3.lenguaje algebraico

4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1

PÁGINA 98

P RACTICA

Traducción a lenguaje algebraico

1 Asocia a cada enunciado una de las expresiones algebraicas que aparecen de-
bajo:
a) El cuadrado de un número menos su doble.
b) El 80% de un número.
c) Un número impar.
d) Los dos tercios de un número más cinco unidades.
2 x + 5; x 2 – 2x; 0,8x; 2x + 1
3
a) El cuadrado de un número menos su doble 8 x 2 – 2x
b) El 80% de un número 8 0,8x
c) Un número impar 8 2x + 1
d) Los 2 de un número más 5 unidades 8 2 x + 5
3 3

2 Expresa en lenguaje algebraico empleando una sola incógnita.
a) El triple de un número menos dos.
b) El producto de dos números consecutivos.
c) El cuadrado de un número más su mitad.
d) La suma de un número con otro diez unidades mayor.
a) El triple de un número menos dos: 3x – 2.
b) El producto de dos números consecutivos: x(x + 1).
c) El cuadrado de un número más su mitad: x 2 + x .
2
d) La suma de un número con otro diez unidades mayor: x + (x + 10).

3 Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos:

A 3 B x C x
x 2x x+2

°Perímetro = 2(x + 3) = 2x + 6 °Perímetro = 2(2x + x) = 6x
A ¢ B ¢ 2
£Área = 3x £Área = 2x · x = 2x

°Perímetro = 2(x + 2 + x) = 4x + 4
C¢ 2
£Área = (x + 2)x = x + 2x

Unidad 4. El lenguaje algebraico

4
Pág. 2
4 Traduce a lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas.
a) La suma de los cuadrados de dos números.
b) El cuadrado de la diferencia de dos números.
c) La mitad del producto de dos números.
d) La semisuma de dos números.
a) La suma de los cuadrados de dos números: x 2 + y 2.
b) El cuadrado de la diferencia de dos números: (x – y)2.
x·y
c) La mitad del producto de dos números: .
2
x+y
d) La semisuma de dos números: .
2

5 Si x e y son las edades actuales de dos hermanos, expresa los siguientes
enunciados utilizando ambas incógnitas:
a) La suma de las edades que tenían hace 5 años.
b) El producto de las edades que tendrán dentro de 6 años.
c) La diferencia entre la edad del mayor y la mitad del menor.
a) La suma de las edades que tenían hace 5 años:
(x – 5) + (y – 5) = x + y – 10
b) El producto de las edades que tendrán dentro de 6 años:
(x + 6)(y + 6) = xy + 6x + 6y + 36
c) La diferencia entre la edad del mayor y la mitad del menor:
y
x – si la edad del mayor es x
2
y – x si la edad del mayor es y
2

6 Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos:

A y B y C y+1
x x–1 x

°Perímetro = 2(x + y) = 2x + 2y
A ¢
£Área = xy

°Perímetro = 2(x – 1 + y) = 2x + 2y – 2
B ¢
£Área = (x – 1)y = xy – y

°Perímetro = 2(x + y + 1) = 2x + 2y + 2
C¢
£Área = x(y + 1) = xy + x


4
Pág. 3
Monomios
7 Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son se-
mejantes:
a) –5xy b) (–7x)3 c) 8x d) (xy)2
–3yx
e) 2 x 2y 2 f) 4 x 3 g) h) 1 x 2
3 5 5 2
a) Grado 2. b) Grado 3. c) Grado 1. d) Grado 4.
e) Grado 4. f ) Grado 3. g) Grado 2. h) Grado 2.
Son semejantes: a) y g); b) y f ); d) y e).

