Algebra sem
- 1. Cedart David Alfaro Sequeiros Álgebra 1 Aldo Rivera Holguín Grupo 1° 1
- 2. Álgebra: Es la rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas. Su término proviene del latín que se deriva de un vocablo que significa reducción. Aplicaciones: La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver Ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los anticuados babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando Esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron hábiles de solucionar ciertas Ecuaciones indeterminadas. Exponente: El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación. En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 • En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado" Grados: Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como gr(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.
- 3. Términos Algebraicos Término Algebraico Un término algebraico consta de las siguientes partes: • Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-). • Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores Ejemplo: En 7ab2c ; 7 es coeficiente de ab2c a es coeficiente de 7b2c b2 es coeficiente de 7ac c es coeficiente de 7ab2 En general, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico. • Variable (o parte literal). Cantidad generalizada. • Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma. Ejemplos: a) -2x2; Signo: negativo Coeficiente: -2 Variable: x Exponente: 2 b) ax2y3; Signo: positivo Coeficiente: a Variables: x , y Exponentes: 2 (de la x) 3 (de la y) Sumas
- 4. a) (5a2_ 2a3+a) + (4a+3a2) + (5a3 – 2a + 7) R= 3a3 + 8a2 + a + 7 Polinomio cúbico b) (3/4x2 – 4/3x + 2) + (1/6x – 5/2x2 + 7/8) R= 7/4x2 – 7/6x + 23/8 Trinomio cuadrático c) (4y-5z+3) + (4z-y+2) + (3y-2z-1) R= 6y – 3z + 4 Trinomio lineal d) (1/2m2+3/5m-4/7) + (3/8m-5/4) + (5/3m-3/10m2) R= 1/5m2 + 117/120m – 51/28 Trinomio cuadrático e) (2pq-3p2q+4pq2) + (pq-5pq2-7p2q) + (-4pq2+3pq-p2q) R= – 11p2q – 5pq2 + 6pq Trinomio cúbico Restas a) (5m + 4n – 7) – (8n – 7) + (4m – 3n + 5) - ( -6m + 4n – 3)
- 5. R= 15m – 11n + 8 Trinomio lineal b) (4m4 – 3m3 + 6m2 + 5m -4) - (6m3 – 8m2 – 3m + 1) R= 4m4 – 9m3 + 14m2 + 8m – 5 Polinomio 4° c) (6x5 + 3x2 – 7x + 2) - (10x5 + 6x3 – 5x2 – 2x + 4) R= – 4x5 – 6x3 + 8x2 – 5x -2 Polinomio 5° d) (–xy4 – 7y3 + xy2) + (– 2xy4 + 5y – 2) – (– 6y3 + xy2 + 5) R= – 3xy4 – y3 + 5y – 7 Polinomio 4° e) (1/6x + 3/8y – 5) - (8/3y – 5/4) + (3/2x + 2/9) R= 5/3x – 15/24 – 127/36 Trinomio lineal División Definir división algebraica:
- 6. La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida. Propiedades de la división: No es conmutativa No es asociativa Es distributiva respecto a la suma y a la resta Elementos de la división: Dividendo - - por lo que se divide Divisor - - lo que se divide Cociente - - el resultado Residuo - - lo que queda Resolver 1.- 8m9n2 - 10m7n4 - 20m5n6 + 12m3n8 2m2n3 4m7/n – 5m5n – 10 m3n3 + 6m3n5 2.- 20x4 – 5x3 – 10x2 + 15x -5x 4x3 + x2 + 2x - 3 3.- 4a8 – 10a6 - 5a4 2a3 2a3+ 5a3 – 5 a 2 4.- 2x2y + 6xy2 – 8xy + 10x2y2 2xy x + 3y – 4 + 5xy
- 7. 5.- 3x2 + 2x – 8 X+2 3x + 8 6.- 2x3 – 4x – 2 2x+2 X2 + x + 2 7.- 2a4 – a3 + 7a – 3 2a+3 a – 2a2 + 3a – 1 3 8.- 14y2 – 71y – 33 7y+3 2y - 11 Productos notables 1.- definir que son los productos notables Los productos notables son expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que se puede simplificar
