![Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´anica
EXAMEN PARCIAL (1 de abril del 2006)
Apellidos Nombre N.o Grupo
Ejercicio 2.o (puntuaci´on: 10/30) Tiempo: 60 min.
θ
ω
R
G
Π
4h
Se considera un cono recto de revoluci´on de masa M, radio
de la base R y altura 4h en contacto con un plano Π a trav´es
del per´ımetro de su base, con un movimiento de rodadura sin
deslizamiento, como se muestra en la figura.
Sabiendo que el movimiento es tal que el C.D.M. G perma-
nece quieto, siendo θ el ´angulo que forma el eje del cono con
la vertical, calcular la velocidad de rotaci´on ω del eje del cono
alrededor de la vertical para que dicho movimiento sea posible,
expres´andola en funci´on de h, R y θ.
Nota: Los momentos centrales principales de inercia para
un cono de masa M, radio R y altura H son I1 = (3/80)M(4R2
+ H2
), I2 = (3/10)MR2
.
El movimiento descrito exige que el ´angulo θ sea constante. Igualmente la velocidad de
precesi´on ω debe ser constante, cuesti´on que se deduce inmediatamente de la conservaci´on de
la energ´ıa. Se trata por tanto de un movimiento uniforme.
i
k G
Π
h Mg
ω
Ω
θK
N = Mg
(sale)
j
R
A
B
Para describir el movimiento emplearemos el triedro
{i, j, k} dibujado en la figura. La direcci´on i es la de m´axi-
ma pendiente de la base, por tanto el triedro no acompa˜na al
cono en su rotaci´on propia. Por una parte podemos interpretar
la velocidad de rotaci´on Ω del cono como una precesi´on ω y
una rotaci´on propia, cuyas componentes en este triedro son:
Ω = ω K + ˙ϕ k = ω sen θ i + ( ˙ϕ + ω cos θ)k .
Por otra parte, esta rotaci´on instant´anea del cono pasa por el
punto de contacto A y por el centro de masas G del cono, ya que
ambos tienen velocidad nula en cada instante. Por geometr´ıa
de masas sabemos que la distancia del centro de la base B a
G es h (cuarta parte de la altura). Por tanto la relaci´on que se establece entre las componentes
de Ω conduce a
Ωz =
h
R
Ωx =
h
R
ω sen θ ⇒ Ω = ω sen θ i +
h
R
k .
El vector Ω se mantiene en el plano vertical m´ovil que contiene al eje del cono y sus
componentes son constantes en el triedro intermedio descrito. El momento cin´etico vale IG ·Ω =
AΩx i + CΩz k (siendo A, C los momentos principales de inercia) y tambi´en tiene componentes
constantes en esta referencia, que gira con velocidad ω K. Por tanto, la ecuaci´on din´amica de
balance de momento cin´etico conduce a:
MG =
d
dt
(IG · Ω) = ω K ∧ (IG · Ω) = Aω2
sen θ cos θ − Cω2
sen2
θ
h
R
j .
El momento MG est´a producido por la reacci´on N = Mg en A. Desarrollando los t´erminos de
la ecuaci´on anterior resulta finalmente
ω2
=
20
3
g
R
cos θ − (h/R) sen θ
sen θ [(1 + 4h2/R2) cos θ − 2(h/R) sen θ]
.
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720exam
- 1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica EXAMEN PARCIAL (1 de abril del 2006) Apellidos Nombre N.o Grupo Ejercicio 2.o (puntuaci´on: 10/30) Tiempo: 60 min. θ ω R G Π 4h Se considera un cono recto de revoluci´on de masa M, radio de la base R y altura 4h en contacto con un plano Π a trav´es del per´ımetro de su base, con un movimiento de rodadura sin deslizamiento, como se muestra en la figura. Sabiendo que el movimiento es tal que el C.D.M. G perma- nece quieto, siendo θ el ´angulo que forma el eje del cono con la vertical, calcular la velocidad de rotaci´on ω del eje del cono alrededor de la vertical para que dicho movimiento sea posible, expres´andola en funci´on de h, R y θ. Nota: Los momentos centrales principales de inercia para un cono de masa M, radio R y altura H son I1 = (3/80)M(4R2 + H2 ), I2 = (3/10)MR2 . El movimiento descrito exige que el ´angulo θ sea constante. Igualmente la velocidad de precesi´on ω debe ser constante, cuesti´on que se deduce inmediatamente de la conservaci´on de la energ´ıa. Se trata por tanto de un movimiento uniforme. i k G Π h Mg ω Ω θK N = Mg (sale) j R A B Para describir el movimiento emplearemos el triedro {i, j, k} dibujado en la figura. La direcci´on i es la de m´axi- ma pendiente de la base, por tanto el triedro no acompa˜na al cono en su rotaci´on propia. Por una parte podemos interpretar la velocidad de rotaci´on Ω del cono como una precesi´on ω y una rotaci´on propia, cuyas componentes en este triedro son: Ω = ω K + ˙ϕ k = ω sen θ i + ( ˙ϕ + ω cos θ)k . Por otra parte, esta rotaci´on instant´anea del cono pasa por el punto de contacto A y por el centro de masas G del cono, ya que ambos tienen velocidad nula en cada instante. Por geometr´ıa de masas sabemos que la distancia del centro de la base B a G es h (cuarta parte de la altura). Por tanto la relaci´on que se establece entre las componentes de Ω conduce a Ωz = h R Ωx = h R ω sen θ ⇒ Ω = ω sen θ i + h R k . El vector Ω se mantiene en el plano vertical m´ovil que contiene al eje del cono y sus componentes son constantes en el triedro intermedio descrito. El momento cin´etico vale IG ·Ω = AΩx i + CΩz k (siendo A, C los momentos principales de inercia) y tambi´en tiene componentes constantes en esta referencia, que gira con velocidad ω K. Por tanto, la ecuaci´on din´amica de balance de momento cin´etico conduce a: MG = d dt (IG · Ω) = ω K ∧ (IG · Ω) = Aω2 sen θ cos θ − Cω2 sen2 θ h R j . El momento MG est´a producido por la reacci´on N = Mg en A. Desarrollando los t´erminos de la ecuaci´on anterior resulta finalmente ω2 = 20 3 g R cos θ − (h/R) sen θ sen θ [(1 + 4h2/R2) cos θ − 2(h/R) sen θ] . 720exam.tex