8 Calcula el valor numérico de los monomios del ejercicio anterior para
x = –1 e y = 3.
a) –5 · (–1) · 3 = 15 b) [–7 · (–1)]3 = 343 c) 8(–1) = –8
d) [(–1) · 3]2 = 9 e) 2 (–1)2 · 32 = 6 f ) 4 (–1)3 = – 4
3 5 5
g) –3 · 3(–1) = 9 h) 1 (–1)2 = 1
5 5 2 2

9 Simplifica.
a) 6x 2 – 7x 2 + 3x 2 b) –6xy – 5xy + 10xy
3
c) 1 xy 2 – 3 xy 2 – 7 xy 2 d) 2x + 1 x 3 – x 3
3 5 3 3 5

a) 6x 2 – 7x 2 + 3x 2 = 2x 2 b) –6xy – 5xy + 10xy = –xy

5 3 (
3 5 3 )
c) 1 xy 2 – 3 xy 2 – 7 xy 2 = 1 – 3 – 7 xy 2 = – 13 xy 2
3 5

( (
3
d) 2x + 1 x 3 – x 3 = 2 + 1 – 1 x 3 = – 2 x 3
3 5 3 5 15

10 Efectúa.
a) 5x – x 2 + 7x 2 – 9x + 2 b) 2x + 7y – 3x + y – x 2
c) x 2y 2 – 3x 2y – 5xy 2 + x 2y + xy 2
a) 5x – x 2 + 7x 2 – 9x + 2 = 6x 2 – 4x + 2
b) 2x + 7y – 3x + y – x 2 = –x 2 – x + 8y
c) x 2y 2 – 3x 2y – 5xy 2 + x 2y + xy 2 = x 2y 2 – 2x 2y – 4xy 2

11 Efectúa los siguientes productos de monomios:
a) 6x 2 (–3x) b) (2xy 2)(4x 2y)
4 2 ( )( )
c) 3 x 3 1 x 3 ( )( )
d) 1 xy 3xz
4 2
a) 6x 2 (–3x) = –18x 3 b) (2xy 2)(4x 2y) = 8x 3y 3

( )( )
c) 3 x 3 1 x 3 = 3 x 6
4 2 8 ( )( )
d) 1 xy 3xz = 3 x 2yz
4 2 8


4
Pág. 4
Polinomios

12 Simplifica las siguientes expresiones:
a) (2x 3 – 5x + 3) – (2x 3 – x 2 + 1) b) 5x – (3x + 8) – (2x 2 – 3x)
¿Cuál es el grado de cada polinomio?
a) 2x 3 – 5x + 3 – 2x 3 + x 2 – 1 = x 2 – 5x + 2 8 Grado 2.
b) 5x – 3x – 8 – 2x 2 + 3x = –2x 2 + 5x – 8 8 Grado 2.

13 Considera estos polinomios:
A = 3x 3 – 5x 2 + x – 1 B = 2x 4 + x 3 – 2x + 4 C = –x 3 + 3x 2 – 7x
Halla: A + B; A – C ; A – B + C
A + B = 3x 3 – 5x 2 + x – 1 + 2x 4 + x 3 – 2x + 4 = 2x 4 + 4x 3 – 5x 2 – x + 3
A – C = (3x 3 – 5x 2 + x – 1) – (–x 3 + 3x 2 – 7x) =
= 3x 3 – 5x 2 + x – 1 + x 3 – 3x 2 + 7x = 4x 3 – 8x 2 + 8x – 1
A – B + C = (3x 3 – 5x 2 + x – 1) – (2x 4 + x 3 – 2x + 4) + (–x 3 + 3x 2 – 7x) =
= 3x 3 – 5x 2 + x – 1 – 2x 4 – x 3 + 2x – 4 – x 3 + 3x 2 – 7x =
= –2x 4 + x 3 – 2x 2 – 4x – 5

PÁGINA 99

14 Efectúa, reduce y di cuál es el grado del polinomio resultante.
a) x (x 2 – 5) – 3x 2 (x + 2) – 7 (x 2 + 1)
b) 5x 2 (–3x + 1) – x (2x – 3x 2) – 2 · 3x

(
c) 1 x 2 – 3 x 2 + 6x – 9
3 2 )
a) x(x 2 – 5) – 3x 2 (x + 2) – 7(x 2 + 1) = x 3 – 5x – 3x 3 – 6x 2 – 7x 2 – 7 =
= –2x 3 – 13x 2 – 5x – 7 8 Grado 3.
b) 5x 2 (–3x + 1) – x(2x – 3x 2) – 2 · 3x = –15x 3 + 5x 2 – 2x 2 + 3x 3 – 6x =
= –12x 3 + 3x 2 – 6x 8 Grado 3.

