![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
1
TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA
CONDUCCIÓN
• Calor o transferencia de calor o velocidad de transferencia de calor: q [J/s = W].
• Flujo calorífico o de calor: q ′
′ [W/m2
].
• Ley de Fourier:
dx
dT
k
qx −
=
′
′ . A
q
q x
x ⋅
′
′
= . En condiciones de régimen estacionario y con una
distribución lineal de temperaturas:
L
T
k
L
T
T
k
L
T
T
k
dx
dT
k
qx
∆
=
−
=
−
−
=
−
=
′
′ 2
1
1
2
.
• Conductividad térmica: k [W/m·K].
• Ley de enfriamiento de Newton: )
( ∞
−
=
′
′ T
T
h
q s
x .
• Coeficiente de transferencia de calor por convección: h [W/m2
·K].
• Potencia emisiva superficial: E [W/m2
].
• Ley de Stefan-Boltzmann para un cuerpo negro: 4
s
b T
E σ
= .
• Constante de Stefan-Boltzmann: σ = 5,67·10-8
W/m2
·K4
.
• El flujo de calor emitido por una superficie real a la misma temperatura que un cuerpo negro
siempre será menor y viene dado por: 4
s
T
E εσ
= , donde ε es la emisividad, que puede variar
entre 0 y 1.
• Se llama irradiación, G, a la velocidad con la que la radiación incide sobre un área unitaria.
La proporción de la irradiación total que es absorbida por la superficie viene dada por la
absortividad, α (0≤α≤1), según la siguiente expresión: G
Gabs α
= . Irradiación de los
alrededores: 4
alr
T
G σ
= .
• Intercambio de radiación para una superficie gris y difusa (α = ε):
( )
4
4
)
( alr
s
s
b
rad T
T
G
T
E
A
q
q −
=
−
=
=
′
′ εσ
α
ε . También se puede expresar como:
)
( alr
s
rad
rad T
T
h
q −
=
′
′ , siendo hrad el coeficiente de transferencia de calor por radiación:
( )
2
2
)
( alr
s
alr
s
rad T
T
T
T
h +
+
= εσ .
• Principio de conservación de la energía en un volumen de control formulado en un instante de
tiempo (t): alm
alm
sal
gen
ent E
dt
dE
E
E
E &
&
&
& =
=
−
+ .
• Principio de conservación de la energía en un volumen de control formulado en un intervalo
de tiempo (∆t): alm
sal
gen
ent E
E
E
E ∆
=
−
+ .](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-3-320.jpg)
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2
• Principio de conservación de la energía en una superficie de control: 0
=
− sal
ent E
E &
& .
• Ley de Fourier vectorial: z
y
x q
k
q
j
q
i
z
T
k
y
T
j
x
T
i
k
T
k
q ′
′
+
′
′
+
′
′
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∇
−
=
′
′
r
r
r
r
r
r
r
.
• Capacidad térmica volumétrica: ρ cp [J/m3
·K]. Mide la capacidad de un material para
almacenar energía térmica.
• Difusividad térmica:
p
c
k
ρ
α = [m2
/s]. Mide la capacidad de un material para conducir energía
térmica en relación con su capacidad para almacenarla.
• Ecuación de difusión de calor en coordenadas cartesianas:
∂
∂
=
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
3
m
W
t
T
c
q
z
T
k
z
y
T
k
y
x
T
k
x
p
ρ
& .
• Ecuación de difusión de calor vectorial:
t
T
c
q
T
k p
∂
∂
=
+
∇
∇ ρ
&
)
·( .
• En el caso de transmisión unidimensional en régimen estacionario y sin generación de
energía: 0
=
dx
dT
k
dx
d
. Teniendo en cuenta la ley de Fourier ( dx
dT
k
qx −
=
′
′ ), esta ecuación
implica que el flujo de calor en la dirección de transmisión es una constante
( cte.
0
/ =
′
′
⇒
=
′
′ x
x q
dx
q
d ).
• Ecuación de difusión de calor en coordenadas cilíndricas (r radial, φ angular o longitud, z
axial, elemento diferencial de volumen: dr·rdφ·dz):
t
T
c
q
z
T
k
z
T
k
r
r
T
kr
r
r
p
∂
∂
=
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
φ
φ
&
2
1
1
.
• Ecuación de difusión de calor en coordenadas esféricas (r radial, θ polar, cenital o colatitud, φ
azimutal o longitud, elemento diferencial de volumen: dr·rsenθdφ·dθ):
t
T
c
q
T
ksen
sen
r
T
k
sen
r
r
T
kr
r
r
p
∂
∂
=
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
θ
θ
θ
θ
φ
φ
θ
&
2
2
2
2
2
2
1
1
1
.
• Condición de contorno de primera clase o de Dirichlet: superficie mantenida a temperatura
constante, T(x = 0, t) = Ts.](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-4-320.jpg)
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3
• Condición de contorno de segunda clase o de Neumann: flujo de calor fijo o constante en la
superficie,
0
)
0
(
=
∂
∂
−
=
=
′
′
x
s
x
T
k
x
q . Un caso especial es la superficie perfectamente aislada o
adiabática, 0
0
=
∂
∂
=
x
x
T
.
• Condición de contorno de tercera clase o de Fourier: corresponde a la transferencia de calor
por convección en la superficie, conv
superficie
cond q
q ′
′
=
′
′ , . Si el fluido está en contacto con la
superficie de la pared donde está el origen de coordenadas: [ ]
)
,
0
(
0
t
x
T
T
h
x
T
k
x
=
−
=
∂
∂
− ∞
=
. Si
el fluido está en contacto con la superficie de la pared opuesta al origen de coordenadas:
[ ]
∞
=
−
=
=
∂
∂
− T
t
L
x
T
h
x
T
k
L
x
)
,
( .
TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO
• Resistencia térmica de conducción para pared plana:
kA
L
q
T
T
R
x
s
s
cond
t =
−
= 2
1
, .
• Resistencia térmica de convección:
hA
q
T
T
R s
conv
t
1
, =
−
= ∞
.
• Resistencia térmica de radiación.
A
h
q
T
T
R
r
rad
alr
s
rad
t
1
, =
−
= .
• Coeficiente global de transferencia de calor, U: T
UA
qx ∆
= .
UA
q
T
R
R t
tot
1
∑ =
∆
=
= .
• Ley de Fourier expresada en forma integral para un sistema general en condiciones de
régimen estacionario sin generación de calor y con conducción unidimensional (en este caso,
la transferencia de calor, qx, es una constante independiente de x): ∫ ∫
−
=
x
x
T
T
x dT
T
k
x
A
dx
q
0 0
)
(
)
(
.
• Resistencia térmica de conducción para una pared cilíndrica:
Lk
r
r
q
T
T
R
r
s
s
cond
t
π
2
)
/
ln(
)
( 1
2
2
1
, =
−
= .
• Resistencia térmica de convección para una pared cilíndrica:
rLh
Ah
R conv
t
π
2
1
1
, =
= .
• Resistencia térmica de conducción para una pared esférica:
−
=
−
=
2
1
2
1
,
1
1
4
1
)
(
r
r
k
q
T
T
R
r
s
s
cond
t
π
.](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-5-320.jpg)
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4
• Resistencia térmica de convección para una pared esférica:
h
r
Ah
R conv
t 2
,
4
1
1
π
=
= .
• El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cilíndrica o esférica depende del
área en función de la cual se exprese: ( ) 1
3
3
2
2
1
1 ...
−
∑
=
=
=
=
= t
i
i R
A
U
A
U
A
U
A
U .
• Generación de energía térmica por unidad de volumen:
=
= 3
m
W
Vol
E
e
q
gen
gen
&
&
& .
• Ecuación de calor para una aleta: 0
)
(
1
1
2
2
=
−
−
+ ∞
T
T
dx
dA
k
h
A
dx
dT
dx
dA
A
dx
T
d s
c
c
c
.
• Distribución de temperaturas y transferencia de calor para aletas de área de sección
transversal uniforme:
• Caso A, con transferencia de calor por convección desde el extremo de la aleta
( [ ]
L
x
c
c
dx
dT
kA
T
L
T
hA
=
∞ −
=
−
)
( ):
mL
mk
h
mL
x
L
m
mk
h
x
L
m
x
b senh
)
/
(
cosh
)
(
senh
)
/
(
)
(
cosh
)
(
+
−
+
−
=
θ
θ
mL
mk
h
mL
mL
mk
h
mL
M
qf
senh
)
/
(
cosh
cosh
)
/
(
senh
+
+
=
siendo ∞
−
= T
x
T
x )
(
)
(
θ , ∞
−
= T
Tb
b
θ ,
c
kA
hP
m =
2
, b
c
hPkA
M θ
= , P el perímetro y Ac
el área transversal.
• Caso B, extremo adiabático ( 0
=
=L
x
dx
dθ
):
mL
x
L
m
x
b cosh
)
(
cosh
)
( −
=
θ
θ
mL
M
qf tanh
=
• Caso C, extremo con temperatura establecida (θ(x = L) = θL):
mL
x
L
m
mx
x b
L
b senh
)
(
senh
senh
)
/
(
)
( −
+
=
θ
θ
θ
θ ( )
mL
mL
M
q b
L
f
senh
/
cosh θ
θ
−
=
• Caso D, aleta muy larga (L → ∞ y θL → 0, aplicable si m·L > 2,65):
mx
be
x −
= θ
θ )
( b
c
f hPkA
M
q θ
=
=
• La efectividad de una aleta se define como la razón entre la transferencia de calor de la aleta y
la transferencia de calor que existiría sin la aleta:
b
b
c
f
f
hA
q
θ
ε
,
= , siendo Ac,b el área de la
sección transversal de la base de la aleta. El uso de aletas sólo se justifica cuando εf ≥ 2.](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-6-320.jpg)
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7
• La transferencia total de energía que tiene lugar desde un sólido en el que se puede aplicar el
método de la resistencia interna despreciable durante un tiempo t será:
∫
∫ =
=
t
s
t
dt
t
hA
qdt
t
Q
0
0
)
(
)
( θ ⇒ ( )
[ ] alm
t
ini
p E
t
Volc
t
Q ∆
−
=
−
−
= τ
θ
ρ exp
1
)
( .
• Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la
distribución de temperaturas en una pared plana de espesor 2L sometida a convección:
*)
cos(
*
*)
cos(
)
exp(
)
,
(
*)
*,
(
* 1
1
2
1
1 x
x
Fo
C
T
T
T
t
x
T
t
x o
ini
ζ
θ
ζ
ζ
θ =
−
=
−
−
=
∞
∞
, siendo
)
exp(
)
,
0
(
)
,
0
*
(
* 2
1
1 Fo
C
T
T
T
t
x
T
t
x
ini
o ζ
θ −
=
−
−
=
=
=
∞
∞
la temperatura del plano medio (x* = x/L =
0). Los valores de C1 y ζ1 se obtienen de la Tabla 4.1.
• Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia una pared plana de espesor
2L sometida a convección: )
,
0
(
*
sen
1
)
(
1
1
t
U
t
Q
o
o
θ
ζ
ζ
−
= , siendo Uo = Uini = ρcpVol(Tini - T∞) =
Umáx la energía interna inicial de la pared referida a la temperatura del fluido o la máxima
cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor
o mayor temperatura que la pared.
• Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la
distribución de temperaturas en un cilindro largo de radio ro sometido a convección:
*)
(
*
*)
(
)
exp(
)
,
(
*)
*,
(
* 1
0
1
0
2
1
1 r
J
r
J
Fo
C
T
T
T
t
r
T
t
r o
ini
ζ
θ
ζ
ζ
θ =
−
=
−
−
=
∞
∞
, siendo
)
exp(
)
,
0
*
(
* 2
1
1 Fo
C
T
T
T
T
t
r
ini
o
o ζ
θ −
=
−
−
=
=
∞
∞
la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0) y J0
la función de Bessel de primera clase de orden cero cuyos valores se encuentran en la Tabla
G.
• Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia un cilindro largo de radio
ro sometido a convección: )
(
)
,
0
(
*
2
1
)
(
1
1
1
ζ
ζ
θ
J
t
U
t
Q o
o
−
= , siendo J1 la función de Bessel de
primera clase de orden uno cuyos valores se encuentran en la Tabla G y Uo = Uini =
ρcpVol(Tini - T∞) = Umáx la energía interna inicial del cilindro referida a la temperatura del
fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido,
según éste esté a menor o mayor temperatura que el cilindro.](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-9-320.jpg)
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8
• Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la
distribución de temperaturas en una esfera de radio ro sometida a convección:
*)
(
sen
*
1
*
*)
(
sen
*
1
)
exp(
)
,
(
*)
*,
(
* 1
1
1
1
2
1
1 r
r
r
r
Fo
C
T
T
T
t
r
T
t
r o
ini
ζ
ζ
θ
ζ
ζ
ζ
θ =
−
=
−
−
=
∞
∞
, siendo
)
exp(
)
,
0
*
(
* 2
1
1 Fo
C
T
T
T
T
t
r
ini
o
o ζ
θ −
=
−
−
=
=
∞
∞
la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0).
• Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia una esfera de radio ro
sometida a convección: [ ]
)
cos(
)
(
*
3
1
)
(
1
1
1
3
1
ζ
ζ
ζ
ζ
θ
−
−
= sen
U
t
Q o
o
, siendo Uo = Uini = ρcpVol(Tini -
T∞) = Umáx la energía interna inicial de la esfera referida a la temperatura del fluido o la
máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté
a menor o mayor temperatura que la esfera.
• Conducción multidimensional. Para las geometrías multidimensionales de la Tabla 4.2, la
solución multidimensional se expresa como un producto de soluciones unidimensionales que
corresponden a un sólido semiinfinito, una pared plana de espesor 2L o un cilindro infinito de
radio ro:
to
semiinfini
Sólido
)
,
(
)
,
(
∞
∞
−
−
=
T
T
T
t
x
T
t
x
S
ini
;
plana
Pared
)
,
(
)
,
(
∞
∞
−
−
=
T
T
T
t
x
T
t
x
P
ini
;
infinito
Cilindro
)
,
(
)
,
(
∞
∞
−
−
=
T
T
T
t
r
T
t
r
C
ini
.
• En un sólido semiinfinito la condición de frontera interior es T(x→∞, t) = Tini y la condición
inicial es T(x, 0) = Tini. Las soluciones analíticas para tres condiciones de frontera exterior
son:
Condición de frontera Distribución de temperaturas
Temperatura superficial constante: T
(0, t) = Ts
=
−
−
t
x
T
T
T
t
x
T
s
ini
s
α
2
erf
)
,
(
2
/
1
0 )
(
)
(
)
(
t
T
T
k
x
T
k
t
q ini
s
x
s
πα
−
=
∂
∂
−
=
′
′
=
Condición de frontera Distribución de temperaturas
Flujo de calor superficial
constante: o
s q
q ′
′
=
′
′
−
′
′
−
−
′
′
=
−
t
x
k
x
q
t
x
k
t
q
T
t
x
T o
o
ini
α
α
π
α
2
erfc
4
exp
)
/
(
2
)
,
(
2
2
/
1
Convección superficial:
[ ]
)
,
0
(
0
t
T
T
h
x
T
k
x
−
=
∂
∂
− ∞
=
+
+
−
−
=
−
−
∞
k
t
h
t
x
k
t
h
k
hx
t
x
T
T
T
t
x
T
ini
ini
α
α
α
α
2
erfc
exp
2
erfc
)
,
(
2
2](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-10-320.jpg)
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9
donde la función gaussiana de error, erf (η), y la función complementaria de error, erfc (w) =
1 – erf (w), son funciones matemáticas estándar cuyos valores se encuentran en la Tabla E.
• MDF en régimen transitorio. Expresión en diferencias finitas de la velocidad de variación de
la energía almacenada:
t
T
T
V
c
E
p
n
m
p
n
m
p
alm
∆
−
=
+
,
1
,
ρ
& .
• Criterio de estabilidad en el MDF explícito: el coeficiente asociado con el nodo de interés en
el tiempo anterior (coeficiente de p
n
m
T , ) debe ser mayor o igual que cero. Así se obtiene un
valor límite para 2
)
( x
t
Fo
∆
∆
=
α
, del que se obtiene el máximo valor permisible de ∆t.
TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA CONVECCIÓN
• Ley de enfriamiento de Newton: )
( ∞
−
=
′
′ T
T
h
q s ; )
( ∞
−
= T
T
hA
q s .
• Coeficiente de transferencia de calor por convección local, h o promedio, h [W/m2
·K].
• Relación entre los coeficientes de convección local y promedio:
)
(
)
( ∞
∞ −
=
−
=
′
′
= ∫
∫ T
T
A
h
hdA
T
T
dA
q
q s
s
A
s
s
A
s
s
s
⇒ ∫
=
s
A
s
s
hdA
A
h
1
. Para flujo sobre una
placa plana: ∫
=
L
hdx
L
h
0
1
.
• Espesor de la capa límite de velocidad, δ(x): la y para la que u(y) = 0,99·u∞.
• Espesor de la capa límite térmica, δt(x): la y para la que (Ts - T(y))/(Ts - T∞) = 0,99.
• Relación del coeficiente de convección en la capa límite:
∞
=
−
∂
∂
−
=
T
T
y
T
k
h
s
y
f 0
/
.
