![(
Matrices de rotación
“Un sistema externo y girado hay que ponerlo paralelo al
posible sistema modelo.” (Universidad Politécnica de
Valencia, 2008)
𝑥𝑖 𝑋 𝑘
[ 𝑦𝑖] = [𝑌 𝑘 ]
Ilustración 1:Sentido ángulos omega, phi y kappa
𝑧𝑖 𝑍 𝑘
Fuente ilustración 1: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Apuntes%20de%20Clase/Tema_4.pdf
Giro ()
Giro matricial
𝑋 𝜔 = 𝑋 𝜔
𝑌 𝜔 = 𝑌 𝑐𝑜𝑠 𝜔 − 𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝜔
𝑍 𝜔 = 𝑌 𝑠𝑖𝑛 𝜔 + 𝑓 𝑐𝑜𝑠 𝜔
Sentido matricial en dos
dimensiones
(
𝑌 𝜔
) = cos 𝜔 − sin 𝜔
)(
𝑌 𝑘
)
Ilustración 2:Giro omega 𝑍 𝜔 sin 𝜔 cos 𝜔 𝑍 𝑘
Fuente ilustración 2:
ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap
untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf
Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario)
𝑋 𝜔 1 0 0 𝑋 𝑘 𝑋 𝑘
(𝑌 𝜔 ) = (0 cos 𝜔 −sin 𝜔)( 𝑌 𝑘) = [𝑅] 𝜔 ( 𝑌 𝑘)
𝑍 𝜔
Giro (𝜑)
Ilustración 3: Giro phi
0 sin 𝜔 cos 𝜔 𝑓 𝑓
Fuente ilustración 3:
ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap
untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf
Giro matricial
𝑋 𝜑 = 𝑋 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑍 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜑
𝑌 𝜑 = 𝑌 𝜔
𝑍 𝜑 = −𝑋 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜑 + 𝑍 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜑
Sentido matricial en dos
dimensiones
𝑋 𝜑 cos 𝜑 sin 𝜑 𝑋 𝜔
Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario)
(
𝑍 𝜑
) = (
sin 𝜑 cos 𝜑
) (
𝑍 𝜔
)
𝑋 𝜑
( 𝑌 𝜑 ) = (
cos 𝜑 0 sin 𝜑
0 1 0
𝑋 𝜔
)( 𝑌 𝜔)
Ahora tenemos:
𝑍 𝜑 − sin 𝜑 0 cos 𝜑 𝑍 𝜔](https://image.slidesharecdn.com/matricesderotacion-171129050145/85/Matrices-de-rotacion-1-320.jpg)
![𝑋 𝜔 𝑋 𝑘
[ 𝑅] 𝜑 ( 𝑌 𝜔 ) = [ 𝑅] 𝜑 ∙ [ 𝑅] 𝜔 ∙ ( 𝑌 𝑘 )
𝑍 𝜔 𝑓
Giro (𝒌)
Giro matricial
𝑋𝑖 = 𝑋 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝑘 + 𝑌 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝑘
𝑌𝑖 = −𝑋 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝑘 + 𝑌 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝑘
𝑍𝑖 = 𝑍 𝜑
Sentido matricial en dos
dimensiones
Ilustración 4: giro kappa 𝑋𝑖 cos 𝑘 − sin 𝑘 𝑋 𝜑
Fuente ilustración 4:
ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap
untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf
(
𝑌𝑖
) = (
sin 𝑘 cos 𝑘
)(
𝑌 𝜑
)
Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario)
𝑋𝑖 cos 𝑘 − sin 𝑘 0 𝑋 𝜑 [ 𝑅] = [ 𝑅] 𝑘 ∙ [ 𝑅] 𝜑 ∙ [ 𝑅] 𝜔
(𝑌𝑖 ) =(sin 𝑘 cos 𝑘 0) ( 𝑌 𝜑 ) = 𝑟11 𝑟12 𝑟13
𝑍𝑖
𝑋 𝜑
0 0 1
𝑋 𝜔
𝑍 𝜑
= ( 𝑟21 𝑟22 𝑟23)
𝑟31 𝑟32 𝑟33
[ 𝑅] 𝑘 ( 𝑌 𝜑 ) = [ 𝑅] 𝑘 ∙ [ 𝑅] 𝜑 ∙ ( 𝑌 𝜔 ) =
𝑍 𝜑
𝑋 𝑘
𝑍 𝜔
[ 𝑅] 𝑘 ∙ [ 𝑅] 𝜑 ∙ [ 𝑅] 𝜔 ∙ ( 𝑌 𝑘 )
𝑓
Los componentes de la matriz de giro [ 𝑹]
son:
𝑟11 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑟12 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜔
𝑟13 = 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
𝑟21 = 𝑠𝑖𝑛 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑟22 = 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
𝑟23 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
𝑟31 = −𝑠𝑖𝑛 𝜑
𝑟32 = 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑟33 = 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑
Bibliografía
Los componentes de la matriz de giro
[ 𝑅]
−
1
= [ 𝑀] 𝒔𝒐𝒏:
𝑚11 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
𝑚12 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
𝑚13 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜑
𝑚21 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
𝑚22 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
𝑚23 = 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝑚31 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
𝑚32 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘 − 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
𝑚33 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑
Lerma, J. (1999). Aerotriangulación: cálculo y compensación de un bloque fotogramétrico.
Obtenido de http://jllerma.webs.upv.es/Lerma_AT_1999_UPV_p.pdf
Universidad Politécnica de Valencia. (2008). Fotogrametría Titulacion: L.T.Topografía.
