Algebra 5

Área de Ματεµατιχα TEXTO SAN MATEO 2002 .
 CONTENIDO 12. NOCION :. FACTORIZACIÓN
Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.
Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4 ⋅ 5
¿ Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica ?
Cuando realizamos las multiplicaciones :
i) 2x(x2
– 3x + 2) = 2x3
– 6x2
+ 4x
ii) (x + 7)(x + 5) = x2
+ 12x + 35
entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las
expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
La factorización es de extrema importancia en la Matemática, asi es que debes tratar de
entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.
Existen varios casos de factorización :
1. FACTOR COMUN MONOMIO :
Factor común monomio : es el factor que está presente en cada término del polinomio :
Ejemplo N° 1: ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z )
Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2
- 15ab - 10 ac
El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a : por lo
tanto
5a2
- 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c )
Ejemplo N° 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2
y - 30xy2
+ 12x2
y2
El factor común es “ 6xy “ porque
6x2
y - 30xy2
+ 12x2
y2
= 6xy(x - 5y + 2xy )
Realiza tú los siguientes ejercicios :
EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :
1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =
3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2
=
5. 14m2
n + 7mn = 6. 4m2
-20 am =
7. 8a3
- 6a2
= 8. ax + bx + cx =
9. b4
-b3
= 10. 4a3
bx - 4bx =
11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =
13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4
- 30x3
+ 2x2
=
15. 10x2
y - 15xy2
+ 25xy = 16. 12m2
n + 24m3
n2
- 36m4
n3
=
81

17. 2x2
+ 6x + 8x3
- 12x4
= 18. 10p2
q3
+ 14p3
q2
- 18p4
q3
- 16p5
q4
=
19. m3
n2
p4
+ m4
n3
p5
- m6
n4
p4
+ m2
n4
p3
=
20. =− 22
xy
9
8
yx
4
3
21. =+−+ 24524332
ba
16
1
ba
8
1
ba
4
1
ba
2
1
22. =−+− ba
25
16
ba
15
8
ab
5
12
ba
35
4 3322
Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :
EJEMPLO N° 1.
Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =
= ( a + b )( x + y )
EJEMPLO N° 2.
Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )
EJERCICIOS.
23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
25. x2
( p + q ) + y2
( p + q ) = 26. ( a2
+ 1 ) - b (a2
+ 1 ) =
27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
31. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO.
Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO N°1.
Factoriza ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b ) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
( a + b ) ( p + q )
EJERCICIOS :
33. a2
+ ab + ax + bx = 34. ab + 3a + 2b + 6 =
35. ab - 2a - 5b + 10 = 36. 2ab + 2a - b - 1 =
37. am - bm + an - bn = 38. 3x3
- 9ax2
- x + 3a =
39. 3x2
- 3bx + xy - by = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 =
41. 3a - b2
+ 2b2
x - 6ax = 42. a3
+ a2
+ a + 1 =
43. ac - a - bc + b + c2
- c =
44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2
- 10cd =
45. ax - ay - bx + by - cx + cy =
82
2. FACTOR COMUN POLINOMIO :

46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
48. =−++−− z7x5yz
3
143
xy
3
10
xz
4
21
x
4
15 2
49. =+−− bn
5
16
bm
5
4
am
3
8
am
3
2
4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2
+ bx + c
El trinomio de la forma x2
+ bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales
mediante el siguiente proceso :
EJEMPLO N° 1. Descomponer x2
+ 6x + 5
1° Hallar dos factores que den el primer término x · x
2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
1 · 5 ó -1 ·-5
pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + 5 )
EJEMPLO Nº 2 :
Factorizar x2
+ 4xy - 12y2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2
: x · x
2º Hallar los divisores de 12y2
, éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y
ó 4y · -3y ó -4y · 3y
ó 12y · -y ó -12y · y
pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y y -2y, es decir
x2
+ 4xy - 12y2
= ( x + 6y )( x - 2y )
EJERCICIOS :
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :
50. x2
+ 4x + 3 = 51. a2
+ 7a + 10 =
52. b2
+ 8b + 15 = 53. x2
- x - 2 =
54. r2
- 12r + 27 = 55. s2
- 14s + 33 =
56. h2
- 27h + 50 = 57. y2
- 3y - 4 =
58. x2
+ 14xy + 24y2
= 59. m2
+ 19m + 48 =
60. x2
+ 5x + 4 = 61. x2
- 12x + 35 =
EJEMPLO
Factoriza 2x2
- 11x + 5
1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x
83
5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX2
+ BX + C