• Número de Reynolds:
ν
µ
ρ x
u
x
u
Rex
∞
∞
=
= .
• Número de Reynolds crítico para el inicio de la turbulencia en flujo externo: Rex,c = 5·105
.
• Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la masa o de continuidad:
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
s
·
m
kg
0
)
v
(
)
(
3
y
x
u
t
ρ
ρ
ρ
.
• Expresiones diferenciales de las ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del
momento lineal:](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-11-320.jpg)
![Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor
12
• Correlación de convección promedio para capa límite mezclada (laminar y turbulenta) sobre
una placa plana con Ts = cte: 3
/
1
5
/
4
)
871
037
,
0
( Pr
Re
Nu L
L −
= . Con propiedades a Tf y
=
<
<
<
<
5
8
5
10
·
5
10
10
·
5
60
6
,
0
c
x
L
Re
Re
Pr
.
• Correlación de convección local para flujo laminar sobre una placa plana con longitud inicial
no calentada (la capa límite de velocidad comienza en x = 0 y la térmica en x = ξ):
[ ] 3
/
1
4
/
3
0
)
/
(
1 x
Nu
Nu
x
x
ξ
ξ
−
=
=
, donde 0
=
ξ
x
Nu está dado por la expresión anterior para flujo laminar.
• Correlación de convección local para flujo turbulento sobre una placa plana con longitud
inicial no calentada (la capa límite de velocidad comienza en x = 0 y la térmica en x = ξ):
[ ] 9
/
1
10
/
9
0
)
/
(
1 x
Nu
Nu
x
x
ξ
ξ
−
=
=
, donde 0
=
ξ
x
Nu está dado por la expresión anterior para flujo
turbulento.
• Correlación de convección promedio entre ξ y L sobre una placa plana con longitud inicial no
calentada: [ ] )
1
2
/(
2
)
2
2
/(
)
1
2
(
0
)
/
(
1
+
+
+
=
−
−
=
p
p
p
p
L
L L
L
L
Nu
Nu ξ
ξ
ξ
, siendo p = 1 para flujo laminar
y p = 4 para turbulento.
• Correlación de convección local para flujo laminar sobre una placa plana que desprende un
flujo de calor superficial constante: 3
/
1
2
/
1
453
,
0 Pr
Re
Nu x
x = , con Pr ≥ 0,6 y propiedades a Tf.
• Correlación de convección local para flujo turbulento sobre una placa plana que desprende un
flujo de calor superficial constante: 3
/
1
5
/
4
0308
,
0 Pr
Re
Nu x
x = , con 0,6 ≤ Pr ≤ 60 y propiedades
a Tf.
• Flujo sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante. La
variación de la temperatura superficial local se obtiene con:
)
(
)
(
x
h
q
T
x
T
x
s
s
′
′
+
= ∞ .
• Número de Reynolds para flujo cruzado sobre un cilindro: ReD = V·D/ν.
• Correlación de Hilpert para flujo cruzado sobre un cilindro: 3
/
1
Pr
CRe
Nu m
D
D = . Los valores
de las constantes C y m se dan en la Tabla 6.1 en función de ReD. La Tabla 6.2 da los valores
de las constantes para cilindros no circulares. Las propiedades se evalúan a Tf.](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-14-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
13
• Correlación de Zhukauskas para flujo cruzado sobre un cilindro:
4
/
1
=
s
n
m
D
D
Pr
Pr
Pr
CRe
Nu .
Con
>
=
≤
=
10
si
36
,
0
10
si
37
,
0
Pr
n
Pr
n
y
<
<
<
<
6
10
1
500
7
,
0
D
Re
Pr
. Los valores de las constantes C y m se dan en
la Tabla 6.3 en función de ReD. Las propiedades se evalúan a T∞, excepto Prs a Ts.
• Correlación de Churchill y Bernstein para flujo cruzado sobre un cilindro:
[ ]
5
/
4
8
/
5
4
/
1
3
/
2
3
/
1
2
/
1
000
.
282
1
)
/
4
,
0
(
1
62
,
0
3
,
0
+
+
+
= D
D
D
Re
Pr
Pr
Re
Nu . Con propiedades a Tf y ReDPr > 0,2.
• Correlación de Zhukauskas para flujo a través de un banco de tubos:
4
/
1
36
,
0
,
=
s
m
máx
D
D
Pr
Pr
Pr
CRe
Nu . Con
<
<
<
<
≥
500
7
,
0
10
·
2
000
.
1
20
6
,
Pr
Re
N
máx
D
L
. Las constantes C y m se dan
en la Tabla 6.4. Las propiedades se evalúan a 2
/
)
( sal
ent T
T
T +
= , excepto Prs a Ts. Para NL <
20 se aplica un factor de corrección tal que
20
2
20 ≥
<
=
L
L N
D
N
D Nu
C
Nu , donde C2 está dado en
la Tabla 6.5.
• ReD,máx se define en función de la velocidad máxima del fluido dentro del banco de tubos.
• ST es el espaciado transversal y SL el espaciado longitudinal (distancias entre centros de
tubos).
• Para la configuración alineada la velocidad máxima se da en el plano transversal entre dos
tubos verticales y su valor es V
D
S
S
V
T
T
máx
−
= .
• Para la configuración escalonada se utiliza la misma expresión si la velocidad máxima se da
en el plano transversal. Pero si se da en el plano diagonal la expresión es V
D
S
S
V
D
T
máx
)
(
2 −
= .
La velocidad máxima ocurre en el plano diagonal si se cumple la siguiente condición (ver
Figura 6.2):
2
2
)
(
)
(
2
2
/
1
2
2 D
S
S
S
S
D
S
D
S T
T
L
D
T
D
+
<
+
=
⇒
−
<
− .
• Diferencia de temperaturas media logarítmica:
−
−
−
−
−
=
∆
sal
s
ent
s
sal
s
ent
s
ml
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ln
)
(
)
(
.](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-15-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
15
• Al aplicar un balance de energía al flujo interno en un tubo de un gas ideal o de un líquido
incompresible se obtiene que la transferencia de calor por convección al fluido es igual a la
rapidez a la que aumenta la energía térmica del fluido: )
( ,
, ent
m
sal
m
p
conv T
T
c
m
q −
= & .
• Variación axial de la temperatura media para el caso de flujo de calor superficial constante:
x
c
m
P
q
T
x
T
p
s
ent
m
m
&
′
′
+
= ,
)
( .
• Variación axial de la temperatura media para el caso de temperatura superficial constante:
−
=
−
−
h
c
m
Px
T
T
x
T
T
p
ent
m
s
m
s
&
exp
)
(
,
.
• La transferencia total de calor se expresa en función de la diferencia de temperaturas media
logarítmica: ml
s
conv T
A
h
q ∆
= ;
−
−
−
−
−
=
∆
∆
∆
−
∆
=
∆
)
(
)
(
ln
)
(
)
(
)
/
ln(
,
,
,
,
ent
m
s
sal
m
s
ent
m
s
sal
m
s
ent
sal
ent
sal
ml
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T .
• Caso de un tubo rodeado de un fluido externo (convección interna y externa simultáneas):
−
=
−
=
−
−
=
∆
∆
∞
∞
tot
p
p
s
ent
m
sal
m
ent
sal
R
c
m
c
m
A
U
T
T
T
T
T
T
&
&
1
exp
exp
,
,
;
tot
ml
ml
s
conv
R
T
T
A
U
q
∆
=
∆
= .
• Correlación de convección local para flujo laminar en la región completamente desarrollada
con flujo de calor superficial constante: 36
,
4
11
48
=
=
=
k
hD
Nu . Propiedades a Tm.
• Correlación de convección local para flujo laminar en la región completamente desarrollada
con temperatura superficial constante: 66
,
3
=
=
k
hD
Nu . Propiedades a Tm.
• Número de Graetz: Pr
Re
x
D
Gz D
D )
/
(
= .
• Correlación de Hausen para flujo laminar con longitud de entrada térmica (perfil de
velocidades desarrollado) y con temperatura superficial constante:
[ ] 3
/
2
)
/
(
04
,
0
1
)
/
(
0668
,
0
66
,
3
Pr
Re
L
D
Pr
Re
L
D
k
D
h
Nu
D
D
D
+
+
=
= . Propiedades a 2
/
)
( ,
, sal
m
ent
m
m T
T
T +
= .
• Correlación de Sieder y Tate para flujo laminar interno con longitud de entrada combinada y
con temperatura superficial constante:
14
,
0
3
/
1
/
86
,
1
=
s
D
D
D
L
Pr
Re
Nu
µ
µ
. Con propiedades a
2
/
)
( ,
, sal
m
ent
m
m T
T
T +
= , excepto µs a Ts y
<
<
<
<
75
,
9
0044
,
0
700
.
16
48
,
0
s
Pr
µ
µ .](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-17-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
17
( ) 4
/
1
2
/
1
2
/
1
238
,
1
221
,
1
609
,
0
75
,
0
)
(
Pr
Pr
Pr
Pr
f
+
+
= . Número de Nusselt promedio:
L
L
L Nu
Pr
f
Gr
k
L
h
Nu
3
4
)
(
4
3
4
4
/
1
=
=
= .
• Número de Rayleigh:
να
β 3
)
( x
T
T
g
Pr
Gr
Ra s
x
x
∞
−
=
= .
• Número de Rayleigh crítico para la transición de flujo laminar a turbulento en placas
verticales: Rax,c ≈ 109
.
• Correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre una superficie vertical a
temperatura constante aplicable para todo RaL:
[ ]
2
27
/
8
16
/
9
6
/
1
)
/
492
,
0
(
1
387
,
0
825
,
0
+
+
=
=
Pr
Ra
k
L
h
Nu L
L . Propiedades calculadas a Tf = (Ts + T∞)/2.
• Correlación para la convección libre sobre una superficie vertical a temperatura constante
aplicable al flujo laminar:
[ ] 9
/
4
16
/
9
4
/
1
)
/
492
,
0
(
1
670
,
0
68
,
0
Pr
Ra
k
L
h
Nu L
L
+
+
=
= con RaL/Pr ≤ 109
.
Propiedades calculadas a Tf = (Ts + T∞)/2.
• Si la condición de la superficie es un flujo de calor constante en vez de una temperatura
uniforme, la diferencia de temperaturas (Ts - T∞) aumentará con x. Las correlaciones
anteriores son aplicables en este caso si L
Nu y RaL se definen en términos de la diferencia de
temperaturas en el punto medio de la placa, ∞
−
=
∆ T
L
T
T s
L )
2
/
(
2
/ . Como 2
/
/ L
s T
q
h ∆
′
′
= es
necesario realizar un proceso iterativo para determinar Ts (L/2). Es posible obtener una
expresión para la temperatura en cualquier punto en función de la temperatura en el punto
medio: 2
/
5
/
1
15
,
1
)
( L
s
x T
L
x
T
x
T
T ∆
≈
−
=
∆ ∞ .
• Los resultados anteriores también se pueden aplicar a cilindros verticales de altura L si el
espesor de la capa límite, δ, es mucho menor que el diámetro del cilindro, condición que viene
dada por: 4
/
1
35
L
Gr
L
D
≥ .
• Para placas inclinadas (superficies inferior y superior de placas frías y calientes,
respectivamente) se pueden emplear las correlaciones para placas verticales sustituyendo g
por g·cos (θ) para 0º ≤ θ ≤ 60º (θ se mide desde la vertical).](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-19-320.jpg)
![Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor
18
• Para placas horizontales se utiliza una longitud característica definida como el cociente entre
el área y el perímetro de la placa: Lc = As / P.
• Correlaciones de convección libre para la superficie superior de una placa horizontal caliente
o para la superficie inferior de una placa horizontal fría a temperatura constante:
4
/
1
54
,
0 L
L Ra
Nu = si 104
≤ RaL ≤ 107
y 3
/
1
15
,
0 L
L Ra
Nu = si 107
≤ RaL ≤ 1011
. Propiedades
calculadas a Tf.
• Correlaciones de convección libre para la superficie inferior de una placa horizontal caliente o
para la superficie superior de una placa horizontal fría a temperatura constante:
4
/
1
27
,
0 L
L Ra
Nu = con 105
≤ RaL ≤ 1010
. Propiedades calculadas a Tf.
• Correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre un cilindro largo horizontal:
[ ]
2
27
/
8
16
/
9
6
/
1
)
/
559
,
0
(
1
387
,
0
60
,
0
+
+
=
=
Pr
Ra
k
D
h
Nu D
D con RaD ≤ 1012
. Propiedades calculadas a Tf.
• Convección libre y forzada combinadas. Se produce cuando 1
2
≈
L
L
Re
Gr
. Se utilizan las
correlaciones convenientes corregidas con la siguiente expresión:
3
3
3
libre
forzada
combinada Nu
Nu
Nu ±
= . El signo + se emplea cuando los dos flujos tienen el mismo
sentido o son perpendiculares y el signo - se emplea cuando los dos flujos tienen sentidos
opuestos.
TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN
• Ángulo sólido diferencial: dω = dAn / r2
= senθ·dθ·dφ. Unidad: estereorradián (sr). El ángulo
sólido subtendido por el hemisferio sobre un diferencial de área dA1 vale:
sr
2
sen
2
0
2
/
0
π
φ
θ
θ
ω
π π
=
= ∫ ∫
∫ d
d
d
h
.
• Intensidad espectral emitida:
=
m
·sr·
m
W
cos
)
,
,
,
( 2
1
,
µ
d
d
dA
dq
T
I e
e
λ
ω
θ
φ
θ
λ
λ .
• Potencia emisiva espectral:
=
=
=
=
′
′
=
∫ ∫
∫ ∫
m
·
m
W
sen
cos
)
,
,
,
(
cos
)
,
,
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
0
2
/
0
,
2
0
2
/
0
,
1
,
µ
d
d
T
I
d
T
I
d
dA
dq
T
q
T
E
e
e
e
e
π π
λ
π π
λ
λ
λ
φ
θ
θ
θ
φ
θ
λ
ω
θ
φ
θ
λ
λ
λ
λ
.
• Potencia emisiva total: λ
λ
λ d
T
E
q
T
E emit
rad ∫
∞
=
′
′
=
0
, )
,
(
)
( [W/m2
].](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-20-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
19
• Emisor difuso: )
,
(
)
,
,
,
( ,
, λ
φ
θ
λ λ
λ T
I
T
I e
e = ⇒ )
,
(
)
,
( , λ
π
λ λ
λ T
I
T
E e
= ⇒ e
I
E π
= .
• Irradiación espectral: ∫ ∫
=
=
′
′
=
π π
λ
λ
λ φ
θ
θ
θ
φ
θ
λ
λ
λ
λ
2
0
2
/
0
,
1
, sen
cos
)
,
,
(
·
)
(
)
( d
d
I
d
dA
dq
q
G i
i
i
[W/m2
·µm].
• Irradiación total: λ
λ
λ d
G
q
G inc
rad ∫
∞
=
′
′
=
0
, )
( [W/m2
].
• Radiación incidente difusa: )
(
)
,
,
( ,
, λ
φ
θ
λ λ
λ i
i I
I = ⇒ )
(
)
( , λ
π
λ λ
λ i
I
G = ⇒ i
I
G π
= .
• Radiosidad espectral: ∫ ∫ +
+
+ =
=
′
′
=
π π
λ
λ φ
θ
θ
θ
φ
θ
λ
λ
λ
λ
2
0
2
/
0
,
1
, sen
cos
)
,
,
(
·
)
(
)
( d
d
I
d
dA
dq
q
J r
e
r
e
reflj
emit
rad
[W/m2
·µm].
• Radiosidad total: λ
λ
λ d
J
q
J ref
emit
rad ∫
∞
+ =
′
′
=
0
, )
( [W/m2
].
• Emisor y reflector difuso: )
(
)
,
,
( ,
, λ
φ
θ
λ λ
λ r
e
r
e I
I +
+ = ⇒ )
(
)
( , λ
π
λ λ
λ r
e
I
J +
= ⇒ r
e
I
J +
= π .
• Distribución de Planck:
[ ]
1
)
/
exp(
2
)
,
( 5
2
,
−
=
kT
hc
hc
T
I
o
o
b
λ
λ
λ
λ , donde h = 6,6256·10-34
J·s es la
constante de Planck, co = 2,998·108
m/s es la velocidad de la luz en el vacío y k = 1,3805·10-23
J/K es la constante de Boltzmann. Como el cuerpo negro es un emisor difuso:
[ ]
1
)
/
exp(
)
,
(
)
,
(
2
5
1
,
,
−
=
=
T
C
C
T
I
T
E b
b
λ
λ
λ
π
λ λ
λ , donde C1 y C2 son la primera y segunda
constantes de radiación.
• Ley de desplazamiento de Wien: m·K
898
.
2
0
)
,
(
3
,
µ
λ
λ
λ
λ
=
=
⇒
= C
T
d
T
dE
máx
b
.
• Ley de Stefan-Boltzmann:
[ ]
4
0
2
5
1
1
)
/
exp(
T
d
T
C
C
Eb σ
λ
λ
λ
=
−
= ∫
∞
, donde σ = 5,67·10-8
W/m2
·K4
es la constante de Stefan-Boltzmann.
