Mat1102 optimizacion

Matemáticas III (GIC y GITI, curso 2015–2016)
Lección 3. OPTIMIZACI ÓN DE CAMPOS ESCALARES
Un problema habitual en ingenier´ıa es hallar el valor m´ınimo de una función, llamada función
objetivo, que representa un coste, como el precio de los materiales que intervienen en la fabricación
de un producto o el error de un ajuste experimental, y que depende de una o varias variables
independientes. Por ejemplo, en la asignatura de “Matemáticas I” se ha estudiado un caso especial,
el de la regresión lineal, que conduce a un problema de esta clase: Dada una nube de puntos
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) que representan valores experimentales, se buscan los coeficientes de
la recta de ecuación y = ax + b que mejor se ajusta a estos datos en el sentido de los m´ınimos
cuadrados, esto es, que hacen m´ınima la suma de cuadrados
f(a, b) = (ax1 + b − y1)2
+ (ax2 + b − y2)2
+ · · · + (axn + b − yn)2
.
Esta es la recta de regresión. Aqu´ı, a y b son las variables y f es la función objetivo.
Nube de puntos y su recta de regresión.
En otros casos la función objetivo representa un beneficio y se busca su valor máximo. Este
tipo de problemas que consisten en buscar máximos y m´ınimos de funciones que dependen de
varias variables independientes se conocen genéricamente como problemas de optimización sin
restricciones. Es más habitual que las variables no sean independientes, sino que estén ligadas
por una o varias relaciones; este tipo de problemas se conocen genéricamente como problemas de
optimización con restricciones. Dedicaremos esta lección a establecer las bases teóricas de este tipo
de problemas y dar las técnicas para resolver algunos ejemplos simples con dos o tres variables.
En las aplicaciones a la ingenier´ıa el número de variables suele ser mucho mayor y es necesario
resolver los problemas de optimización de forma aproximada mediante técnicas numéricas que se
estudian en la asignatura “Métodos Matemáticos”, de segundo curso.
El caso particular en el que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales, es de
especial importancia y se conoce como programación lineal. La resolución de los problemas de
programación lineal tiene técnicas muy espec´ıficas que se basan en los resultados del álgebra lineal y
se estudian en las asignaturas “Estad´ıstica e Investigación Operativa”, de primer curso, y “Métodos
Cuantitativos de Organización Industrial”, de tercer curso (GITI).
40

3. Optimización de campos escalares 41
Si recordamos el caso de las funciones de una variable, la determinación de los máximos y los
m´ınimos absolutos de una función en un intervalo se lleva a cabo usando las derivadas. En el
bachillerato se enseña que los puntos candidatos a que en ellos se alcance el máximo o el m´ınimo
absoluto de una función son los puntos en los que la derivada vale cero, los extremos del intervalo
y los puntos donde la derivada no existe; además, cuando la derivada primera es cero, entonces que
la derivada segunda sea positiva o negativa nos dice, respectivamente, si estamos ante un m´ınimo
relativo o un máximo relativo. Veremos que cuando la función objetivo depende de dos o más
variables, la diferenciabilidad también es la herramienta que permite resolver los problemas de
optimización.
Dedicaremos la primera sección a la optimización sin restricciones, donde analizaremos las nociones
de extremo absoluto, extremo relativo y punto de silla. En el caso de dos variables se intuye que en
un máximo, o en un m´ınimo, el plano tangente a la gráfica del campo escalar debe ser horizontal
y, por tanto, las derivadas parciales deben ser nulas; sin embargo, no está claro a priori el papel
que deben tener las derivadas parciales segundas para dilucidar si se trata de máximos o m´ınimos.
Esto lo estudiaremos también en esta sección, viendo que la herramienta esencial para determinar
cómo es dicho papel es la clasificación de la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana.
El estudio de los problemas de optimización con restricciones lo empezamos en la segunda sección,
en la que abordaremos el problema de calcular los máximos y minimos relativos de una función de
dos o tres variables sobre una curva dada de forma impl´ıcita por una igualdad, en el plano, o dos
igualdades, en el espacio tridimensional. También analizaremos el caso en el que la restricción es
una superficie dada de forma impl´ıcita.
Finalmente, en la tercera sección, analizaremos la existencia de los máximos y m´ınimos absolutos
de una función escalar de dos o tres variables con restricciones generales y el procedimiento para
calcularlos.
Enunciaremos los resultados para funciones de tres variables aunque la mayor´ıa son válidos para
funciones de más variables. Como venimos haciendo, usaremos el caso bidimensional, en el que
basta con suprimir la coordenada z (y cambiar “esfera” por “c´ırculo” en lo que sigue), para poner
ejemplos y dar las interpretaciones geométricas.
1. OPTIMIZACI ÓN SIN RESTRICCIONES
Extremos absolutos. En un problema de optimización sin restricciones tenemos una función
f, llamada función objetivo, definida en un conjunto U, que generalmente será todo el espacio, y
queremos calcular los puntos, si es que existen, en los que f alcanza su valor máximo y su valor
m´ınimo; es decir, buscamos los puntos Pm´ın, Pmáx ∈ U tales que
f(Pm´ın) ≤ f(P) ≤ f(Pmáx) para todo P ∈ U.
Los valores máximo y m´ınimo de f y, por abuso de lenguaje, los puntos en los que se alcanzan
dichos valores, se llaman extremos absolutos, o globales, de f en U.
Como ejemplo de partida, antes de abordar los problemas de optimización sin restricciones en el
caso general, nos detenemos en el caso particular de las formas cuadráticas que has estudiado en
“Matemáticas I”. La razón es doble: por un lado, porque es un caso simple en el que podemos ir
señalando las principales cuestiones con las que nos encontraremos y, por otro lado, porque será
esencial para determinar el carácter de los puntos cr´ıticos, los puntos en los que se anulan las
derivadas parciales de la función objetivo. Empezamos recordando cómo se clasifican las formas
cuadráticas en términos del signo que pueden tomar sus autovalores y viendo cómo se relaciona
esto con sus extremos absolutos.

