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- 1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica 1er. EXAMEN PARCIAL (25 de Enero de 1993) Apellidos Nombre N.o Grupo Ejercicio 2.o Tiempo: 60 min. Un disco homog´eneo de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre una recta r, mante- ni´endose vertical. De su centro cuelga, mediante una articulaci´on, una varilla de masa m y longitud l < R. En el extremo inferior de esta varilla act´ua una fuerza horizontal, de valor f = A sen Ωt. El conjunto est´a sometido adem´as a la acci´on de la gravedad. Se pide: C C C C C C CC - f = A sen Ωt r M, R ϕ θ m, l a. Tomando como coordenadas el giro del disco θ y el ´angulo de la varilla con la vertical ϕ, expresar el trabajo δW para un desplazamiento virtual arbitrario. b. Fuerzas generalizadas seg´un las coordenadas anterio- res. c. Ecuaciones de Lagrange del movimiento. d. Discutir la existencia o no de integrales primeras y ob- tenerlas en su caso. e. Reacci´on tangencial de la recta sobre el disco, emplean- do multiplicadores de Lagrange.
- 2. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica 1er. EXAMEN PARCIAL (25 de Enero de 1993) Apellidos Nombre N.o Grupo Ejercicio 2.o Tiempo: 60 min. Un disco homog´eneo de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre una recta r, mante- ni´endose vertical. De su centro cuelga, mediante una articulaci´on, una varilla de masa m y longitud l < R. En el extremo inferior de esta varilla act´ua una fuerza horizontal, de valor f = A sen Ωt. El conjunto est´a sometido adem´as a la acci´on de la gravedad. Se pide: C C C C C C CC - f = A sen Ωt r M, R ϕ θ m, l a. Tomando como coordenadas el giro del disco θ y el ´angulo de la varilla con la vertical ϕ, expresar el trabajo δW para un desplazamiento virtual arbitrario. b. Fuerzas generalizadas seg´un las coordenadas anterio- res. c. Ecuaciones de Lagrange del movimiento. d. Discutir la existencia o no de integrales primeras y ob- tenerlas en su caso. e. Reacci´on tangencial de la recta sobre el disco, emplean- do multiplicadores de Lagrange. Tomando desplazamientos virtuales δθ y δϕ, la expresi´on C C C C C C C C C C C C C CC ϕ A A A A A A A A A A A A AA δϕ - -1 lδϕ −Rδθ - −Rδθdel trabajo de f es δW = (−Rδθ + lδϕ cos ϕ)A sen Ωt, e identificando coeficientes Qθ = −RA sen Ωt; Qϕ = lA cos ϕ sen Ωt. La energ´ıa cin´etica es T = 1 2 M(R ˙θ)2 + 1 2 1 2 MR2 ˙θ2 + 1 2 m l2 ˙ϕ2 4 + R2 ˙θ2 + lR ˙θ ˙ϕ cos ϕ + 1 2 1 12 ml2 ˙ϕ2 . La atracci´on gravitatoria proviene de un potencial V = −mgl cos ϕ. Ser´ıa posible incluir su efecto a trav´es de δW y las fuerzas generalizadas correspondientes, pero es preferible tenerlas en cuenta mediante una Lagrangiana parcial, L = T − V . En funci´on de L y de las fuerzas Qθ, Qϕ calculadas antes, las ecuaciones de Lagrange son 3 2 (M + m)R2 ¨θ + 1 2 mlR ¨ϕ cos ϕ − 1 2 mlR ˙ϕ2 sen ϕ = −AR sen Ωt, 1 3 ml2 ¨ϕ + 1 2 mlR¨θ cos ϕ + mgl sen ϕ = lA cos ϕ sen Ωt.
- 3. Aunque ∂L/∂θ = 0, θ no es c´ıclica, ya que existe una fuerza Qθ en esa direcci´on. La energ´ıa total tampoco se conserva, por la acci´on de la fuerza f no conservativa. Por tanto no existen integrales primeras. Para calcular la reacci´on horizontal de la rodadura, imponemos la coacci´on de rodadura a trav´es de un multiplicador de Lagrange. Llamando x al desplazamiento horizontal del centro del disco (positivo hacia la derecha) y θ al giro del mismo, la ecuaci´on de ligadura es ˙x + R ˙θ = 0, lo que para desplazamientos virtuales δθ, δx, δϕ equivale a δx + Rδθ = 0. Los coeficientes de esta expresi´on son pues Ax = 1, Aθ = R, Aϕ = 0. Estos coeficientes, afectados por el multiplicador λ, son los que hay que incluir en el lado derecho de las ecuaciones de Lagrange. Para hallar estas, debemos reformular L en funci´on de x, θ y ϕ, considerando x y θ independientes: L = 1 2 M ˙x2 + 1 4 MR2 ˙θ2 + 1 2 m l2 ˙ϕ2 4 + ˙x2 + l ˙x ˙ϕ cos ϕ + 1 24 ml2 ˙ϕ2 + mgl cos ϕ. Asimismo, la nueva expresi´on de δW debido a f es δW = (δx + lδϕ cos ϕ)A sen Ωt, de donde se obtiene Qx = A sen Ωt; Qϕ = lA cos ϕ sen Ωt; Qθ = 0. La ecuaci´on de Lagrange en x es d dt ∂L ∂ ˙x − ∂L ∂x = Qx + λAx (M + m)¨x + 1 2 ml ¨ϕ cos ϕ − 1 2 ml ˙ϕ2 sen ϕ = A sen Ωt + λ La reacci´on horizontal es precisamente el valor de λ, Rx = λ = (M + m)¨x + 1 2 ml ¨ϕ cos ϕ − 1 2 ml ˙ϕ2 sen ϕ − A sen Ωt. O bien en funci´on de θ, Rx = (M + m)R¨θ + 1 2 ml ¨ϕ cos ϕ − 1 2 ml ˙ϕ2 sen ϕ − A sen Ωt.