Manual minitab

Universidad Tecnológica de Torreón
Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila

Manual Minitab: Prueba de
Hipótesis
Ing. Tecnologías de la producción

Estadística aplicada a la
ingeniería
Alumno
Víctor Hugo Franco García

7° ``A´´
Profesor

Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz

A Martes 22 de Octubre de 2013


Z de una muestra
Utilice Z de 1 muestra para calcular un intervalo de confianza o realizar una prueba de
hipótesis de la media cuando no se conoce . Para una prueba Z de una muestra de dos
colas, las hipótesis son:
H :  =  versus H :  ≠ 
0

0

1

0

donde  es la media de la población y  es la media de la población hipotética.
0

Elementos del cuadro de diálogo
Muestras en columnas: Elija esta opción si ha ingresado datos sin procesar en columnas.
Ingrese las columnas que contienen los datos de muestra.
Datos resumidos: Elija esta opción si tiene valores de resumen para el tamaño de la
muestra y la media.
Tamaño de la muestra: Ingrese el valor para el tamaño de la muestra .
Media: Ingrese el valor para la media de la muestra.
Desviación estándar: Ingrese el valor de la desviación estándar de población.
Realizar prueba de hipótesis: Marque esta opción para realizar una prueba de hipótesis.
Media hipotética: Ingrese la media de la prueba  .
0

Para calcular una prueba Z e intervalo de confianza de la media
1 Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > Z de 1 muestra.
2 En Muestras en columnas, ingrese las columnas que contienen las muestras.
3 En Desviación estándar, ingrese un valor para .
4 Si lo desea, utilice cualquier opción del cuadro de diálogo y luego haga clic en
Aceptar.


Ejemplo de una prueba Z de 1 muestra e
intervalo de confianza Z
Las mediciones se tomaron en nueve artefactos. Usted sabe que la distribución de las
mediciones históricamente ha estado cerca de una distribución normal con  = 0.2. Puesto
que usted conoce el valor de  y desea probar si la media de población es 5 y obtener un
intervalo de confianza de 90% para la media, usted utiliza el procedimiento Z.
1 Abra la hoja de trabajo EJA_ESTAD.MTW.
2 Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > Z de 1 muestra.
3 En Muestras en columnas, ingrese Valores.
4 En Desviación estándar, ingrese 0.2.
5 Marque Realizar prueba de hipótesis. En Media hipotética, ingrese 5.
6 Haga clic en Opciones. En Nivel de confianza, ingrese 90. Haga clic en Aceptar.
7 Haga clic en Gráficas. Marque Gráfica de valores individuales. Haga clic en Aceptar
en cada cuadro de diálogo.
Salida de la ventana Sesión

Salida de la ventana Gráfica


Interpretación de los resultados
La estadística de prueba, Z, para probar si la media de población es igual a 5 es 3.17. El
valor p , o la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera, es 0.002. Esto
se denomina un nivel de significancia obtenido, valor p o  obtenido de la prueba. Debido a
que el valor p de 0.002 es más pequeño que los niveles  comúnmente elegidos, existe
evidencia significativa de que  no es igual a 5, de manera que usted puede rechazar H0 en
favor de que el valor de  no es 5.
Una prueba de hipótesis en  = 0.1 también puede realizarse al observar una gráfica de
valores individuales. El valor hipotético se ubica fuera del intervalo de confianza de 90%
para la media de población (4.6792, 4.8985) y de este modo puede rechazar la hipótesis
nula.


t de 1 muestra
Realiza una prueba t de una muestra o intervalo de confianza t para la media.
Utilice t de 1 muestra para calcular un intervalo de confianza y realice una prueba de
hipótesis de la media cuando no se conoce la desviación estándar de la población , . Para
una t de una muestra con dos colas,
H :  =  versus H :  ≠ 
0

0

1

0

donde  es la media de la población y  es la media de la población hipotética.
0

Muestras en columnas: Elija esta opción si ha ingresado datos sin procesar en columnas.
Ingrese las columnas que contienen los datos de muestra.
Datos resumidos: Elija si tiene valores de resumen para el tamaño de la muestra, media y
desviación estándar.
Tamaño de la muestra: Ingrese el valor para el tamaño de la muestra .
Media: Ingrese el valor para la media de la muestra.
Desviación estándar: Ingrese el valor para la desviación estándar de la muestra.
Realizar prueba de hipótesis: Marque esta opción para realizar una prueba de hipótesis.
Media hipotética: Ingrese la media de la prueba  .
0

Para calcular una prueba t y un intervalo de confianza de la media
1 Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > t de 1 muestra.
2 En Muestras en columnas, ingrese las columnas que contienen las muestras.
3 Si lo desea, utilice cualquier opción del cuadro de diálogo y luego haga clic en
Aceptar.