• Emisión de banda: )
(
)
(
)
0
(
0 5
,
4
0
,
0
,
0
,
T
f
T
d
T
E
T
d
E
d
E
d
E
F
b
b
b
b
λ
λ
σ
σ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
=
=
=
→ ∫
∫
∫
∫
∞
.
• Emisividad superficial, ε: Emisividad direccional espectral (para una λ y dirección
determinadas):
)
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
,
,
,
T
I
T
I
T
b
e
λ
φ
θ
λ
φ
θ
λ
ε
λ
λ
θ
λ = . Emisividad direccional total:
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
T
I
T
I
T
b
e φ
θ
φ
θ
εθ = . Emisividad espectral (hemisférica):
)
,
(
)
,
(
)
,
(
, T
E
T
E
T
b λ
λ
λ
ε
λ
λ
λ = .](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-21-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
23
TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO.
Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas.
Descripción Esquema Dimensiones Eficiencia
Aleta recta
de perfil
rectangular
t
w
L
c
f wL
A 2
=
)
2
/
(t
L
Lc +
=
2
/
1
)
/
2
( kt
h
m =
c
c
f
mL
mL
tanh
=
η
Aleta recta
de perfil
triangular t w
L
[ ] 2
/
1
2
2
)
2
/
(
2 t
L
w
Af +
=
2
/
1
)
/
2
( kt
h
m = )
2
(
)
2
(
1
0
1
mL
I
mL
I
mL
f =
η](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-25-320.jpg)
![Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor
24
Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuación).
Descripción Esquema Dimensiones Eficiencia
Aleta recta
de perfil
parabólico t
w
L
[ ]
)
/
ln(
)
/
( 1
2
2
1 C
L
t
t
L
L
C
w
Af +
+
=
[ ] 2
/
1
2
1 )
/
(
1 L
t
C +
=
2
/
1
)
/
2
( kt
h
m =
[ ] 1
1
)
(
4
2
2
/
1
2
+
+
=
mL
f
η
Aleta
anular de
perfil
rectangular L
r1
r2
t
)
(
2 2
1
2
2 r
r
A c
f −
= π
)
2
/
(
2
2 t
r
r c +
=
2
/
1
)
/
2
( kt
h
m =
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
0
2
1
1
0
2
1
1
1
2
1
1
1
2
c
c
c
c
f
mr
I
mr
K
mr
K
mr
I
mr
K
mr
I
mr
I
mr
K
C
+
−
=
η
)
(
)
/
2
(
2
1
2
2
1
2
r
r
m
r
C
c −
=](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-26-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
25
Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuación).
Descripción Esquema Dimensiones Eficiencia
Aleta de
aguja
cilíndrica
D
L
c
f DL
A π
=
)
4
/
(D
L
Lc +
=
2
/
1
)
/
4
( kD
h
m =
c
c
f
mL
mL
tanh
=
η
Aleta de
aguja
cónica
D
L
[ ] 2
/
1
2
2
)
2
/
(
2
D
L
D
Af +
=
π
2
/
1
)
/
2
( kt
h
m =
)
2
(
)
2
(
2
1
2
mL
I
mL
I
mL
f =
η
Aleta de
aguja
parabólica
D
L
y = (D/2)·(1 - x/L)2
[ ]
+
−
= 3
4
4
3
3
)
/
2
(
ln
2
8
C
L
DC
D
L
C
C
D
L
Af
π
2
3 )
/
(
2
1 L
D
C +
=
[ ] 2
/
1
2
4 )
/
(
1 L
D
C +
=
2
/
1
)
/
2
( kt
h
m =
[ ] 1
1
)
(
9
/
4
2
2
/
1
2
+
+
=
mL
f
η](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-27-320.jpg)
![Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor
26
TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO.
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q
= Sk(T1 - T2)].
Descripción
del sistema
Esquema Restricciones Factor de forma
1.1. Esfera
enterrada
en un
medio
semiinfinito
z
D
T2
T1 2
/
D
z >
)
4
/
(
1
2
z
D
D
S
−
=
π
1.2. Esfera
enterrada
en un
medio
semiinfinito
con
superficie
aislada
(Bejan pág.
115)
z
D
aislado
T1
T2 T2
T2
2
/
D
z >
)
4
/
(
1
2
z
D
D
S
+
=
π
1.3. Esfera
enterrada
en un
medio
infinito
(Holman
pág. 55)
D
T2
T1
T2
T2
T2
Ninguna D
S π
2
=
1.4.
Conducción
entre dos
esferas en
un medio
infinito
(Bejan)
w
D d
T2
T1
3
/ >
D
w
w
d
w
d
w
D
D
d
S
−
−
−
=
2
4
)
2
/
(
1
)
2
/
(
1
4π](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-28-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
27
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q
= Sk(T1 - T2)] (continuación).
Descripción
del sistema
Esquema Restricciones Factor de forma
1.5.
Cavidad
hemisférica
en medio
semiinfinito
con
superficie
aislada
(Bejan)
T2 T2
T2
T1
D aislado
aislado
Ninguna D
S π
=
D
L >>
)
/
2
cosh(
arc
2
D
z
L
S
π
=
2.1.
Cilindro de
longitud L
enterrado
en un medio
semiinfinito
z
D
T2
T1
L
D
L >>
2
/
3D
z > )
/
4
ln(
2
D
z
L
S
π
=
z ≈ D
)
/
2
cosh(
arc
2
D
z
S
π
=
z > 2D
( ) ( )
−
+
=
1
2
/
2
ln
2
2
D
z
D
z
S
π
2.2.
Cilindro de
longitud
infinita
enterrado
en un medio
semiinfinito
(Rohsenow
pág. 3-120)
z
D
T2
T1
∞ ∞
z >> D
( )
D
z
S
/
4
ln
2π
=
2.3.
Cilindro
vertical de
longitud L
enterrado
en un medio
semiinfinito
L
D
T2
T1
D
L >>
)
/
4
ln(
2
D
L
L
S
π
=
2.4.
Conducción
entre dos
cilindros
paralelos de
longitud L
en un medio
infinito
w
D d
T2
T1
2
1, D
D
L >>
w
L >>
−
−
=
Dd
d
D
w
L
S
2
4
cosh
arc
2
2
2
2
π](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-29-320.jpg)
![Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor
28
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q
= Sk(T1 - T2)] (continuación).
Descripción
del sistema
Esquema Restricciones Factor de forma
2.5. Cilindro
de longitud L
en medio de
planos
paralelos de
igual longitud
y ancho
infinito
z
D
T2
T1
L
z
T2
∞
∞
∞
∞
2
/
D
z >>
z
L >> )
/
8
ln(
2
D
z
L
S
π
π
=
2.6. Cilindro
de longitud L
centrado en un
sólido de
sección
cuadrada de
igual longitud
w
D
T2
T1 D
w >
w
L >> )
/
08
,
1
ln(
2
D
w
L
S
π
=
2.7. Cilindro
excéntrico de
longitud L en
el interior de
un cilindro de
igual longitud
d
D
T2
T1
z d
D >
D
L >>
−
+
=
Dd
z
d
D
L
S
2
4
cosh
arc
2
2
2
2
π
2.8. Fila
infinita de
cilindros de
longitud
infinita en un
medio
semiinfinito
(Rohsenow)
z > D
[ ]
)
/
2
(
senh
)·
/
2
(
ln
2
L
z
D
L
S
π
π
π
=](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-30-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
29
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q
= Sk(T1 - T2)] (continuación).
Descripción
del sistema
Esquema Restricciones Factor de forma
2.9. Fila
infinita de
cilindros de
longitud
infinita en el
plano medio
de una placa
infinita
(Rohsenow)
z > D
[ ]
)
/
(
senh
)·
/
2
(
ln
2
L
z
D
L
S
π
π
π
=
3.1. Cubo
enterrado en
un medio
infinito
(Holman)
L
Ninguna L
S 24
,
8
=
4.1.
Paralelepípedo
inmerso en un
medio
semiinfinito
(Holman)
Ninguna 078
,
0
59
,
0
1
log
685
,
1
+
=
−
c
b
a
b
L
S
4.2. Agujero
rectangular en
un medio
semiinfinito
(Rohsenow)
a > b
+
=
75
,
0
25
,
0
5
,
3
ln
7
,
5
2
b
a
z
b
a
S](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-31-320.jpg)
![Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor
30
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q
= Sk(T1 - T2)] (continuación).
Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma
5.1. Pared plana con
superficies isotermas
(Bejan)
A
T1
L
W
H
T2
5
/
L
H >
5
/
L
W > L
WH
S =
5.2. Esquina de dos paredes
contiguas
T2
T1
L
W
T2
5
/
L
W > W
S 54
,
0
=
5.3. Esquina de tres paredes
contiguas con diferencia de
temperaturas entre las
superficies interior y
exterior (Bejan)
T2
T1
L
W
T2
T2
T2
T2
Ninguna L
S 15
,
0
=
6.1. Disco delgado sobre
medio semiinfinito
D
T2
T1
Ninguna D
S 2
=
6.2. Disco delgado
semiinfinito enterrado en
un medio semiinfinito
(Kreith pág. 112) D
T2
T1
z
Ninguna
)
67
,
5
/
(
1
45
,
4
z
D
D
S
−
=](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-32-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
31
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q
= Sk(T1 - T2)] (continuación).
Descripción
del sistema
Esquema Restricciones Factor de forma
6.3. Disco
delgado
horizontal
enterrado en
un medio
semiinfinito
(Bejan)
D
T2
T1
z
D
z >
)
4
/
tan(
arc
)
2
/
(
2
z
D
D
S
−
=
π
π
6.4. Disco
delgado
horizontal
enterrado en
un medio
semiinfinito
con
superficie
aislada
(Bejan)
D
T2
aislado
z T1
T1
D
z >
)
4
/
tan(
arc
)
2
/
(
2
z
D
D
S
+
=
π
π
6.5. Dos
discos
paralelos
coaxiales en
un medio
infinito
(Bejan)
L
D
T1
T2
2
/ >
D
L
)
2
/
tan(
arc
)
2
/
(
2
L
D
D
S
−
=
π
π
L
z >>
W
L > )
/
4
ln(
2
W
L
L
S
π
=
0
=
z
W
L > )
/
4
ln( W
L
L
S
π
=
7.1. Placa
horizontal
delgada de
anchura W
(dimensión
⊥ al dibujo)
enterrada en
un medio
semiinfinito
(Bejan y
Holman)
L
T2
T1
z
W
L >>
W
z 2
> )
/
2
ln(
2
W
z
L
S
π
π
=](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-33-320.jpg)
![Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor
32
Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q
= Sk(T1 - T2)] (continuación).
Descripción del
sistema
Esquema Restricciones
Factor de
forma
7.2. Placa vertical
delgada y larga según
la dimensión ⊥ al
dibujo enterrada en un
medio semiinfinito
(Rohsenow)
12
2
1
<
<
L
z
24
,
0
·
38
,
2
=
z
L
S
7.3. Placa horizontal
delgada y larga según
la dimensión ⊥ al
dibujo enterrada en un
medio semiinfinito
(Rohsenow)
L
T2
T1
z
12
2
1
<
<
L
z
32
,
0
·
94
,
2
=
z
L
S](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-34-320.jpg)
![Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras
43
Tabla 9.1. Funciones de radiación de cuerpo negro (continuación).
λT
(µm·K)
)
0
( λ
→
F 5
, )
,
(
T
T
I b
σ
λ
λ
(µm·K·sr)-1 )
,
(
)
,
(
,
,
T
I
T
I
máx
b
b
λ
λ
λ
λ
8.000 0,8563 0,1272·10-4
0,1761
8.500 0,8746 0,1068·10-4
0,1478
9.000 0,8900 0,9015·10-5
0,1248
9.500 0,9031 0,7653·10-5
0,1060
10.000 0,9142 0,6533·10-5
0,09044
10.500 0,9237 0,5605·10-5
0,077600
11.000 0,9319 0,4833·10-5
0,066913
11.500 0,9400 0,4187·10-5
0,057970
12.000 0,9451 0,3644·10-5
0,050448
13.000 0,9551 0,2795·10-5
0,038689
14.000 0,9629 0,2176·10-5
0,030131
15.000 0,9700 0,1719·10-5
0,023794
16.000 0,9738 0,1374·10-5
0,019026
18.000 0,9809 0,9082·10-6
0,012574
20.000 0,9856 0,6233·10-6
0,008629
25.000 0,9922 0,2765·10-6
0,003828
30.000 0,9953 0,1405·10-6
0,001945
40.000 0,9980 0,4739·10-7
0,000656
50.000 0,9990 0,2016·10-7
0,000279
75.000 0,9997 0,4186·10-8
0,000058
100.000 0,999905 0,1358·10-8
0,000019
TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES
Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometrías bidimensionales.
Geometría Esquema Factor de forma
Placas paralelas centradas
wi
L
j
i
wj
[ ]
[ ]
i
i
j
i
j
i
ij
W
W
W
W
W
W
F
2
4
)
(
2
4
)
(
2
/
1
2
2
/
1
2
+
−
−
−
+
+
=
L
w
W i
i /
= L
w
W j
j /
=
Placas paralelas inclinadas de
igual anchura y una arista en
común
j
i
w
w
α
−
=
2
1
α
sen
Fij](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-45-320.jpg)
![Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor
44
Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometrías bidimensionales (continuación).
Geometría Esquema Factor de forma
Placas
perpendiculares
con una arista
en común
j
i
wi
wj
[ ]
2
)
/
(
1
)
/
(
1
2
/
1
2
i
j
i
j
ij
w
w
w
w
F
+
−
+
=
Recinto de tres
lados
j
i
wi
wk wj
k
i
k
j
i
ij
w
w
w
w
F
2
−
+
=
Cilindros
paralelos de
radios
diferentes
s
j
i
ri
rj
[ ]
[ ]
+
+
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+
−
+
=
−
−
C
C
R
R
C
C
R
R
R
C
R
C
Fij
1
cos
º
180
)
1
(
1
cos
º
180
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
1
1
1
2
/
1
2
2
2
/
1
2
2
π
π
π
π
i
j r
r
R /
= i
r
s
S /
= S
R
C +
+
= 1
Cilindro y placa
paralelos s1
j
i
L
r
s2
−
−
= −
−
L
s
L
s
s
s
r
Fij
2
1
1
1
2
1
tan
tan
º
180
π
Plano infinito y
fila de cilindros
s j
i
D
2
/
1
2
2
2
1
2
/
1
2
tan
º
180
1
1
−
+
+
−
−
=
−
D
D
s
s
D
s
D
Fij
π](https://image.slidesharecdn.com/formulas2-220128133658/85/Formulas-2-46-320.jpg)
Formulas (2)
- 1. Universid a d de Navarra Nafarroako Unibertsitatea Escuela Superior de Ingenieros I n g en i a ri e n G o i M a i l ak o E s k o l a CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA Paseo de Manuel Lardizábal 13. 20018 Donostia-San Sebastián. SPAIN Tel.: (34) 943 219 877 Fax: (34) 943 311 442 www.esi.unav.es informacion@tecnun.com FÓRMULAS, TABLAS Y FIGURAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial Febrero de 2007
- 2. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 2
- 3. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 1 TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIÓN • Calor o transferencia de calor o velocidad de transferencia de calor: q [J/s = W]. • Flujo calorífico o de calor: q ′ ′ [W/m2 ]. • Ley de Fourier: dx dT k qx − = ′ ′ . A q q x x ⋅ ′ ′ = . En condiciones de régimen estacionario y con una distribución lineal de temperaturas: L T k L T T k L T T k dx dT k qx ∆ = − = − − = − = ′ ′ 2 1 1 2 . • Conductividad térmica: k [W/m·K]. • Ley de enfriamiento de Newton: ) ( ∞ − = ′ ′ T T h q s x . • Coeficiente de transferencia de calor por convección: h [W/m2 ·K]. • Potencia emisiva superficial: E [W/m2 ]. • Ley de Stefan-Boltzmann para un cuerpo negro: 4 s b T E σ = . • Constante de Stefan-Boltzmann: σ = 5,67·10-8 W/m2 ·K4 . • El flujo de calor emitido por una superficie real a la misma temperatura que un cuerpo negro siempre será menor y viene dado por: 4 s T E εσ = , donde ε es la emisividad, que puede variar entre 0 y 1. • Se llama irradiación, G, a la velocidad con la que la radiación incide sobre un área unitaria. La proporción de la irradiación total que es absorbida por la superficie viene dada por la absortividad, α (0≤α≤1), según la siguiente expresión: G Gabs α = . Irradiación de los alrededores: 4 alr T G σ = . • Intercambio de radiación para una superficie gris y difusa (α = ε): ( ) 4 4 ) ( alr s s b rad T T G T E A q q − = − = = ′ ′ εσ α ε . También se puede expresar como: ) ( alr s rad rad T T h q − = ′ ′ , siendo hrad el coeficiente de transferencia de calor por radiación: ( ) 2 2 ) ( alr s alr s rad T T T T h + + = εσ . • Principio de conservación de la energía en un volumen de control formulado en un instante de tiempo (t): alm alm sal gen ent E dt dE E E E & & & & = = − + . • Principio de conservación de la energía en un volumen de control formulado en un intervalo de tiempo (∆t): alm sal gen ent E E E E ∆ = − + .