42 Matemáticas III (GIC y GITI, 2015–2016)
Forma cuadrática generada por una matriz simétrica. Sea A = [aij] una matriz cuadrada,
real y simétrica de orden 3, entonces el campo escalar definido en R3
por
ψ(x, y, z) = [x, y, z]


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33




x
y
z


se llama forma cuadrática generada por A y se puede escribir de forma desarrollada como
ψ(x, y, z) = a11x2
+ a22y2
+ a33z2
+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz.
Clasificación de las formas cuadráticas. Se dice que una forma cuadrática no nula ψ o, por
extensión, la matriz real simétrica A que la genera, es:
(1) Definida positiva si ψ(x, y, z) > 0 para todo (x, y, z) ̸= (0, 0, 0) o, equivalentemente, si todos
los autovalores de A son positivos o, equivalentemente, si el origen es el único punto en el que se
alcanza el m´ınimo absoluto.
En dimensión dos, la gráfica de una forma cuadrática definida positiva es un paraboloide el´ıptico
con su vértice en el origen que se abre hacia arriba, por lo que no existe el máximo absoluto, ya
que los valores de ψ tienden a infinito cuando el punto (x, y) tiende a infinito.
Gráfica de una forma cuadrática con m´ınimo absoluto.
(2) Semidefinida positiva si ψ(x, y, z) ≥ 0 para todo (x, y, z) y hay puntos (x, y, z) ̸= (0, 0, 0) tales
que ψ(x, y, z) = 0 o, equivalentemente, si 0 es un autovalor y los demás autovalores λ de A cumplen
λ ≥ 0 o, equivalentemente, si hay una recta o un plano de m´ınimos absolutos que pasa por el origen.
(3) Definida negativa si ψ(x, y, z) < 0 para todo (x, y, z) ̸= (0, 0, 0) o, equivalentemente, si todos
los autovalores de A son negativos o, equivalentemente, si el origen es el único punto en el que se
alcanza un máximo absoluto.
En dimensión dos, la gráfica de una forma cuadrática definida negativa es un paraboloide el´ıptico
con su vértice en el origen que se abre hacia abajo, por lo que no existe el m´ınimo absoluto, ya que
los valores de ψ tienden a −∞ cuando el punto (x, y) tiende a infinito.
Gráfica de una forma cuadrática con máximo absoluto.

(4) Semidefinida negativa si ψ(x, y, z) ≤ 0 para todo (x, y, z) y hay puntos (x, y, z) ̸= (0, 0, 0)
tales que ψ(x, y, z) = 0 o, equivalentemente, si 0 es un autovalor y los demás autovalores λ de A
cumplen λ ≤ 0 o, equivalentemente, si hay una recta o un plano de máximos absolutos que pasa
por el origen.
(5) Indefinida si no es definida ni semidefinida; o sea, si existen vectores (x, y, z) tales que
ψ(x, y, z) < 0 y existen vectores (x, y, z) tales que ψ(x, y, z) > 0 o, equivalentemente, si A tie-
ne algún autovalor positivo y algún autovalor negativo o, equivalentemente, si no tiene máximos
ni m´ınimos absolutos.
Gráfica de una forma cuadrática sin m´ınimo ni máximo y silla de montar.
Desde el punto de vista geométrico, la gráfica de una forma cuadrática indefinida en dimensión
dos es un paraboloide hiperbólico, con centro en el origen, que se abre hacia arriba a lo largo de la
dirección del autovector asociado el autovalor positivo y hacia abajo a lo largo de la dirección del
autovector asociado al autovector negativo. Debido al parecido de esta gráfica con el de una silla
de montar a caballo, se dice que el origen es un punto de silla.
Más adelante en la sección aplicaremos esta clasificación a la matriz hessiana de un campo escalar
para determinar cuándo un punto en el que las derivadas parciales son cero es un m´ınimo relativo
o un máximo relativo.
Determinar los autovalores suele ser un trabajo complicado; sin embargo, lo único que necesitamos
conocer son los signos de los autovalores y para ello hay criterios relativamente simples de aplicar
en el caso bidimensional.
Criterios de clasificación para una matriz simétrica 2×2. Sea A una matriz real y simétrica
de orden 2. Sean t = a11 +a22 su traza y d = a11a22 −a21a12 su determinante. Entonces se cumple
lo siguiente:
(1) Si d > 0 y t > 0, entonces A es definida positiva.
(2) Si d > 0 y t < 0, entonces A es definida negativa.
(3) Si d < 0, entonces A es indefinida.
(4) Si d = 0 y t > 0, entonces A es semidefinida positiva.
(5) Si d = 0 y t < 0, entonces A es semidefinida negativa.
Algunas consideraciones sobre los problemas de optimización sin restricciones. Como
acabamos de ver con diversos ejemplos de formas cuadráticas, los problemas de optimización sin
restricciones pueden no tener solución. En algunos casos puede deducirse que debe existir el máximo
absoluto o el m´ınimo absoluto estudiando el comportamiento de la función objetivo cuando (x, y)
tiende a infinito, pero eso no siempre es fácil de hacer.
A la hora de abordar un problema, una idea central es restringir la búsqueda de los extremos
absolutos a un conjunto, deseablemente finito, de puntos que verifiquen alguna condición especial.
La más común, que ya se conoce en el caso de las funciones de una variable, es la de extremo

relativo: puntos donde la función alcanza su valor máximo o su valor m´ınimo entre los puntos
suficientemente cercanos. Como ya hemos comentado antes y hemos visto en el caso de las formas
cuadráticas de dos variables, la intuición geométrica nos dice que si una función definida en todos
los puntos del plano alcanza un extremo relativo en un punto, entonces el plano tangente a su
gráfica en dicho punto debe ser horizontal, lo que nos dar´ıa una condición práctica para restringir
la búsqueda de extremos absolutos. Vamos ahora a fijar todas estas ideas con precisión.
Extremos relativos. Se dice que f : U → R tiene un máximo relativo o máximo local en un
punto P0 ∈ U si existe una esfera D centrada en P0 y contenida en U tal que f(P0) ≥ f(P) para
todo P ∈ D.
Se dice que f tiene un m´ınimo relativo o m´ınimo local en un punto P0 ∈ U si existe una esfera D
centrada en P0 y contenida en U tal que f(P0) ≤ f(P) para todo P ∈ D.
Los máximos relativos y m´ınimos relativos de f se llaman genéricamente extremos relativos, o
locales, de f.
La gráfica de una función con dos máximos relativos; sólo uno de ellos es absoluto.
Criterio de las derivadas parciales nulas para los extremos relativos o condición nece-
saria de extremo relativo. Si la función objetivo f y tiene un extremo relativo en un punto P0
y es diferenciable en dicho punto, entonces Df(P0) = ⃗0.
En el caso de que f dependa de dos variables, tenemos
∂f
∂x
(P0) = 0 y
∂f
∂y
(P0) = 0, es decir,
efectivamente, el plano tangente a la gráfica de f es horizontal.
Para tres variables, tenemos
∂f
∂x
(P0) = 0,
∂f
∂y
(P0) = 0 y
∂f
∂z
(P0) = 0.
Ejemplo. En el ejemplo de la recta de regresión, dados los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) se
buscan los coeficientes de la recta de ecuación y = ax + b que hacen m´ınima la suma de cuadrados
f(a, b) =
n∑
k=1
(axk + b − yk)2
. Imponiendo
∂f
∂a
=
∂f
∂b
= 0 obtenemos que los coeficientes óptimos
a, b son las soluciones del sistema de ecuaciones
( n∑
k=1
x2
k
)
a +
( n∑
k=1
xk
)
b =
n∑
k=1
xkyk
( n∑
k=1
xk
)
a + nb =
n∑
k=1
yk
que son, como se ha visto en “Matemáticas I”, las ecuaciones normales de Gauss del sistema
sobredeterminado
[
x1 x2 . . . xn
1 1 . . . 1
]T [
a
b
]
= [ y1 y2 . . . yn ]
T
.

