Matrices

UNIVERSIDAD NACIONAL
«SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO»
CURSO : MATEMÁTICA II.
INTEGRANTES : AGUEDO LEON CRISTHIAN.
RODRIGUEZ CASTILLO MARCO.
PROFESOR :
TEMA : MÉTODO DE GAUSS – JORDAN PARA
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales en donde cada
ecuación es de primer grado, definidas sobre un sistema.
Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra
lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar
matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss -
Jordan cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro
equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El
método de Gauss - Jordan transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular
superior y se continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz escalonada
reducida.
Matriz escalonada reducida
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
Carl Friedrich
Gauss
Wilhelm Jordan

A. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con solución única.
B. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con infinidad de
soluciones.
C. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales sin solución.
D. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN PARA SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES CON SOLUCIÓN UNICA
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss-
Jordán:
Matriz Aumentada:
36 16 6 4 0
64 8 0
4 16 2 4 0
64 9 8 3 0
B D E F
B D E F
B D E F
B D E F
    
    
    
    
16 6 4 36
8 64
16 2 4 4
9 8 3 64
B D E F
B D E F
B D E F
B D E F
    
    
    
    
Desarrollo:
16 6 4 1 36
1 8 1 1 64
16 2 4 1 4
9 8 3 1 64
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Reduciendo:
22
31 ( 1)
16 6 4 1 36 1 8 1 1 64
1 8 1 1 64 16 6 4 1 36
16 2 4 1 4 16 2 4 1 4
9 8 3 1 64 9 8 3 1 64
FC 
   
   
   
    
   
   
   
   
   
   
   
   
1
2 2
3 3
1 2
4 4
1 2
1
(8)8
( 16) ( 130)
( 9) ( 80)
1 8 1 1 64 1 8 1 1 64
0 8 8 0 32 0 1 1 0 4
16 2 4 1 4 0 130 20 15 1020
9 8 3 1 64 0 80 12 8 512
F F
F F
F F

 
 
   
   
   
    
   
   
   
   
   
  
   
   
3
4 3 4
1
5
1
17 224
1 0 7 1 32 1 0 7 1 32
0 1 1 0 4 0 1 1 0 4
0 0 110 15 500 0 0 22 3 100
0 0 68 8 192 0 0 17 2 48
F
F F F
   
   
   
    
   
   
   
   
   
 
 
 
3
4 3 4
1
5
1
17 224
1 0 7 1 32 1 0 7 1 32
0 1 1 0 4 0 1 1 0 4
0 0 110 15 500 0 0 22 3 100
0 0 68 8 192 0 0 17 2 48
F
F F F
   
   
   
    
   
   
   
   
   
 
 
 
1
4
3
4 4
( 1)
1
(3)7
1 0 7 1 32 1 0 7 1 32
0 1 1 0 4 0 1 1 0 4
0 0 22 3 100 0 0 22 3 100
0 0 0 7 644 0 0 0 1 92
F
F F


   
   
   
    
   
   
   
   
   
 
 
  

1
3
2
3 3
(7)
1
22
1 0 7 0 60 1 0 7 0 60
0 1 1 0 4 0 1 1 0 4
0 0 22 0 176 0 0 1 0 8
0 0 0 1 92 0 0 0 1 92
F
F F
   
   
   
    
   
   
   
   
 
 
 
 
1 0 0 0 4
0 1 0 0 4
0 0 1 0 8
0 0 0 1 92
 
 
 
 
 
 
 
 



Interpretación del resultado:
La última matriz escalonada reducida, indica que las soluciones para este sistema de
ecuaciones lineales son:
4B 
4D  
8E  
92F  
,
,
.

ECUACIONES LINEALES CON INFINIDAD DE SOLUCIONES
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de
Gauss-Jordán:
5 3 2 1
2 3 2
3 2 2 3 3
2 5 5 4
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
   
   
    
   
Desarrollo:
1
2
3
2
2 4
3 2
(5)
( 3)
(2)
5 3 1 2 1 5 3 1 2 1
52 1 3 1 2 1 1 1 4
33 2 2 3 3 3 2 2 3
42 5 1 5 4 2 5 1 5
F
F
F F

   
   
   
    
   
   
   
   
 
   
 
22
31
4
31
(8)
(7)( 1)
50 8 6 22 1 1 1 426
5 261 1 1 4 0 8 6 22
12 120 1 5 9 0 1 5 9
14 140 7 1 13 0 7 1 13
FC
FF 
   
   
   
    
   
   
   
   
  

      

4
2
3
3 2
5 51 1 1 4 1 1 1 4
70 700 0 34 50 0 0 34 50
12 120 1 5 9 0 1 5 9
70 00 0 34 0 0 0 0 0
F
F C


   
   
   
    
   
   
   
   
      
    
  

1 12 3
2
3 3
( 4)
1
( 5)34
71 0 4 551 1 1 4
120 1 5 9120 1 5 9
352570 0 0 10 0 34 50
1717
00 0 0 0 00 0 0 0
F F
F F

 
 
   
   
   
    
   
    
   
 
  
 
15 211 0 0
17 17
28 290 1 0
17 17
25 350 0 1
17 17
0 0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 

15 21
17 17
28 29
17 17
25 35
17 17
0 0
x w
y w
z w
w
 
 
 


15 21
17 17
28 29
17 17
25 35
17 17
x w
y w
z w
 
 
 

21 15
17 17
29 28
17 17
35 25
17 17
wx
y w
z w
 
 
 
w cSi , tenemos:
21 15
17 17
29 28
17 17
35 28
17 17
c
c
c
x
y
z
w c
  
 
 

, con cR
Entonces se puede decir que hay infinidad de soluciones
para este sistema de ecuaciones lineales.