2º Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1
3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 )
pero no sirve pues da : 2x2
+ 7x + 5
se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 )
y en este caso nos da : 2x2
- 11x + 5
EJERCICIOS :
62. 5x2
+ 11x + 2 = 63. 3a2
+ 10ab + 7b2
=
64. 4x2
+ 7x + 3 = 65. 4h2
+ 5h + 1 =
66. 5 + 7b + 2b2
= 67. 7x2
- 15x + 2 =
68. 5c2
+ 11cd + 2d2
= 69. 2x2
+ 5x - 12 =
70. 6x2
+ 7x - 5 = 71. 6a2
+ 23ab - 4b2
=
72. 3m2
- 7m - 20 = 73. 8x2
- 14x + 3 =
74. 5x2
+ 3xy - 2y2
= 75. 7p2
+ 13p - 2 =
76. 6a2
- 5a - 21 = 77. 2x2
- 17xy + 15y2
=
78. 2a2
- 13a + 15 =
6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS :
EJEMPLO:
Factorizar 9x2
- 16y2
=
Para el primer término 9x2
se factoriza en 3x · 3x
y el segundo término - 16y2
se factoriza en +4y · -4y
luego la factorización de 9x2
- 16y2
= ( 3x + 4y )( 3x - 4y )
EJERCICIOS :
79. 9a2
- 25b2
= 80. 16x2
- 100 =
81. 4x2
- 1 = 82. 9p2
- 40q2
=
83. 36m2
n2
- 25 = 84. 49x2
- 64t2
=
85. 169m2
- 196 n2
= 86. 121 x2
- 144 k2
=
87. =− 22
b
36
49
a
25
9
88. =− 44
y
16
9
x
25
1
89. 3x2
- 12 = 90. 5 - 180f2
=
91. 8y2
- 18 = 92. 3x2
- 75y2
=
93. 45m3
n - 20mn = 94. 2a5
- 162 a3
=
7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO :
Ejemplo:
Factorizar 9x2
- 30x + 25 =
1° Halla la raiz principal del primer término 9x2
: 3x · 3x
2° Halla la raiz principal del tercer término 25
84

con el signo del segundo término -5 · -5
luego la factorización de 9x2
- 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2
EJERCICIOS :
95. b2
- 12b + 36 = 96. 25x2
+ 70xy + 49y2
=
97. m2
- 2m + 1 = 98. x2
+ 10x + 25 =
99. 16m2
- 40mn + 25n2
= 100. 49x2
- 14x + 1 =
101.36x2
- 84xy + 49y2
= 102. 4a2
+ 4a + 1 =
103. 1 + 6ª + 9a2
= 104. 25m2
- 70 mn + 49n2
=
105. 25a2
c2
+ 20acd + 4d2
= 106. 289a2
+ 68abc + 4b2
c2
=
107. 16x6
y8
- 8 x3
y4
z7
+ z14
=
EJERCICIOS DIVERSOS:
108. 2ab + 4a2
b - 6ab2
= 109. 2xy2
- 5xy + 10x2
y - 5x2
y2
=
110.b2
- 3b - 28 = 111. a2
+ 6a + 8 =
112.5a + 25ab = 113.bx - ab + x2
- ax =
114.6x2
- 4ax - 9bx + 6ab = 115.ax + ay + x + y =
116.8x2
- 128 = 117.4 - 12y + 9y2
=
118.x4
- y2
= 119.x2
+ 2x + 1 - y2
=
120. (a + b )2
- ( c + d)2
= 121.a2
+ 12ab + 36b2
=
122. 36m2
- 12mn + n2
= 123. x16
- y16
=
1. DIFERENCIA DE CUBOS : a3
– b3
= (a – b)(a2
+ ab + b2
)
Ejemplo : 8 – x3
= (2 – x)(4 + 2x + x2
)
2. SUMA DE CUBOS : a3
+ b3
= (a + b)(a2
– ab + b2
)
Ejemplo: 27a3
+ 1 = (3a + 1)(9a2
– 3a + 1)
125. 64 – x3
= 126. 8a3
b3
+ 27 =
127. 27m3
+ 6n6
= 128. x6
– y6
=
129.
27
8
8
1 3
+x = 130.
64
13
−x =
85
8. FACTORIZACIÓN PARA LOS FUTUROS MATEMÁTICOS.

