

1 Fundamentos

2 Series de Fourier

3 Filtrado y Equalizaci´n
o

a
o

e

Outline

1 Fundamentos

2 Series de Fourier

3 Filtrado y Equalizaci´n
o

4 M´todos Multivariados
e

a
o

e

Valor Propio

a
o

e

Fundamentos te´ricos
o

a
o

e

o

Deﬁnici´n
o
Sea V un espacio vectorial y P un operador lineal de V en
s´ mismo. Si para un vector v existe un escalar λ tal que
ı

P(v ) = λv (1)

v se dice un vector propio y λ un valor propio de P.

a
o

e

o

Definiciń
o
Sea V un espacio vectorial y P un operador lineal de V en
s´ mismo. Si para un vector v existe un escalar λ tal que
ı

P(v ) = λv (1)

v se dice un vector propio y λ un valor propio de P.

En muchas aplicaciones P es una matriz y v es un vector de un
espacio vectorial de dimensiń finita.
o

a
o

e

Ejemplos

a
o

e

Ejemplos

−7 4
• Sea A = , entonces
3 −6

a
o

e

Ejemplos

−7 4
3 −6

λ1 = −10 v1 = (−4, 3)

λ2 = −3 v2 = (1, 1)

a
o

e

Ejemplos

−7 4
3 −6

λ1 = −10 v1 = (−4, 3)

λ2 = −3 v2 = (1, 1)

d
• Sea P = , entonces
dx

a
o

e

Ejemplos

−7 4
3 −6

λ1 = −10 v1 = (−4, 3)

λ2 = −3 v2 = (1, 1)

d
• Sea P = , entonces
dx

λ = k, k ∈ C, vλ = e λx .

a
o

e

Convenciones

a
o

e

Convenciones

• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como el
espectro de P, σ(P)

a
o

e

Convenciones

• El espectro de P puede contener otras cosas (espectro
puntual, residual, continuo)

a
o

e

Convenciones

• Se trabaja sobre C

a
o

e

Convenciones

• Se trabaja sobre C
• En dimensi´n ﬁnita, n = dim V
o

a
o

e

Caracterizaci´n (Dimensi´n Finita)
o o

a
o

e

o o

Pv = λv

a
o

e

o o

Pv = λv

P − λI = 0

a
o

e

o o

Pv = λv

P − λI = 0

det(P − λI ) = 0

a
o

e

o o

Pv = λv

P − λI = 0

det(P − λI ) = 0

Polinomio Caracter´
ıstico
p(λ) = det(P − λI )
es el polinomio caracter´
ıstico de P.

a
o

e

a
o

e

Valores propios como ra´ de p(λ)
ıces

a
o

e

Valores propios como ra´ de p(λ)
ıces
´
P tiene n valores propios!(Teorema fundamental del Algebra)

a
o

e

El ejemplo contraataca

a
o

e


−7 4
A=
3 −6

a
o

e


−7 4
A=
3 −6

−7 − λ 4
A − λI =
3 −6 − λ

a
o

e


−7 4
A=
3 −6

−7 − λ 4
A − λI =
3 −6 − λ

p(λ) = det(A − λI ) = λ2 + 13λ + 30 = (λ + 10)(λ + 3)

a
o

e


−7 4
A=
3 −6

−7 − λ 4
A − λI =
3 −6 − λ

p(λ) = det(A − λI ) = λ2 + 13λ + 30 = (λ + 10)(λ + 3)

p(λ) = 0 provee una ecuaci´n caracter´
o ıstica para los valores propios

a
o

e

x1
λ1 = −10, v1 = vector propio
y1

a
o

e

x1
y1
3x1 + 4y1
A − λ1 v = =0
3x1 + 4y1

a
o

e

x1
y1
3x1 + 4y1
A − λ1 v = =0
3x1 + 4y1

v = (−4t, 3t)

a
o

e

El ejemplo retorna

a
o

e

El ejemplo retorna

d
P=
dx

a
o

e

El ejemplo retorna

d
P=
dx

Py = λy

a
o

e

El ejemplo retorna

d
P=
dx

Py = λy

y − λy = 0

a
o

e

Ecuaci´n auxiliar o caracter´
o ıstica:

s −λ=0

a
o

e

o ıstica:

s −λ=0

y = e λx

a
o

e

o ıstica:

s −λ=0

y = e λx
todo λ ∈ C es valor propio

a
o

e

Espacio Propio (Dimensi´n Finita)
o

a
o

e

o

λ un valor propio de P

a
o

e

o

Espacio Propio
1
Nλ = ker(P − λI )

a
o

e

o

Espacio Propio
1
Nλ = ker(P − λI )

P|N 1 = λ
λ

a
o

e

Multiplicidad

a
o

e

Multiplicidad

Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,

Nλ = ker(P − λI )k ,
k

se dice el k ´simo espacio propio generalizado.
e

a
o

e

Multiplicidad

Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,

Nλ = ker(P − λI )k ,
k

se dice el k ´simo espacio propio generalizado.
e
k k
mλ = dim Nλ es la multiplicidad generalizada

a
o

e

Sea ν(λ) ∈ N tal que

a
o

e

ν(λ)−1 ν(λ) ν(λ)+1
mλ < mλ = mλ

a
o

e

ν(λ)−1 ν(λ) ν(λ)+1
mλ < mλ = mλ

ν(λ)
• mλ es la multiplicidad algebraica de λ

a
o

e

ν(λ)−1 ν(λ) ν(λ)+1
mλ < mλ = mλ

ν(λ)
• mλ es la multiplicidad algebraica de λ
1
• mλ es la multiplicidad geometrica de λ

a
o

e

Decomposici´n
o

a
o

e

Decomposici´n
o

Decomposici´n de Jordan
o
ν(λ)
V = Nλ
λ∈σ(P)

a
o

e

Decomposici´n
o

o
ν(λ)
V = Nλ
λ∈σ(P)

