U1 Tema1 Límite de una Función
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El cuaderno de ejercicios de cálculo diferencial de la Universidad Politécnica de Tlaxcala, elaborado por el Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez, presenta diversos temas fundamentales como límites, derivadas y ecuaciones de rectas tangentes. Incluye ejercicios resueltos y propuestos para facilitar el aprendizaje y la comprensión de la materia, junto con definiciones clave y propiedades de los límites. Además, se proporciona bibliografía relevante para profundizar en los conceptos tratados.
![Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 5
Practica:
Como definir en wxMaxima una función:
Comando Salida (Presionando la
secuencia de teclas Shift +
Enter)
f(x):=(x^2-x-6)/(x-3);
Para evaluar el límite lateral derecho solamente hay que definir en un
arreglo los valores cercanos al 3 del lado izquierdo.
Comando Salida
x1:[2.9,2.99,2.999];
Evaluar los tres puntos en la función solo debemos llamar a la función
definida y observar el resultado de cada punto evaluado.
Comando Salida
f(x1);
Por lo tanto se puede deducir que el límite lateral izquierdo tiende a 5:
lim
𝑥→3−
𝑥2
− 𝑥 − 6
𝑥 − 3
= 5
Se prosigue a evaluar el límite lateral derecho, de la misma forma se
dan valores cercanos al tres pero mayores, es decir 3.1, 3.01, 3.001,
etc.](https://image.slidesharecdn.com/u1tema1limitefuncion-150528141918-lva1-app6892/85/U1-Tema1-Limite-de-una-Funcion-5-320.jpg)
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𝒙 → 𝟑+
𝒚 → 𝟓
(𝟑. 𝟏) 𝟐
− (𝟑. 𝟏) − 𝟔
𝟑. 𝟏 − 𝟑
5.100000000000011
(𝟑. 𝟎𝟏) 𝟐
− (𝟑. 𝟎𝟏) − 𝟔
𝟑. 𝟎𝟏 − 𝟑
5.009999999999977
(𝟑. 𝟎𝟎𝟏) 𝟐
− (𝟑. 𝟎𝟎𝟏) − 𝟔
𝟑. 𝟎𝟎𝟏 − 𝟑
5.001000000000584
Tabla 1.2 Evaluación del límite lateral derecho
Aplicando el software se tiene los resultados de la tabla 1.2
Comando Salida
x2:[3.1,3.01,3.001]$
f(x2);
lim
𝑥→3+
𝑥2
− 𝑥 − 6
𝑥 − 3
= 5
Como se observa que ambos límites tanto el izquierdo y el derecho se
acercan a 5, se concluye que el límite de la función cuando x se acerca
a 3, la función tiende a 5.
Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el
problema.
lim
𝑥→3
𝑥2
− 𝑥 − 6
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 + 2) = 3 + 2 = 5
La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la
definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo
tanto, no se ha dividido entre cero.](https://image.slidesharecdn.com/u1tema1limitefuncion-150528141918-lva1-app6892/85/U1-Tema1-Limite-de-una-Funcion-6-320.jpg)
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- 1. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Universidad Politécnica de Tlaxcala Ingeniería Química Academia de Matemáticas Núcleo de formación: Matemáticas Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de Matemáticas Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez ENERO 2015
- 2. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 2 INDICE Presentación……………………………………………………………………………………………3 Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………4 Ejercicios………………………………………………………………………………7 Definiciones y Propiedad de los límites ……………………………………………………….8 Bibliografía …..……………………………………………………………………………………………9
- 3. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 3 Presentación El presente Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial pretende apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar. El alumno al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios encuentra un apoyo académico, ya que los ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas. Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. El cuaderno contiene ejemplos de funciones, límites, derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.
- 4. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 4 Tema No. 1. Límite de una función. Definición de función: Decir que: lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) = 𝐿 Significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L. Ejemplo: Encuentre el lim 𝑥→3 𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑥 − 3 Solución. Note que (𝑥2 − 𝑥 − 6)/(𝑥 − 3) no está definido para x=3, pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo: Evaluando el límite lateral izquierdo: quiere decir dar valores cercanos a 3 menores que 3, es decir: sustituir el valor de x por 2.9, 2.99, 2.999, etc. 𝒙 → 𝟑− 𝒚 → 𝟓 (𝟐. 𝟗) 𝟐 − (𝟐. 𝟗) − 𝟔 𝟐. 𝟗 − 𝟑 4.899999999999998 (𝟐. 𝟗𝟗) 𝟐 − (𝟐. 𝟗𝟗) − 𝟔 𝟐. 𝟗𝟗 − 𝟑 4.990000000000023 (𝟐. 𝟗𝟗𝟗) 𝟐 − (𝟐. 𝟗𝟗𝟗) − 𝟔 𝟐. 𝟗𝟗𝟗 − 𝟑 4.999000000000304
- 5. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 5 Practica: Como definir en wxMaxima una función: Comando Salida (Presionando la secuencia de teclas Shift + Enter) f(x):=(x^2-x-6)/(x-3); Para evaluar el límite lateral derecho solamente hay que definir en un arreglo los valores cercanos al 3 del lado izquierdo. Comando Salida x1:[2.9,2.99,2.999]; Evaluar los tres puntos en la función solo debemos llamar a la función definida y observar el resultado de cada punto evaluado. Comando Salida f(x1); Por lo tanto se puede deducir que el límite lateral izquierdo tiende a 5: lim 𝑥→3− 𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑥 − 3 = 5 Se prosigue a evaluar el límite lateral derecho, de la misma forma se dan valores cercanos al tres pero mayores, es decir 3.1, 3.01, 3.001, etc.