- 4. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 2 • Principio de conservación de la energía en una superficie de control: 0 = − sal ent E E & & . • Ley de Fourier vectorial: z y x q k q j q i z T k y T j x T i k T k q ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∇ − = ′ ′ r r r r r r r . • Capacidad térmica volumétrica: ρ cp [J/m3 ·K]. Mide la capacidad de un material para almacenar energía térmica. • Difusividad térmica: p c k ρ α = [m2 /s]. Mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su capacidad para almacenarla. • Ecuación de difusión de calor en coordenadas cartesianas: ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ 3 m W t T c q z T k z y T k y x T k x p ρ & . • Ecuación de difusión de calor vectorial: t T c q T k p ∂ ∂ = + ∇ ∇ ρ & ) ·( . • En el caso de transmisión unidimensional en régimen estacionario y sin generación de energía: 0 = dx dT k dx d . Teniendo en cuenta la ley de Fourier ( dx dT k qx − = ′ ′ ), esta ecuación implica que el flujo de calor en la dirección de transmisión es una constante ( cte. 0 / = ′ ′ ⇒ = ′ ′ x x q dx q d ). • Ecuación de difusión de calor en coordenadas cilíndricas (r radial, φ angular o longitud, z axial, elemento diferencial de volumen: dr·rdφ·dz): t T c q z T k z T k r r T kr r r p ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ρ φ φ & 2 1 1 . • Ecuación de difusión de calor en coordenadas esféricas (r radial, θ polar, cenital o colatitud, φ azimutal o longitud, elemento diferencial de volumen: dr·rsenθdφ·dθ): t T c q T ksen sen r T k sen r r T kr r r p ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ρ θ θ θ θ φ φ θ & 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . • Condición de contorno de primera clase o de Dirichlet: superficie mantenida a temperatura constante, T(x = 0, t) = Ts.
- 5. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 3 • Condición de contorno de segunda clase o de Neumann: flujo de calor fijo o constante en la superficie, 0 ) 0 ( = ∂ ∂ − = = ′ ′ x s x T k x q . Un caso especial es la superficie perfectamente aislada o adiabática, 0 0 = ∂ ∂ = x x T . • Condición de contorno de tercera clase o de Fourier: corresponde a la transferencia de calor por convección en la superficie, conv superficie cond q q ′ ′ = ′ ′ , . Si el fluido está en contacto con la superficie de la pared donde está el origen de coordenadas: [ ] ) , 0 ( 0 t x T T h x T k x = − = ∂ ∂ − ∞ = . Si el fluido está en contacto con la superficie de la pared opuesta al origen de coordenadas: [ ] ∞ = − = = ∂ ∂ − T t L x T h x T k L x ) , ( . TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO • Resistencia térmica de conducción para pared plana: kA L q T T R x s s cond t = − = 2 1 , . • Resistencia térmica de convección: hA q T T R s conv t 1 , = − = ∞ . • Resistencia térmica de radiación. A h q T T R r rad alr s rad t 1 , = − = . • Coeficiente global de transferencia de calor, U: T UA qx ∆ = . UA q T R R t tot 1 ∑ = ∆ = = . • Ley de Fourier expresada en forma integral para un sistema general en condiciones de régimen estacionario sin generación de calor y con conducción unidimensional (en este caso, la transferencia de calor, qx, es una constante independiente de x): ∫ ∫ − = x x T T x dT T k x A dx q 0 0 ) ( ) ( . • Resistencia térmica de conducción para una pared cilíndrica: Lk r r q T T R r s s cond t π 2 ) / ln( ) ( 1 2 2 1 , = − = . • Resistencia térmica de convección para una pared cilíndrica: rLh Ah R conv t π 2 1 1 , = = . • Resistencia térmica de conducción para una pared esférica: − = − = 2 1 2 1 , 1 1 4 1 ) ( r r k q T T R r s s cond t π .
- 6. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 4 • Resistencia térmica de convección para una pared esférica: h r Ah R conv t 2 , 4 1 1 π = = . • El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cilíndrica o esférica depende del área en función de la cual se exprese: ( ) 1 3 3 2 2 1 1 ... − ∑ = = = = = t i i R A U A U A U A U . • Generación de energía térmica por unidad de volumen: = = 3 m W Vol E e q gen gen & & & . • Ecuación de calor para una aleta: 0 ) ( 1 1 2 2 = − − + ∞ T T dx dA k h A dx dT dx dA A dx T d s c c c . • Distribución de temperaturas y transferencia de calor para aletas de área de sección transversal uniforme: • Caso A, con transferencia de calor por convección desde el extremo de la aleta ( [ ] L x c c dx dT kA T L T hA = ∞ − = − ) ( ): mL mk h mL x L m mk h x L m x b senh ) / ( cosh ) ( senh ) / ( ) ( cosh ) ( + − + − = θ θ mL mk h mL mL mk h mL M qf senh ) / ( cosh cosh ) / ( senh + + = siendo ∞ − = T x T x ) ( ) ( θ , ∞ − = T Tb b θ , c kA hP m = 2 , b c hPkA M θ = , P el perímetro y Ac el área transversal. • Caso B, extremo adiabático ( 0 = =L x dx dθ ): mL x L m x b cosh ) ( cosh ) ( − = θ θ mL M qf tanh = • Caso C, extremo con temperatura establecida (θ(x = L) = θL): mL x L m mx x b L b senh ) ( senh senh ) / ( ) ( − + = θ θ θ θ ( ) mL mL M q b L f senh / cosh θ θ − = • Caso D, aleta muy larga (L → ∞ y θL → 0, aplicable si m·L > 2,65): mx be x − = θ θ ) ( b c f hPkA M q θ = = • La efectividad de una aleta se define como la razón entre la transferencia de calor de la aleta y la transferencia de calor que existiría sin la aleta: b b c f f hA q θ ε , = , siendo Ac,b el área de la sección transversal de la base de la aleta. El uso de aletas sólo se justifica cuando εf ≥ 2.
- 7. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 5 • Resistencia térmica de una aleta: f b f t q R θ = , . • Teniendo en cuenta la resistencia térmica de convección de la base de la aleta, Rt,b = 1/hAc,b, se puede expresar la efectividad como: f t b t f R R , , = ε . • La eficiencia o rendimiento de una aleta se define como la razón entre el calor real transferido por la aleta y el calor que transferiría si estuviera toda ella a la temperatura de la base: b f f máx f f hA q q q θ η = = , siendo Af la superficie total de la aleta. • Teniendo en cuenta la ecuación que define la resistencia térmica de una aleta, se puede expresar ésta en función de su eficiencia: f f f t hA R η 1 , = . • Para el caso de una aleta recta de sección transversal uniforme y con su extremo adiabático se tiene: mL mL hPL mL M b f tanh tanh = = θ η . • Se puede emplear la expresión de la aleta con extremo adiabático para una aleta con extremo activo, empleando una longitud de aleta corregida de la forma Lc = L+(t/2) para aleta rectangular y Lc = L+(D/4) para aleta de aguja. Esta aproximación es válida cuando (ht/k) o (hD/2k) < 0,0625. • Aletas de sección transversal no uniforme. En las expresiones de la distribución de temperaturas, la transferencia de calor y el rendimiento o eficiencia de este tipo de aletas aparecen las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase de orden 0 y orden 1 (I0, I1, K0 y K1) cuyos valores están tabulados en la Tabla H. En la Tabla 2.1 se muestran las expresiones del rendimiento para distintos tipos de aletas de sección transversal no uniforme. • Dispositivo de varias aletas. Eficiencia global de la superficie: b t t máx t o hA q q q θ η = = , siendo qt la transferencia total de calor de la superficie total, At, que es la asociada a la superficie de las aletas, Af, más la parte expuesta de la base, Ab. Es decir, b f t A NA A + = , siendo N el número total de aletas. • Este rendimiento también se puede expresar en función del rendimiento de una sola aleta: b b b f f b f t hA hA N q Nq q θ θ η + = + = ⇒ b t o t hA q θ η = ⇒ ) 1 ( 1 f t f o A NA η η − − = .
- 8. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 6 • Resistencia térmica efectiva del dispositivo de aletas: o t t b o t hA q R η θ 1 , = = . TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO • Factor de forma de conducción para sistemas bidimensionales, S: ) ( 2 1 T T Sk q − = . Se obtiene de la Tabla 3.1. • Resistencia de conducción bidimensional: Sk R cond t 1 ) D 2 ( , = . • MDF: Para obtener la ecuación de diferencias finitas de un nodo aplicando el principio de conservación de la energía a un volumen de control alrededor del nodo se supone que todo el flujo de calor es hacia el nodo. Como estamos en régimen permanente la ecuación a emplear es: 0 = + gen ent E E & & . El término de energía entrante puede incluir calores de conducción o de convección que se evalúan con la ley de Fourier ( x T T y k q n m n m n m n m ∆ − ∆ = − → − , , 1 ) , ( ) , 1 ( ) 1 · ( ) o la ley de enfriamiento de Newton ( ( ) ) ( 1 · , ) , ( ) ( n m n m T T x h q − ∆ = ∞ → ∞ . TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO • Número de Biot: conv t cond t c R R k hL Bi , , = = . • Longitud característica: Lc = Vol/As. Para una pared plana de espesor 2L ⇒ Lc = L, y para un cilindro largo o una esfera de radio ro ⇒ Lc = ro. • Número de Fourier: 2 · c L t Fo α = . • El método de la resistencia interna despreciable es aplicable cuando 1 , 0 < = k hL Bi c . • Distribución de temperaturas temporal en un sólido en el que se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: ) · exp( exp exp ) ( ) ( Fo Bi t t Volc hA T T T t T t t p s ini ini − = − = − = − − = ∞ ∞ τ ρ θ θ . • Constante de tiempo térmica: t t p s t C R Volc hA · · 1 = = ρ τ , siendo Rt la resistencia a la transferencia de calor por convección y Ct la capacidad térmica del sólido.
- 9. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 7 • La transferencia total de energía que tiene lugar desde un sólido en el que se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable durante un tiempo t será: ∫ ∫ = = t s t dt t hA qdt t Q 0 0 ) ( ) ( θ ⇒ ( ) [ ] alm t ini p E t Volc t Q ∆ − = − − = τ θ ρ exp 1 ) ( . • Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la distribución de temperaturas en una pared plana de espesor 2L sometida a convección: *) cos( * *) cos( ) exp( ) , ( *) *, ( * 1 1 2 1 1 x x Fo C T T T t x T t x o ini ζ θ ζ ζ θ = − = − − = ∞ ∞ , siendo ) exp( ) , 0 ( ) , 0 * ( * 2 1 1 Fo C T T T t x T t x ini o ζ θ − = − − = = = ∞ ∞ la temperatura del plano medio (x* = x/L = 0). Los valores de C1 y ζ1 se obtienen de la Tabla 4.1. • Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia una pared plana de espesor 2L sometida a convección: ) , 0 ( * sen 1 ) ( 1 1 t U t Q o o θ ζ ζ − = , siendo Uo = Uini = ρcpVol(Tini - T∞) = Umáx la energía interna inicial de la pared referida a la temperatura del fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor o mayor temperatura que la pared. • Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la distribución de temperaturas en un cilindro largo de radio ro sometido a convección: *) ( * *) ( ) exp( ) , ( *) *, ( * 1 0 1 0 2 1 1 r J r J Fo C T T T t r T t r o ini ζ θ ζ ζ θ = − = − − = ∞ ∞ , siendo ) exp( ) , 0 * ( * 2 1 1 Fo C T T T T t r ini o o ζ θ − = − − = = ∞ ∞ la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0) y J0 la función de Bessel de primera clase de orden cero cuyos valores se encuentran en la Tabla G. • Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia un cilindro largo de radio ro sometido a convección: ) ( ) , 0 ( * 2 1 ) ( 1 1 1 ζ ζ θ J t U t Q o o − = , siendo J1 la función de Bessel de primera clase de orden uno cuyos valores se encuentran en la Tabla G y Uo = Uini = ρcpVol(Tini - T∞) = Umáx la energía interna inicial del cilindro referida a la temperatura del fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor o mayor temperatura que el cilindro.
- 10. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 8 • Solución analítica aproximada con el primer término (aplicable cuando Fo > 0,2) de la distribución de temperaturas en una esfera de radio ro sometida a convección: *) ( sen * 1 * *) ( sen * 1 ) exp( ) , ( *) *, ( * 1 1 1 1 2 1 1 r r r r Fo C T T T t r T t r o ini ζ ζ θ ζ ζ ζ θ = − = − − = ∞ ∞ , siendo ) exp( ) , 0 * ( * 2 1 1 Fo C T T T T t r ini o o ζ θ − = − − = = ∞ ∞ la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0). • Transferencia total de energía en función del tiempo desde o hacia una esfera de radio ro sometida a convección: [ ] ) cos( ) ( * 3 1 ) ( 1 1 1 3 1 ζ ζ ζ ζ θ − − = sen U t Q o o , siendo Uo = Uini = ρcpVol(Tini - T∞) = Umáx la energía interna inicial de la esfera referida a la temperatura del fluido o la máxima cantidad de energía que se podría transferir al fluido o desde el fluido, según éste esté a menor o mayor temperatura que la esfera. • Conducción multidimensional. Para las geometrías multidimensionales de la Tabla 4.2, la solución multidimensional se expresa como un producto de soluciones unidimensionales que corresponden a un sólido semiinfinito, una pared plana de espesor 2L o un cilindro infinito de radio ro: to semiinfini Sólido ) , ( ) , ( ∞ ∞ − − = T T T t x T t x S ini ; plana Pared ) , ( ) , ( ∞ ∞ − − = T T T t x T t x P ini ; infinito Cilindro ) , ( ) , ( ∞ ∞ − − = T T T t r T t r C ini . • En un sólido semiinfinito la condición de frontera interior es T(x→∞, t) = Tini y la condición inicial es T(x, 0) = Tini. Las soluciones analíticas para tres condiciones de frontera exterior son: Condición de frontera Distribución de temperaturas Temperatura superficial constante: T (0, t) = Ts = − − t x T T T t x T s ini s α 2 erf ) , ( 2 / 1 0 ) ( ) ( ) ( t T T k x T k t q ini s x s πα − = ∂ ∂ − = ′ ′ = Condición de frontera Distribución de temperaturas Flujo de calor superficial constante: o s q q ′ ′ = ′ ′ − ′ ′ − − ′ ′ = − t x k x q t x k t q T t x T o o ini α α π α 2 erfc 4 exp ) / ( 2 ) , ( 2 2 / 1 Convección superficial: [ ] ) , 0 ( 0 t T T h x T k x − = ∂ ∂ − ∞ = + + − − = − − ∞ k t h t x k t h k hx t x T T T t x T ini ini α α α α 2 erfc exp 2 erfc ) , ( 2 2
- 11. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 9 donde la función gaussiana de error, erf (η), y la función complementaria de error, erfc (w) = 1 – erf (w), son funciones matemáticas estándar cuyos valores se encuentran en la Tabla E. • MDF en régimen transitorio. Expresión en diferencias finitas de la velocidad de variación de la energía almacenada: t T T V c E p n m p n m p alm ∆ − = + , 1 , ρ & . • Criterio de estabilidad en el MDF explícito: el coeficiente asociado con el nodo de interés en el tiempo anterior (coeficiente de p n m T , ) debe ser mayor o igual que cero. Así se obtiene un valor límite para 2 ) ( x t Fo ∆ ∆ = α , del que se obtiene el máximo valor permisible de ∆t. TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA CONVECCIÓN • Ley de enfriamiento de Newton: ) ( ∞ − = ′ ′ T T h q s ; ) ( ∞ − = T T hA q s . • Coeficiente de transferencia de calor por convección local, h o promedio, h [W/m2 ·K]. • Relación entre los coeficientes de convección local y promedio: ) ( ) ( ∞ ∞ − = − = ′ ′ = ∫ ∫ T T A h hdA T T dA q q s s A s s A s s s ⇒ ∫ = s A s s hdA A h 1 . Para flujo sobre una placa plana: ∫ = L hdx L h 0 1 . • Espesor de la capa límite de velocidad, δ(x): la y para la que u(y) = 0,99·u∞. • Espesor de la capa límite térmica, δt(x): la y para la que (Ts - T(y))/(Ts - T∞) = 0,99. • Relación del coeficiente de convección en la capa límite: ∞ = − ∂ ∂ − = T T y T k h s y f 0 / . • Número de Reynolds: ν µ ρ x u x u Rex ∞ ∞ = = . • Número de Reynolds crítico para el inicio de la turbulencia en flujo externo: Rex,c = 5·105 . • Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la masa o de continuidad: = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ s · m kg 0 ) v ( ) ( 3 y x u t ρ ρ ρ . • Expresiones diferenciales de las ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal:
- 12. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 10 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 3 ·s m kg m N v v 3 2 2 v X x y u y y x u x u x x p t u y u x u u µ µ ρ Y x y u x y x u y y y p t y x u + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ v v 3 2 v 2 v v v v µ µ ρ . • Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la energía: + + ∂ ∂ + + + ∂ ∂ + + + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − Φ + − − + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ 3 2 2 2 m W 2 2 v 2 ) v ( ) ( v V gy e t V gy e y V gy e u x y p x pu Y Xu q y T k y x T k x ρ ρ ρ µ & , siendo V2 = u2 + v2 . • Expresión diferencial de la ecuación de conservación de la energía térmica para fluido incompresible en flujo estacionario: q y T k y x T k x y T x T u cp & + Φ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ µ ρ v . • Disipación viscosa: ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Φ 2 2 2 2 v 3 2 v 2 v y x u y x u x y u µ µ . • Aproximaciones de capa límite: fluido incompresible (ρ constante), con propiedades constantes (k, µ, etc.), fuerzas de cuerpo insignificantes (X=Y=0) y sin generación de energía ( 0 = q & ).Además: u >> v y x y x u y u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ >> ∂ ∂ v , v , en la capa límite de velocidad y x T y T ∂ ∂ >> ∂ ∂ en la capa límite térmica. • Ecuación de conservación de la masa o de continuidad en la capa límite: 0 v = ∂ ∂ + ∂ ∂ y x u . • Ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal en la capa límite: 2 2 1 v y u x p y u x u u ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ν ρ y 0 = ∂ ∂ y p . • Ecuación de conservación de la energía en la capa límite: 2 2 2 v ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u c y T y T x T u p ν α . • Número de Prandtl: α ν = Pr . • Número de Nusselt: 0 * * * = ∂ ∂ = = y f y T k hL Nu .
