Coordenadas1
- 1. Coordenadas cilíndricas y esféricas 2 de abril de 2015
- 2. Coordenadas cilíndricas Consideremos un vector que indica la posición desde el origen en coordenadas cartesianas x = (x, y, z). En el plano xy consideramos el módulo del vector r = ||(x, y, 0)|| = x² + y² y el ángulo φ que forma con el eje ˆx. Usando la denición de seno y coseno, tenemos (x, y, 0) = (r cos(φ), r sin(φ), 0) (1) Establecemos entonces dos direcciones nuevas, la dirección de los incrementos en r, y a dirección de los incrementos en φ. Matemáticamente esto corresponde a derivar x con respecto a r y a φ ˆr = (cos(φ), sin(φ), 0) r ˆφ = r(− sin(φ), cos(φ), 0) La denición de ˆφ la hemos hecho de tal forma que ||ˆφ|| = 1 como pueden vericar inmediatamente. ||ˆr|| = 1 se verica también y, adicionalmente, los productos escalares ˆr ˆφ = ˆrˆz = ˆφˆz = 0, donde ˆz es la dirección de los incrementos en z, ˆz = (0, 0, 1). Decimos que ˆr, ˆφ, ˆz forman una terna ortogonal. Finalmente se tiene que (ˆr × ˆφ)˙ˆz = 1 es decir que así ordenados la terna es derecha. La expresión de la velocidad y la aceleración se torna casi trivial desde es- te enfoque. Derivar respecto del tiempo e identicar (o proyectar usando los versores). La velocidad es: dx dt = dr dt ˆr + r dφ dt ˆφ + dz dt ˆz La aceleración resulta: d2 x dt2 = d2 r dt2 ˆr + (rd2 φ dt2 + dr dt dφ dt )ˆφ + d2 z dt2 ˆz+ dr dt dθ dt ˆφ − r(dφ dt )2 ˆr que agrupando es d2 x dt2 = (d2 r dt2 − r(dφ dt )2 ˆr + (rd2 φ dt2 + 2dr dt dφ dt )ˆφ + d2 z dt2 ˆz Coordenadas esféricas Seguimos el mismo procedimiento. Después de una construcción geométrica que por ahora la debo (un gráco) escribimos x = ρ(cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ) y vericamos que ||x|| = ρ. Al igual que con las coordenadas cilíndricas de- nimos tres direcciones según los incrementos de cada una de las coordenadas generalizadas ρ, θ y φ , es decir derivamos: 1
- 3. ˆr = (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ) ˆθ = (cos φ cos θ, sin φ cos θ, − sin θ) sin θ ˆφ = (− sin φ sin θ, cos φ sin θ, 0) = sin θ(− sin φ, cos φ, 0) vericando como antes que los vectores son unitarios y las tres direcciones son ortogonales. La terna resultante es derecha (vericar). La velocidad se escribe ahora como˙x = ˙ρˆρ + ρ ˙θˆθ + ρ sin(θ) ˙φˆφ. El proceso de construcción de la terna deja esta expresión servida. Las aceleraciones se construyen o bien derivando una segunda vez más la expresión cartesiana e identicando o proyectando. O de lo contrario, se encuentra la derivada de los versores, que de paso debe ser perpendicular a ellos. Velocidad Derivamos el vector posición respecto al tiempo, usamos la notación da dt ≡ ˙a y d2 a dt2 ≡ ¨apara cualquier a. La posición es x = ρˆr, luego dx dt = ˙ρˆr + ρ ˙θˆθ + ρ sin(θ) ˙φˆφ para hallar la aceleración habrá que derivar los otros versores de dirección (ˆθ y ˆφ). Hagamos eso primero. ˙ˆθ = − ˙θˆr + cos(θ) ˙φˆφ ˙ˆφ = − ˙φ(cos(θ)ˆθ + sin(θ) ˆr) Luego d2 x dt2 = ¨ρˆr + ( ˙ρ ˙θ + ρ¨θ)ˆθ + (( ˙ρ sin(θ) + ρ ˙θ cos(θ)) ˙φ) + ρ sin(θ)¨φ)ˆφ+ ˙ρ( ˙θˆθ + sin(θ) ˙φˆφ) + (ρ ˙θ)(− ˙θˆr + cos(θ) ˙φˆφ)− (ρ sin(θ) ˙φ)( ˙φ(cos(θ)ˆθ + sin(θ)ˆr) Lo cual agrupado por direcciones termina siendo: d2 x dt2 = ˆr(¨ρ − ρ( ˙θ)2 − ρ sin2 (θ)( ˙φ)2 + ˆθ( ˙ρ ˙θ + ρ¨θ + ˙ρ ˙θ − ρ sin(θ) cos(θ)( ˙φ)2 )+ ˆφ(2 ˙ρ sin(θ) ˙φ + 2ρ ˙θ cos(θ) ˙φ + ρ sin(θ)¨φ) 2