![C´ATEDRA
DE
MEC´ANICA
Estas ecuaciones pueden escribirse de forma matricial como
[M]{¨x} + [C]{ ˙x} + [K]{x} = {f(t)} , (1)
siendo
{x} =
x1
x2
, {f(t)} = A
v0
λ
2
sen
v0t
λ
m1
m2
,
[M] =
m1 0
0 m2
, [C] =
c1 −c1
−c1 c1 + c2
, [K] =
k1 −k1
−k1 k1 + k2
.
2.— Las frecuencias y modos propios se obtienen considerando soluciones arm´onicas {x} =
{a} sen ωt para el problema de vibraciones libres sin amortiguamiento,
[M]{¨x} + [K]{x} = {0} , (2)
por lo que resulta
−ω2
[M] + [K] {a} sen ωt = {0} . (3)
Para que existan soluciones no triviales {a} = {0} a esta ecuaci´on homog´enea la matriz de
coeficientes debe ser singular, con lo que se llega a la denominada ecuaci´on caracter´ıstica del
problema de autovalores:
det −ω2
[M] + [K] = 0 ,
m1m2ω4
− (m1(k1 + k2) + m2k1)ω2
+ k1k2 = 0 ,
(4)
y sustituyendo los valores num´ericos del enunciado:
16 · 106
ω4
− 60 · 109
ω2
+ 10 · 1012
= 0 . (5)
Las soluciones (positivas) de esta ecuaci´on son las frecuencias propias buscadas:
ω1 = 13,2218 rad/s ; ω2 = 59,7928 rad/s . (6)
Los vectores propios o modos normales de vibraci´on se obtienen para cada una de las
frecuencias propias, sustituyendo en (3):
ω1 = 13,2218 ⇒ {a1} =
1
0,30073
; ω2 = 59,7928 ⇒ {a2} =
1
−13,30073
,
donde hemos tomado como criterio de normalizaci´on el primer elemento de cada vector propio
igual a la unidad.
La soluci´on de r´egimen permanente pedida corresponde a una soluci´on particular arm´onica
del tipo {x(t)} = {b} sen Ωt, con Ω = v0/λ, en la ecuaci´on (1) con amortiguamiento [C]
despreciable. Sustituyendo resulta
−Ω2
[M] + [K] {b} = AΩ2 m1
m2
.
Considerando el valor Ω = 0,9ω1 = 11,8996 rad/s, se obtiene finalmente
{b} = A
4,4802
1,3762
.
2](https://image.slidesharecdn.com/645exam-191105122621/85/645exam-2-320.jpg)
645exam
- 1. C´ATEDRA DE MEC´ANICA Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica 4.o EXAMEN PARCIAL Y EXAMEN FINAL (11 de junio del 2005) Apellidos Nombre N.o Grupo Ejercicio 2.o (puntuaci´on: 10/30 ´o 10/45) Tiempo: 60 min. m2 k1 k2 m1 c1 c2 x y v0 Para analizar el comportamiento din´amico de un veh´ıculo se hace un modelo como el de la figura formado por dos masas suspendidas m1 y m2 que pueden oscilar ´unicamente en direcci´on vertical. Las suspensiones pri- maria y secundaria del veh´ıculo se representan mediante amortiguadores y muelles lineales de constantes c2, k2 y c1, k1, respectivamente (ver figura). El veh´ıculo recorre con velocidad horizontal constante v0 una carretera re- presentada por la senoide y = A sen(x/λ). Se pide: 1. Ecuaciones diferenciales del movimiento. 2. Para los valores num´ericos m1 = 8000 kg, m2 = 2000 kg, k1 = 2·106 N/m, k2 = 5·106 N/m, obtener: a) Frecuencias propias y modos de oscilaci´on del veh´ıculo. b) Suponiendo que las constantes de amortiguaci´on son peque˜nas (c1 = c2 ≈ 0) pero suficientes para que se alcance un movimiento de r´egimen permanente al cabo del tiempo, obtener dicho movimiento cuando v0/λ es el 90 % de la menor frecuencia propia del veh´ıculo. • m2 m1 y x1 x2 x x = v0t y 1.