Punto cr´ıtico. Se dice que un punto P0 ∈ U es un punto cr´ıtico o punto estacionario de la
función objetivo f cuando Df(P0) = ⃗0.
Incluso en el caso bidimensional, la resolución del sistema de ecuaciones
∂f
∂x
= 0,
∂f
∂y
= 0 pue-
de ser complicada o, en algunos casos, imposible de hacer a mano. En estos casos, hay que
emplear métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas que se estudiarán en la asignatura
“Métodos Matemáticos” de segundo curso.
Puntos de silla. El teorema anterior nos dice que cualquier extremo relativo es un punto cr´ıtico.
Como ya hemos visto con las formas cuadráticas y es conocido del caso de una variable, el rec´ıproco
es falso en general. As´ı, hemos probado que la función objetivo f(x, y) = x2
− y2
tiene un punto
cr´ıtico en (0, 0) y que, sin embargo, dicho punto no es un máximo relativo ni un m´ınimo relativo.
Los puntos cr´ıticos de una función que no son extremos relativos de la misma se llaman puntos de
silla. Tan cerca como queramos de un punto de silla encontramos puntos en los que la función vale
más y puntos en los que la función vale menos que en el propio punto cr´ıtico.
Clasificación de los puntos cr´ıticos. ¿Cómo podemos saber si un punto cr´ıtico es un máximo
relativo, un m´ınimo relativo o un punto de silla? Geométricamente, para funciones de dos variables,
el plano tangente a la gráfica en los puntos cr´ıticos es un plano horizontal. En los máximos y
m´ınimos locales, cerca del punto el plano deja a un lado la superficie; en los puntos de silla, la
atraviesa. La geometr´ıa de los puntos de silla se parece a la de los puertos de montaña: los puntos
más bajos hasta los que hay que subir para atravesar una sierra, por ello, a los puntos de silla
también se les llama puertos.
Como regla general, pero no siempre, si observamos las curvas de nivel, en torno a los máximos
y m´ınimos locales, las curvas de nivel aparecen como curvas cerradas. En los m´ınimos las curvas
se alejan del punto conforme el nivel crece; en los máximos se acercan al punto conforme el nivel
crece. En ambos casos, las curvas de nivel degeneran cuando nos acercamos al punto cr´ıtico; lo
que, recordando el teorema de la función impl´ıcita, nos dice que al ser ambas derivadas parciales
nulas, no podemos aplicar ese teorema para despejar una variable en función de la otra en la curva
de nivel, de hecho la curva de nivel en un máximo o un m´ınimo local se reduce a un punto; no es
propiamente una curva.
Un punto de silla o puerto. Máximos (A), m´ınimos (B) y puntos de silla (C).
En los puntos de silla las curvas de nivel aparentan acercarse y alejarse del punto sin llegar a
rodearlo y suelen aparecer dos curvas del mismo nivel que pasan justamente por el punto; en este
caso, no es posible aplicar el teorema de la función impl´ıcita para despejar una variable en función
de la otra, de hecho la ecuación impl´ıcita corresponde a dos curvas de nivel, no una sola.
Anal´ıticamente, para las funciones de una variable la determinación de si un punto cr´ıtico es un
máximo relativo o un m´ınimo relativo se hace analizando el signo de la derivada segunda; aqu´ı

se hace algo parecido aunque más complicado: utilizamos el teorema de Taylor y clasificamos la
forma cuadrática generada por la matriz hessiana. Para ello, observemos que si (x0, y0) es un
punto cr´ıtico, de manera que Df(x0, y0) = ⃗0 entonces el Teorema de Taylor nos dice que para
(x, y) suficientemente cerca de (x0, y0) se tiene
f(x, y) ≈ f(x0, y0) +
1
2
[
x − x0, y − y0
]
D2
f(x0, y0)
[
x − x0
y − y0,
]
Por tanto, que f(x, y) sea mayor o menor que f(x0, y0) depende del signo de la forma cuadrática
generada por la matriz hessiana D2
f(x0, y0).
El test de las derivadas segundas o condición suficiente de extremo relativo. Supongamos
que la función objetivo es de clase C2
(U) y que P0 es un punto cr´ıtico de f; esto es, tal que
Df(P0) = ⃗0. Entonces, según sea la forma cuadrática generada por la matriz hessiana D2
f(P0),
se tiene lo siguiente:
(1) Si D2
f(P0) es definida positiva, entonces f tiene en P0 un m´ınimo relativo.
(2) Si D2
f(P0) es definida negativa, entonces f tiene en P0 un máximo relativo.
(3) Si D2
f(P0) es indefinida, entonces f tiene en P0 un punto de silla.
(4) Si D2
f(P0) es semidefinida, entonces las derivadas segundas no dan información.
Ejemplos. (1) La función f(x, y) = x2
+ ky2
tiene un punto cr´ıtico en (0, 0). En dicho punto, la
matriz hessiana es
(
2 0
0 2k
)
. En función del signo de k obtenemos que:
(1) Si k > 0, entonces la matriz es definida positiva y por tanto (0, 0) es un m´ınimo relativo.
(2) Si k < 0, entonces la matriz es indefinida y por tanto (0, 0) es un punto de silla.
(3) Si k = 0, entonces la matriz es semidefinida, por lo que el método no da información.
Si observamos la función en este caso vemos que f(x, y) = x2
≥ 0 = f(0, 0), para todo
(x, y) ∈ R2
. Por tanto (0, 0) es un m´ınimo relativo de f.
(2) La función f(x, y) = x2
+ ky2
− y3
tiene un punto cr´ıtico en (0, 0). En dicho punto, la matriz
hessiana es la misma que en el ejemplo anterior
(
2 0
0 2k
)
. Sin embargo, en el caso en que la forma
cuadrática es indefinida, el tipo de punto cr´ıtico es distinto. En efecto, en función del signo de k
obtenemos que:
(1) Si k > 0, entonces la matriz es definida positiva y por tanto (0, 0) es un m´ınimo relativo.
(2) Si k < 0, entonces la matriz es indefinida y por tanto (0, 0) es un punto de silla.
(3) Si k = 0, entonces la matriz es semidefinida, por lo que el método no da información. En
este caso vemos que f(x, y) = x2
− y3
y, usando el mismo razonamiento que vimos antes
para x2
− y2
, es fácil deducir que (0, 0) es un punto de silla de f.
EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1
Ejercicio 1. Halla y clasifica los puntos cr´ıticos de los siguientes campos escalares (utiliza alguna
de las páginas web que se indican al final del guión para dibujar las gráficas y las curvas de nivel
del campo).
(1) f(x, y) = x4
− 2x2
y − 6x2
+ 4y2
(2) f(x, y) = x3
+ 3xy2
− 15x − 12y
(3) f(x, y) = 12x2
+ 12y2
− x3
y3
+ 5 (4) f(x, y) = (x2
+ y2
)ex2
−y2
(5) f(x, y) = x2
y + xy2
+ x + y (6) f(x, y) = (1 − x2
− y2
)2
(7) f(x, y) = x2
y2
(8) f(x, y) = cos(x) cos(y)
(9) f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy (10) f(x, y) = x sen(y)