- 13. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 11 • Las formas adimensionales de las soluciones de la capa límite adoptan la siguiente forma: ( ) Pr Re x f Nu L , *, = y ( ) Pr Re f k L h Nu L f , = = . • Relación entre los espesores de las capas límites hidrodinámica y térmica: 3 / 1 Pr t ≈ δ δ . TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO • Temperatura de película es la temperatura media entre la del fluido y la de la superficie: 2 ∞ + = T T T s f . • Espesor de la capa límite laminar: x lam Re x x u x 5 / 5 ) ( = = ∞ ν δ . • Correlación de convección local para el flujo laminar sobre una placa plana con temperatura superficial constante: 3 / 1 2 / 1 332 , 0 Pr Re k x h Nu x x x = = . Con propiedades a Tf y Pr ≥ 0,6. • Relación entre los espesores de las capas límites de velocidad y térmica: 3 / 1 , Pr lam t lam ≈ δ δ . • Correlación de convección promedio para el flujo laminar sobre una placa plana con temperatura superficial constante: 3 / 1 2 / 1 664 , 0 Pr Re k x h Nu x x x = = . Con propiedades a Tf y Pr ≥ 0,6. • Correlación de convección local para flujo laminar de un fluido con número de Prandtl pequeño, como los metales líquidos, en los que δt >> δ y se puede suponer velocidad uniforme a través de la capa límite térmica: 2 / 1 ) · ( 565 , 0 Pr Re Nu x x = , con propiedades a Tf, Pr ≤ 0,05 y Rex·Pr ≥ 100. • Espesor de la capa límite de velocidad turbulenta: 5 / 1 37 , 0 − = x turb xRe δ . • Espesor de la capa límite térmica turbulenta: turb turb t δ δ ≈ , . • Correlación de convección local para el flujo turbulento sobre una placa plana con Ts = cte: 3 / 1 5 / 4 0296 , 0 Pr Re Nu x x = . Con propiedades a Tf y 0,6 < Pr < 60. • Para condiciones de capa límite mezclada (laminar y turbulenta) se trabaja con el coeficiente de convección promedio: + = ∫ ∫ L x turb x lam L c c dx h dx h L h 0 1 .
- 14. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 12 • Correlación de convección promedio para capa límite mezclada (laminar y turbulenta) sobre una placa plana con Ts = cte: 3 / 1 5 / 4 ) 871 037 , 0 ( Pr Re Nu L L − = . Con propiedades a Tf y = < < < < 5 8 5 10 · 5 10 10 · 5 60 6 , 0 c x L Re Re Pr . • Correlación de convección local para flujo laminar sobre una placa plana con longitud inicial no calentada (la capa límite de velocidad comienza en x = 0 y la térmica en x = ξ): [ ] 3 / 1 4 / 3 0 ) / ( 1 x Nu Nu x x ξ ξ − = = , donde 0 = ξ x Nu está dado por la expresión anterior para flujo laminar. • Correlación de convección local para flujo turbulento sobre una placa plana con longitud inicial no calentada (la capa límite de velocidad comienza en x = 0 y la térmica en x = ξ): [ ] 9 / 1 10 / 9 0 ) / ( 1 x Nu Nu x x ξ ξ − = = , donde 0 = ξ x Nu está dado por la expresión anterior para flujo turbulento. • Correlación de convección promedio entre ξ y L sobre una placa plana con longitud inicial no calentada: [ ] ) 1 2 /( 2 ) 2 2 /( ) 1 2 ( 0 ) / ( 1 + + + = − − = p p p p L L L L L Nu Nu ξ ξ ξ , siendo p = 1 para flujo laminar y p = 4 para turbulento. • Correlación de convección local para flujo laminar sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante: 3 / 1 2 / 1 453 , 0 Pr Re Nu x x = , con Pr ≥ 0,6 y propiedades a Tf. • Correlación de convección local para flujo turbulento sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante: 3 / 1 5 / 4 0308 , 0 Pr Re Nu x x = , con 0,6 ≤ Pr ≤ 60 y propiedades a Tf. • Flujo sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante. La variación de la temperatura superficial local se obtiene con: ) ( ) ( x h q T x T x s s ′ ′ + = ∞ . • Número de Reynolds para flujo cruzado sobre un cilindro: ReD = V·D/ν. • Correlación de Hilpert para flujo cruzado sobre un cilindro: 3 / 1 Pr CRe Nu m D D = . Los valores de las constantes C y m se dan en la Tabla 6.1 en función de ReD. La Tabla 6.2 da los valores de las constantes para cilindros no circulares. Las propiedades se evalúan a Tf.
- 15. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 13 • Correlación de Zhukauskas para flujo cruzado sobre un cilindro: 4 / 1 = s n m D D Pr Pr Pr CRe Nu . Con > = ≤ = 10 si 36 , 0 10 si 37 , 0 Pr n Pr n y < < < < 6 10 1 500 7 , 0 D Re Pr . Los valores de las constantes C y m se dan en la Tabla 6.3 en función de ReD. Las propiedades se evalúan a T∞, excepto Prs a Ts. • Correlación de Churchill y Bernstein para flujo cruzado sobre un cilindro: [ ] 5 / 4 8 / 5 4 / 1 3 / 2 3 / 1 2 / 1 000 . 282 1 ) / 4 , 0 ( 1 62 , 0 3 , 0 + + + = D D D Re Pr Pr Re Nu . Con propiedades a Tf y ReDPr > 0,2. • Correlación de Zhukauskas para flujo a través de un banco de tubos: 4 / 1 36 , 0 , = s m máx D D Pr Pr Pr CRe Nu . Con < < < < ≥ 500 7 , 0 10 · 2 000 . 1 20 6 , Pr Re N máx D L . Las constantes C y m se dan en la Tabla 6.4. Las propiedades se evalúan a 2 / ) ( sal ent T T T + = , excepto Prs a Ts. Para NL < 20 se aplica un factor de corrección tal que 20 2 20 ≥ < = L L N D N D Nu C Nu , donde C2 está dado en la Tabla 6.5. • ReD,máx se define en función de la velocidad máxima del fluido dentro del banco de tubos. • ST es el espaciado transversal y SL el espaciado longitudinal (distancias entre centros de tubos). • Para la configuración alineada la velocidad máxima se da en el plano transversal entre dos tubos verticales y su valor es V D S S V T T máx − = . • Para la configuración escalonada se utiliza la misma expresión si la velocidad máxima se da en el plano transversal. Pero si se da en el plano diagonal la expresión es V D S S V D T máx ) ( 2 − = . La velocidad máxima ocurre en el plano diagonal si se cumple la siguiente condición (ver Figura 6.2): 2 2 ) ( ) ( 2 2 / 1 2 2 D S S S S D S D S T T L D T D + < + = ⇒ − < − . • Diferencia de temperaturas media logarítmica: − − − − − = ∆ sal s ent s sal s ent s ml T T T T T T T T T ln ) ( ) ( .
- 16. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 14 • Cálculo de la temperatura de salida del flujo: − = − − p T T ent s sal s c S VN h DN T T T T ρ π exp , donde N es el número total de tubos y NT el número de tubos en el plano transversal. • Cálculo de la transferencia de calor por unidad de longitud de tubo: ml T D N h q ∆ = ′ π . TEMA 7. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO • El número de Reynolds para flujo interno se define en función del diámetro del tubo y de la velocidad media del fluido sobre la sección transversal del tubo: ν µ ρ D u D u Re m m D = = . Como c m A u m ρ = & , para un tubo circular el número de Reynolds se puede expresar: µ πD m ReD & 4 = . • Número de Reynolds crítico para el inicio de la turbulencia en flujo interno: ReD,c = 2.300. • Longitud hidrodinámica de entrada para flujo laminar: D lam h cd Re D x 05 , 0 , ≈ . • Longitud hidrodinámica de entrada para flujo turbulento: 60 10 , ≤ ≤ turb h cd D x . • Expresión de la velocidad media en función del flujo másico integrado en la sección transversal: ∫ ∫ = = = o c r o c A c c m rdr x r u r A dA x r u A m x u 0 2 ) , ( 2 ) , ( ) ( ρ ρ ρ & . • Longitud de entrada térmica para flujo laminar: Pr Re D x D lam t cd 05 , 0 , ≈ . • Longitud de entrada térmica para flujo turbulento: 10 , = turb t cd D x . • Temperatura media definida en función de la energía térmica transportada por el fluido: ∫ ∫ ∫ = = ⇒ = = = o c c r o m v A c v m m v A c v t rdr x r T r u r u c m TdA uc x T x T c m dA x r T c r u E U 0 2 ) , ( ) ( 2 ) ( ) ( ) , ( ) ( & & & & ρ ρ . • Bajo condiciones térmicas completamente desarrolladas se cumple: 0 ) ( ) ( ) , ( ) ( , = − − ∂ ∂ t cd m s s x T x T x r T x T x . Además: ) ( , , , r f dx dT dx dT x T t cd m t cd s t cd ≠ = = ∂ ∂ para s q ′ ′ = cte y ) ( , , r f dx dT T T T T x T t cd m m s s t cd = − − = ∂ ∂ para Ts = cte.
- 17. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 15 • Al aplicar un balance de energía al flujo interno en un tubo de un gas ideal o de un líquido incompresible se obtiene que la transferencia de calor por convección al fluido es igual a la rapidez a la que aumenta la energía térmica del fluido: ) ( , , ent m sal m p conv T T c m q − = & . • Variación axial de la temperatura media para el caso de flujo de calor superficial constante: x c m P q T x T p s ent m m & ′ ′ + = , ) ( . • Variación axial de la temperatura media para el caso de temperatura superficial constante: − = − − h c m Px T T x T T p ent m s m s & exp ) ( , . • La transferencia total de calor se expresa en función de la diferencia de temperaturas media logarítmica: ml s conv T A h q ∆ = ; − − − − − = ∆ ∆ ∆ − ∆ = ∆ ) ( ) ( ln ) ( ) ( ) / ln( , , , , ent m s sal m s ent m s sal m s ent sal ent sal ml T T T T T T T T T T T T T . • Caso de un tubo rodeado de un fluido externo (convección interna y externa simultáneas): − = − = − − = ∆ ∆ ∞ ∞ tot p p s ent m sal m ent sal R c m c m A U T T T T T T & & 1 exp exp , , ; tot ml ml s conv R T T A U q ∆ = ∆ = . • Correlación de convección local para flujo laminar en la región completamente desarrollada con flujo de calor superficial constante: 36 , 4 11 48 = = = k hD Nu . Propiedades a Tm. • Correlación de convección local para flujo laminar en la región completamente desarrollada con temperatura superficial constante: 66 , 3 = = k hD Nu . Propiedades a Tm. • Número de Graetz: Pr Re x D Gz D D ) / ( = . • Correlación de Hausen para flujo laminar con longitud de entrada térmica (perfil de velocidades desarrollado) y con temperatura superficial constante: [ ] 3 / 2 ) / ( 04 , 0 1 ) / ( 0668 , 0 66 , 3 Pr Re L D Pr Re L D k D h Nu D D D + + = = . Propiedades a 2 / ) ( , , sal m ent m m T T T + = . • Correlación de Sieder y Tate para flujo laminar interno con longitud de entrada combinada y con temperatura superficial constante: 14 , 0 3 / 1 / 86 , 1 = s D D D L Pr Re Nu µ µ . Con propiedades a 2 / ) ( , , sal m ent m m T T T + = , excepto µs a Ts y < < < < 75 , 9 0044 , 0 700 . 16 48 , 0 s Pr µ µ .
- 18. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 16 • Correlación de Dittus-Boelter para flujo turbulento interno completamente desarrollado: n D D Pr Re Nu 5 / 4 023 , 0 = . Con n = 0,4 para calentamiento (Ts > Tm), n = 0,3 para enfriamiento (Ts < Tm), las propiedades evaluadas a Tm y ≥ ≥ ≤ ≤ 10 ) / ( 000 . 10 160 7 , 0 D x Re Pr D . • Correlación de Sieder y Tate para flujo turbulento interno completamente desarrollado y con grandes variaciones de las propiedades del fluido: 14 , 0 3 / 1 5 / 4 027 , 0 = s D D Pr Re Nu µ µ . Con propiedades a Tm, excepto µs a Ts y ≥ ≥ ≤ ≤ 10 ) / ( 000 . 10 700 . 16 7 , 0 D x Re Pr D . • El número de Nusselt promedio en flujo turbulento para todo el tubo es igual al valor asociado con la región completamente desarrollada, cd D D Nu Nu , ≈ , para valores de (L / D) > 60 y las propiedades del fluido a 2 / ) ( , , sal m ent m m T T T + = . • Para tubos no circulares se trabaja con el diámetro hidráulico: mojado c h P A D 4 = , donde Ac es el área de la sección transversal y Pmojado el perímetro mojado. • Número de Nusselt local para flujo laminar completamente desarrollado en tubos no circulares: Tabla 7.1. • Correlaciones de convección para flujo turbulento completamente desarrollado en tubos no circulares: Las mismas que para tubos circulares trabajando con el diámetro hidráulico. TEMA 8. CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL • Número de Grashof: 2 3 ) ( ν β x T T g Gr s x ∞ − = . • Relación entre la convección forzada y la convención libre: si 1 / 2 << L L Re Gr , la convección libre se desprecia frente a la forzada; si 1 / 2 >> L L Re Gr , la forzada se desprecia frente a la libre. • Soluciones de similitud para la convección libre laminar sobre una superficie vertical. Número de Nusselt local: ) ( 4 4 / 1 Pr f Gr k hx Nu x x = = , siendo
- 19. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 17 ( ) 4 / 1 2 / 1 2 / 1 238 , 1 221 , 1 609 , 0 75 , 0 ) ( Pr Pr Pr Pr f + + = . Número de Nusselt promedio: L L L Nu Pr f Gr k L h Nu 3 4 ) ( 4 3 4 4 / 1 = = = . • Número de Rayleigh: να β 3 ) ( x T T g Pr Gr Ra s x x ∞ − = = . • Número de Rayleigh crítico para la transición de flujo laminar a turbulento en placas verticales: Rax,c ≈ 109 . • Correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre una superficie vertical a temperatura constante aplicable para todo RaL: [ ] 2 27 / 8 16 / 9 6 / 1 ) / 492 , 0 ( 1 387 , 0 825 , 0 + + = = Pr Ra k L h Nu L L . Propiedades calculadas a Tf = (Ts + T∞)/2. • Correlación para la convección libre sobre una superficie vertical a temperatura constante aplicable al flujo laminar: [ ] 9 / 4 16 / 9 4 / 1 ) / 492 , 0 ( 1 670 , 0 68 , 0 Pr Ra k L h Nu L L + + = = con RaL/Pr ≤ 109 . Propiedades calculadas a Tf = (Ts + T∞)/2. • Si la condición de la superficie es un flujo de calor constante en vez de una temperatura uniforme, la diferencia de temperaturas (Ts - T∞) aumentará con x. Las correlaciones anteriores son aplicables en este caso si L Nu y RaL se definen en términos de la diferencia de temperaturas en el punto medio de la placa, ∞ − = ∆ T L T T s L ) 2 / ( 2 / . Como 2 / / L s T q h ∆ ′ ′ = es necesario realizar un proceso iterativo para determinar Ts (L/2). Es posible obtener una expresión para la temperatura en cualquier punto en función de la temperatura en el punto medio: 2 / 5 / 1 15 , 1 ) ( L s x T L x T x T T ∆ ≈ − = ∆ ∞ . • Los resultados anteriores también se pueden aplicar a cilindros verticales de altura L si el espesor de la capa límite, δ, es mucho menor que el diámetro del cilindro, condición que viene dada por: 4 / 1 35 L Gr L D ≥ . • Para placas inclinadas (superficies inferior y superior de placas frías y calientes, respectivamente) se pueden emplear las correlaciones para placas verticales sustituyendo g por g·cos (θ) para 0º ≤ θ ≤ 60º (θ se mide desde la vertical).
