![C´ATEDRA
DE
MEC´ANICA
Por conveniencia se define un sistema auxiliar {O; i , j , k }, siendo O el punto fijo que se
encuentra en la mitad del segmento que une el centro de la circunferencia de radio R y el plano,
y que por tanto se encuentra a la misma altura que G. El versor i es horizontal y est´a contenido
en el plano vertical que pasa por A, el k = K y el j es horizontal definiendo un triedro a
derechas con los anteriores. Empleando este sistema auxiliar se puede calcular f´acilmente la
velocidad de G mediante la expresi´on vG = vA + Ω ∧ AG, obteni´endose:
vA = R ˙ψj , AG =
R
4
cos θi +
R
4
sen θj −
R
√
3
4
k
vG = −
R
4
sen θ( ˙ψ + ˙θ) i +
R
4
cos θ( ˙ψ + ˙θ) + R ˙ψ j (2)
v2
G =
R2
16
˙ψ + ˙θ
2
+ R2 ˙ψ2
+
R2
2
˙ψ ˙ψ + ˙θ cos θ
Para el segundo t´ermino de la energ´ıa cin´etica (1) es conveniente emplear un sistema de
referencia {G; i, j, k} ligado a la varilla, de forma que i lleva la direcci´on de la varilla, k es
perpendicular a ´esta y est´a contenido en un plano vertical, y j es horizontal formando con los
anteriores un triedro a derechas. En este sistema los distintos t´erminos se expresan como:
IG =
1
12
mR2
0 0 0
0 1 0
0 0 1
, Ω = ( ˙ψ + ˙θ) −
√
3
2
i +
1
2
k (3)
de forma que se obtiene, despu´es de algunas operaciones, la siguiente expresi´on para la energ´ıa
total:
E =
1
24
mR2 ˙ψ + ˙θ
2
+
1
2
mR2 ˙ψ2
+
1
4
mR2 ˙ψ ˙ψ + ˙θ cos θ
La otra integral primera es la conservaci´on de la proyecci´on vertical del momento cin´etico de
la varilla respecto de cualquier punto de la recta vertical que pasa por O. Esto es debido a que
tanto la resultante del peso como la reacci´on en B son verticales, y la reacci´on en A corta en
todo momento a la mencionada recta vertical. Esta integral primera se puede calcular, teniendo
en cuenta que el punto fijo O no pertenece a la varilla, con la expresi´on:
HO · K = cte. , con HO = HG + mvG ∧ GO (4)
Teniendo en cuenta que HG = IG · Ω, las expresiones (3) y que K = −(
√
3/2)i + (1/2)k,
el primer t´ermino de (4) resulta:
HG · K =
1
48
mR2 ˙ψ + ˙θ (5)
Para el segundo t´ermino de (4), teniendo en cuenta que GO = [−R − (R cos θ)/4]i −
(R/4) sen θj y la expresi´on de vG dada en (2), se obtiene:
(mvG ∧ GO) · K = mR2 1
16
( ˙ψ + ˙θ) +
1
4
( ˙ψ + ˙θ) cos θ + ˙ψ 1 +
1
4
cos θ (6)
y sumando (5) y (6) y operando se obtiene finalmente:
HO · K =
1
2
mR2 ˙ψ
13
6
+ cos θ +
1
4
mR2 ˙θ
1
3
+ cos θ = cte.