Ejercicio 2. El origen es un punto cr´ıtico del campo escalar definido por f(x, y) = x2
+y2
+αxy.
Determina qué tipo de punto cr´ıtico es según los valores de α.
Ejercicio 3. Prueba que la ecuación z cos(z) + xy = 0 define impl´ıcitamente z como función de x
e y en un entorno del punto (0, 0, 0), determina el polinomio de Taylor de grado 2 de dicha función
z(x, y) en el origen y prueba que el origen es un punto cr´ıtico. ¿Qué tipo de punto cr´ıtico es?
Ejercicio 4. Considera la superficie S de ecuación x2
+ y2
+ 3xz + 3yz + x + y = 0.
(1) Prueba que dicha ecuación define una función z = f(x, y) cerca de P = (−1, 0, 0).
(2) ¿Es (−1, 0) un punto cr´ıtico de f? Si es as´ı, clasif´ıcalo; si no lo es, di por qué.
Ejercicio 5. Sea f(x, y) = (x − cos(y)) ex
− cos(y) un campo escalar de dos variables. Se pide:
(1) Calcular los infinitos puntos cr´ıticos de f y clasificarlos.
(2) Comprobar que f (x, y) = 0 define y como función impl´ıcita y = y(x) cerca de P = (0, π/2).
(3) Hallar la recta tangente a la gráfica de y = y(x) en el punto P del apartado anterior.
Ejercicio 6. Considera la superficie S de ecuación xez
+ yez
+ z = 1 y el punto P = (0, 0, 1) ∈ S.
(1) Prueba que en un entorno del punto P puede obtenerse la coordenada z de los puntos de
S como una función expl´ıcita z = z(x, y) de las otras dos coordenadas.
(2) Halla la ecuación del plano tangente a S en el punto P.
(3) Halla la recta tangente en P a la curva intersección de S con el cilindro x2
+ (y + 1)2
= 1.
(4) Prueba que (0, 0) es un punto cr´ıtico del campo f(x, y) = z(x, y)+ex+1
+ey+1
y clasif´ıcalo.
Ejercicio 7. Prueba que z3
− 2xy + y = 0 define z como función impl´ıcita de z = z(x, y) en un
entorno de (1, 1, 1) y determina el polinomio de Taylor de segundo orden de z(x, y) en (1, 1).
Halla los valores de los parámetros α y β para los que el punto (1, 1) es un punto cr´ıtico de la
función g(x, y) = z(x, y) − α(x − 1) + β(y − 1) y clasif´ıcalo.
Ejercicio 8. Considera el punto P = (1, 1, 0) y, para cada valor de un parámetro α ∈ R, la
ecuación αx2
+ α2
xyz + sen(z) − αxy + x − y = 0.
(1) Comprueba que para cualquier valor de α esta ecuación define impl´ıcitamente z como
función z = zα(x, y) en un entorno del punto P = (1, 1, 0).
(2) Para cada α, calcula el gradiente de zα(A) en el punto A = (1, 1) y escribe la ecuación del
correspondiente plano tangente en el punto P = (1, 1, 0).
(3) Para cada α, determina la dirección unitaria ⃗u = (u1, u2) en la que la derivada direccional
D⃗uzα(A) de zα en A = (1, 1) es máxima e indica su valor.
(4) Halla el valor de α para el cual A = (1, 1) es un punto cr´ıtico del campo zα(x, y) y clasif´ıcalo.
Ejercicio 9. El origen es un punto cr´ıtico del campo escalar definido por f(x, y) = 3x4
−4x2
y+y2
.
Comprueba que a lo largo de cada recta y = mx el origen es un m´ınimo pero que para el campo
dado el origen es un punto de silla (indicación: estudia qué ocurre sobre una parábola y = ax2
).
Ejercicio 10. Del campo escalar f(x, y) = axy2
+ by − 4x3
se sabe que el valor máximo de
sus derivadas direccionales en el punto P = (1, 2) es 4 y se alcanza en la dirección del vector
⃗u = (0, −1). Halla los valores de las constantes a y b, calcula los puntos cr´ıticos de f y clasif´ıcalos.
Ejercicio 11. Halla y clasifica los puntos cr´ıticos de los siguientes campos escalares.
(1) f(x, y, z) = x4
+ y4
+ z4
− 4xyz (2) f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
+ xz + 3x − 2y
(3) f(x, y, z) = log(x2
+ y2
+ z2
+ 1) (4) f(x, y, z) = x2
z + xy + 12z − z3

2. EL TEOREMA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Iniciamos en esta sección el estudio de los problemas de optimización con restricciones abordando
el problema de calcular los extremos relativos, máximos y m´ınimos, de una función de dos o
tres variables cuando estas variables no son independientes sino que están sobre una curva o una
superficie. Este tipo de problemas se conocen genéricamente como problemas de optimización con
restricciones de igualdad.
Problemas de optimización sobre curvas. Dada la función objetivo f, supongamos que te-
nemos una curva regular a trozos C contenida en el dominio de f y nos planteamos el problema
de hallar los valores máximo y m´ınimo que alcanza f sobre los puntos de la curva C.
Este problema puede resolverse por los métodos ya conocidos si podemos representar C mediante
una parametrización ⃗r(t), donde el parámetro t recorre un cierto intervalo. En ese caso, pasamos a
una función objetivo ϕ(t) = f
(
⃗r(t)
)
de una sola variable y hallamos su máximo y su m´ınimo sobre
el intervalo, si existen. A partir de los extremos de ϕ obtenemos los puntos de la curva C en los
que f alcanza sus extremos.
Sin embargo, a veces no se puede hallar una parametrización de C. En el plano esto ocurre
generalmente cuando C es una curva definida impl´ıcitamente por g(x, y) = 0. En el espacio, ocurre
cuando la curva viene dada como la intersección de dos superficies definidas de forma impl´ıcita.
En esta sección abordaremos este tipo de problemas, primero en el caso bidimensional. Después
diremos como se extienden las técnicas al caso tridimensional, tanto para superficies como para
curvas definidas impl´ıcitamente.
Extremos relativos restringidos en el plano. Dada la función objetivo f(x, y), supongamos
que tenemos una curva de ecuación impl´ıcita g(x, y) = 0 contenida en el dominio de f y sea (x0, y0)
un punto de dicha curva.
Optimización con restricciones de igualdad.
Se dice que f tiene en (x0, y0) un máximo relativo sujeto a la restricción g(x, y) = 0 si existe un
c´ırculo D centrado en (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) para todo punto (x, y) ∈ D que cumpla
g(x, y) = 0.
Se dice que f tiene en (x0, y0) un máximo relativo sujeto a la restricción g(x, y) = 0 si existe un
c´ırculo D centrado en (x0, y0) tal que f(x0, y0) ≤ f(x, y) para todo punto (x, y) ∈ D que cumpla
g(x, y) = 0.
Genéricamente, los máximos y m´ınimos relativos de la función objetivo f en la curva g(x, y) = 0
se llaman extremos relativos de f sujetos a la restricción g(x, y) = 0 o, simplemente, extremos
relativos restringidos y, en algunos textos, extremos relativos condicionados.