Ejemplo de una prueba t de 1 muestra y
un intervalo de confianza t
Las mediciones se tomaron en nueve artefactos. Usted sabe que la distribución de las
mediciones de los artefactos históricamente ha estado cerca de una distribución normal,
pero supongamos que usted no conoce . Para probar si la media de población es 5 y para
obtener un intervalo de confianza de 90% para la media, usted utiliza un procedimiento t.
3 En Muestras en columnas, ingrese Valores.
4 Marque Realizar prueba de hipótesis. En Media hipotética, ingrese 5.
5 Haga clic en Opciones. En Nivel de confianza, ingrese 90. Haga clic en Aceptar en
cada cuadro de diálogo.

La estadística de prueba, T, para H0:  = 5 se calcula como 2.56.
El valor p de esta prueba, o la probabilidad de obtener más valores extremos de la
estadística de prueba en virtud de las probabilidades si la hipótesis nula fuera verdadera, es
de 0.034. Esto se denomina nivel de significancia obtenido o valor p. Por lo tanto, rechace
H0 si su nivel  aceptable es mayor que el valor p o 0.034.
Un intervalo de confianza de 90% para la media de población, , es (4.6357,4.9421). Este
intervalo es ligeramente más amplio que el intervalo Z correspondiente que se muestra en
Ejemplo de Z de 1 muestra.


t de 2 muestra
Estadísticas > Estadísticas básicas > t de 2 muestras
Realiza una prueba t de 2 muestras independientes y genera un intervalo de confianza .
Cuando tenga muestras dependientes , utilice Estadísticas > Estadísticas básicas > t
pareada.
Utilice t de 2 muestras para realizar una prueba de hipótesis y calcular un intervalo de
confianza o la diferencia entre dos medias de población cuando las desviaciones estándar
de las poblaciones, , sean desconocidas. Para una prueba t de 2 muestras con dos colas
H :   = 
0

1

0

2

versus

H :   ≠ 
1

1

2

0

donde  y  son las medias de población y  es la diferencia hipotética entre las dos
medias de población.
1

2

0

Muestras en una columna: Elija esta opción si los datos de la muestra se encuentran en
una columna individual, diferenciados por los valores de subíndice (códigos de grupo) en
una segunda columna.
Muestras: Ingrese la columna que contiene los datos.
Subíndices: Ingrese la columna que contiene los subíndices de la muestra.
Muestras en diferentes columnas: Elija esta opción si los datos de las dos muestras están
en columnas separadas.
Primero: Ingrese la columna que contiene una muestra.
Segundo: Ingrese la columna que contiene la otra muestra.
Datos resumidos (diferencias): Elija esta opción si tiene valores de resumen para el
tamaño de la muestra , media y desviación estándar para cada muestra.
Nombre
Tamaño de la muestra: Ingrese el valor para el tamaño de la muestra.
Media: Ingrese el valor de la media.


Desviación estándar: Ingrese el valor de la desviación estándar.
Segundo
Tamaño de la muestra: Ingrese el valor del tamaño de la muestra.
Asumir varianzas iguales: Marque esta opción para presuponer que las poblaciones tienen
varianzas iguales. La opción predeterminada es presuponer varianzas desiguales. Véase
Varianzas iguales o desiguales.

Para calcular un intervalo de confianza t de dos muestras y una
prueba
2 Elija una de las siguientes opciones:
 Si sus datos están apilados en una columna individual:


Elija Muestras en una columna.



En Muestras, ingrese la columna que contiene los datos numéricos.



En Subíndices, ingrese la columna que contiene los códigos de grupo o población.

 Si sus datos no están apilados, es decir, cada muestra se encuentra en una columna
separada:


Elija Muestras en diferentes columnas.



