Límites.pptx jean carlos manzaba
- 2. Analicemos … clientes f ¿ 50 ? ¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en el largo plazo? t tiempo (años) Entonces: lim f (t ) 50 t Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente. 2
- 6. Operaciones de los limites
- 15. 15 Límites al infinito Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe: lim f ( x ) L x De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe: lim f ( x ) x M
- 16. 16 Por ejemplo…. y = f (x) y=M lim f ( x ) y M M x x y=L L lim f ( x ) x L
- 17. 17 Por ejemplo….
- 18. 18 Límite al infinito para funciones polinómicas f (x) an x n an 1x lim f ( x ) lim x x n 1 an x a1 x a0 n Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante). Ejemplos: a) lim x 2 3 x 3 x 59 6 b) lim ( x x 4 x 2 x 5)
- 19. 19 Ejercicio . . . . . Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04. html
- 20. 20 Ejercicio . . . . . http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04. html
- 21. 21 Ejercicio . . . . . Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04. html
- 22. 22 Ejercicio . . . . . Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de So x=2 is a vertical asymptote. On the other hand, we have So y=1 and y= -1 are horizontal asymptotes. http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04. html
- 23. límite al infinito para funciones racionales an x an 1x bm x f ( x) n n 1 m bm 1 x a0 m 1 a1 x b1 x b0 Resolución: Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión: an x lim f ( x ) x an 1x n 1 x lim x n bm x m bm 1 x a0 b1 x b0 m m 1 x a1 x m 23
- 24. Para funciones racionales: an x an 1x bm x f ( x) n n 1 m bm 1 x m 1 a1 x a0 b1 x b0 Resolución simplificada: Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador: lim x an x n bm x m 24
- 25. 25 Límites infinitos Se dice que lim f ( x ) es un límite infinito si f (x) x a aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a. Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo: lim f ( x ) x a lim f ( x ) x si f (x) crece sin límite cuando x→a. a si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
- 26. 26 Límites infinitos Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas verticales se pueden presentar: (i) (ii) (iii) (iv)
- 27. 27 Ejemplo 2: De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites:
- 28. 28 x2 1 Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función f ( x ) x 2 Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos. Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad. No se puede dividir por 0 Evidentemente no existe f(2) Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2 x2 1 5 lim x 2 x 2 0 2 lim x 1 5 x 2 x 2 0 Números muy Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función pequeños pero Números muy discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los negativos: pequeños límites laterales) 1,90 – 2 = - 0,1 Continuidad de Funciones 1,99 – 2 = - 0,01 pero positivos: 1,90 - 2 = 0,1 28 1,99 - 2 = 0,01
- 29. 29 Veamos la gráfica de la función: f (x) x2 1 x 2 Cuando me acerco a 2+ la función va hacia +∞ Cuando me acerco a 2- Aquí tendremos la función va hacia -∞ Una Asíntota vertical De ecuación x=2
- 30. 30 Veamos el siguiente ejemplo con una función definida a trozos: 5 f (x) x 2 x2 6x 10 2 x 5 4x 15 x 5 Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo Aquí tenemos una recta de definición. Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en horizontal, paralela al eje los casos x = 2 es de abcisas X. Siempre y x = 5 . Que son los una recta. Aquí tenemos puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto es la continuidad continua en su intervalo Siempre a continua en su de definición. intervalo de definición.
- 31. 31 Si nos fijamos en la gráfica de esta función veremos que:
- 32. 32 Estudiamos analíticamente el caso de x = 2 f (2) 5 5 f (x) x 2 x2 6x 10 2 x 5 4x 15 x 5 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades. Continuidad de Funciones 32
- 33. 33 Estudiamos analíticamente el caso de x = 5 f (5) 5 lim x 2 6 x 10 5 x 5 lim 4 x 15 5 x 5 5 f (x) x 2 x2 6x 10 2 x 5 4x 15 x 5 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5
- 34. 34 Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable” x 2 3x 2 x 1 f (x) Tenemos que Dominio de f = R - { 1 } Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1 1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio 2. lim x 1 lim x 1 x 2 3x 2 x 1 0 x 2 3x 2 x 1 0 0 0 x 1 lim x x 1 1 x 1 lim x 1 lim f ( x ) x 1 x 2 lim x 2 x 1 1 x 2 x 1 lim x 2 x 1 1 f (1) que no existe
- 35. 35 Veamos ahora la gráfica de la función Tenemos un agujero para x =1
- 36. 36 y y = f (x) lim f x 2 x 1 lim f x x x 1 2 x 0 lim f x 1 2 1 2 3 4 lim f x lim f x lim f x x 1 x x 3 3 3 0 lim f x y lim f x no existen x x 0 lim f x x 0 0 1 1 1 lim f x no existe x 1 lim f x x 2 1 1 4 lim f x y lim f x no existen x lim f x x lim f x x 4 x 4 f 3 2
- 37. 37 Ejemplo 3: Esboce el gráfico de una función f con dominio R que cumpla con las siguientes condiciones:
- 38. 38