Teorema de los multiplicadores de Lagrange. En las condiciones anteriores, si f y g son
diferenciables en un punto (x0, y0) en el que f tiene un extremo relativo sujeto a la restricción
g(x, y) = 0 y Dg(x0, y0) ̸= [0, 0], entonces existe un número λ ∈ R, llamado multiplicador de
Lagrange, tal que
Df(x0, y0) = λDg(x0, y0);
o sea,
∂f
∂x
(x0, y0) = λ
∂g
∂x
(x0, y0) y
∂f
∂y
(x0, y0) = λ
∂g
∂y
(x0, y0).
Geométricamente, el teorema de los multiplicadores significa que en un extremo relativo restringido
(x0, y0), son tangentes la curva restricción g(x, y) = 0 y la curva de nivel de f que pasa por dicho
punto, f(x, y) = f(x0, y0).
Interpretación geométrica del teorema de los multiplicadores de Lagrange.
En la práctica, para hallar los extremos relativos de f sujetos a g(x, y) = 0, los puntos candidatos
se obtienen resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas λ, x e y:
g(x, y) = 0,
∂f
∂x
(x, y) = λ
∂g
∂x
(x, y) y
∂f
∂y
(x, y) = λ
∂g
∂y
(x, y).
Como en el caso de la determinación de los puntos cr´ıticos, la resolución de este sistema de ecua-
ciones puede ser complicada o, en algunos casos, imposible de hacer a mano y, en ese caso, hay
que emplear métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas.
Para hallar los valores máximo y m´ınimo de f sobre la curva, a los puntos obtenidos resolviendo el
sistema hay que añadir los puntos de la curva g(x, y) = 0 en los que no se puede aplicar el teorema
de los multiplicadores, como los extremos de la curva, los puntos en los que Dg(x, y) no existe o
los puntos en los que se tiene Dg(x, y) = [0, 0].
El método de los multiplicadores de Lagrange en el caso tridimensional. En el caso
tridimensional, el método funciona de manera totalmente similar cuando tenemos sólo una restric-
ción g(x, y, z) = 0, lo que corresponder´ıa a trabajar sobre una superficie. Para hallar los extremos
relativos de f(x, y, z) sujetos a g(x, y, z) = 0, los puntos candidatos se obtienen resolviendo un
sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas λ, x, y, z:
g = 0,
∂f
∂x
= λ
∂g
∂x
,
∂f
∂y
= λ
∂g
∂y
,
∂f
∂z
= λ
∂g
∂z
.
De nuevo, a los puntos obtenidos resolviendo este sistema hay que añadir los puntos de la superficie
g(x, y, z) = 0 en los que no se puede aplicar el teorema de los multiplicadores, como el borde de la
superficie, los puntos en los que Dg(x, y, z) no existe o los puntos en los que Dg(x, y, z) = [0, 0, 0].

En el caso tridimensional también puede ocurrir que estemos trabajando en una curva definida
como la intersección de dos superficies de ecuaciones impl´ıcitas g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0.
En ese caso, la condición de que el diferencial de la restricción no sea cero hay que sustituirla
por una condición algo más exigente: que los diferenciales de las restricciones sean linealmente
independientes.
Si (x0, y0, z0) es un extremo relativo de la función objetivo f(x, y, z) sujeto a las restricciones
g(x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0 y los diferenciales Dg(x0, y0, z0) y Dh(x0, y0, z0) son linealmente
independientes, entonces existen sendos multiplicadores λ y µ para cada restricción tales que
Df(x0, y0, z0) = λDg(x0, y0, z0) + µDh(x0, y0, z0)
En este caso, los puntos candidatos para ser extremos relativos se obtienen con las soluciones del
correspondiente sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas: x, y, z, λ y µ y, de nuevo, a
estos puntos hay que añadir los extremos de la curva restricción y los puntos en los que Dh(x, y, z)
y Dg(x, y, z) no son linealmente independientes o, simplemente, alguno de ellos no existe.
Ejercicio 1. Determina los posibles extremos relativos de la función f(x, y) = x2
+ y2
sujetos
a la restricción 2x + 3y = 6. Dibuja la restricción y las curvas de nivel de la función objetivo e
interpreta geométricamente el problema.
Ejercicio 2. Determina los posibles extremos relativos de la función f(x, y) = x2
+ y2
siendo
(x, y) puntos de la elipse 5x2
+ 6xy + 5y2
= 8. Dibuja la restricción y las curvas de nivel de la
función objetivo e interpreta geométricamente el problema.
Ejercicio 3. Determina los posibles extremos relativos de la función f(x, y) = 2(x−3)2
+(y −4)2
siendo (x, y) puntos de la circunferencia unidad. Dibuja la restricción y las curvas de nivel de la
función objetivo e interpreta geométricamente el problema.
Ejercicio 4. Considera el campo escalar f definido por f(x, y) = y3
+ x2
y + 2x2
+ 2y2
− 4y − 8.
(1) Determina los puntos cr´ıticos de f. ¿Qué información proporciona el criterio de las deriva-
das segundas sobre cada uno de dichos puntos cr´ıticos?
(2) Calcula los candidatos a extremos relativos de f sujetos a la restricción x2
+ y2
= 1.
Ejercicio 5. Determina los puntos candidatos a ser extremos relativos de la función f(x, y) = xy
sujetos a la restricción x + y = 1
Ejercicio 6. Sea f(x, y, z) = 3x2
+ 4xy + z3
. Determina los puntos candidatos a ser extremos
relativos de f sujetos a x2
+ y2
= 1.
Ejercicio 7. Determina los puntos candidatos a ser extremos relativos de la función f(x, y) = xyz
sujetos a la restricción 2x + 4y + z − 6 = 0
Ejercicio 8. Determina los puntos candidatos a ser extremos relativos de la función objetivo
dada por f(x, y) = (x − 1)2
+ y2
+ z2
sujetos a la restricción x2
+ (y − 1)2
= z2
e interpreta
geométricamente el resultado.
Ejercicio 9. Calcula los puntos candidatos a ser extremos relativos del la función f(x, y, z) = z
sujetos a la curva intersección de la esfera x2
+ y2
+ z2
= 36 con el plano 2x + y − z = 6.

