![Consulta de fotogrametría
Autor: César Páez NRC: 1235
Matrices de rotación
“Un sistema externo y girado hay que ponerlo paralelo al
posible sistema modelo.” (Universidad Politécnica de
Valencia, 2008)
[
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑧𝑖
] = [
𝑋 𝑘
𝑌𝑘
𝑍 𝑘
]
Fuente ilustración 1: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Apuntes%20de%20Clase/Tema_4.pdf
• Giro ()
Ilustración 2:Giro omega
Fuente ilustración 2:
ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap
untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf
Giro matricial
𝑋 𝜔 = 𝑋 𝜔
𝑌𝜔 = 𝑌 cos 𝜔 − 𝑓 sin 𝜔
𝑍 𝜔 = 𝑌 sin 𝜔 + 𝑓 cos 𝜔
Sentido matricial en dos
dimensiones
(
𝑌𝜔
𝑍 𝜔
) = (
cos 𝜔 − sin 𝜔
sin 𝜔 cos 𝜔
) (
𝑌𝑘
𝑍 𝑘
)
Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario)
(
𝑋 𝜔
𝑌𝜔
𝑍 𝜔
) = (
1 0 0
0 cos 𝜔 − sin 𝜔
0 sin 𝜔 cos 𝜔
) (
𝑋 𝑘
𝑌𝑘
𝑓
) = [𝑅] 𝜔 (
𝑋 𝑘
𝑌𝑘
𝑓
)
• Giro (𝜑)
Ilustración 3: Giro phi
Fuente ilustración 3:
ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap
untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf
Giro matricial
𝑋 𝜑 = 𝑋 𝜔 cos 𝜑 + 𝑍 𝜔 sin 𝜑
𝑌𝜑 = 𝑌𝜔
𝑍 𝜑 = −𝑋 𝜔 sin 𝜑 + 𝑍 𝜔 cos 𝜑
Sentido matricial en dos
dimensiones
(
𝑋 𝜑
𝑍 𝜑
) = (
cos 𝜑 sin 𝜑
sin 𝜑 cos 𝜑
) (
𝑋 𝜔
𝑍 𝜔
)
Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario)
(
𝑋 𝜑
𝑌𝜑
𝑍 𝜑
) = (
cos 𝜑 0 sin 𝜑
0 1 0
− sin 𝜑 0 cos 𝜑
) (
𝑋 𝜔
𝑌𝜔
𝑍 𝜔
)
Ahora tenemos:
Ilustración 1:Sentido ángulos omega, phi y kappa](https://image.slidesharecdn.com/matricesderotacin-171029193814/85/Matrices-de-rotacion-1-320.jpg)
![[𝑅] 𝜑 (
𝑋 𝜔
𝑌𝜔
𝑍 𝜔
) = [𝑅] 𝜑 ∙ [𝑅] 𝜔 ∙ (
𝑋 𝑘
𝑌𝑘
𝑓
)
• Giro (𝒌)
Ilustración 4: giro kappa
Fuente ilustración 4:
ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap
untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf
Giro matricial
𝑋𝑖 = 𝑋 𝜑 cos 𝑘 + 𝑌𝜑 sin 𝑘
𝑌𝑖 = −𝑋 𝜑 sin 𝑘 + 𝑌𝜑 cos 𝑘
𝑍𝑖 = 𝑍 𝜑
Sentido matricial en dos
dimensiones
(
𝑋𝑖
𝑌𝑖
) = (
cos 𝑘 − sin 𝑘
sin 𝑘 cos 𝑘
) (
𝑋 𝜑
𝑌𝜑
)
Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario)
(
𝑋𝑖
𝑌𝑖
𝑍𝑖
) = (
cos 𝑘 − sin 𝑘 0
sin 𝑘 cos 𝑘 0
0 0 1
) (
𝑋 𝜑
𝑌𝜑
𝑍 𝜑
) =
[𝑅] 𝑘 (
𝑋 𝜑
𝑌𝜑
𝑍 𝜑
) = [𝑅] 𝑘 ∙ [𝑅] 𝜑 ∙ (
𝑋 𝜔
𝑌𝜔
𝑍 𝜔
) =
[𝑅] 𝑘 ∙ [𝑅] 𝜑 ∙ [𝑅] 𝜔 ∙ (
𝑋 𝑘
𝑌𝑘
𝑓
)