3 ( 2 )
c) 1 x 2 – 3 x 2 + 6x – 9 = – 1 x 4 + 2x 3 – 3x 2 8 Grado 4.
2

15 Opera y simplifica.
a) (2x 2 + 3)(x – 1) – x (x – 2) b) (x + 4)(2x 2 + 3x – 5) – 3x (–x + 1)
c) (x 2 – 5x + 3)(x 2 – x) – x (x 3 – 3) (2 3 6)
d) 1 x 2 + 5 x + 1 (6x – 12)

a) (2x 2 + 3)(x – 1) – x(x – 2) = 2x 3 – 2x 2 + 3x – 3 – x 2 + 2x = 2x 3 – 3x 2 + 5x – 3
b) (x + 4)(2x 2 + 3x – 5) – 3x(–x + 1) = 2x 3 + 3x 2 – 5x + 8x 2 + 12x – 20 + 3x 2 – 3x =
= 2x 3 + 14x 2 + 4x – 20


4
Pág. 5
c) (x 2 – 5x + 3)(x 2 – x) – x(x 3 x4
– 3) = – – x3 5x 3 + 5x 2 + 3x 2 – 3x – x4 + 3x =
= –6x 3 + 8x 2

2 ( 3 6 (
d) 1 x 2 + 5 x + 1 (6x – 12) = 3x 3 – 6x 2 + 10x 2 – 20x + x – 2 =
= 3x 3 + 4x 2 – 19x – 2

16 Extrae factor común.
a) 12x 3 – 8x 2 – 4x b) –3x 3 + x – x 2
c) 2xy 2 – 4x 2y + x 2y 2 d) 2 x 2 + 1 x 3 – 5 x
3 3 3
a) 12x 3 – 8x 2 – 4x = 4x(3x 2 – 2x – 1)
b) –3x 3 + x – x 2 = x(–3x 2 + 1 – x)
c) 2xy 2 – 4x 2y + x 2y 2 = xy (2y – 4x + xy)
d) 2 x 2 + 1 x 3 – 5 x = 1 x(2x + x 2 – 5)
3 3 3 3

17 Extrae factor común como en el ejemplo.
• 3x (x + 1) – x 2 (x + 1) + (x + 1)(x 2 – 2) = (x + 1) [3x – x 2 + x 2 – 2] =
= (x + 1)(3x – 2)
a) 2x (x – 2) + x 2 (x – 2) – 3 (x – 2)

b) x 2 (x + 1) – x 2 (x + 2) + 2x 2 (x – 3)
c) 3x 2 (x + 3) – 6x (x + 3)
a) 2x(x – 2) + x 2 (x – 2) – 3 (x – 2) = (x – 2)(2x + x 2 – 3)
b) x 2 (x + 1) – x 2 (x + 2) + 2x 2 (x – 3) = x 2 [x + 1 – (x + 2) + 2(x – 3)] = x 2 (2x – 7)
c) 3x 2 (x + 3) – 6x(x + 3) = x(x + 3)(3x – 6)

Identidades notables

18 Desarrolla estas expresiones:
a) (x + 6)2 b) (7 – x)2
c) (3x – 2)2 ( )
d) x + 1
2
2

f) ( 2 x – 1 y)
2
e) (x – 2y)2
5 3
a) (x + 6)2 = x 2 + 36 + 12x b) (7 – x)2 = 49 + x 2 – 14x

( )
2
c) (3x – 2)2 = 9x 2 + 4 – 12x d) x + 1 = x 2 + 1 + x
2 4

( 5 3 ) 25 9 15
2
e) (x – 2y)2 = x 2 + 4y 2 – 4xy f ) 2 x – 1 y = 4 x + 1 y – 4 xy
2 2