9. UNA APLICACIÓN DE LA FACTORIZACIÓN:
SIMPLIFICACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .
1° Simplificación de monomios :
8
2
4ab
2 5
3
2a b
ab
=
2° Simplificación de polinomios :
Ejemplo 1
( )( )
( )( ) 5x
2x
5x5x
5x2x
25x
10x7x
2
2
−
+
=
−+
++
=
−
++
Ejemplo 2
( )( )
( ) x2
4x
4xx2
4x4x
x8x2
16x
2
2
−
=
+
−+
=
+
−
no te olvides : PRIMERO FACTORIZAR
....... LUEGO SIMPLIFICAR.
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN :
131. =
cba60
ba12
53
72
132. =
− 222
32
yx2yx2
yx
133. =
−
−−
16a
20aa
2
2
134. =
−
+
•
+
−
yyx
y3xy
9x3
1x
2
2
135. =
++
++
12x7x
8x6x
2
2
136. =
−−
−+
⋅
++
−−
⋅
−+
++
14x5x
4x3x
20x9x
21x4x
3x2x
10x7x
2
2
2
2
2
2
137.
( )( )
( )( )
=
++
−−
⋅
−
+−
⋅
−
++
6a5x6
5x65a
25x36
30a11a
25a
25x60x36
2
2
2
2
86
PERO SIGO SIENDO
EL
REEEYY...DE LA
MATEMÁTICA Y DEL CARRETE

10. ECUACIONES CON DENOMINADORES ALGEBRAICOS
EJEMPLO : 1
6x4
9x
3x2
1x3
=
−
+
−
−
−
se factoriza el 2º denominador
1
)3x2(2
9x
3x2
1x3
=
−
+
−
−
−
/ 2(2x-3)
2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3)
6x - 2 - x - 9 = 4x - 6
x = 5
EJERCICIOS.
138.
3x2
7
3x
5
+
=
+
139. 1
4
1x
3
1x
2
x
=
+
−
−
+
140.
( ) 4
3
1x2
5
8
5
1x
x
+
+
=+
+
141.
1x2x2
6x12
1x
4
1x2
5
−−
+
=
+
+
+
142.
( )( )2x1x
8
1x
3
2x
4
−+
=
+
−
−
143.
15x10
1x6
9
7
6x4
8x3
3x2
5
−
−
−=
−
−
−
−
144. 2
1x
3x
3x
1x
=
+
−
+
−
−
145.
( )
21
2x6
7
4x3
3x2
12x52x2 −
=
+
−
+
−−
146. 2
5x5
1x4
4x4
2x3
3x3
3x2
2x2
x5
=
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
147.
5x4
3
252x16
5x6
5x4
2
+
=
−
+
−
−
148. 0
12x
12x
1x
x74
1x
1x8
=
−
+
−
+
−
−
−
+
149.
6x4
7x2
92x4
44
1
3x2
7x
+
−
−
−
=−
−
+
150. 2
a
bx
b
ax
=
−
+
−
151. 1
ab
cx
ac
bx
bc
ax
=++
152. 0
c6
axc11
b3
cxb5
a2
bxa7
=
−
−
−
−
−
153. 2
ax
bx
bx
ax
=
−
+
+
−
−
154.
b6
b13a3
a3
b3x
b2
ax −
=
+
−
−
155.
( ) a
a
2b
b
xba
a
2bax
=+
−
−
−
11. PROBLEMAS CON ENUNCIADO.
156. ¿ De qué número hay que restar
4
1
5 para obtener la sexta parte de ese número?
87

