Volumenes
- 1. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERCARRERA: INGENIERIA CIVIL II SEMESTRECALCULO INTEGRALPROFESORA: SONIA MENDOZAAÑO: 2009ESTUDIANTES: JUAN DIEGO ACOSTA ESPARZA CODIGO: 111 0584 SERGIO ENRIQUE AMAYA CODIGO: 111 0547VOLUMEN DE SOLIDOS POR EL METODO DE RABANADAS O DISCOSEl cálculo de áreas es solo una de tantas aplicaciones de la integral definida. Otra muy importante es el cálculo de volúmenes de sólidos tridimensionales. En esta sección analizaremos el caso de sólidos especiales, con todas sus secciones similares. Empezaremos con los sólidos de revolución, comunes en ingeniería y en todo tipo de objetos de uso cotidiano, como ruedas, píldoras, botellas y pistones. Si una región plana se hace girar en torno a una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y esa recta se llama eje de revolución (o eje de un giro). El más simple es un cilindro circular recto o disco, generado al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados (figura 6.14). -8826515875El volumen del disco es:Volumen Del disco= (Área del disco) (Anchura del disco) Donde R es el radio del disco y w su anchuraEl volumen del disco servirá para hallar el de un solido en general de revolucion. Consideremos el solido de revolucion de la figura 6.15 y un rectangulo representativo de la regio plana que lo genera. Cuando ese rectangulo gira alrededor del eje de revolucion, engendra un disco representativo de volumen.Aproximado el volumen del solido por el de los n discos de ese tipo, de anchura y radio , se obtiene:Esta aproximación va mejorando al hacer. Por tanto definimos el volumen del solido comoEn esquema, el método de los discos es como sigue:Si el eje de giro es vertical se deduce una formula análoga.METODO DE LOS DISCOS O REBANADASPara el volumen de un sólido de revolución por el método de los discos, utilizar una de las formulas siguientes, como se indica en la figura 6.16 2222510160 Nota: en la figura 6.16 queda claro que se puede determinar la variable de integración colocando un rectángulo representativo en la región plana (perpendicular) al eje de giro. Si la anchura del rectángulo es , integrar en x, y si la anchura es, integrar en y.El método de los discos o rebanadas encuentra su aplicación mas sencilla en el caso de una región plana acostada por la grafica de f y el eje x. si el eje de giro es el eje x, el radio R(x) es simplemente f(x).EJEMPLO 1 APLICACIÓN DEL METODO DE DISCOS O REBANADAS Calcular el volumen del solido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la grafica de Y el eje x en torno al eje x SOLUCION: del rectángulo representativo de la figura 6.17 superior vemos que el radio de este solido es Así pues, su volumen viene dado porEJEMPLO 2 EJE DE REVOLUCION DISTINTO DE LOS EJES COORDENADOSCalcular el volumen del solido generado al ahcer girar la región acotada por las graficas deen torno a la recta y = 1 ( figura 6.18)11430062865 SOLUCION: igualando f(x) y g(x) se ve que las dos graficas se cortan en x=±1. Para hallar el radio, restamos g(x) de f(x).Finalmente, integrando entre -1 y 1 obtenemos el volumen:EJEMPLO 3 VOLUMEN DE UNA ESFERACalcular el volumen de una esfera de radio a haciendo girar una región semicircular alrededor de su diámetro. figura 7.2.4SOLUCION: Hacemos girar la región semicircular acotada por y= fx=a2- x2 donde alrededor del eje x (figura 7.2.4).Debido a la simetría obvia de la región semicircular con respecto a la recta x = 0 también pudimos haber calculado el volumen de u hemisferio y después multiplicarlo por dos, esto esEJERCICIOS:Calcular el volumen