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- 1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica 1er EXAMEN PARCIAL (9 de Febrero de 1996) Apellidos Nombre No Grupo Ejercicio 5o Tiempo: 45 min. Un disco de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre un plano inclinado un ´angulo α respecto de la horizontal. Del centro del disco cuelga un p´endulo sim- ple constituido por una varilla sin masa de longitud l con una masa puntual m en su extremo. El centro del disco est´a unido a un punto fijo mediante un amortiguador viscoso de constante c que se opone al movimiento con una fuerza proporcional a la velocidad (ver figura). Para considerar la resistencia del aire, se supone que sobre la masa puntual act´ua una fuerza viscosa F = −cv, siendo v la velocidad de dicha masa. Se pide: R M wm α c l o a 1. Expresi´on de las fuerzas generalizadas correspondientes a las fuerzas viscosas. 2. Ecuaciones diferenciales del movimiento. Discutir la existencia de integrales primeras. & & & & & & & & & & & & & & & & && m α c l x ϕ j i b b ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ&& && ƒ ƒ && && ƒ ƒ & & & && & && v ‰ & & &a ƒ ƒ ƒw & & & & & & & &a d d‚ & &&b cl ˙ϕ c ˙x b & &&bc ˙x 1.- El sistema tiene 2 g.d.l. para lo que tomamos como coordenadas gene- ralizadas: x, desplazamiento del disco en el sentido descendente del plano; ϕ, ´angulo absoluto girado por la varilla respecto de la perpendicular al plano. Para obtener las fuerzas generalizadas calculamos el trabajo virtual para des- plazamientos virtuales arbitrarios obte- nidos a partir de δx y δϕ. La expresi´on de las fuerzas viscosas para el disco y la masa puntual, referidas a los ejes car- tesianos indicados en la figura, es res- pectivamente: F d = −c ˙x i (1) F m = −(c ˙x + cl ˙ϕ cos ϕ)i + cl ˙ϕ sen ϕ j (2)
- 2. Los correspondientes desplazamientos virtuales son: δrd = δx i (3) δrm = (δx + l cos ϕδϕ)i − l sen ϕδϕ j (4) El trabajo virtual correspondiente se obtiene haciendo: δW = F d · δrd + F m · δrm Sustituyendo (1;2;3;4) en esta expresi´on y agrupando en δx y δϕ se obtiene: δW = (−2c ˙x − cl ˙ϕ cos ϕ)δx + (−cl2 ˙ϕ − cl ˙x cos ϕ)δϕ (5) Las fuerzas generalizadas respectivas son los coeficientes de δx y δϕ en (5), resultando: Qx = −2c ˙x − cl ˙ϕ cos ϕ (6) Qϕ = −cl2 ˙ϕ − cl ˙x cos ϕ (7) 2.- La energ´ıa cin´etica del disco y de la masa puntual son respectivamente Td = 1 2 M ˙x2 + 1 2 1 2 MR2 ˙x R 2 , Tm = 1 2 m( ˙x2 + ˙ϕ2 l2 + 2l ˙x ˙ϕ cos ϕ). El potencial de las fuerzas gravitatorias es: V = −Mgx sen α − mg(x sen α + l cos(ϕ − α)), con lo que se obtiene la funci´on Lagrangiana “parcial” del sistema: L = Td +Tm −V = 3 4 M ˙x2 + 1 2 m( ˙x2 + ˙ϕ2 l2 +2l ˙x ˙ϕ cos ϕ)+Mgx sen α+mg(x sen α+l cos(ϕ−α)). (8) Esta Lagrangiana no contiene informaci´on alguna sobre las fuerzas viscosas no conservati- vas. Por ello, se deben incluir las fuerzas generalizadas correspondientes en las ecuaciones de Lagrange: d dt ∂L ∂ ˙x − ∂L ∂x = Qx; d dt ∂L ∂ ˙ϕ − ∂L ∂ϕ = Qϕ (9) Sustituyendo (6,7,8) en (9) y operando, se obtiene: 3 2 M + m ¨x + ml ¨ϕ cos ϕ − ml ˙ϕ2 sen ϕ − (M + m)g sen α = −2c ˙x − cl ˙ϕ cos ϕ ml¨x cos ϕ + ml2 ¨ϕ + mgl sen(ϕ − α) = −cl2 ˙ϕ − cl ˙x cos ϕ Ninguna de las coordenadas es c´ıclica. Al actuar fuerzas no conservativas (las fuerzas viscosas) la energ´ıa no se conserva. Por otra parte tampoco existe la integral de Jacobi ya que aunque ∂L/∂t = 0, L es una Lagrangiana “parcial” del sistema.