Logaritmos modulos

ARICA COLLEGE Grade: TWELFTH
MATHEMATICS DEPARTMENT Teacher: Cindy Samit Elgueta
ARICA-CHILE 2011 Paula Huarache Humire
Claudio Carrasco Mamani
Mariela Palma Hernández

MATHEMATICS HANDOUT

(Taller 1)
NAME: _________________________________________ DATE: _________________

I.- Resolver las ecuaciones exponenciales:
2
x
1) 2 = 1 10)
16 x = 2

2) 2 x = 8 2
11)
27 x = 9
3) 2(x + 1) = 4(x + 2)
8− x
12) 2 x − 5 =  
1
 
4) 3x = 81(x + 1) 8

1 13) 3 a5 x −3 = ax + 5
5) ( )x = 8
4
14) 4 a13 x + 5 = a2 x −5
x
 1
6)   = 343 15) 3 x a3 x +5 = 6 a7
7

x 16)2x = 5
 1
7)   = 32
4 17)8 • 3x = 5
1
8) 18) 4 : 7(x + 1) = 3
64 x = 32

19)5(x – 2) = 3(3x + 2)
2
9)
16 x = 8 20)23x–1 = 3x+2

II.- Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) log 4x = 3log 2 + 4log 3 8) log x − 1 = log( x + 1) − log x + 4

2) log (2x – 4) = 2
log(7 + x 2 )
9) =2
3) log (3 – 2x) = –1 log( x − 4)

4) log (x + 1) + log x = log (x + 9) 10) 2log (3x – 4) = 2 + log (2x + 1)2

5) log (x + 3) = log 2 – log (x + 2) 11) log2 (x2 – 1) – log2 (x + 1) = 2

6) log (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 12) log2x – 2log x = 2

7) 2log (x + 5) = log (x + 7) 13) log (x – a) – log (x + a) = log x – log (x –a)


MATHEMATICS HANDOUT

(Taller 2)
NAME: _________________________________________ DATE: _________________

I.- Resuelve los siguientes problemas acerca de fenómenos que se modelan a través de
la función exponencial y logarítmica

1) Una escala utilizada para medir la magnitud de un sismo es la escala de Richter. La
cantidad de energía liberada en un movimiento sísmico está dada por la fórmula:

log E = 1,5 R + 11,8

donde E es la energía liberada medida en ergios y R es la magnitud del sismo en grados
de la escala de Richter.

Ejemplo de Aplicación: El terremoto del 13 de junio de 2005 en Huara, provincia de
Iquique, tuvo una magnitud de 7,8 ¿Cuánta energía fue liberada en esa ocasión?

Solución: log x = 1,5 • 7,8 + 11,8, ya que R = 7,8
Entonces log x = 23,5 ⇔ 1023,5 = x
⇔ 316227766016837933199889,35444327 = 3,162 • 1023

Luego, la energía liberada en el terremoto del 13 de junio de 2005 fue de 3,162 • 1023
ergios aproximadamente.

a) ¿Qué cantidad de energía se libera en un temblor de grado 4?______________

b) Qué cantidad de energía se libera en un temblor de grado 5? _______________

c) El aumento de un grado en la escala Richter, ¿qué aumento representa,
aproximadamente, en la cantidad de energía liberada? ____________________

d) ¿De que se trata la escala de Mercalli? investiga en el sitio de internet del Servicio
Sismológico de la Universidad de Chile o en otras fuentes.

2) El pH es la escala de medida que diferencia el grado de ácidez o de alcalinidad de una
solución. Los químicos calculan el pH de una solución (condición de ácido o base)
mediante la expresión
pH = –log[H+],

donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro.

Ejemplo de Aplicación: Si el huevo tiene un pH = 7,79, determinar [H+]

Solución: pH = –log [H+]
–log [H+] = 7,79
log [H+] = –7,79 ⇔ [H+] =10-7,79 = 1,62 ●10-8
Entonces, la concentración de iones de hidrógeno del huevo de 1,62 ●10-8
aproximadamente.