2](https://image.slidesharecdn.com/750exam-191105122634/85/750exam-2-320.jpg)
750exam
- 1. C´ATEDRA DE MEC´ANICA Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica EXAMEN FINAL EXTRAORDINARIO (4 de septiembre del 2006) Apellidos Nombre N.o Grupo Ejercicio 4.o (puntuaci´on: 10/45) Tiempo: 60 min. Una varilla homog´enea pesada AB de longitud R y masa m se mueve de for- ma que uno de sus extremos A desliza sobre una circunferencia horizontal fi- ja y lisa de radio R, y el otro extremo B desliza sobre un plano horizontal fijo y liso situado a una distancia R √ 3/2 debajo de la circunferencia. Se pide: R A R √ 3 2 m, R B 1. Expresi´on de la velocidad angular de la varilla; 2. Discutir y si procede calcular las posibles integrales primeras del movimiento de la varilla mediante los principios generales de Newton-Euler; A B θ ψ K = k′ O G 30◦ j′i′ O′ 1. La varilla tiene 2 grados de libertad, que podemos asociar a dos giros ψ y θ. El ´angulo ψ sit´ua el extremo A de la varilla dentro de la circunferencia. Una vez loca- lizado el extremo A, la varilla debe formar necesariamente 30◦ con la vertical para que su otro extremo B est´e en contacto con el plano. Finalmente, cabe girar la varilla un ´angulo θ alrededor de la vertical que pasa por A, tal y como muestra la figura adjun- ta. Obs´ervese que este ´angulo θ es relativo, midi´endose respecto de la direcci´on defini- da por el segmento O A. En base a la cinem´atica descrita se deduce inmediatamente que el movimiento es plano, puesto que la velocidad de cualquier punto de la varilla es horizontal, y su velocidad angular se expresa como: Ω = ( ˙ψ + ˙θ)K siendo K el versor que define la vertical ascendente. 2. Existen dos integrales primeras; una de ellas es la conservaci´on de la energ´ıa total, puesto que ninguna de las fuerzas externas trabaja (podr´ıa hacerlo el peso, que es conservativo, si el movimiento de G no fuera horizontal). Adem´as, teniendo en cuenta que G se mantiene siempre a la misma altura sobre el plano horizontal, la energ´ıa total coincide con la cin´etica sin m´as que hacer pasar el plano de potencial gravitatorio nulo por G. La energ´ıa se puede expresar como: E = 1 2 mv2 G + 1 2 Ω · IG · Ω (1) 750exam.tex
- 2. C´ATEDRA DE MEC´ANICA Por conveniencia se define un sistema auxiliar {O; i , j , k }, siendo O el punto fijo que se encuentra en la mitad del segmento que une el centro de la circunferencia de radio R y el plano, y que por tanto se encuentra a la misma altura que G. El versor i es horizontal y est´a contenido en el plano vertical que pasa por A, el k = K y el j es horizontal definiendo un triedro a derechas con los anteriores. Empleando este sistema auxiliar se puede calcular f´acilmente la velocidad de G mediante la expresi´on vG = vA + Ω ∧ AG, obteni´endose: vA = R ˙ψj , AG = R 4 cos θi + R 4 sen θj − R √ 3 4 k vG = − R 4 sen θ( ˙ψ + ˙θ) i + R 4 cos θ( ˙ψ + ˙θ) + R ˙ψ j (2) v2 G = R2 16 ˙ψ + ˙θ 2 + R2 ˙ψ2 + R2 2 ˙ψ ˙ψ + ˙θ cos θ Para el segundo t´ermino de la energ´ıa cin´etica (1) es conveniente emplear un sistema de referencia {G; i, j, k} ligado a la varilla, de forma que i lleva la direcci´on de la varilla, k es perpendicular a ´esta y est´a contenido en un plano vertical, y j es horizontal formando con los anteriores un triedro a derechas. En este sistema los distintos t´erminos se expresan como: IG = 1 12 mR2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 , Ω = ( ˙ψ + ˙θ) − √ 3 2 i + 1 2 k (3) de forma que se obtiene, despu´es de algunas operaciones, la siguiente expresi´on para la energ´ıa total: E = 1 24 mR2 ˙ψ + ˙θ 2 + 1 2 mR2 ˙ψ2 + 1 4 mR2 ˙ψ ˙ψ + ˙θ cos θ La otra integral primera es la conservaci´on de la proyecci´on vertical del momento cin´etico de la varilla respecto de cualquier punto de la recta vertical que pasa por O. Esto es debido a que tanto la resultante del peso como la reacci´on en B son verticales, y la reacci´on en A corta en todo momento a la mencionada recta vertical. Esta integral primera se puede calcular, teniendo en cuenta que el punto fijo O no pertenece a la varilla, con la expresi´on: HO · K = cte. , con HO = HG + mvG ∧ GO (4) Teniendo en cuenta que HG = IG · Ω, las expresiones (3) y que K = −( √ 3/2)i + (1/2)k, el primer t´ermino de (4) resulta: HG · K = 1 48 mR2 ˙ψ + ˙θ (5) Para el segundo t´ermino de (4), teniendo en cuenta que GO = [−R − (R cos θ)/4]i − (R/4) sen θj y la expresi´on de vG dada en (2), se obtiene: (mvG ∧ GO) · K = mR2 1 16 ( ˙ψ + ˙θ) + 1 4 ( ˙ψ + ˙θ) cos θ + ˙ψ 1 + 1 4 cos θ (6) y sumando (5) y (6) y operando se obtiene finalmente: HO · K = 1 2 mR2 ˙ψ 13 6 + cos θ + 1 4 mR2 ˙θ 1 3 + cos θ = cte. 2