Obtenido de Sistema de coordenadas en fotogrametría:
ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Apuntes%20de%20Clase/Tema_4.pd
f](https://image.slidesharecdn.com/matricesderotacion-171129050145/85/Matrices-de-rotacion-2-320.jpg)
Matrices de rotacion
- 1. ( Matrices de rotación “Un sistema externo y girado hay que ponerlo paralelo al posible sistema modelo.” (Universidad Politécnica de Valencia, 2008) 𝑥𝑖 𝑋 𝑘 [ 𝑦𝑖] = [𝑌 𝑘 ] Ilustración 1:Sentido ángulos omega, phi y kappa 𝑧𝑖 𝑍 𝑘 Fuente ilustración 1: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Apuntes%20de%20Clase/Tema_4.pdf Giro () Giro matricial 𝑋 𝜔 = 𝑋 𝜔 𝑌 𝜔 = 𝑌 𝑐𝑜𝑠 𝜔 − 𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑍 𝜔 = 𝑌 𝑠𝑖𝑛 𝜔 + 𝑓 𝑐𝑜𝑠 𝜔 Sentido matricial en dos dimensiones ( 𝑌 𝜔 ) = cos 𝜔 − sin 𝜔 )( 𝑌 𝑘 ) Ilustración 2:Giro omega 𝑍 𝜔 sin 𝜔 cos 𝜔 𝑍 𝑘 Fuente ilustración 2: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario) 𝑋 𝜔 1 0 0 𝑋 𝑘 𝑋 𝑘 (𝑌 𝜔 ) = (0 cos 𝜔 −sin 𝜔)( 𝑌 𝑘) = [𝑅] 𝜔 ( 𝑌 𝑘) 𝑍 𝜔 Giro (𝜑) Ilustración 3: Giro phi 0 sin 𝜔 cos 𝜔 𝑓 𝑓 Fuente ilustración 3: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf Giro matricial 𝑋 𝜑 = 𝑋 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑍 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑌 𝜑 = 𝑌 𝜔 𝑍 𝜑 = −𝑋 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜑 + 𝑍 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜑 Sentido matricial en dos dimensiones 𝑋 𝜑 cos 𝜑 sin 𝜑 𝑋 𝜔 Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario) ( 𝑍 𝜑 ) = ( sin 𝜑 cos 𝜑 ) ( 𝑍 𝜔 ) 𝑋 𝜑 ( 𝑌 𝜑 ) = ( cos 𝜑 0 sin 𝜑 0 1 0 𝑋 𝜔 )( 𝑌 𝜔) Ahora tenemos: 𝑍 𝜑 − sin 𝜑 0 cos 𝜑 𝑍 𝜔
- 2. 𝑋 𝜔 𝑋 𝑘 [ 𝑅] 𝜑 ( 𝑌 𝜔 ) = [ 𝑅] 𝜑 ∙ [ 𝑅] 𝜔 ∙ ( 𝑌 𝑘 ) 𝑍 𝜔 𝑓 Giro (𝒌) Giro matricial 𝑋𝑖 = 𝑋 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝑘 + 𝑌 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑌𝑖 = −𝑋 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝑘 + 𝑌 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑍𝑖 = 𝑍 𝜑 Sentido matricial en dos dimensiones Ilustración 4: giro kappa 𝑋𝑖 cos 𝑘 − sin 𝑘 𝑋 𝜑 Fuente ilustración 4: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf ( 𝑌𝑖 ) = ( sin 𝑘 cos 𝑘 )( 𝑌 𝜑 ) Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario) 𝑋𝑖 cos 𝑘 − sin 𝑘 0 𝑋 𝜑 [ 𝑅] = [ 𝑅] 𝑘 ∙ [ 𝑅] 𝜑 ∙ [ 𝑅] 𝜔 (𝑌𝑖 ) =(sin 𝑘 cos 𝑘 0) ( 𝑌 𝜑 ) = 𝑟11 𝑟12 𝑟13 𝑍𝑖 𝑋 𝜑 0 0 1 𝑋 𝜔 𝑍 𝜑 = ( 𝑟21 𝑟22 𝑟23) 𝑟31 𝑟32 𝑟33 [ 𝑅] 𝑘 ( 𝑌 𝜑 ) = [ 𝑅] 𝑘 ∙ [ 𝑅] 𝜑 ∙ ( 𝑌 𝜔 ) = 𝑍 𝜑 𝑋 𝑘 𝑍 𝜔 [ 𝑅] 𝑘 ∙ [ 𝑅] 𝜑 ∙ [ 𝑅] 𝜔 ∙ ( 𝑌 𝑘 ) 𝑓 Los componentes de la matriz de giro [ 𝑹] son: 𝑟11 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑟12 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑟13 = 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑟21 = 𝑠𝑖𝑛 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑟22 = 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑟23 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑟31 = −𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑟32 = 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑟33 = 𝑐𝑜𝑠 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 Bibliografía Los componentes de la matriz de giro [ 𝑅] − 1 = [ 𝑀] 𝒔𝒐𝒏: 𝑚11 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑚12 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑚13 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑚21 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑚22 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑚23 = 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑚31 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑚32 = 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘 − 𝑠𝑖𝑛 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑚33 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 Lerma, J. (1999). Aerotriangulación: cálculo y compensación de un bloque fotogramétrico. Obtenido de http://jllerma.webs.upv.es/Lerma_AT_1999_UPV_p.pdf Universidad Politécnica de Valencia. (2008). Fotogrametría Titulacion: L.T.Topografía. Obtenido de Sistema de coordenadas en fotogrametría: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Apuntes%20de%20Clase/Tema_4.pd f