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- 1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica EXAMEN PARCIAL (24 de enero del 2006) Apellidos Nombre N.o Grupo Ejercicio 2.o (puntuaci´on: 10/30) Tiempo: 60 min. A R m m El sistema de la figura est´a formado por una es- fera fija y lisa de radio R, que tiene un agujero en su punto m´as bajo A, y por dos masas puntuales pesadas de masa m unidas por un hilo inextensible de longitud 2R que pasa por A. Una de las masas se mueve con enlace bilateral sobre la esfera y la otra se mueve colgando del hilo (ver figura). En el instante inicial la part´ıcula que est´a sobre la esfera se encuentra en el ecuador de la misma con veloci- dad horizontal v0, y la otra se encuentra en reposo en la vertical que pasa por A. Se pide: 1. Ecuaciones diferenciales del movimiento. 2. Reacci´on de la esfera sobre la masa m y tensi´on del hilo. 3. Valor de v0 para que la distancia m´axima de la masa inferior al punto A valga R. A R m m O ϕ θ x y z 1. Para resolver el problema utilizamos coordena- das esf´ericas con origen en O, siendo θ y ϕ los gra- dos de libertad del problema (ver figura). Como la masa que est´a colgando est´a inicialmente en reposo y las fuerzas aplicadas sobre ella son verticales su movimiento es vertical, siendo su coordenada z en un instante gen´erico: z = −(3R − 2R sen θ 2 ) (1) La velocidad de esta masa se obtiene derivando respecto del tiempo en (1) ˙z = R ˙θ cos θ 2 (2) Dado que las fuerzas activas derivan de un po- tencial y los enlaces son lisos, se conserva la energ´ıa mec´anica del sistema: 1 2 mR2 ( ˙θ2 + ˙ϕ2 sen2 θ) + 1 2 mR2 ˙θ2 cos2 θ 2 − mgR cos θ + 2mgR sen θ 2 = E (3) Como todas las fuerzas son verticales o cortan al eje Oz, se conserva la proyecci´on sobre el eje Oz del momento cin´etico en O del sistema: HO · k = constante ⇒ ˙ϕ sen2 θ = h (4) Las ecuaciones diferenciales del movimiento son (3) y (4), obteni´endose las constantes E y h a partir de las condiciones iniciales θ0 = π/2, ˙θ0 = 0, ˙ϕ0 = v0/R: E = 1 2 mv2 0 + √ 2mgR, h = v0 R (5) 698exam_solu.tex
- 2. 2. La reacci´on N de la esfera sobre la part´ıcula y la tensi´on T del hilo las obtenemos a partir de la 2.a ley de Newton aplicada a la part´ıcula sobre la esfera (en direcci´on radial) y a la part´ıcula que cuelga del hilo (en direcci´on vertical): N + T sen θ 2 − mg cos θ = mR( ˙θ2 + ˙ϕ2 sen2 θ) (6) T − mg = m¨z (7) Derivando respecto del tiempo en (2) y sustituyendo en (7) se obtiene la tensi´on T, y sustitu- yendo a su vez T en (6) se obtiene N: T = mg + mR(¨θ cos θ 2 − 1 2 ˙θ2 sen θ 2 ) (8) N = mg cos θ + mR( ˙θ2 + ˙ϕ2 sen2 θ) − mg sen θ 2 − mR sen θ 2 (¨θ cos θ 2 − 1 2 ˙θ2 sen θ 2 ) (9) 3. En el instante en que la distancia m´axima de la part´ıcula que cuelga de hilo al punto A vale R se verifica: θ = π 3 , ˙θ = 0 (10) Sustituyendo en la integral primera (4) el valor obtenido en (5 para la constante h y θ = π/3, se obtiene el valor de ˙ϕ en dicho instante: ˙ϕ = 4v0 3R (11) El valor pedido de v0 se obtiene sustituyendo los valores de las expresiones (10) y (11) en la ecuaci´on de la energ´ıa, y despejando: v2 0 = 3(2 √ 2 − 1)gR (12) 2