- 6. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 6 𝒙 → 𝟑+ 𝒚 → 𝟓 (𝟑. 𝟏) 𝟐 − (𝟑. 𝟏) − 𝟔 𝟑. 𝟏 − 𝟑 5.100000000000011 (𝟑. 𝟎𝟏) 𝟐 − (𝟑. 𝟎𝟏) − 𝟔 𝟑. 𝟎𝟏 − 𝟑 5.009999999999977 (𝟑. 𝟎𝟎𝟏) 𝟐 − (𝟑. 𝟎𝟎𝟏) − 𝟔 𝟑. 𝟎𝟎𝟏 − 𝟑 5.001000000000584 Tabla 1.2 Evaluación del límite lateral derecho Aplicando el software se tiene los resultados de la tabla 1.2 Comando Salida x2:[3.1,3.01,3.001]$ f(x2); lim 𝑥→3+ 𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑥 − 3 = 5 Como se observa que ambos límites tanto el izquierdo y el derecho se acercan a 5, se concluye que el límite de la función cuando x se acerca a 3, la función tiende a 5. Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el problema. lim 𝑥→3 𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑥 − 3 = lim 𝑥→3 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥 − 3 = lim 𝑥→3 (𝑥 + 2) = 3 + 2 = 5 La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo tanto, no se ha dividido entre cero.
- 7. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 7 Ejercicios: Encontrar los siguientes límites: Ejercicio 1 lim 𝑥→3 2𝑥 − 8 Ejercicio 2 lim 𝑥→3 2 𝑥 + 1 Ejercicio 3 lim 𝑥→−2 𝑥2 − 3𝑥 + 1 Ejercicio 4 lim 𝑥→4 √9 + 𝑥2 𝑥 − 3 Ejercicio 5 lim 𝑥→1 𝑥2 + 3𝑥 − 4 𝑥 − 1 Ejercicio 6 lim 𝑥→4 √5𝑥 + 7 3 Ejercicio 7 lim 𝑥→1 √5𝑥 − √5 1 − 𝑥 Ejercicio 8 lim 𝑥→2 3 − √4𝑥 + 1 𝑥2 − 2𝑥 Ejercicio 8 Calcule el límite por la derecha de la siguiente función, cuando x se acerca a 0: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3 Ejercicio 9 Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales: lim 𝑥→−4 |𝑥| 𝑥
- 8. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 8 Definiciones y Propiedades. Límite finito. Límites laterales Definición 1.1 Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” es igual a L, y lo escribimos: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 Si los valores de f(x) pueden aproximarse “tanto como queramos” a L eligiendo un “x” suficientemente próximo a “a”. Definición 1.2 Decimos cuando el límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la izquierda es igual a L (Límite lateral por la izquierda), y lo escribimos: lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝐿 Si los valores de f(x) pueden aproximarse “tanto como queramos” a L eligiendo un “x” suficientemente próximo a “a” y menor que “a”. Definición 1.3 Decimos que el límite de f(x) cuando “x” tiende a “a” por la derecha es igual a L (límite lateral por la derecha), y lo escribimos: lim 𝑥→3+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 Si los valores de f(x) pueden aproximarse “tanto como queramos” a L eligiendo un “x” suficientemente próximo a “a” y mayor que “a”. Propiedad 1 El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es igual L si y sólo si existen los límites laterales por la izquierda y por la derecha y son iguales; es decir: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝐿
- 9. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 9 Bibliografía AYRES, F., 2004, Cálculo diferencial e integral, México, Mc. Graw Hill ANFOSSI, Agustín; Flores, M. A., 1991, Cálculo Diferencial e Integral, México, Editorial Progreso. CONTRERAS G. L., et al., Cálculo diferencial e integral, 2004, México, Universidad Autónoma del estado de México. GUZMÁN, José, et al., 2005, Cálculo Diferencia e Integral, México, Universidad Autónoma del Estado de México. LEITHOLD, Louis, 1987, El Cálculo con Geometría Analítica, México, Harla. PURCEL, Edwin J; Varberg, Dale, 1992, Calculo Diferencial e Integral, México, Prentice Hall, Hispanoamericana. ZILL, Dennis G., 1987, Cálculo con Geometría Analítica, México, Grupo Editorial Iberoamérica.