- 20. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 18 • Para placas horizontales se utiliza una longitud característica definida como el cociente entre el área y el perímetro de la placa: Lc = As / P. • Correlaciones de convección libre para la superficie superior de una placa horizontal caliente o para la superficie inferior de una placa horizontal fría a temperatura constante: 4 / 1 54 , 0 L L Ra Nu = si 104 ≤ RaL ≤ 107 y 3 / 1 15 , 0 L L Ra Nu = si 107 ≤ RaL ≤ 1011 . Propiedades calculadas a Tf. • Correlaciones de convección libre para la superficie inferior de una placa horizontal caliente o para la superficie superior de una placa horizontal fría a temperatura constante: 4 / 1 27 , 0 L L Ra Nu = con 105 ≤ RaL ≤ 1010 . Propiedades calculadas a Tf. • Correlación de Churchill y Chu para la convección libre sobre un cilindro largo horizontal: [ ] 2 27 / 8 16 / 9 6 / 1 ) / 559 , 0 ( 1 387 , 0 60 , 0 + + = = Pr Ra k D h Nu D D con RaD ≤ 1012 . Propiedades calculadas a Tf. • Convección libre y forzada combinadas. Se produce cuando 1 2 ≈ L L Re Gr . Se utilizan las correlaciones convenientes corregidas con la siguiente expresión: 3 3 3 libre forzada combinada Nu Nu Nu ± = . El signo + se emplea cuando los dos flujos tienen el mismo sentido o son perpendiculares y el signo - se emplea cuando los dos flujos tienen sentidos opuestos. TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN • Ángulo sólido diferencial: dω = dAn / r2 = senθ·dθ·dφ. Unidad: estereorradián (sr). El ángulo sólido subtendido por el hemisferio sobre un diferencial de área dA1 vale: sr 2 sen 2 0 2 / 0 π φ θ θ ω π π = = ∫ ∫ ∫ d d d h . • Intensidad espectral emitida: = m ·sr· m W cos ) , , , ( 2 1 , µ d d dA dq T I e e λ ω θ φ θ λ λ . • Potencia emisiva espectral: = = = = ′ ′ = ∫ ∫ ∫ ∫ m · m W sen cos ) , , , ( cos ) , , , ( ) , ( ) , ( 2 2 0 2 / 0 , 2 0 2 / 0 , 1 , µ d d T I d T I d dA dq T q T E e e e e π π λ π π λ λ λ φ θ θ θ φ θ λ ω θ φ θ λ λ λ λ . • Potencia emisiva total: λ λ λ d T E q T E emit rad ∫ ∞ = ′ ′ = 0 , ) , ( ) ( [W/m2 ].
- 21. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 19 • Emisor difuso: ) , ( ) , , , ( , , λ φ θ λ λ λ T I T I e e = ⇒ ) , ( ) , ( , λ π λ λ λ T I T E e = ⇒ e I E π = . • Irradiación espectral: ∫ ∫ = = ′ ′ = π π λ λ λ φ θ θ θ φ θ λ λ λ λ 2 0 2 / 0 , 1 , sen cos ) , , ( · ) ( ) ( d d I d dA dq q G i i i [W/m2 ·µm]. • Irradiación total: λ λ λ d G q G inc rad ∫ ∞ = ′ ′ = 0 , ) ( [W/m2 ]. • Radiación incidente difusa: ) ( ) , , ( , , λ φ θ λ λ λ i i I I = ⇒ ) ( ) ( , λ π λ λ λ i I G = ⇒ i I G π = . • Radiosidad espectral: ∫ ∫ + + + = = ′ ′ = π π λ λ φ θ θ θ φ θ λ λ λ λ 2 0 2 / 0 , 1 , sen cos ) , , ( · ) ( ) ( d d I d dA dq q J r e r e reflj emit rad [W/m2 ·µm]. • Radiosidad total: λ λ λ d J q J ref emit rad ∫ ∞ + = ′ ′ = 0 , ) ( [W/m2 ]. • Emisor y reflector difuso: ) ( ) , , ( , , λ φ θ λ λ λ r e r e I I + + = ⇒ ) ( ) ( , λ π λ λ λ r e I J + = ⇒ r e I J + = π . • Distribución de Planck: [ ] 1 ) / exp( 2 ) , ( 5 2 , − = kT hc hc T I o o b λ λ λ λ , donde h = 6,6256·10-34 J·s es la constante de Planck, co = 2,998·108 m/s es la velocidad de la luz en el vacío y k = 1,3805·10-23 J/K es la constante de Boltzmann. Como el cuerpo negro es un emisor difuso: [ ] 1 ) / exp( ) , ( ) , ( 2 5 1 , , − = = T C C T I T E b b λ λ λ π λ λ λ , donde C1 y C2 son la primera y segunda constantes de radiación. • Ley de desplazamiento de Wien: m·K 898 . 2 0 ) , ( 3 , µ λ λ λ λ = = ⇒ = C T d T dE máx b . • Ley de Stefan-Boltzmann: [ ] 4 0 2 5 1 1 ) / exp( T d T C C Eb σ λ λ λ = − = ∫ ∞ , donde σ = 5,67·10-8 W/m2 ·K4 es la constante de Stefan-Boltzmann. • Emisión de banda: ) ( ) ( ) 0 ( 0 5 , 4 0 , 0 , 0 , T f T d T E T d E d E d E F b b b b λ λ σ σ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = = = = → ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ . • Emisividad superficial, ε: Emisividad direccional espectral (para una λ y dirección determinadas): ) , ( ) , , , ( ) , , , ( , , , T I T I T b e λ φ θ λ φ θ λ ε λ λ θ λ = . Emisividad direccional total: ) ( ) , , ( ) , , ( T I T I T b e φ θ φ θ εθ = . Emisividad espectral (hemisférica): ) , ( ) , ( ) , ( , T E T E T b λ λ λ ε λ λ λ = .
- 22. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 20 Emisividad total (hemisférica): ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( 0 , T E d T E T T E T E T b b b ∫ ∞ = = λ λ λ ε ε λ λ . En un emisor difuso la emisividad direccional es independiente de la dirección. • Absortividad superficial, α: Absortividad direccional espectral (para una λ y dirección determinadas): ) , , ( ) , , ( ) , , ( , , , , φ θ λ φ θ λ φ θ λ α λ λ θ λ i abs i I I = . Absortividad (hemisférica) espectral: ) ( ) ( ) ( , λ λ λ α λ λ λ G G abs = . Absortividad (hemisférica) total: ∫ ∫ ∞ ∞ = = 0 0 ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ λ α α λ λ λ d G d G G Gabs . ) ( .) sup , , , ( T α φ θ λ α α ≠ = . • Para radiación solar (Tb = 5.800 K): ∫ ∫ ∞ ∞ = 0 , 0 , ) K 800 . 5 , ( ) K 800 . 5 , ( ) ( λ λ λ λ λ α α λ λ λ d E d E b b S . • Reflectividad superficial, ρ: Reflectividad direccional espectral (para una λ y dirección determinadas): ) , , ( ) , , ( ) , , ( , , , , φ θ λ φ θ λ φ θ λ ρ λ λ θ λ i ref i I I = . Reflectividad (hemisférica) espectral: ) ( ) ( ) ( , λ λ λ ρ λ λ λ G G ref = . Reflectividad (hemisférica) total: ∫ ∫ ∞ ∞ = = 0 0 ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ λ ρ ρ λ λ λ d G d G G Gref . • 1 1 = + + ⇒ = + + τ α ρ τ α ρ λ λ λ . • Ley de Kirchhoff (para superficies en el interior de un recinto): ) ( ... ) ( ) ( 2 2 1 1 s b s s T E T E T E = = = α α . Como α ≤ 1 ⇒ E(Ts) ≤ Eb(Ts). También se cumple: 1 ... 2 2 1 1 = = = α ε α ε ⇒ ε = α. • Superficie difusa (emisora y receptora difusa): ελ,θ y αλ,θ son independientes de la dirección (θ, φ) ⇒ ελ = αλ. • Superficie gris: ελ y αλ son independientes de λ. • Superficie gris difusa: ελ,θ y αλ,θ son independientes de λ (gris) y de la dirección (difusa) ⇒ ε = α.
- 23. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 21 TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES • Factor de forma de radiación (también llamado de configuración, de apariencia, de visión o de vista): ∫ ∫ = = → i j A A j i j i i i i j i ij dA dA R A J A q F 2 cos cos 1 π θ θ . ∫ ∫ = = → i j A A j i j i j j j i j ji dA dA R A J A q F 2 cos cos 1 π θ θ . Estas dos ecuaciones son válidas para superficies emisoras y reflectoras difusas y con radiosidad uniforme. • Relación de reciprocidad: ji j ij i F A F A = . • Regla de la suma en un recinto de N superficies: 1 1 = ∑ = N j ij F . • Superficie plana o convexa: Fii = 0. • Para una superficie que se puede descomponer en la suma de varias, ∑ = = n k k j A A 1 , se tiene que: ∑ = = n k ik j i F F 1 ) ( y ∑ ∑ = = = n k k n k ki k i j A F A F 1 1 ) ( . • Intercambio neto de radiación entre dos superficies negras: ) ( 4 4 j i ij i bj ji j bi ij i i j j i ij T T F A E F A E F A q q q − = − = − = → → σ . • Transferencia neta de radiación desde la superficie i en un recinto con N superficies negras: ∑ = − = N j j i ij i i T T F A q 1 4 4 ) ( σ . • Transferencia neta de radiación desde una superficie gris difusa en un recinto: i i i i bi i i i i i i i i A J E A G E A G J q ε ε α / ) 1 ( ) ( ) ( − − = − = − = , siendo (1 - εi) /εiAi, la resistencia radiativa superficial. • Transferencia neta de radiación desde una superficie gris difusa en un recinto: ∑ ∑ = − = − = = N j ij i j i N j ij i F A J J q q 1 1 1 ) ( , siendo (AiFij)-1 la resistencia radiativa geométrica. • Intercambio neto de radiación en un recinto de dos superficies: 2 2 2 12 1 1 1 1 2 1 12 2 1 1 1 1 A F A A E E q q q b b ε ε ε ε − + + − − = = − = .
- 24. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 22 • Intercambio neto de radiación entre dos superficies separadas por una cubierta de radiación: 2 2 , 3 2 , 3 1 , 3 1 , 3 1 4 2 4 1 1 12 1 1 1 1 ) ( ε ε ε ε ε ε σ + − + − + − = T T A q . Para el caso de N cubiertas de radiación con ε iguales (incluyendo las superficies extremas): 0 12 12 ) ( 1 1 ) ( q N q N + = . • Superficie rerradiante: superficie idealizada en la que la transferencia de calor neta por radiación es cero: qi = 0 ⇒ Ji = Gi = Ebi.
- 25. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 23 TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO. Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas. Descripción Esquema Dimensiones Eficiencia Aleta recta de perfil rectangular t w L c f wL A 2 = ) 2 / (t L Lc + = 2 / 1 ) / 2 ( kt h m = c c f mL mL tanh = η Aleta recta de perfil triangular t w L [ ] 2 / 1 2 2 ) 2 / ( 2 t L w Af + = 2 / 1 ) / 2 ( kt h m = ) 2 ( ) 2 ( 1 0 1 mL I mL I mL f = η
- 26. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 24 Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuación). Descripción Esquema Dimensiones Eficiencia Aleta recta de perfil parabólico t w L [ ] ) / ln( ) / ( 1 2 2 1 C L t t L L C w Af + + = [ ] 2 / 1 2 1 ) / ( 1 L t C + = 2 / 1 ) / 2 ( kt h m = [ ] 1 1 ) ( 4 2 2 / 1 2 + + = mL f η Aleta anular de perfil rectangular L r1 r2 t ) ( 2 2 1 2 2 r r A c f − = π ) 2 / ( 2 2 t r r c + = 2 / 1 ) / 2 ( kt h m = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 c c c c f mr I mr K mr K mr I mr K mr I mr I mr K C + − = η ) ( ) / 2 ( 2 1 2 2 1 2 r r m r C c − =
- 27. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 25 Tabla 2.1. Eficiencia de formas comunes de aletas (continuación). Descripción Esquema Dimensiones Eficiencia Aleta de aguja cilíndrica D L c f DL A π = ) 4 / (D L Lc + = 2 / 1 ) / 4 ( kD h m = c c f mL mL tanh = η Aleta de aguja cónica D L [ ] 2 / 1 2 2 ) 2 / ( 2 D L D Af + = π 2 / 1 ) / 2 ( kt h m = ) 2 ( ) 2 ( 2 1 2 mL I mL I mL f = η Aleta de aguja parabólica D L y = (D/2)·(1 - x/L)2 [ ] + − = 3 4 4 3 3 ) / 2 ( ln 2 8 C L DC D L C C D L Af π 2 3 ) / ( 2 1 L D C + = [ ] 2 / 1 2 4 ) / ( 1 L D C + = 2 / 1 ) / 2 ( kt h m = [ ] 1 1 ) ( 9 / 4 2 2 / 1 2 + + = mL f η
- 28. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 26 TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO. Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)]. Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma 1.1. Esfera enterrada en un medio semiinfinito z D T2 T1 2 / D z > ) 4 / ( 1 2 z D D S − = π 1.2. Esfera enterrada en un medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan pág. 115) z D aislado T1 T2 T2 T2 2 / D z > ) 4 / ( 1 2 z D D S + = π 1.3. Esfera enterrada en un medio infinito (Holman pág. 55) D T2 T1 T2 T2 T2 Ninguna D S π 2 = 1.4. Conducción entre dos esferas en un medio infinito (Bejan) w D d T2 T1 3 / > D w w d w d w D D d S − − − = 2 4 ) 2 / ( 1 ) 2 / ( 1 4π
- 29. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 27 Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma 1.5. Cavidad hemisférica en medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan) T2 T2 T2 T1 D aislado aislado Ninguna D S π = D L >> ) / 2 cosh( arc 2 D z L S π = 2.1. Cilindro de longitud L enterrado en un medio semiinfinito z D T2 T1 L D L >> 2 / 3D z > ) / 4 ln( 2 D z L S π = z ≈ D ) / 2 cosh( arc 2 D z S π = z > 2D ( ) ( ) − + = 1 2 / 2 ln 2 2 D z D z S π 2.2. Cilindro de longitud infinita enterrado en un medio semiinfinito (Rohsenow pág. 3-120) z D T2 T1 ∞ ∞ z >> D ( ) D z S / 4 ln 2π = 2.3. Cilindro vertical de longitud L enterrado en un medio semiinfinito L D T2 T1 D L >> ) / 4 ln( 2 D L L S π = 2.4. Conducción entre dos cilindros paralelos de longitud L en un medio infinito w D d T2 T1 2 1, D D L >> w L >> − − = Dd d D w L S 2 4 cosh arc 2 2 2 2 π
- 30. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 28 Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma 2.5. Cilindro de longitud L en medio de planos paralelos de igual longitud y ancho infinito z D T2 T1 L z T2 ∞ ∞ ∞ ∞ 2 / D z >> z L >> ) / 8 ln( 2 D z L S π π = 2.6. Cilindro de longitud L centrado en un sólido de sección cuadrada de igual longitud w D T2 T1 D w > w L >> ) / 08 , 1 ln( 2 D w L S π = 2.7. Cilindro excéntrico de longitud L en el interior de un cilindro de igual longitud d D T2 T1 z d D > D L >> − + = Dd z d D L S 2 4 cosh arc 2 2 2 2 π 2.8. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en un medio semiinfinito (Rohsenow) z > D [ ] ) / 2 ( senh )· / 2 ( ln 2 L z D L S π π π =
- 31. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 29 Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma 2.9. Fila infinita de cilindros de longitud infinita en el plano medio de una placa infinita (Rohsenow) z > D [ ] ) / ( senh )· / 2 ( ln 2 L z D L S π π π = 3.1. Cubo enterrado en un medio infinito (Holman) L Ninguna L S 24 , 8 = 4.1. Paralelepípedo inmerso en un medio semiinfinito (Holman) Ninguna 078 , 0 59 , 0 1 log 685 , 1 + = − c b a b L S 4.2. Agujero rectangular en un medio semiinfinito (Rohsenow) a > b + = 75 , 0 25 , 0 5 , 3 ln 7 , 5 2 b a z b a S
- 32. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 30 Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma 5.1. Pared plana con superficies isotermas (Bejan) A T1 L W H T2 5 / L H > 5 / L W > L WH S = 5.2. Esquina de dos paredes contiguas T2 T1 L W T2 5 / L W > W S 54 , 0 = 5.3. Esquina de tres paredes contiguas con diferencia de temperaturas entre las superficies interior y exterior (Bejan) T2 T1 L W T2 T2 T2 T2 Ninguna L S 15 , 0 = 6.1. Disco delgado sobre medio semiinfinito D T2 T1 Ninguna D S 2 = 6.2. Disco delgado semiinfinito enterrado en un medio semiinfinito (Kreith pág. 112) D T2 T1 z Ninguna ) 67 , 5 / ( 1 45 , 4 z D D S − =
- 33. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 31 Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma 6.3. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito (Bejan) D T2 T1 z D z > ) 4 / tan( arc ) 2 / ( 2 z D D S − = π π 6.4. Disco delgado horizontal enterrado en un medio semiinfinito con superficie aislada (Bejan) D T2 aislado z T1 T1 D z > ) 4 / tan( arc ) 2 / ( 2 z D D S + = π π 6.5. Dos discos paralelos coaxiales en un medio infinito (Bejan) L D T1 T2 2 / > D L ) 2 / tan( arc ) 2 / ( 2 L D D S − = π π L z >> W L > ) / 4 ln( 2 W L L S π = 0 = z W L > ) / 4 ln( W L L S π = 7.1. Placa horizontal delgada de anchura W (dimensión ⊥ al dibujo) enterrada en un medio semiinfinito (Bejan y Holman) L T2 T1 z W L >> W z 2 > ) / 2 ln( 2 W z L S π π =
- 34. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 32 Tabla 3.1. Factores de forma de conducción para sistemas bidimensionales seleccionados [q = Sk(T1 - T2)] (continuación). Descripción del sistema Esquema Restricciones Factor de forma 7.2. Placa vertical delgada y larga según la dimensión ⊥ al dibujo enterrada en un medio semiinfinito (Rohsenow) 12 2 1 < < L z 24 , 0 · 38 , 2 = z L S 7.3. Placa horizontal delgada y larga según la dimensión ⊥ al dibujo enterrada en un medio semiinfinito (Rohsenow) L T2 T1 z 12 2 1 < < L z 32 , 0 · 94 , 2 = z L S
- 35. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 33 TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO. Tabla 4.1. Coeficientes de la aproximación con un término de las soluciones de conducción transitoria unidimensional. Pared plana Cilindro infinito Esfera Bi ζ1 (rad) C1 ζ1 (rad) C1 ζ1 (rad) C1 0,01 0,0998 1,0017 0,1412 1,0025 0,1730 1,0030 0,02 0,1410 1,0033 0,1995 1,0050 0,2445 1,0060 0,03 0,1732 1,0049 0,2439 1,0075 0,2989 1,0090 0,04 0,1987 1,0066 0,2814 1,0099 0,3450 1,0120 0,05 0,2217 1,0082 0,3142 1,0124 0,3852 1,0149 0,06 0,2425 1,0098 0,3438 1,0148 0,4217 1,0179 0,07 0,2615 1,0114 0,3708 1,0173 0,4550 1,0209 0,08 0,2791 1,0130 0,3960 1,0197 0,4860 1,0239 0,09 0,2956 1,0145 0,4195 1,0222 0,5150 1,0268 0,10 0,3111 1,0160 0,4417 1,0246 0,5423 1,0298 0,15 0,3779 1,0237 0,5376 1,0365 0,6608 1,0445 0,20 0,4328 1,0311 0,6170 1,0483 0,7593 1,0592 0,25 0,4801 1,0382 0,6856 1,0598 0,8448 1,0737 0,30 0,5218 1,0450 0,7465 1,0712 0,9208 1,0880 0,40 0,5932 1,0580 0,8516 1,0932 1,0528 1,1064 0,50 0,6533 1,0701 0,9408 1,1143 1,1656 1,1441 0,60 0,7051 1,0814 1,0185 1,1346 1,2644 1,1713 0,70 0,7506 1,0919 1,0873 1,1539 1,3225 1,1978 0,80 0,7910 1,1016 1,1490 1,1725 1,4320 1,2236 0,90 0,8274 1,1107 1,2048 1,1902 1,5044 1,2488 1,0 0,8603 1,1191 1,2558 1,2071 1,5708 1,2732 2,0 1,0769 1,1795 1,5995 1,3384 2,0288 1,4793 3,0 1,1925 1,2102 1,7887 1,4191 2,2889 1,6227 4,0 1,2646 1,2287 1,9081 1,4698 2,4556 1,7201 5,0 1,3138 1,2402 1,9898 1,5029 2,5704 1,7870 6,0 1,3496 1,2479 2,0490 1,5253 2,6537 1,8338 7,0 1,3766 1,2532 2,0937 1,5411 2,7165 1,8674 8,0 1,3978 1,2570 2,1286 1,5526 2,7654 1,8921 9,0 1,4149 1,2598 2,1566 1,5611 2,8044 1,9106 10,0 1,4289 1,2620 2,1795 1,5677 2,8363 1,9249 20,0 1,4961 1,2699 2,2881 1,5919 2,9857 1,9781 30,0 1,5202 1,2717 2,3261 1,5973 3,0372 1,9898 40,0 1,5325 1,2723 2,3455 1,5993 3,0632 1,9942 50,0 1,5400 1,2727 2,3572 1,6002 3,0788 1,9962 100,0 1,5552 1,2731 2,3809 1,6015 3,1102 1,9990 ∞ 1,5707 1,2733 2,4050 1,6018 3,1415 2,0000 Bi = hL/k para la pared plana y Bi = hro/k para el cilindro infinito y la esfera.