En Primera, ingrese la columna que contiene la primera muestra.



En Segunda, ingrese la columna que contiene la otra muestra.

3 Si lo desea, utilice cualquiera de las opciones del cuadro de diálogo y haga clic en
Aceptar.


Ejemplo de una t de 2 muestras con las
Muestras en una columna
Se llevó a cabo un estudio para evaluar la efectividad de dos dispositivos para mejorar la
eficiencia de sistemas de calefacción domésticos a gas. El consumo de energía en las
viviendas se midió después de la instalación de uno de los dos dispositivos. Los dos
dispositivos eran: un regulador eléctrico (Regulador=1) y un regulador de activación
térmica (Regulador=2). Los datos de consumo de energía (BTU.Con) se apilan en una
columna y una columna de agrupación (Regulador) contiene identificadores o subíndices
para denotar la población. Supongamos que realizó una prueba de varianza y no encontró
evidencia de que las varianzas no sean iguales (véase Ejemplo de 2 varianzas). Ahora, usted
desea comparar la efectividad de estos dos dispositivos al determinar si existe o no
evidencia de que la diferencia entre los dispositivos es diferente de cero.
1
2
3
4
5
6

Abra la hoja de trabajo HORNO.MTW.
Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > t de 2 muestras.
Elija Muestras en una columna.
En Muestras, ingrese 'BTU.Con'.
En Subíndices, ingrese Regulador.
Marque la opción Asumir varianzas iguales. Haga clic en Aceptar.



Minitab muestra una tabla de los tamaños de muestras, las medias de muestras, las
desviaciones estándar y los errores estándar de las dos muestras.
Debido a que anteriormente no se encontró evidencia de que las varianzas sean desiguales,
decidimos utilizar la desviación estándar agrupada al elegir Asumir varianzas iguales. La
desviación estándar agrupada, 2.8818, se utiliza para calcular la estadística de prueba y los
intervalos de confianza .
Una segunda tabla ofrece un nivel de confianza para la diferencia en las medias de
poblaciones. Para este ejemplo, un intervalo de confianza de 95% es (1.450, 0.980), el
cual incluye cero, lo que sugiere que no existe diferencia. El siguiente es el resultado de la
prueba de hipótesis . La estadística de prueba es 0.38, con un valor p de 0.701 y 88 grados
de libertad .
Debido a que el valor p es mayor que los niveles  normalmente elegidos, no existe
evidencia de que haya diferencia en uso de energía cuando se utiliza un regulador eléctrico
versus un regulador de activación térmica.


t pareada
Estadísticas > Estadísticas básicas > t pareada
Realiza una prueba t pareada. Este procedimiento es apropiado para poner a prueba la
diferencia media entre observaciones pareadas cuando las diferencias pareadas siguen una
distribución normal.
Utilice el comando t pareada para calcular un intervalo de confianza y realizar una prueba
de hipótesis de la diferencia media entre las observaciones pareadas de la población. Una
prueba t pareada crea correspondencia en pares de respuestas que son dependientes o están
relacionadas. Esta correspondencia permite explicar la variabilidad entre los pares que por
lo general produce un término de error más pequeño y, de esta manera, se aumenta la
sensibilidad de la prueba de hipótesis o intervalo de confianza.
Como ejemplos típicos de datos pareados figuran las mediciones hechas en gemelos o
mediciones del tipo "antes y después". Para una prueba t pareada:
H :  = 
0

d

0

versus

H :  ≠ 
1

d

0

donde  es la media de la población de las diferencias y  es la media hipotética de las
diferencias.
d

0

Cuando las muestras se extraen de manera independiente de dos poblaciones, utilice
Estadísticas > Estadísticas básicas > t de 2 muestras.

Muestra en columnas: Elija esta opción si ha ingresado datos sin procesar en dos
columnas.
Primera muestra: Ingrese la columna que contiene la primera muestra
Segunda muestra: Ingrese la columna que contiene la segunda muestra
Datos resumidos (diferencias): Elija si tiene valores de resumen para el tamaño de la
muestra , media y desviación estándar de la media.
Tamaño de muestra: Ingrese el valor del tamaño de la muestra.


Para calcular una prueba t pareada y un intervalo de confianza
1

Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > t pareada.

