472exam
- 1. C´ATEDRA DE MEC´ANICA Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica EXAMEN 4.o PARCIAL (8 de septiembre de 2003) Apellidos Nombre N.o Grupo Ejercicio 1.o (puntuaci´on: 5/25) Tiempo: 45 min. Responder a la siguiente cuesti´on te´orico-pr´actica dentro del espacio provisto en la hoja. Las respuestas habr´an de ser breves y directas, escritas a tinta y con letra clara. Se puede emplear como borrador la hoja adicional que se les ha repartido, que no deber´a entregarse. No se permitir´a tener sobre la mesa ninguna otra hoja, ni libros ni apuntes de ning´un tipo, ni calculadoras. k1 m2m1 k2 1 2 x x Sea un sistema mec´anico conservativo definido por coordenadas ge- neralizadas libres {qi, i = 1, . . . n}, del cual se supone conocida la La- grangiana L(qi, ˙qi, t). Definir la funci´on Hamiltoniana. Expresar las ecuaciones can´onicas (o de Hamilton), discutiendo la relaci´on que guar- dan con las ecuaciones de Lagrange. Aplicar al caso de la figura, obte- niendo la Hamiltoniana y las ecuaciones can´onicas. • La funci´on Hamiltoniana se define como la transformada de Legendre de la Lagrangiana respecto de las velocidades generalizadas: H(qi, pi, t) def = n i=1 pi ˙qi − L, (1) siendo pi def = ∂L/∂ ˙qi, denominados momentos generalizados. A diferencia de la Lagrangiana, la Hamiltoniana se expresa en funci´on de las coordenadas qi, los momentos pi y el tiempo t; en la ecuaci´on (1) deben eliminarse las velocidades generalizadas ˙qi en favor de los momentos pi. Tomando el diferencial de la expresi´on (1), dH = n i=1 dpi ˙qi + n i=1 pid ˙qi − n i=1 ∂L ∂qi dqi − n i=1 ∂L ∂ ˙qi d ˙qi − ∂L ∂t dt = n i=1 dpi ˙qi − n i=1 ∂L ∂qi dqi − ∂L ∂t dt = n i=1 ˙qidpi − n i=1 ˙pidqi − ∂L ∂t dt, donde se han empleado la definici´on de momentos generalizados y las ecuaciones de Lagrange (∂L/∂qi = ˙pi). Identificando coeficientes en la expresi´on anterior se obtienen las derivadas parciales de H: ∂H ∂qi = − ˙pi, i = 1, . . . n; ∂H ∂pi = ˙qi, i = 1, . . . n; ∂H ∂t = − ∂L ∂t . (2) 472exam.tex
- 2. C´ATEDRA DE MEC´ANICA Se denominan ecuaciones can´onicas o de Hamilton a los dos conjuntos de n ecuaciones cada uno (2)1 y (2)2. Estas constituyen un sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, y definen la evoluci´on del sistema din´amico Hamiltoniano, formulado con 2n coordenadas consideradas independientes (qi, pi). En esto se diferencian de las ecuaciones de Lagrange, que son n ecuaciones diferenciales pero de 2.o orden. En ambos casos se necesitan 2n condiciones iniciales para plantear el problema, y aunque la formulaci´on sea distinta ambos conjuntos de ecuaciones son equivalentes, para un problema bien planteado admiten id´entica soluci´on. Para el ejemplo de aplicaci´on propuesto la Lagrangiana es L = 1 2 m1 ˙x2 1 + 1 2 m2 ˙x2 2 − 1 2 k1x2 1 − 1 2 k2(x2 − x1)2 ; (3) el cambio de coordenadas entre velocidades y momentos generalizados es p1 = ∂L ∂ ˙x1 = m1 ˙x1 ⇒ ˙x1 = p1 m1 , p2 = ∂L ∂ ˙x2 = m ˙x2 ⇒ ˙x2 = p2 m2 , (4) por lo que resulta la siguiente expresi´on de la Hamiltoniana (eliminando como se ha dicho las velocidades generalizadas): H = p1 ˙x1 + p2 ˙x2 − 1 2 m1 ˙x2 1 − 1 2 m2 ˙x2 2 + 1 2 k1x2 1 + 1 2 k2(x2 − x1)2 = 1 2 p2 1 m1 + 1 2 p2 2 m2 + 1 2 k1x2 1 + 1 2 k2(x2 − x1)2 . (5) Aplicando (2)1 y (2)2 resultan finalmente las ecuaciones can´onicas: ˙x1 = p1 m1 ; ˙x2 = p2 m2 ; (6) ˙p1 = −k1x1 + k2(x2 − x1); ˙p2 = −k2(x2 − x1). (7) De las anteriores, el primer grupo de ecuaciones (6) coincide con el cambio de coordenadas (4); el segundo grupo (7) constituye las ecuaciones que podr´ıamos denominar propiamente de la din´amica, equivalentes a las ecuaciones de Lagrange si se sustituyen los momentos pi por sus valores en funci´on de ˙qi.