- 36. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 34 Tabla 4.2. Soluciones de conducción transitoria de sistemas multidimensionales expresadas como producto de soluciones de sistemas unidimensionales. Sistema Esquema Solución Sólido semiinfinito x S (x, t) to semiinfini sólido ) , ( ) , ( ∞ ∞ − − = T T T t x T t x S ini Pared plana x P (x, t) 2L1 ∞ ∞ plana pared ) , ( ) , ( ∞ ∞ − − = T T T t x T t x P ini Cilindro infinito r ∞ C (r, t) ∞ ro infinito cilindro ) , ( ) , ( ∞ ∞ − − = T T T t r T t r C ini Placa semiinfinita x2 S (x1 , t)·P (x2 , t) 2L2 ∞ x1 ) , ( )· , ( 2 1 t x P t x S
- 37. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 35 Tabla 4.2. Soluciones de conducción transitoria de sistemas multidimensionales expresadas como producto de soluciones de sistemas unidimensionales (continuación). Sistema Esquema Solución Barra rectangular infinita x2 P (x1, t)·P (x2, t) 2L2 ∞ x1 2L1 ∞ ) , ( )· , ( 2 1 t x P t x P Cilindro semiinfinito r C (r, t)·S (x, t) ∞ ro x ) , ( )· , ( t x S t r C Barra rectangular semiinfinita x2 P (x1, t)·P (x2, t)·S (x3, t) 2L2 ∞ x1 2L1 x3 ) , ( )· , ( )· , ( 2 1 3 t x P t x P t x S Paralelepípedo rectangular x2 P (x1, t)·P (x2, t)·P (x3, t) 2L2 x1 2L1 x3 2L3 ) , ( )· , ( )· , ( 3 2 1 t x P t x P t x P Cilindro corto r C (r, t)·P (x, t) ro x 2L1 ) , ( )· , ( t x P t r C
- 38. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 36 TEMA 6. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Tabla 6.1. Coeficientes de la correlación de Hilpert para flujo cruzado sobre un cilindro. ReD C m 0,4 - 4 1,103 0,330 4 - 40 1,016 0,385 40 - 4.000 0,762 0,466 4.000 - 40.000 0,215 0,618 40.000 - 400.000 0,030 0,805 Tabla 6.2. Coeficientes de la correlación de Hilpert para flujo de aire cruzado sobre un paralelepípedo. Geometría Dibujo ReD C m Cuadrado en diagonal V D 5·103 - 105 0,246 0,588 Cuadrado recto V D 5·103 - 105 0,102 0,675 5·103 - 1,95·104 0,160 0,638 Hexágono recto V D 1,95·104 - 105 0,0385 0,782 Hexágono en diagonal V D 5·103 - 105 0,153 0,638 Placa vertical D 4·103 - 1,5·104 0,228 0,731 Tabla 6.3. Coeficientes de la correlación de Zhukauskas para flujo de aire cruzado sobre un cilindro. ReD C m 1 - 40 0,75 0,4 40 - 1.000 0,51 0,5 103 - 2·105 0,26 0,6 2·105 - 106 0,076 0,7
- 39. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 37 Figura 6.1. Nu local para flujo de aire cruzado sobre un cilindro. Figura 6.2. Disposición de los tubos en configuración alineada y escalonada en un banco de tubos. NT NL
- 40. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 38 Tabla 6.4. Coeficientes de la correlación de Zhukauskas para el flujo cruzado sobre un banco de tubos. Configuración ReD,máx C m Alineado 10 - 102 0,80 0,40 Escalonado 10 - 102 0,90 0,40 Alineado 102 - 103 Se aproxima como un cilindro único Escalonado 102 - 103 Se aproxima como un cilindro único Alineado (ST / SL > 0,7) 103 - 2·105 0,27 0,63 Escalonado (ST / SL < 2) 103 - 2·105 0,35(ST / SL)1/5 0,60 Escalonado (ST / SL > 2) 103 - 2·105 0,40 0,60 Alineado 2·105 - 2·106 0,021 0,84 Escalonado 2·105 - 2·106 0,022 0,84 Para ST / SL < 0,7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineados no se deben usar. Tabla 6.5. Coeficiente de corrección C2 de la correlación de Zhukauskas para el flujo cruzado sobre un banco de tubos para NL < 20 y ReD > 103 . NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16 Alineado 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 Escalonado 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 TEMA 7. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO Figura 7.1. Número de Nusselt local en la región de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con temperatura superficial uniforme.
- 41. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 39 Figura 7.2. Número de Nusselt local en la región de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular con flujo de calor superficial uniforme. Tabla 7.1. Números de Nusselt para flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diferente sección transversal. k hD Nu h D = Sección transversal a b s q ′ ′ uniforme Ts uniforme Circular - 4,36 3,66 Rectangular (a = altura, b =base) 1,0 3,61 2,98 Rectangular (a = altura, b =base) 1,43 3,73 3,08 Rectangular (a = altura, b =base) 2,0 4,12 3,39 Rectangular (a = altura, b =base) 3,0 4,79 3,96 Rectangular (a = altura, b =base) 4,0 5,33 4,44 Rectangular (a = altura, b =base) 8,0 6,49 5,60 Rectangular (a = altura, b =base) ∞ 8,23 7,54 Triangular - 3,11 2,47
- 42. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 40 CORRELACIONES DE CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO - Problema de longitud de entrada térmica (si xcd,t >> xcd,h). - Región de entrada ⇒ (x < xcd,t ó Gz -1 < 0,05) ⇒ (Figuras 7.1. y 7.2.): - Problema de longitud de entrada combinada (si O(xcd,t) ≈ O(xcd,h)). - Correlación local: - cte = ′ ′ s q ⇒ NuD = 4,36. - Región c. d. ⇒ NuD = cte - Ts = cte ⇒ NuD = 3,66. (x > xcd,t ó Gz -1 > 0,05): - Tubo no circular ⇒ Tabla 7.1. ReD < 2.300 ⇒ Régimen Laminar: - Problema de longitud de entrada térmica (si xcd,t >> xcd,h): Correlación de Hausen. - Reg. de entrada + c. d.: - Problema de longitud de entrada combinada (si O(xcd,t) ≈ O(xcd,h)): Correlación de Sieder y Tate. - Correlación promedio: - cte = ′ ′ s q ⇒ 4,36 = D Nu . - Región c. d. (L >> xcd,t) ⇒ cte = D Nu : - Ts = cte ⇒ 3,66 = D Nu . - Tubo no circular ⇒ Tabla 7.1. - Correlación de Dittus-Boelter. - Correlación local (en región c. d.: x/D > 10): - Correlación de Sieder y Tate: (se usa con aceite siempre; con agua y con aire si hay grandes ∆T). ReD > 2.300 ⇒ Régimen Turbulento: - Correl. de Dittus-Boelter. - Correlación promedio con prop. a 2 , , sal m ent m m T T T + = . (condiciones c. d.: L/D > 60): - Correl. de Sieder y Tate.
- 43. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 41 TEMA 8. CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Figura 8.1. Perfiles de velocidad y de temperatura para la capa límite laminar de convección libre sobre una superficie vertical isoterma. TEMA 9. INTRODUCCIÓN A LA RADIACIÓN Figura 9.1. Distribución de Planck. Potencia Emisiva espectral del cuerpo negro. Potencia emisiva espectral, Eλb (W/m2 ·µm) 0.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4 6 10 20 40 60 100 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 T = 5.800 K T = 2.000 K T = 1.000 K T = 800 K T = 300 K T = 100 K T = 50 K longitud de onda, λ (µm) λmáx·T = 2.898 µm·K
- 44. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 42 Tabla 9.1. Funciones de radiación de cuerpo negro. λT (µm·K) ) 0 ( λ → F 5 , ) , ( T T I b σ λ λ (µm·K·sr)-1 ) , ( ) , ( , , T I T I máx b b λ λ λ λ 200 0,000000 0,3750·10-27 0,000000 400 0,000000 0,4903·10-13 0,000000 600 0,000000 0,1040·10-8 0,000014 800 0,000016 0,9911·10-7 0,001372 1.000 0,000321 0,1185·10-5 0,016406 1.200 0,002134 0,5239·10-5 0,072534 1.400 0,007790 0,1344·10-4 0,18608 1.600 0,019718 0,2491·10-4 0,3449 1.800 0,03934 0,3756·10-4 0,5199 2.000 0,06673 0,4934·10-4 0,6831 2.200 0,10089 0,5896·10-4 0,8163 2.400 0,14026 0,6589·10-4 0,9122 2.600 0,1831 0,7013·10-4 0,9709 2.800 0,2279 0,7202·10-4 0,9971 2.898 0,250108 0,7223·10-4 1,000000 3.000 0,2732 0,7203·10-4 0,9971 3.200 0,3181 0,7060·10-4 0,9774 3.400 0,3617 0,6815·10-4 0,9436 3.600 0,4036 0,6504·10-4 0,9004 3.800 0,4434 0,6152·10-4 0,8517 4.000 0,4809 0,5781·10-4 0,8003 4.200 0,5160 0,5404·10-4 0,7481 4.400 0,5488 0,5033·10-4 0,6967 4.600 0,5793 0,4673·10-4 0,6470 4.800 0,6076 0,4331·10-4 0,5996 5.000 0,6337 0,4008·10-4 0,5549 5.200 0,6590 0,3706·10-4 0,5130 5.400 0,6804 0,3424·10-4 0,4741 5.600 0,7010 0,3164·10-4 0,4380 5.800 0,7202 0,2923·10-4 0,4047 6.000 0,7378 0,2701·10-4 0,3740 6.200 0,7541 0,2497·10-4 0,3457 6.400 0,7692 0,2310·10-4 0,3198 6.600 0,7832 0,2138·10-4 0,2960 6.800 0,7961 0,1980·10-4 0,2741 7.000 0,8081 0,1835·10-4 0,2541 7.200 0,8192 0,1703·10-4 0,2357 7.400 0,8295 0,1581·10-4 0,2188 7.600 0,8391 0,1469·10-4 0,2034 7.800 0,8480 0,1366·10-4 0,1891
- 45. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 43 Tabla 9.1. Funciones de radiación de cuerpo negro (continuación). λT (µm·K) ) 0 ( λ → F 5 , ) , ( T T I b σ λ λ (µm·K·sr)-1 ) , ( ) , ( , , T I T I máx b b λ λ λ λ 8.000 0,8563 0,1272·10-4 0,1761 8.500 0,8746 0,1068·10-4 0,1478 9.000 0,8900 0,9015·10-5 0,1248 9.500 0,9031 0,7653·10-5 0,1060 10.000 0,9142 0,6533·10-5 0,09044 10.500 0,9237 0,5605·10-5 0,077600 11.000 0,9319 0,4833·10-5 0,066913 11.500 0,9400 0,4187·10-5 0,057970 12.000 0,9451 0,3644·10-5 0,050448 13.000 0,9551 0,2795·10-5 0,038689 14.000 0,9629 0,2176·10-5 0,030131 15.000 0,9700 0,1719·10-5 0,023794 16.000 0,9738 0,1374·10-5 0,019026 18.000 0,9809 0,9082·10-6 0,012574 20.000 0,9856 0,6233·10-6 0,008629 25.000 0,9922 0,2765·10-6 0,003828 30.000 0,9953 0,1405·10-6 0,001945 40.000 0,9980 0,4739·10-7 0,000656 50.000 0,9990 0,2016·10-7 0,000279 75.000 0,9997 0,4186·10-8 0,000058 100.000 0,999905 0,1358·10-8 0,000019 TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometrías bidimensionales. Geometría Esquema Factor de forma Placas paralelas centradas wi L j i wj [ ] [ ] i i j i j i ij W W W W W W F 2 4 ) ( 2 4 ) ( 2 / 1 2 2 / 1 2 + − − − + + = L w W i i / = L w W j j / = Placas paralelas inclinadas de igual anchura y una arista en común j i w w α − = 2 1 α sen Fij
- 46. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 44 Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometrías bidimensionales (continuación). Geometría Esquema Factor de forma Placas perpendiculares con una arista en común j i wi wj [ ] 2 ) / ( 1 ) / ( 1 2 / 1 2 i j i j ij w w w w F + − + = Recinto de tres lados j i wi wk wj k i k j i ij w w w w F 2 − + = Cilindros paralelos de radios diferentes s j i ri rj [ ] [ ] + + − − − − + + − − − − + − + = − − C C R R C C R R R C R C Fij 1 cos º 180 ) 1 ( 1 cos º 180 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1 1 2 / 1 2 2 2 / 1 2 2 π π π π i j r r R / = i r s S / = S R C + + = 1 Cilindro y placa paralelos s1 j i L r s2 − − = − − L s L s s s r Fij 2 1 1 1 2 1 tan tan º 180 π Plano infinito y fila de cilindros s j i D 2 / 1 2 2 2 1 2 / 1 2 tan º 180 1 1 − + + − − = − D D s s D s D Fij π
- 47. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 45 Figura 10.1. Factor de forma radiativo para dos rectángulos paralelos alineados. j i X L Y 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 5 10 20 40 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1 X / L Fij Y / L = 0,05 Y / L = 0,4 Y / L = 0,1 Y / L = 0,6 Y / L = 0,2 Y / L = 4 Y / L = 2 Y / L = 1 Y / L = 10 Y / L = inf.