- 8. 2.- Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los productos notables vistos en clase (5 tipos) Binomio al cuadrado a – primer termino al cuadrado b – doble producto del primero por el segundo c – cuadrado del segundo termino Binomio al cubo a - cubo del primer termino b – triple producto del cuadrado del primero por el segundo c – triple producto del cuadrado del segundo por el primero d – cubo del segundo termino Binomio con términos en común a – cuadrado del común b – suma o resta de los no comunes por el común c – producto de los no comunes Binomios conjugados a – cuadrado del primero b – cuadrado del segundo poniendo signo positivo Desarrollar los siguientes productos notables 1.- (3a + 4)2 9a2 + 24ª + 16 2.- (2x2 – 5)2 4x4 – 20x2 + 25 3.- (7m + 8n)2 49m2 + 112mn + 64n2 4.- (4a + 5)3 64a3 + 240a2 + 300ª + 125 5.- (2a3 – 7)3 8a9 – 84a6 + 294a3 - 49 6.- (5m + 4)3 125m3 + 300m3 + 240m + 64 7.- (3x + 2)4 81x4 + 864x3 + 419904x2 + 13824x + 16
- 9. 8.- (2x2 – 4)5 243 + 101250 + 10.- (2x+3) (2x+5) 4x2 + 16x + 8 11.- (x2 – 1) (x2 + 1) x4 - 1 12.- (m+4) (m-2) m2 -2m +2 13.- (3a – 7) (3a + 7) 9a2 - 49 14.- (5a+3b) (5a – 2b) 25a2 – 5ab + 6b2 15.- (4x3 +3) (4x3 -3) 16x9 - 9 16.- (a2 -1) (a2 -4) a4 -5a2 + 4 3.- investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras áreas. Factorizacion 1.- Define que es factorizacion
- 10. 2.- Ilustra en un mapa conseptual los diversos tipos de factorizacion 3.- factoriza las siguientes expresiones 25a2 – 64b2 = (5ª + 8b) (5ª - 8b) 8m2 – 14m – 15 = (4m + 3) (2m -5) x2 – 15x + 54 = (x-6) (x-9) 5x2 – 13x + 6 = (5x-3) (x-2) 5a2 + 10ª = 5ª (a + 2) n2 – 14n + 49 = (n-7)2 x2 – 20x – 300 = (x-30) (x+10) 9x6 – 1 = (3x3 - 1) (3x3 + 1) 64x3 + 125 = (4x+5) (16x2 – 20x + 25) x2 – 144 = (x+12) (x-12) 2x2 +11x +12 = (2x+3) (x+4) 4x2y – 12xy2 = 4xy (x-3y) xw – yw + xz – yz = wz (x-y) x2 + 14x 45 = (x+9) (x+5) 6y2 – y -2 = 3y-2 (2y+1)
- 11. 4m2 – 49 = (2m+7) (2m-7) x2 –x -42 = (x-7) (x+6) 2m2 + 3m – 35 = (2m -7) (m+5) a2 – 24ª + 119 = (a-17) (a-7) 1.-investiga la aplicación de la factorizacion en la solución de ecuaciones cuadráticas Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Fracciones algebraicas Realiza las operaciones con fracciones algebraicas X2 – 16 x-4 X2+8x+16 x+4 4x – 20x 4x x2-4x-5 x+1 3a - 9b 1 6a- 18b 2 x2-6x + 9 * x2 + 6x+5 (x -3) (x+5) x2-7x +12 3x2+2x -1 (x-4) (3x-1) 7x+21 * x2 -5xy +4y2 7x – 7y x2-16y2 4x2 + 11x -3 (4x-1) (x +4y)
- 12. x2 -3x -10 * 2x +10 2x+4 x2 -25 6x + 12 6x + 36 x-4 * 4x+8 4x+8 2x+8 x2-16 2(x+4)2 3x-15 / 12x +18 4x -20 x+3 4x +12 4x+6 4x2 -9 / 2x-3 4x2 - 9 x+3y 2x+6y 2x-3 x2 – 14x – 15 / x2 – 12x – 45 x+1 x2 – 4x – 45 x2 – 6x – 27 x+5 a-3 – a a 2 2 a -3ª+2 a -4ª+ 3 (a-2)(a-1)2 2ª -4 + 4 (a-3) (a+2) (a+4) (a+3) x +2 (x-7)(x+2) 1.- define que es una fracción compleja y da un ejemplo Fracción en la que el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones. Ecuaciones lineales
- 13. 1.- definir que es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuales son los principales métodos de resolución 2.- resolver las siguientes ecuaciones a) 4(2x-3) + 5(x-5) = 7(x+2) – (3x+4) x = 55/9 b) 5x-3 + 2x= x+1 x = 30/34 4 3 2 c) 3 (4x+3) + 2x -3 (2-x) = 2+3 (x-4) +5x -2 x = -15/9 e) 5(2x-3) +4 (x+1)-5 = 2x-3 + x x = 7/6 2 3 d) 2x +5 – 3x = x+2 + 3x x =27/24 7 5 2 Graficas a) y = 5x-1
- 14. x = 0,1,2 y = -1,4,9 solución 0.2 b) y = 2x+3 x = 0,1,2 y = 3,5,7 solución 1.5 c) y = 1/2 x + 2
- 15. x = 0,1,2 y = 2, 2.5, 3 solución = -4 1.- dos automóviles viajan por la misma carretera, uno se encuentra delante del otro, el que va adelante viaja a 60km/h mientras que el otro lo hace a 70km/h ¿Cuánto tiempo tardara el segundo automóvil en rebasar el primero? En 1 hora 2.- una joyería vende su mercancía 50% mas cara que su costo, si vende un anillo de diamantes en $1500 ¿Qué precio pago al proveedor? $750 Resolver los sistemas de ecuaciones 2x – 3y = 4 x = 5/-1 x – 4y = 7 y = 10/-1 4ª + b = 6 a = 20/17 3ª + 5b = 10 b = 37/17
- 16. m-n = 3 m = 21/7 3m + 4n = 9 indefinido 5p + 2q = -3 p = -3/-9 2p – q = 3 q = 9/ -9 x + 2y = 8 x = 16/-1 3x + 5y =12 y = -12/-1 3m + 2n = 7 m = -31/-17 m – 5n = -2 n = -13/-17 2h – i = -5 h = 18/-2 3h – 4i = -2 i = 11/-2