157. De un estanque lleno de parafina se consumió una cantidad equivalente a los
8
7
de su
capacidad. Reponiendo 38 litros, la parafina sólo llega a las
5
3
partes.¿Cuál es su
capacidad ?
158. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 2 horas y por otra en 6 horas. ¿ En
cuánto tiempo se llenará el depósito abriendo las dos llaves a la vez ?
159. La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la
diferencia de los cuocientes es 6. ¿ cuáles son los números ?
160. Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los
5
3
del menor con los
6
5
del mayor exceda en 31 al número del medio.
161. Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la
menor da 2 como cuociente y 40 de resto.
162. Jorge tiene
3
2
de lo que tiene Alicia, y Mónica tiene
5
3
de lo que tiene Jorge. Si juntos
tienen $ 24.800. ¿ Cuánto tiene cada uno ?
163. Marcela tiene 18 años más que Karla. Hace 18 años, la edad de Marcela equivalía a los
2
5
de la edad de Karla. Hallar las edades actuales.
164. Se ha comprado un par de zapatillas, una polera y medias deportivas por $ 25.900. Las
zapatillas costaron 8 veces lo que las medias y la polera $ 3.000 menos que las
zapatillas. Encuentra los precios de cada prenda.
165. Si me adivinas cuántas nueces tengo, dijo Lucho a Juanito, te regalo la cuarta parte
menos 2 nueces o, lo que es lo mismo, la sexta parte más una nuez. ¿ Cuántas
nueces tenía Lucho ?
166. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cayó prisionera, la sexta
parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron 25 soldados. ¿ De cuántos
soldados se componía la patrulla ?
167. Si a un número se suma 5, se multiplica la suma por 3, se resta 6 del producto y se divide la
diferencia por 7, se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el número dado.
¿ Cuál es el número ?
88

168. Cierto número de personas deben pagar una cuenta en partes iguales. Si cada uno paga $
435. faltan $ 20 y si cada uno paga $ 440 sobran $ 20. ¿ A cuánto ascendía la
cuenta y cuántas personas eran ?
169. Un obrero puede hacer un trabajo en 12 días y otro en 15 días. ¿ En cuánto tiempo hacen el
trabajo los dos juntos ?
170. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 3 horas y por otra en 4 horas, pero
una tercera puede vaciarlo en 6 horas. ¿ En qué tiempo se llenará el depósito
abriendo las tres llaves a la vez ?
171. Calcula la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 años, la edad de la primera era el
doble de la edad de la segunda y que 12 años después de la edad actual, la edad de la
segunda será
4
3
de la edad de la primera.
172. Se debe repartir $ 1.020 entre Luis, Enrique y Luciano, de modo que Enrique reciba
4
3
de
la parte de Luciano más $ 180. y Luis
6
5
de la parte de Enrique más $ 120. ¿ Cuánto
recibe cada uno ?
173. En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que de hombres
y mujeres juntos. ¿ Cuántos hombres, mujeres y niños hay si en total hay 156 personas ?
174. Uno de los lados de un triángulo mide
4
5
del lado menor, mientras que el lado mayor mide 3
centímetros más que el último. Si el perímetro del triángulo es de 45 centímetros,
encuentra la magnitud de cada lado del triángulo.
175. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades. En total, viajan 65 personas.
Colocando en orden decreciente los números de los que corresponden a cada
nacionalidad, cada uno de ellos es
3
2
del anterior. ¿ Cuántos viajeros de cada
nacionalidad hay ?
176. La suma de dos números es 240. Si se divide el número mayor por el menor, el cuociente es
3 y el resto es 8. ¿ Cuáles son los números ?
Despeja la letra indicada en cada ejercicio
89

177. a, si
r1
nara
S
−
−
=
178. f, si 





+= 1
f
25
F
L
M
179. f ,
21
111
fff
+=
180. a ,
2
2
1
tatvd i ⋅+⋅=
181. vi , vf
2
– vi
2
= 2ad
182. F , ( )32
9
5
−= FC
183. vf ,
t
vv
a if −
=
90

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