4
Pág. 6
19 Efectúa estos productos:
a) (x + 7)(x – 7) b) (3 + x)(3 – x) c) (3 + 4x)(3 – 4x)
d) (x 2 + 1)(x 2 – 1)
2 ( 2 )(
e) 1 x – 1 1 x + 1 ) ( )( )
f) 1 + 1 1 – 1
x x
a) (x + 7)(x – 7) = x 2 – 49 b) (3 + x)(3 – x) = 9 – x 2
c) (3 + 4x)(3 – 4x) = 9 – 16x 2 d) (x 2 + 1)(x 2 – 1) = x 4 – 1

( 2 )(2 )
e) 1 x – 1 1 x + 1 = 1 x 2 – 1
4 ( )( )
f ) 1 + 1 1 – 1 = 1 – 12
x x x

20 Simplifica todo lo posible las expresiones siguientes:
a) (x + 3)(x – 3) – (x + 3)2 b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 – 9
c) 3x (x + 1)2 – (2x + 1)(2x – 1) d) (x 2 + 2)(x 2 – 2) – (x 2 – 1)2
a) (x + 3)(x – 3) – (x + 3)2 = x 2 – 9 – (x 2 + 9 – 6x) = 6x – 18
b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 – 9 = 4x 2 + 9 – 12x – (4x 2 + 9 – 12x) – 9 =
= 4x 2 + 9 – 12x – 4x 2 – 9 + 12x – 9 = –9
c) 3x(x + 1)2 – (2x + 1)(2x – 1) = 3x(x 2 + 1 + 2x) – (4x 2 – 1) =
= 3x 3 + 3x + 6x 2 – 4x 2 + 1 = 3x 3 + 2x 2 + 3x + 1
d) (x 2 + 2)(x 2 – 2) – (x 2 – 1)2 = x 4 – 4 – (x 4 + 1 – 2x 2) = x 4 – 4 – x 4 – 1 + 2x 2 =
= 2x 2 – 5

21 Transforma en diferencia de cuadrados.
a) (2x + 7)(2x – 7) b) (4x – 1)(4x + 1)
c) (x 2 + x)(x 2 – x) d) (1 – 5x)(1 + 5x)
a) (2x + 7)(2x – 7) = 4x 2 – 49 b) (4x – 1)(4x + 1) = 16x 2 – 1
c) (x 2 + x)(x 2 – x) = x 4 – x 2 d) (1 – 5x)(1 + 5x) = 1 – 25x 2

22 Completa con el término que falta para que cada expresión sea el cuadrado
de una suma o el de una diferencia:
a) x 2 + … + 4x b) x 2 + … – 10x
c) x 2 + 9 + … d) x 2 + 16 – …
a) x 2 + 4 + 4x b) x 2 + 25 – 10x
c) x 2 + 9 + 6x d) x 2 + 16 + 8x

23 Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, como en el ejemplo.
• x2 + 25 + 10x = x 2 + 52 + 2 · 5x = (x + 5)2
a) x 2 + 49 – 14x b) x 2 + 1 – 2x
c) 4x 2 + 1 + 4x d) x 2 + 12x + 36
a) x 2 + 49 – 14x = (x – 7)2 b) x 2 + 1 – 2x = (x – 1)2
c) (4x 2 + 1 + 4x) = (2x + 1)2 d) x 2 + 12x + 36 = (x + 6)2


4
Pág. 7
Fracciones algebraicas

24 Simplifica estas fracciones algebraicas:
2
a) 9x 2 b) x (x + 1) c) x (x + 2)
12x 5 (x + 1) 2x 3
2
a) 9x 2 = 3 b) x(x + 1) = x c) x (x + 2) = x + 2
12x 4x 5(x + 1) 5 2x 3 2x

25 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. Para ello, saca factor común:
a) x2 – 4x b) 2 3x c) 3x + 32
x 2 x + 2x (x + 1)
2 3 2 3
d) 2x + 4x e) 8x – 4x2 f) 5x4 + 5x
x 3 + 2x 2 (2x – 1) x + x2
2
a) x –24x = x (x – 4) = x – 4
x x2 x

b) 3x = 3x = 3
x2 + 2x x(x + 2) x + 2

c) 3x + 32 = 3 (x + 1) = 3
(x + 1) (x + 1)2 x + 1
2
d) 2x + 4x = 2x(x + 2) = 2
x 3 + 2x 2 x 2 (x + 2) x
3 2 2 2
e) 8x – 4x2 = 4x (2x – 2 = 4x
1)
(2x – 1) (2x – 1) 2x – 1
3 2
f ) 5x4 + 5x = 5x(x 2 + 1) = 5
x + x2 x 2 (x + 1) x