— Consideramos las coordenadas {x1, x2} de cada una de las masas, relativas a la cota de la carretera, definida en funci´on del tiempo por y(t) = A sen(v0t/λ). El cero de las coordenadas {x1, x2} se sit´ua en la posici´on natural bajo la carga gravitatoria est´atica. De esta forma, las aceleraciones (absolutas) de cada una de las masas ser´an a1 = ¨x1 + ¨y ; a2 = ¨x2 + ¨y , siendo ¨y = −A (v0/λ)2 sen (v0t/λ). Las fuerzas debidas a los resortes y amortiguadores sobre cada una de las masas son f1 = −k1(x1 − x2) − c1( ˙x1 − ˙x2) ; f2 = k1(x1 − x2) + c1( ˙x1 − ˙x2) − k2x2 − c2 ˙x2 . Las ecuaciones del movimiento se obtienen sustituyendo las expresiones anteriores en las ecuaciones din´amicas elementales de cada masa (f1 = m1a1, f2 = m2a2): m1 ¨x1 + k1x1 − k1x2 + c1 ˙x1 − c1 ˙x2 = m1A v0 λ 2 sen v0t λ ; m2 ¨x2 − k1x1 + (k1 + k2)x2 − c1 ˙x1 + (c1 + c2) ˙x2 = m2A v0 λ 2 sen v0t λ . 645exam.tex
- 2. C´ATEDRA DE MEC´ANICA Estas ecuaciones pueden escribirse de forma matricial como [M]{¨x} + [C]{ ˙x} + [K]{x} = {f(t)} , (1) siendo {x} = x1 x2 , {f(t)} = A v0 λ 2 sen v0t λ m1 m2 , [M] = m1 0 0 m2 , [C] = c1 −c1 −c1 c1 + c2 , [K] = k1 −k1 −k1 k1 + k2 . 2.— Las frecuencias y modos propios se obtienen considerando soluciones arm´onicas {x} = {a} sen ωt para el problema de vibraciones libres sin amortiguamiento, [M]{¨x} + [K]{x} = {0} , (2) por lo que resulta −ω2 [M] + [K] {a} sen ωt = {0} . (3) Para que existan soluciones no triviales {a} = {0} a esta ecuaci´on homog´enea la matriz de coeficientes debe ser singular, con lo que se llega a la denominada ecuaci´on caracter´ıstica del problema de autovalores: det −ω2 [M] + [K] = 0 , m1m2ω4 − (m1(k1 + k2) + m2k1)ω2 + k1k2 = 0 , (4) y sustituyendo los valores num´ericos del enunciado: 16 · 106 ω4 − 60 · 109 ω2 + 10 · 1012 = 0 . (5) Las soluciones (positivas) de esta ecuaci´on son las frecuencias propias buscadas: ω1 = 13,2218 rad/s ; ω2 = 59,7928 rad/s . (6) Los vectores propios o modos normales de vibraci´on se obtienen para cada una de las frecuencias propias, sustituyendo en (3): ω1 = 13,2218 ⇒ {a1} = 1 0,30073 ; ω2 = 59,7928 ⇒ {a2} = 1 −13,30073 , donde hemos tomado como criterio de normalizaci´on el primer elemento de cada vector propio igual a la unidad. La soluci´on de r´egimen permanente pedida corresponde a una soluci´on particular arm´onica del tipo {x(t)} = {b} sen Ωt, con Ω = v0/λ, en la ecuaci´on (1) con amortiguamiento [C] despreciable. Sustituyendo resulta −Ω2 [M] + [K] {b} = AΩ2 m1 m2 . Considerando el valor Ω = 0,9ω1 = 11,8996 rad/s, se obtiene finalmente {b} = A 4,4802 1,3762 . 2