Ejercicio 10. En los siguientes casos, calcula los puntos candidatos a ser extremos relativos de la
función f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
sujetos a la restricciones que se dan
(1) x + 3z = 7, x + y + 3z = 9. (2) 2z2
= x2
+ y2
, z = 1 + x + y.
(3) x2
+ 2y2 + 3z2
= 1, 2x2
+ 3y2
+ z2
= 1. (4) x2
+ y2
= 1, 2x + y + z = 4.
3. OPTIMIZACI ÓN CON RESTRICCIONES GENERALES
En las secciones anteriores hemos estudiado cómo detectar los extremos relativos de un campo
escalar sin restricciones o con restricciones de igualdad; apenas hemos visto nada sobre la existencia
y cálculo de sus extremos absolutos. Ahora analizaremos la existencia y los procedimientos de
obtención de máximos y m´ınimos absolutos de un campo escalar bajo restricciones generales.
Planteamiento general. Sea f la función objetivo, definida en un conjunto abierto U, y supon-
gamos que queremos hallar los valores máximo y m´ınimo que puede alcanzar f entre los puntos que
cumplan un conjunto de restricciones que, en general, vendrán dadas como una o varias igualdades
o desigualdades. Llamaremos D ⊂ U al conjunto de puntos que cumplen las restricciones que se
impongan a las variables (en algunos libros D recibe el nombre de conjunto factible.)
Teorema de Weierstrass. Sea f : U ⊂ R3
→ R un campo escalar continuo y sea D ⊂ U
un conjunto cerrado y acotado contenido en U. Entonces f alcanza en D sus valores m´ınimo y
máximo; es decir, existen Pm´ın, Pmáx ∈ D tales que f(Pm´ın) ≤ f(P) ≤ f(Pmáx) para todo P ∈ D.
Extremos absolutos. Los valores máximo y m´ınimo de f y, por abuso de lenguaje, los puntos
en los que se alcanzan dichos valores, se llaman extremos absolutos, o globales, de f en D.
Procedimiento general para resolver problemas de optimización. Puede ocurrir que D
no sea cerrado y acotado y, según el comportamiento de f(P) cuando P ∈ U tiende a infinito o a
la frontera de D, que el máximo o el m´ınimo absoluto no existan. En otros casos, a pesar de ser
D no acotado, el comportamiento de f permite asegurar que existe el máximo o el m´ınimo global
y que éste se encuentra en un conjunto acotado. Por ejemplo, si queremos hallar el punto de una
curva más cercano a un punto dado, entonces aunque la curva no esté acotada, el m´ınimo siempre
existe y podemos localizarlo en un tramo acotado de la curva fuera del cual podamos asegurar que
la distancia se hace muy grande. Por tanto, el primer paso es, si se puede, reducir el problema al
de encontrar los extremos absolutos de la función objetivo f en un subconjunto cerrado y acotado
D ⊂ U.
En el caso de las funciones de una variable, los puntos candidatos a que en ellos se alcance el máximo
o el m´ınimo absoluto de una función en un intervalo cerrado y acotado son los puntos del intervalo
abierto en los que la derivada vale cero y los extremos del intervalo, as´ı que el procedimiento es
calcular estos puntos candidatos y evaluar la función objetivo en ellos para decidir en cuál(es) se
alcanza el máximo absoluto y en cuál(es) el m´ınimo absoluto.
Para el caso de dos o tres variables, la geometr´ıa del conjunto D puede ser más complicada pero en
la práctica totalidad de los casos habituales de las aplicaciones, D puede descomponerse fácilmente
en su frontera, que es donde se cumplen alguna restricción de igualdad, y en sus puntos interiores,
que es donde se cumplen las restricciones de desigualdad estricta.
Las dos ideas esenciales ahora son, por un lado, que el conjunto de puntos interiores es abierto,
as´ı que los candidatos a extremos que estén en el interior de D son los puntos cr´ıticos de f que
estén en el interior de D — o sea, los que hemos estudiado en la primera sección — y, por otro

lado, que la frontera viene dada por los tramos en los que alguna restricción es de igualdad, as´ı
que los candidatos a extremos que estén en la frontera de D son los extremos relativos de f sujetos
a restricciones de igualdad — o sea, los que hemos estudiado en la segunda sección —.
Los resultados de las secciones anteriores requieren que la función objetivo sea, al menos, dife-
renciable y, si además queremos usar el test de las derivadas segundas para clasificar los puntos
cr´ıticos, entonces de clase C2
(U), lo que ocurre en la práctica totalidad de los casos de interés. En
resumen, para determinar los extremos absolutos de una función objetivo de clase C2
(U) sobre un
conjunto cerrado y acotado D se hace, entonces, lo siguiente:
(1) Se descompone D en su frontera y su interior
(2) Se hallan los puntos cr´ıticos de f en el interior de D.
(3) (a) Si son dos variables, entonces la frontera de D es una curva dada por igualdades. Para
hallar los extremos relativos de f en cada tramo de la frontera podemos hacer dos cosas:
– O bien la representamos mediante una parametrización (x(t), y(t)) y pasamos a una
función objetivo ϕ(t) = f
(
x(t), y(t)
)
de una sola variable, en cuyo caso se hallan los
puntos cr´ıticos de ϕ y con estos valores cr´ıticos del parámetro se obtienen los puntos
de la frontera en los que f podr´ıa tener un extremo.
– O bien determinamos los candidatos a extremos relativos sujetos a la frontera usando
el teorema de los multiplicadores de Lagrange junto con los puntos en los que el
teorema no sea aplicable.
(b) Si tenemos tres variables, entonces la frontera de D es una superficie o una curva. En
este caso, o bien parametrizamos la frontera, o bien usamos el método de los multiplicadores
de Lagrange con una o dos restricciones según sea el caso.
(4) Se evalúa f en todos los puntos obtenidos y se escogen aquéllos donde f alcanza el valor
mayor (máximo absoluto) y el valor menor (m´ınimo absoluto).
En la siguiente figura vemos un ejemplo de optimización con restricciones. En rojo se representan
las curvas de nivel de la función objetivo y en azul el conjunto D de las restricciones; azul más
claro para el interior y más oscuro para la frontera. Los candidatos que están en el interior son
los puntos cr´ıticos de la función objetivo: un máximo local A, un m´ınimo local B y dos puntos de
silla C. Los candidatos que están en la frontera son los seis puntos L dados por el teorema de los
multiplicadores de Lagrange (la frontera y la curva de nivel son tangentes en dichos puntos).
Optimización con restricciones generales.