- 48. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 46 Figura 10.2. Factor de forma radiativo para dos discos paralelos coaxiales. j i L ri rj 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 L / ri Fij rj / L = 2 0,3 0,8 0,4 1,25 1 0,6 4 3 1,5 5 6 8
- 49. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 47 Figura 10.3. Factor de forma radiativo para dos rectángulos perpendiculares con una arista en común. j i Z X Y 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Z / X Fij Y / X = 0,02 0,05 0,1 0,2 1 0,4 0,6 2 4 1,5 10 20
- 50. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 48 Tabla 10.2. Intercambio neto de radiación en recintos especiales de dos superficies grises y difusas. Geometría Esquema Condiciones Intercambio de radiación Planos paralelos grandes (infinitos) A2 , T2 , ε2 A1 , T1 , ε1 plano 1 plano 2 A A A = = 2 1 1 12 = F 1 1 1 ) ( 2 1 4 2 4 1 12 − + − = ε ε σ T T A q Cilindros concéntricos largos (infinitos) r2 r1 2 1 2 1 r r A A = 1 12 = F 2 1 2 2 1 4 2 4 1 1 12 1 1 ) ( r r T T A q ε ε ε σ − + − = Esferas concéntricas r2 r1 2 2 2 1 2 1 r r A A = 1 12 = F 2 2 1 2 2 1 4 2 4 1 1 12 1 1 ) ( − + − = r r T T A q ε ε ε σ Objeto convexo pequeño en una cavidad grande A2 , T2 , ε2 A1, T1, ε1 0 2 1 ≈ A A 1 12 = F ) ( 4 2 4 1 1 1 12 T T A q − = σ ε
- 51. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 49 TABLAS DE PROPIEDADES TERMOFÍSICAS Y DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Tabla A. Propiedades termofísicas del aire a presión atmosférica. T (K) ρ (kg/m3 ) cp (J/kg·K) µ·107 (N·s/m2 ) ν·106 (m2 /s) k·103 (W/m·K) α·106 (m2 /s) Pr 100 3,5562 1.032 71,1 2,00 9,34 2,54 0,786 150 2,3364 1.012 103,4 4,426 13,8 5,84 0,758 200 1,7548 1.007 132,5 7,590 18,1 10,3 0,737 250 1,3947 1.006 159,6 11,44 22,3 15,9 0,720 300 1,1614 1.007 184,6 15,89 26,3 22,5 0,707 350 0,9950 1.009 208,2 20,92 30,0 29,9 0,700 400 0,8711 1.014 230,1 26,41 33,8 38,3 0,690 450 0,7740 1.021 250,7 32,39 37,3 47,2 0,686 500 0,6964 1.030 270,1 38,79 40,7 56,7 0,684 550 0,6329 1.040 288,4 45,57 43,9 66,7 0,683 600 0,5804 1.051 305,8 52,69 46,9 76,9 0,685 650 0,5356 1.063 322,5 60,21 49,7 87,3 0,690 700 0,4975 1.075 338,8 68,10 52,4 98,0 0,695 750 0,4643 1.087 354,6 76,37 54,9 109 0,702 800 0,4354 1.099 369,8 84,93 57,3 120 0,709 850 0,4097 1.110 384,3 93,80 59,6 131 0,716 900 0,3868 1.121 398,1 102,9 62,0 143 0,720 950 0,3666 1.131 411,3 112,2 64,3 155 0,723 1.000 0,3482 1.141 424,4 121,9 66,7 168 0,726 1.100 0,3166 1.159 449,0 141,8 71,5 195 0,728 1.200 0,2902 1.175 473,0 162,9 76,3 224 0,728 1.300 0,2679 1.189 496,0 185,1 82 238 0,719 1.400 0,2488 1.207 530 213 91 303 0,703 1.500 0,2322 1.230 557 240 100 350 0,685
- 52. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 50 Tabla B. Propiedades termofísicas del aceite de motor a presión atmosférica. T (K) ρ (kg/m3 ) cp (J/kg·K) µ·102 (N·s/m2 ) ν·106 (m2 /s) k·103 (W/m·K) α·107 (m2 /s) Pr β·103 (K-1 ) 273 899,1 1.796 385 4.280 147 0,910 47.000 0,70 280 895,3 1.827 217 2.430 144 0,880 27.500 0,70 290 890,0 1.868 99,9 1.120 145 0,872 12.900 0,70 300 884,1 1.909 48,6 550 145 0,859 6.400 0,70 310 877,9 1.951 25,3 288 145 0,847 3.400 0,70 320 871,8 1.993 14,1 161 143 0,823 1.965 0,70 330 865,8 2.035 8,36 96,6 141 0,800 1.205 0,70 340 859,9 2.076 5,31 61,7 139 0,779 793 0,70 350 853,9 2.118 3,56 41,7 138 0,763 546 0,70 360 847,8 2.161 2,52 29,7 138 0,753 395 0,70 370 841,8 2.206 1,86 22,0 137 0,738 300 0,70 380 836,0 2.250 1,41 16,9 136 0,723 233 0,70 390 830,6 2.294 1,10 13,3 135 0,709 187 0,70 400 825,1 2.337 0,874 10,6 134 0,695 152 0,70 410 818,9 2.381 0,698 8,52 133 0,682 125 0,70 420 812,1 2.427 0,564 6,94 133 0,675 103 0,70 430 806,5 2.471 0,470 5,83 132 0,662 88 0,70
- 53. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 51 Tabla C. Propiedades termofísicas del agua saturada. T (K) P (bar) 1/ρ·103 (m3 /kg) hfg (kJ/kg) cp (J/kg·K) µ·106 (N·s/m2 ) k·103 (W/m·K) Pr β·106 (K-1 ) 273,15 0,00611 1,000 2.502 4.217 1.750 569 12,99 -68,05 275 0,00697 1,000 2.497 4.211 1.652 574 12,22 -32,74 280 0,00990 1,000 2.485 4.198 1.422 582 10,26 46,04 285 0,01387 1,000 2.473 4.189 1.225 590 8,81 114,1 290 0,01917 1,001 2.461 4.184 1.080 598 7,56 174,0 295 0,02617 1,002 2.449 4.181 959 606 6,62 227,5 300 0,03531 1,003 2.438 4.179 855 613 5,83 276,1 305 0,04712 1,005 2.426 4.178 769 620 5,20 320,6 310 0,06221 1,007 2.414 4.178 695 628 4,62 361,9 315 0,08132 1,009 2.402 4.179 631 634 4,16 400,4 320 0,1053 1,011 2.390 4.180 577 640 3,77 436,7 325 0,1351 1,013 2.378 4.182 528 645 3,42 471,2 330 0,1719 1,016 2.366 4.184 489 650 3,15 504,0 335 0,2167 1,018 2.354 4.186 453 656 2,88 535,5 340 0,2713 1,021 2.342 4.188 420 660 2,66 566,0 345 0,3372 1,024 2.329 4.191 389 668 2,45 595,4 350 0,4163 1,027 2.317 4.195 365 668 2,29 624,2 355 0,5100 1,030 2.304 4.199 343 671 2,14 652,3 360 0,6209 1,034 2.291 4.203 324 674 2,02 697,9 365 0,7514 1,038 2.278 4.209 306 677 1,91 707,1 370 0,9040 1,041 2.265 4.214 289 679 1,80 728,7 373,15 1,0133 1,044 2.257 4.217 279 680 1,76 750,1 375 1,0815 1,045 2.252 4.220 274 681 1,70 761 380 1,2869 1,049 2.239 4.226 260 683 1,61 788 385 1,5233 1,053 2.225 4.232 248 685 1,53 814 390 1,794 1,058 2.212 4.239 237 686 1,47 841 400 2,455 1,067 2.183 4.256 217 688 1,34 896 410 3,302 1,077 2.153 4.278 200 688 1,24 852 420 4,370 1,088 2.123 4.302 185 688 1,16 1.010 430 5,699 1,099 2.091 4.331 173 685 1,09 440 7,333 1,110 2.059 4.360 162 682 1,04 450 9,319 1,123 2.024 4.400 152 678 0,99 460 11,71 1,137 1.989 4.440 143 673 0,95 470 14,55 1,152 1.951 4.480 136 667 0,92 480 17,90 1,167 1.912 4.530 129 660 0,89 490 21,83 1,184 1.870 4.590 124 651 0,87 500 26,40 1,203 1.825 4.660 118 642 0,86
- 54. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 52 Tabla D. Funciones hiperbólicas. x senh x cosh x tanh x x senh x cosh x tanh x 0,00 0,0000 1,0000 0,00000 2,00 3,6269 3,7622 0,96403 0,10 0,1002 1,0050 0,09967 2,10 4,0219 4,1443 0,97045 0,20 0,2013 1,0201 0,19738 2,20 4,4571 4,5679 0,97574 0,30 0,3045 1,0453 0,29131 2,30 4,9370 5,0372 0,98010 0,40 0,4108 1,0811 0,37995 2,40 5,4662 5,5569 0,98367 0,50 0,5211 1,1276 0,46212 2,50 6,0502 6,1323 0,98661 0,60 0,6367 1,1855 0,53705 2,60 6,6947 6,7690 0,98903 0,70 0,7586 1,2552 0,60437 2,70 7,4063 7,4735 0,99101 0,80 0,8881 1,3374 0,66404 2,80 8,1919 8,2527 0,99263 0,90 1,0265 1,4331 0,71630 2,90 9,0596 9,1146 0,99396 1,00 1,1752 1,5431 0,76159 3,00 10,018 10,068 0,99505 1,10 1,3356 1,6685 0,80050 3,50 16,543 16,573 0,99818 1,20 1,5095 1,8107 0,83365 4,00 27,290 27,308 0,99933 1,30 1,6984 1,9709 0,86172 4,50 45,003 45,014 0,99975 1,40 1,9043 2,1509 0,88535 5,00 74,203 74,210 0,99991 1,50 2,1293 2,3524 0,90515 6,00 201,71 201,72 0,99999 1,60 2,3756 2,5775 0,92167 7,00 548,32 548,32 1,0000 1,70 2,6456 2,8283 0,93541 8,00 1.490,5 1.490,5 1,0000 1,80 2,9422 3,1075 0,94681 9,00 4.051,5 4.051,5 1,0000 1,90 3,2682 3,4177 0,95624 10,00 11.013 11.013 1,0000 Tabla E. Función gaussiana de error. x erf (x) x erf (x) x erf (x) 0,00 0,00000 0,36 0,38933 1,04 0,85865 0,02 0,02256 0,38 0,40901 1,08 0,87333 0,04 0,04511 0,40 0,42839 1,12 0,88679 0,06 0,06762 0,44 0,46623 1,16 0,89910 0,08 0,09008 0,48 0,50275 1,20 0,91031 0,10 0,11246 0,52 0,53790 1,30 0,93401 0,12 0,13476 0,56 0,57162 1,40 0,95229 0,14 0,15695 0,60 0,60386 1,50 0,96611 0,16 0,17901 0,64 0,63459 1,60 0,97635 0,18 0,20094 0,68 0,66378 1,70 0,98379 0,20 0,22270 0,72 0,69143 1,80 0,98909 0,22 0,24430 0,76 0,71754 1,90 0,99279 0,24 0,26570 0,80 0,74210 2,00 0,99532 0,26 0,28690 0,84 0,76514 2,20 0,99814 0,28 0,30788 0,88 0,78669 2,40 0,99931 0,30 0,32863 0,92 0,80677 2,60 0,99976 0,32 0,34913 0,96 0,82542 2,80 0,99992 0,34 0,36936 1,00 0,84270 3,00 0,99998 ∫ − = w u du e w 0 2 2 erf π w w erf 1 erfc − =
- 55. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 53 Tabla F. Primeras cuatro raíces de la ecuación trascendental, ξn·tan(ξn) = Bi, para conducción transitoria en una pared plana. k hL Bi = ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 0 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 0,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 0,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 0,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 0,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 0,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 0,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 0,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 0,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 0,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 0,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 0,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 0,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 0,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 0,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 0,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 0,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,5801 2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296 3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,7240 4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,8119 5,0 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,9667 7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,0339 8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,0949 9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,1502 10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,3898 20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,6543 40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,7334 50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,7832 60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,8172 80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,8606 100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871 ∞ 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956
- 56. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 54 Tabla G. Funciones de Bessel de primera clase. x J0(x) J1(x) 0,0 1,0000 0,0000 0,1 0,9975 0,0499 0,2 0,9900 0,0995 0,3 0,9776 0,1483 0,4 0,9604 0,1960 0,5 0,9385 0,2423 0,6 0,9120 0,2867 0,7 0,8812 0,3290 0,8 0,8463 0,3688 0,9 0,8075 0,4059 1,0 0,7652 0,4401 1,1 0,7196 0,4709 1,2 0,6711 0,4983 1,3 0,6201 0,5220 1,4 0,5669 0,5419 1,5 0,5118 0,5579 1,6 0,4554 0,5699 1,7 0,3980 0,5778 1,8 0,3400 0,5815 1,9 0,2818 0,5812 2,0 0,2239 0,5767 2,1 0,1666 0,5683 2,2 0,1104 0,5560 2,3 0,0555 0,5399 2,4 0,0025 0,5202
- 57. Transferencia de Calor Fórmulas, Tablas y Figuras 55 Tabla H. Funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase. x e-x ·I0(x) e-x ·I1(x) ex ·K0(x) ex ·K1(x) 0,0 1,0000 0,0000 ∞ ∞ 0,2 0,8269 0,0823 2,1408 5,8334 0,4 0,6974 0,1368 1,6627 3,2587 0,6 0,5993 0,1722 1,4167 2,3739 0,8 0,5241 0,1945 1,2582 1,9179 1,0 0,4658 0,2079 1,1445 1,6362 1,2 0,4198 0,2153 1,0575 1,4429 1,4 0,3831 0,2185 0,9881 1,3011 1,6 0,3533 0,2190 0,9309 1,1919 1,8 0,3289 0,2177 0,8828 1,1048 2,0 0,3085 0,2153 0,8416 1,0335 2,2 0,2913 0,2121 0,8057 0,9738 2,4 0,2766 0,2085 0,7740 0,9229 2,6 0,2639 0,2047 0,7459 0,8790 2,8 0,2528 0,2007 0,7206 0,8405 3,0 0,2430 0,1968 0,6978 0,8066 3,2 0,2343 0,1930 0,6770 0,7763 3,4 0,2264 0,1892 0,6580 0,7491 3,6 0,2193 0,1856 0,6405 0,7245 3,8 0,2129 0,1821 0,6243 0,7021 4,0 0,2070 0,1788 0,6093 0,6816 4,2 0,2016 0,1755 0,5953 0,6627 4,4 0,1966 0,1725 0,5823 0,6454 4,6 0,1919 0,1695 0,5701 0,6292 4,8 0,1876 0,1667 0,5586 0,6143 5,0 0,1835 0,1640 0,5478 0,6003 5,2 0,1797 0,1614 0,5376 0,5872 5,4 0,1762 0,1589 0,5280 0,5749 5,6 0,1728 0,1565 0,5188 0,5634 5,8 0,1697 0,1542 0,5101 0,5525 6,0 0,1667 0,1521 0,5019 0,5422 6,4 0,1611 0,1479 0,4865 0,5232 6,8 0,1561 0,1441 0,4724 0,5060 7,2 0,1515 0,1405 0,4595 0,4905 7,6 0,1473 0,1372 0,4476 0,4762 8,0 0,1434 0,1341 0,4366 0,4631 8,4 0,1399 0,1312 0,4264 0,4511 8,8 0,1365 0,1285 0,4168 0,4399 9,2 0,1334 0,1260 0,4079 0,4295 9,4 0,1305 0,1235 0,3995 0,4198 9,6 0,1278 0,1213 0,3916 0,4108 10,0 1,0000 0,0000 ) ( ) / ( ) ( ) ( x I x n x I x I n n n 2 1 1 − = − +
- 58. Fórmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor 56 ALFABETO GRIEGO Mayúsculas Minúsculas Nombre Α α alfa Β β beta Γ γ gamma ∆ δ delta Ε ε épsilon Ζ ζ seta o zeta Η η eta Θ θ zeta o theta Ι ι iota Κ κ kappa o cappa Λ λ lambda Μ µ my o mu Ν ν ny o nu Ξ ξ xi Ο ο ómicron Π π pi Ρ ρ ro o rho Σ σ, ς sigma Τ τ tau Υ υ ípsilon Φ ϕ fi o phi Χ χ ji Ψ ψ psi Ω ω omega