26 Opera, y simplifica si es posible.

a) x · 32 b) 3x + 2 : x + 1
x+1 x x–1 x
2
c) 3 : 2
2 x–1
d) (x + 1) : x – 1
(x – 1) 2

a) x · 3 = 3x = 3
x+1 x 2 (x + 1)x 2 (x + 1)x
2
b) 3x + 2 : x + 1 = x(3x + 2) = 3x 2 + 2x
x–1 x (x + 1)(x – 1) x –1

c) 3 : 2 = 3(x – 1)2 = 3
(x – 1) 2 x–1 2(x – 1) 2(x – 1)
2
d) (x + 1) : x – 1 = 2(x + 1) = 2(x + 1) = 2
2 x2 – 1 (x + 1)(x – 1) x – 1


4
Pág. 8

PÁGINA 100

27 Efectúa.
a) 1 + 1 2 – 1 3 b) 2 + x – 1 c) 2 – 3 + x + 1
6x 3x 2x x x–7 x x–4 x–4

d) 2x – x – 1 e) 3 + 1 + x f) 3 – 1 +2
x–3 x+3 x – 1 2x 4 x + 1 x2 + x
2
a) 1 + 32 – 1 3 = x + 18x – 3
6x x 2x 6x 3
2 2
b) 2 + x – 1 = 2(x – 7) + x(x – 1) = 2x – 14 + x – x = x + x – 14
x x–7 x(x – 7) x 2 – 7x x 2 – 7x
2 2
c) 2 – 3 + x + 1 = 2 (x – 4) – 3x + x(x + 1) = 2x – 8 – 3x + x + x = x2 – 8
x x–4 x–4 x(x – 4) x(x – 4) x – 4x
2
d) 2 – x – 1 = 2 (x + 3) – (x – 1)(x – 3) = 2x + 6 – (x – 4x + 3) =
x–3 x+3 (x – 3)(x + 3) x2 – 9
2 2
= 2x + 6 –2x + 4x – 3 = –x + 6x + 3
x –9 x2 – 9

e) 3 + 1 + x = 2x · 4 · 3 + (x – 1)4 + (x – 1)2x · x =
x – 1 2x 4 (x – 1) · 2x · 4
3 2 3 2
= 24x + 4x – 4 + 2x – 2x = 2x – 2x + 28x – 4 =
(x – 1) · 2x · 4 (x – 1) · 2x · 4
3 2 3 2
= 2(x – x + 14x – 2) = x – x 2+ 14x – 2
(x – 1) · 2x · 4 4x – 4x

f) 3 – 1 +2= 3 – 1 + 2 = 3x – 1 + 2x(x + 1) =
x+1 x 2+x x + 1 x(x + 1) x(x + 1)
2 2
= 3x – 1 + 2x + 2x = 2x + 5x – 1
x(x + 1) x2 + x

P IENSA Y RESUELVE

28 Expresa algebraicamente:
a) El área del triángulo azul. b) El área del trapecio amarillo.
c) La longitud de l. x
—
3
a) (2x/3) · x = 1 x 2 b) (x + x/3) · x = 2 x 2
2 3 2 3
x

√ ( ) √
2x 2 13 l
c) l = x2 + — = —x2
3 9
x


4
Pág. 9
29 Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada.

y
2
2
x

A = xy – (x – 4)(y – 4) = xy – (xy – 4x – 4y + 16) = 4x + 4y – 16

30 Expresa algebraicamente el área y la diagonal mayor de este trapecio:
x

y

3x
(3x + x)y
Área = = 2xy
2
Diagonal: √y 2 + (3x)2

32 Reduce las siguientes expresiones:

(
a) 6 5x – 4 + 2x – 3 – x – 1
6 2 3 )
b) 12 (x + 6 – x + 1 + 3x – 1)
3 2 4

c) 4 [(x – 2) – 3 x – 4]
2 2
4

d) 30[ x (x – 2) – (x + 1) + 1 ]
2
15 6 2

a) 6 ( 5x – 4 + 2x – 3 – x – 1 ) = 5x – 4 + 3(2x – 3) – 2(x – 1) =
6 2 3
= 5x – 4 + 6x – 9 – 2x + 1 = 9x – 12