• Descompone al espacio en partes sencillas

a
o

e

Decomposici´n
o

o
ν(λ)
V = Nλ
λ∈σ(P)

• Descompone al espacio en partes sencillas
• Descompone al operador en multiplos escalares

a
o

e

El ejemplo recargado

a
o

e


−7 4
A= , V = C2
3 −6

a
o

e


−7 4
A= , V = C2
3 −6

C2 = (−4, 3) ⊕ (1, 1)

a
o

e


−7 4
A= , V = C2
3 −6

C2 = (−4, 3) ⊕ (1, 1)

A = −10 · ⊕ − 3·

a
o

e

Dimensi´n Inﬁnita
o

a
o

e

o

• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}

a
o

e

o

• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ

a
o

e

o

• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
• La decomposici´n da una base ortogonal (espacio separable)
o

a
o

e

o

• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
o

H= Eλ
λ∈σ(P)

a
o

e

o

• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
o

H= Eλ
λ∈σ(P)

P|Eλ = λ

a
o

e

d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2

a
o

e

d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
d2
− f (x) = λf (x)
dx 2

a
o

e

d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
d2
− f (x) = λf (x)
dx 2
√
f (x) = C sin( λx) ,

a
o

e

d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
d2
− f (x) = λf (x)
dx 2
√
f (x) = C sin( λx) , λ = m2 π 2 , m ∈ N

a
o

e

d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
d2
− f (x) = λf (x)
dx 2
√
f (x) = C sin( λx) , λ = m2 π 2 , m ∈ N

Serie de Fourier
∞
√
L2 [0, 1] = sin( mπx)
m=0

a
o

e

Polinomios Ortogonales

a
o

e


• Polinomios de Hermite

a
o

e



d2 d
− f (x) + x f (x) = λf (x)
dx 2 dx

a
o

e



d2 d
− f (x) + x f (x) = λf (x)
dx 2 dx

• Polinomios de Laguerre

a
o

e



d2 d
− f (x) + x f (x) = λf (x)
dx 2 dx

• Polinomios de Laguerre

d2 d
−x 2
f (x) + (x − 1) f (x) = λf (x)
dx dx

a
o

e

Importancia

a
o

e

Importancia

• La mayor´ de sistemas f´
ıa ısicos son modelados por ecuaciones
diferenciales

a
o

e

Importancia

diferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene el
principio de superposici´n
o

a
o

e

Importancia

diferenciales
o
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada

a
o

e

Importancia

diferenciales
o
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada
• Se puede la cantidad de informaci´n que aporta una
o
componente

a
o

e

Tratamiento de espectro
En espectrometr´ y ﬁltrado se mide o se altera la cantidad
ıa
presente de cierta frecuencia

a
o

e

ıa

• Sonido

a
o

e

ıa

• Sonido
• Procesamiento de im´genes
a

a
o

e

ıa

• Sonido
• Procesamiento de im´genes
a
• Espectroscop´
ıa

a
o

e

Sonido

a
o

e

Sonido

Filtrado, ecualizaci´n, procesamiento digital, efectos, distorsiones,
o
formatos digitales, compresi´n, etc.
o

a
o

e

Sonido

o
o
Sistema base: una bocina

a
o

e

Sonido

o
o
Modelado por un integrador (ﬁltro pasa bajo)

a
o

e

Sonido

o
o
Modelado por un integrador (ﬁltro pasa bajo)
Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)

a
o

e

Im´genes
a

a
o

e

Im´genes
a

Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,
distorsiones, formatos digitales, compresi´n, etc.
o

a
o

e

Im´genes
a

o
Sistema base: M 2 × Lk con transformaciones lineales

a
o

e

Im´genes
a

o
Sistema base: M 2 × Lk con transformaciones lineales

Vectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios de
matrices

a
o

e

Espectroscop´
ıa

Proceso inverso: Radiar con una frecuencia particular

a
o

e

Espectroscop´
ıa

Proceso inverso: Radiar con una frecuencia particular
Ver patrones de resonancia sensibles solo a determinadas
frecuencias (independencia lineal)

a
o

e

M´todos Multivariados
e

a
o

e

e

An´lisis Factorial
a
Es un m´todo multivariado para reducir el n´mero de variables
e u
infuyentes en un estudio

a
o

e

e

An´lisis Factorial
a
e u

Utilizado con un n´mero grande de datos (muchas variables)
u

a
o

e

e

An´lisis Factorial
a
e u

Utilizado con un n´mero grande de datos (muchas variables)
u
Se desea reducir el n´mero de variables estudiadas (costo y
u
log´
ıstica)

a
o

e

• Se analiza la matriz de correlaciones Σ

a
o

e

• Se obtienen los valores propios de Σ

a
o

e

• λ representa la cantidad total de informaci´n
o
λ∈σ(Σ)

a
o

e

• λ representa la cantidad total de informaci´n
o
λ∈σ(Σ)
• Se trunca la suma para perder parte de la informaci´n sin que
o
afecte mayormente

a
o

e

Responde a la pregunta ¿qu´ variables son importantes?
e

a
o

e

e
Reduce el n´mero de variables
u

a
o

e

e
Reduce el n´mero de variables
u
Explica el fen´meno con una menor cantidad de variables
o

a
o

e

Preguntas

¡Gracias!

a
o

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