Mapas de karnaught Fermin Toro
- 1. República Bolivariana de Venezuela Universidad Fermín Toro Escuela de Ingeniería en Telecomunicaciones Cabudare – Lara Mapas de karnaugh Profesora: Marianny Arriechi Alumnos: Fidel Córdova Dayana Hernandez Leonard Santeliz Wilbert Ortiz
- 2. MAPAS DE KARNAUGH (mapa K) El mapa de Karnaugh es una herramienta muy útil para la simplificación y minimización de expresiones algebraicas Booleanas. Es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. Es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas para una tabla de verdad, es decir, si un mapa tiene 3 variables, (2) elevado a la 3 = 8. Las celdas del mapa K se marcan de modo que las celdas horizontalmente y verticalmente adyacentes, solo difieran en una variable. Vamos a definir algunos términos que nos son de mucha utilidad al momento de analizar los mapas K: Implicante: Un grupo de unos ó ceros adyacentes que implican a una variable en cuestión, agrupados en potencias de a dos. Adyacencia: Característica de un mapa K en el que sólo se cambia una variable de una celda a otra inmediata a ella por cualquiera de sus cuatro lados Mapa de Karnaugh de dos variables El mapa de Karnaugh de dos variables es un conjunto de cuatro celdas. La siguiente figura nos muestra la tabla de verdad y el mapa K para una función escogida arbitrariamente de dos variables.
- 3. ¿Qué es un Mapa de Karnaugh? Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y La función definida por la tabla en minterms es: Mapa de Karnaugh de tres variables El mapa de Karnaugh de tres variables es un conjunto de ocho celdas. La siguiente figura nos muestra la tabla de verdad y el mapa K para una funcíon escogida arbitrariamente de tres variables. La función definida por la tabla en minterms es:
- 4. se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método. Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables. Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a “1”. Si A en la tabla de verdad es “0” se pone A, si B = “1” se pone B, Si C = “0” se pone C, etc. F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh. Este tiene 8 casillas que corresponden a 2n , donde n = 3 (número de variables (A, B, C)). Ver el diagrama arriba a la derecha. La primera fila corresponde a A = 0 La segunda fila corresponde a A = 1 La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0) La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1) La tercera
- 5. columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1) La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0) En el mapa de Karnaugh se han puesto “1” en las casillas que corresponden a los valores de F = “1” en la tabla de verdad. Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh. Para proceder con la simplificación, se crean grupos de “1”s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2). Los “1”s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más “1”s tenga el grupo, mejor. La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de “1”s en cada grupo Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro “1”s, (se permite compartir casillas entre los grupos). La nueva expresión de la función boolena simplificada se deduce del mapa de Karnaugh. Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los “1”s de la tercera y cuarta columna corresponden a B sin negar) Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los “1”s están en la fila inferior que corresponde a A sin negar)
- 6. Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B Ejemplo: Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente función booleana: F = A B C + A B C + A B C + A B C Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando F = “1”, Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron hacer 3 grupos de dos “1”s cada uno. Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los tres grupos. La función simplificada es: F = A B+ A C + B C. Grupo en azul: A B, grupo marrón: A C, grupo verde:B C
- 7. Mapas de Karnaugh: "Don't care" “No Importa” Funciones no especificadas completamente. Don't care La especificación básica de una función de conmutación (función booleana) es la tabla de verdad, que muestra la lista de todas las combinaciones posibles de las variable y el valor que asumirá la o las salidas para todas esas combinaciones. Hasta ahora hemos supuesto que los valores de verdad se especifican estrictamente para todas las 2n combinaciones de entradas posibles, siendo n el numero de variables de entrada. Sin embargo, no siempre es así. Existe la posibilidad que ciertas combinaciones de entrada, debido a restricciones externas, no se produzcan nunca. Esto no quiere decir que si estas entradas prohibidas se produjeran, el circuito no responderá de alguna forma, de hecho cualquier circuito de conmutación responderá de alguna forma a cualquier entrada. Sin embargo, dado que la entrada no puede ocurrir nunca, no importa si el circuito responderá a la salida con un cero o con un uno a esta combinación de entrada prohibida. Cuando se presentan estas situaciones se dice que la salida es NO ESPECIFICADA (Don't care en inglés). Esto se indica en la tabla de verdad y en el mapa de Karnaugh correspondiente con una X en lugar del 1 o 0. Esta X en el mapa de Karnaugh la utilizaremos como un comodín, haciéndola valer 0 o 1 según nuestra conveniencia a la hora de minimizar. Cuando queremos simplificar una función utilizando mapas de Karnaugh, estas condiciones de don't care para formar grupos de "unos" mas grandes que nos generaran términos productos menores. Veamoslo con un ejemplo: Diseñar un circuito que detecte los números primos entre 1 y 9. N° A B C D f 0 0 0 0 0 X 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 X 11 1 0 1 1 X 12 1 1 0 0 X 13 1 1 0 1 X Para representar los números entre el 1 y el 9 necesitamos 4 bits. Supongamos A,B,C,D, siendo A el bit mas significativo. Realizamos la tabla de verdad colocando un 1 en los números primos del 1 al 9 y un 0 en los números que no sean primos. Note que el rango de combinaciones que queremos cubrir están entre 1 y 9 ambos inclusive, lo que hace un total de 9 combinaciones.