(
3 2 4 )
b) 12 x + 6 – x + 1 + 3x – 1 = 4(x + 6) – 6(x + 1) + 3(3x – 1) =
= 4x + 24 – 6x – 6 + 9x – 3 = 7x + 15

[ ]
c) 4 (x – 2)2 – 3 x 2 – 4 = 4(x 2 + 4 – 2x) – 3x 2 – 16 = 4x 2 + 16 – 8x – 3x 2 – 16 =
4
= x 2 – 8x

[ 2
]
d) 30 x(x – 2) – (x + 1) + 1 = 2x(x – 2) – 5(x 2 + 1 + 2x) + 15 =
15 6 2
= 2x 2 – 4x – 5x 2 – 5 – 10x + 15 = –3x 2 – 14x + 10


4
Pág. 10
33 Multiplica cada expresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifi-
ca el resultado.
a) 3 + x – 5 – x – x + 1 b) 3 (x – 1) – 1 (x + 1) + 1
8 6 12 4 3 6
2 2 2
c) (2x – 5) – (x + 1) d) x (x – 3) + x (x + 2) – (3x + 2)
9 6 2 4 8
2 2
e) 5 (x – 1) – 7(x + 2) + x (x + 3)
9 12 2

6 12 8(
a) 3 + x – 5 – x – x + 1 = 24 3 + x – 5 – x – x + 1 =
8 6 12 )
= 3(3 + x) – 4(5 – x) – 2(x + 1) =
= 9 + 3x – 20 + 4x – 2x – 2 = 5x – 13

3 6 4 (
b) 3 (x – 1) – 1 (x + 1) + 1 = 12 3 (x – 1) – 1 (x + 1) + 1 =
4 3 6 )
= 3 · 3(x – 1) – 4(x + 1) + 2 = 9x – 9 – 4x – 4 + 2 =
= 5x – 11

( )
2 2 2 2
c) (2x – 5) – (x + 1) = 18 (2x – 5) – (x + 1) = 2(4x 2 + 25 – 20x) =
9 6 9 6
= –3(x 2 + 1 + 2x) = 8x 2 + 50 – 40x – 3x 2 – 3 – 6x =

= 5x 2 – 46x + 47

( )
2 2 2 2
d) x(x – 3) + x(x – 2) – (3x + 2) = 8 x – 3x + x + 2x – 9x + 4 + 12x =
2 4 8 2 4 8
= 4(x 2 – 3x) + 2(x 2 + 2x) – (9x 2 + 4 + 12x) =

= 4x 2 – 12x + 2x 2 + 4x – 9x 2 – 4 – 12x =
= –3x 2 – 20x – 4
2 2
e) 5(x – 1) – 7(x + 2) + x(x + 3) =
9 12 2

( )
2 2 2
= 36 5(x + 1 – 2x) – 7(x + 4 + 4x) + x + 3x =
9 12 2
= 4 · 5(x 2 + 1 – 2x) – 3 · 7(x 2 + 4x + 4) + 18(x 2 + 3x) =

= 20x 2 + 20 – 40x – 21x 2 – 84x – 84 + 18x 2 + 54x = 17x 2 – 70x – 64

34 Expresa como el cuadrado de una suma, como el cuadrado de una diferen-
cia o como una diferencia de cuadrados.
a) x 2 + 9 – 6x b) 4x 2 + 1 + 4x c) 4x 2 – 9
d) 9x 2 – 12x + 4 e) 16x 2 – 1 f) 16x 2 + 40x + 25
a) x 2 + 9 – 6x = (x – 3)2 b) 4x 2 + 1 + 4x = (2x + 1)2
c) 4x 2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) d) 9x 2 – 12x + 4 = (3x – 2)2
e) 16x 2 – 1 = (4x + 1)(4x – 1) f ) 16x 2 + 40x + 25 = (4x + 5)2