2 En Primera muestra, ingrese la columna que contiene la primera muestra.
3 En Segunda muestra, ingrese la columna que contiene la segunda muestra.
Aceptar.

Ejemplo de t pareada
Una empresa fabricante de zapatos desea comparar dos materiales, A y B, para utilizar en
las suelas de los zapatos para niños varones. En este ejemplo, cada uno de diez niños en un
estudio usó un par especial de zapatos con la suela de un zapato hecha con el material A y
con la suela del otro zapato hecha con el material B. El tipo de suela fue asignado de forma
aleatoria para explicar las diferencias sistemáticas en el desgaste entre el pie izquierdo y el
derecho. Después de tres meses, los zapatos se miden para su uso.
Para estos datos, usted utilizaría un diseño pareado en vez de un diseño no pareado. Un
procedimiento t pareado probablemente tendría un término de error más pequeño que el que
correspondería a un procedimiento no pareado porque éste elimina la variabilidad causada
por diferencias entre los pares. Por ejemplo, es posible que uno de los niños viva en la
ciudad y camine sobre pavimento la mayor parte del día, mientras que otro niño pudiera
vivir en el campo y pasar gran parte del día sobre superficies no pavimentadas.
2 Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > t pareada.
3 Elija Muestras en columnas.
4 En Primera muestra, ingrese Mat-A. En Segunda muestra, ingrese Mat-B. Haga clic
en Aceptar.


El intervalo de confianza para la media de la diferencia entre los dos materiales no incluye
cero, lo cual sugiere una diferencia entre ellos. El valor p pequeño (p = 0.009) también
sugiere que los datos no concuerdan con H0: d = 0, es decir, los dos materiales no tienen el
mismo rendimiento. Específicamente, el Material B (media = 11.04) tuvo mejor
rendimiento que el Material A (media = 10.63) en lo que respecta a desgaste a lo largo del
período de prueba de tres meses.
Compare los resultados del procedimiento pareado con los resultados del no pareado,
prueba t de dos muestras (Estadísticas > Estadísticas básicas > t de 2 muestras). Los
resultados del procedimiento pareado nos inducen a creer que los datos no concuerdan con
H0 (t = 3.35; p = 0.009). Sin embargo, los resultados del procedimiento no pareado (no se
muestran) son totalmente diferentes. Una prueba t no pareada produce un valor t de 0.37,
y un valor p de 0.72. Con base en estos resultados, no sería posible rechazar la hipótesis
nula y podríamos concluir que no existe diferencia en el rendimiento de los dos materiales.
En el procedimiento no pareado, la gran cantidad de varianza en el desgaste de los zapatos
entre los niños (el desgaste promedio para un niño fue de 6.50 y para otro de 14.25) oculta
la diferencia, hasta cierto punto menos drástica, en el desgaste entre los zapatos izquierdo y
derecho (la diferencia más grande entre zapatos fue de 1.10). Esta es la razón por la cual un
diseño experimental pareado y un análisis subsiguiente con una prueba t pareada, cuando
corresponda, es con frecuencia mucho más potente que un enfoque no pareado.


1 Proporción
Estadísticas > Estadísticas básicas > 1 Proporción
Realiza una prueba de una proporción binomial.
Utilice 1 Proporción para calcular un intervalo de confianza y realizar una prueba de
hipótesis de la proporción . Por ejemplo, una fábrica de repuestos para vehículos afirma que
menos del 2% de sus bujías son defectuosas. Usted podría tomar una muestra aleatoria de
las bujías y determinar si la proporción defectuosa real coincide o no con la afirmación.
Para una prueba de dos colas de una proporción:
H : p = p versus H : p ≠ p
hipotético.
0

0

1

0

donde p es la proporción de población y p es el valor
0

Para comparar dos proporciones, utilice Estadísticas > Estadísticas básicas > 2
proporciones.