ECUACIONES LINEALES SIN SOLUCIÓN
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de
Gauss-Jordán:
Desarrollo:
2
2 5
3 1
2 2 2 3
x y z w
x y w
x z w
x y z w
   
  
  
   
2
1
3
1
4 3
1 2
( 2)
( 3)
( 2) ( 1)
1 1 1 1 1 1 1 12 2
52 1 0 1 0 3 2 3 1
1 53 0 1 1 0 3 2 4
3 12 2 2 1 0 0 0 1
F
F
F F


 
   
   
   
    
   
   
   
   
 
  
 

4
3 ( 1)
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
0 3 2 3 1 0 3 2 3 1
0 0 0 1 6 0 0 0 1 6
50 0 0 1 1 0 0 0 0
F 
   
   
   
   
   
   
   
   
 
   
 

0 0 0 0 5x y z w    0 5De la cuarta fila se tiene que da la igualdad de (incorrecto) por lo tanto
este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución

11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
............... 0
............... 0
n n
n n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
    
    
1 1 2 2 3 3 ............... 0m m m mn na x a x a x a x    
Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que:
1 2 3 ....... 0nx x x x    
Esta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones
lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones. Esta solución es llamada
la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única
o tiene una infinidad de soluciones.
ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS
Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGÉNEO si cada una de las ecuaciones
está igualada a cero es decir:

Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-
Jordán:
2 3 4 0
3 2 2 0
4 6 0
x y z
x y z
x y z
  
  
  
Desarrollo:
2
1
1 3
3 1
( 3)
(2)
2 3 4 0 1 4 6 0
3 2 2 0 3 2 2 0
1 4 6 0 2 3 4 0
F
C F
   
   
    
   
   
   
 
 
 
3
22
11( )
102
1 4 6 0 1 4 6 0
0 10 16 0 0 10 16 0
1 5 8 0 0 0 0 0
FF 
   
   
    
   
   
   
 
 

1
2(4)
21 01 4 6 50 0
8 80 1 0 0 1 0
5 5
0 00 0 0 0 0 0
F
 
  
  
  
  
  
  
  
 
 

 

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE
INVOLUCRAN
CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA
TENGA O NO
SOLUCIÓN
En esta parte se dan ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales donde se determinan
valores de constantes para que el sistema de ecuaciones lineales tenga o no solución.
Ejemplo:
Obtener el valor para que el sistema de ecuaciones lineales mediante el método de
Gauss-Jordán:
k
2
3 2
2 5 4
2 5 4
x y z
x y z
x y k z k
  
  
   

Desarrollo:
2
1
3 3
1 2
( 1)
(2) ( 1)
2 2
1 3 1 2 1 3 1 2
1 2 5 4 0 1 6 2
42 5 0 1 2
F
F F
k kk k


   
   
    
   
   
   
  
   
2
2 2
1 3 1 2 1 3 1 2
1 1 6 2 0 1 6 2
2 20 0 4 0 0 4
F
k kk k

   
   
   
   
   
   
  
  
Si entonces:2
4 0k 
32
1
4
2
1 3 1 2
0 1 6 2
0 0 1 2
4
F
k
k
k

 
 
 
 
 
 
 
 
 



3 2
6 2
1
2
x y z
y z
z
k
  
  
 

Del sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene que este es un sistema de
ecuaciones lineales con solución única si 2k  

Pero si la cuarta matriz queda en la forma de:2k 
1 3 1 2
0 1 6 2
0 0 0 0
 
 
 
 
 
 

De esta matriz se obtiene que:
3 2
6 2
0 0
x y z
y z
z
  
  


3 2
6 2
x y z
y z
  
  
Este es un sistema de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones.
Y si la cuarta matriz se transforma en:2k  
1 3 1 2
0 1 6 2
0 0 0 4
 
 
 
 
 
 


En la tercera fila se tiene que , que da la igualdad .Lo cual nos indica
que el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.
En conclusión:
0 0 0 4x y z    0 4 
Si , este sistema de ecuaciones lineales tiene solución única
Si , este sistema de ecuaciones lineales tiene infinidad de soluciones.
Si , este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.
2k  
2k  
2k 
2k  

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA HALLAR LA INVERSA
DE UNA MATRIZ
Ejemplo:
Obtener la inversa de la matriz mediante el método de Gauss-Jordan:
2 3 4
4 3 2
0 1 0
 
 
 
 
 
Desarrollo:
3
2
2 3 4 1 0 0 2 3 4 1 0 0
4 3 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 4 3 2 0 1 0
C
A
   
   
   
   
   
   

3
1 ( 2)
2 3 4 1 0 0
0 1 0 0 0 1
0 3 6 2 1 0
F
A

 
 
 
 
 
 

  
1
3
32
(1/2)
(1/ 6)(3)
3 11 2 0 02 3 4 1 0 0 2 2
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
0 0 6 2 1 0 0 0 1 1 1 1
3 6 2
F
FF
A

 
  
  
   
  
  
   
 
 

   

3 1 2 3
13
( 3/2) ( 2)96
3 1 1 1 1 11 0 0
2 2 2 1 0 0 6 3 2
11 3 20 1 0 0 1 0 0 0 1
13 13 13
0 0 1 1 1 10 0 1 116 34 26
3 6 296 96 96
F F F F
A
   
 
  
  
  
     
  
    
   
 
 
  
  
La inversa es:
1
1 1 1
6 3 2
0 0 1
1 1 1
3 6 2
A
 
  
 
  
 
  
 
Comprobando:
1
*A Matriz IdentidadA

1 1 1 1 1 1
1 0 06 3 2 6 3 2
0 0 1 0 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 0 0 1
3 6 2 3 6 2
  
       
    
    
   
      
  

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