4
Pág. 11
35 Transforma en producto como en el ejemplo.
• x 3 + 2x 2 + x = x (x 2 + 2x + 1) = x (x + 1)2
a) x 3 – 4x b) 4x 3 – 4x 2 + x
c) x 4 – x 2 d) 3x 4 – 24x 3 + 48x 2
a) x 3 – 4x = x(x 2 – 4) = x(x + 2)(x – 2)
b) 4x 3 – 4x 2 + x = x(4x 2 – 4x + 1) = x(2x – 1)2
c) x 4 – x 2 = x 2(x 2 – 1) = x 2(x + 1)(x – 1)
d) 3x 4 – 24x 3 + 48x 2 = 3x 2 (x 2 – 8x + 16) = 3x 2(x – 4)2

36 Simplifica. Para ello, transforma en producto el numerador y el denominador.
a) 2x + 4
2 + 6x
b) x2+ 1 c) 2 x – 2
3x x –1 x + 4 – 4x
2 x2 – 4 3 2
d) x 2– 3x e) f) x + 2x + x
x –9 x2 + 4x + 4 3x + 3

a) 2x + 4 = 2(x + 2) = 2 b) x2+ 1 = x+1 = 1
3x 2 + 6x 3x(x + 2) 3x x –1 (x + 1)(x – 1) x – 1
2
c) x–2
2 + 4 – 4x
= x – 22 = 1 d) x 2– 3x = x(x – 3) = x
x (x – 2) x–2 x –9 (x + 3)(x – 3) x + 3

e) x 2 – 4 = (x + 2)(x – 2) = x – 2
x 2 + 4x + 4 (x + 2)2 x+2
3 2 2 2
f ) x + 2x + x = x(x + 2x + 1) = x(x + 1) = x(x + 1)
3x + 3 3(x + 1) 3(x + 1) 3

PÁGINA 101

37 Expresa cada enunciado con una identidad:
a) La raíz cuadrada del cociente de dos números es igual al cociente de las raíces
cuadradas del dividendo y del divisor.
b) La potencia del producto de dos números es igual al producto de las potencias
de los factores.
c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma
de los cuadrados de los catetos.
d) El producto de un número por el siguiente es igual a ese número más su cua-
drado.

a √a
a)
√ — =
b √b
b) (a · b)n = a n · b n

c) a = √b 2 + c 2 d) x(x + 1) = x 2 + x


4
Pág. 12

R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA

38 ¿Cuándo se dice que un número es raíz de un polinomio?
Comprueba si 3 es raíz de alguno de estos polinomios:
P = x 3 – 2x 2 + x – 12
Q = x 3 – 5x 2 – 7x
R = (x 4 – 5x + 10)(x – 3)
¿Es 0 raíz de alguno de los polinomios anteriores?
Cuando al sustituir x por ese número, el valor del polinomio es 0.
P = 33 – 2 · 32 + 3 – 12 = 27 – 18 + 3 – 12 = 0 8 3 es raíz de P.
Q = 33 – 5 · 32 – 7 · 3 = 27 – 45 – 21 ? 0 8 3 no es raíz de Q.
R = (34 – 5 · 33 + 10) (3 – 3) = 0 8 3 es raíz de R.

39 ¿Cuál debe ser el valor de k para que –2 sea raíz del polinomio:
x 3 – 5x 2 – 7x + k?
Justifica tu respuesta.
Para que –2 sea raíz de ese polinomio, al dar a x ese valor el polinomio debe ser
igual a 0. Por tanto:
(–2)3 – 5 (–2)2 – 7 (–2) + k = 0 8 –8 – 20 + 14 + k = 0 8 k = 14

40 ¿Cuál es el resultado de multiplicar una fracción por su inversa?
Comprúebalo con x y su inversa.
x+2
El producto de una fracción por su inversa es igual a 1.
x · x + 2 = x(x + 2) = 1
x+2 x (x + 2)x

41 a) Simplifica esta expresión: a 2 – (a + 1)(a – 1).
b) ¿Sabes cuál es el valor de 7 5002 – 7 501 · 7 499 sin utilizar la calculadora?
a) a 2 – (a + 1)(a – 1) = a 2 – (a 2 – 1) = a 2 – a 2 + 1 = 1
b) 7 5002 – 7 501 · 7 499 = 1, según hemos comprobado en el apartado a).

