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- 1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid) Mec´anica EXAMEN PARCIAL Y FINAL EXTRAORDINARIO (21 de enero de 2003) Apellidos Nombre N.o Grupo Ejercicio 3.o (puntuaci´on: 10/25-parcial; 10/45-final) Tiempo: 60 min. Un sistema est´a formado por un carro pesado de masa M y una barra pesada AC de masa m y longitud b que se encuentra articulada en A a aqu´el como muestra la figura adjunta. El carro se apoya sobre una recta horizontal fija y lisa r y est´a unido a una recta vertical fija r a trav´es de un resorte el´astico de constante k. Por otro lado, el centro B de la barra se encuentra unido a la misma recta fija a trav´es de un amortiguador lineal de constante c. Adem´as, en el extremo C de la barra act´ua una fuerza horizontal constante F. Se supone que el sistema se mueve siempre en un plano vertical fijo, que no existe rozamiento entre ninguna de las partes m´oviles y que tanto el muelle como el amortiguador se mantienen siempre horizontales. k B C c F M m, b r r A Se pide: 1. Ecuaciones diferenciales del movimiento. 2. Discusi´on sobre la existencia de integrales primeras. 3. Expresi´on de la reacci´on que ejerce la recta horizontal r sobre el carro. 1.— El sistema tiene dos grados de libertad, que tomaremos como x (elongaci´on del resorte respecto de su longitud natural) y θ (´angulo de la varilla con la vertical). La Lagrangiana que incluye la energ´ıa cin´etica y el potencial de las fuerzas conservativas (peso, F y −kx) es L = T − V = 1 2 M ˙x2 + 1 2 m( ˙x2 + b ˙x ˙θ cos θ + 1 4 b2 ˙θ2 ) + 1 24 mb2 ˙θ2 + mg b 2 cos θ + F(x + b sen θ) − 1 2 kx2 = 1 2 (M + m) ˙x2 + 1 6 mb2 ˙θ2 + 1 2 mb ˙x ˙θ cos θ + mg b 2 cos θ + F(x + b sen θ) − 1 2 kx2 . (1) Esta Lagrangiana no incluye las fuerzas disipativas del amortiguador, cuyo trabajo virtual nos permite identificar las fuerzas generalizadas correspondientes: δW = −c( ˙x + b 2 ˙θ cos θ)(δx + b 2 δθ cos θ) = Qxδx + Qθδθ, de donde Qx = −c( ˙x + b 2 ˙θ cos θ); Qθ = −c( ˙x + b 2 ˙θ cos θ) b 2 cos θ. (2) 405exam.tex
- 2. Derivando la Lagrangiana (1) e incluyendo las fuerzas del amortiguador (2), resultan las ecua- ciones de Lagrange: (M + m)¨x + m b 2 (¨θ cos θ − ˙θ2 sen θ) + kx − F = −c( ˙x + b 2 ˙θ cos θ); (3) m b 2 ¨x cos θ + 1 3 mb2 ¨θ + mg b 2 sen θ − Fb cos θ = −c( ˙x + b 2 ˙θ cos θ) b 2 cos θ. (4) 2.— El amortiguador disipa energ´ıa, por lo que esta magnitud no se conserva, no existe una integral primera de energ´ıa, ya que la integral de Jacobi s´olo se plantea en los casos en que las fuerzas derivan de un potencial. Por otra parte, tampoco las coordenadas no son c´ıclicas, por lo que no se observan integrales primeras. 3.— Las ´unicas fuerzas verticales son la reacci´on N de r y los pesos, por lo que la ecuaci´on de la din´amica en direcci´on vertical resulta: N = (M + m)g + m b 2 (¨θ sen θ + ˙θ2 cos θ). (5) 2