Para descartar errores o ahorrar en los cálculos, si f es de clase C2
(U), puede ser buena idea
clasificar los puntos cr´ıticos obtenidos en el paso (1) mediante el test de las derivadas segundas; de
esa forma, si en el paso (4) obtenemos un máximo global en un punto cr´ıtico que hemos clasificado
como m´ınimo relativo entonces seguramente hay algún error en los cálculos
Ejercicio 1. Determina los extremos absolutos de la función f(x, y) = 3x2
y2
+ 2x3
+ 2y3
en el
rectángulo R dado por −2 ≤ x ≤ 1, −5 ≤ y ≤ 1.
Ejercicio 2. Sea f : R2
→ R la función definida por f(x, y) = cos(x) + sen(y). Halla y clasifica
sus puntos cr´ıticos en el interior del cuadrado D dado por 1 ≤ x ≤ 7, 1 ≤ y ≤ 7.
Ejercicio 3. Halla los valores máximos y m´ınimos de f(x, y) = y3
+ x2
y + 2x2
+ 2y2
− 4y − 8 en
el cuadrante positivo del c´ırculo unidad.
Ejercicio 4. Determina los extremos absolutos de la función f(x, y) = x2
+y2
+x2
y2
en la región
dada por 4x2
+ y2
≤ 4.
Ejercicio 5. Determina los extremos absolutos de la función f(x, y) = e−(x2
+y2
)
(2x2
+3y2
) sobre
el c´ırculo x2
+ y2
≤ 4.
Ejercicio 6. Determina el rectángulo de mayor área, con lados paralelos a los ejes, que puede
inscribirse en la elipse definida por la ecuación x2
/a2
+ y2
/b2
= 1.
Ejercicio 7. Halla los semiejes de la elipse centrada en el origen 5x2
+ 6xy + 5y2
= 8.
Ejercicio 8. Determina los puntos donde el campo f(x, y) = 4x2
+y2
−4x−3y alcanza sus valores
máximo y m´ınimo absolutos en la mitad superior de la elipse 4x2
+ y2
≤ 13.
Ejercicio 9. En los siguientes casos, determina los puntos de la curva más próximos al origen de
coordenadas (en los problemas de hallar el m´ınimo o el máximo de una distancia es conveniente
tomar como función objetivo el cuadrado de la distancia para evitar la ra´ız cuadrada).
(1) La recta x + y = 4.
(2) La circunferencia de centro (1, 2) y radio r = 8.
(3) El triángulo de vértices A = (−3, 2), B = (3, 8) y C = (−6, 1).
Ejercicio 10. Calcula las dimensiones de la pirámide recta de base cuadrada y máximo volumen
que puede construirse con un alambre de longitud L.
Ejercicio 11. Calcula los extremos absolutos de la función f(x, y) = xye−xy
en la región D dada
por x2
+ 4y2
≤ 1.
Ejercicio 12. Considera la región D del primer cuadrante limitada por las curvas: y2
− x2
= 1,
x2
− y2
= 1, x + y = 2, x + y = 4. Halla los extremos absolutos de f(x, y) = 2x3
+ y2
en D.
Ejercicio 13. Considera el campo escalar f(x, y) = 3x3
+9xy2
+36x2
+47y+1. Sea S la superficie
de ecuación z = f(x, y) y sea P = (x, y, z) un punto de S. Sabiendo que una de las rectas tangentes
a S en P es paralela a la recta r dada por las ecuaciones x + y = 0 y x − y + z = 0, prueba que las
coordenadas (x, y) de P están sobre la parábola de ecuación x2
+ y2
− 2xy + 8x − 5 = 0 y halla el
punto de esta parábola más cercano al punto (−2, 0).

Ejercicio 14. Considera el campo escalar f(x, y) = y3
+ x2
y + 2x2
+ 2y2
− 4y − 8.
(1) Determina los puntos cr´ıticos de f. ¿Qué información proporciona el criterio de las deri-
vadas segundas sobre cada uno de dichos puntos cr´ıticos?
(2) Calcula los extremos absolutos de f sujetos a la restricción x2
+ y2
= 1 usando el Teorema
de los Multiplicadores de Lagrange.
(3) Determina los puntos donde el campo f alcanza sus valores máximo y m´ınimo absolutos
en el c´ırculo unidad x2
+ y2
≤ 1.
Ejercicio 15. Sea f(x, y, z) = 3x2
+ 4xy + z3
. Calcula los extremos absolutos de f en el cilindro
S = {(x, y, z) ∈ R3
: x2
+ y2
≤ 1, −2 ≤ z ≤ 2}.
Ejercicio 16. Calcula el máximo y el m´ınimo absolutos de f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
+ x + y + z
sobre el conjunto D = {(x, y, z) : x2
+ y2
+ z2
≤ 1, y + z = 1}.
Ejercicio 17. Prueba que los ángulos de un triángulo cumplen sen(x) + sen(y)+ sen(z) ≤ 3
√
3/2.
Ejercicio 18. Calcula los extremos absolutos de f(x, y, z) = x + 3xy − z2
en la esfera unidad.
Ejercicio 19. Determina los extremos absolutos de la función f(x, y, z) = x2
+ yz en la región
definida por x2
+ y2
≤ z ≤ 1.
Ejercicio 20. Una sonda espacial con forma esférica de radio 6 unidades entra en la atmósfera y
su superficie empieza a calentarse. Pasada una hora, la temperatura en un punto (x, y, x) de su
superficie es de T(x, y, z) = 6x − y2
+ xz + 60. Determina los puntos de la superficie de la sonda
más fr´ıos y más calientes. Razona en ambos casos por qué podemos garantizar su existencia.
Ejercicio 21. Encuentra el punto más alto de la circunferencia definida por la intersección de la
esfera x2
+ y2
+ z2
= 36 con el plano 2x + y − z = 6.
Ejercicio 22. En los siguientes casos, determina los puntos de la curva más próximos al origen
de coordenadas
(1) La intersección del cono 2z2
= x2
+ y2
con el plano z = 1 + x + y.
(2) La curva dada por la intersección de los elpsoides x2
+ 2y2 + 3z2
= 1 y 2x2
+ 3y2
+ z2
= 1.
(3) El triángulo de vértices A = (−3, 2, 2), B = (3, 8, −4) y C = (−6, 1, 0).
Ejercicio 23. Encuentra el punto del cono z2
= x2
+ (y − 1)2
más cercano al punto P = (1, 0, 0).
Ejercicio 24. Encuentra las dimensiones óptimas de un recipiente con forma de caja sin tapa de
superficie dada a.
Ejercicio 25. Encuentra las dimensiones óptimas de un recipiente con forma de caja sin tapa de
volumen dado v.
Ejercicio 26. Halla las distancias máxima y m´ınima desde el origen hasta la curva dada por la
intersección de los elipsoides x2
+ 2y2
+ 3z2
= 1 y 2x2
+ 3y2
+ z2
= 1.
Ejercicio 27. Calcula el punto más cercano al eje OY de la elipse dada por la intersección del
cilindro x2
+ 2y2
= 1 con el plano 3x = 4z.
Ejercicio 28. Calcula los extremos absolutos del campo escalar f(x, y, z) = x − y − z sobre la
elipse dada por la intersección del cilindro 2x2
+ y2
= 4 con el plano x + y + z = 1.