Muestras en columnas: Elija esta opción si usted tiene datos en las columnas, luego,
ingrese las columnas que contienen los datos de muestra. Cada celda de estas columnas
debe tener uno de dos valores posibles y corresponder a un elemento o sujeto. Los valores
posibles en las columnas deben ser idénticos si usted ingresa columnas múltiples.
Datos resumidos: Elija esta opción si tiene valores de resumen para los números de
ensayos y eventos.
Número de eventos: Ingrese el número de eventos observados. Si usted ingresa más de un
valor; el valor entero que ingrese en Número de ensayos se aplicará a todos.
Número de ensayos: Ingrese un valor individual para el número de ensayos.
Realizar prueba de hipótesis: Marque esta opción para realizar la prueba de hipótesis de
que la proporción de población es igual a un valor especificado.
Proporción hipotética: Ingrese el valor de la proporción para la hipótesis nula de la
prueba.


Para calcular una prueba y un intervalo de confianza para una
proporción
1 Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > 1 Proporción.
2 Realice uno de los siguientes procedimientos:
 Si tiene datos sin procesar, elija Muestras en columnas, e ingrese las columnas que
contienen los datos sin procesar.
 Si tiene datos resumidos:
1 Elija Datos resumidos.
2 En Número de ensayos, ingrese un valor entero numérico simple para el número de
ensayos. Con frecuencia, el número de ensayos será su tamaño de muestra..
3 En Número de eventos, ingrese uno o más valores enteros numéricos como el número
observado de eventos.
Aceptar.

Ejemplo de 1 proporción
A una fiscal de condado le gustaría postularse para la fiscalía del estado. Ella decide que
renunciará a su cargo en la oficina del condado y postularse para la fiscalía del estado si
más del 65% de los miembros de su partido la respaldan. Usted necesita probar H0: p = .65
versus H1: p > .65
Como su director de campaña, usted recopiló información de 950 miembros del partido
seleccionados de manera aleatoria y observa que 560 miembros del partido apoyan a la
candidata. Una prueba de proporción se realizó para determinar si la proporción de los
partidarios era o no mayor que la proporción requerida de 0.65. Además, se construyó un
límite de confianza del 95% para determinar el límite inferior para la proporción de
partidarios.
1 Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > 1 Proporción.
3 En Número de eventos, ingrese 560. En Número de ensayos, ingrese 950.
4 Marque Realizar prueba de hipótesis. En Proporción hipotética, ingrese 0.65.


5 Haga clic en Opciones. En Hipótesis alterna, elija Mayor que. Haga clic en Aceptar
en cada cuadro de diálogo.

El valor p de 1.0 sugiere que los datos son consistentes con la hipótesis nula (H0: p = 0.65),
es decir, la proporción de los miembros del partido que apoyan a la candidata no es mayor
que la proporción requerida de 0.65. Como su director de campaña, usted le aconsejaría no
postularse para la fiscalía del estado.


2 proporciones
Realiza una prueba de dos proporciones binomiales.
Utilice el comando 2 proporciones para calcular un intervalo de confianza y realizar una
prueba de hipótesis de la diferencia entre dos proporciones. Minitab ofrece dos pruebas de
hipótesis para la diferencia entre dos proporciones: La prueba exacta de Fisher y una prueba
basada en una aproximación normal. La prueba de aproximación normal puede ser inexacta
para muestras en las cuales el número de eventos de cada muestra es menor que cinco o si
la diferencia entre el número de ensayos y eventos de cada muestra es menor que cinco. La
prueba exacta de Fisher es exacta para todos los tamaños de muestra , pero sólo se puede
calcular cuando la hipótesis nula establece que las proporciones de población son iguales.
En otras palabras, Minitab sólo realiza la prueba exacta de Fisher cuando usted especifica
una diferencia de la prueba de cero en el cuadro de diálogo secundario Opciones.
Por ejemplo, supongamos que usted desea saber si la proporción de consumidores que
responden a una encuesta pudiera incrementarse al ofrecer un incentivo tal como una
muestra del producto. Usted puede incluir la muestra del producto en la mitad de sus
correos y determinar si obtiene más repuestas del grupo que recibió la muestra que del
grupo que no la recibió. Para una prueba de dos colas de dos proporciones:
H : p - p = p versus H : p - p ≠ p
0

1

0

2

1

1

2

0

cuando p y p son las proporciones de eventos en las poblaciones 1 y 2, respectivamente, y
p es la diferencia hipotética entre las dos proporciones.
1

2

0

Para probar una proporción utilice Estadísticas > Estadísticas básicas > 2 Proporciones.