42 a) Simplifica la expresión (a + 1)2 – (a – 1)2.
b) Halla, sin utilizar la calculadora, el valor de 2 5012 – 2 4992
a) (a + 1)2 – (a – 1)2 = (a 2 + 1 + 2a) – (a 2 + 1 – 2a) = a 2 + 1 + 2a – a 2 – 1 + 2a = 4a
b) 2 5012 – 2 4992 = 4 · 2 500 = 10 000

43 Averigua cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que las dos expre-
siones sean idénticas:
a) (3x + a)(3x – a) + 7 y 9x 2 – 18 b) (x – a)2 + 2xa – 46 y x 2 + 18


4
Pág. 13
a) (3x + a)(3x – a) + 7 = 9x 2 – a2 +7
a=5
Si 9x 2 – a 2 + 7 = 9x 2 – 18 8 –a 2 + 7 = –18 8 a 2 = 25
a = –5
b) (x – a)2 + 2xa – 46 = x 2 + a 2 – 2xa + 2xa – 46 = x 2 + a 2 – 46
a=8
Si x 2 + a 2 – 46 = x 2 + 18 8 a 2 – 46 = 18 8 a 2 = 64
a = –8

P ROFUNDIZA

44 Opera y simplifica todo lo posible las siguientes expresiones:

(
a) 2 x : 3 – 2
x –1 x+1 x–1) ( )
b) – 4x 2 + 1 · x2+ 2
(x + 2) x+2 x +4

[ ]
c) 1 – 3 : (x + 2) – x
x
2+1

x

a) x : ( 3 – 2 ) = x : ( 3x – 3 – 2x – 2 ) = x : x – 5 =
2 2 2 2 2
x –1 x+1 x–1 x –1 x –1 x –1 x –1
= x(x 2 – 1) = x
(x 2 – 1)(x – 5) x – 5

b) ( (x–+4x2) + x +1 2 ) · xx ++24 = ( –4x ++ 2)+ 2 ) · xx ++24 =
2 2 (x
x
2 2

= –3x + 2 · x2+ 2 = (–3x + 2 2 + 2) =
2 x +4
2)(x
(x + 2) (x + 2) (x + 4)
= –3x + 2
(x + 2)(x 2 + 4)

[ ] [ ]
2 2
c) 1 – 3 : (x + 2) – x + 1 = 1 – 3 : x(x + 2) – x – 1 =
x x x x
=1– 3 :
x ( x2 + 2x –
x
x2
)
– 1 = 1 – 3 : 2x – 1 =
x x
=1– 3x = 1 – 3 = 2x – 1 – 3 = 2x – 4
x(2x – 1) 2x – 1 2x – 1 2x – 1

45 Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas di-
mensiones son tres números consecutivos.
Área: 2[(x + 1)(x + 2) + x(x + 1) + x(x + 2)] =
= 2(x 2 + 3x + 2 + x 2 + x + x 2 + 2x) =
= 2(3x 2 + 6x + 2) = 6x 2 + 12x + 4 x+2
Volumen: x(x + 1)(x + 2) = x(x 2
+ 3x + 2) =
=x 3 + 3x 2 + 2x

x+1
x


4
Pág. 14
46 Expresa algebraicamente el área total y el volu- R
men de un cilindro cuya altura mide el doble del radio
de la base.
Área: 2πR 2 + 2πR · 2R = 2πR 2 + 4πR 2 = 6πR 2 2R

Volumen: πR 2 · 2R = 2πR 3

47 Expresa algebraicamente el área de este trapecio isósceles:
☞ Quizá te sea útil recordar el teorema de Pitágoras.
x

3 cm 3 cm

3x
x

3 cm Altura: h = √9 – x 2
h
(3x + x) √ 9 – x 2
Área: = 2x √9 – x 2
2
x x x
3x


3.lenguaje algebraico

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