- 8. 14 1 1 1 0 X 15 1 1 1 1 X Con 4 variables podemos tener 16 combinaciones, por lo que existen 7 combinaciones para las cuales "no importa " (don't care) la entrada porque nunca se van a dar. En esas combinaciones colocamos una X en la tabla de verdad. De la tabla de verdad obtenemos el mapa de Karnaugh, colocando los unos y las equis. A continuación se muestra la diferencia de tomar las X en el proceso de agrupación como mas nos convenga para la minimización. Ya que las combinaciones indicadas con X no importan, porque nunca van a estar presentes, se toman como 1 o 0 si ayudan a obtener un menor número de términos o términos con menos literales. Sin tomar en cuenta las X Tomando las X como mejor convenga
- 9. Condición Don’t care / No importa Condición don’t care Una condición don’t care es una combinación de entradas para las cuales la salida no importa si es un 1 o un 0. Esto permite al diseñador del circuito simplificar su implementación ya que le permite elegir el valor de salida más favorable para sus intereses. Un ejemplo de la aparición de esta condición don’t care es la siguientes: supóngase un circuito que a su entrada recibe un código BCD (de 4 bits) y que debe proporcionar una salida (0 o 1) en base a unas ciertas especificaciones. Se hará un ejemplo, en el que se indique con un 1 si el numero a la entrada es primo, o lo que es lo mismo, si corresponde a los decimales 2, 3, 5, 7. Ver “números primos” en la Wikipedia. Como se recordará, el código BCD únicamente representa los valores 0…9 en decimal. Debido a esto, sólo trabaja con 10 combinaciones de las 24 = 16 posibles. Esto quiere decir, que para las 6 combinaciones sobrantes la salida que proporcione el circuito es indiferente y constituyen condiciones don’t care. La tabla de verdad que reflejaría este funcionamiento es la siguiente: B C D X 3 X 2 X 1 X 0 S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 0
- 10. x 1 0 1 0 x x 1 0 1 1 x x 1 1 0 0 x x 1 1 0 1 x x 1 1 1 0 x x 1 1 1 1 x En esta tabla se ha incluido como primera columna el valor decimal BCD al que corresponde la combinación de 4 bits, X3,X2,X1,X0. A partir del valor 9 se puede observar que se han marcado con “x” el resto de combinaciones binarias ya que no se utilizan en BCD. La salida correspondiente a cada una de estas combinaciones binarias se marca también con “x. De esta forma, se indica que esa combinación tiene la condición don’t care y que por tanto, el valor que aparezca en la salida no importa. Mapas de Karnaugh con don’t care Estas condiciones don’t care introduce una variación significativa a la hora de efectuar la simplificación de los mapas de Karnaugh ya que el diseñador, a la hora de formar los grupos, podrá elegir y asignar a cada uno de los valores de “x” el valor 1 o 0 según le convenga. Le interesará asignar a una “x” un valor 1 si la casilla, adyacente a otras de valor 1, permite crear un grupo más grande y por lo tanto se obtiene una mayor simplificación. En caso contrario, le interesará asignar a “x” el valor 0. Siguiente con el ejemplo de este apartado, si trasladamos al Mapa de Karnaugh la tabla de verdad que describe la función se obtendrá lo siguiente:
- 11. Mapa de Karnaugh. Los valores “x” indican condiciones don’t care En este mapa se puede observar que las casillas con los valores decimales 2, 3, 5 y 7 deben ser obligatoriamente 1 (son números primos). Las casillas con los valores decimales 0, 1, 4, 6, 8, 9 deben ser obligatoriamente 0 (no son números primos). Y finalmente, los valores decimales 10..15 ostentan la condición de don’t care. Siguiendo el procedimiento indicado se realiza la creación de grupos o cubos. En la figura siguiente se puede observar la agrupación elegida: Agrupación realizada para construir la función Se han creado dos grupos: Azul: Este grupo inicialmente sólo contenía las casillas 2 y 3, pero se ha decidido, en aras de obtener un grupo mayor, considerar que las “x” de las casillas 10 y 11 son 1. Por tanto, se forma un grupo de cuatro 1. Verde: Este grupo inicialmente estaba compuesto por las casillas 5 y 7, pero al considerar que las “x” de las casillas 13 y 15 son 1 se puede construir un grupo mayor de cuatro 1. De forma implícita, se ha considerado que las “x” de las casillas 12 y 14 valen 0 ya que no sirven al objetivo de ampliar los grupos de 1 existentes. La función resultante será por tanto:
- 12. S = X2’·X1 + X2·X0 Si no se hubiera hecho uso de este grado de libertad que proporcionan las condiciones don’t care se habría supuesto en el procedimiento anterior que todas las “x” son 0. Se puede comprobar que, en ese caso, el resultado habría proporcionado dos grupos de 2 unos. Cada grupo de 2 unos da lugar a un término con 3 variables que es más complejo que los de 2 variables (los obtenidos teniendo en cuenta las condiciones don’t care). Ejercicios a revisar