Muestras en una columna: Elija esta opción si ha ingresado datos sin procesar en una
columna individual con una segunda columna de subíndices que identifican la muestra.
Muestras: Ingrese la columna que contiene los datos sin procesar.
Subíndices: Ingrese la columna que contiene los subíndices de la muestra.
Muestras en diferentes columnas: Elija esta opción si introdujo datos sin procesar en las
columnas individuales para cada muestra.
Primero: Ingrese la columna que contiene los datos sin procesar para la primera muestra.
Segundo: Ingrese la columna que contiene los datos sin procesar para la segunda muestra.


Datos resumidos: Elija esta opción si tiene valores de resumen para los números de
ensayos y eventos.
Nombre
Eventos: Ingrese el número de eventos en la primera muestra.
Ensayos: Ingrese el número de ensayos en la primera muestra.
Segundo
Eventos: Ingrese el número de eventos en la segunda muestra.
Ensayos: Ingrese el número de ensayos en la segunda muestra.

Para calcular un intervalo de confianza de prueba para la diferencia
en proporciones
1 Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > 2 Proporciones.
2 Realice uno de los siguientes procedimientos:
 Si sus datos sin procesar están apilados en una columna individual:
1 Elija Muestras en una columna.
2 En Muestras, ingrese la columna que contenga los datos sin procesar.
3 En Subíndices, ingrese la columna que contiene los códigos de grupo o población.
 Si sus datos sin procesar no están apilados, es decir, cada muestra se encuentra en una
columna separada:
1 Elija Muestras en diferentes columnas.
2 En Primera, ingrese la columna que contiene la primera muestra.
3 En Segunda, ingrese la columna que contiene la otra muestra.
 Si tiene datos resumidos:
2 En Primera muestra, ingrese los valores numéricos en Ensayos y en Eventos.


3 En Segunda muestra, ingrese los valores numéricos en Ensayos y en Eventos.
Aceptar.

Ejemplo de 2 proporciones
Como gerente de compras de su corporación, usted debe autorizar la adquisición de veinte
máquinas fotocopiadoras nuevas. Después de comparar numerosas marcas en términos de
precio, calidad de la copia, garantía y funciones, usted ha reducido sus opciones a dos:
Marca X y Marca Y. Usted decide que el factor determinante será la confiabilidad de las
marcas definida por la proporción de servicio requerido dentro de un año a partir de la
compra.
Debido a que su corporación ya utiliza ambas marcas, usted pudo obtener información
acerca del historial de servicio de 50 máquinas de cada marca seleccionadas aleatoriamente.
Los registros indican que seis máquinas de la Marca X y ocho de la Marca Y requirieron
servicio. Utilice esta información para orientar su elección de la marca a comprar.
1 Elija Estadísticas > Estadísticas básicas > 2 Proporciones.
3 En Primera muestra, en Eventos, ingrese 44. En Ensayos, ingrese 50.
4 En Segunda muestra, en Eventos, ingrese 42. En Ensayos, ingrese 50. Haga clic en
Aceptar.


En este ejemplo, la prueba de aproximación normal es válida porque, para ambas muestras,
el número de eventos es mayor que cuatro y la diferencia entre los números de ensayos y
eventos es mayor que cuatro. La prueba de aproximación normal indica un valor p de
0.564, y la prueba exacta de Fisher señala un valor p de 0.774. Ambos valores p son
mayores que los niveles  comúnmente elegidos. Por lo tanto, los datos concuerdan con la
hipótesis nula de que las proporciones de población son iguales. En otras palabras, la
proporción de máquinas fotocopiadoras que necesitaron servicio en el primer año no difiere
dependiendo de la marca. Como gerente de compras, usted debe hallar un criterio diferente
para orientar su decisión sobre cuál marca comprar.
Debido a que la aproximación normal es válida, usted puede sacar la misma conclusión del
intervalo de confianza de 95%. Debido a que cero se ubica en el intervalo de confianza de
(0.0957903 a 0.175790) usted puede concluir que los datos coinciden con la hipótesis
nula. Si considera que el intervalo de confianza es demasiado amplio y no provee
información precisa con respecto al valor de p1  p2, es recomendable que recolecte más
datos con el fin de obtener un mejor estimado de la diferencia.

Víctor Hugo Franco García

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