Ejemplo de Aplicación: Calcular el pH de la sangre, si tiene [H+] = 3,98 ●10-8

Solución: pH = –log (3,98●10-8) = 7,4

Encuentra [H+] aproximada, en cada caso, dados sus valors de pH.

a) Bebida cola, pH = 2,5 respuesta: ______________________
b) vinagre, pH = 2,9 respuesta: ______________________
c) manzana, pH = 3,0 respuesta: ______________________
d) Leche, pH = 6,5 respuesta: ______________________
e) Jabón de manos, pH = 10 respuesta: ______________________

3) El nivel de decibeles del sonido (dB), se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
D = 10 log (I • 1012)
donde I corresponde a la intensidad del sonido medido en watts/m2

a) En un equipo de amplificación se lee la siguiente información: “2.000 watts/m 2 de
salida”. ¿A qué nivel de sonido, en decibeles, corresponde esta información?

Respuesta: ________________________________________________

b) Si otro equipo tuviera la lectura “4.000 watts/m2 de salida”, ¿correspondería a un
nivel de sonido igual al doble de decibeles que el anterior?

Respuesta: ________________________________________________

En la tabla que sigue se incluye una diversidad de sonidos habituales y sus
correspondientes decibeles; Completa lo que falta.

Relación sonido vs decibeles
Fuente Intensidad Decibeles
Umbral auditivo
10–12 0
Susurro
10–10
Tráfico callejero intenso
10–5
Posible daño auditivo
10–3,5
Cercano a un trueno
120
Umbral de dolor
130
Perforación instantánea del tímpano
160
Concierto de rock
101

4) Un modelo matemático del crecimiento de la población mundial, para períodos cortos
de tiempo, está dado por: P = P0 e rt, donde P0 es la población cuando t = 0, r es la
tasa de crecimiento en % anual, t es el tiempo en años, P es la población en el tiempo
t.
Si actualmente la población de Chile es de 15 millones de habitantes y la tasa de
crecimiento, de acuerdo al período intercensal 1982 a 1992, es igual a 1,6% anual,
¿cuánto tiempo tardará en duplicarse la población, de acuerdo a este modelo?

Respuesta: _____________________________________________________________


MATHEMATICS HANDOUT

(Taller 3)
NAME: _________________________________________ DATE: _________________

Interés Simple
1) Calcular el interés producido por un capital de $ 5.000 colocado durante 3 años al 9 %
anual.
Respuesta: ________________________________________________

2) Un capital de $ 4.000 es colocado al 5 % mensual durante 3 bimestres, calcular en
interés ganado
Respuesta: ________________________________________________

Interés compuesto

1) Calcular el capital final que se obtiene al cabo de 10 meses, al depositar 4 millones de
pesos a un interés mensual de 2,5%.
Respuesta: ________________________________________________

Para entender mejor el problema, completa la siguiente tabla.
N° de mes 1° 2° 3° 4° 5°
Capital inicial 4.000.000 4.100.000 4.202.500,
0
Incremento del capital 100.000 102.500 105.062,5
debido al interés
Capital final 4.100.000 4.202.500 4.307.562,
5

Ejercicios PSU

1. Si $ 50.000 se invierten al 10% de interés compuesto anual, ¿cuál es el capital total
después de dos años?

A) $ 60.000 B) $ 60.500 C) $ 70.000
D) $ 90.000 E) $ 110.000

2. Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto n
veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada por:

nt
 r 
P = C1 + 
 100n 

Al invertir $ 50.000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término de
1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de

A) 50.000 ● (1,06)4 B) 50.000 ● (1,06)3 C) 50.000 ● (1,18)4
D) 50.000 ● (1,015)3 E) 50.000 ● (1,015)4

3. ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $ 1.000, durante tres años,
para obtener una ganancia de $ 157,5?

A) 5,0 % B) 5,5 % C) 5,27 %
D) 5,25 % E) 5,05 %

4. Un banco reajusta diariamente los montos depositados en libretas de ahorro. Si otorga
un interés compuesto anual de un 5% sobre el capital, ¿cuál de los siguientes
gráficos representa mejor el capital que posee una persona en una cuenta de ahorro,
a lo largo del tiempo, si abrió una cuenta con $ 50.000 el año 1980 y no ha efectuado
ningún depósito ni retiro?

5. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

I) log 1 • log 20 = log 20
1
II) log • log 30 < 0
2
III) log 4 • log 10 = log 4

A) I B) II C) I y II D) II y III E) I, II y III

6. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12 ?

A) log 6 • log 2 B) log 10 + log 2 C) 2log6
D) log 2 • log 2 • log 3 E) log 6 + log 2

7. log (a + b)2 – log (a + b) =

A) 2 B) a + b C) log a + 3 log b

D) log a + log b E) log (a + b)

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