[𝑅] = [𝑅] 𝑘 ∙ [𝑅] 𝜑 ∙ [𝑅] 𝜔
= (
𝑟11 𝑟12 𝑟13
𝑟21 𝑟22 𝑟23
𝑟31 𝑟32 𝑟33
)
Los componentes de la matriz de giro [𝑹]
son:
𝑟11 = cos 𝜔 ∙ cos 𝜑
𝑟12 = − sin 𝑘 ∙ cos 𝜔 + cos 𝑘 ∙ sin 𝜑 ∙ sin 𝜔
𝑟13 = sin 𝜔 sin 𝑘 ∙ cos 𝜔 + cos 𝜔 ∙ sin 𝜑
∙ cos 𝑘
𝑟21 = sin 𝑘 ∙ cos 𝜑
𝑟22 = cos 𝑘 ∙ cos 𝜔 + sin 𝜔 ∙ sin 𝜑 ∙ sin 𝑘
𝑟23 = − sin 𝜔 ∙ cos 𝑘 + cos 𝜔 ∙ sin 𝜑 ∙ sin 𝑘
𝑟31 = −sin 𝜑
𝑟32 = sin 𝜔 ∙ cos 𝜑
𝑟33 = cos 𝑘 ∙ cos 𝜑
Los componentes de la matriz de giro
[𝑹]−𝟏
= [𝑴] son:
𝑚11 = cos 𝜑 ∙ cos 𝑘
𝑚12 = cos 𝜑 ∙ sin 𝑘
𝑚13 = − sin 𝜑
𝑚21 = sin 𝜑 ∙ sin 𝜔 ∙ cos 𝑘 − cos 𝜔 ∙ sin 𝑘
𝑚22 = sin 𝜑 ∙ sin 𝜔 ∙ sin 𝑘 + cos 𝜔 ∙ cos 𝑘
𝑚23 = sin 𝜔 ∙ cos 𝜑
𝑚31 = sin 𝜑 ∙ cos 𝜔 ∙ cos 𝑘
𝑚32 = sin 𝜑 ∙ cos 𝜔 ∙ sin 𝑘 − sin 𝜔 ∙ cos 𝑘
𝑚33 = cos 𝜔 ∙ cos 𝜑
Bibliografía
Lerma, J. (1999). Aerotriangulación: cálculo y compensación de un bloque fotogramétrico.
Obtenido de http://jllerma.webs.upv.es/Lerma_AT_1999_UPV_p.pdf
Universidad Politécnica de Valencia. (2008). Fotogrametría Titulacion: L.T.Topografía.
Obtenido de Sistema de coordenadas en fotogrametría:
ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Apuntes%20de%20Clase/Tema_4.pd
f](https://image.slidesharecdn.com/matricesderotacin-171029193814/85/Matrices-de-rotacion-2-320.jpg)
Matrices de rotación
- 1. Consulta de fotogrametría Autor: César Páez NRC: 1235 Matrices de rotación “Un sistema externo y girado hay que ponerlo paralelo al posible sistema modelo.” (Universidad Politécnica de Valencia, 2008) [ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖 ] = [ 𝑋 𝑘 𝑌𝑘 𝑍 𝑘 ] Fuente ilustración 1: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Apuntes%20de%20Clase/Tema_4.pdf • Giro () Ilustración 2:Giro omega Fuente ilustración 2: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf Giro matricial 𝑋 𝜔 = 𝑋 𝜔 𝑌𝜔 = 𝑌 cos 𝜔 − 𝑓 sin 𝜔 𝑍 𝜔 = 𝑌 sin 𝜔 + 𝑓 cos 𝜔 Sentido matricial en dos dimensiones ( 𝑌𝜔 𝑍 𝜔 ) = ( cos 𝜔 − sin 𝜔 sin 𝜔 cos 𝜔 ) ( 𝑌𝑘 𝑍 𝑘 ) Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario) ( 𝑋 𝜔 𝑌𝜔 𝑍 𝜔 ) = ( 1 0 0 0 cos 𝜔 − sin 𝜔 0 sin 𝜔 cos 𝜔 ) ( 𝑋 𝑘 𝑌𝑘 𝑓 ) = [𝑅] 𝜔 ( 𝑋 𝑘 𝑌𝑘 𝑓 ) • Giro (𝜑) Ilustración 3: Giro phi Fuente ilustración 3: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf Giro matricial 𝑋 𝜑 = 𝑋 𝜔 cos 𝜑 + 𝑍 𝜔 sin 𝜑 𝑌𝜑 = 𝑌𝜔 𝑍 𝜑 = −𝑋 𝜔 sin 𝜑 + 𝑍 𝜔 cos 𝜑 Sentido matricial en dos dimensiones ( 𝑋 𝜑 𝑍 𝜑 ) = ( cos 𝜑 sin 𝜑 sin 𝜑 cos 𝜑 ) ( 𝑋 𝜔 𝑍 𝜔 ) Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario) ( 𝑋 𝜑 𝑌𝜑 𝑍 𝜑 ) = ( cos 𝜑 0 sin 𝜑 0 1 0 − sin 𝜑 0 cos 𝜑 ) ( 𝑋 𝜔 𝑌𝜔 𝑍 𝜔 ) Ahora tenemos: Ilustración 1:Sentido ángulos omega, phi y kappa
- 2. [𝑅] 𝜑 ( 𝑋 𝜔 𝑌𝜔 𝑍 𝜔 ) = [𝑅] 𝜑 ∙ [𝑅] 𝜔 ∙ ( 𝑋 𝑘 𝑌𝑘 𝑓 ) • Giro (𝒌) Ilustración 4: giro kappa Fuente ilustración 4: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Ap untes%20de%20Clase/Tema_4.pdf Giro matricial 𝑋𝑖 = 𝑋 𝜑 cos 𝑘 + 𝑌𝜑 sin 𝑘 𝑌𝑖 = −𝑋 𝜑 sin 𝑘 + 𝑌𝜑 cos 𝑘 𝑍𝑖 = 𝑍 𝜑 Sentido matricial en dos dimensiones ( 𝑋𝑖 𝑌𝑖 ) = ( cos 𝑘 − sin 𝑘 sin 𝑘 cos 𝑘 ) ( 𝑋 𝜑 𝑌𝜑 ) Sistema matricial en tres dimensiones (sentido horario) ( 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑍𝑖 ) = ( cos 𝑘 − sin 𝑘 0 sin 𝑘 cos 𝑘 0 0 0 1 ) ( 𝑋 𝜑 𝑌𝜑 𝑍 𝜑 ) = [𝑅] 𝑘 ( 𝑋 𝜑 𝑌𝜑 𝑍 𝜑 ) = [𝑅] 𝑘 ∙ [𝑅] 𝜑 ∙ ( 𝑋 𝜔 𝑌𝜔 𝑍 𝜔 ) = [𝑅] 𝑘 ∙ [𝑅] 𝜑 ∙ [𝑅] 𝜔 ∙ ( 𝑋 𝑘 𝑌𝑘 𝑓 ) [𝑅] = [𝑅] 𝑘 ∙ [𝑅] 𝜑 ∙ [𝑅] 𝜔 = ( 𝑟11 𝑟12 𝑟13 𝑟21 𝑟22 𝑟23 𝑟31 𝑟32 𝑟33 ) Los componentes de la matriz de giro [𝑹] son: 𝑟11 = cos 𝜔 ∙ cos 𝜑 𝑟12 = − sin 𝑘 ∙ cos 𝜔 + cos 𝑘 ∙ sin 𝜑 ∙ sin 𝜔 𝑟13 = sin 𝜔 sin 𝑘 ∙ cos 𝜔 + cos 𝜔 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝑘 𝑟21 = sin 𝑘 ∙ cos 𝜑 𝑟22 = cos 𝑘 ∙ cos 𝜔 + sin 𝜔 ∙ sin 𝜑 ∙ sin 𝑘 𝑟23 = − sin 𝜔 ∙ cos 𝑘 + cos 𝜔 ∙ sin 𝜑 ∙ sin 𝑘 𝑟31 = −sin 𝜑 𝑟32 = sin 𝜔 ∙ cos 𝜑 𝑟33 = cos 𝑘 ∙ cos 𝜑 Los componentes de la matriz de giro [𝑹]−𝟏 = [𝑴] son: 𝑚11 = cos 𝜑 ∙ cos 𝑘 𝑚12 = cos 𝜑 ∙ sin 𝑘 𝑚13 = − sin 𝜑 𝑚21 = sin 𝜑 ∙ sin 𝜔 ∙ cos 𝑘 − cos 𝜔 ∙ sin 𝑘 𝑚22 = sin 𝜑 ∙ sin 𝜔 ∙ sin 𝑘 + cos 𝜔 ∙ cos 𝑘 𝑚23 = sin 𝜔 ∙ cos 𝜑 𝑚31 = sin 𝜑 ∙ cos 𝜔 ∙ cos 𝑘 𝑚32 = sin 𝜑 ∙ cos 𝜔 ∙ sin 𝑘 − sin 𝜔 ∙ cos 𝑘 𝑚33 = cos 𝜔 ∙ cos 𝜑 Bibliografía Lerma, J. (1999). Aerotriangulación: cálculo y compensación de un bloque fotogramétrico. Obtenido de http://jllerma.webs.upv.es/Lerma_AT_1999_UPV_p.pdf Universidad Politécnica de Valencia. (2008). Fotogrametría Titulacion: L.T.Topografía. Obtenido de Sistema de coordenadas en fotogrametría: ftp://ftp.unsj.edu.ar/agrimensura/Fotogrametria/Apuntes%20de%20Clase/Tema_4.pd f