Ejercicio 29. Cortando el paraboloide z = 4−x2
−y2
con el plano z = y +2 se obtiene una curva
C. Además, sea V el sólido formado por el trozo acotado de los dos en que dicho corte divide al
paraboloide.
Los elementos geométricos descritos.
(1) Calcula la recta tangente a C en el punto P = (0, 1, 3).
(2) Calcula el plano tangente al paraboloide en dicho punto P.
(3) Calcula la recta tangente al paraboloide en el punto P que tiene pendiente máxima.
(4) Utilizando el teorema de los multiplicadores de Lagrange, prueba que P = (0, 1, 3) es el
punto más alto de la curva C.
Ejercicio 30. De los puntos que están a la vez en el cilindro x2
+ y2
= 1 y en la superficie
z2
− xy = 0, calcula, en el caso de que existan, el que está más cerca y el que está más lejos del
origen de coordenadas.
Ejercicio 31. La ecuación x2
+ 3y2
− 2xy = 1 representa una elipse centrada en el origen de
coordenadas. Aplica el teorema de los multiplicadores de Lagrange para hallar sus semiejes.
Ejercicio 32. Sea S la superficie dada en R3
por z3
+ zx3
+ zy4
+ y2
+ 2xy − 2x − 4y + 3 = 0.
(1) Prueba que en un entorno del punto P = (1, 1, 0) puede obtenerse la coordenada z de los
puntos de S como una función expl´ıcita z = f(x, y) de las otras dos coordenadas.
(2) Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de f en el punto (1, 1).
(3) Prueba que (1, 1) es un punto cr´ıtico de f y clasif´ıcalo.
(4) Sea C la intersección de S con el plano XY . Para hallar los extremos relativos del campo
g(x, y) = x(y − 1) sujetos a la restricción C, ¿cuáles son los puntos candidatos a extremos
relativos que proporciona el teorema de los multiplicadores de Lagrange para este caso?
(5) Halla los extremos absolutos de g sujetos a la restricción C.
Algunas notas históricas. Los problemas de optimización — el cálculo de máximos y m´ınimos — forman parte de
las matemáticas, y de sus aplicaciones a la mecánica y la ingenier´ıa, desde sus or´ıgenes. Por ejemplo, los astrónomos
de Babilonia ya se dieron cuenta que los planetas parec´ıan detenerse cuando aparentaban estar lo más lejos o cerca
posible. La leyenda de la reina Dido, fundadora de Cartago, cuenta cómo resolvió, mediante una circunferencia,
el problema de rodear una cantidad lo más grande posible de terreno cuando el per´ımetro está dado. Este y otros
problemas de optimización fueron resueltos por los geómetras griegos. Por ejemplo, Herón descubrió, en torno al
siglo i ac, que la luz se refleja siguiendo el camino más corto.
Con la invención del cálculo infinitesimal se desarrollaron los primeros métodos sistemáticos para resolver problemas
de optimización. As´ı, Pierre de Fermat fue el primero, en 1636, en postular que la derivada vale cero en los extremos
locales de una función de una variable. También mostró en 1657 que la ley de Snell es una consecuencia de que la
luz viaja siguiendo el camino más corto también cuando se refracta al pasar de un medio a otro, aire y agua, por
ejemplo, en el que viaja a diferente velocidad. En 1696 Johann y Jacob Bernoulli y Newton plantean y resuelven al
problema de la braquistocrona: la propiedad que tiene la cicloide de ser la curva por la que un móvil sujeto a la acción
de la gravedad pasa en el menor tiempo posible de un punto a otro, ambos situados en un mismo plano vertical.

Este resultado y otros en problemas similares permiten a Leonhard Euler formular en 1740 los primeros criterios de
optimalidad de curvas y superficies, lo que se conoce como el cálculo de variaciones. Joseph Louis Lagrange resolvió
en 1755 algunas cuestiones planteadas por Euler, y su colaboración culminó con la formulación de las ecuaciones
de Euler-Lagrange que son el punto central de la teor´ıa del cálculo de variaciones. En paralelo, Lagrange formuló
en 1759 el test de las derivadas segundas para funciones de dos variables y también fue de los primeros en estudiar
problemas de optimización con restricciones, formulando en 1788 su teorema de los multiplicadores.
A lo largo del siglo xix y primera mitad del xx se establecen los fundamentos teóricos de la disciplina y se formulan
métodos numéricos para resolver problemas de optimización. En 1806 Adrien M. Legendre y Carl F. Gauss inventan
el método de los m´ınimos cuadrados. Bernard Bolzano (1830, para funciones de una variable) y Karl Weierstrass
(1860, para varias variables) formulan la condición suficiente para la existencia de extremos; Carl Gustav Jacobi,
en 1850, y James Joseph Sylvester, en 1852, dan la clasificación de las cuádricas según los signos de los autovalores,
extendiendo el resultado de Lagrange a campos de varias variables. Augustin Cauchy formula en 1857 el método
del descenso más rápido.
La aparición de los computadores a mediados del siglo xx dieron un enorme impulso a los métodos numéricos
para resolver problemas de optimización que son esenciales en la ingenier´ıa. Señalemos, sobre todo, el método del
s´ımplex que permite resolver problemas de optimización lineales de muchas variables sujetas a restricciones lineales,
inventado de forma independiente por Leonid V. Kantorovich en 1939 y George Dantzig en 1947. Este y otros
métodos serán estudiados en las asignaturas “Métodos Matemáticos”, “Estad´ıstica e Investigación Operativa” y, en
GITI, “Métodos Cuantitativos de Organización Industrial”.
BIBLIOGRAFÍA
G.L. Bradley y K.J. Smith, Cálculo, vol. 2, Cap´ıtulo 12.
R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Cálculo, vol. 2, Cap´ıtulo 12.
G.B. Thomas, Jr., Cálculo, varias variables, Cap´ıtulo 14.
Páginas web de interés:
http://www.wolframalpha.com
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http://www.desmos.com/

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